Área de Ciências Exatas Matemática - Curso Objetivo...as velocidades de ambos os carros se...
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Imagine os números inteiros não negativos formando aseguinte tabela:
a) Em que linha da tabela se encontra o número 319? Porquê?
b) Em que coluna se encontra esse número? Por quê?Resolução
Devemos observar que:1) Os números da 1ª linha da tabela são múltiplos de 3;2) Os números da 2ª linha da tabela são múltiplos de 3
acrescidos de 1;3) Os números da 3ª linha da tabela são múltiplos de 3
acrescidos de 2;
4) 319 | 3 —–— ⇔ 319 = 3 . 106 + 1.1 106
De (1), (2), (3) e (4) concluimos que 319 se encontra na 2ªlinha (o resto da divisão por 3 é igual a 1) e na 107ª coluna(o quociente da divisão por 3 é 106 o que indica queexistem 106 colunas antes do número 319).Respostas: a) 2ª linha
b) 107ª coluna
O triângulo ABC da figura é eqüilátero. Os pontos M e Ne os pontos P e Q dividem os lados a que pertencem emtrês segmentos de reta de mesma medida.
Nessas condições, calcule:a) a medida do ângulo MPQ(vértice P);
b) a medida do ângulo BMQ (vértice M).Resolução
a) O triângulo BMP é eqüilátero pois BM—–
≅ BP—
e B^
= 60°.
Assim, BP^
M = 60° e portanto MP^
Q = 120°
b) O triângulo MP^
Q é isósceles pois MP–—
≅ PQ—
≅ BP—
e
portanto, sendo α a medida dos ângulos PM^
Q e PQ^
M,
temos:
α + α + 120° = 180° ⇔ 2α = 60° ⇔ α = 30°
Assim,
BM^
Q = BM^
P + PM^
Q ⇔ BM^
Q = 60° + 30° ⇔
⇔ BM^
Q = 90°
Respostas: a) MP^
Q = 120° b) BM^
Q = 90°
A comunidade acadêmica de uma faculdade, composta deprofessores, alunos e funcionários, foi convocada aresponder “sim” ou “não” a uma certa proposta. Nãohouve nenhuma abstinência e 40% dos professores, 84%dos alunos e 80% dos funcionários votaram “sim”. Se aporcentagem global de votos “sim” foi 80%, determine arelação entre o número de alunos e o número deprofessores dessa faculdade.Resolução
Sendo p, a e f respectivamente os números deprofessores, alunos e funcionários desta faculdade tem-se:
40%p + 84%a + 80%f = 80%(p + a + f) ⇔
03
CQPB
M
N
A
02
0 3 6 9 12 ...1 4 7 10 13 ...2 5 8 11 14 ...
01
1CURSO OBJETIVO UNESP 1998
MatemáticaÁrea de Ciências Exatas
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⇔ 40%p + 84%a = 80%p + 80%a ⇔ 4%a = 40%p ⇔a
⇔ ––– = 10 ⇔ a = 10p p
Resposta: O número de alunos é dez vezes o número deprofessores.
