Redução de ruído na simulação de sistemas dinâmicos … · computation has been applied to...

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica - PPGEL

Associação ampla UFSJ / CEFET-MG

Universidade Federal de São João del-Rei - UFSJ

Redução de ruído na simulação de sistemas dinâmicos usandomodos de arredondamento da norma IEEE 754-2008

Melanie Rodrigues e Silva

Orientador : Erivelton Geraldo Nepomuceno

Coorientador : Samir Angelo Milani Martins

São João del-Rei, 04 de agosto de 2017.

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica - PPGEL

Associação ampla UFSJ / CEFET-MG

Universidade Federal de São João del-Rei - UFSJ

Redução de ruído na simulação de sistemas dinâmicos usandomodos de arredondamento da norma IEEE 754-2008

Melanie Rodrigues e Silva

Dissertação apresentada à banca examinadora designada

pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Engen-

haria Elétrica, associação ampla entre a Universidade Fed-

eral de São João del-Rei e o Centro Federal de Educação

Tecnológica de Minas Gerais, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do grau de Mestre em Engenharia

Elétrica.

Orientador : Erivelton Geraldo Nepomuceno

Coorientador : Samir Angelo Milani Martins

São João del-Rei, 04 de agosto de 2017.

Ficha catalográfica elaborada pela Divisão de Biblioteca (DIBIB) e Núcleo de Tecnologia da Informação (NTINF) da UFSJ,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

S586rSilva, Melanie Rodrigues e Silva. Redução de ruído na simulação de sistemas dinâmicosusando modos de arredondamento da norma IEEE 7542008 / Melanie Rodrigues e Silva Silva ; orientadorErivelton Geraldo Nepomuceno Nepomuceno;coorientador Samir Angelo Milani Martins Martins. --São João del-Rei, 2017. 122 p.

Dissertação (Mestrado - Mestrado em EngenhariaElétrica) -- Universidade Federal de São João delRei, 2017.

1. Redução de ruído. 2. Simulação numérica. 3.Funções recursivas. 4. Sistemas dinâmicos. 5. Supressão de caos. I. Nepomuceno, Erivelton GeraldoNepomuceno, orient. II. Martins, Samir Angelo MilaniMartins, co-orient. III. Título.

Dedico este trabalho a Deus e aos que amo.

Agradecimentos

Agradeço a Deus por ser meu sustento, proteção e refúgio no momento de tribulação. Por

cuidar de tudo, inclusive dos mínimos e sutis detalhes de minha história. E mais, sou grata pelos

nãos recebidos, pelos planos que eu tinha e o Senhor os lançou ao chão e os reconstruiu e modo

inimaginavelmente melhor, o Senhor é fiel!

Aos meus pais meu agradecimento e amor, pois sei o quanto rezaram, intercederam, preocuparam-

se, sacrificaram-se e dedicaram-se a mim.

Aos meus avós obrigada por todo apoio.

Ao Ivan por toda paciência e incentivo.

Agradeço ao professor Erivelton por todos os ensinamentos, orientações, paciência, oportu-

nidades, conselhos e amizade.

Aos membros do GCOM.

Agradeço à Capes, pelo apoio financeiro durante o Mestrado. Agradeço também à UFSJ

que me acolheu por sete maravilhosos anos.

Muito obrigada a todos!

vii

"Tenha Jesus Cristo em seu coração e todas as cruzes do mundo parecerão rosas."

São Padre Pio de Pietrelcina

Resumo

A implementação matemática em software estimula a pesquisa científica. Assim, a com-

putação numérica vem sendo aplicada às soluções de sistemas dinâmicos não-lineares. Entre-

tanto, algoritmos são implementados em softwares de precisão finita que são sujeitos a erros.

Neste trabalho, os erros são analisados como a adição de ruídos ao processo de simulação com-

putacional. Mostra-se que, a média do arredondamento na direção do infinito negativo e, do

arredondamento na direção do infinito positivo age como um filtro diminuindo a amplitude do

ruído. Considerando o mapa logístico como sistema teste, além de aprimorar a precisão em

cerca de um dígito, apresenta-se um caso em que este método converge para a resposta cor-

reta. Além disso, o método também é aplicado aos sistemas de Chua e Lorenz, e observa-se a

supressão do caos nestes sistemas quando encontram-se em regiões de transição, mediante aos

métodos de discretização de Runge-Kutta de terceira, quarta e quinta ordem.

Palavras-chave: Redução de ruído, simulação numérica, funções recursivas, sistemas dinâmi-

cos, supressão de caos.

xi

Abstract

The mathematical implementation in software stimulates scientific research. Numerical

computation has been applied to the solutions of non-linear dynamic systems. However, al-

gorithms are implemented in finite precision software that is subject to errors. In this work, the

errors are analyzed as additive noise to the computational simulation process. It is shown that

the average of rounding towards negative infinity and rounding towards positive infinity can be

seen as a noise filter. Considering the logistic map as a test system, moreover it has been notice

a general improvement of one digit in the precision of simulation and the method as able to a

correct convergence in a case which the traditional simulation shows a divergent behaviour. In

addition, the method has been applied to the Chua and Lorenz systems, and chaos suppression

is observed in these systems when they are in transition regions, through the third, fourth and

fifth order Runge-Kutta discretization methods.

Keywords: Noise reduction, numerical simulation, recursive functions, dynamic systems, sup-

pression of chaos.

xiii

Lista de Figuras

1.1 Extensões intervalares da tensão no diodo de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 Atrator caótico do circuito de Chua no espaço de fases. . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Circuito de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Curva do diodo de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Tamanho, ponto médio e limites de um intervalo 𝑋 . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Exemplo sobre princípios de exatidão e precisão. . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 Variável estocástica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1 Diagrama de blocos da ação de controle na planta. . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Diagrama de blocos do filtro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1 Propagação do erro do mapa logístico para um caso de típica convergência

numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Propagação do erro do mapa logístico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Tensão no diodo de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4 Atratores caraterísticos do circuito de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5 Intensidade do movimento de convecção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.6 Atratores caraterísticos do sistema de Lorenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

xv

Lista de Tabelas

2.1 Quantidade de bits dos formatos single e double. . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1 Iterações do mapa logístico para 𝑥0 = 1/3,9 e 𝑟 = 3,9. . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Resultados de 𝜉𝑖,𝑛 e 𝛿𝑗,𝑛 do mapa logístico, considerando diferentes condições. . 45

4.3 Componentes e constantes utilizados nas simulações do circuito de Chua. . . . 47

4.4 Condições iniciais e constantes de tempo do circuito de Chua. . . . . . . . . . 47

4.5 Expoentes de Lyapunov do circuito de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.6 Valores utilizados nas simulações do sistema de Lorenz. . . . . . . . . . . . . . 50

4.7 Expoentes de Lyapunov do sistema de Lorenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

xvii

Lista de Sımbolos

𝐶1 Capacitor 1 do circuito de Chua;

𝐶2 Capacitor 2 do circuito de Chua;

𝐹 Farad, unidade característica da capacitância;

𝐿 Indutor;

𝐻 Henry, unidade característica da indutância;

𝑅 Resistência elétrica;

Ω Ohm, unidade característica da resistência;

𝑖𝑑 Corrente no diodo de Chua;

𝐴 Ampere, unidade característica da corrente;

𝑣𝑑 Tensão no diodo de Chua;

𝐺𝑎 Inclinação da curva do diodo de Chua;

𝐺𝑏 Inclinação da curva do diodo de Chua;

𝑆 Siemens, unidade de condutância;

𝐵𝑝 Ponto de mudança da inclinação da curva do diodo de Chua;

𝑣𝐶1 Tensão no capacitor 1 do circuito de Chua;

𝑣𝐶2 Tensão no capacitor 2 do circuito de Chua;

𝑉 Volt, unidade característica da tensão;

𝑖𝐿 Corrente no indutor;

𝜇 Unidade representativa de micro, isto é, 10−6;

𝑚 Unidade representativa de mili, isto é, 10−3;

𝑠 Unidade representativa de segundos;

𝐺 Condutância;

xix

(−−) Representação da curva pontilhada;

(−) Representação da curva contínua;

𝜓 Raio de uma esfera;

𝜄 Raio de uma esfera, em que 𝜄 > 𝜓;

𝑎 Função de contradomínio igual ao conjunto imagem;

𝐿 Conjunto fechado de pontos;

𝜈 Volume;

𝐼 Espaço métrico;

𝑈 Subconjunto aberto de 𝐼;

𝐵 Subconjunto aberto de 𝐼;

𝑊 Vizinhança;

𝑑 Distância;

𝑚 Número de equações diferenciais de um sistema;

𝑑𝜍 Raio de uma esfera;

𝜍 Dimensão;

Λ Expoente de Lyapunov;

�� Intensidade do movimento de convecção;

�� Valor proporcional à variação de temperatura entre correntes ascendentes e descendentes;

�� Valor proporcional à distorção do perfil de temperatura vertical;

𝜎 Número de Prandtl;

𝜌 Número de Rayleigh;

𝑥𝑛+1 Função recursiva;

𝑟 Parâmetro do mapa logístico;

𝑛 Iteração do cálculo;

𝑥𝑛 Saída obtida na iteração 𝑛 para um mapa e, ou órbita;

𝑥*𝑛 Ponto fixo obtido na iteração 𝑛 para um mapa;

𝑦′ Problema de valor inicial;

𝜑 Solução do problema de valor inicial;

𝛼 Limite inferior do conjunto solução de um problema de valor inicial;

𝜁 Limite superior do conjunto solução de um problema de valor inicial;

𝑖 Iteração do cálculo;

ℎ Passo de integração;

𝑎 Constante de um problema de valor inicial;

𝑝 Constante de um problema de valor inicial;

𝑞 Constante de um problema de valor inicial;

𝑘 Resultado recorrente de um problema de valor inicial;

∈ É um elemento de;

∀ Para todo;

± Mais ou menos;

𝑆 Significante ou mantissa;

× Indica multiplicação;

𝐵 Base adotada;

𝐸 Expoente;

𝑏0 Bit Escondido;

𝑏𝑛 Bits do significante;

𝑃 Precisão do sistema;

𝜖 Épsilon da máquina;

𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑(𝑥) Arredondamento de um número 𝑥;

