Recursos Computacionais no Ensino de Matemática

8/13/2019 Recursos Computacionais no Ensino de Matemtica

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Captulo 1

O Uso da Calculadora no Ensino de

Matematica

A entrada das tecnologias digitais na sala de aula de Matematica, sobretudo nas ultimas duas decadas,foi acompanhada de um intenso debate sobre seus efeitos na aprendizagem. Inicialmente, este debate,que nao se restringiu ao Brasil e se espalhou por todos os pases em que recursos computacionais foramsistematicamente introduzidos na escola, concentrou-se na tentativa de responder a questao se taisefeitos seriam beneficos ou maleficos. Por exemplo, especificamente sobre o uso de calculadorasno ensino de Matematica, o pesquisador ingles David Tall [46] ja observava ha 10 anos passados:

O uso de calculadoras e computadores em Matematica nem sempre tem sido tao bem sucedidoquanto poderia ser. Na Inglaterra, o uso de calculadoras com criancas tem sido desencorajado naesperanca de que sua ausencia permitiria que as criancas construissem relacoes aritmeticas men-

tais. Talvez esta atitude tenha mais a ver com o mal uso da calculadora (para efetuar calculossem ter que pensar) do que com qualquer falha inerente ao proprio aparato. Bem usada paraencorajar reflexao sobre ideias matematicas a calculadora pode ser muito benefica.

David Tall, 2001, p.212 (traducao nossa)

Neste sentido, temores iniciais de que o uso de calculadoras na sala de aula, por si so, atrofiariaas habilidades aritmeticas dos alunos eram, de certa forma, mal colocados. Os efeitos da ferramentana aprendizagem estao muito mais relacionados com a forma como ela e usada do que com suascaractersticas intrnsecas. De fato, esta constatacao aplica-se a qualquer tecnologia usada no ensino,seja esta de natureza computacional ou nao. Hoje, as tecnologias digitais estao cada vez mais presentesem praticamente todos os setores da atividade humana, portanto nao faria sentido bani-las da sala deaula sob pena de tornar a escola tao anacronica em relacao a vida exterior a seus muros a ponto de terum efeito inocuo na formacao dos alunos. Paralelamente a isso, a reflexao sobre os usos pedagogicosdessas tecnologias vem amadurecendo. Assim, o foco do debate deslocou-se da questao de seas tecno-logias digitais tem efeitos beneficos para a aprendizagem, para a questao de como usa-las de formaque seus efeitos sejam beneficos para a aprendizagem.

As calculadoras sao certamente as tecnologias digitais mais simples, baratas e de mais facil uso.Mesmo as calculadoras com menos recursos matematicos podem ser usadas de forma a enriquecer signi-ficativamente a abordagem. Seu uso como instrumento didatico oferece ao contexto de sala de aula, emsituacoes especficas, uma metodologia de ensino que permite ao professor dinamizar de modo simplesas aulas teoricas tratadas geralmente com metodologias tradicionais. O objetivo central deste primeiro

Captulo e discutir como e possvel desenvolver atividades pedagogicas1 interessantes e enriquecedoras1Grande parte as atividades propostas neste Captulo foram inspiradas ou adaptadas diretamente de [37]. Agradecemos

o autor e amigo Carlos Mathias pelas ideias e conversas inspiradoras.

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6 CAP ITULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEM ATICA

mesmo quando se dispoe apenas de recursos computacionais mnimos. Por isso, todas as atividadespropostas podem ser feitas com a calculadoras simples (em geral chamadas calculadoras de bol-so), que dispoem apenas das quatro operacoes elementares. Atividades de natureza mais complexa, quedemandariam mais recursos tecnologicos serao abordadas nos captulos subsequentes. O Captulo esta

dividido em duas secoes: na primeira, o foco das atividades estara mais na estrutura as operacoes e suaspropriedades; e na segunda nas caractersticas da representacao decimal, com enfase em aproximacoese erros.

1.1 Operacoes e Propriedades

Nesta secao, propomos atividades com objetivo de utilizar a calculadora para enriquecer a aprendizagemda estrutura das operacoes elementares (principalmente com numeros inteiros) e suas propriedades. Emgeral, essas propriedades sao ensinadas como regras, enunciadas no quadro negro. Atividades com a

calculadora podem complementar a abordagem tradicional de sala de aula, oferecendo aos alunos umaoportunidade de lidar com a estrutura das operacoes de forma mais concreta e dinamica.Para que esses objetivos sejam atingidos, e fundamental que os alunos sejam encorajados a in-

terpretar matematicamente os resultados da maquina e a desenvolver uma atitude crtica

em relacao a estes em lugar de simplesmente aceita-los como verdades inquestionaveis. Assim,o papel da calculadora em sala de aula nao deve se limitar a apenas conferir resultados obtidosmanualmente. Seu uso e mais rico em situacoes cuja interpretacao pelos alunos leve ao aprofundamentoda compreensao sobre as propriedades matematicas envolvidas, por exemplo, por meio da exploracao deresultados inesperados ou aparentemente errados. Por este motivo, o papel do professor em planejar eaplicar adequadamente as atividades e decisivo nao e a calculadora, por si so, que pode trazer efeitospositivos (ou negativos) a aprendizagem, e sim a forma como ela e empregada em sala de aula.

Atividades

1. Considere os numeros: 49, 71e 180. Com a ajuda da calculadora, construa exemplos de operacoes(adicao, subtracao, multiplicacao e divisao), que tenham cada um desses numeros como resulta-dos.

(a) Primeiro, de exemplos de operacoes envolvendo apenas numeros naturais.

(b) Agora, use quaisquer numeros (podendo ser inteiros, racionais ou irracionais).

2. Suponha que voce queira fazer uma conta envolvendo numeros grandes, como por exemplo:987123 110357. E bem provavel que use uma calculadora para obter o resultado. Comose tratam de numeros com muitos algarismos, mesmo com uma calculadora, nao e impossvelenganar-se ao digitar algum algarismo e obter um resultado errado.

(a) Suponha que depois de digitar os dados, tenha aparecido no visor o seguinte resultado:989455911. Este resultado pode estar certo? Justifique a sua resposta.

(b) Constatando que o resultado anterior nao estava correto, voce apaga e digita novamente osdados. Desta vez o visor mostra o seguinte: 108935822554. E este resultado, pode estarcerto? Justifique a sua resposta.

(c) Quantos algarismos voce espera que o resultado tenha?(d) Qual deve ser o ultimo algarismo do resultado?

(e) Voce seria capaz de descobrir que erros voce cometeu nos tens (a) e (b)?


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1.1. OPERACOES E PROPRIEDADES 7

3. Suponha que voce queira saber o resultado da conta7 (581 + 399), com ajuda de uma calcu-ladora. Voce digita os dados e a maquina fornece o resultado 4466. O resultado esta correto? Oque voce acha que aconteceu?

As atividades iniciais 1 a 3 procuram explorar apenas as propriedades das operacoes elementares,sendo apropriadas para alunos do 1o. segmento ou do incio do 2o. segmento de ensino fundamental. A

atividade 1 tem por objetivo inverter a logica usual de resolver contas e obter resultados, propondo que

os alunos inventem diferentes contas que levem a um mesmo resultado dado. O exerccio de inventar

contas pode ser explorado pelo professor para a reflexao sobre as propriedades das operacoes, alem

de colaborar com a pratica de calculo mental, estimulando os estudantes a pensarem sobre a relacao

entre as ordens de grandeza do resultado e dos operandos. Para isso, o professor pode ainda incluir na

atividade questoes chave mais direcionadas, como por exemplo:

Quantas multiplicacoes voce consegue exibir, envolvendo apenas numeros naturais, cujo resultado

seja49? E71? E180?

Observando que90 + 90 = 180, como voce pode descobrir outras contas de adicao que deem omesmo resultado?

Observando que2 90 = 180, como voce pode descobrir outras contas de multiplicacao, apenascom numeros inteiros, que deem o mesmo resultado?

Observando que2 90 = 180, como voce pode descobrir outras contas de multiplicacao, comnumeros inteiros ou fracoes, que deem o mesmo resultado?

Pode existir uma adicao, envolvendo apenas numeros naturais, cujo resultado seja 49 e uma dasparcelas seja60?

Pode existir uma adicao, envolvendo n umeros inteiros, cujo resultado seja 49 e uma das parcelasseja60?

Pode existir uma multiplicacao, envolvendo apenas numeros naturais, cujo resultado seja49 e umdos fatores seja60?

Pode existir uma multiplicacao, envolvendo apenas numeros naturais, cujo resultado seja49 e umdos fatores seja40?

Pode existir uma multiplicacao cujo resultado seja49 e um dos fatores seja 60?

Pode existir uma multiplicacao cujo resultado seja49 e um dos fatores seja 40?

Em uma adicao, quando voce aumenta uma das parcelas, o que deve acontecer com a outra para

que o resultado nao se altere?

Em uma subtracao, quando voce aumenta um dos termos, o que deve acontecer com o outro

para que o resultado nao se altere?

Em uma multiplicacao, quando voce aumenta um dos fatores, o que deve acontecer com o outro

para que o resultado nao se altere?

Em uma divisao, quando vo ce aumenta o dividendo, o que deve acontecer com o divisor para que

o resultado nao se altere?

Que propriedades das operacoes voce empregou para chegar as conclusoes acima?

Questoes como as exemplificadas acima podem contribuir com a compreensao de algumas proprie-

dades importantes das operacoes. Por exemplo, quando adicionamos um numero a uma das parcelas

de uma soma, para manter o mesmo resultado, devemos subtrair o mesmo numero da segunda parcela.


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5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 3, que seja adequada paraas turmas em que voce leciona. Que questoes chavevoce incluiria na atividade, para ajudar adirecionar a resolucao dos alunos.

Reconhecendo Padroes e Regularidades

As atividades a seguir exploram o reconhecimento de padroes nos resultados de operacoes aritmeticas.Em livros didaticos do ensino fundamental, nao e incomum encontrarmos exerccios do tipo completea sequencia, que pedem que o aluno reconheca e generalize um padrao numerico ou geometrico emuma sequencia, a partir de um pequeno conjunto de termos dados. O reconhecimento de padroes esem duvida uma habilidade fundamental para o desenvolvimento do pensamento matematico elementar.Entretanto, e importante considerar que a regra de formacao de uma sequencia nao pode ser inferidatendo como base apenas a verificacao de um conjunto finito de exemplos (uma sequencia numerica naoprecisa nem mesmo ter uma regra algebrica de formacao).

