R E C O N S T R U Ç Ã O DE IMAGEM EM TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA

USANDO O MÉTODO DE C O N V O L U Ç Ã O

Ana Maria de Oliveira Rebelo

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M. Sc.) EM ENGENHARIA NUCLEAR

^5 RIO DE JANEIRO, R J - BRASIL MARÇO DE 1984

RECONSTRUÇÃO DE IMAGEM EM TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA

USANDO O MÉTODO DE CONVOLUÇÃO

Aria Maria de Oliveira Rebelo

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE

PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE

JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO

GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M. Sc.) EM ENGENHARIA NUCLEAR

Aprovada por:

Prk^f^^ohn^Doijiglas Rogerí (Pi'üi.-'K'cnte)

Prcf3 V/ilrn£. dor Santos Bastos

arlo^'Dorges

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARÇO HE 1984

COMISSÃO NACIONAL DE E N E R G I A N U C L E A R / S P - IPEN

REBELO, ANA MARIA DE OLIVEIRA

Reconstrução de Imagem em Tomografia Computadorizada

Usando o Método de Convolução (Rio de Janeiro) 1984.

xl, 8 9 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M. S c , Engenharia

Nuclear, 1984)

Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE

1. Reconstrução de Imagens I. COPPE/UFRJ II. Titulo

(série)

lli

A meus pais

Josefino e Laurinda

A minhas irmãs

Maria de Fátima, Maria Lucia e

Maria Olivia

iv

AGRADECIMENTOS

Ao professor JOHN DOUGLAS ROGERS pela orientação, su

gestões e pelo interesse com que sempre acompanhou este trabalho.

A CESAR ANTONIO CAGGIANO SANTOS, pela ajuda na solu­

ção de problemas surgidos durante o trabalho e pelo interesse.

A RICARDO TADEU LOPES pela elaboração gráfica das fi_

guras apresentadas neste trabalho.

A todos os professores e funcionários do Programa de

Engenharia Nuclear.

Aos Colegas do NÚcleo de Computação Eletrônica pelo

apoio e ajuda durante este trabalho.

A todos os amigos que encontrei e que agora fazem par

te da minha vida, por tudo que me ensinaram. A esses amigos, não

cito nomes para não esquecer, muito obrigada.

À Prof3 V;iLMA DOS SANTOS BASTOS e Prof. JOSÉ CARLOS

BORGES pela participação na banca examinadora desta tese.

À COMISSÃO NACIONAL DE ENERGIA NUCLEAR—neJ-o_i»-g>':>x,Tv—-e,-t ^

nanceiro prestado.

#

À TEREZA pela datilografia deste trabalho, paciência

e interesse com que sempre me tratou.

A minha família e amigos pelo apoio e carinho dados

durante todo este trabalho.

 minha sobrinha OLÍVIA por todo o carinho.

CCMISCAO NACIONAL DE E N E R G I A N U C L E A R / S P - IP£^

vi

Este modelo consiste rum sistema descontinuo formado

por um arranjo N x N células (pixels). A atenuação no objeto de

um feixe colimado de radiação gama foi determinada para várias

posições e ângulos de incidência (projeções) em termos da intera

ção do .feixe com os pixels interceptados. A contribuição de cada

pixel na atenuação do feixe foi determinada pela função peso ,,

usada apenas para testes simulados.

Foram realizados testes simulados em objetos padrão

com coeficiente de atenuação u na faixa de 0,2 a 0,7 cm ^, usan­

do arranjos de pixel de até 25 x 25. Também foi simulada uma apli_

cação na área médica, dos ossos do ante-braço, com coeficiente de ate

nuação na região de 0,2 a 0,5 cm"''' e com um arranjo de pixels de

41 x 41.

Resumo da tese apresentada à COPPE/UFRJ, como parte dos requisi­

tos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciencias

(M. Se.)

RECONSTRUÇÃO DE IMAGEM EM TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA

USANDO O MÉTODO DE CONVOLUÇÃO

Ana Maria de Oliveira Rebelo

Março de 1984

Orientador: John Douglas Rogers

Programa de Engenharia Nuclear

Neste trabalho montou-se um algoritmo, utilizando-se

o modelo analítico de convolução ou retroprojeção filtrada para

a reconstrução de imagens bidimensionais ou tridimensionais em

tomografia computadorizada aplicada a testes, não-destrutivos e á

área médica. Este modelo matemático parte do modelo analítico da

Transformada de Fourier para reconstrução de imagens.'

Os resultados simulados indicam que para objetos com

um número grande de interfaces e grandes variações dos coeficien

tes de atenuação nessas interfaces, uma boa reconstrução é obti­

da com um número de projeções igual à dimensão da matriz de re­

construção (arranjo de células). Caso contrário, obtem-se uma boa

reconstrução com poucas projeções.

vili

Abstract of thesis presented to COPPE/UFRJ as partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M. Sc.)

IMAGE RECONSTRUCTION IN COMPUTERIZED TOMOGRAPHY USING THE CONVOLUTION METHOD

Ana Maria de Oliveira Rebelo March 1984

Chairman: John Douglas Rogers Nuclear Engineering Program

In the presente work an algorithm was derived, using the analytical convolution method (filtered back-projection) for two-dimensional or three-dimensional image reconstruction in com puterized tomography applied to non-destructive testing and to the medical use. This mathematical model is based on the analyti_ cal Fourier Transform method for image reconstruction.

This model consists of a discontinuous system formed by an N X N array of cells (pixels). The attenuation in the ob­ject under study of a colimated gamma ray beam has been determi­ned for various positions and incidence angles (projections) in terms of the Interaction of the beam with the intercepted pixels. The contribution of each pixel to beam attenuation was determi­ned using the weight function W . which was used for simulated tests.

Simulated tests using standard objects with attenua-;lents in the range of 0,2 ti

out using cell arrays of up to 25 x 25. tion coefficients in the range of 0,2 to 0,7 cm ^, were carried

One application was carried out in the medical area simulating image reconstruction of an arm phantom with attenua­tion coefficients in the range of 0,2 to 0,5 cm"' using cell ar-

ix

rays of 41 x 41. «

The simulated results show that, in objects with a great number of interfaces and great variations of attenuation coefficients at these interfaces, a good reconstruction is ob­tained with the number of projections equal to the reconstruct­ion matrix dimension. A good reconstruction is otherwise obtain ed with fewer projections.

CCMISSAO NACiCNAL CE E N E R G I A N U C L E A R / S P - IPEN

ÍNDICE

CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO 1

I. 1 - OBJETIVOS 4

CAPÍTULO II - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .' 5

CAPÍTULO III - TEORIA 8

III. 1 - INTERAÇÃO DA RADIAÇÃO GAMA COM A MATÉRIA ... 8

III. 1 . 1 - Processos de Interação 8

III. 1 . 2 - Atenuação do Raio Gama 14

III. 2 - TOMOGRAFIA RECONSTRUTIVA 16

III. 2. 1 - Reconstrução Tridimensional .... 19

III. 3 - TÉCNICA DE RECONSTRUÇÃO ANALÍTICA - CONVOLU­

ÇÃO 20

III. 3. 1 - Modelo Matemático de Reconstru­

ção 20

III. 3. 3 - Bases Matemáticas 22

III. 3. 3 - Desenvolvimento do Método 24

III. 4 - ALGORITMO DO MÉTODO 31

CAPÍTULO IV - RESULTADOS 36

IV. 1 - TESTES SIMULADOS • 36

CAPÍTULO V - DISCUSSÕES E CONCLUSÕES 67

xi

BIBLIOGRAFIA 7 3

APÊNDICE I - DEMONSTRAÇÃO DAS EQUAÇÕES (III. 12) e (III. 13) .79

APÊNDICE II - DESENVOLVIMENTO DA EQUAÇÃO (III. 24) 84

APÊNDICE III - MÉTODO DE INTERPOLAÇÃO SPLINES CUBICA 87

CAPITULO I

INTRODUÇÃO

I - INTRODUÇÃO

A técnica de reconstrução de imagens foi primeiro de

senvolvida por Bracewell'^' (1956) para uso na radioastronomia ,

com a finalidade de identificar regiões do sol, emissoras de ra­

diação de micro-onda. Em seguida foi aplicada na microscopia ele

tronica, no estudo de biomoléculas complexas, mas foi na radiólo

gia médica que a reconstrução de imagens teve um grande desenvol_

vimento, obtido pela técnica conhecida como Tomografia Computado

rizada.

Na radiografia convencional, as imagens produzidas

são resultantes da atenuação de raios X através de camadas (pla­

no longitudinal), com diferentes coeficientes de absorção, no

corpo em estudo. Assim, a resolução contida na radiografia é mui^

to limitada devido à superposição de imagens de diferentes cama­

das que dão origem a sombras sobre a área investigada.

Numa tentativa de melhorar a nitidez da imagem, foi

\ desenvolvida a tomografia convencional . Nesta técnica, a fon­

te move-se em um sentido e o filme no sentido oposto, mantendo a

imagem do plano de interesse continuamente focalizada, enquanto

que as imagens das outras camadas surgem nos filmes como borrões

(desfocalizadas). A tomografia convencional mostrou assim, baixo

contraste de imagem devido à superposição de muito ruído (cama­

das desfocalizadas) com o sinal (camada focalizada).