𝑋 Representação de um intervalo;

𝑋 Limite inferior do intervalo 𝑋;

𝑋 Limite superior do intervalo 𝑋;

≈ Aproximadamente;

𝑚(𝑋) Ponto médio do intervalo 𝑋;

𝜔(𝑋) Tamanho do intervalo 𝑋;

∩ Interseção;

∪ União;

min{} Valor mínimo dentro do conjunto;

max{} Valor máximo dentro do conjunto;

𝑌 Limite superior do intervalo 𝑌 ;

𝑍 Representação de um intervalo;

𝑓(𝑥) Função de uma variável;

𝑓(𝑋) Função intervalar;

∞ Infinito;

< Menor que;

> Maior que;

𝜉 Erro;

^ Valor computacional aproximado;

�� Valor computacional de 𝑥 aproximado;

ℓ Erro relativo;

ℓ𝑠 Valor percentual de tolerância;

𝑢 Iteração do cálculo;

𝐶 Subconjunto de um espaço amostral pertencente ao conjunto dos números reais;

Θ Valor em um espaço amostral;

𝐺 Espaço amostral;

𝑐𝑛 Elemento de um subconjunto de um espaço amostral;

𝑡 Tempo;

𝑣 Variável entre zero e um;

𝑀 Média de variáveis estocásticas;

𝐻 Variável estocástica qualquer;

ϒ Variância de uma variáveis estocásticas;

𝐷 Desvio padrão;

𝐴 Média de experimentos independentes;

��𝑖,𝑛 Pseudo-órbita clássica;

𝜉𝑖,𝑛 Erro entre a órbita real e pseudo-órbita;

��−𝑖,𝑛 Pseudo-órbita clássica arredonda para o infinito negativo;

��+𝑖,𝑛 Pseudo-órbita clássica arredonda para o infinito positivo;

��𝑗,𝑛 Pseudo-órbita alternativa proposta;

𝛿−𝑖,𝑛 Erro característico da pseudo-órbita ��−

𝑖,𝑛;

𝛿+𝑖,𝑛 Erro característico da pseudo-órbita ��+

𝑖,𝑛;

𝛿𝑖,𝑛 Erro característico da pseudo-órbita alternativa;

(-x-) Representação da curva com marcador em formato de x;

(-o-) Representação da curva com marcador em formato de o.

Lista de Abreviacoes

UFSJ Universidade Federal de São João del-Rei;

CEFET - MG Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais;

GCOM Grupo de Controle e Modelagem;

CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior;

CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico;

IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers;

IEEE 754-2008 Norma IEEE 754-2008 de Ponto Flutuante;

SPICE Simulated Program with Integrated Circuits Emphasis;

ED Equação diferencial;

PVI Problema de valor inicial;

RK Runge-Kutta;

RK3 Runge-Kutta de terceira ordem;

RK4 Runge-Kutta de quarta ordem;

RK5 Runge-Kutta de quinta ordem;

NaN Not a number.

xxiii

Sumario

Lista de Símbolos xix

Lista de Abreviações xxiii

1 Introdução 1

1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Contribuições da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Referencial Teórico 9

2.1 Conceitos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Sistemas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Sistemas não-lineares de tempo contínuo e discreto . . . . . . . . . . . 11

2.1.3 Caracterização da dinâmica caótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Sistema de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Circuito de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Mapa logístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Métodos numéricos de discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.1 Método de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 VPA toolbox do Matlab2016a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.7 A aritmética de ponto flutuante e aritmética intervalar . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7.1 Norma IEEE 754-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7.2 Aritmética intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

xxv

2.8 Análise de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8.1 Exatidão e precisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8.2 Erro absoluto e erro relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8.3 Computação aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.9 Processos estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.9.1 Variável estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.9.2 Média de uma variável estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.9.3 Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Metodologia 35

3.1 Método para a redução do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.2 Diretrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.3 Método para a redução do ruído em sistemas contínuos . . . . . . . . . 39

3.2 Hardware e software utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Resultados 43

4.1 Redução do erro do mapa logístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1 Caso 1 - A convergência para o ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.2 Caso 2 - Visualização da redução do erro . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1.3 Caso 3 - Generalizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Redução do erro aplicada a sistemas contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 Caso 1 - Circuito de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.2 Caso 2 - Sistema de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Conclusões do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Conclusões 55

5.1 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Referências Bibliográficas 59

A Rotinas Computacionais 65

A.1 mainchua_extensao.m - Arquivo principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A.1.1 chuakennedy1992_extensao1.m - Arquivo secundário característico da

extensão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

A.1.2 chuakennedy1992_extensao2.m - Arquivo secundário característico da

extensão 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.2 mlre_caso1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

A.3 mlre_caso2.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

A.4 mlre_caso3.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A.5 Algoritmo dos métodos tradicional e de supressão de caos - Circuito de Chua . 77

A.5.1 mainchua.m - Arquivo principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.5.2 mainchua1.m - Arquivo secundário característico do método tradicional 80

A.5.3 chuakennedy1992_1.m - Arquivo base característico do método tradi-

cional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

A.5.4 mainchua2.m - Arquivo secundário característico do método de supressão

de caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.5.5 chuakennedy1992_2.m - Arquivo base característico do método de su-

pressão de caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.6 Algoritmo dos métodos tradicional e de supressão de caos - Sistema de Lorenz 87

A.6.1 mainlorenz.m - Arquivo principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.6.2 mainlorenz1.m - Arquivo secundário característico do método tradi-

cional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A.6.3 lorenz_1.m - Arquivo base característico do método tradicional . . . . 91

A.6.4 mainlorenz2.m - Arquivo secundário característico do método de su-

pressão de caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.6.5 lorenz_2.m - Arquivo base característico do método de supressão de caos 93

CAPÍTULO 1

Introducao

Desde os tempos mais antigos, o homem teve interesse em analisar, estudar e observar:

a natureza, a sociedade e o mundo ao seu redor. Logo, podem ser citados vários exemplos

de sistemas: atrator de Lorenz (Lorenz, 1963), atrator de Rössler (Rössler, 1976), mapa de

Hénon (Hénon, 1976), mapa logístico (May, 1976), pêndulo duplo caótico (Skeldon, 1994),

circuito de Chua (Chua, 1992), dentre outros. Assim, Monteiro (2006) define sistemas como

conjuntos de objetos que são agrupados por alguma iteração ou interdependência, uma vez que,

existam relações de causa e efeito nos fenômenos que ocorrem com os elementos do conjunto.

No entanto, o conceito de sistemas é bastante amplo, podendo em boa parte dos casos ser

detalhado, isto é, definido conforme: funcionamento, comportamento e outros quesitos. De

acordo com Lathi (2007), sistemas ainda podem ser classificados quanto a constituição, em

físicos ou algoritmos que são implementados em hardware e software, respectivamente.

Segundo Monteiro (2006), virtuais ou econômicos, os sistemas puramente lineares são pou-

cos. Assim, os sistemas não-lineares existem em maior quantidade, e são recentes as ferramen-

tas de estudo e análise, uma vez que, por muito tempo perduraram grandes limitações dos meios

de processamento e dificuldades nas soluções analíticas das equações diferenciais. Deste modo,

foi preciso desenvolver novas metodologias para contornar ou, ao menos, criar alternativas à

análise das equações não-lineares. Jules Henri Poincaré foi o precursor no desenvolvimento de

técnicas de análises dessas equações, tendo a eficácia de seus trabalhos verificada na constata-

ção numérica da sensibilidade a condições iniciais (Lorenz, 1963). Desde então, o estudo de

sistemas não-lineares tornou-se mais viável e desperta o interesse de muitos pesquisadores, em

diversos ramos da ciência.

Após a publicação de Lorenz (1963), a computação numérica ganhou grande destaque com

1

Capítulo 1. Introdução 2

intuito de exibir e viabilizar soluções de sistemas dinâmicos não-lineares (May, 1976), o que

implica em alguns efeitos e restrições, pois existem ruídos nos processos computacionais arti-

ficiais (Ladeira et al., 2015). De acordo com Hasan et al. (2013), o uso de aritmética computa-

cional para a computação científica e engenharia é indispensável, e inclusive muitos algoritmos

numéricos iterativos podem ser considerados sistemas dinâmicos (Hasan et al., 2013).

De modo geral, os algoritmos são implementados em hardwares digitais de precisão finita, o

que incorpora erros aos cálculos. Sabe-se que os procedimentos numéricos usuais são baseados

no padrão IEEE-754 (2008) de ponto-flutuante, que é uma abordagem sistemática aos números

reais, o que agrega pequenos erros ao longo dos processos computacionais. Assim, não são as-

seguradas, para o ponto-flutuante, algumas propriedades aritméticas de números reais (Overton,

2001), como a propriedade distributiva. Portanto, para evidenciar limitações da aritmética com-

putacional apresenta-se um exemplo fundamentado em extensões intervalares que são propostas

por Moore et al. (2009). Para isto usa-se o circuito de Chua como teste.

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝐶1𝑑𝑣𝐶1

𝑑𝑡=

𝑣𝐶2 − 𝑣𝐶1

𝑅− 𝑖𝑑(𝑣𝐶1)

𝐶2𝑑𝑣𝐶2

𝑑𝑡=

𝑣𝐶1 − 𝑣𝐶2

𝑅− 𝑖𝐿

𝐿𝑑𝑖𝐿

𝑑𝑡= −𝑣𝐶2

(1.1)

Desenvolvido por Leon O. Chua em 1984, o circuito de Chua é reconhecido por exibir compor-

tamento caótico similar ao do sistema proposto por Lorenz (Chua, 1994). Constitui uma rede

eletrônica simples, caracterizada por atratores estranhos e bifurcações e será tratado de modo

mais aprofundado na seção 2.3. O circuito é representado pela Equação (1.1), e consiste em dois

capacitores, um indutor, um resistor linear e um resistor não-linear, denominado diodo de Chua

(Kennedy, 1992), que é percorrido por uma corrente, 𝑖𝑑(𝑣𝐶1), dependente da tensão de um dos

capacitores. As equações que regem o circuito são comumente solucionadas por métodos de

discretização. Assim, assumindo o método de discretização de Runge-Kutta de quarta ordem, e

o software Matlab 2016a, tem-se duas soluções da tensão no diodo de Chua exibidas na Figura

1.1.