Assim, as atividades que se seguem nao visam apenas inferir o padrao a partir da verificacao dosexemplos dados e generaliza-lo para outros numeros quaisquer. O objetivo e reconhecer o padrao, jus-tifica-lo matematicamente, e determinar para que outros numeros este pode ser generalizado. A buscapor essas justificativas matematicas pode ajudar na compreensao dos algoritmos das operacoes e suasrelacoes com a estrutura do sistema de numeracao decimal. As atividades propostas abordam padroesnas representacoes decimais de numeros naturais (6 e 7) e de numeros racionais (8 e 9).

Atividades

6. Use a calculadora para fazer as seguintes contas de multiplicacao por 11: 13 11, 24 11,35 11. Observe que ha um padrao nos resultados.

(a) Descreva o padrao observado.

(b) Explique o padrao, com base no algoritmo da multiplicacao.

(c) Este padrao vale para qualquer multiplicacao de um numero de dois algarismos por 11?Justifique sua resposta.

(d) O que acontece se multiplicamos um numero com mais de dois algarismos por 11? Tambemobservaremos algum tipo de padrao? Justifique sua resposta.

7. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 21 202,48 202,35 202,17 202.

(a) Descreva o padrao observado nos resultados.(b) Explique o padrao, com base no algoritmo da multiplicacao.

(c) Para que tipo de multiplicacao esse padrao vale? Justifique sua resposta.

8. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 9, 2 9, . . ., 8 9. Explique o padraoobservado nos resultados.

9. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 99, 25 9, 43 9, 76 9. Explique opadrao observado nos resultados.

Na atividade 6, observamos que se um numero naturaln

possui 2 algarismos quando representadona forma decimal, entao podemos escreve-lo na forma n = 10a + b, coma, b N,0 a, b


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Observe que o desenvolvimento acima reproduz os passos do algoritmo usual da multiplicacao. Por-tanto, sen = 10a+be um numero com2 algarismos, cuja soma e menor que 10, entao a representacaodecimal de 11 n tem tres algarismos, sendo o das centenas a, o das dezenas a+ b e o das unidadesb. Na atividade 7, o padrao observado pode ser justificado de forma analoga. O papel da calculadora

nessas atividades e justamente permitir que o aluno obtenha os resultados sem usar o algoritmo, paraposteriormente refletir sobre o mesmo com base no padrao observado.

Nas atividades 8 e 9, e interessante chamar a atencao dos alunos para a determinacao da fracaogeratriz de um dzima periodica como soma de uma progressao geometrica infinita.

Atividades

10. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 6 a 9.

(a) Quais sao os principais conceitos matematicos enfocados?

(b) Quais sao, na sua opiniao, os objetivos das atividades?

(c) Qual e o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?

(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para aaprendizagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagens com recursos convencionais(isto e, sem o uso da calculadora)?

11. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 a 9, que seja adequada paraas turmas em que voce leciona.

Aprofundando a Compreensao das Operacoes

Como ja comentamos, existem muitas outras formas de explorar os recursos das calculadoras simplespara enriquecer a aprendizagem das operacoes elementares, sua estrutura e suas propriedades. A ideiageral e aproveitar os recursos da calculadora para oferecer aos alunos uma visao das opera-coes que seja diferente da abordagem usual de sala de aula, e que se articula e enrique ca

essa abordagem. Nas atividades a seguir, damos mais alguns exemplos. Porem leitor e fortementeencorajado a elaborar outras, de acordo com as caractersticas e dificuldades especficas de seu publicode alunos (como vimos propondo). Atividades como as 14 a 17 podem ser aplicadas em forma de jogoentre os alunos.

Atividades

12. (a) Digite 2 + 3 na calculadora. Em seguida, tecle o sinal de = varias vezes. Tome nota dosnumeros que vao aparecendo na tela. Que tipo de sequencia esses numeros formam?

(b) Agora, faca a mesma experiencia com a multiplicacao: digite 2 3 na calculadora e, emseguida, o sinal de = varias vezes. Que tipo de sequencia esses numeros formam?

13. (a) Suponha que voce tenha depositado R$150, 00 em uma caderneta de poupanca que rende0, 7%ao mes. Passado o primeiro mes, voce teraR$150, 00+R$150, 00 0,7

100 =R$150, 00

1, 007 = R$151, 05. Quantos meses voce devera esperar (sem fazer nenhum saque ou novodeposito) para obter 10% a mais da quantia aplicada?

Voce podera responder esta pergunta usando uma calculadora de bolso apenas com as quatrooperacoes elementares. Multiplique 150 por 1, 007 e aperte a tecla = sucessivamente, ateque o resultado mostrado na tela fique ultrapasse 150 1, 1 = 165. Conte o numero devezes que a tecla = foi pressionada.


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(b) Repita a experiencia, supondo agora que voce tenha aplicado R$350, 00 e queira obter umlucro de 10% da quantia inicial.

(c) As respostas dos tens anteriores dependem da quantia aplicada? Justifique sua respostascom base em argumentos matematicos.

14. Complete as espacos em branco nas expressoes abaixo, com os sinais das quatro operacoeselementares (+,, e), de forma que as igualdades sejam validas.

(a) (53 36) 15 = 1335 (b) 53 36 15 = 1923(c) 17 (25 83) = 41 (d) 11 17 23 = 4301(e) (14 66) 16 = 5 (f) 14 66 16 = 18, 125

15. Use uma calculadora para encontrar aproximacoes para os numeros a seguir, empregados apenasas teclas numericas e as teclas + , , , , e = (isto e, sem empregar a tecla depotenciacao a um expoente qualquer, se houver).

(a) 30,5 (b) 30,125 (c) 4

3 (d) 33,125

16. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 3 , 8 , + , e = estao funcionando.Voce conseguiria obter todos os numeros naturais de 1 a 10 apenas usando essas teclas?

17. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 5 , + , , , e = estao funcionando.Obtenha cada um dos numeros naturais de 1 a 10 apenas usando o menor numero possvel deteclas.

Na maior parte das calculadoras de bolso, quando pressionamos a tecla correspondente ao sinal deigualdade seguidamente, a ultima operacao realizada e repetida. Este recurso pode ser empregado noensino de diversas maneiras. As atividades 12 e 13 apresentam duas sugestoes neste sentido.

Na atividade 14, em lugar de obter os resultados conhecendo os operandos e as operacoes, a propostae que os alunos descubram as operacoes conhecendo os operandos e os resultados. Para escolher ossinais que tornam as igualdades verdadeiras, eles deverao avaliar as relacoes entre os operandos e osresultados (tais como ordens de grandeza e caractersticas da representacao decimal), assim como nasatividades 2 e 3.

A atividade 15 visa a exploracao das propriedades de potenciacao e radiciacao, por meio da decom-posicao potencias de diversos expoentes em razes quadradas. De forma semelhante, na resolucao dasatividades 16 e 17, os alunos deverao decompor numeros naturais de 1 a 10 de diferentes maneiras.O exerccio de decompor numeros naturais de diferentes formas e importante para a compreensao dos

sistema de numeracao decimal e das estruturas dos algoritmos das quatro operacoes.

Atividades





(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para aaprendizagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagens com recursos convencionais

(isto e, sem o uso da calculadora)?19. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 12 a 17, que seja adequada para

as turmas em que voce leciona.


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1.2 Aproximacoes, Arredondamentos e Erros

Na secao 1.1, destacamos a importancia do desenvolvimento de uma atitude de interpretacao crticados resultados produzidos pela calculadora por parte dos alunos. As atividades 2 e 3 daquela secao

visavam a formacao dessa atitude crtica a partir de usos erroneosda maquina, isto e, erros cometidospelo proprio usuario. Entretanto, nao sao apenas erros de uso que provocam resultados aparentementeerrados ou inesperados estes podem ser causados por limitacoes inerentes a propria maquina.

Tais resultados sao produzidos, de forma geral, porerros de arredondamento: como uma calculadoraso tem capacidade para armazenar numeros com representacao decimal finita, todos os numeros comrepresentacao infinita (e mesmo aqueles com representacao finita, porem superior a capacidade damaquina) sao aproximados por numeros com representacao finita. Isto e, as calculadoras (pelo menosas mais simples)nao operam com n umeros com representacao decimal infinita, e sim com aproximacoespara esses numeros. A imprecisao nos resultados de calculos aproximados pode aumentar quandoos erros de arredondamento sao propagados, isto e, quando resultados aproximados sao usados em

novos calculos, gerando aproximacoes sobre aproximacoes. Evidentemente, algumas maquinas possuemcapacidade de armazenamento superior a outras, podendo produzir resultados mais precisos, poremtodas tem capacidade finita. Portanto calculos com decimais infinitos envolverao necessariamenteimprecisoes e erros de alguma ordem.

Desta forma, a atitude de interpretacao crtica dos resultados por parte dos alunos nao se refereapenas a seus proprios eventuais erros de uso, mas sobretudo ao funcionamento e as limitacoes damaquina. A consciencia das limitacoes da calculadora e do fato de que ela pode produzir resultadosimprecisos ou aparentemente errados e fundamental para a compreensao de que a maquina naopode ser usada como criterio de validacao matematica. Os resultados da maquina devem serinterpretados e avaliados com base em argumentos matematicos (e nao ao contrario). Este sera oenfoque desta secao.

Algumas das atividades propostas a seguir (1 a 3) visam especificamente chamar atencao para aslimitacoes da calculadora, por meio da interpretacao de resultados aparentemente errados ou imprecisos.As seguintes (6 a 10) abordam processos de aproximacoes sucessivas, que podem ser empregados comointroducao ao conceito de limite. A princpio, pode-se pensar que os erros de aproximacao da maquinaconstituem-se necessariamente em um obstaculo para a aprendizagem do conceito de limite. Porem,justamente esses erros podem ser explorados pelo professor para introduzir de forma mais explcitaa natureza matematica da nocao de limite: o conceito matematico de limite escapa da precisao damaquina, por melhor que esta seja, ou de qualquer precisao finita.