O ideal seria uma imagem somente do plano de intere£

se, sem a interferência de outros planos. As bases matemáticas pa

ra a solução desse problema existiam desde 1917, no trabalho do

|3|

matemático austríaco Johann Radon que foi desenvolvido por Da

vid Kuhl em 1963 (Tomografia Computadorizada Axial). Em seu mé

todo, um feixe colimado de radiação atravessa uma estreita seção

transversal do corpo e o filme é substituído por um sistema de de

teção mais sofisticado. Atra.vés de um movimento síncrono, da fon

te de raios X e detetor em torno de um eixo perpendicular à seção

transversal, produzia-se uma imagem somente da seção transversal

escolhida (veja Capítulo III. 3.2).

A idéia da primeira técnica de reconstrução de imagem

agora conhecida como retro-projeção (veja Capítulo III. 3.2),foi

patenteada por Oldendorf(1961). Nessa técnica, em seguida de

senvolvida por Vainshtein'^' (1970) e Gordon'^' (1974), a recons

trução não era nítida, devido a certas limitações do método. Cor

reções foram então necessárias, usando-se o método analítico de

Transformada de Fourier (espaço recíproco) ou de convolução (es­

paço real).

o princípio de reconstrução de imagens utilizado em

Tomografia Computadorizada é usado para a visualização de estru-

turas anatômicas, e também no campo da medicina nuclear para a vi

sualização de órgãos, através de radionuclídeos emissores de pósi

trons ou radiação gama (Tomografia Computadorizada por Emissão),

ou da transmissão de radiação pela área investigada (Tomografia

Computadorizada por Transmissão).

A importancia da Tomografia Computadorizada está na

capacidade de distinguir quantitativamente pequenas diferenças na

atenuação da radiação pelo corpo humano. Essas diferenças de ate

nuação podem ser associadas às diferenças de densidade fisica do

corpo investigado.

Muitos dos algoritmos desenvolvidos para reconstru­

ção de imagens tiveram suas origens nas diversas áreas da Ciên­

cia, como radioastronomia e microscopia eletrônica mas, sem dúv¿

da, apresentaríim um maior impulso após o desenvolvimento da Tomo

grafia para a medicina. '

O primeiro tomógrafo computadorizado comercial, para

a área médica, capaz de obter imagens de alta resolução, foi pro

181

jetado por Hounsfield no Central Research Laboratory de EMI,

na Inglaterra, em 1967. Esse tomógrafo foi projetado para tomada

de medidas apenas da cabeça,e os dados eram analizados utilizan­

do-se uma técnica iterativa de reconstrução. Em 1974 foi projeta

da, pela National Biomedical Research Foundation, nos Estados Uni^

dos, uma outra m.áquina, cujo emprego se destinava a qualquer par-

te do corpo e que se chamava ACTA (Automatic Computerized Trans­

verse Axial) - Ledley'^'. A técnica de reconstrução usada era a

de Convolução.

Uma das preocupações em tomografia .médica é o tempo de

aquisição de dados pelo sistema. Esta preocupação é devida a dois

importantes fatores:

- Dose recebida pelo paciente e

- Nitidez da imagem, já que movimentos do corpo (res­

piração, pulsações arteriais, batimentos cardíacos) fazem com que

a imagem perca sua nitidez.

Procura-se assim o desenvolvimento de tomógrafos com

a mais alta taxa de obtenção de dados. Com essa finalidade, utili^

zam-se diversas fontes de raios X, assim como um conjunto de dete

tores. r

ê

I. 1 - OBJETIVOS

O objetivo principal deste trabalho é o desenvolvimen

to de um algoritmo, usando o método analítico de Convolução para

a utilização em tomografia computadorizada aplicada a testes não

destrutivos de objetos industriais, assim como na área "médica, no

estudo ósseo. .

CAPITULO II

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

II - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A Tomografia Convencional ou plano-focal foi introdu-O

zida por Bocage'''"' ' em 1921, quando obteve imagens através da

transmissão de raios X.

A origem da Tomografia reconstrutiva de raios X é en-

centrada no estudo da Tomografia convencional de Takahashi

(1957) que melhorou o sistema de Bocage, colocando a fonte de

raios X e o filme num mesmo plano retirando assim a interferência

de outros planos.

Mais tarde surgiram trabalhos com fontes de raio gama,

para aplicação nos métodos de transmissão'^' e de emissão '' '

através do uso de radionucLÍdeos.

Uma solução matemática, isto é, a determinação da fun

ção distribuição de densidade da região investigada, através do

raio-soma p (l; e) (veja Capítulo III. 3.2) foi primeiro encontra

I 3 I ,

da por Radon (lál7). A mesma solução foi encontrada por Berry

e Gibbs'""" ' (1970) e Junginger e Van Kaeringen' "'"'' (1972).

Nenhuma reconstrução numérica foi investigada até ao

ano de 1956, quando Bracewell' ' desenvolveu a técnica de recons

trução dè imagens para uso em radioastronomia, na identificação

de regiões do sol emissoras de microondas.

Oldendorf'^' (1961) foi o primeiro a usar o método de

retroprojeção na reconstrução de imagens através de raios X.

Alterações na reconstrução de imagens por retro-pro­

jeção, na tentativa de tornar nítida a reconstrução, foram discuti_

das por Vainshtein '-^ (1970) e outros, como Bates e Peters '' ^

(1971) que propuseram o uso da Transformada de Fourier, e Muehl^

lehner e Vitael'"""^' (1971).

O método da Transformada de Fourier foi sugerido por

117 I

De Rosier, Klug e Hoppe (1968) para a reconstrução tridimen­

sional era microscopia eletrônica e tem sido aplicado em radiogra

fia'^^' Uma discussão matemática da aproximação foi da-

da por Crowther'^^' (1970) e uma visão geral com exemplos em mi-

• I 211 croscopia eletrônica foram apresentados por De Rosier (1971).

As bases matemáticas para o método einalítico de re­

construção, chamado "método de convolução" foram propostas, pri-

I 22 1

meiramente, por Bracewell e Riddle (1967) e mais tarde redes I23 24 I X

cobertas por Ramachandran e Lakihminarayanan ' (1971). O

algoritmo destes últimos pesquisadores foi colocado numa formage

r,nMlsí^£n mcimiA D F FNERGIA N U C L E A R / S P - tPt f

|25l

neralizada por Herman e Rowland (1973), onde as larguras dos

raios não eram necessariamente iguais, podendo variar de proje­

ção para projeção, e as projeções não eram igualmente espaçadas.

I 25 I

Herman e Rowland apresentaram um estudo compara­

tivo de reconstrução de imagem por três métodos: I), ART 2; II)

CONVOLUÇÃO; III) SIRT, sendo ART (Algebric Reconstruction Techni_

que) e SIRT (Simultaneous Iterative Reconstruction Technique).

CAPÍTULO III

TEORIA

III. 1 - INTERAÇÃO DA RADIAÇÃO GAMA COM A MATÉRIA

A interação da radiação gama com a matéria ocorre prin

cipalmente com a camada eletrônica do material.

Os principais processos de interação são:

a - Absorção fotoelétrica (efeito fotoelétrico)

b - Espaltiamento Compton

c - Produção de pares

III. 1 . 1 - Processos de Interação

a - Absorção fotoelétrica

Neste processo/ o foton é absorvido pelo átomo do mate

rial, causando o desligamento de um elétron da configuração eletrô

nica. A energia do foton-y (hv) é convertida em energia de ligação

(E ) e cinética (E__ ) do elétron. L 0 IN

hv = Ej_ . È^^^ (III. 1)

Se o foton incidente possuir uma energia hv maior que

a energia de ligação do elétron da carnada K, teremos uma probabi­

lidade maior de interação do fóton com o elétron dpsta camada.

A remoção de elétrons da camada K dá origem à emissão

de raio-X, quando elétrons de níveis mais altos calem para o ní­

vel deixado pelo fotoelétron.

A probabilidade de interação de um fóton com um átomo,

coeficiente de absorção total, é Z (número atômico) vezes o coefi­

ciente definido para a interação com um elétron.

O processo fotoelétrico é predominante para baixas ener

gias e materiais com alto número atômico Z. Pode-se verificar essa

dependência na expressão (III. 2.) para a seção de choque de absor-

çao fotoelétrica. Essa expressão e valida para uma determinada fai

I 36 I

xa de energia do fóton-Y

A o- = — ^ (III. 2)

(hv)

onde n esta entre 4 e 5, m entre 1 e 3

A = 1,25 x 10~^

para

hv•> 0,5 MeV n = 4 ,5, m = 1

hv < 0,5 MeV n = 4, m = 3

b - Efeito Compton

O efeito Compton é um espalhamento inelástico entre um

fóton e um elétron, onde parte da energia do fóton é transferida

para o elétron e a energia do fóton original é reduzida por uma

quantidade igual.

ELÉTRON COMPTON

ELÉTRON ATÔMICO^

FOTON INCIDENTE

FDTON ESPALHADO

Figura III. 1 - Espalhamento Compton

Essa interação pode ser considerada como ocorrendo en­

tre o fóton e um elétron livre, se admitirmos que a energia do fó­

ton seja muito mais alta do que a energia de ligação do elétron.Is

to significa que para fótons-r com energia acima de 0.1 MeV, os

elétrons'podem ser considerados livres. Para fótons-y com energia

menor que 0.1 MeV, o efeito fotoelétrico se torna muito mais impo£

tante do que o efeito Compton para materiais com número atômico al

to, figura III.2.

• Supondo que o foton incida com energia E^ = h v ^ e que

o elétron esteja em repouso. Seja E^ = hw^ a energia do fóton espa

lhado de um ângulo e, figura III. 1.

i l

Levando em conta a conservação de energia e de momen­

to, obtém-se a seguinte relação:

hv hv.

hv (III. 3)

1 + m C o

(1 - cos e)

onde C e a energia de repouso do elétron.

A probabilidade de ocorrer o espalhamento Compton de­

pende do número atômico dos átomos que constituem o material.