Silva, M. R.

3

Figura 1.1: Tensão do diodo de Chua considerando extensões intervalares 𝐴 e 𝐵. Condições e valoresdo sistema apresentados nas Tabelas 4.3 e 4.4, porém 𝑅 = 1978,5Ω. Rotina

mainchua_extensao.m.

A resolução do circuito de Chua está apresentada na Figura 1.1, e de acordo com Moore

et al. (2009) considera extensões intervalares de 𝑑𝑣𝐶1𝑑𝑡

conforme mostra a Equação (1.2).

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝐴 =𝑑𝑣𝐶1

𝑑𝑡=

1𝐶1

⎛⎜⎜⎝ 1𝑅

(𝑣𝐶2 − 𝑣𝐶1)− 𝑖𝑑(𝑣𝐶1)

⎞⎟⎟⎠

𝐵 =𝑑𝑣𝐶1

𝑑𝑡=

1𝐶1

⎛⎜⎜⎝𝑣𝐶2

𝑅−𝑣𝐶1

𝑅− 𝑖𝑑(𝑣𝐶1)

⎞⎟⎟⎠(1.2)

Nota-se que a diferença entre as duas extensões encontra-se no modo em que 𝑑𝑣𝐶1𝑑𝑡

foi escrita,

ou seja, no uso da propriedade distributiva. Matematicamente, esperam-se resultados idênticos,

entretanto devido às limitações computacionais, se aplicadas duas extensões intervalares à 𝑑𝑣𝐶1𝑑𝑡

,

observa-se na Figura 1.1, que as curvas passam a não mais coincidir a partir de um certo tempo.

Esta discrepância é notada, graficamente, pouco após a 20 ms, porém começa a ocorrer bem

antes. Assim, esta distinção entre as curvas ocorre em razão das restrições computacionais e do

fato que algumas propriedades aritméticas como a distributividade não podem ser garantidas.

Silva, M. R.


Šalamon e Dogša (2004) abordam o caso de simulações idênticas feitas no software SPICE,

porém são utilizados dois processadores diferentes, e assim verificam-se resultados totalmente

distintos após 20 ms. Portanto, em Šalamon e Dogša (2004) contata-se que as incertezas nos

resultados são provocadas pela distinção de hardwares, o que torna os resultados apresentados

na Figura 1.1 significativos, uma vez que estes foram gerados no mesmo hardware e são mate-

maticamente idênticos. Portanto é possível visualizar e constatar as limitações computacionais

apontadas pela norma IEEE-754 (2008).

Deste modo, os resultados exibidos na Figura 1.1 são agentes motivadores e despertam in-

teresse em investigar as limitações computacionais, uma vez que tem-se conhecimento que a

computação aritmética aplicada a cálculos científicos e de engenharia é um campo interdiscipli-

nar que se baseia na matemática, ciências da computação e engenharia elétrica, e consequente-

mente, avanços nesta área abrangem desde conhecimentos considerados teóricos aos práticos,

como a aplicação em microprocessadores. A disponibilidade de diferentes processadores faz

com que o desempenho de algoritmos numéricos seja viabilizado, o que levanta um questiona-

mento sobre a reprodutibilidade dos resultados numéricos ao executar algoritmos em diferentes

plataformas (Kornerup et al., 2009), extensões e métodos.

Kornerup et al. (2009) afirma que as vantagens de algoritmos executáveis em ponto-flutuante

constituem um paralelo com a definição e implementação de algoritmos tradicionais. E ainda,

considerando que, erros de arredondamento numérico estão diretamente relacionados à maneira

como os números são armazenados em um computador, então os erros podem ser vistos como

acréscimos de ruídos na resolução do problema. Deste modo, uma metodologia que busca a

limitação do ruído computacional baseada na representação da média dos modos arredondados

para o infinito negativo e positivo é proposta neste trabalho. O método proposto fundamenta-se

na implementação de um algoritmo aplicável em computadores que trabalham segundo as dire-

trizes da norma IEEE-754 (2008) do ponto-flutuante, e que visa a redução do erro. O algoritmo

comporta-se de modo análogo a um filtro, uma vez que trabalha como um agente limitante

do crescimento do erro computacional, mostra-se isto para uma referência simbólica de mapas

discretos e um resultado analítico conhecido. Analisado paralelamente a técnica proposta e

os algoritmos tradicionais aplicados a sistemas dinâmicos não-lineares, constata-se que o filtro

proposto proporciona a redução da propagação do ruído e, em alguns casos, foi observada a

supressão do caos quando aplicado a sistemas dinâmicos contínuos de comportamento caótico.

Silva, M. R.

5 1.1. Objetivos

1.1 Objetivos

Considerando a disseminação dos erros de arredondamento, busca-se, neste trabalho, apre-

sentar as diretrizes de um algoritmo, análogo a um filtro, destinado ao aumento da precisão

em simulações computacionais de sistemas discretos e contínuos. Portanto, para comprovar a

eficiência da técnica proposta objetiva-se nesta dissertação:

• Mostrar o quanto a metodologia sugerida limita o crescimento do erro, e consequente-

mente melhora a precisão de sistemas discretos, tomando o caso do mapa logístico;

• Evidenciar situações tradicionais de divergência em que a ação do filtro conduz a um

ponto fixo;

• Apresenta-se um estudo de casos que exibe situações em que filtro para redução de ruído

ocasionou a supressão de caos, para os sistemas de Lorenz e Chua que são exemplos de

sistemas contínuos;

• Realizar comparações entre resultados consolidados e os frutos da metodologia desenvol-

vida.

1.2 Contribuições da dissertação

A seguir, são apresentados trabalhos publicados que são frutos de estudos ao longo da ela-

boração desta dissertação:

• Silva, M. R., Nepomuceno, E. G., Amaral, G. F. V., Silva, V. V. R. (2016). Simulation

of Chua’s circuit by means of interval analysis. International Conference on Nonlinear

Science and Complexity - 6th NSC (Silva et al., 2016).

• Silva, M. R., Nepomuceno, E. G., Amaral, G. F. V, Martins, S. A. M, Nardo, L. G. (2017).

Exploiting the rounding mode of floating-point in the simulation of Chua’s circuit. Dis-

continuity, Nonlinearity, and Complexity. ISSN 2164-6376 (Silva et al., 2017). Aceito

para publicação.

Silva et al. (2016) é o primeiro trabalho produzido relacionado à dissertação, neste é apre-

sentado um filtro que vislumbra conter os efeitos dos erros computacionais, baseado na média

Silva, M. R.


dos modos arredondados para infinito positivo e negativo, de modo que os valores arredondados

constituam um intervalo. Assim, esta metodologia é aplicada de modo iterativo à solução do cir-

cuito de Chua em condições caóticas, sendo possível observar que o sistema passa a apresentar

um comportamento periódico diferente do esperado.

Silva et al. (2017) apresenta uma versão estendida de Silva et al. (2016), porém a metodolo-

gia desenvolvida é agora aplicada a três métodos de discretizadação distintos, Runge-Kutta de

terceira, quarta e quinta ordem, para o circuito de Chua, e novamente pode-se notar o compor-

tamento periódico mediante o uso da metodologia sugerida. De modo a verificar o comporta-

mento dinâmico periódico encontrado, calcula-se os expoentes de Lyapunov e comprova-se que

o método é capaz de levar o sistema, circuito de Chua em condições caóticas, a uma região de

comportamento periódico, o que sugere um caso de supressão de caos.

1.3 Organização do trabalho

Para melhor compreensão e entendimento, o presente trabalho é disposto em quatro capítu-

los:

• Capítulo 2 - Referencial Teórico: aborda conceitos de sistemas dinâmicos com foco em

sistemas não-lineares, assim como princípios relacionados à teoria do caos. Tratando-se

de sistemas dinâmicos não-lineares de comportamento caótico pode-se destacar os siste-

mas contínuos de Lorenz e Chua, e o caso discreto do mapa logístico;

Como os sistemas contínuos são matematicamente representados por equações diferen-

ciais, logo há uma subseção que diz respeito a métodos numéricos para discretização,

onde o método de Runge-Kutta é o cerne;

Princípios ligados a execução e armazenamento de cálculos computacionais sob a pers-

pectiva da norma IEEE-754 (2008) e outras referências consolidadas são apresentados. Do

mesmo modo, conteúdos relacionados à aritmética intervalar, um assunto de certo modo

recente que pode ser visto como uma forma ímpar e inovadora de lidar com números em

processos numéricos computacionais;

Há uma subseção destinada ao tratamento do erro e de conceitos relacionados, como:

precisão, exatidão, erros absoluto e relativo. E também são apresentadas nesta subdivisão

algumas ponderações sobre computação numérica;

Silva, M. R.

7 1.3. Organização do trabalho

E por fim, alguns conceitos ligados à estocasticidade são tratados.

• Capítulo 3 - Metodologia: são trazidos neste capítulo um conjunto de tópicos e efeitos

de trabalhos produzidos (aceito e publicado) durante o desenvolvimento da dissertação.

O intuito é expor um método aritmético rigoroso baseado na média dos modos arredon-

dados para infinito positivo e negativo, que opere de modo análogo a um filtro e limite o

crescimento do erro computacional, e tratando-se de regiões de transição possa suprimir

o caos.

• Capítulo 4 - Resultados: apresentam-se resultados do emprego da metodologia para o caso

do mapa logístico, circuito de Chua e sistema de Lorenz. De modo que, para cada caso

foram executadas análises e comparações com métodos tradicionais (sob as diretrizes da

norma IEEE-754 (2008) vigente), sendo possível constatar a eficácia do método proposto.

• Capítulo 5 - Conclusões: um fechamento do trabalho com ponderações e considerações

finais são expostas, assim como perspectivas de trabalhos futuros.

Silva, M. R.

CAPÍTULO 2

Referencial Teorico

2.1 Conceitos preliminares

Esta seção enfoca sistemas dinâmicos não-lineares, que serão apresentados juntamente com

conceitos e definições relevantes para os capítulos seguintes.

2.1.1 Sistemas dinâmicos

Apresenta-se previamente alguns conceitos com intuito de facilitar a compreensão das de-

mais seções.