Atividades

1. As figuras abaixo representam resultados de certas operacoes matematicas feitas em uma cal-culadora, mostrados no visor. Sem saber as operacoes que foram efetuadas, e possvel saber seesses numeros sao racionais ou nao, apenas nos resultados do visor? Justifique sua resposta.


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1.2. APROXIMACOES, ARREDONDAMENTOS E ERROS 13

2. Ao usar uma calculadora de bolso para fazer uma conta cujo resultado n ao e um numero inteiro,o visor mostrara uma aproximacao desse resultado, usando todas as casas decimais disponveis.Levando isso, em conta, responda as perguntas a seguir, justificando suas respostas.

(a) Use a calculadora para fazer a conta 1 3. Se voce multiplicar o resultado mostrado novisor por 3, voce encontrara o numero1 novamente?

(b) Use a calculadora para fazer a conta

2. Se voce elevar o resultado mostrado no visor aquadrado, voce encontrara o numero2 novamente?

3. Considere a conta 0, 0000111 9999456 9999123. Como sabemos, podemos fazer efetuaressa conta de diversas maneiras diferentes: (0, 0000111 9999456) 9999123, ou 0, 0000111(9999456 9999123), ou ainda(0, 0000111 9999123) 9999456. As propriedades das ope-racoes de multiplicacao e divisao garantem-nos que obteremos o mesmo resultado. Use umacalculadora para fazer a conta dessas duas maneiras. Compare os resultados. Voce pode explicar

o que aconteceu?Muitos livros didaticos do ensino basico apresentam exerccios propondo a classificacao de numeros

como racionais ou irracionais, com base em sua representacao decimal. Entretanto, frequentementetais exerccios nao incluem informacoes suficientes para a conclusao pedida. O objetivo da atividade1 e mostrar que, apenas com uma amostra finita da representacao decimal de um numero real, naoe possvel concluir se este e racional ou nao. Por exemplo, embora a expressao que aparece na telada esquerda possa sugerir a representacao de um numero irracional (pois os algarismos nao repetem),trata-se apenas de uma expressao decimal finita que pode representar uma aproximacao, tanto paraum irracional quanto para um racional. De fato, a representacao decimal da fracao 1

19 e uma dzima

periodica cujo perodo tem 18 dgitos, sendo os 16 primeiros coincidentes com a expressao dada:

1

19= 0, 052631578947368421 .

Em continuidade, as atividades 2 e 3 ilustram erros causados por arredondamentos. Para fazer aexperiencia proposta na atividade 2, os alunos poderao anotar o resultado da primeira operacao quee mostrado na tela, limpar a memoria da calculadora, digitar o mesmo resultado, efetuar a operacaoinversa, verificando que naose retorna ao numero original. A atividade 3 exemplifica uma situacao emque um erro de arredondamento pode fazer com que a calculadora forneca resultados diferentes parauma mesma operacao efetuada em ordens diferentes (dependendo da precisao da calculadora utilizada).Observe que neste exemplo, essencialmente, estamos multiplicando um numero proximo de 0 por um

numero proximo de 1. Assim, se a divisao for efetuada primeiro, em uma calculadora com precisaobaixa, esse resultado parcial pode ser arredondado para 1, afetando o resultado final.

Atividades





(d) Faria sentido aplicar essas atividades sem o uso da calculadora?



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Aproximacoes e Limites

Nas atividades a seguir, lidamos com aproximacoes ou em termos matematicos formais, limites desequencias de numeros reais. O conceito de limite e um dos mais importantes e centrais de toda a

Matematica, e mesmo nao figurando explicitamente nos currculos, este pode (e deve) ser introduzidoinformalmente no ensino basico, por meio da ideia intuitiva de aproximacao. A calculadora pode serum recurso didatico de grande ajuda para esta introducao.

Em particular, a ideia de aproximacao e importante para o ensino do conceito de numero irracional.Em geral, a abordagem de numeros irracionais no ensino basico e bastante restrita. Usualmente, rece-bem pouca enfase as motivacoes para a propria necessidade de ampliacao do conjuntos dos numerosreais (isto e, de que problemas matematicos os numeros racionais nao dao conta), e as justificativas parapropriedades referentes a representacao decimal de irracionais (tais como, um numero e irracional se,e somente se, sua expressao decimal e infinita e nao periodica), ou mesmo para as expressoes decimaisde exemplos especficos de numeros irracionais. Aproximacoes para numeros irracionais, desenvolvidascom ajuda da calculadora, pode enriquecer significativamente a abordagem de numeros irracionais, suarepresentacao decimal e localizacao na reta real.

Atividades

6. O objetivo desta atividade e determinar aproximacoes decimais para

2. Sabemos que 12 =1 < 2 < 4 = 22. Isto nos permite concluir que 1 0 entao lim

n+n

a = 1, portanto o erro| na 1| pode ser

feito tao pequeno quanto se queira, para n N suficientemente grande. Entretanto, nao podemos tern

a = 1para nenhum a= 1. A discussao proposta na atividade 8 pode ser usada para mostrar que, por

melhor que seja a precisao de uma calculadora, e sempre possvel tomar ngrande o suficiente para quea diferenca entre n

a e 1 fique ainda menor que esta precisao. Assim, pode-se ilustrar concretamente

o fato de que dizer que n

a tende a 1 significa dizer que| na 1| fica menor que qualquer precisaofinita.

Atividades

9. Use o mesmo procedimento da atividade 6, encontre aproximacoes para os numeros abaixo, comerro menor que 0, 01.

(a)

3 (b) 3

2 (c) 32

3

10. Use o mesmo procedimento da atividade 7, encontre aproximacoes sucessivas para o numero 10.





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(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para aaprendizagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagens com recursos convencionais(isto e, sem o uso da calculadora)?



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18 CAP ITULO 2. PLANILHAS ELETR ONICAS

calculadoras de bolso, seu uso em atividades desta natureza apresenta algumas diferencas importantesdo ponto de vista pedagogico, em relacao ao uso da calculadora:

De forma geral as planilhas possuem maior precisao que as calculadoras, portanto possibilitam a

visualizacao e o tratamento de dados numericos com mais casas decimais.

Os recursos das planilhas tambem oferecem a possibilidade de manusear os dados das atividadede forma mais dinamica e com menos uso de teclas, uma vez que as formulas e dados digitadosem uma celula podem ser generalizados para outras por meio do recurso de arrastar.

Aa planilhas geram automaticamente um registro tanto das operacoes e funcoes matematicasempregadas no problema, quanto dos dados da solucao. Para guardar tais registros com o usoda calculadora, e preciso manter um controle paralelo em papel.

Por outro lado, os smbolos encontrados nas calculadoras de bolso sao essencialmente os mesmose obedecem as mesmas regras com que os alunos estao acostumados a lidar desde a alfabetizacao

matematica nos anos inicias, enquanto as planilhas eletronicas possuem simbologia e sintaxeproprias, cuja aprendizagem por si so demanda maior maturidade por parte do aluno.

Essas caractersticas podem ser mais ou menos aproveitadas, dependendo dos objetivos pedagogi-cas da atividade em questao e do ano escolar dos alunos. Por exemplo, para explorar propriedades dasoperacoes e propriedades aritmeticas com alunos dos anos inicias do ensino fundamental, a calculadorae possivelmente mais adequada, por possibilitar um foco mais especfico nesses objetivos. Por outrolado, a planilha eletronica pode ser adequada em anos escolares mais adiantados, contribuindo com umatransicao gradativa do trabalho com aritmetica nos anos inicias, em direcao ao pensamento algebrico-simbolico, de natureza mais sofisticada e abstrata. A atividade 1 visa justamente comparar as vantagens

e desvantagens da realizacao das mesmas atividades com a calculadora e com a planilha.O uso da planilha eletronica para construir aproximacoes para numeros irracionais (como propoemas atividades 1 a 4) pode enriquecer significativamente a abordagem desses numeros. Em geral, ex-pansoes decimais para numeros irracionais sao apresentadas no ensino basico sem maiores justificativasmatematicas e ou manipulacoes concretas. As aproximacoes construdas em planilhas eletronicas, em-pregadas em uma abordagem cuidadosamente planejada pelo professor, podem promover uma maiorfamiliaridade dos alunos com as representacoes decimais para numeros irracionais e suas pro-priedades, especialmente quando a programacao e feita por eles proprios. Em particular, a experienciacom planilhas pode fornecer uma ideia mais concreta para o fato de que as aproxima coes decimaisfinitas para um numero real dado constituem os termos de uma sequencia convergente, cujo limite eeste numero. Entretanto, como no Captulo 1, e importante observar ainda que devem ser exploradasnao sao as potencialidades tecnicas, como tambem as situacoes em que o software produz resultadosinesperados ou aparentemente errados.

Atividades

1. Repita as atividades 6 e 7 da se cao 1.2 usando uma planilha eletronica. Aumente o numero decasas decimais da aproximacao. Que vantagens e desvantagens pedagogicas voce ve no uso daplanilha, em relacao ao uso da calculadora, para realizar esta atividade?

2. Digite o numero2na celulaA1de uma planilha eletronica. Na celulaA2, digite=(A1+2/A1)/2.

Em seguida, selecione e arraste a celula A1 ao longo da coluna A. De que numero os valores queaparecem nessa coluna estao se aproximando? Justifique matematicamente a sua resposta.

3. Utilizando a mesma ideia da atividade 2, crie uma sequencia de numeros reais que tenda a

3.


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2.1. SIMBOLOGIA ALG EBRICA 19

4. Digite o numero 1 na celulaA1 de uma planilha eletronica. Na celulaA2, digite=(A1+1)0,5.Em seguida, selecione e arraste a celula A1 ao longo da coluna A.

De forma analoga a atividade 2, podemos concluir que o numero para o qual os valores da coluna

A estao se aproximando satisfaz a equacao x2

x

1 = 0. Esta equacao possui duas razes

reais: x1 = 1 + 5

2e x2 =

1 52

. Por que os valores que aparecem na planilha se aproximam

da primeira raiz, e nao da segunda?

