Razões e Proporções

Razão, Proporção, Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais e Regras

de três Simples e Compostas.

Razão

Sendo a e b dois números racionais, com b≠0, denomina-se razão entre a e b ou razão de a para b o quociente ou a : b.A razão ou a : b pode ser lida de uma das seguintes maneiras: Razão de a para b ou a está para b ou a para b

Nomes Especiais

Os termos de uma razão, na forma fracionária ou como uma divisão, recebem nomes especiais: o primeiro número denomina-se antecedente e o segundo número , consequente. ou a:b da mesma forma

Exemplos

1) Danielzinho, jogador do time de Basquete doFlamengo, de 15 arremessos à cesta acertou 12. Qual a razão entre o número de acertos e o número total à cesta feitos por Danielzinho?Solução:Na verdade faremos uma comparação entre o número de acertos e o número total de arremessos. Ou seja, a razão 12 : 15 = =

Exemplos

Ou seja, para cada 5 arremessos à cesta,

Danielzinho acertou 4.

Considerando que , dizemos que Danielzinho

acertou 80% dos arremessos.

Exemplos2) Qual é a razão entre a área da região retangular 1 e a área da região retangular 2 1 2 40cm

1m 60cm 1,2m

Exemplos

Logo, a razão .Ou seja, a área do retângulo 2 é 5 vezes a área do retângulo 1.

OBS: A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que exprimem as suas medidas, sempre tomadas na mesma unidade.

Razões Especiais1. Velocidade Média

2. Escala

3. Densidade de um Corpo

4. Densidade Demográfica

Exemplos

• Velocidade MédiaUm trem percorreu a a distância de 453Km em 6 horas. Qual foi a velocidade média do trem nesse percurso?

Exemplos• EscalaEm um mapa, a distância entre duas cidades é de 3cm. Sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 30Km, qual a escala utilizada no mapa?Escala ou 1 : 1 000 000.

Ou seja, 1cm no desenho corresponde a 1 000

000 cm no real, ou a 10Km.

Exemplos

• EscalaAo desenhar a sua sala de aula, Paula traçou um segmento de 6cm, que correspondia ao comprimento da sala. Sabendo-se que a escala utilizada foi de 1:125, qual o comprimento real dessa sala?Solução:

Exemplos• Densidade de um corpo

Uma escultura em bronze tem 3,5Kg de massa e

volume de 400. Qual é a densidade dessa escultura

de bronze?

Densidade =

Exemplos• Densidade DemográficaTocantins é um Estado que possui 1 300 000 habitantes que ocupam uma área de 280 000Qual a sua densidade demográfica?Solução:Densidade demográfica =

Proporção

Proporção é uma igualdade entre duas razõesExemplo:

Definição

Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de

zero, tomados nessa ordem, formam uma

progressão quando:

Lê-se: a está para b, assim como c está para d.

OBS: Chamaremos a e d de extremos e b e c de meios da proporção.

Exemplo

Os números 6, 9, 12 e 18, nessa ordem formam uma progressão, pois:

Note que e que Os extremos da proporção são 6 e 18 e os meios 9 e 12

Propriedade Fundamental das Proporções

Em toda proporção o produto dos extremos é igual

ao produto dos meios e vice-versa.

Ou seja, dada a proporção a: b = c: d ou então

podemos escrever que:

a . d = b . c

Propriedade Fundamental das Proporções

Considerando a proporção , vemos que:

6 x 18 = 108 e que 9 x 12 = 108. Ou seja,

6 x 18 = 9 x 12

Exercícios

1) Usando a propriedade fundamental das proporções, verificar se os números 3, 7, 12 e 28 formam, nessa ordem, uma proporção.

Solução:Produto dos extremos: 3 x 28 = 84Produto dos meios: 7 x 12 = 84Logo, formam uma proporção.

Exercícios

2) Sabendo que os números 6, 24, 5 e x formam, nessa ordem, uma proporção, determinar o valor de x.Solução:Podemos escrever que e como sabemos6 x Logo, x = 20

Exercícios

3) Considerando, nesta ordem, os números a seguir, calcule a quarta proporcional dos números 1,5, 0,8 e 2,4.Solução:Chamaremos de quarta proporcional (x) o último número que forma a proporção: Assim, 0,8 Portanto, x = 1,28

Exercícios

4) Usando a propriedade fundamental das

proporções, resolver a equação

Solução:

2.(x+1) = 1.(x-2) ⇒2x + 2 = x -2 ⇒ x = -4Logo, a raiz da equação é x = -4

Exercícios

5) Em uma escola, para cada 4 meninas há 5 meninos estudando. Se há 580 meninos matriculados, quantos alunos estudam nessa escola?Solução: Calculando o número de meninas, temos: ⇒ Logo, estudam nessa escola 580 + 464 = 1044 alunos

Exercícios

6) A altura da maquete de um edifício é 80cm. Qual a altura real do prédio, sabendo que a maquete foi construída na escala 1 : 40?Solução:

Logo, a altura real do prédio é 32m