Sejam a e b dois números reais positivos tais que a < b ea + b = 4. Se o gráfico da função y = |x – a| + |x – b|coin-cide com o da função y = 2 no intervalo a ≤ x ≤ b, calculeos valores de a e b.Resolução
Para a ≤ x ≤ b tem-se:
y = |x – a| + |x – b| = x – a – x + b == – a + b = 2 e a + b = 4. De – a + b = 2 e a + b = 4 tem-se a = 1 e b = 3.Resposta: a = 1 e b = 3
Os vértices da base de um triângulo isósceles são ospontos (1, –1) e (– 3, 4) de um sistema de coordenadascartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceirovértice, se ele pertence ao eixo das ordenadas?Resolução
Seja P(0; y), o terceiro vértice do triângulo, pertencente aoeixo das ordenadas.Se A(1; – 1) e B(– 3; 4) constituem a base do triânguloisósceles PAB, temos:
PA = PB ⇔ (0 – 1)2 + (y + 1)2 =
23= (0 + 3)2 + (y – 4)2 ⇔ y = –––
1023
Resposta: A ordenada é –––1
Um piloto de Fórmula 1 estima que suas chances de subirao pódio numa dada prova são de 60% se chover no diada prova e de 20% se não chover. O Serviço deMeteorologia prevê que a probabilidade de chover durantea prova é de 75%. Nessas condições, calcule aprobabilidade de que o piloto venha a subir ao pódio.Resolução
De acordo com o enunciado, temos:P(subir ao pódio) == P(subir ao pódio se chover) + P(subir ao pódio se não chover) == 60% . 75% + 20% . 25% =
= . + . = = 50%
Resposta: P(subir ao pódio) = 50%
Sejam a e b números reais positivos tais que a . b = 1.Se logca
b = logcba,
em que c é um número real (c > 0 e c ≠ 1), calcule osvalores de a e b. Resolução
1) Se a e b forem reais positivos e ab = 1 então a > 0, b > 0 e a = b–1
2) logc(ab) = logc(b
a) ⇔ ab = ba
De (1) e (2) temos:
(b–1)b= ba ⇔ b–b = ba ⇔ –b = a ou b = 1 ⇔
⇔ b = 1 (pois a > 0, b > 0)
Se ab = 1 e b = 1 então a = b = 1Resposta: a = b = 1
Na figura, os planos α e β são perpendiculares e seinterceptam segundo a reta r. Os pontos A, B, C e D, comA e D em r, são os vértices de um quadrado e P é o pontode interseção das diagonais do quadrado. Seja Q, em β, oponto sobre o qual cairia P se o plano α girasse de 90° emtorno de r, no sentido indicado na figura, até coincidir com β.
Se AB = 2 3 , calcule o volume do tetraedro APDQ.Resolução
Q
C
BA
hhO
D
r
α
β
P
D
Q
P
B
A α
β
r
08
07
50––––100
25––––100
20––––100
75––––100
60––––100
06
05
04
2CURSO OBJETIVO UNESP 1998
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Sendo h = OP = OQ, onde O é a projeção ortogonal doponto P sobre o plano β, S a área do triângulo APD e V ovolume do tetraedro APDQ, tem-se:
AB1) h = –––– = –––––––
2 3= 3
2 2
AD . OP 2 3 . 32) S = ––––––––– = ––––––––––––– = 3
2 2
S . h3) V = ––––– = ––––––––
3 . 3= 3
3 3
Resposta: O volume do tetraedro APDQ é igual a 3 .
Os coeficientes do polinômio f(x) = x3 + ax2 + bx + 3 sãonúmeros inteiros. Supondo que f(x) tenha duas raízesracionais positivas distintas.a) encontre todas as raízes desse polinômio;b) determine os valores de a e b.Resolução
a) Seja f(x) = x3 + ax2 + bx + 3, com a ∈ Z e b ∈ Z. Aspossíveis raízes racionais de f(x) pertencem aoconjunto – 1; 1; – 3; 3Se f(x) tem duas raízes racionais positivas distintas,então 1 e 3 são essas raízes.Pelas Relações de Girard, temos:
a3 3P = x1 . x2 . x3 = – –––– ⇒ 1 . 3 . x3 = – –––– ⇔
a0 1
⇔ x3 = – 1.
Portanto as raízes de f(x) são: –1; 1 e 3b) Sabendo que 1 e – 1 são raízes de f(x), temos:
f(1) = 0 ⇔ 13 + a . 12 + b . 1 + 3 = 0 ⇔
⇔ a + b = – 4 I
f(–1) = 0 ⇔ (– 1)3 + a . (– 1)2 + b . (–1) + 3 = 0 ⇔
⇔ a – b = – 2 II
De I e II, concluimos que: a = – 3 e b = – 1.
Respostas: a) As raízes são – 1, 1 e 3b) a = – 3 e b = – 1
Considere um cone circular reto cuja altura e cujo raio da
base são indicados, respectivamente por h e r. Na
circunferência da base, tome dois pontos, A e B, tais que
AB = r e considere o plano α determinado por A, B e o
vértice do cone. Prove que o ângulo formado pelo eixo do
cone e o plano α mede 30° se, e somente se, h = .