5. Um aluno estava estudando o comportamento de duas sequencias numericas infinitas, para tentardescobrir para onde elas tendiam. Sem pistas para obter a resposta, ele decidiu recorre a uma

planilha eletronica. Para programar essa planilha, o aluno procedeu da seguinte forma:

A coluna A foi numerada com numeros naturais em sequencia de 1 a 1. Nas posicoes correspondes a primeira linha das colunas B, C, D eE, ele escreveu, respec-

tivamente: =1/A1;=B1;=1/A12;=D1. Nas posicoes correspondes a segunda linha das colunasB, C, D eE, ele escreveu, respec-tivamente: =1/A2;=C1+B2;=1/A22;=E1+D2.

A primeira e a segunda linhas da tabela foram selecionadas e arrastadas ate completar amilesima linha.

A figura abaixo mostra um trecho da planilha programada por ele.


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(a) Explique o comportamento dos valores mostrados nas colunasB, C, D e E da planilha.

(b) Na sua opiniao, que sequencias o aluno estava tentando estudar?

(c) Voce considera que a planilha pode ajuda-lo a determinar os limites procurados?

(d) Se o aluno arrastasse ate a milionesima linha, em lugar de parar na milesima, voce acho queele teria mais pistas para a resposta do problema?

(e) Determine os limites.

Como ja comentamos, um primeiro objetivo das atividades anteriores e o entendimento da propriasimbologia e regras sintaticas das planilhas eletronicas, em particular, como as formulas inicial-mente digitadas em uma celula se generalizam com a ferramenta de arrastar.

Na atividade 2, os valores que aparacem na coluna A correspondem aos termos da sequencia denumeros reais definida recursivamente da seguinte forma:

x1= 2xn+1=

xn+ 2/xn2

n 1 (2.1)

Observando a planilha, podemos perceber que os valores que aparecem na coluna A parecem seaproximar do numero

2. Para ter certeza da validade deste fato, devemos buscar uma justificativa

matematica. Empregando as operacoes aritmeticas com limites observamos que, caso o limite dasequencia (x

n)nN definida em 2.1 exista, teremos:

lim xn+1= lim

xn+ 2/xn

2

=

lim xn+ 2/ lim xn2

.

Alem disso, e claro que lim xn+1= lim xn. Portanto, x= lim xn devera satisfazer a equacao:

x=x+ 2/x

2 ,

que e equivalente a x2 = 2. Um argumento de inducao finita garante-nos que, se comecamos comum termo inicialx1>0, entao todos os demais termos da sequencia (xn)definida em 2.1 serao todospositivos. Isso nos leva a concluir que, de fato,lim x

n=

2.Entretanto, este argumento nao esta completo! Para que ele seja valido precisamos, de antemao,

ter certeza que o limite existe, pois caso contrario nenhuma das operacoes que foram feitas com eleseria valida. Para demonstrar a existencia do limite, comecamos considerando a funcao realf : R

R

definida por:

f(x) =x+ 2/x

2 .

A analise da derivada de fnos diz que a funcao possui um mnimo absoluto no ponto (

2,

2),isto e, f(x)

2x >0. Como xn+1=f(xn) e ja sabemos que xn>0 n N, entao xn+1

2

n 1, isto e, xn

2n 2. Como x1 = 2>

2, entao, xn

2 n 1. Logo, a sequencia(x

n) e limitada inferiormente por

2.

Agora, observe que: xn

2 x2n 2 x

n 2

xn

. Portanto:

xn+1=

xn+ 2/xn

2

xn+xn

2 =xn n

1.Logo, (x

n) e monotona decrescente. Assim a sequencia e limitada inferiormente e monotona de-

crescente, o que garante que (xn) e convergente, isto e, existe o limite.


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A atividade 3 pede uma adaptacao da atividade 2. De forma mais geral, dados a R,a >0, ekN, voce podera obter aproximacoes para o numero k

a, utilizando a sequencia definida recursivamente

da seguinte forma (verifique):

x1= 1xn+1=

(k 1) xn+a/xnk

n 1A atividade 4 explora uma ideia semelhante a da atividade 2, para construir uma sequencia conver-

gindo ao numero aureo.Na atividade 5, as colunas B, C, D e E da planilha representam, respectivamente, os termos das

seguintes sequencias:

an= 1

n sn =

n

k=11

k bn=

1

n2 tn =

n

k=11

k2.

Entretanto, uma analise pouco cuidadosa dos valores mostrados na planilha pode sugerir conclusoeserroneas sobre o comportamento das sequencias. Sabemos que o comportamento de convergenciadessas sequencias e como dado abaixo. Provas para estes fatos podemo ser facilmente encontradas emlivros de analise real.

lim1

n= lim

1

n2 = 0 lim

nk=1

1

k = + lim

nk=1

1

k2 =

2

6 .

Assim, as sequencias (an) e (bn) tem ambas limite 0. Porem, as colunas B e D da planilha (quecorrespondem, respectivamente, a seus termos) parecem sugerir comportamentos distintos: os valoresmostrados nessas colunas parecem se estabilizar em 0, 001 e 0, respectivamente. Como a sequencia(an) tende a 0, seus termos nao podem se estabilizar em 0, 001; e embora (bn) tenda a 0, seus termosnunca atingem o valor 0. Isto ocorre porque (bn) converge a 0 a uma taxa inferior que a de (an).

Por outro lado,(sn)e (tn)tem comportamentos distintos: a primeira diverge a infinito, enquanto asegunda converge a um valor finito. Porem, as colunasCe Epodem sugerir o mesmo comportamentopara essas sequencias: ambas parecem se estabilizar em valores finitos. Isto ocorre porque(sn) tendea +a uma taxa de crescimento muito baixa.

Os exemplos da atividade 5 mostram que a simples verificacao do comportamento dos termos de umasequencia no computador pode sugerir conclusoes erroneas sobre a existencia ou nao de seus limites.Sem duvida, a programacao e manipulacao de sequencia de numeros reais em planilhas eletronicaspropicia uma experiencia concreta, que pode contribuir significativamente com a aprendizagem dos

alunos. Porem, como ja observamos, as conclusoes devem sempre ser sustentadas por argumentosmatematicos.

Atividades

6. Na atividade 2, comecamos digitando o numero 2 na celula A1 da planilha. Isto significa que oprimeiro termo da sequencia definida e 2.

(a) Aproveite a planilha que voce construiu na atividade 2 e altere o valor da celula A1para 1.O valor do limite da sequencia continua o mesmo?

(b) Experimente alterar a celula A1 para outros valores positivos. Observe o comportamento

da sequencia.(c) Agora, altere a celula A1para valores negativos. Observe o comportamento da sequencia.

(d) Investigue e justifique matematicamente o que voce observou nos tens anteriores.


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7. Na atividade 2, a planilha eletronica foi empregada para representar o comportamento de umasequencia definida recursivamente. Frequentemente utilizamos as propriedades de operacoes comlimites para determinar o limite de sequencias desse tipo. Entretanto, para isso, devemos tergarantia de antemao da existencia desses limites. Caso contrario, estaremos aplicando operacoes

sem validade, que podem levar a conclusoes erroneas. Como exemplo desses erros, considere asequencia de numeros reais (a

n)nN definida da seguinte forma: a1= 2an+1=

1

2(a2

n+ 1), se n 1.

(a) Mostre que (an

) e crescente.

(b) Use uma planilha eletronica para representar os termos de (an

).

(c) Considere o seguinte argumento para determinar o limite de (an

):

Temos quex= lim an+1= lim an. Entao, podemos tomarx= lim an+1= lim an. Logo,

an+1= 12(

a2n+ 1) lim an+1=12

(lim an)2 + 1

x=1

2(x2 + 1) x2 2x+ 1 = 0 x= 1

Logo,lim an

= 1.

Este argumento esta correto? Justifique sua resposta.

(d) O que voce concluir sobre a convergencia desta sequencia? Justifique sua resposta.

Suponhamos que o limite a sequencia (an

) da atividade 7 exista. Entao este limite deve ser, porum lado, maior ou igual a 2 (pois, pelo item 7a, (a

n) e crescente e seu primeiro termo e 2), e por

outro, igual 1 (pelo argumento do item 7c). Logo, (an

) nao e convergente. Por isso, a aplicacao das

propriedades operatorias com o limite que nao existe levam-nos a uma conclusao contraditoria.Nas atividades anteriores, observamos diferentes exemplos, em que as representacoes para as

sequencias numericas nas planilhas eletronicas nem sempre sugerem, pelo menos a primeira

vista, comportamentos consistentes com o comportamento matematico. Desta forma, vimosexemplos de: sequencias convergentes e sequencias divergentes a infinito cujo comportamento podeser facilmente observado nas planilhas, assim como sequencias convergentes que parecem tender a umlimite diferente do verdadeiro e sequencias divergentes a infinito que parecem convergir um limite finitoquando representadas nas planilhas. Ressaltamos que a busca pelas justificativas matematicaspara essas aparentes diferencas de comportamento podem ser explorados pelo professor

para enriquecer a compreensao dos alunos sobre sequencias e representacao decimais de

numeros reais.

Atividades




(c) Qual e o papel da planilha eletronica no desenvolvimento das atividades?

(d) Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendi-zagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagens com recursos convencionais (isto

e, sem o uso de recursos computacionais)?9. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 7, que seja adequada para

as turmas em que voce leciona.


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Articulando Representacoes

As atividades 10 a 13 propostas a seguir procuram explorar os recursos das planilhas eletronicas para otracado de funcoes reais de variavel real. Este tema sera tratado em mais detalhes no Captulo 3, em que

sera discutido o uso de softwares desenhados especialmente para esse objetivo. Este nao

e o caso dasplanilhas eletronicas: o recurso que adaptamos para tracar graficos de funcoes reais e originariamenteconcebido para a representacao de dados estatsticos em graficos de linhas. Essa adaptacao causaalgumas limitacoes para a realizacao das atividades.