A seção de choque Compton i ^ ^ ) , probabilidade de inte

ração de um fóton com um elétron, aumenta com a diminuição de ener

gia e se aproxima de um valor numérico de 0.6651 barn/elétron pa­

ra baixas energias, tornando-se independente da energia. Estes re

I 26 I

sultados foram obtidos por J. J. Thomson

' tho m C

(III. 4)

A distribuição angular do fóton-y espalhado é previs­

ta pela fórmula de Klein-Nlshina para uma seção de choque de espa

lhamento diferencial ^ ^ '^^'onde = • ^ r o raio clássico. díi m^C^ o

d a < dn

1 + cos e

1 + 01 (1 - cos e)

^ ^ g ( 1 - cos 9 )

2 (1 + cos e)|i + o (1 - cos e)

(III. 5)

c - Produção de Pares

Esse processo resulta numa completa absorção do fóton

Y, que é convertido inteiramente em um par de elétrons (um posi­

tron e um elétron) com uma certa energia cinética. Esse processo

ocorre na vizinhança do núcleo, numa interação com o campo nucle­

ar.

Aplicando o princípio da conservação de energia:

hv = 2 . E J J ^ * E - ^ ^ (III. 6)

2 2 C - energia de repouso do positron e elétron criados.

^CIN ~ ^'^^^Sia cinética do positron.

^CIN ^'^^^Sia cinética do elétron,

hv - energia do fóton.

A energia mínima necessária para que ocorra o procos-

2

so e de 2 m^ C , ou seja, 1.022 MeV. como pode ser visto na Figura

III. 2.

A seção de choque para produção de pares, de acordo

com Bethe e Heitler'^^', é proporcional a Z (Z+1), isto é, - Z^,

variando lentaraiente com a energia, aproximadamente com log E^.

Temos entSo que a absorção de fótons-y por produção

de pares torna-se importante para elementos pesados e fótons com

altas energias.

100

10

E 1 2 o

E o

0.1

. 0.001-0.1 1

M e v 10

•

' \ X F O T O E L E T R I C O

>: \ \ *

c

;

^ ATENUAÇÃO TOTAL

^ S S O R Ç Ã O TOTAL

^•^-^

V\ V ^ —

V N ^

^ ATENUAÇÃO TOTAL

^ S S O R Ç Ã O TOTAL

^•^-^

V\ V ^ —

V N ^ \ / P A R E S

\ / N^ESPALHAMcNTD V COMPTON

. \ \ / \ N / \ V 1 \ \

•—' ' 1 11 111 ' — 1 — l i l i iNii , — . \

•

\ / P A R E S

\ / N^ESPALHAMcNTD V COMPTON

. \ \ / \ N / \ V 1 \ \

•—' ' 1 11 111 ' — 1 — l i l i iNii , — . \

100

Figura III. 2 - Coeficiente de Atenuação de Massa do Chumbo em Fun

ção da energia dos FÓtons.

I

LA

III. 1.2 - Atenuação do Ralo-Y

*

0 alcance da radiação gama (Y) em um determinado mate

rial é maior que das partículas alfa (a) e Beta (e).

Os fótons de raios-Y ao atravessarem o material são

absorvidos, espalhados ou passam sem interagir. A intensidade (I)

de um feixe de raios-Y que atravessa um determinado material de

espessura x, sem interagir, varia com x de uma forma exponencial.

1 = 1 e"^ 7) o

onde

M - coeficiente de atenuação linear

I - intensidade do feixe incidente o

Pode-se definir coeficiente de atenuação de massa co­

mo sendo:

' u P

onde p é a densidade do material.

A função exponencial dá-nos uma probabilidade por un_l

dade de comprimento do material, do raio-Y interagir. Esta proba­

bilidade é a soma das probabilidades de cada processo de intera­

ção, dada por: CCMISSAO NACIONAL CE E N E R G I A N I C L - . • - ^ / i ' ' ''''

15

V = T (FOTOELÉTRICO) + o (COMPTON) + K (PARES)

que é chamada de coeficiente de atenuação linear.

(III. 8)

Um fóton que é absorvido ou espalhado, mesmo em um pe

queno angulo, é considerado como removido do feixe original. As­

sim sendo, o valor de v» na equação (III. 7) é uma atenuação total

resultante, que não só inclui a absorção pura, como também qual­

quer espalhamento. Na prática, devido à largura finita do feixe de

radiação utilizado e da colimação do detetor, uma fração dos fó­

tons esp sera registrada. O numero de fotons que atraves­

sam o material então não é dado pela forma I e"* , mas por I o o

— VI X » ~ '

e a r ,onde e o coeficiente de absorção linear que e uma função

da geometria: distancia fonte-objeto-detetor e largura do feixe

(colimação), figura III. 3A-B. COLIMADOR ^^SORVEDOR

.AO

u DETETOR

Figura III. 3A -"Boa Geometria" - Feixe de Radiação Colimado.

ABSORVEDOR

Figura III. 3B -"Geometria Pobre" - Feixe de Radiação Disperso,

16

III. 2 - TOMOGRAFIA RECONSTRUTIVA

Tomografia, grafia por partes (do grego TÓmcs), apre­

senta uma "vista em corte" do corpo analisado. Esse corte, porém,

é transversal e não longitudinal como na tradicional radiografia.

A seção transversal do corpo é varrida, num movimento

translacional, por uma fonte de raios gama e um detetor, alinha­

dos (para definirem uma boa geometria), figura III. 4A.

A varredura é feita num movimento contínuo ou em in­

tervalos discretos, geralmente em intervalos iguais a, colimação

da fonte. Neste caso, cada feixe é considerado como uma faixa de

largura a, chamada RAIO, figura III. 4B.

Da intensidade I registrada pelo detetor, pode-se

calcular o valor do coeficiente de atenuação ao longo do RAIO usan

do-se a equaçãc?:

P (K) = In — = / u (x) dx (III. 9)

^ J F

onde P (ic) é definido como RAIO-SOMA referente ao K-ésimo RAIO.

U (x) é o coeficiente de atenuação na posição x, ao longo

do ic-ésimo RAIO.

17

No sistema real, a Integral passa a ser um somatório

discreto. Logo, calcula-se u para pontos discretos ^ chamados cé

lulas (Pixels). A seção transversal do corpo, é então dividida

em uma malha de células quadradas de lado a (mesma largura do

RAIO), figura III. 4B.

O sistema FONTE-DETETOR,ouoCORPO, é girado de um angu

lo £, e o movimento de translação é repetido coletando-se um no­

vo conjunto de RAIOS-SOMA.

A um conjunto de raios-soma pertencentes a um ângulo

e_, chama-se . PROJEÇÃO de ângulo figura III. 4C.

Obtém-se assim ura conjunto de M projeções, com inore

mentó angular 6^.

Após a obtenção de um número suficiente de projeções

esses dados são analizados por métodos ínatemáticos, resultando na

reconstrução da seção examinada. Essas reconstruções são apresen

tadas na forma de uma matriz N x N, onde cada elemento represen­

ta o coeficiente de atenuação na área de cada célula (Pixel),que

pode ser interpretado em termos de densidade do material.

Das muitas aproximações matemáticas usadas para a re

construção de imagens, citamos algumas:

.miZthO NACiChAL L£ E N E R G I A N U C L E / ' '

A B

/ V \ \ •

[ V \ \

s

Fig. l l i - 4 A -

B. -

C -

Tomogrof iQ por t ransmissão . Esquemo do div isõo em P ixe l da seçõo planor e o r a i o .

Projeções 9^ e do seçõo p l a n a r .

19

a) RETRO-PROJEÇÃO - Foi usada nos experimentos inici­

ais. É a mais simples em conceito, mas produz reconstruções com

pouca nitidez, (veja Capítulo III. 3.3)

b) ITERATIVO - O método iterativo exige longos tempos

de computação para resolver o problema, pois é feito um número

muito grande de correções na distribuição do coeficiente de ate­

nuação em todos os Pixels, a partir iae uma distribuição inicial

aproximada, até chegar a convergir a uma solução.

c) ANALÍTICO - Os métodos analíticos são baseados em

soluções matemáticas exatas para as equações de imagens (Equação

(III. 9)), portanto mais rápidos em termos computacionais. Dois

métodos analíticos de grande importância são: Reconstrução de Fou

rier,que usa o espaço de Fourier e Retro-projeção Filtrada ou Con

volução, que usa o espaço real.

III. 2. 1 - Re(?onstrução Tri-Dimensional

É possível obter-se a distribuição de densidade de um

corpo tridimensional. A técnica consiste na reconstrução de vá­

rias seções transversais (reconstrução bidimensional) do corpo,

como mostra a figura III. 5.

20

Figura III. 5 - Reconstrução Tridimensional a partir de um Conjun

to de Reconstruções Bidimensionais.

Conjunto de Planos e Z^

III. 3 - TÉCNICA DE RECONSTRUÇÃO ANALÍTICA - CONVOLUÇÃO

III. 3. 1 - Modelo Matemático de Reconstrução

O modelo matemático para o método de reconstrução bi

dimensional é descrito com base na Figura III. 6. O sistema de co-

ordenadas cartesianas x o y é girado de um ângulo e, dando origem a x' o y ' .

O sistema de coordenadas polares (r, 41) possui sua origem fixaCO^).

O RAIO está a uma distância l_ da origem polar {l = O), onde l é

um múltiplo inteiro de a (largura do RAIO).

21

Figura III. 6 - Formação de uma Projeção de uma Seção Bidimensio­

nal de um Objeto Tridimensional.