Resolução
Seja θ a medida do ângulo agudo MV^
O, que o eixo OV↔
docone forma com o plano α determinado por A, B e ovértice V do cone.OM—–
é a altura do triângulo eqüilátero OBA e portanto
OM = ––––––––OB . 3
⇔ OM = ––––––––r 3
2 2
Assim:
I) Se θ = 30°, então:
–––––r 3
OM 2 3 3r–––– = tg30° ⇒ ––––––– = ––––– ⇒ h = ––––OV h 3 2
3rII) Se h = ––––, então:
2
–––––r 3
2 3 tg θ ⇒ ––––––– ⇒ tg θ = ––––– ⇒
3r 3 ––––
2⇒ θ = 30° (pois θ é agudo)
De (I) e (II) tem-se finalmente:
3rθ = 30° ⇔ h = ––––
2Resposta: Demonstração
3r–––2
10
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3CURSO OBJETIVO UNESP 1998
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No ensino médio, as grandezas físicas costumam serclassificadas em duas categorias. Na primeira categoria,estão as grandezas definidas apenas por um número euma unidade de medida; as grandezas da segundacategoria requerem, além disso, o conhecimento de suadireção e de seu sentido.a) Como são denominadas as duas categorias, na
seqüência apresentada?b) Copie a tabela seguinte em seu caderno de respostas
e preencha corretamente as lacunas, indicando umagrandeza física da área de mecânica e outra da área deeletricidade, para cada uma dessas categorias.
área 1ª categoria 2ª categoriamecânica ..................... ......................eletricidade ...................... ......................
Resolução
a) 1ª categoria: grandezas escalares2ª categoria: grandezas vetoriais ou orientadas.
b) área 1ª categoria 2ª categoriamecânica: energia quantidade de
movimentoeletricidade: potencial elétrico campo elétrico
O segundo, s, é a unidade de medida de tempo do SI(Sistema Internacional). Atualmente, seu valor é obtidopor meio de um relógio atômico, cujo funcionamento ébaseado na radiação emitida pelo átomo de césio 133 natransição entre dois níveis atômicos bem determinados.Assim, o segundo é definido como a duração de 9 192 631 770 períodos dessa radiação.a) Qual a freqüência dessa radiação?b) Qual o período dessa radiação? Dê sua resposta em
forma de fração.Resolução
De acordo com o texto:1s = 9 192 631 770 TPortanto:
1a) f = ––– = 9 192 631 770 Hz
T
1b) T = ––––––––––––– (s)
9 192 631 770
Um carro, A, está parado diante de um semáforo. Quandoa luz verde se acende, A se põe em movimento e, nesseinstante, outro carro, B, movimentando-se no mesmosentido, o ultrapassa. Os gráficos seguintes representama velocidade em função do tempo, para cada um doscarros, a partir do instante em que a luz verde se acende.
a) Examinando os gráficos, determine o instante em queas velocidades de ambos os carros se igualam.
b) Nesse instante, qual a distância entre os dois carros?Resolução
a) Observando os gráficos, notamos que cada unidade noeixo das velocidades corresponde a 1,5 m/s.No instante t = 10 s os dois carros têm a mesmavelocidade escalar de 9,0 m/s.
b) Para calcularmos a distância entre os carros, calculemoso deslocamento escalar de cada carro e admitamos que
00
0
0
0
13
12
11
4CURSO OBJETIVO UNESP 1998
Física
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ambos descrevem trajetórias retilíneas e paralelas:
n∆ s = área (V x t)
9,0 . 10∆sA = ––––––– (m) = 45 m210
∆sB = (12 + 9,0) ––– (m) = 105 m2
d = ∆sB – ∆sA
Respostas: a) t = 10 s b) d = 60 m
Um corpo de massa 3,0 kg desloca-se livremente, emmovimento retilíneo uniforme, sobre uma superfíciehorizontal perfeitamente lisa, com velocidade de 4,0 m/s.A partir de certo momento, a superfície se torna áspera e,devido à força de atrito constante, o corpo pára.a) Calcule a energia dissipada pela força de atrito que
atuou no corpo.b) Sabendo que a força de atrito atuou por 2,0 s, calcule
o módulo (intensidade) dessa força.Resolução
m V02
a) Ed = Ecin0
= ––––––2
3,0Ed = –––– . (4,0)2 (J) ⇒
2
b) Teorema do Impulso:
I→
at = ∆Q→
= Q→
f – Q→
0
I→
at = –Q→
0
| I→
at | = | Q→
0 |
Fat . ∆t = m V0
Fat . 2,0 = 3,0 . 4,0
Respostas: a) 24 J b) 6,0 N
Um bloco de madeira de massa 0,63 kg é abandonadocuidadosamente sobre um líquido desconhecido, que seencontra em repouso dentro de um recipiente. Verifica-seque o bloco desloca 500 cm3 do líquido, até que passa aflutuar em repouso.a) Considerando g = 10,0 m/s2, determine a intensidade
(módulo) do empuxo exercido pelo líquido no bloco.b) Qual é o líquido que se encontra no recipiente? Para
responder, consulte a tabela seguinte, após efetuarseus cálculos.