Em primeiro lugar, os graficos sao obtidos pela interpolacao de pontos por meio de segmentos dereta. Assim, eles podem ter aspecto mais de poligonais do que de curvas suaves. Alem disso, nao e pos-svel ter controle do intervalo de visualizacao no eixo vertical, pois este e determinado automaticamentepelo software a partir dos valores da variavel. Em alguns casos, isso pode prejudicar a visualizacaodos graficos. Entretanto, estas limitacoes nao inviabilizam o uso das planilhas eletronicas para a abor-dagem de graficos de funcoes em sala de aula. Como ja comentamos, as limitacoes tecnicas dossoftware podem ser exploradas como potencialidades pedagogicas, para motiva exploracoes

matematicas. Por exemplo, as situacoes em que os graficos adquirem o aspecto de poligonais podemser usadas para mostrar que o metodo de tracar graficos simplesmente por meio de marcacao e inter-polacao de pontos pode conduzir a erros. Esta discussao e proposta aos alunos nos tens 10b e 11c.Retomaremos e aprofundaremos essa questao no Captulo 3.

Atividades

10. Nesta atividade, propomos a construcao de graficos de funcoes a partir de tabelas de valores.Neste exemplo inicial, ficaremos restritos a curvas de grau menor ou igual a 2, descrevendo oprocedimento passo a passo.

Insira diferentes valores de entrada da funcao (elementos do domnio) na coluna A daplanilha.

Escreva a formula para a funcao escolhida na primeira celula da coluna B e arraste estacelula para baixo ao longo da coluna, ate o fim dos valores inseridos na coluna A.

Em seguida, selecione a colunaB e use o recurso do software para construir um grafico comos dados inseridos.

A figura abaixo exemplifica um tipo de sada possvel para uma parabola do tipo y =ax2 +bx +c, com a = 1, b = 1e c = 2.

(a) Atribua novas valoresa, b e c e interprete o comportamento da funcao.(b) Observe que o grafico mostrado parece ser formado por pequenos segmentos de reta. Como

voce explica esse comportamento?


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11. (a) Numere a colunaA de uma planilha de 3 a 3, de 1 em 1. Escreva =A12 na primeiracelula da colunaB e arraste esta celula para baixo ao longo da coluna, ate o fim dos valoresinseridos na coluna A. Selecione a coluna B e use o recurso do software para construirgraficos. Observe o grafico tracado.

(b) Agora, repita a operacao, numerando a colunaA de 3a 3, de 0, 5em 0, 5. Trace o graficoe compare com o aspecto do grafico anterior.

(c) Qual dos graficos melhor retrata a curva y = x2? Como voce poderia melhorar mais oaspecto desse grafico?

12. Numere a coluna A de uma planilha de 3a 3, de 0, 5em 0, 5.

(a) Escreva =A1+1na celula B1 e =B1+1 na celula C1. Em seguida, arraste as celulas B1e C1 para baixo, ate o fim dos valores inseridos na coluna A. Selecione as colunas B e Buse o recurso do software para construir graficos. Qual e relacao entre os graficos tracados?

(b) Agora, altere a celula B1 para =A12 e arraste esta celula para baixo ao longo da colunaB, ate o fim dos valores inseridos na coluna A, sem alterar a colunaC. Observe as mudancasnos dois graficos tracados. Qual e relacao entre esses graficos?

(c) Altere novamente a celula B1para=SEN(A1)e repita a operacao do item anterior: arrasteesta celula para baixo ao longo da coluna B, ate o fim dos valores inseridos na coluna A,sem alterar a coluna C. Qual e relacao entre os graficos tracados?

13. (a) Aproveitando a construcao da atividade 12, insira =A1+1 na celula B1 e =ABS(B1) nacelula C1 e arraste estas celulas para baixo ate o fim dos valores inseridos na coluna A.Use o recurso do software para construir os graficos correspondentes aos dados nessas duas

colunas. Explique a relacao entre os graficos tracados.

(b) Altere a celula B1 para=A12-1e arraste-a para baixo, ate o fim dos valores inseridos nacolunaA. Observe as mudancas nos graficos e explique a relacao entre eles.

(c) Agora, altere a celula B1 para =SEN(A1) e arraste-a para baixo, ate o fim dos valoresinseridos na colunaA. Mais uma vez, observe as mudancas nos graficos e explique a relacaoentre eles.

(d) Repita os tens anterior B12 na celula C1. Compare o comportamento dos diferentesgraficos tracados.

(e) Faca novas alteracoes nas colunasB e C, sempre procurando explicar o comportamento dos

graficos tracados.

As atividades 10 e 11 sao de carater introdutorio e visam a familiarizacao com os recursos disponveisem planilhas eletronicas para o tracado de graficos. Como comentamos no incio desta secao, a propriaaprendizagem simbologia e da sintaxe do software pode ser um exerccio enriquecedor por si so. Arepresentacao e manipulacao de objetos matematicos na planilha eletronica deve obedecer a regrassintaticas especficas assim como a linguagem simbolica matematica usual. Porem, no caso do soft-ware, a correcao das regras e condicao necessaria para a obtencao de resultados, o que nao ocorrequando o aluno resolve problemas com papel e lapis. Assim, a experiencia com a planilha podecontribuir com aprendizagem da simbologia algebrica e com a transicao do pensamentopuramente aritmetico para o pensamento algebrico.

As atividades 12 e 13 exploram a ideia de composicao de funcoes. A colunaB e C da planilha frepresentam respectivamente os valores de uma funcaofe de uma funcao compostag f. Na atividade12, a funcao g e mantida fixa e a funcao f e alterada (figura 2.1). Na atividade 13, as funcoes f e g


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sao alteradas (figura 2.2). Os recursos do software permitem que as mudancas de comportamento nosgraficos de f e de gfsejam visualizadas ao mesmo tempo as funcoes sao alteradas.

No ensino medio, em geral os exerccios sobre composicoes de funcoes reduzem-se a procedimentospara determinar expressoes algebricas das compostas, dada as expressoes algebricas das funcoes origi-

nais. O uso do computador permite a comparacao das propriedades das funcoes compostas com aspropriedades das funcoes originais, a partir da articulacao das representacoes algebricas, numericas egraficas.

Figura 2.1: Composicao de funcoes em planilhas eletronicas: os graficos de y = g(x+ 1), y= g(x2

) ey = g(sen x), sendo g(x) = x+ 1.

Figura 2.2: Composicao de funcoes em planilhas eletronicas: os graficos de y = g(x+ 1), y= g(x2) ey = g(sen x), sendo g(x) =|x|; e de y=g(x+ 1), y=g(x2) e y = g(sen x), sendo g(x) =x2.

Atividades




(c) Qual e o papel da planilha eletronica no desenvolvimento das atividades?

(d) Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendi-zagem dos conceitos enfocados, em relacao a abordagens com recursos convencionais (istoe, sem o uso de recursos computacionais)?



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2.2 Tratamento da Informacao

Os recursos tecnologicos disponveis, atualmente com amplo uso na sociedade, ampliaram as possibilida-des de tratamento de dados de modo a transforma-los em informacoes com grande potencial de analise e

aplicacao em diversos campos do conhecimento. Tais possibilidades tem sido cada vez mais aplicadas noensino basico de Matematica, mobilizando os conhecimentos desenvolvidos pelos alunos em estatsticabasica. Inclui-se a a analise de dados obtidos em coletas empricas que, mesmo quando emgrande volume, podem ser organizados e interpretados, por meio de graficos de diversos tipos,tabelas, e de medidas estatsticas de tendencia central, como media, mediana e moda. Tais ferramentasconceituais que podem cumprir dupla finalidade. Por um lado, contribuem com aformacao cidada doaluno, na medida em que oferecem acesso, de modo rapido, a diversificadas formas de apresentacaoda informacao, que possibilitam interpretacoes de situacoes e dao suporte a tomadas de decisoes. Aomesmo tempo, permitem a utilizacao de contextos familiares do dia para oaprendizado de conceitosmatematicos e sua articulacao com outros campos do conhecimento.

Assim, abordagem de tratamento da informacao com apoio de recursos computacionais pode pro-mover uma nova dinamica a sala de aula. No ensino basico, espera-se que o trabalho com Estatsticaseja calcado em um processo investigativo, por meio do qual o estudante manuseie dados desde acoleta ate a interpretacao, e formulacao de conclusoes finais.

Apresentamos a seguir de atividades que visa explorar o uso de planilhas eletronicas para apresentar acoleta, organizacao, interpretacao e apresentacao de dados numericos em tabelas e graficos. Exploramosainda o calculo de medidas estatsticas como media, mediana, moda e seus significados.

Atividades

1. Solicite aos alunos da turma formem grupos de ate seis componentes e construam uma tabela

que relacione a altura (em metro) com o tamanho do palmo (em centmetros) de cada um dosestudantes. Cada grupo deve anotar esses dados em uma planilha eletronica e usar os recursosdisponveis para responder as questoes a seguir.

(a) Determine os valores da media, moda e mediana para os dados de seu grupo.

(b) Explique o significado estatstico da media, da moda e da mediana. Podemos afirmar quenecessariamente existe um aluno da grupo cuja altura coincide exatamente com o valor damedia? E da mediana? E da moda? Justifique suas respostas.

(c) Construa uma tabela de frequencia para cada uma das medidas: altura e palmo.

(d) Escolha uma representacao conveniente e represente graficamente os dados: altura palmo.

(e) Voce considera que ha alguma relacao entre a altura e o tamanho do palmo dos colegas?Justifique sua resposta.

(f) Anote os dados de cada um dos outros grupos e compare os dados tabelados e os valoresdas medidas estatsticas calculadas no item 1a.

(g) Voce considera que ha alguma relacao entre a media, da moda e da mediana das alturas edos tamanhos dos palmos dos diferentes grupos? Justifique sua resposta.

2. Formule uma atividade de coleta e organizacao de dados que possa ser aplicada em uma turmade ensino medio.

(a) Escolha a melhor representacao grafica dentre as possibilidades da planilha eletronica.

(b) Use as funcoes da planilha de calculo e determine os valores da media, moda e mediana.(c) Relate que conclusoes voce pode inferir sobre os dados coletados com base nas repre-

sentacoes graficas e nas medidas?