A intensidade transmitida na direção y' ao longo de x'

e dada por:

(*) I (x- ; 9) = I ^ -exp-

+-QD

u (x', y') dy' (III. 10)

onde

p (x', y') é a função distribuição de coeficiente de atenua­

ção linear.

Calculando o logaritmo neperiano da Equação (III. 10),

o RAIO-SOMA na posição x' para um ângulo 9, será dado por:

(*) O caracter ; indica que 9 é um parâmetro.

22

P (x«; o) = l n = / w (x', y ) dy» . (III. 11) I(x'; e) /

Pela figura III. 6 observa-se que P (x'; e) pode ser

representado por P (Z; e).

Cada valor P (l; e) é' conhecido, já que 1 (l ; e) é obt¿

do experimentalmente. O problema é então resolver a equação integral

(III. 11) que tem como parâmetro desconhecido a função v (x', y').

III. 3. 2 - Bases Matemáticas

Pode-se mostrar (veja Apêndice I) que se P (l; e)é uma

medida física, então a fjunção distribuição de coeficiente de ate­

nuação V (x ' , yn(p (r , <í>) em coordenadas polares) pode ser re­

construída pelo seguinte processo:

a) Obter a Transformada de Fourier unidimensional ; de

P (l; o), para cada ângulo e (Projeção).

.+ (D ^ ^ ^

(III. 12)

b) Calcular a Transformada de Fourier inversa bidimen­

sional dos dados armazenados F (R; e) para R c (-CD, + 00) e

6 € fo®, 180°).

V i^, «I») = / / F (R; e) exp (-2 n i R r cos - e)) R dR de

«

(III. 13)

onde l = r cos (41 - e ) .

Para uma reconstrução tridimensional considere na figu

ra III. 6 um eixo Z, perpendicular ao plano x o y, na origem do sis

tema, figura III. 5. As equações (III. 12) e (III. 13) ficam:

(III. 14)

- 2 ir i R r C O S ( 41 - 6 ) R

dR de (III. 15)

A função distribuição de coeficiente de atenuação line

ar tridimensional é então obtida em coordenadas cilíndricas.

O método descrito acima usa portanto o espaço de Fou­

rier para o cálptílo da função distribuição de coeficiente de ate­

nuação linear \t (x, y).

1231

Para evitar as dificuldades surgidas no método de Fourier ,con

ver^encia da série de Fourier para a, solução errada, tentou-se encontrar un mé­

todo que não utilizasse a transfonnada de Fourier, mas que realizasse cálculos

24

somente no espaço real e com tempo computacional reduzido.

Este método utiliza-se de uma propriedade da Transfer

mada de Fourier que a correlaciona com a Integral de Convolução

|27|

III. 3. 3 - Desenvolvimento do Método de Convolução

No processo de Retro-projeção, o raio-soma P (í ; e)

(por exemplo, no ponto A, figura III. 6) que contem as informações

sobre a distribuição do coeficiente de atenuação linear ao longo

do raio A'B', é retro-projetado, ou seja, as células pertencentes

ao Raio A'B' recebem o valor do Raio-soma P (A'; 9), figura III.7.

Figura III. 7 - Quatro Projeções A, B, C e D de urna Seção Transver

sal de um Objeto, sendo RETROPROJETADAS.

Esses raios-soma, retro-projetados de diferentes pro-

25

jeções e que passam pelo ponto (r, 4>) são somados dando origem à

função * (r, ({>).

onde

• (r, 4.) = / P (r C O S (<!. - e), e) de (III. 16)

A função * (r, 4>) dá o valor qualitativo das variações

da função distribuição de coeficiente de atenuação linear e não o

valor real.

Uma das limitações da retro-projeção é de não definir

as fronteiras do objeto. Por exemplo: na reconstrução de um objeto

circular, surgem regiões fora da fronteira, com altos valores da

função * (r, 4>), dando-lhe uma forma estrelada, já que essas regi­

ões recebem de todas as projeções apenas contribuições positivas,

figura III. 7.

O objetivo é então procurar uma nova função projeção ,

P' (l ; e ) , de forma a se obter uma reconstrução mais próxima da

real.

Na equação (III. 12) a transformada Inversa é:

r P (l; e) = / F (R; e) exp (- 2 ir i R l) dR

substituindo na equação (III. 16)

26

O

Reescrevendo a equação (III. 13)

F (R, e) exp (-2 ir i R r eos (* - e) lR| dR de

(III. 18)

Comparando as equações (III. 17) e (III, 18), verifica

se que diferem de um termo |R|, que pode ser interpretado como uma

função filtro, no espaço recíproco.

Definindo a função P' (l; e)como:

+00

P' (l; e) = / |R| F (R, e) exp (-2 TT i r i) dR (III. 19)

A equação (III. rl8) então fica:

r u (r, *) = / P' (r (eos (4» - e) ); e) de (III. 20)

A retroprojeção da função P' (l; e) resultará na obten

ção da função y (r, «j»), urna reconstrução real.

CCf/,!SSAC NAC;CK/L DE E N E R G I A N U C L E A R / S P - - li

É necessário encontrar urna relação entre P' (i; e) e

P (i; e ) , já que P (Z; e) é urna medida experimental e portanto um

dado conhecido, enquanto que P' (I; e) foi apenas d.efinida.

As equações ( I I I . 12) e ( I I I . 19) definem as Transfer

madas de Fourier:

7(P (I; e)) = F (R; e)

^(P' (I; e)) = |R| F (R; 6) ( I I I . 21)

Uma função q (I) é definida, tal que:

^ +GD

|R| = / q (I) exp (2 tr i R I) dl ( I I I . 22)

-QD

onde

|R| = ^(q ( D )

Aplicando-se o teorema de Convolução:

'M Transformada de Fourier da convolução de duas

funções e igual ao produto das Transformadas de

Fourier de cada função".

. Pela equação (III. 21)

'^(P' (l; e)) = T (q il) * p U; e ) ) .

Tirando-se a transformada inversa de ambos os termos:

P' ill e) = q (l) * p U; e)

Colocando na forma integral

+(D

P' (l; e) = / q (l^) p (l- i^; e) dl^ (III. 23)

Calculando q (l), . + 0 0

q ( Z ) = / |Rl exp ( - 2 ir i R l) dR ( I I I . 24)

-OD

O cálculo de q (l) não pode ser feito diretamente, já

que |R| diverge nos limites de integração. Substituindo os limites

de integração por A/2 e -A/2, obtem-se a função q ( Z ) que se apro

xima de q ( Z ) no limite de A + GD, ou no limite de a * G , já que

A = — , (Apêndice II). Si

\ (í) = j |R| exp (-2 IT i R i) dR (III. 25)

~ 2

Desenvolvendo-se a integral (III. 25), para Z --na, on

de n c í e a é a largura do Raio (Apêndice II).

¿a

q (na) = O para n = par

q (na) = - 1 2 2 2

ir n a para n = impar

q (na) = 4 a

para n = O

Discretizando a equação (III. 23), já que = ma, on­

de m e Z

+00

P' (na; e ) = a q(ma) P ((n - m) a; 6 ) m=-QD

(III. 26)

Substituindo os valores de q (na)

P' (na; e) = P (na; e)

4 a 2 IT a p=impar

P ((n - p) a; e)

2 P

(III. 27)

A figura III. 8 mostra a função Projeção P (na; 9)con

voluindo'com a função filtro (no espaço real), dando origem a uma

nova função projeção filtrada P' (na; e ) .

Discretizando a equação (III. 20) em e, r e <j):

^ ^o' ^ *o^ = 'o X) ' t=l

j r^ eos (K • - t e ) ; t 6 o o o o

(III. 28)

onde J , K , t são inteiros positivos

r , «t> são incrementos de r e * o o

é o incremento na projeção

M é o número de projeções

p ( x )

I

I

P'(x )

i Y

Figura III. 8 - Convolução dando Origem à Função Projeção Filtra­

da.

O problema é então resolvido com as equações (III. 27)

e (III. 28). Contudo, o argumento da equação (III. 28) (j r^ cos

(K - t 9Q))» não será sempre um múltiplo inteiro de a, tornando

se necessário interpolar entre os valores conhecidos de P', para

que se possa efetuar o somatório na equação (III. 28)

O método de convolução eliminaria portanto as falsas

fronteiras, já que regiões fora da fronteira recebem contribuições

positivas de algumas projeções e negativas de outras.

A figura III. 9 mostra a figura III. 7 modificada com

essa filtragem, onde o Pixel fora do círculo recebe cohtribuições

positivas das projeções A e B g negativas de C e D.

31

B

Figura III. 9 - Retro-projeção da Função Projeção Filtrada A, B,

C e D.

III. 4 - ALGORÍTMO DO MÉTODO

Um programa computacional foi escrito em Linguagem For

tran e implantado no Burroughs 6700 do NCE/UFRJ.

Esse programa é dividido em seis fases.

13 Fase

Dados de entrada: dimensão da matriz (número de raios)

número de projeções e intensidade não atenuada (^Q)» B. (largura do

RAIO).

Calcula-se a posição em coordenadas polares do ponto

central de cada Pixel, da matriz de reconstrução, figura III. 10.

1

1 if fe: if

0

k S

/ /

/

Figura III. 10-Localização de Cada Centro de Pixel (Ponto A) em

Coordenadas Polares.

25 Fase

É lida a intensidade atenuada (l) e calculado o Raio-

Soma para cada Raio de uma projeção, através da expressão:

P (n) = l n

para n c (N + 1) (N + 1)

2

onde N é a dimensão da matriz.