líquidomassa específica (g/cm3)à temperatura ambiente
álcool etílico 0,79benzeno 0,88
óleo mineral 0,92água 1,00leite 1,03
glicerina 1,26
15
Fat = 6,0 N
Ed = 24 J
14
d = 60 m
105 m
5CURSO OBJETIVO UNESP 1998
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Resolução
a) Para o bloco flutuando, em equilíbrio, temos:
E = Pcorpo = m g
E = 0,63 . 10,0 (N) ⇒
b) De acordo com a lei de Arquimedes:
E = µL Vi g
6,3 = µL . 500 . 10–6 . 10
µL = 1,26 . 103 kg/m3
De acordo com a tabela, o líquido em estudo é a glicerina.
Respostas: a) 6,3 N b) glicerina
O gás de um dos pneus de um jato comercial em vôoencontra-se à temperatura de –33 °C. Na pista,imediatamente após o pouso, a temperatura do gásencontra-se a +87°C.a) Transforme esses dois valores de temperatura para a
escala absoluta.b) Supondo que se trate de um gás ideal e que o volume
do pneu não varia, calcule a razão entre as pressõesinicial e final desse processo.
Resolução
a) A escala Kelvin é também chamada de escala absoluta.Assim, usando a equação da conversão entre asescalas Kelvin e Celsius, temos:T = θc + 273
T1 = –33 + 273 ⇒
T2 = 87 + 273 ⇒
b) Usando a lei Geral dos Gases e fazendo V1 = V2,temos:
p1 V1 p2 V2 p1 p2–––––– = –––––– ⇒ –––– = ––––T1 T2 T1 T2p1 p2––––– = ––––
240 360
p1 240 p1 2––––– = ––––– ⇒ –––– = ––––
p2 360 p2 3
Respostas: a) 240 K e 360 K b) 2/3
Um estudante veste uma camiseta em cujo peito se lê ainscrição seguinte:
UNESP
a) Reescreva essa inscrição, na forma que sua imagemaparece para o estudante, quando ele se encontrafrente a um espelho plano.
b) Suponha que a inscrição esteja a 70 cm do espelho eque cada letra da camiseta tenha 10 cm de altura. Quala distância entre a inscrição e sua imagem? Qual aaltura de cada letra da imagem?
Resolução
a) No espelho, a imagem observada é enantiomorfa aoobjeto, isto é, é invertida no eixo horizontal.Objeto na camiseta
UNESP
b) No espelho plano, a imagem e o objeto são simétricosem relação ao espelho.
Portanto, a distância entre o objeto e a imagem vale:
Em virtude da simetria, em um espelho plano, a ima-gem tem o mesmo tamanho do objeto.Assim, a altura de cada letra é de 10 cm, igual à doobjeto.
Respostas: a) b) 140 cm e 10 cm
Normalmente, aparelhos elétricos têm manual deinstruções ou uma plaqueta que informam a potência que
18
UNESP
d = 140 cm
17
T2 = 360 K
T1 = 240 K
16
µL = 1,26 g/cm3
E = 6,3 N
6CURSO OBJETIVO UNESP 1998
imagem no espelho plano
UNESP
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absorvem da rede elétrica para funcionar. Porém, se essainformação não estiver disponível, é possível obtê-lausando o medidor de energia elétrica da entrada daresidência. Além de mostradores que permitem a leiturado consumo de cada mês, o medidor tem um disco quegira quando energia energia elétrica está sendoconsumida. Quanto mais se consome, mais rápido gira odisco.Usando esse medidor, um estudante procedeu daseguinte forma para descobrir a potência elétrica de umaparelho que possuía.• Inicialmente, desconectou todos os aparelhos das
tomadas e apagou todas as luzes. O disco cessou degirar.