1. Espaço de fases

Espaço de fases ou estados é um espaço qualquer, abstrato, no qual se realiza o estudo

qualitativo de um sistema dinâmico (Monteiro, 2006). A Figura 2.1 mostra um atrator que

representa um dos vários possíveis comportamentos dinâmicos exibidos pelo sistema do

circuito de Chua em um espaço de estados, isto é, nos eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Portanto, um espaço 𝑛-dimensional cujos eixos coordenados são 𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛, em que

𝑛 ∈ Z*. Representa-se cada estado por um ponto cujas coordenadas são 𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), ...,

𝑥𝑛(𝑡), onde 𝑡 é a variável tempo. As equações diferenciais de primeira ordem que regem

o sistema analisado descrevem o movimento do ponto de acordo com a evolução temporal

dada por: Equação (2.1).

9

Capítulo 2. Referencial Teórico 10

Figura 2.1: Atrator caótico do circuito de Chua no espaço de fases.

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛)

𝑑𝑥2

𝑑𝑡= 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛)

......

𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡= 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛)

(2.1)

Na prática, a solução da Equação (2.1) é o caminho percorrido no espaço de fases com

velocidade𝑑−→𝑥 (𝑡)

𝑑−→𝑡

. A dimensão do espaço de fases corresponde ao número de equações de

primeira ordem necessárias para representar o sistema, sendo igual ao número de variáveis

de estado. O resultado da evolução temporal de um sistema partindo das condições iniciais

previamente definidas é denominado retrato de fases.

2. Noções de estabilidade

Seja um sistema representado por equações diferenciais com condições inicias previa-

mente estipuladas. Para obter o comportamento dinâmico deste é preciso solucionar tais

equações. De modo geral, são obtidas soluções numéricas, que possuem aplicações de-

masiadamente limitadas, uma vez que somente são válidas para as condições fixadas.

Quando as condições iniciais pertencem à vizinhança das demais soluções, seu comporta-

mento determina a estabilidade. Caracteriza-se a estabilidade de uma equação diferencial

ou diferença.

Silva, M. R.

11 2.1. Conceitos preliminares

3. Estabilidade Orbital

Considerando a estabilidade no sentido de Lyapunov define-se a estabilidade de um ponto

de equilíbrio, baseando-se no comportamento das trajetórias que partem da condição ini-

cial localizada neste ponto (Monteiro, 2006). Quando um determinado sistema encontra-

se no ponto de equilíbrio, as variáveis dependentes são constantes. Logo, a trajetória

original será assintoticamente estável, se a diferença entre as variáveis do movimento ori-

ginal e as que partem de determinada condição inicial próxima a esse ponto de equilíbrio

reduza com o passar do tempo. Se a diferença permanecer constante, tem-se uma trajetó-

ria neutralmente estável. E caso a diferença aumente, a trajetória será instável, ou seja, no

decorrer do tempo tais variáveis aumentam indefinidamente, afastando-se do ponto.

4. Ciclo Limite

Relaciona-se a uma trajetória fechada no espaço de fases a alterações contínuas e periódi-

cas nas variáveis dependentes do sistema. Portanto, para uma trajetória isolada e fechada,

que pode aparecer no espaço de fase de sistemas não-lineares, segundo Poincaré, é um

ciclo limite. Caso todas as trajetórias aproximem-se, o ciclo limite será considerado as-

sintoticamente estável, caso se afastem o ciclo será instável.

2.1.2 Sistemas não-lineares de tempo contínuo e discreto

A grande maioria dos sistemas existentes na natureza e na sociedade são não-lineares. De

acordo com Taylor (2005), diferente dos problemas que envolvem sistemas lineares, os não-

lineares são difíceis de serem resolvidos analiticamente. Por isso, realiza-se o processo de

linearização nas proximidades do ponto de equilíbrio com objetivo de predizer as soluções do

sistema não-linear em questão na vizinhança do ponto de equilíbrio.

Equivalência topológica

Considera-se sobrejetora a função que possui o contradomínio igual ao conjunto imagem. E

injetora, a função onde cada um dos elementos do domínio está associado a um único elemento

da imagem. Assim, considera-se a função:

−→𝑎 (−→𝑥 ) = −→𝑦 , (2.2)

Silva, M. R.


em que 𝑎 é uma função de domínio 𝑥 e imagem 𝑦.

Se a função, Equação (2.2), é injetora, sobrejetora e contínua, afirma-se que é invertível.

Portanto, a inversa 𝑎−1 é considerada um homeomorfismo. Tais considerações matemáticas

são de extrema valia quando tratam-se de retratos de fases de sistemas dinâmicos. Uma vez

que dois sistemas sejam homeomórficos (topologicamente isomórficos), e que o sentido de

orientação e movimento sejam mantidos no espaço de fases e considerados topologicamente e

orbitalmente equivalentes, então as trajetórias serão deformadas até tornarem-se semelhantes

às de outro sistema. Deste modo, o processo de deformação contínua das trajetórias faz com

que os sistemas tenham órbitas qualitativamente distintas, mas de estruturas e comportamentos

dinâmicos similares.

2.1.3 Caracterização da dinâmica caótica

Seja um sistema dinâmico dissipativo, as trajetórias das soluções convergem para regiões

limitadas no espaço de fases denominadas atratores (Monteiro, 2006).

1. Definição de caos

De acordo com Spezamiglio e Pereira (2003), considera-se 𝐼 um espaço métrico e N =

{0, 1, ...}, e que 𝐼 não seja um conjunto finito, mas sim uma aplicação contínua 𝑓 : 𝐼 → 𝐼 ,

logo:

𝑥(𝑛) = 𝑓(𝑥(𝑛− 1)) (2.3)

sendo que, 𝑛 ∈ N. Para 𝑥(0) = 𝑥0 ∈ 𝐼 , a solução da Equação (2.3), que possui condição

inicial 𝑥0, é uma sequência denominada órbita e expressa pela Equação (2.4)

(𝑓𝑛(𝑥0)) (2.4)

em que 𝑓𝑛 é a 𝑛-ésima iteração de 𝑓 . Um ponto fixo de 𝑓 é um ponto 𝑥0 tal que

𝑓(𝑥0) = 𝑥0 = 𝑥*0. (2.5)

Caso exista 𝑛 ≥ 1 para o ponto fixo 𝑥*0 da iteração 𝑓𝑛, afirma-se que 𝑥*

0 é um ponto fixo

periódico de 𝑓 . Ao menor 𝑛 nestas condições denomina-se período da órbita.

Silva, M. R.

13 2.1. Conceitos preliminares

Sejam dois subconjuntos abertos𝑈 e𝐵 de 𝐼 , e 𝑢 ∈ N, tal que 𝑓𝑢(𝑈)∩𝐵 = 0 então afirma-

se que 𝑓 é transitiva. Porém, se 𝐼 não possui pontos isolados, logo uma órbita densa em 𝐼

implicará em transitividade, e caso 𝐼 seja compacto e sem pontos isolados a existência de

uma órbita densa equivale à transitividade (Spezamiglio e Pereira, 2003). Adicionalmente,

𝑓 será sensível em relação às condições iniciais se houver 𝜓 > 0, para qualquer 𝑥 ∈ 𝐼

em qualquer vizinhança 𝑊 de 𝑥, que exista 𝑦 ∈ 𝑊 e 𝑘 ∈ N tais que 𝑑(𝑓𝑢(𝑥),𝑓𝑢(𝑦)) >

𝜓, sendo que 𝑑 é a distância em 𝐼 . Portanto, arbitrárias e infinitesimais perturbações

podem gerar consideráveis erros após algumas iterações (Spezamiglio e Pereira, 2003).

Consequentemente, para Blanchard et al. (1998) uma aplicação contínua de 𝑓 : 𝐼 → 𝐼 é

caótica se:

(a) 𝑓 é sensível às condições iniciais;

(b) 𝑓 é transitiva;

(c) Pontos periódicos de 𝑓 são densos em 𝐼;

e estas condições são conhecidas como definição de caos segundo Devaney (Blanchard

et al., 1998).

2. Expoente de Lyapunov

De acordo com Monteiro, considera-se um sistema de 𝑚 equações diferenciais e uma

hiper-esfera com centro em −→𝑥 (𝑡0), que é a condição inicial do sistema. Se raio inicial da

esfera é 𝑑𝜍(𝑡0), onde 𝜍 é a dimensão, então:

𝑑𝜍(𝑡) = 𝑑𝜍(𝑡0)𝑒Λ𝜍(𝑡−𝑡0) (2.6)

sendo que, 𝜍 = 1, 2,...,𝑚. Ou ainda,

Λ𝜍 =ln[ 𝑑𝜍(𝑡)

𝑑𝜍(𝑡0) ]𝑡− 𝑡0

, (2.7)

Com o passar do tempo o volume da esfera sofrerá alterações, uma vez que o raio é

relacionado às trajetórias do sistema. Λ𝜍 são denominados expoentes de Lyapunov. O

volume no instante inicial, 𝑡0, é 𝜈(𝑡0). O sistema será conservativo se 𝜈(𝑡) = 𝜈(𝑡0) para

todo 𝑡 ≥ 𝑡0 ou∑𝑚

𝜍−1 Λ𝜍 = 0, e dissipativo se 𝜈(𝑡) < 𝜈(𝑡0), para todo 𝑡 ≥ 𝑡0 ou∑𝑚

𝜍−1 Λ𝜍 <

0.

Silva, M. R.


Classifica-se um atrator no espaço de fases como caótico, se ao menos um expoente de

Lyapunov for positivo, neste caso há divergência das trajetórias. Para uma trajetória fe-

chada, se dois pontos mantiverem-se na mesma distância ao longo do tempo tem-se expo-

ente nulo. Entretanto, se em direções perpendiculares ao atrator periódico houver contra-

ção do volume, o expoente será negativo (Monteiro, 2006). Considerando um sistema de

três dimensões, com expoentes: Λ1, Λ2 e Λ3 existem os seguintes atratores:

• Ponto de equilíbrio: Λ1, Λ2 e Λ3 devem ser menores que zero. Uma vez que o volume

deve contrair para que as trajetórias venham a convergir ao ponto.