3s Fase

É feita a filtragem dos Raios-Soma P (n) obtendo-se

função PF (n), utilizando-se a equação IIII. 27),

33

4 . a n .a ^ p p=impar

42 Fase

Em seguida e calculado o argumento r cos ((t)-t e ) o

Com os dados obtidos na 3^ Fase, um conjunto de pontos

(na, P F (na)) da t-ésima projeção, é calculado o polinomio inter­

polador SPLINE CÚBICO (Veja Apêndice III) para cada intervalo

(n - 1) a, na

para cada valor do angulo num determinado raio r. Caso seu valor

não seja um múltiplo inteiro de a calcula-se, através do polinomio

interpolador correspondente ao intervalo, o valor de

PF r C O S (í - t e )

o

53 Fase

É feita a retroprojeção, calculando-se o coeficiente de

atenuação em cada Pixel, usando-se a expressão que define a retro-

projeção. em coordenadas polares» equação (III. 28).

M

P (r. 0) = e^ J2 PF t=l

r C O S ((j) - t e ), e t o o

^CWiSSAO liACiOMAL Lt INER6IA N U C L E S R / s r

63 Fase

A mudança de coordenadas da função v (r, •[) é realiza

da de polares para cartesianas. Essas coordenadas são em seguida

relacionadas com a posição linha-coluna do elemento da matriz,pas

sando de \i (x, y) para n (I, J).

Para um número M de projeções, são repetidas a 2^, 3^

e 43 Fases, M vezes.

Torna-se assim possível a simultãniedade da tomada de

dados e ainálise dos mesmos.

A seguir é mostrado o fluxograma do programa montado.

35

C N , I o , M , o

CAlCULO DA POSIÇÃO DE CADA PIXEL

EM COORDENADAS POLARES

4a T T O P p2

SUBROnm QUE

- FAZ A CONVOLUÇÃO

( FILTRO }

INTERPOLA RARA OBTER

P F Í r c o s (O-teo))

M)--P (r , í> )+ e o . P F ( r C O S ( 4 l - t 9 o ) )

MUDANÇA DE COORDENADAS

J i ( r , ( | ) ) p ( x , y )

PASSAR DE p í x . y ) FARA j i { I , J )

{ L J ) - L I N H A - C O U J N A DA MATRIZ DE

RECONSTRUÇto

36

P (n) =

N N

S X W (I, J) . M (I, J)

1=1 J=l

onde

W (I, J) é a fração de área do Pixel (I, J) interceptada pelo raio

|37| n, chamada Função Peso ; figura IV. 1.

y (I, J) é o coeficiente d^ atenuação linear para o Pixel de posj^

ção (I, J).

a largura do pixel.

Os testes simulados foram feitos com o objetivo de res

ponder as seguintes questões:

1 - Qual o problema encontrado, quando houver interfaces

com uma grande variação nos valores do coeficiente de atenuação

CAPÍTULO IV

RESULTADOS

IV. 1 - TESTES SIMULADOS

Com o objetivo de se testar o algoritmo, foram feitos

testes simulados onde eram conhecidos os valores na distribuição do

coeficiente de atenuação linear v (I, J), que são usados no cálcu

lo do Raio-soma P (n) através da equação:

linear?

2 - Dada uma matriz (N x N),com quantas projeções se re­

constrói a imagem de um objeto?

3 - A reconstrução melhora com o aumento da dimensão da

matriz?

Visando responder a essas perguntas, foram variados:

a) As dimensões da matriz (N x N) de coeficiente de

atenuação y (I, J) (valores de N de 15, 23 e 25) mantendo uma

largura de Pixel de 0,25 cm.

b) O coeficiente de atenuação linear y (I, J) (entre

0,2 a 0,7 cm""'") .

c) o número de projeções.

Neste trabalho, a matriz usada para a reconstrução de

imagem dos objetos citados no item (a) possui dimensões de 21x21,

33x33 e 35x35 que correspondem ao comprimento da diagonal do obje­

to dividido pela largura do feixe (Raio ou Pixel).

O objeto é, portanto, circunscrito por urna circunfe­

rencia cujo raio é a semi-diagonal do objeto em questão, como

mostra a figura IV. 1.

As figuras que serão mostradas neste capítulo são projeções iso

métricas da distribuição do coeficiente de atenuação de um plano

transversal x o y do objeto. Essas figuras dão uma visualização

qualitativa da distribuição dos coeficientes de atenuação.

\ \ N

\ K s N

\ " \

\ \ s \ s 1 \ \ N \ / \ V

4 \ \ V s s . \ ^

V \ \ s N \ \ N \

V \

N s \ [N, \ \

k \ \ \ \ \ s N \ \ s \ ,

S •4 s \

n - e s i m o r a i o

Figura IV. 1 - Esquema do Espaço Varrido pelo Conjunto de Raios

numa Projeção.

Para cada simulação calculou-se o índice de reconstru

ção, que mede a a c u r a d a da mesma e que pode também ser chama­

do desvio relativo médio, é definido como:

\v. (RECONSTRUÍDO) - u (VERDADEIRO) | i ^

(VERDADEIRO!

i

ja

Os objetos simulados sao caixas contendo agua e blo­

cos cúbicos com coeficientes de atenuação de 0,3,. 0,4 e 0,7cm"'^.

As paredes da caixa são de material com coeficiente de atenuação

igual ao da água, A atenuação para a energia de 60 keV do raio

gama da fonte A ' ^ é de 0,2 cm ^ para a água.

Para a matriz (21 x 21) foram feitas 3 simulações ,

representadas nas figuras IV. 2 A-C . Foram usadas 6, 12, 18,24,

30, 36 e 40 projeções para cada simulação, calculando-se o índi­

ce de reconstrução (/?), Tabela IV. IA.

Para o caso da 1^ simulação foi montada a tabela IV.

IB com os índices de reconstrução calculados para a matriz mais

interna (13 x 13), obtida eliminando-se a borda do objeto,inter­

face (AR-ÁGUA).

As figuras IV. 3A-C mostram a reconstrução da imagem

dos objetos das figuras IV. 2A-C para 24 projeções. 9

TABELA IV. IA - VALORES DE R (%) PARA AS SIMULAÇÕES (21 x 21)

^ \ P R O J E Ç Õ E S

3 IMULAÇÃO^^\^_^

6 12 18 24 30 36 40

1 22,1 7,5 3,5 2,3 2,4 2.7 2,7

2 30 10,3 5,3 4.4 4,2 3,8 3,8

3 37,3 15 9,4 7,5 7.5 7,3 6,9

Coeficientes de Atenuação

0,3 cm""''

0,2 cm""''

Zero

F I G I\/.2R rOBJF.TO S1MULRDÖ

MRTRIZ 21X21

F I G I V . 3 R rRF.CGNSTRUCRO 24 PROjF.COr.S MRTRIZ 21X21

Coeficientes de Atenuação •-1

0,4 cm

0,3 cm""

0,2 cm~^

F 1 G I V . 2 B : Ü B J F . T O S I M U L R D D

M R T R I Z 21X21

F 1 G N . 3 B tREüüNSTRUCRO 2 4 P R Ö J F . C Ü F S

MRTRIZ 2 1 X 2 1

Coeficientes de Atenuação -1.

0,7 cm

0,3 cm

0,2 cm

Zero

-1

-1

F I G I V . 2 C : Ü B J F . T O S Í M U L R D D

M R T R I Z 21X21

F I G IV .3C :REC0N3TRüCRa ?A F R C . r . U ^ >

r^qiRl? 21X21

TABELA IV. IB - VALORES DE M%)PARA SIMULAÇÃO (21x21) ELIMINÁNDO­

LE A INTERFACE (AR-ÁGUA) - MATRIZ (13 x 13)

^\PROJEÇÕES

SIMULAÇAÒ\^^^

12 18 24 30 36 40

1 4,5 2,8 2,3 2,4 2,5 2,5

Para a matriz 33 x 33 foi simulado o objeto que se

encontra representado na figura IV. 4.

Foram feitas reconstruções com 12, 18, 24, 30, 36,40

e 45 projeções e calculado o índice de reconstrução, tabela IV.

2A.

A borda do objeto, interface (AR-ÁGUA), foi também e-

liminada e calculado o índice de reconstrução para a região inter

na, matriz (21 x 21), tabela IV. 2B.

A reconstrução de imagem para 36 projeções está re­

presentada na figura IV. 5.

TABELA IV. 2A - VALORES DE if(%) PARA SIMULAÇÃO (33 x 33)

•SmZíhQ NACiCi./L CE L f . t R G I A NU C L

^"^\PROJEÇÕES

SIMULAÇÃO^\^^

12 18 24 30 36 40 45

1 11 5,8 3,5 2.3 1,9 1,8 2,1

Coeficientes de Atenuação

-1. 0,3 cm

0,2 cm

Zero

-1

F I G I V . 4 . ' O B J E T O SíMULfiDO

MRTRI7 33X33

F I G I V . 5 : R E C G N 5 T R U C R 0 3 6 P R O J E C C F S

M R T R I Z 3 3 X 3 3

Hi3

TABELA IV. 2B - VALORES DE R% PARA SIMULAÇÃO (33 x 33} ELIMI­

NANDO A INTERFACE (AR-ÁGUA), MATRIZ 21 x 21

^ \ P R O J E Ç Õ E S

SIMULAÇÃO\^^

12 18 24 30 36 40 45

1 5,00 3,7.0 2 ,60 2,20 1,90 r , 8 0 1,98

As figuras IV. 6A-B representam as duas simulações

feitas com matriz 35 x 35 .

Foi us£.do o mesmo número de projeções da simulação

anterior.