• Em seguida, ligou apenas uma lâmpada de potênciaconhecida, e mediu o tempo que o disco levou para daruma volta completa.
• Prosseguindo, ligou ao mesmo tempo duas, depois três,depois quatro, ... lâmpadas conhecidas, repetindo oprocedimento da medida. A partir dos dados obtidos,construiu o gráfico do tempo gasto pelo disco para daruma volta completa em função da potência absorvida darede, mostrado na figura.
Finalmente, ligando apenas o aparelho cuja potênciadesejava conhecer, observou que o disco levavaaproximadamente 30 s para dar uma volta completa.a) Qual a potência do aparelho?b) O tempo gasto pelo disco e a potência absorvida são
grandezas diretamente proporcionais ou inversamenteproporcionais? Justifique sua resposta.
Resolução
a) Do gráfico, para t = 30 s, vem:
b) O tempo (t) gasto pelo disco e a potência (P) absorvida
são grandezas inversamente proporcionais, pois oproduto P . t é constante. O valor dessa constante é7500 W.s e corresponde à energia consumida numavolta completa do disco.
Respostas: a) 250 W b) inversamente proporcionais
Três resistores, de 10, 20 e 40 ohms, e um gerador deforça eletromotriz ε e resistência interna desprezível estãoligados como mostra a figura.
Supondo que o resistor de 20 ohms está sendoatravessado por uma corrente de 0,5 A, determine:a) A diferença de potencial entre os extremos dos
resistores em paralelo.b) O valor da força eletromotriz εResolução
a) A resistência equivalente Rp para os resistores emparalelo é dada por:
10 . 40Rp = ––––––– (Ω) ⇒
50
A ddp nos extremos da associação é dada por:
Up = Rp . i
Up = 8,0 . 0,5 (V) ⇒
b) O valor de ε é dadopor:
ε = Rtotal . i
ε = (8,0 + 20) 0,5 (V)
ε = 14 V
Up = 4,0 V
Rp = 8,0 Ω
εΩ
Ω
Ω
19
P = 250 W
7CURSO OBJETIVO UNESP 1998
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Considere as seguintes experiências de laboratório:I – Adição de uma solução aquosa de brometo de
sódio a uma solução aquosa de nitrato de prata,ambas de mesma concentração em mol/L.
II – Adição de uma solução aquosa de ácido sulfúrico aum pedaço de zinco metálico.
III – Adição de um pedaço de sódio metálico à água.IV – Borbulhamento de cloreto de hidrogênio em água.V – Adição de uma solução aquosa concentrada de clo-
reto de bário a uma solução aquosa, de igualconcentração em mol/L, de carbonato de sódio.
a) Escreva as equações químicas balanceadas correspon-dentes às experiências nas quais há formação deprecipitado.
b) Escreva os nomes oficiais dos precipitados formados.Resolução
I – NaBr(aq) + AgNO3(aq) → AgBr(s) + NaNO3(aq)II – Zn(s) + H2SO4(aq) → ZnSO4(aq) + H2(g)
1III – Na(s) + H2O(l) → NaOH(aq) + ––– H2(g)2
H2OIV – HCl(g) →
← HCl(aq) →← H+(aq) + Cl–(aq)
V – BaCl2(aq) + Na2CO3(aq) → BaCO3(s) + 2 NaCl(aq)a) As equações químicas que produzem precipitados são:
I e V.b) AgBr: brometo de prata.
BaCO3: carbonato de bário.
As máscaras de oxigênio utilizadas em aviões contêmsuperóxido de potássio (KO2) sólido. Quando a máscara éusada, o superóxido reage com o CO2 exalado pelapessoa e libera O2, necessário à respiração, segundo aequação química balanceada:
4 KO2 (s) + 2CO2 (g) → 2K2CO3 (s) + 3O2 (g)
Calcule:a) a massa de KO2, expressa em gramas, necessária para
reagir com 0,10 mol de CO2.b) o volume de O2 liberado a 0°C e 760 mm Hg, para a
reação de 0,4 mol de KO2.Massas molares, em g/mol: C = 12; O = 16; K = 39.Volume molar dos gases (CNTP) = 22,4L.Resolução
a) 4KO2(s) + 2 CO2(g) → 2 K2CO3(s) + 3 O2(g)4 mol 2 mol↓ ↓
4 . 71g –––––– 2 molx –––––– 0,10 mol
b) 4 KO2(s) + 2 CO2(g) → 2 K2CO3(s) + 3 O2(g)4 mol 3 mol↓ ↓4 mol –––––––––––––––––––––––––––––– 3 . 22,4L
0,4 mol –––––––––––––––––––––––––––––– x
Para a reação entre propionato de terc-butila e hidróxidode sódio, em solução aquosa, escreva:a) a equação química balanceada da reação.b) os nomes oficiais dos produtos da reação.Resolução
a) A reação entre o propionato de terc-butila e o hidróxidode sódio é:
b) Os nomes oficiais dos produtos são, respectivamente:propanoato de sódio e 2-metil-2-propanol.