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2.2. TRATAMENTO DA INFORMAC AO 27

Outro campo em que a educacao para a cidadania pode se articular com a aprendizagem de conceitosmatematicos importantes e a Matematica Financeira. No estagio economico por que passa o Brasil,com grande parte da populacao tendo acesso a creditos e financiamentos em modelos diversificados,cabe ao ensino basico de Matematica oferecer ao aluno uma formacao solida neste campo.

A Matematica Financeira aplicada aos diversos ramos da atividade economica pode repre-sentar importante instrumento para auxiliar em analises e decisoes de ordem pessoal e social.Assim, alem de servir como aporte a conceitos de outros campos, o aprendizado de Matematica Fi-nanceira instrumentaliza o cidadao a melhor entender, interpretar e escolher adequadamente dvidas,crediarios, descontos, reajustes salariais, aplicacoes financeiras. Dentre essas decisoes, destacamos asescolhas entre de propostas de financiamentos a longo, medio e curto prazo, relacionadas a experienciasdo cotidiano.

A seguir apresentamos atividades que exploram analises de diferentes modos de composicao definanciamentos com pagamentos periodicos muito utilizados em creditos de longo prazo para aquisicaode veculos (carros, motos) e imoveis.

Atividade

3. Para a maioria das operacoes financeiras as taxas de juros compostos sao aplicadas a cada perodosobre um capital aplicado ou a uma dvida contratada. Desse modo, se o perodo de capitalizacaoou incidencia dos juros difere do perodo da taxa de juros informada e necessario uma conversaode modo a adequar o perodo a taxa. A tabela abaixo pode ser construda com as funcoes deuma planilha de calculo.

(a) Reproduza esta planilha para as conversoes indicadas e proponha a conversao para outrosvalores.

(b) Apesar de nao estar explcita a conversao acontece para valores de taxas dadas ao ano eque devem ser calculadas ao mes. Que valores estariam nas celulas Qe R se a taxa dadafosse calculada ao ano e as taxas aplicadas ao trimestre?

(c) Simule conversoes para diferentes perodos.

(d) Observe a funcao referente a celula S3. Escreva uma justificativa matematica para estafuncao. Que conceito matematico e empregado?

(e) Com esta mesma tabela de conversao, sem mudar a funcao, e possvel converter uma taxadada ao mes no sistema de juros compostos para o equivalente ao ano? Em caso afirmativo,qual e a justificativa matematica para tal conversao?


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O foco das atividades 4 a 7 a seguir esta nos sistemas utilizados para financiamentos de longo prazo.Nestes tipos de financiamentos, consideram-se sempre parcelas periodicas constitudas por duas partes:a amortizacao, que corresponde ao que e efetivamente abatido da dvida; e os juros, calculados sobreo saldo devedor no perodo do pagamento. Ha duas modalidades principais encontradas no mercado

para este tipo de financiamento:

No sistema SAC(Sistema de Amortizacao Constante), um valor constante e amortizado a cadaparcela. Portanto, o valor das parcelas decresce com o tempo. Este sistema e muito usado emfinanciamentos de casa propria.

No sistema PRICE, as parcelas constantes sao mantidas constantes. Este pode ser mais encon-trado em financiamentos de veculos e bens duraveis. Muitas vezes, o sistema PRICEe informadopelos vendedores como sendo sem juros, porem os juros totais sao calculados e diludos nasparcelas fixas.

Podemos utilizar as funcoes estatsticas das planilhas eletronicas para calcular valores para essas

modalidades de financiamento.

Atividades

4. O trecho da tabela abaixo representa um financiamento pelo sistema SAC, no valor de R$50.000,00 para compra de um imovel em um perodo de 300 meses, com taxa de 0,9% aomes.

(a) Reproduza esta tabela do Sistema SAC em uma planilha de calculo.

Observe que para utilizar celulas que terao valor constante devemos utilizar o rotulo dacoluna sempre entre $. Por exemplo, toda vez que nesta tabela usar a taxa fixa de 0,9%devo criar referencia a $B$3. Os valores da coluna B, de B4 em diante sao obtidos pelasubtracao de 1 do valor antecessor: E5=E4-1.


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2.2. TRATAMENTO DA INFORMACAO 29

(b) Justifique matematicamente cada um dos valores numericos presentes nas celulas da linha4 (B4:F4).

(c) O que podemos observar relacionado a cada uma das colunas?

(d) Qual o comportamento das parcelas da prestacao neste sistema? Justifique.

(e) Utilize o assistente de graficos da planilha e em unico sistema cartesiano represente os valoresdas colunas C, D, E, e Fcom as parcelas da coluna B.

(f) Experimente variar os valores da quantidade de parcelas ou da taxa de juros. O que podemosobservar em cada caso?

5. A tabela abaixo apresenta o mesmo financiamento da atividade 4, utilizando o sistema PRICE.

(a) O que podemos observar diferente nesta tabela? Justifique.

A figura abaixo ilustra a situacao retratada pela tabela PRICEacima. Ou seja, temos umvalor principal e devemos encontrar as parcelas iguais, em modo composto, obtidas a partirdo VF. Cabe ressaltar que este valor pode ser obtido por meio das funcoes estatsticas daplanilha. Por exemplo o conteudo obtido emK4 e dado porCalculo da Prestacao Constante:

=PGTO(i%; n; -VP; Vf; 0) em que:

i e a tx de juros;

n e a quantidade de perodos;

VP e o valor do emprestimo;

VF e usualmente zero;

0indica que os pagamentos serao ao final do perodo.


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(b) Justifique matematicamente cada um dos valores numericos presentes nas celulas da linha4 (J4:M4).

(c) Observe a funcao referente a celula S3. Escreva uma justificativa matematica para estafuncao. Que conceito matematico e empregado?

(d) Qual o comportamento das parcelas da prestacao neste sistema? Justifique.

(e) Utilize o assistente de graficos da planilha e em unico sistema cartesiano represente os valoresdas colunas C, D, E, e F, com as parcelas da coluna B.

(f) Experimente variar os valores da quantidade de parcelas ou da taxa de juros. O que podemosobservar em cada caso?

6. Construa em uma mesma planilha as tabelas com os sistemas SACe PRICE. Para cada um doscasos, represente em eixos cartesianos a amortizacao, os juros, as prestacoes e saldo devedor.Comente as vantagens e desvantagens de cada sistema.

7. Construa as tabelas analogas as anteriores, para o caso da taxa dada ao ano com perodos deprestacoes mensais. Veja a figura abaixo, como uma sugestao para inserir a nova entrada comtaxa ao ano.


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Captulo 3

Ambientes Graficos

No ensino basico, as principais formas de representacao empregadas na abordagem de funcoes reaisde variavel real sao: algebricas (formulas), graficas(graficos) e numericas (tabelas). Entretanto, deforma geral, observa-se grande enfase em formulas e procedimentos algebricos rotineiros executadossem maiores reflexoes, o que tende a favorecer a concepcao de funcao simplesmente como formula. Emconsequencia, nao e incomum que os alunos passem a considerar funcao como tudo aquilo que temuma formula, negligenciando outros aspectos importantes do conceito, e confundindo-o com outrasideias, especialmente a de equacao. O modelo usado em grande parte dos exerccios com essas formasprincipais de representacao para funcoes segue o roteiro (ilustrado na figura 3.1):

1. partir de uma formula dada;

2. construir uma tabela por substituicao de valores (em geral, inteiros positivos e negativos proximosde 0);

3. marcar os pontos correspondentes no plano cartesiano e ligar esses pontos, obtendo um esbocodo grafico.

Formula

Tabela

Grafico

Figura 3.1: Representacoes para funcoes na escola: relacoes limitadas.

Este e um modelo essencialmente quantitativo, pois se baseia apenas nos valores da funcao em umnumero finito (e em geral pequeno) de elementos do domnio, com pouca reflexao matematica levandoem conta caractersticas qualitativasespecficas da funcao. Tanto a escolha dos elementos do domniopara compor tabelas quanto a interpolacao de pontos para tracar graficos sao em geral feitas de formaindiscriminada, o que, efetivamente, pouco contribui para uma melhor compreensao do comportamentoda funcao. Assim, esse modelo envolve relacoes limitadas entre as formas de representacoes.

E um objetivo importante para o ensino de funcoes procurar completar o diagrama da figura3.1, como mostra a figura 3.2, enriquecendo a abordagem com atividades que promovam articulacoesmultiplas entre diferentes formas de representacao e, desta forma, contribuam para uma com-preensao mais qualitativa sobre funcoes reais. Por exemplo, relacionar as caractersticas geometricas dografico de uma funcao diretamente com as propriedades algebricas de sua formula, sem a intermediacaode tabelas de valores.

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32 CAP ITULO 3. AMBIENTES GR AFICOS

Formula

Tabela

Grafico

Figura 3.2: Representacoes para funcoes na escola: completando articulacoes.

Existem alguns softwares disponveis que podem ajudar neste objetivo (por exemplo, [2, 7]). Es-ses programas nao requerem comandos ou sintaxe de programacao especficos e permitem manipulargraficos de funcoes de forma integrada com representacoes algebricas e numericas, usando essencial-mente a mesma simbologia algebrica usual. Neste captulo, exploraremos possibilidades de uso dessetipo de software no ensino basico. Assim como no caso do captulo 1, o objetivo central e destacara riqueza das exploracoes matematicas que podem ser feitas com recursos tecnologicos relativamente

simples e acessveis. As atividades propostas podem ser feitas com os programas Graphmatica [2],WinPlot[7] (que podem ser facilmente encontrados na internet), com outros equivalentes de sua pre-ferencia, ou ainda com planilhas eletronicas que tenham recursos para tracar graficos disponveis (comoveremos no captulo 2, a seguir).

3.1 Articulando Representacoes

As atividades que seguem o modelo representado na figura 3.1 nao sao necessariamente ruins. Porempara que contribuam de fato para a aprendizagem do conceito de funcao, e importante que tanto aescolha dos valores na tabela quanto a construcao do grafico nao sejam feitas de forma mecanica, e

levem em consideracao as propriedades especficas da funcao dada. Observe os exemplos da atividadesa seguir.

