Recorrência

Sumário

• Definições Recorrentes

‣ Seqüências, conjuntos e operações

• Resolução de Relações de Recorrência

Definições Recorrentes

• Uma definição recorrente é uma definição onde o item sendo definido aparece como parte da definição.

‣ definir algo em termos de si mesmo

• Exemplo: definição recorrente de fatorial

Partes de uma Definição Recorrente

• Base (ou condição básica)

‣ casos elementares definidos explicitamente

• Recorrência (ou passo indutivo)

‣ demais casos definidos em função dos casos elementares

• Recorrência é uma conceito importante que pode ser usado para definir:

‣ seqüências

‣ conjuntos

‣ operações

‣ algoritmos

Seqüências

• Uma seqüência é uma lista ordenada de elementos

• Exemplo:

‣ S = 2, 4, 8, 16, 32, ...

‣ S(1) = 2, S(4) = 16

Seqüências Definidas por Recorrência

• Uma seqüência é definida por recorrência nomeando-se, explicitamente, o primeiro elemento na seqüência e depois definindo-se os demais elementos em termos dos anteriores

• Exemplo (S = 2, 4, 8, 16, 32, ...)

‣ S(1) = 2

‣ S(n) = 2 * S(n-1), para n ≥ 2

Exercício

• Escreve os cinco primeiros valores da seqüência T definida a seguir

‣ T(1) = 1

‣ T(n) = T(n-1) + 3

Seqüência de Fibonacci

• É uma seqüência de números definida por recorrência como a seguir:

‣ F(1) = 1

‣ F(2) = 1

‣ F(n) = F(n-1) + F(n-2), para n ≥ 3

• Escreva os 8 primeiros termos da seqüência de Fibonacci.

Conjuntos

• Um conjunto é uma coleção de objetos

‣ não há nenhuma ordem imposta à coleção

• Conjuntos podem ser definidos por relações de recorrência.

‣ Base: objetos elementares do conjunto

‣ Recorrência: regra para composição de novos objetos do conjunto

Exemplo

• Definição recorrente do conjunto das fórmulas proposicionais bem formuladas (FBF)

‣ Base: uma proposição é uma FBF

‣ Recorrência: se P e Q são FBFs então P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P′, e P ↔ Q também são FBFs

Operações Definidas por Recorrência

• Certas operações podem ser definidas de forma recorrente

• Exemplo: definição recorrente da exponenciação an

‣ a0 = 1

‣ an = a * an-1, para n ≥ 1

Definições Recorrentes

Seqüência Pelo menos o primeiro valor é definido explicitamente; os demais valores são definidos em termos dos anteriores.

Conjunto

Pelo menos um elemento do conjunto é definido explicitamente; os demais

elementos são construídos a partir de elementos que pertencem ao conjunto.

OperaçãoUm caso trivial (elementar) é definido

explicitamente; demais casos são calculados a partir de casos menores.

Exercícios

• Escreve os cinco primeiros valores da seqüência M a seguir:

‣ M(1) = 2

‣ M(2) = 2

‣ M(n) = 2*M(n-1) + M(n-2)

• Considerando a série de Fibonacci, prove que F(n+1) + F(n-2) = 2F(n), para n≥3

Considere a seqüência S definida por recorrência:

S(1) = 2S(n) = 2*S(n-1)

Existe uma equação na qual podemos substituir o valor de n e calcular diretamente o valor de S(n)

sem ter que calcular os valores anteriores?

Considere a seqüência S definida por recorrência:

S(1) = 2S(n) = 2*S(n-1)

Existe uma equação na qual podemos substituir o valor de n e calcular diretamente o valor de S(n)

sem ter que calcular os valores anteriores?

S(n) = 2n

Resolvendo Relações de Recorrência

• Resolver uma relação de recorrência significa encontrar para ela uma solução em forma fechada.

• Uma solução em forma fechada para uma relação de recorrência sujeita a uma condição básica é uma equação na qual podemos substituir um valor para calcular diretamente o elemento que queremos.

Estratégias para Resolução de Recorrências

• Método “expandir, conjecturar e verificar”

• Solução geral

‣ no caso de uma relação de recorrência linear de primeira ordem.

“Expandir, conjecturar e verificar”

• Consiste em usar repetidamente a relação de recorrência para expandir a expressão do n-ésimo termo até que seja possível perceber uma equação para a solução em forma fechada.