• Ciclo limite: Λ1 e Λ2 menores que zero, e Λ3 = 0, ou Λ1 menor que zero, Λ2 e

Λ3 = 0, ou Λ1= Λ2 = Λ3 = 0, ou Λ1, Λ2 e Λ3 são negativos (Guan, 2014).

• Toro bidimensional: Λ1 menor que zero, Λ2 e Λ3 nulos.

• Atrator estranho: Λ1 > 0, Λ2 = 0 e Λ3 < 0. O expoente positivo assegura a

dependência às condições iniciais, o expoente negativo deve ter maior módulo que o

positivo, de modo a garantir que o sistema é dissipativo.

Para sistemas de tempo discreto, considere 𝑛 número de iterações e 𝑥𝜍+1 = 𝐹 (𝑥𝜍). Deste

modo, tem-se o expoente de Lyapunov dado por:

Λ = lim𝑛→∞

1𝑁

𝑛−1∑𝜍=0

ln𝑑𝐹 (𝑥𝜍)𝑑𝑥𝜍

. (2.8)

2.2 Sistema de Lorenz

Edward Lorenz, em 1963, dando continuidade às pesquisas relacionadas a sistemas dinâ-

micos, mais precisamente ao estudo do sistema meteorológico, resolveu numericamente o mo-

delo metorológico simplificado proposto por Saltzman (1962) e obteve uma solução aperiódica

(Monteiro, 2006), o que implicou na fundamentação da teoria do caos (Lorenz, 1963).

O modelo apresentado em Lorenz (1963) é descrito por um conjunto de três equações dife-

renciais, Equação (2.9), que são sensíveis às condições iniciais. Entretanto, as trajetórias per-

corridas por estas condições apresentam um comportamento que pode ser remetido ao formato

de uma borboleta (Monteiro, 2006). Sendo assim, as condições iniciais do modelo atmosférico

percorrem trajetórias que compõem uma região denominada atrator de Lorenz.

Silva, M. R.

15 2.3. Circuito de Chua

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩�� = −𝜎𝑥+ 𝜎𝑦

�� = 𝜌𝑥− 𝑦 − 𝑥𝑧

�� = 𝑥𝑦 − 𝛽𝑧

(2.9)

As constantes 𝜎 e 𝜌 são denominadas números de Prandtl e Rayleigh, respectivamente. O

estado 𝑥 representa a intensidade do movimento de convecção, 𝑦 é proporcional à variação de

temperatura entre correntes ascendentes e descendentes, e 𝑧 é proporcional à distorção do perfil

de temperatura vertical.

2.3 Circuito de Chua

No início da década de 80, Leon Chua notou a necessidade de desenvolver um circuito,

que evidenciasse experimentalmente o comportamento caótico proposto por Lorenz (1963),

(Kiliç, 2010). Chua iniciou suas pesquisas observando os sistemas de Lorenz e Rössler que

possuem dois pontos de equilíbrio instáveis, mas somente em 1984, desenvolveu um circuito, de

caráter eletrônico, e comportamento similar ao desejado (Chua, 1994). Em Matsumoto (1984),

constatou-se o comportamento caótico do circuito por meio de simulações computacionais.

Deste modo, desenvolveu-se um circuito autônomo, realizável fisicamente, caracterizado

por três pontos instáveis de equilíbrio, que constitui uma rede eletrônica simples que exibe uma

variedade de fenômenos, como atratores estranhos e bifurcações. Conforme mostra a Figura 2.2,

o circuito é constituído de dois capacitores, um indutor, um resistor linear e um resistor não-

linear Leon Ong Chua não obedeceu a qualquer tipo de sistemática para o projeto do circuito

(Chua, 1992), que é caracterizado pela Equação (1.1), em que 𝑣𝐶1 e 𝑣𝐶2 representam as tensões

nos capacitores 𝐶1 e 𝐶2, respectivamente; 𝑖𝐿 a corrente no indutor 𝐿; e 𝑖𝑑(𝑣𝐶1) a corrente

dependente da tensão que percorre o diodo de Chua, dada pela Equação (2.10), e caracterizada

por uma curva conforme exibe a Figura 2.3.

𝑖𝑑(𝑣𝐶1) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝐺𝑏𝑣𝐶1 +𝐵𝑝(𝐺𝑏 −𝐺𝑎) para 𝑣𝐶1 < −𝐵𝑝

𝐺𝑎𝑣𝐶1 para |𝑣𝐶1| ≤ 𝐵𝑝

𝐺𝑏𝑣𝐶1 +𝐵𝑝(𝐺𝑎 −𝐺𝑏) para 𝑣𝐶1 > 𝐵𝑝

(2.10)

O elemento não-linear, de resistência negativa, fornece energia ao sistema o que permite

Silva, M. R.


Figura 2.2: Circuito de Chua.

Figura 2.3: Curva do diodo de Chua segundo Kiliç (2010).

que este oscile autonomamente. Tal elemento pode ser implementado por amplificadores ope-

racionais (Tôrres e Aguirre, 2005). Assim, utiliza-se a técnica proposta por Zhong e Ayrom

(1985), que sugere a inserção de amplificadores operacionais, e verifica-se o comportamento

caótico do circuito (Chua, 1994). O método experimental, mais robusto e econômico, é mos-

trado em Kennedy (1991, 1992). O circuito de Chua, segundo Kennedy (1992), é realizado

por dois amplificadores operacionais e seis resistores não-lineares. Assim, 𝐺𝑎 e 𝐺𝑏 represen-

tam as inclinações da curva do diodo e são dadas em razão das resistências que integram tal

componente.

Existem diversos arranjos e estratégias de montagem que permitem a criação do circuito de

Silva, M. R.

17 2.4. Mapa logístico

Chua, dentre estas destaca-se a substituição do indutor por amplificadores, resistores e capacitor

proposta em Antoniou (1969), e aperfeiçoada por Tôrres e Aguirre (2000).

2.4 Mapa logístico

Mapas não-lineares são conhecidos pela complexa dinâmica que os expressa. Em 1976, R.

M. May introduziu um sistema dinâmico não-linear, de tempo discreto, que caracteriza a flutua-

ção populacional de moscas considerando um ambiente com quantidade constante de alimento

(Lozi, 2013), caracterizado pela seguinte equação,

𝑥𝑛 = 𝑟𝑥𝑛−1(1− 𝑥𝑛−1). (2.11)

Considera-se 𝑥𝑛−1, como razão entre população existente e a maior população possível

considerando a iteração 𝑛. E consequentemente, 𝑥𝑛 é um número pertencente ao intervalo

0 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 1. Em que, 𝑟 é um parâmetro de controle constante compreendido por valores no

intervalo 0 ≤ 𝑟 ≤ 4, e traduz a taxa de crescimento populacional (Lozi, 2013). De acordo

com May (1976), a variação dos valores 𝑥0 e 𝑟 implica ao sistema diferentes comportamentos,

como: equilíbrio, periodicidade e caos.

Um conceito extremamente relevante para compreensão deste mapa é o de ponto fixo,

𝑥*𝑛 = 𝑓(𝑥*

𝑛), (2.12)

caso a órbita do mapa atinja o ponto fixo em uma determinada iteração, a órbita permanecerá

neste ponto nas próximas iterações. Segundo a Equação (2.11) os pontos fixos do mapa logístico

são 𝑥*𝑛 = 0 e 𝑥*

𝑛 = 1 − 1𝑟, o ponto fixo é estável se após uma infinitesimal pertubação, as

iterações do mapa permanecem próximas a 𝑥*𝑛, denomina-se tal comportamento estabilidade de

Lyapunov (May, 1976).

2.5 Métodos numéricos de discretização

Os métodos Runge–Kutta, Adams–Bashforth–Moulton e outros atuam na solução de equa-

ções diferenciais (ED) de sistemas contínuos, e são conhecidos por permitirem a solução das

equações mediante a processos de discretização (Cartwright e Piro, 1992). De modo geral,

Silva, M. R.


as questões que envolvem ED são denominadas problemas de valor inicial (PVI). Assim, as

especificações de solução das equações são determinadas no início da trajetória, e denominam-

se condições iniciais. Diferentes mapas podem ser fornecidos para uma mesma ED variando

somente as condições iniciais (Cartwright e Piro, 1992).

Um problema de valor inicial é dado por:

𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) (2.13)

deste modo, seja um ponto (𝑥0, 𝑦0). Deseja-se encontrar a solução 𝜑 da EDO em questão, que é

definida em um intervalo [𝛼,𝜁]. Assim necessita-se satisfazer 𝜑(𝑥0) = 𝑦0 e conter 𝑥0. Nomeia-

se solução particular a solução de um PVI para as condições iniciais previamente estipuladas

(Valle, 2012).

O método proposto por Euler pode ser empregado na solução de um PVI de modo trivial,

entretanto possui lento processo de convergência. Assim, os métodos de Runge-Kutta e Taylor

são conhecidos por apresentarem convergência mais rápida para problemas desta espécie (Nagle

et al., 1989).

2.5.1 Método de Runge-Kutta

É um método que exibe resultados das equações diferenciais com grau considerável de preci-

são sem envolver cálculo de derivadas. Como sugerido por Chapra e Canale (1998), considera-

se

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝜑(𝑥𝑖,𝑦𝑖,ℎ)ℎ, (2.14)

em que, 𝜑(𝑥𝑖,𝑦𝑖,ℎ) é o incremento da função e pode ser representado de modo generalizado por:

𝜑 = 𝑎1𝑘1 + 𝑎2𝑘2 + ...+ 𝑎𝑛𝑘𝑛 (2.15)

Silva, M. R.

19 2.5. Métodos numéricos de discretização

sendo 𝑎′𝑠, 𝑝′𝑠 e 𝑞′𝑠 constantes. 𝑘′𝑠 são recorrentes caracterizados pela Equação (2.16), sendo

os mesmos para as Equações (2.17) - (2.19).

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)

𝑘2 = 𝑓(𝑥𝑖 + 𝑝1ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞11𝑘1ℎ)

𝑘3 = 𝑓(𝑥𝑖 + 𝑝2ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞21𝑘1ℎ+ 𝑞22𝑘2ℎ)...