A utilização de uma mistura sólida de Pt com NiO emescapamentos de carros possibilita a oxidação completade monóxido de carbono, reduzindo a poluição atmos-férica. A mesma mistura sólida promove também a oxida-ção completa (combustão) do isooctano (C8H18), o princi-pal componente da gasolina.a) Explique por que a mistura Pt/NiO favorece a oxidação
completa nos dois processos.b) Indique quais são os produtos das duas reações.
23
H3C — CH
2 — C
—
O — C — CH3
——O—
—CH
3
CH3
+ NaOH →
CH3 — CH
2 — C
——O
—
O–Na+
+ HO — C — CH3
——
CH3
CH3
→
22
x = 6,72L
x = 14,2g
21
20
8CURSO OBJETIVO UNESP 1998
Química
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Resolução
a) A mistura Pt/NiO atua nas duas reações comocatalisador, isto é, aumenta a velocidade da reação.
b) Oxidação completa de monóxido de carbono
1CO + ––– O2 → CO22produto (gás carbônico)
Combustão completa do isooctano (C8H18)
25C8H18 + ––––– O2 → 8 CO2 + 9 H2O
2produtos (gás carbônico e água)
Quando se mergulha um pedaço de fio de cobre limpo emuma solução aquosa de nitrato de prata, observa-se o apa-recimento gradativo de um depósito sólido sobre o cobre,ao mesmo tempo que a solução, inicialmente incolor, vaise tornando azul.a) Por que aparece um depósito sólido sobre o cobre e
por que a solução fica azul?b) Escreva a equação química balanceada da reação que
ocorre.Resolução
a) O depósito sólido ocorre porque há migração de íonsAg+1(ag) para o fio de cobre, sofrendo redução etransformando-se em prata metálica Ag0(s). A soluçãofica azul devido à oxidação do cobre metálico Cu0(s),transformando-se em íons Cu+2(aq) que possuicoloração azul. A reação ocorre porque o Cu2+ temmenor potencial de redução que o Ag+.
b) Cu0(s) → Cu+2(aq) + /2e–
2Ag+1(aq) + /2e– → 2 Ag0(s)––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Cu0(s) + 2 Ag+1(aq) → Cu+2(aq) + 2 Ag0(s)
Garrafas plásticas descartáveis são fabricadas com o polí-mero PET (polietilenotereftalato), obtido pela reação entreo ácido tereftálico e o etilenoglicol, de fórmulas estrutu-rais:
a) Empregando fórmulas estruturais, escreva a equaçãoquímica da reação entre uma molécula de ácidotereftálico e duas moléculas de etilenoglicol.
b) Identifique e assinale a função orgânica formada, nafórmula estrutural do produto da reação.
Resolução
a) A reação entre uma molécula de ácido tereftálico eduas moléculas de etilenoglicol é uma esterificação:
b) A função orgânica formada é éster, identificada pela
presença do grupo , conforme as-
sinalado no produto do item a.
— C
—
O — CH2 —
——O
HO CH2 CH2 OH +
O
C
HO=
=C +=
=
O
HO
HO – CH2 – CH2 – OH →
→ HO – CH2 – CH2 – O – C
O
=
C + 2 H2O=
O
O
–
– CH2 – CH2 – OH
ácido tereftálico
C
O
HO
C
O
OHH — C — C — H
— —
— —
H H
OH OH
etilenoglicol
25
fio de cobre (Cu0 (s))
Ag+1NO–1(aq)3
Cu+2
24
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Respostas: a) 4,0 V b) 14 V
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