As tabelas IV. 3A e IV. 3B mostram os valores obt¿

dos no cálculo do índice de reconstrução (/?), para cada reccns

trução, considerando todo o objeto (matriz 35 x 35) e apenas a

região interna, eliminando-se as bordas, interface(AR-ÁGUA),(ma

triz 23 x 23).

As figuras IV. 7A1 - 7A3 mostram reconstruções pa­

ra 18, 24 e 36 projeções referentes à figura IV. 6A e as figu­

ras IV. 7B1 - IV. 7B2 para 36 e,40 projeções referentes à figu

ra IV. 6B.

O gráfico IV - 1 mostra o comportamento do índice de

Reconstrução em função do número de projeções, utilizando os re

sultados obtidos nas Tabelas de IV. IA a IV. 3A.

bO

Coeficientes de Atenuação

0,3 cm

0,2 cm""

Zero

F I G I V . 6 R : O B J F T O SíMULfiDO

MRTRI7 3^X3^:

de

C O ' O O

te

Cl

-3'

J

Ci

\1

\1 3'

9¡^

9^^

Cl V i

GRRKICCl I V . I - IND. DE RECONST, X NUM. DE PRCUEtOE^j

O A + X •i'

í

Z Y

M R T R I Z - 21X21 f L l H i N R M D C

M q i R I ? 21X21 M R T R I H . - 21X21 M A T R I Z - 33X33

U I M I N R N D C fl M R T R I Z - 35X35

f. l IMIMRNDC R M R T R I Z - 35X35

E .L IM INRNDC fl

S I M U L A C R O - l fl I N T E R F R C E t R R - R Ô U R ]

S I M U L R C R C - 2 S I M U L f l C R C - 3

I N T t R F . f R R - R C j R ] O iMULf lC f lO - 1

l N T f c ó , F . r R F ; - R G ! j R 3 OiMULRCRC! - 2

r N T í : . { \ F . tflR-nCURJ

1 2 . CO 3 6 . 0 0 1 I i

44 CO 5 2 . C C

58

TABELA IV. 3A - VALOR DE F% PARA SIMULAÇÃO (35 x 35)

^ \ P R O J E Ç Õ E S

SIMULAÇÃO'^^

12 18 24 30 36 40 45

1 12 6,4 3,6 2,5 1.7 1,6 2,0

2 13,6 7,5 4,9 3,7 2,9 2,9 3,3

TABELA IV. 3B - VALOR DE E% PARA A REGIÃO MAIS INTERNA ELIM^

NANDO-SE A INTERFACE (AR-ÁGUA)-MATRIZ 23x23

^\PROJEÇÕES

SIMULAÇÃ0\.

18 24 30 36 40 45

1 3,88 2,43 2,24 1,70 1,65 1,71

2 5,30 4,20 3,50 3,10 3,00 3,00

Com a finalidade de verificar a reconstrução para

objetos em que não haja grandes variações de densidade nas in­

terfaces, simulou-se um objeto de forma circular, igual ao uti^

I 23 I '

1izado no trabalho de Ramachandran . É composto de três re­

giões de densidade: um disco homogêneo com coeficiente de ate­

nuação 0,1 cm~^, possuindo uma região, não centrada, com coef¿

ciente de atenuação

variando de 0,103 cm"''' a 0,139 cm ^

e uma região variada, circundando o disco homogêneo, com coef¿

cientes de atenuação entre 0,1 cm ''" e Zero . Portanto, a in-

~^ homogênea e ar, é suavizada pela região varia-

da, Tabela IV. 4A.

A matriz de reconstrução possui uma dimensão de 25 x

25, com 0,1 cm de largura de pixel. As reconstruções feitas com

6, 12 e 18 projeções tiveram seus índices de reconstrução calcu­

lados, considerando-se apenas a região do disco homogêneo inclu­

indo a região de alto coeficiente de atenuação, na tabela IV. 5.

A tabela IV. 4B e a figura IV. 8 representam a ima­

gem reconstruída, de uma forma quantitativa e qualitativa, com 6

projeções.

TABELA IV. 5 - ÍNDICE DE RECONSTRUÇÃO (R)

^^"-^-^ROJEÇÕES^ 6 12 18

R % 2,00 1,60 1,66

Uma aplicação importante de Tomografia, na area medi_

ca, é o desenvolvimento de medidas precisas da densidade óssea

no esqueleto humano, investigando a concentração de cálcio e ou­

tros elementos.

Com o objetivo de testar o algoritmo desenvolvido nes

te trabalho, na área médica, simulou-se a reconstrução de uma se_

ção transversal do braço humano. Os valores para os coeficientes

TABELA IV. 4 A

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 5 9 13 15 16 15 13 9 6 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 6 13 21 30 38 43 44 43 38 30 21 13 6 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 9 20 34 50 64 74 80 81 80 74 64 50 34 20 9 0 0 0 0 0

0 0 0 0 11 25 44 66^ 83 94 98 99 100 99 98 94 83 66 44 25 11 0 0 0 0

0 0 0 9 25 48 74 9 * 99 100 100 100 100 100 100 100 99 93 74 48 25 9 0 0 0

0 0 6 20 44 74 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 95 74 44 20 6 0 0

0 0 13 34 65 93 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 93 56 34 13 0 0

0 6 21 50 83 99 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 99 83 50 21 5 0

0 9 30 64 94 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 • 100 100 100 94 64 30 9 0

0 13 38 74 98 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 98 74 38 13 0

0 15 43 80 99 100 100, 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 99 80 43 15 0

4 15 44 81 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 81 44 16 4

0 15 43 80 99 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 99 80 43 15 0

0 13 38 74 98 100 100 100 100 100 100 103 105 103 100 100 100 100 100 100 98 74 38 13 0

0 9 30 64 94 100 100 100 100 100 103 114 124 114 103 100 100 100 100 100 ' 94 64 30 9 0

0 6 21 50 83 99 100 100 100 100 105 124 139 124 105 100 100 100 100 99 83 50 21 5 0

0 0 13 34 56 93 100 100 100 100 103 114 124 114 103 100 100 100 100 93 56 34 13 0 0

0 0 6 20 44 74 95 100 100 100 100 103 105 103 100 100 100 100 95 74 44 20 5 0 0

0 0 0 9 25 48 74 93 99 100 100 100 100 100 100 100 99 93 74 48 25 9 0 0 0

0 0 0 0 11 25 44 65 83 94 98 99 100 .99 98 94 83 66 44 25 11 0 0 0 0

0 0 0 0 0 9 20 34 50 64 74 80 81 80 74 64 50 34 20 9 0' 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 T O 13 21 30 - 38 43 44 43 38 30 21 13 6 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 L O 6 9 13 15 16 15 13 9 6 0 0 0 0 ,0 .0 0 0

0 0 0

1) 0 0. 0 0 i 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 "O 0 0 0

Tabela IV. 4 A - Objeto Circular Simulado com 3 Regiões de Densidade: Homogénea,

Oí

o

Alta e Variada - Matriz 25 x 25. - y (I, J) x 10 _3

TABELA IV. 4 B

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 24 20 18 23 18 20 24 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10 26 34 40 49 56 49 40 34 26 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19 22 37 54 64 72 82 91 82 72 64 54 37 22 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 31 40 54 71 85 93 100 102 108 102 100 93 85 71 54 40 31 0 0 0 0 0 0 0 13 34 55 80 98 100 99 103 111 103 99 100 98 94 80 55 34 13 0 0 0 0 0 1 20 49 76 102 105 102 100 99 103 108 103 99 100 102 105 102 76 49 20 1 0 0 0 0 10 37 70 92 105 106 104 99 97 101 107 101 97 99 104 106 105 92 70 37 10 0 0

0 16 25 54 84 98 103 107 105 99 97 100 107 100 97 99 105 107 103 98 84 54 25 16 0 0 30 37 64 93 99 100 103 105 101 97 100 106 100 97 101 105 103 100 99 93 54 32 30 0 0 27 47 78 103 99 98 99 104 103 98 99 104 99 98 103 104 99 98 99 103 78 47 27 0 0 17 51 86 105 104 100 97 100 102 99 98 102 98 99 102 100 97 100 104 105 86 51 17 0 1 14 48 86 105 109 - r o s 101 101 101 101 99 104 99 101 101 101 101 105 109 105 85 48 14 -1 0 14 45 78 99 103 104 102 101 100 100 99 101 99 100 100 101 102 104 103 99 78 45 14 0 0 20 39 •71 98 98 100 100 101 101 100 103 107 103 100 101 101 100 100 98 98 71 39 20 0 0 27 37 66 96 102 102 101 100 100 104 114 124 114 104 100 100 101 102 102 96 66 37 27 0 0 22 33 62 92 105 105 105 103 102 108 123 137 123 108 102 103 105 106 105 92 62 33 22 0 0 0 13 39 73 92 101 100 103 102 104 114 124 114 104 102 103 100 101 92 73 39 13 0 0 0 0 • ' - ! ) 18 47 71 95 101 103 103 102 105 109 105 102 103 103 101 95 71 47 18 -1 0 0 0 0 0 12 33 52 78 95 101 102 101 102 106 102 101 102 101 95 78 52 33 12 0 0 0 0 0 0 0 33 39 54 72 85 96 103 101 104 101 103 96 85 72 39 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 20 35 55 68 74 80 87 80 74 68 55 35 20 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 10 30 39 40 47 53 47 40 39 30 10 -1 0 Ó 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 25 19 16 21 16 19 26 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0- 0 0 0 0

>t '\ / í- L c 1

Tabela IV . 4 B - Reconstrução com 6 Projeções - Matriz 25 X 25 • V (I, J ) 10-^

62

F I G I V . ñ :RF.C0N5TRUCRG 6 P F U ^ j COÍ'.S

MRTRIZ 2ÜX2^J

de atenuação em cada região do osso foram obtidos do trabalho de

|38| Hangartner . Esses valores, para raios gama de energia de 60

241 ~ -1 KeV da fonte de Am , sao: 0,2 cm para os tecidos envolventes

e a região do osso esponjoso (trabecular) e 0,5 cm ^ para a re­

gião do osso compacto (cortical).