𝑘𝑛 = 𝑓(𝑥𝑖 + 𝑝𝑛−1ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞𝑛−1,1𝑘1ℎ+ 𝑞𝑛−1,2𝑘2ℎ+ ...+ 𝑞𝑛−1,𝑛−1𝑘𝑛−1ℎ)

(2.16)

De acordo com Chapra e Canale (1998), o fato de 𝑘′𝑠 serem funções destaca o método de

Runge-Kutta em termos de eficiência.

Runge-Kutta de terceira ordem

Para n= 3, tem-se

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + (𝑘1 + 4𝑘2 + 𝑘3)ℎ6 (2.17)

Runge-Kutta de quarta ordem

Para n= 4, tem-se

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)ℎ6 (2.18)

Runge-Kutta de quinta ordem

Conforme sugerido por Butcher (1964) para n= 5, tem-se

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + (7𝑘1 + 32𝑘3 + 12𝑘4 + 32𝑘5 + 7𝑘6)ℎ90 (2.19)

em que,

𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖,𝑦𝑖)

𝑘2 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ4 ,𝑦𝑖 + 𝑘1ℎ

4 )

𝑘3 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ4 ,𝑦𝑖 + 𝑘1ℎ

8 + 𝑘2ℎ8 )

𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ2 ,𝑦𝑖 − 𝑘2ℎ

2 + 𝑘3ℎ)

𝑘5 = 𝑓(𝑥𝑖 + 3ℎ4 ,𝑦𝑖 + 3𝑘1ℎ

16 + 9𝑘4ℎ16 )

𝑘6 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ,𝑦𝑖 − 3𝑘1ℎ7 + 2𝑘2ℎ

7 + 12𝑘3ℎ7 − 12𝑘4ℎ

7 + 8𝑘5ℎ7 )

Silva, M. R.


Segundo Nagle et al. (1989), o método de RK é um dos mais conhecidos e utilizados devido

a rápida convergência. Sabe-se que métodos numéricos geralmente apresentam soluções próxi-

mas às reais, então as soluções são, de modo geral, aproximações precisas quando o número de

passos de integração são consideravelmente pequenos.

2.6 VPA toolbox do Matlab2016a

De acordo com Matlab2016a a rotina da VPA toolbox do utiliza expressões simbólicas,

sendo 𝑣𝑝𝑎(𝑥) a notação. Aplica-se a aritmética de ponto flutuante com precisão variável de

modo que, cada item simbólico 𝑥 que caracterize um numeral, vetor ou matriz tenha 𝑑 dígi-

tos significativos, assim 𝑣𝑝𝑎(𝑥,𝑑). Assim, a rotina apresentada nesta seção exemplifica o uso

da toolbox, mostrando que o aumento de precisão proporciona resultados mais confiáveis ao

usuário.

clc

clear all

%Exemplo vpa toolbox Matlab2016a

format long

a=pi

A=cos(a-(pi/4))

%Considerando 50 digitos de precisao

digits(50)

b=vpa(pi)

B=vpa(cos(b-vpa(pi/4)))

a =

3.141592653589793

A =

-0.707106781186547

b =

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

Silva, M. R.

21 2.7. A aritmética de ponto flutuante e aritmética intervalar

B =

-0.70710678118654752440084436210484903928483593768847

As diferenças existentes entre a aritmética ponto flutuante IEEE-754 (2008), e de precisão

variável são: os cálculos internos como a divisão por zero lança um erro; não são implementados

os números não normalizados; não existem exceções quanto ao número de pontos flutuantes

disponíveis; o underflow ocorre em aproximadamente 10−323228496.

2.7 A aritmética de ponto flutuante e aritmética intervalar

2.7.1 Norma IEEE 754-2008

A maioria dos computadores atuais operam segundo os padrões da aritmética de ponto-

flutuante, que foram discernidos com o apoio da IEEE (Institute of Electrical and Electronics

Engineers) e de diversos voluntários (IEEE-754, 2008). Estes se uniram em prol da organização

e definição das regras de representação e processos computacionais. Assim, foi desenvolvida

a norma IEEE 754 para aritmética de ponto-flutuante, que fornece diretrizes para a execução

da computação em hardware, software ou em ambos (IEEE-754, 2008). De modo particular,

a IEEE-754 (2008) especifica padrões, formatos e métodos para aritmética de ponto-flutuante

em sistemas de computador nos moldes single, double, extended e exceções são definidas para

receberem o tratamento padrão específico.

Conforme propõe a norma IEEE-754 (2008) para os formatos básicos de representação, o

modelo single de 32 bits, possui 1 bit de sinal, 8 bits destinados ao expoente e 23 ao significante;

e o formato double de 64 bits é composto por 1 bit para armazenamento de sinal, 11 bits para

expoente e 52 bits para o significante. O bit de sinal é representado por 1 se o número em

questão for negativo, e 0 caso seja positivo (Overton, 2001). Por fim, a Tabela 2.1 expõe de

modo visual e explicativo a delimitação da quantidade de bits e da faixa de representação para

tais formatos numéricos.

Tabela 2.1: Delimitação da quantidade de bits para os formatos single e double segundo os padrões danorma IEEE 754-2008.

Formato Faixa de representação Número total Sinal Expoente, E Mantissa, Ssingle ≈ 1,2 x 10−38 a ≈ 3,4 x1038 32 bits 1 bit 8 bits 23 bitsdouble ≈ 2,2 x 10−308 a ≈ 1,8 x 10308 64 bits 1 bit 11 bits 52 bits

Silva, M. R.


Alguns casos excepcionais são abordados na norma em questão, como: caso o número a

ser armazenado seja inferior ao menor valor possível de representação tem-se underflow; do

mesmo modo, mas tratando-se de um número a ser armazenado que seja superior à capacidade

de armazenamento, tem-se o overflow, e considera-se tal número como infinito.

Segundo a IEEE-754 (2008), aritmética de ponto-flutuante é uma aproximação sistemática

da aritmética real, que representa somente um subconjunto finito e contínuo de números reais.

Deste modo, determinadas propriedades da aritmética real como: associatividade, distributivi-

dade, não podem ser asseguradas na aritmética de ponto-flutuante. De acordo com Overton

(2001), o padrão matemático computacional é denominado sistema dos números reais estendi-

dos, e compreende o conjunto R e os símbolos −∞ e +∞ e definido por:

−∞ < 𝑥 < +∞ (2.20)

para todo 𝑥 ∈ R. Portanto, −∞ e +∞, são respectivamente, os limites inferior e superior do

conjunto dos reais estendidos (Overton, 2001). Então, tratando-se de arredondamentos numé-

ricos, considera-se um determinado formato, e assim o processo de arredondamento conduz

ao número real estendido em questão, um ponto-flutuante adequado que pode ser zero, ou um

número finito diferente de zero,∞ ou NaN (not a number).

Portanto, tratando de modo mais específico da representação numérica, sabe-se que os com-

putadores são limitados a dois estados que são: 0 ou 1, uma vez que as unidades lógicas pri-

márias dos computadores digitais são compostas por componentes eletrônicos on/off. Assim

o sistema de representação numérico computacional é o binário. Para Kornerup et al. (2009)

denomina-se palavra a unidade fundamental pela qual a informação é representada e esta con-

siste em uma sequência de dígitos binários, ou bits.

Abordando os computadores atuais, que obedecem às diretrizes da IEEE-754 (2008) em

vigor, que fundamenta-se no sistema de representação binária (Weber, 2000), um número 𝑥 é

representado como ponto-flutuante de acordo com a Equação (2.21) onde 𝑆 é a mantissa ou

significante, 𝐸 o expoente e 𝐵 a base, que em geral é binária,

𝑥 = ± 𝑆 x 𝐵𝐸. (2.21)

A expansão do significante de um número 𝑥 qualquer diferente de zero é dada pela Equação

Silva, M. R.


(2.22),

𝑆 = (𝑏0, 𝑏1𝑏2...)2, (2.22)

em que o bit 𝑏0 = 1. Conforme afirma Viana (1999), o zero tem uma representação diferenciada

dos demais números, já que não é submetido ao processo de normalização, sendo representado

pelo menor expoente possível de mantissa nula. Denomina-se bit escondido, o primeiro bit

não-nulo do significante de possíveis números representados como ponto-flutuante; essa no-

menclatura se dá em razão de não haver gastos de memória com para o armazenamento.

A nomenclatura ponto-flutuante vem do inglês onde a representação numérica é separada

por pontos, mas tratando-se do Brasil a melhor tradução seria vírgula-flutuante, isto é, a vírgula

move-se para a posição após ao primeiro dígito não-nulo (Campos e Lima, 2005). Assim,

intitulam-se os bits após ao ponto binário, ou de acordo com a Equação (2.22) vírgula binária, de

parte fracionária do significante, e as Equações (2.21) e (2.22) são representações normalizadas

de um número real (Overton, 2001).

Precisão

Conforme foi apresentado, os computadores possuem limitações quanto a representação

numérica. Portanto a precisão de um sistema no padrão ponto-flutuante é dependente do número

expresso pelo formato, e caracterizada pelo número de bits do significante, sendo que o bit

escondido deve estar incluso (Overton, 2001). Deste modo, um ponto-flutuante de precisão 𝑃 é

dado por:

𝑥 = ±(1, 𝑏1𝑏2...𝑏𝑃 −2 𝑏𝑃 −1)2 x 2𝐸 (2.23)

Denomina-se épsilon da máquina, a distância entre o menor número representável, dado pela

Equação (2.24), e o número 1.

𝑥 = (1,000...1)2 = 1 + 2−(𝑝−1) (2.24)

𝜖 = (0,000...01)2 = 2−(𝑝−1) (2.25)

Silva, M. R.


Arredondamento

Conforme sugere as diretrizes da norma IEEE-754 (2008) o processo de arredondamento de

um número qualquer 𝑥 ∈ R pode ocorrer para:

• mais próximo: aproxima-se para o ponto-flutuante mais próximo;

• infinito negativo: aproxima-se para o ponto-flutuante de módulo inferior mais próximo;

• infinito positivo: aproxima-se para o ponto-flutuante mais próximo de módulo superior;

• na direção de zero: análogo ao arredondamento para o infinito negativo se 𝑥 > 0, e ao

arredondamento infinito positivo se 𝑥 < 0.

O arredondamento padrão em processos computacionais é para o mais próximo. Se os dois

pontos-flutuantes mais próximos a um determinado número estiverem igualmente distanciados

será escolhido aquele que apresentar o último bit significativo nulo (IEEE-754, 2008).