Atividades

1. Considere a funcao f1 : R R dada por f1(x) = 9x2 9x+ 2.

(a) Construa uma tabela de valores e esboce o grafico desta funcao com lapis e papel.

(b) Agora, construa o grafico da funcao no computador.

(c) Qual e o menor valor atingido pela funcao?

(d) Que valores voce escolheria para construir uma tabela, de forma a realmente ajudar aentender o comportamento desta funcao?

(e) Como a reta y = 2 pode ajudar a entender este grafico?

2. Considere a funcao f2 : R R dada por f2(x) = (x 1)(4x 1)(4x 3).


(b) Agora, construa o grafico da funcao no computador.

(c) Determine para que valores de x a funcao e positiva e para que valores de x a funcao enegativa.



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3.1. ARTICULANDO REPRESENTACOES 33

3. Considere a funcao f3: R \

1

2

R dada por f3(x) =

1

(2x 1).


(b) Agora, construa o grafico da funcao no computador.(c) Esta funcao esta definida para todos os valores x R?


(e) Como a reta x= 12

pode ajudar a entender este grafico?

As tres atividades acima sao variacoes da mesma ideia, mas com graus de dificuldade progressiva-mente crescentes, pois envolvem exemplos de funcoes cada vez menos familiares aos alunos. Basica-mente, a ideia basica e propor exerccios envolvendo construcao de tabelas e esboco graficos sem o usodo computador, e em seguida usar a visualizacao dos graficos no computador para questionar, por meio

de uma questao chave, as escolhas possivelmente feitas durante as resolucoes. Nesses tres exemplos,se os valores escolhidos restringirem-se a numeros inteiros e os pontos correspondentes forem ligadosindiscriminadamente, entao os esbocos dos graficos obtidos deixarao de captar aspectos importantesdo comportamento de cada uma das funcoes, que ocorrem para valores de x entre 0 e 1. Portanto, enecessario escolher os valores e ligar os pontos convenientemente. O softwareGraphmatica dispoe deum recurso que exibe uma tabela de valores determinada automaticamente de acordo com o intervaloem que o grafico e tracado. Este recurso pode ser usado para explorar a relacao entre os valores databela e o grafico no proprio software.

Na atividade 1, e dada uma funcao polinomial do segundo grau, que deve ser familiar aos alunosa partir do final do ensino fundamental. Portanto, eles nao devem ter dificuldades em perceber que

o ponto de mnimo da funcao ocorre em12 ,

1

4

. A partir da, os alunos poderao constatar que aestrategia de substituir apenas valores inteiros e ligar os pontos, sem levar em conta as propriedades dafuncao dada, pode nao ser eficiente para tracar o grafico (figura 3.3). Esta constatacao pode ajuda-losa questionar a estrategia tambem no caso de exemplos menos familiares, como nas atividades 2 e 3.

Figura 3.3: O grafico de f1(x) = 9x2 9x+ 2 tracado no software Graphmatica, com uma tabela de

valores.


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A funcao f2 da atividade 2 e polinomial do terceiro grau. Como a funcao ja e dada na formafatorada, podemos determinar facilmente suas razes: x1=

1

4, x2 =

3

4 e x3= 1. Alem disso, a analise

de sinais do produto permite concluir que f2 e:

negativa para x < 1

4 ; positiva para 1

4 < x < 3

4;

negativa para 34

< x 1.

Com base nessas informacoes (como f2 e contnua), e possvel concluir que f2 tem (pelo menos)um maximo local em

1

4, 34

e um mnimo local em

3

4, 1

. Os graficos de funcoes polinomiais de

terceiro grau nao tem as mesmas propriedades de simetria das funcoes de segundo grau, portanto, naopodemos concluir, por exemplo, que esses pontos de maximo e mnimo ocorrem em pontos medios dasrazes. Para determinar sua localizacao analiticamente, seria necessario recorrer a metodos do calculoinfinitesimal. Entretanto, uma tabela de valores pode ajudar a encontrar sua posicao aproximada e,assim, entender melhor o comportamento da funcao. Porem, para este fim, a tabela deve incluir pontosentre 0 e 1

4, entre 1

4 e 3

4 e entre 3

4 e 1 (ver figura 3.4). Neste caso, a questao chave da atividade e:

Determine para que valores dex a funcao e positiva e para que valores dex a funcao e negativa.

Figura 3.4: O grafico de f2(x) = (x1)(4x 1)(4x 3) tracado no software Graphmatica, com umatabela de valores.

A funcaof3da atividade 3 nao esta definida emx= 1

2. Alem disso, como o numerador de f3 e igual

a 1 e seu denominador se anula neste ponto, entao, nos pontos proximos a x = 12, a funcao assume

valores indefinidamente grandes em modulo (positivos do lado direito e negativos do lado esquerdo).Em termos de limites, sabemos que:

limx

1

2

+f3(x) = + e lim

x1

2

f3(x) = .

Entretanto, nao e necessario recorrer a linguagem de limites para dar uma ideia intuitiva do compor-tamento da funcao. Isto pode ser feito por meio da observacao da relacao entre o comportamento do


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grafico e os valores da funcao em pontos proximos x = 12

(ver figura 3.5). Como veremos na secao 2.1,tabelas de valores (que podem ser feitas por meio de planilhas eletr onicas) podem ajudar a construiruma ideia intuitiva do comportamento de limites infinitos e limites no infinito, sem que seja precisoempregar linguagem de limites. Este comportamento nao seria percebido se construssemos uma tabela

apenas com valores inteiros de x e, especialmente, se ligassemos os pontos em considerar a interrupcaodo grafico em x= 1

2. A questao chave neste caso e: Esta funcao esta definida para todos os valores

x R?

Figura 3.5: O grafico de f3(x) = 1(2x 1)

tracado no software Graphmatica, com uma tabela de

valores.

Cabem ainda algumas observacoes importantes sobre as atividades anteriores. Em primeiro lugar,os valores para montar as tabelas devem ser calculados com a ajuda dos recursos do pr oprio software,de outros softwares ou de uma calculadora. Estes calculos podem ser trabalhosos, e o objetivo dasatividades nao e treinar a destreza em contas e sim enfatizar as relacoes qualitativas entre

as propriedades da formula algebrica, o comportamento do grafico e os valores da funcao.Por este mesmo motivo, estas representacoes devem ser discutidas pelo professor de forma

articulada: quando cada uma delas for enfocada, e importante, sempre que possvel, fazer referenciaas demais e explicitar as relacoes. O software pode ser um aliado importante para estabelecer maisclaramente estas articulacoes. Outra forma particularmente interessante de fazer isso e relacionar osconceitos de funcao e equacao, que em muitos casos aparecem separados nos currculos e livros didaticose sao frequentemente confundidos pelos alunos. Para tracar o grafico de uma funcaof, e util determinarsuas razes, isto e, encontrar os valores de x no domnio de f tais que f(x) = 0. Para discutir maisestas ideias, veja as atividades 6 a 7.

Alem disso, e fundamental observar que a ideia nao e simplesmente usar o software paraverificar o que esta certo ou errado no grafico da funcao. Em lugar disso, a visualizacao nosoftware deve ser explorada para motivar reflexoes e conjecturas sobre as funcoes, que devem serverificadas posteriormente por meio de ferramentas matematicas. Esta observacao esta alinhada como objetivo mais geral de usar o computador para promover aprendizagem matematica solida osuficiente para permanecer e se transferir para outras situacoes mesmo sem o apoio da

maquina. Assim, para que o computador nao se torne um criterio absoluto de verdade matematica


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para os alunos, e importante explorar situacoes envolvendo resultados inesperados ou aparentementeerrados, cuja interpretacao exija a compreensao mais aprofundada dos conceitos matematicos que estaopor tras. Neste sentido, veja as atividades 1 a 5, da secao 3.3.

Atividades

4. Responda as perguntas a seguir, considerando as atividades 1, 2 e 3.


(b) Quais sao, na sua opiniao, os principais objetivos dessas atividades?

(c) Qual e o papel das questoes chave feitas em cada uma das atividades?

(d) Que outras perguntas voce proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das ativida-des?

(e) Que relacoes entre as representacoes das funcoes como formula, grafico e tabela podem ser

exploradas com as atividades?(f) Qual e o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software

pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela cao a abordagemconvencional (isto e, sem o computador)?

(g) Que obstaculos e desvantagens voce considera que seriam enfrentados na aplicacao dessasatividades em sala de aula?

5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1, 2 e 3, que seja adequada paraas turmas em que voce leciona. Procure incluir uma ou mais questoes chavena atividade quevoce elaborar, para ajudar a encaminhar a resolucao dos alunos.

Funcoes e Equacoes

Observamos acima que a relacao entre os conceitos de funcao e equacao pode ser uma maneira inte-ressante de articular diferentes representacoes. As nocoes de equacao e de funcao sao frequentementeabordadas por meio de procedimentos algebricos rotineiros, levando os alunos a desenvolverem umaconcepcao confusa de equacao e de funcao simplesmente como formula. Por isso, e muito importanterelacionar estas nocoes, de forma a deixar clara a diferenca conceitual entre elas, e articular repre-sentacoes numericas, algebricas e graficas na resolucao de equacoes. Em geral, quando esbocamos ografico de uma funcao f, procuramos resolver a equacao f(x) = 0 (como abordamos no ultimo item

da atividade 1). De forma mais geral, podemos procurar os elementos x do domnio de fcujas imagenssao iguais a um valor fixado a R, isto e, resolver a equacaof(x) =a. Isto pode ajudar, por exemplo,a explorar propriedades graficas de simetria no caso das parabolas, como propoe a atividade 6.

Atividades

6. Considere a funcao g1 : R R, g1(x) =x2 4x+ 3.

(a) Esboce o grafico de g1.

(b) Resolva as equacoes: g1(x) = 0, g1(x) = 3, g1(x) = 1 e g1(x) = 2.

(c) Qual e a relacao entre as solucoes das equacoes acima e o ponto x= 2?

(d) Represente as solucoes das equacoes do item 6b graficamente.(e) Determine todos os valores de a R tais que a equacao g1(x) = a tenha: duas solucoes

reais distintas, uma unica solucao real, nenhuma solucao real.