A seção do ante-braço simulada (ossos rádio e cubito)

está representada na figura IV. 9.

A dimensão da matriz de reconstrução é 41 x 41, com

largura de pixel igual a 0,1 cm.

A tabela IV. 6 mostra os valores do índice de recon£

trução (/?), para o caso de reconstrução com 40, 45 e 60 pro jeções.

A reconstrução com 40 projeções está representada na figura IV.

10.

TABELA IV. 6 - VALORES DO ÍNDICE DE RECONSTRUÇÃO (/?), PARA A SI­

MULAÇÃO DO OSSO.

^""'""'--R^OJEÇÕES^ 40 45 60

R % 6,66 6,65 6,64

Além de obter boas reconstruções, o algoritmo usando

^¿todo analítico (convolução) montado neste trabalho, possui

6^

65

F I G I V . ID : R F C : O N S ~ R U C q G 40 F P . O J F L O Í S

MRTRIZ 41X41

maior rapidez na análise dos dados, em comparação com outros mé­

todos. Este fator é importante para tomógrafos médicos comerciais

com alta velocidade de aquisição de dados, já que a aquisição e

análise de dados é feita simultaneamente.

Para se ter uma idéia do tempo de processamento gas­

to, montou-se uma tabela com o tempo (em segundos) para cada si­

mulação - Tabela IV. 7. Pelos dados da tabela, observa-se uma

certa linearidade do número de projeções com o tempo para cada

matriz de reconstrução.

TABELA IV. 7 - TEMPO DE PROCESSAMENTO PARA MATRIZES DE RECONSTRU

ÇÃO N X N COM DETERMINADO NÚMERO DE PROJEÇÕES

\ ^ N X N

PROJEÇÕES*--.. 21x21 25x25 33x33 35x35 41x41

6 5,5 7,0 12,0

12 11,6 12,4 28,6 40,0

18 13,3 18,0 38,4 44,0

24 17,5 •

65,0 71,0

30 21,0 71,0 75,0

36 28,6 87,0 83,0

40 37,7 99,0 98,0 131,0

45 141,0

60 173,0

Tempo em segundos

CAPITULO V

DISCUSSÕES E CONCLUSÕES

Para a interpolação usada no algoritmo analítico (con

volução), foi necessária a utilização de um método em que o erro

não dependesse do número de pontos que no caso seria o número de

Raios. Foram assim, de início, eliminados os seguintes métodos:

Polinomio de Interpolação de Newton, de Lagrange e Mínimos Quadra

dos.

Testou-se a interpolação linear, que ajusta uma curva

sobre os pontos, através de retas traçadas de dois em dois pontos.

Em seguida, utilizou-se o método de interpolação SPLI^

NES CÚBICA, que molda uma curva aos pontos dados, através da cons

trução de polinómios de 3 9 grau, em cada intervalo considerado.

Comparando os resultados das duas interpolações, en­

controu-se um erro menor no uso da SPLINES CÚBICA, o que era espe

rado, já que a curva construída se aproxima mais da curva real.Ba

seado nestes resultados, o algoritmo foi montado, incorporando a

interpolação SPLINES CÚBICA.

Para a reconstrução de matriz (21 x 21), (Tabela IV.

IA), foi obtida uma boa reconstrução (/? < 2,7%) a partir de 24 pro

jeções, com o menor índice de reconstrução obtido para 24 proje­

ções, para o caso da primeira simulação.

Para a 1» simulação, Figura IV. 2A, comparando-se as

Tabelas IV. IA e IV. IB, pode-se verificar que para. 24 e 30 pro­

jeções, os valores de R permaneceram os mesmos. Portanto, com es

se número de projeções os erros na interpolação,devidos à descon

tinuidade na interface AR-ÁGUA foram minimizados.

Para um número maior de projeções o valor de R prati^

camente não se altera, não se obtendo informações adicionais a

respeito do objeto.

Para a 2^ e 3^ simulações, Figuras IV. 2B e IV. 2C ,

verifica-se pela Tabela IV. IA que, devido ao aumento do número

de interfaces com descontinuidades nos valores dos coeficientes

de atenuação, não foi obtido um valor mínimo para R. No entanto,

a partir de 24 projeções o valor de R passa a sofrer pequenas va

riações (menores que 10%), mostrando que o aumento do número de

projeções não adiciona informações relevsintes a respeito do obj£

to analisado. r

Os valores de R sofrem um aumento dais para a 3^ simu­

lação, devido aos erros de interpolação causados pelo aumento da

variação dos valores do coeficiente de atenuação na interface BLO

CO-ÁGUA, já que a atenuação dos blocos é variada de 0,3 cm ^ a

-1 0,7 cm .

Na reconstrução da matriz (33 x 33) (Tabela IV. 2A)

foi obtida uma boa reconstrução (R < 2,7%) a partir de 30 proje­

ções com os menores índices para 36 e 40 projeções.

As informações obtidas pela análise dos valores de R

nas Tabelas IV. 2A e IV. 2B são as mesmas obtidas nas Tabelas

IV. IA e IV. IB para a 1^ simulação.

Na reconstrução (35 x 35), cujos resultados são mos­

trados nas Tabelas IV. 3A e IV. 3B, para a 1? simulação foi obti^

da uma boa reconstrução a partir de 30 projeções. Para 36 e 40

projeções obtiveram-se os menores índices, tanto na 1^ simulação

quanto na 2^. Portanto, com esse número de projeções, o erro na

interpolação é reduzido ao mínimo.

Numa comparação entre as Tabelas Iv. 3A e IV. 3B, ob

serva-se que foram obtidas as mesmas informações das Tabelas IV.

IA e IV. IB. No caso da 2^ simulação, os valores de R para 36 e

40 projeções aumentaram na Tabela IV. 3B. Este resultado mostra

que o erro causado pelo aumento da variação da atenuação nas in­

terfaces é compensado quando toda a matriz do objeto é considera

da, já que os erros causados pela descontinuidade na borda são

minimizados com 36 e 40 projeções.

Na simulação do disco. Tabela IV. 4A foi obtida uma

boa reconstrução para todas as projeções .testadas. Neste -.-.ca^o,

são necessárias apenas 6 projeções para a reconstrução,Tabela IV.

4 B e Figura IV. 8. Este fato é devido a não haver grandes decon

tinuidades nas interfaces, ou seja, as variações são suaves.

Foi verificado que a reconstrução da região variada,

externa ao disco, não foi boa, obtendo-se um índice de reconstru

ção (R) maior que 9%. Neste caso tornou-se necessário o aumento

de número de projeções para obter-se boas reconstruções.

Para a simulação do osso. Figura IV. 9 não foi obti­

da uma boa reconstrução quantitativa da imagem (/? > 6%), já que,

para os valores de coeficiente de atenuação nas interfaces, obti_

veram-se erros relativos maiores que 10%. Porém, qualitativamen­

te foi possível delimitar as regiões do osso, como se pode ver

pela Figura IV. 10.

O alto valor obtido para R é devido ao grande número

de interfaces com descontinuidades nos valores do coeficiente de

atenuação, acarretando um aumento do erro de interpolação.

f,

Para esta simulação, foram feitas reconstruções, ape

nas a partir de 40 projeções, tendo em vista que nas simulações

anteriores, o menor índice de reconstrução foi obtido para o nú­

mero de projeções em torno da dimensão da matriz.

Dos resultados simulados pode-se concluir:

1 - Para objetos com uma distribuição contínua de

coeficiente de atenuação podem-se obter boas reconstruções (quan

titativa) com poucas projeções. Reconstruções são obtidas com ín

dice de reconstrução (/?) menor que 2%.

2 - No caso de objetos em que o coeficiente de ate­

nuação varie muito nas interfaces, a melhor reconstrução é encon

trada com o número de projeções em torno do valor da dimensão da

matriz de reconstrução. Para o caso de haver um grande número de

interfaces com essa variação, a reconstrução quantitativamente

não é boa, contudo pode-se distinguir regiões de altaebaixa den

sidade.

3 - Quanto maior a dimensão da matriz de reconstrução,

melhor a reconstrução para o mesmo número de projeções.

O algoritmo montado neste trabalho é viável, tanto em

termos de tempo de processamento, quanto em termos de acurácia,

j '.^ já que mesmo para imagens complexas (grande número de interfaces)

são obtidas boas reconstruções qualitativas. Essa boa reconstru­

ção qualitativa, diferenciação entre regiões de alta e baixa den

sidade em um corpo, é importante para diagnósticos, na área méd¿

ca, devido á necessidade de se obter um resultado visual.

Todo o algoritmo de retroprojeção filtrada foi monta-

72

do em cima de um único filtro teórico |R|, deduzido matematica­

mente. Existem porém outros filtros, variações deste, utiliza­

dos com dados experimentais, na tentativa de melhorar a imagem

obtida, diminuindo a relação entre ruído e sinal. A escolha de

um filtro depende, principalmente, da estrutura do objeto em es

tudo, assim como do grau de resolução desejada na imagem a ser

obtida.

Estes filtros podem ser incorporados ao programa mon

tado, apenas com a mudança da subrotina que realiza a filtragem

das projeções.