2.7.2 Aritmética intervalar

A aritmética intervalar padronizada pela IEEE (2015) define como intervalo um conjunto

fechado limitado de números reais, ou um par ordenado de pontos limites, porém nesta seção

são considerados intervalos representados por pares de pontos limites, que são representados

por letras maiúsculas (Moore et al., 2009). Os limites inferior e superior de um intervalo 𝑋

qualquer são 𝑋 e 𝑋 , respectivamente. Deste modo, define-se o intervalo 𝑋 por:

𝑋 = [𝑋,𝑋]. (2.26)

Se 𝑋 = 𝑋 diz-se que o intervalo é degenerado e pode ser expresso por 𝑋 = [𝑋,𝑋] (Alefeld

e Herzberger, 2012). Caso uma resposta 𝑥 qualquer esteja contida dentro de uma faixa cor-

respondente aos valores do intervalo [𝑋,𝑋], o ponto médio do intervalo dado pela Equação

(2.27)

𝑚 = 𝑋 +𝑋

2 , (2.27)

em que, 𝑥 é uma aproximação com

|𝑥−𝑚| ≤ 𝜔

2 , (2.28)

Silva, M. R.


para 𝜔 = 𝑋 −𝑋 como tamanho do intervalo. Deste modo, se tem uma solução aproximada, e

consequentemente, um erro ligado à essa aproximação (Moore et al., 2009), assim a Figura 2.4

ilustra as definições apresentadas.

Figura 2.4: Tamanho, ponto médio e limites de um intervalo 𝑋 (adaptado de Moore et al. (2009)).

Operações e propriedades intervalares

Quando trabalha-se com operações intervalares podem ser feitas analogias com operações

entre conjuntos, o que implicará em intervalos resultantes das operações executadas (Rodri-

gues Jr, 2016). Como propõem Moore et al. (2009); Alefeld e Herzberger (2012); Rothwell e

Cloud (2012) a respeito de intervalos numéricos, têm-se as seguintes considerações para inter-

valos 𝑋 , 𝑌 e 𝑍 quaisquer:

1. Operações

• Igualdade: intervalos 𝑋 e 𝑌 serão iguais caso sejam conjuntos idênticos, assim 𝑋 =

𝑌 se 𝑋 = 𝑌 e 𝑋 = 𝑌 , consequentemente a interseção entre estes intervalos é dada

por Equação (2.29):

𝑋 ∩ 𝑌 = [max{𝑋,𝑌 },min{𝑋,𝑌 }], (2.29)

e a união

𝑋 ∪ 𝑌 = [min{𝑋,𝑌 },max{𝑋,𝑌 }]. (2.30)

• Adição:

𝑋 + 𝑌 = [𝑋 + 𝑌 ,𝑋 + 𝑌 ]; (2.31)

• Subtração:

𝑋 − 𝑌 = [𝑋 − 𝑌 ,𝑋 − 𝑌 ]; (2.32)

Silva, M. R.


• Multiplicação: considerando 𝑆 = {𝑋.𝑌 ,𝑋.𝑌 ,𝑋.𝑌 ,𝑋.𝑌 } então:

𝑋.𝑌 = [min{𝑆},max{𝑆}]; (2.33)

• Divisão: para 1/𝑌 = [1/𝑌 ,1/𝑌 ] é necessário que o zero não pertença ao intervalo

𝑌 em questão, assim:𝑋

𝑌= 𝑋.

1𝑌. (2.34)

Deste modo, a divisão envolve o processo de multiplicação.

2. Propriedades

• Comutativa e associativa:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑋 + 𝑌 = 𝑌 +𝑋,

𝑋 + (𝑌 + 𝑍) = (𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍,

𝑋 . 𝑌 = 𝑌 . 𝑋

𝑋 . (𝑌 . 𝑍) = (𝑋 . 𝑌 ) . 𝑍.

(2.35)

• Elementos neutros da adição e multiplicação: sabendo que 0 e 1 são intervalos dege-

nerados e respectivamente, os elementos neutros da adição e multiplicação, então:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩0 +𝑋 = 𝑋 + 0 = 𝑋,

1 . 𝑋 = 𝑋 . 1 = 𝑋,

0 . 𝑋 = 𝑋 . 0 = 0.

(2.36)

• Cancelamento:

𝑋 + 𝑍 = 𝑌 + 𝑍 ⇒ 𝑋 = 𝑌 (2.37)

Funções intervalares

Se 𝑓(𝑥) é uma função 𝑓 de uma variável 𝑥, então 𝑓(𝑋) é denominada função intervalar,

com imagem caracterizada pelo o intervalo 𝑋 mapeado por 𝑓 como mostra a Equação (2.38)

(Rodrigues Jr, 2016),

𝑓(𝑋) = {𝑓(𝑥) : 𝑥 ∈ 𝑋}. (2.38)

Silva, M. R.

27 2.8. Análise de erro

2.8 Análise de erro

Para Lambers e Sumner (2016), a análise numérica é empregada no desenvolvimento de al-

goritmos com intuito de solucionar problemas de áreas como: engenharia, matemática, cálculo,

álgebra linear, equações diferenciais, dentre outras. Sabendo que, métodos analíticos propor-

cionam soluções exatas, mas não podem ser aplicados a qualquer tipo de problema, então os

métodos numéricos são uma alternativa, pois podem ser aplicados a uma quantidade superior

de problemas, entretanto produzem soluções aproximadas.

Para casos onde resultados aproximados não são suficientes, e que os algoritmos numéricos

precisem ser além de eficientes, precisos e robustos, um esforço computacional extra é deman-

dado (Lambers e Sumner, 2016). Assim, tendo conhecimento de que as soluções produzidas

por algoritmos numéricos são inexatas, alguns conceitos fundamentais a respeito da análise de

erros serão apresentados.

2.8.1 Exatidão e precisão

São conceitos diretamente ligados às atividades práticas como cálculos e medições, relaci-

onados aos processos computacionais. De acordo com Chapra e Canale (1998), exatidão é o

quão próximo um valor calculado ou medido coincide com o valor real. E precisão caracteriza

o quanto valores individuais calculados ou medidos concordam entre si.

Para tornar tais conceitos visuais, a Figura 2.5 exibe um exemplo que retrata vários dar-

dos lançados em um alvo. Logo, os resultados mostrados na Figura 2.5a e Figura 2.5c são

igualmente tendenciosos, uma vez que os dardos estão concentrados na parte superior do alvo,

ou seja, na região de inexatidão que traduz o distanciamento sistemático da verdade. Agora,

tratando-se da Figura 2.5b e Figura 2.5d ambas são exatas, possuem um dardo centrado na ori-

gem do alvo, entretanto na Figura 2.5d os dardos estão concentrados, o que torna preciso e exato

o resultado.

2.8.2 Erro absoluto e erro relativo

Chapra e Canale (1998) afirmam que erros numéricos surgem em razão do uso de aproxima-

ções para representar operações e quantidades matemáticas exatas. Tais erros englobam: os de

truncamento, originários de aproximações necessárias para representar procedimentos matemá-

Silva, M. R.


Figura 2.5: Exemplo adaptado de Kornerup et al. (2009) que trata dos princípios de exatidão e precisão.(a) inexato e impreciso; (b) exato e impreciso; (c) inexato e preciso; (d) exato e preciso.

ticos exatos; erros de arredondamento, que ocorrem quando números exatos são utilizados para

representar números de valores significativos limitados. Assim, define-se erro absoluto como:

valor real = valor aproximado + erro. (2.39)

Analogamente considerando um valor analítico 𝑥 qualquer, tem-se:

𝜉𝑡 = 𝑥− ��, (2.40)

em que �� representa o valor computacional aproximado de 𝑥. A variável 𝜉𝑡 (vem da expres-

são true error) é o valor exato do erro numérico igual à discrepância entre os valores real e

aproximado.

Tal definição de erro é suficiente para inúmeras situações, porém não revela a ordem de

grandeza do valor em análise, por exemplo: tratando-se de um sistema elétrico residencial, um

erro de 1 Ampere é bem mais significativo do que em sistema de alta potência. Deste modo, o

Silva, M. R.

29 2.8. Análise de erro

erro relativo é um modo de quantificar o erro e considerar a ordem de grandeza em questão,

erro relativo real = erro realvalor real

. (2.41)

Em termos de porcentagem o erro relativo é dado pela Equação (2.42),

ℓ𝑢 = erro realvalor real

100%, (2.42)

em que ℓ𝑢 representa o erro relativo percentual real.

Segundo Chapra e Canale (1998), tratando-se das Equações (2.39) a (2.42), caso o valor

aproximado seja maior que o valor verdadeiro, o erro é negativo; e se o valor aproximado for

menor que o valor verdadeiro, o erro é positivo. Entretanto, quando se trabalha com erros, o

módulo do erro percentual é de maior interesse, e muitas vezes é preciso que este seja inferior

a um determinado valor percentual de tolerância estipulado ℓ𝑠, assim:

|ℓ𝑢| < ℓ𝑠. (2.43)

Se a Equação (2.43) é verdadeira, o resultado está dentro da faixa pré-especificada e aceitável

de ℓ𝑠. Para processos recursivos |ℓ𝑢| pode ser dado pela diferença entre o valor da iteração atual

e da anterior em razão do valor da iteração atual.

2.8.3 Computação aritmética

Kornerup et al. (2009) e Parhami (2012) afirmam que computação aritmética é um campo

que engloba definição e padronização do sistema aritmético para computadores. Entretanto, tal

campo trata também de questões relacionadas a implementações em hardware e software (Kor-

nerup et al., 2009). Os conceitos de aritmética computacional não são algo restrito ao campo das

engenharias e ciências da computação, mas sim algo muito mais amplo e interdisciplinar, uma

vez que cálculos científicos são realizados em diversas áreas como: matemática a financeira, hu-

manas, biológicas e médica. Assim, descobertas e melhorias na área aritmética computacional

asseguram avanços nas demais áreas.

Porém, os relevantes e interdisciplinares processos aritméticos computacionais apresentam

um conjunto de questões a serem reveladas, dentre elas as incertezas e ineficiências dos pro-

Silva, M. R.


cessos de arredondamento e armazenamento, que acarretam em demasiada quantidade de erros

incorporados aos cálculos e simulações.