• É preciso verificar a equação encontrada

‣ em geral, a verificação pode ser feita por indução

Exemplo

• Considere a condição básica e a relação de recorrência para a seqüência S a seguir:

‣ S(1) = 2

‣ S(n) = 2 * S(n-1)

• Encontre a solução em forma fechada para a relação de recorrência.

Passo 1: Expandir

S(n) = 2 * S(n-1)

Passo 1: Expandir

S(n) = 2 * S(n-1)

= 2 * 2 * S(n-2)

Passo 1: Expandir

S(n) = 2 * S(n-1)

= 2 * 2 * S(n-2)

= 2 * 2 * 2 * S(n-3)

Passo 1: Expandir

S(n) = 2 * S(n-1)

= 2 * 2 * S(n-2)

= 2 * 2 * 2 * S(n-3)

= 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4)

Passo 2: Conjecturar

S(n) = 2 * S(n-1)

= 2 * 2 * S(n-2)

= 2 * 2 * 2 * S(n-3)

= 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4)

Após k, expansões

Passo 2: Conjecturar

S(n) = 2 * S(n-1)

= 2 * 2 * S(n-2)

= 2 * 2 * 2 * S(n-3)

= 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4)...

= 2k * S(n-k)Após k, expansões

S(n) = 2k * S(n-k)

Podemos continuar com a expansão indefinidamente ou existe um limite para k?

S(n) = 2k * S(n-k)

Podemos continuar com a expansão indefinidamente ou existe um limite para k?

O limite é o caso base S(1), ou seja,

n-k = 1⇓

k = n-1

S(n) = 2k * S(n-k)

Podemos continuar com a expansão indefinidamente ou existe um limite para k?

O limite é o caso base S(1), ou seja,

n-k = 1⇓

k = n-1

⇓S(n) = 2n-1 * S[n-(n-1)] = 2n-1 * S[1] = 2n-1 * 2 = 2n

Passo 3: Verificar

• Por raciocínio indutivo, inferimos que a solução em forma fechada é S(n) = 2n.

• Ainda é preciso demonstrar que, de fato, S(n) = 2n, para todo n ≥ 1.

‣ podemos fazer isso por indução em n.

Estratégias para Resolução de Recorrências

• Método “expandir, conjecturar e verificar”

• Solução geral

‣ no caso de uma relação de recorrência linear de primeira ordem.

Recorrência Linear

• Uma relação de recorrência para uma seqüência S(n) é denominada linear se os valores anteriores de S aparecem na relação apenas na primeira potência.

• Forma geral:

‣ S(n) = f1(n)S(n-1)+f2(n)S(n-2)+...+fk(n)S(n-k)+g(n)

Recorrência de Primeira Ordem

• Uma relação de recorrência para uma seqüência S(n) é de primeira ordem se o cálculo do termo n depende apenas do termo n-1.

• Forma geral:

‣ S(n) = f1(n) S(n-1) + g(n)

Solução Geral

• Utilizando o método “expandir, conjecturar e verificar”, podemos encontrar uma solução em forma fechada geral para relações de recorrência lineares de primeira ordem com coeficientes constantes.

• Solução geral para

‣

S(n) = cS(n− 1) + g(n)

S(n) = cn−1S(1) +n�

i=2cn−ig(i)

Exemplo

S(n) = cS(n− 1) + g(n)

⇓

S(n) = 2S(n− 1)

c = 2 e g(n) = 0⇒

S(n) = 2n−1S(1) +n�

i=2

2n−10

= 2n−12 +n�

i=2

0 = 2n−12 + 0 = 2n

S(n) = cn−1S(1) +n�

i=2cn−ig(i)

i

Métodos para resolver relações de recorrência

Método Passos

“Expandir, conjecturar e

verificar”

1.Expandir a recorrência até que seja possível inferir um padrão;

2.Determinar o padrão para k = n-1;3.Demonstrar a fórmula resultante por indução.

Solução Geral

1.Escrever a recorrência na forma

2.Substitua c, S(1) e g(n) na fórmula geral

3.Calcule o somatório para obter a fórmula final

S(n) = cS(n− 1) + g(n)

S(n) = cn−1S(1) +n�

i=2cn−ig(i)

Exemplo: Solução Geral

• Considere a seqüência T como definida a seguir:

‣ T(1) = 2

‣ T(n) = T(n-1) + n + 1

• Encontre a solução em forma fechada para a relação de recorrência, utilizando o método da solução geral.