Torna-se interessante a continuação deste trabalho,

testando-se o programa montado com dados experimentais, compa­

rando-se os diversos filtros usados na reconstrução de determi­

nados objetos para melhorar a resolução da imagem obtida.

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APÊNDICE I

de Fourier existe

+QD

F (X, Y) =

invertendo:

1 2 7

2 TT i (xX + yY) dx dy (A. 1)

+GD

- 2 T t i (xX + yY) dX dY (A. 2 )

-CD

onde X , y são coordenadas no espaço real e X, Y são coordenadas no

espaço recíproco.

ESPAÇO REAL ESPAÇO RECIPROCO

DEMONSTRAÇÃO DAS EQUAÇÕES (III. 12) e (III. 13)

Seja n (x, y) a função distribuição de coeficiente de

atenuação linear de um corpo. Como o corpo possui massa e dimen­

são finitas, pode-se dizer que | P ( X , y)|é uma função' limitada,ou

seja y (x, y) é absolutamente integrável. Assim a sua Tranformada

"80^

onde

X = r cos $

y = r sen $

X rr R eos *

Y = R sen *

Em coordenadas polares a equação (A. 2 ) fica:

+00

M (r, <. ) = / / F (R, * ) exp

2 .

u (r, 4, ) = / / F (R, * ) exp

O'O

- 2 ir i r R eos -<j)

- 2 TT i r R eos - <¡>)

|R| dR d*

R dR d*

(A. 3)

Aplicando a definição de Raio-soma:

P (x) = f y (x, y) dy

.+CD /-QD

- 2 TT i (xX+yY) dX dY dy =

- 2 7r i yY dy > dX dY

exp

- Q ü

-2Tr i yY = 6 ( y - O)

"+CD

F (X, Y) 6 (Y - O) dY

= F (X, o) p/ Y = O

= O p / y 40

j Escolhendo a solução não trivial, ou seja, Y=0

+CD ^ +CD

V (x, y) dy = / F(X, O) exp (-2 n i xX) dX -1 4

-® ^ ^ -CD

j P(x) = / F(X, O) exp (-2 Tt i xX) dX (A. 4)

j invertendo a equação (A. 4)

i r t F (X, O) = / P(x) exp (2 11 i xX) dX (A. 5)

i - 4 i

I Seja o sistema real x o y e o recíproco X o Y coincidentes, mes-

] ma origem , figura III. 7. j i

j Verifica-se que Y=0 corresponde a * = 0 , no espaço re

I cíproco.

Assim

F (X, O) = F(R, O) onde X e (O, QD) e R e (O, QD)

F (X, O) = F(R, ir) onde X e ( -QD, O) e R e ( -QD, O)

Girando-se o sistema real de um ângulo e, é demonstra

do que o sistema recíproco sofrerá a mesma transformação

Obtem-se assim um novo sistema x'o y ' e X ' o Y '

As equações de transformação são:

(x', X') = (x, X) C O S e + ( y , Y) sen e

(y', Y')='(x, X) sen 6 í) (y, Y) cos e

No novo sistema de coordenadas:

.+CD

P (x') = / p (x', y«) dy'

-GD +GD

F (X', O) = / P(x») exp

'-QD

Em coordenadas polares:

2 n i x' X ' dx' (A. 6)

F (X', O) = F ( R , e) para X' e (-GD, + (D) e Re(-QD, + CD)

ou

F (X* , O) = F ( R . e ) p/ X ' t I O, + CD e R e | O. + QD)

F ( X ' , O) = F ( R , e + n) p / X ' e (-QD, 0|e R e | O, + QD)

Reescrevendo a equação (A. 4) em coordenadas polares:

.QD

F (R, e) = / P(l; e) exp (2 ir i l R) dl

'-GD

(A. 7)

Obtendo-se experimentalmente P ( l ; e) com valores de

l c (-QD, +GD) para cada valor de ângulo 6 c |_0, n ). Tem-se, assim

um grupo completo de F (R, e) e assim v (r, *) pode ser reconstruí^

da usando-se as equações

2 V ± l R dl

-2 n 1 r R C O S (((, - e) R dR diji

O modelo matemático descrito acima é conhecido como mé

todo analítico de Reconstrução usando-se Transformada de Fourier.

Í.ÂÜ1CNÍL LE tíiERGiA N U C L E /

APÊNDICE II

DESENVOLVIMENTO DA EQUAÇÃO (III. 24)

|23| Expandindo-se |R | em sua série de Fourier de perío

do A, onde A = — a

R I = C (na) exp (2 ir i R ^) a = largura do raio

n = inteiro qualquer -GD

Calculando-se C (na)

.A/2 .A/2

|R| exp (-2 TV i R ^) dR = / C(na) dR

-A/2

C (na) R

A/2

-A/2

A/2 -A/2

|R| exp (-2 TT i R dR A

/-A/2

A/2

C (na) = W |R| exp (-2 ir i R j) dR

'-A/2

.A/2

C (na) = a / |R| exp (-2 ir i R na) dR

-A/2

C(na) = a q^ (na)

assim +QD

= a q^ (na) exp (2 ir i R n ^)

-CD

(B. 1)

2

85

que é a integral (III. 21) escrita sob a forma de somatório, ou se

ja, considerando-se l = na (discreto).

Tomando-se o limite da equação (B. 1) quando A CD, ou

seja a + O, volta-se à forma integral (III. 21) e q (na) se apro-

xima de q (na).

Assim sendo, podemos calcular q (na) ao invés de q(na)

A/2

q^ Ona) = / |R| exp (-2 ir i R na) dR =

O ''-A/2 ^A/2

-R exp (-2 iT i R na) dR + / R exp (-2 ir i R na) dR =

^-A/2

O i R exp (-2 ir i R na)

2 ir na

O

i exp (-2 ir i R na) + / dR +

-A/2 '-A/2

2 ir na

i R exp (-2 ir i R na)

2 ir na

i A exp (TT i A na)

4 ir na

dR =

O

exp (-2 ir i R na

(2 ir na)

i A exp ( - i r i A na)

4 ir na

exp (-2 ir 1 R na) 2

(2 iT na)

-A/2

A/2

O

tomando A = l/a

Ö O

(na) =

nln -nin i ( - n + e )

4 T na2 (2 ^ na)' -2i- sen ( m T )

I r i n -ïïin i ( e + e )

(2 IT na)' 2 cos ( n i r )

para n = par q (na) = ^ + - - = 0

(2 ir na) (2 n na)

para n = impar q (na) = - 4 -1 2 2 2 2

(2 11 na) ir n a

para n = 0

q^ (na) =

^ 0 A/2

|R| dR = / -R dR + / R dR =

"'-A/2 'lA/2

R_

2

R

-A/2

A/2

A^ A^ = + — + —

8 8 4 4 a'

or

APÊNDICE III

MÉTODO DE INTERPOLAÇÃO SPLINES CUBICA * *

Sejam os pontos com ordenadas f (x^), f (x^),

I

f (x ) com abcissas x., x. x ordenadas da forma a = x^ <-n O 1 n O

< X , < ... < x =b. 1 n

A função S (x), chamada Spline Cubica é definida pe­

las seguintes propriedades:

.(I) S (x) é continua com as derivadas de 1^ e 2^ ordem no inter

valo I a, b I .

(II) S (x^) = f^ , i = 0, 1 n

(III) S (x) é um polinomio cúbico em cada intervalo,

^ ' ^i+1 , i = 0, 1 n=l.

( I V ) s " ( X q ) = 0, s " (x^) = 0

Ja que S^ (x) é um polinomio, S^ (x) é linear e pode

ser expresso na forma.

o"/ ^ ^i + 1 " ^i = i — í T — ^ ^.1 - T r ­

ie. 1)

i = O, 1, ..., n-1

88

r

onde h. = X. , -i 1+1 i

(x) 2 S (x) p/ X e L^i» x ^ ^ J

Integrando duas vezes a equação (C. 1) e calculando-se as constan

tes de integração através das condições: S (x )=:f , S'(x )=f 1 i i i i+1 i+1

obtém-se: S j , 3 s . 3

^i = F i T ^^i+i - r í : - ^

1 i

f. 1 B h. f, s. h. / 1+1 1+1 1 . / . , 1 1 1 , ,

^ ^ " K - - — r - ^ - ^i^ ^ t - ~ r - ^ ^^+1 - '

i = o, 1, .... n - 1 (C. 2)

Torna-se necessário o calculo de s . e s . 1 1+1

Diferenciando a equação (C. 2) e aplicando a condição

de continuidade da derivada primeira

i = 1, .... n-1 (C. 3)

Reescrevendo (C. 3).

-OÍ;-

^ - 1 ^ - 1

T - ^ - 1 ^ ' ^ T^-^ ^ V i = ^ = ' 2 n-l

f - f f - f 6 , 1+1 í 1 1-1,

^-i ^ TT^ ) ( c . 4) " • i ^ ^1-1

Definindo

s ^ f í ^ i i* 1=1, 2, n (C. 5)

Aplicando as condições S Q = 0 , obtem-se p ^ = O e T ^ = 0 .

Substituindo (C. 5) em (C. 4) obtem-se

d. - - - — T . 1 h. 1

. . . s . t i 1+1

h._ h._ • h h ^ ^ p, + 2 (1 + P. + 2 (l+-è^) (C. 6) ^ i h. ' h. "1 h.

onde

^ + 1 = - — ' + 1 = •

1^7" 1 - ^ 2 ( 1 - — ) — ^ ^ 2 (1 + — )

Com as condições s^ = O e P^^ = = O podemos calcu­

lar s pela equação (C. 6) e em seguida calcular o valor do po­

linomio (C. 2) no intervalo i.