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(f) De forma geral, qual e a relacao entre as solucoes das equacoes acima e o ponto x = 2?

(g) Relacione a resposta do item 6e com o grafico de g1.

7. Considere a funcao g2 : R R, g2(x) = (x+ 1) (x 1)2.

(a) Esboce o grafico de g2.

(b) Resolva as equacoes g2(x) = 0.

(c) Quantas solucoes tem a equacao g2(x) = 1? Voce saberia determinar o valor exato dasolucao desta equacao?

(d) Existe algum valora Rtal queg2(x) =a tenha exatamente duas solucoes reais distintas?Justifique sua resposta.

(e) Existe algum valor a Rtal que g2(x) = a tenha exatamente tres solucoes reais distintas?Justifique sua resposta.

(f) Existe algum valor a R tal que g2(x) = a nao tenha solucoes reais? Justifique sua

resposta.(g) Relacione as respostas dos tens anteriores com o grafico de g2.

A atividade 6 tem como objeto uma funcao polinomial do segundo grau, que deve ser familiar aoalunos. Assim, eles deverao ser capazes de resolver as equacoes analiticamente e que estabelecer umainterpretacao grafica para as solucoes: as solucoes das equacoesf(x) = a sao dadas pelos pontos deintersecao entre o grafico defe a reta horizontaly=a (figura 3.6, a esquerda).

Figura 3.6: Os graficos de g1(x) = x2 4x+ 3 e g2(x) = (x+ 1) (x 1)

2, com solucoes graficas deequacoes.

Assim, a atividade 6 pode preparar os alunos para a 7. Esta envolve uma funcao polinomial doterceiro grau, que e menos familiar aos alunos e nao pode ser manipulada algebricamente com asferramentas matematicas usualmente ensinadas no ensino medio. Como a funcao e dada na formafatorada, os estudantes podem concluir que as solucoes da equacao g2(x) = 0sao 1e 1. No entanto,eles nao terao ferramentas para determinar respostas analticas exataspara as demais seguintespropostas na atividade. Este e um aspecto determinante para esta atividade, pois e justamente issoque pode leva-los a buscar as respostas por meio da interpretacao do grafico: a equacao f(x) = 1tem uma unica solucao real, existem valores a R tais que a equacao f(x) = a tem duas (um dosquais sendo a= 0) e tres solucoes reais, mas nao existem valores a R tais que f(x) = a nao tenhasolucoes reais. Lembramos ainda que podemos elaborar atividades envolvendo valores aproximados parasolucoes de equacoes, com calculadoras (ver captulo 1) ou planilhas eletronicas (ver captulo 2).


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Atividades

8. Responda as perguntas a seguir, considerando as atividades 6 e 7.


(b) Quais sao, na sua opiniao, os principais objetivos dessas atividades?

(c) Qual e o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do softwarepode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela cao a abordagemconvencional (isto e, sem o computador)?

(d) Que obstaculos e desvantagens voce considera que seriam enfrentados na aplicacao dessasatividades em sala de aula?

9. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 e 7, que seja adequada paraas turmas em que voce leciona.

3.2 Famlias de Funcoes Dependendo de Parametros

Em muitas situacoes de sala de aula, desejamos estudar a influencia de determinados coeficientes nosaspectos dos graficos de certas famlias de funcoes. Por exemplo, sabemos que o coeficiente angularde uma funcao polinomial de primeiro grau determina a inclinacao de seu grafico. A possibilidade dearticular representacoes graficas e algebricas de forma dinamica em ambientes computacionais graficospode ajudar em exploracoes deste tipo, especialmente em casos nao tao simples.

Funcoes Polinomiais do Segundo Grau

Quando estudamos funcoes polinomiais do segundo grau, sabemos que o coeficiente aesta relacionadocom a concavidade da parabola, e o coeficiente c translada o grafico verticalmente. Mas qual e ainfluencia do coeficiente b, do termo de primeiro grau, no aspecto da parabola? Observe as atividadesa seguir.

Atividades

1. Considere a famlia de parabolas y = 2 x2 +b x+ 3, com b R.

(a) Esboce as parabolas desta famlia para b Z, 10 b 10.

(b) De que forma o parametro binflui o aspecto grafico das curvas?(c) Determine a equacao do lugar geometrico do vertices da famlia de parabolas.

2. De forma mais geral, determine a equacao do lugar geometrico dos vertices de uma famlia deparabolas y =ax2 +bx +c, em que ae c sao mantidos constantes e b Rvaria.

Na atividade 1, em primeiro lugar, pede-se que sejam esbocados os graficos da famlia de parabolasdada no computador (figura 3.7). Estes graficos dao uma ideia intuitiva do movimento no plano quea variacao do coeficiente b provoca e sugerem que o lugar geometrico descritos pelos vertices e umacurva com a forma semelhante a uma parabola.


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3.2. FAM ILIAS DE FUNCOES DEPENDENDO DE PAR AMETROS 39

Figura 3.7: A famlia de parabolas y = 2 x2 +b x+ 3.

Assim, a visualizacao dos graficos na tela pode indicar um caminho para resolucao analtica doproblema. Para determinar analiticamente a equacao deste lugar geometrico, devemos empregar asformulas de coordenadas do vertice de uma parabola:

xv

= b

2a e y

v =

4a.

Portanto, no caso da nossa famlia de parabolas, temos:

xv

= b4

e yv

= b2

24

8 = b

2

8 + 3 .

Logo:

yv

= 2 x2v

+ 3 .

Em seguida, podemos tracar o grafico que a equacao acima representa na mesma tela em que foramtracados os graficos da famlia de parabolas, ilustrando visualmente a conclusao obtida (figura 3.8).

Figura 3.8: A famlia de parabolas y = 2 x2 +b x+ 3, e o lugar geometrico de seus vertices.


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A atividade 2 pede a generalizacao da conclusao da da atividade 1. Observe que, nesta atividade,

o computador nao e usado diretamente. O papel do software foi motivar a exploracao inicial de um

exemplo particular para levar a uma conclusao geral. Novamente, tomamos as formulas de coordenadas

do vertice, considerando a e c como constantes e b como uma parametro variando em R:

xv

= b

2a e y

v=

4a.

Isto e:

x2v

= b2

4a2 e y

v=

b2 4ac

4a =

b2

4a+c .

Logo:

yv = ax2

v+ c .

Observe o encaminhamento das duas atividades anteriores, como proposto acima. Primeiro, par-

timos da exploracao de um exemplo particular no ambiente grafico, o que nos permitiu chegar a uma

conjectura sobre a solucao do problema. Em um segundo momento, verificamos matematicamente a va-

lidade desta conjectura. Em seguida, voltamos ao computador para a interpretacao grafica do resultado.

Finalmente, generalizamos o resultado, por meio de argumentos matematicos. Este encaminhamento

e ilustrado na figura 3.9.

computador

exploracao inicial

conjecturas

verificacao

matematica

do problema

computador

interpretacao

da solucao

generalizacao

matematica

da solucao

Figura 3.9: O papel do computador na exploracao inicial e interpretacao de resultados.

No exemplos destas atividades, o computador desempenha um papel importante ao permitir que

um grande numero de graficos seja tracado com facilidade. O atividades nao e desenvolver ou avaliar

da destreza dos alunos em tracar graficos, e sim estimular a compreensao qualitativa do problema.

Provavelmente, sem o computador, o trabalho dos estudantes para tracar os graficos seria tamanho,

que sua atencao ficaria focada nos aspectos tecnicos, desviando-se dos objetivos das atividades. Alem

disso, e importante destacar que, no encaminhamento proposto acima, nao e papel do computador

converter-se em um criterio para verificar ou confirmar a validade matematica da solucao. O papel

fundamental do computador e o de motivar conjeturas e indicar caminhos para a solucao doproblema e para a generalizacao desta solucao, alem de enriquecer a compreensao desta

solucao por meio da articulacao entre as representacoes algebrica e grafica. A validade ou nao

da solucao devem ser baseadas exclusivamente em criterios de argumentacao matematica.

Graficos e Transformacoes no Plano

A seguir, propomos mais algumas atividades com estrutura semelhante a das anteriores. As resolucoes

devem seguir essencialmente a mesma estrutura proposta acima. Por exemplo, no caso de funcoes

trigonometricas, podemos explorar os significados dos parametros a, b, c e d na famlia de funcoes

f :R R

, f(x) =c sen(d x+b) +a. E o que propomos nas atividades 3 a 5 a seguir. Para facilitaro encaminhamento, analisamos separadamente os casos f(x) = sen(x+b) + a e f(x) = c sen(d x),

e em seguida combinamos as conclusoes.


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3.2. FAM ILIAS DE FUNCOES DEPENDENDO DE PAR AMETROS 41

Atividades

3. Considere a famlia de funcoes f : R R, f(x) = sen (x+ b) +a, em que ae b sao parametrosreais.

(a) Trace o grafico de f para a= b = 0.

(b) Considereb= 0e trace os graficos de fpara varios valores diferentes de a. Escolha valorespositivos e negativos para a. O que voce observa no aspecto de grafico de fem cada umdestes casos?

(c) Agora, considerea= 0 e trace os graficos de fpara varios valores diferentes de b. Escolhavalores positivos e negativos para b. O que voce observa no aspecto de grafico de f emcada um destes casos?

(d) Trace os graficos de f para varios valores, variando ae b simultaneamente.

(e) Qual e a influencia dos parametros ae b no aspecto grafico de f?

4. Considere a famlia de funcoes f : R R, f(x) = c sen (d x), em que c e d sao parametrosreais.

(a) Trace o grafico de f para c= d = 1.

(b) Considered= 1e trace os graficos de fpara varios valores diferentes de c. Escolha valorespara c tais que |c| < 1 e |c| > 1. O que voce observa no aspecto de grafico de f em cadaum destes casos?

(c) Agora, considerec= 1e trace os graficos de fpara varios valores diferentes de d. Escolhavalores para d tais que |d| < 1 e |d| >1. O que voce observa no aspecto de grafico de f

em cada um destes casos?(d) Trace os graficos de f para varios valores, variando ce d simultaneamente.

(e) Qual e a influencia dos parame

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