Erros de arredondamento e truncamento

Como os computadores tem capacidade de reter apenas um número fixo de valores signi-

ficativos durante um cálculo, números como os pertencentes ao conjunto dos irracionais não

são expressos por todas as suas casas decimais. Deste modo, tais processos de aproximação

denominam-se erros de arredondamento e estão diretamente relacionados à maneira como os

números são armazenados em um computador (Kornerup et al., 2009). Outro fator que im-

plica na deficiência dos processos aritméticos em computadores é que estes usam representação

na base binária, que é ineficiente para representar com precisão certos números na base deci-

mal. Portanto, os erros computacionais podem ser divididos segundo Heath (2002) em erros de

truncamento e arredondamento.

Truncar de acordo com Overton (2001) significa descarte de alguns bits, e assim erros oca-

sionados por este processo ocorrem em razão do truncamento de séries infinitas, ou pela substi-

tuição de equações diferenciais por equações de diferenças, ou na representação de uma função

arbitrária por um polinômio, ou pela parada de uma sequência iterativa antes da convergência

(Heath, 2002). Tratando-se dos erros de arredondamento, estes representam diferença entre

resultados produzidos por cálculos embasados na aritmética dos números reais e resultados

produzidos pela aritmética de ponto-flutuante (Heath, 2002).

2.9 Processos estocásticos

Um processo estocástico ou aleatório é um conjunto de experimentos probabilísticos que

podem evoluir para prováveis trajetórias, e podem ser aplicados ao estudo de sistemas (Ynoguti,

2011).

2.9.1 Variável estocástica

Esta seção está de acordo com as considerações de Ynoguti (2011) que define uma variável

estocástica 𝐶. Caso essa seja uma função 𝐶(Θ) que associa um número real 𝑐 a cada valor de

Θ no espaço amostral de um experimento aleatório.

Silva, M. R.

31 2.9. Processos estocásticos

Figura 2.6: Uma variável estocástica associa um número 𝑐 = 𝐶(Θ) a cada valor de Θ no espaçoamostral 𝐺 de um experimento aleatório.

Conforme exibe a Figura 2.6, o espaço amostral 𝐺 é o domínio de uma variável estocástica

e 𝐺𝐶 constitui o subconjunto dos reais, sendo que todos os valores da variável estocástica 𝐶

constituem um intervalo. A função distribuição cumulativa fdc de uma variável aleatória 𝐶 é a

probabilidade de um experimento {𝐶 ≤ 𝑐} ocorra:

𝐹𝐶(𝑐) , 𝑃 [𝐶 ≤ 𝑐], (2.44)

em que −∞ < 𝑥 < ∞ e 𝑃 a probabilidade. Ou seja, fdc relata a probabilidade da variável

aleatória 𝐶 assumir um valor no intervalo (−∞,𝑥]. Portanto, variáveis aleatórias podem ser

classificadas em:

• Discretas: são comumente encontradas em casos de contagem. Seja um conjunto finito

𝐺𝐶 = {𝑐0,𝑐1,..., 𝑐𝑛}.

• Contínuas: caso as variáveis aleatórias possuam 𝑓𝑑𝑐′𝑠 contínuas em todos os pontos e

possam ser descritas pela integral da Equação (2.45), que deve ser positiva.

𝐹𝐶(𝑐) =∫ 𝑐

−∞𝑓(𝑡)𝑑𝑡 (2.45)

2.9.2 Média de uma variável estocástica

Como propõe Ynoguti (2011), a média ou valor esperado de uma variável estocástica dis-

creta é:

𝑀 [𝐶] =𝑛∑

𝑢=1𝐶𝑢𝑣𝐶(𝑐𝑢). (2.46)

Silva, M. R.


se variável estocástica 𝐻 é contínua, o valor médio pode ser expresso por:

𝑀 [𝐶] =∫ +∞

−∞𝑐 𝑓𝐶(𝑐)𝑑𝑐 (2.47)

2.9.3 Variância

O conceito de variância pode ser melhor entendido tomando como base o seguinte exemplo:

considera-se uma experiência qualquer, se o resultado esperado não está propenso à grandes

variações e desvios em relação ao resultado real, denomina-se variância a grandeza que mensura

tal desvio (Grinstead e Snell, 2012). De acordo com Grinstead e Snell (2012), se𝐶 uma variável

aleatória, a média 𝑀(𝐶) = 𝜇 assim, a variância de 𝐶 é denotada por ϒ(𝐶), então

ϒ(𝐶) = 𝑀((𝐶 − 𝜇)2). (2.48)

O desvio padrão de 𝐶, 𝐷(𝐶) é:

𝐷(𝐶) =√

ϒ(𝐶). (2.49)

Como proposto por Grinstead e Snell (2012), se 𝐶1, 𝐶2, ..., 𝐶𝑛 é um processo experimental

independente, onde a média 𝑀(𝐶𝑢) = 𝜇 e 𝐷(𝐶𝑢) = 𝑠, tal que 𝑢 ∈ N*, a Equação (2.50)

represente a soma dos experimentos,

𝑆𝑛 = 𝐶1 + 𝐶2 + ...+ 𝐶𝑛 (2.50)

consequentemente a média dos experimentos independentes é:

𝐴𝑛 = 𝑆𝑛

𝑛, (2.51)

tal que 𝑛 ∈ N*, deste modo, tem-se que:

𝑠(𝐴𝑛) = 𝑠√𝑛. (2.52)

Assim, a Equação (2.52) sugere que se cada processo individual, 𝐶𝑛, possui variância finita o

desvio padrão da média, 𝑠(𝐴𝑛), tenderá a zero à medida que 𝑛 aproxima-se de infinito (𝑛 →

∞). Sabe-se que, o desvio padrão é uma grandeza que relata a proliferação da distribuição ao

Silva, M. R.

33 2.9. Processos estocásticos

redor da média (Grinstead e Snell, 2012). Como afirma Grinstead e Snell (2012), para valores

elevados de 𝑛, a média 𝐴𝑛 de um valor 𝐶𝑛 qualquer é mais próxima do valor 𝐴𝑛 de todos os

𝐶 ′𝑛𝑠 do que da média 𝜇. Portanto, a Equação (2.52) demonstra que a média é capaz de provocar

a redução tanto da variância quanto o desvio padrão.

Silva, M. R.

CAPÍTULO 3

Metodologia

A implementação matemática de sistemas e funções em computadores possibilita a inves-

tigação científica e motiva a pesquisa de muitas áreas. Segundo Ladeira et al. (2015), inter-

ferências e ruídos de sistemas reais não estão inclusos nas simulações, mesmo sabendo que

hardwares são um conjunto de sistemas físicos reais suscetíveis a ruídos. Porém, as limita-

ções de software e hardware são obstáculos à confiabilidade dos resultados (Galias, 2013; Lozi,

2013; Nepomuceno, 2014; Nepomuceno e Martins, 2016; Mendes e Nepomuceno, 2016, 2017).

Deste modo, em Sugihara e Iri (1989); Wang e Tang (2014); Mcdonough et al. (1995); Shi et al.

(2016); Maharana e Meher (1997) foram sugeridas alternativas que contornam as limitações de

hardware e aprimoram os resultados. Denomina-se computação rigorosa as alternativas que res-

tringem os efeitos das limitações de hardware, que fundamentam-se na elaboração de métodos

refinados para a implementação de algoritmos (Galias, 2013; Parhami, 2012).

Sistemas dinâmicos não-lineares de comportamento caótico como mapas discretos e pro-

blemas que envolvem funções recursivas têm um grau diferenciado de complexidade, uma vez

que a iteração atual depende das anteriores (Ott, 2002), e muitas das conclusões científicas a

respeito destes sistemas baseiam-se em simulações computacionais. De modo geral, o compor-

tamento caótico tem sido associado a aplicações reais, desde circuitos eletrônicos a sistema de

corte por ultrassom, cujo comportamento dinâmico é analisado usando um modelo de oscilador

Duffing com dois graus de liberdade (Yu et al., 2016).

De modo abrangente é possível afirmar que o processo de simulação de funções recursi-

vas envolve erros que comprometem a confiabilidade dos resultados, assim Galias (2013); Lozi

(2013) questionam tal fato. Todavia, sabe-se em se tratando de ponto-flutuante, uma simula-

ção computacional de um sistema caótico pode ser limitada a um número curto de iterações

35

Capítulo 3. Metodologia 36

(Mendes e Nepomuceno, 2017). Para lidar com esse questionamento várias alternativas foram

investigadas e destacam-se duas categorias. A primeira delas é enfatiza o desempenho do hard-

ware via computação em paralelo e em cluster (Liao e Wang, 2014), já a segunda dedica-se

a melhora do algoritmo, por meio da análise intervalar ou computação com ruídos (Parhami,

2012).

Deste modo, nesta metodologia enfatiza-se ruídos, incertezas e imprecisões computacio-

nais. Entretanto, ao invés de adicionar dígitos pseudo-aleatórios, como sugere Parhami (2012),

a natureza aleatória do erro de arredondamento (Furuya et al., 1992; Gadzhiev, 2015) é explo-

rada, assim os erros de arredondamento são considerados uniformemente distribuídos. Logo,

nesta seção apresentam-se as diretrizes e o algoritmo de um método que melhora a precisão

da simulação computacional de funções recursivas. Adicionalmente, estende-se essa proposta

a sistemas contínuos, e observa-se em alguns casos, comportamento aperiódico a possibilidade

de supressão do caos (Silva et al., 2016, 2017).

3.1 Método para a redução do erro

3.1.1 Preliminares

Seja 𝐼 ⊆ R e 𝑓 : 𝐼 → R, então função recursiva pode ser definida como (Nepomuceno,

2014):

𝑥𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛−1), (3.1)

ou por funções compostas:

𝑥𝑛 = 𝑓1(𝑥𝑛−1) = 𝑓2(𝑥𝑛−2) = . . . = 𝑓𝑛(𝑥0), (3.2)

em que 𝑓 : 𝐼 → 𝐼 é uma função recursiva ou mapa de um espaço de estado, e 𝑥𝑛 indica o

estado em um instante de tempo discreto 𝑛. A sequência 𝑥𝑛 é obtida iterativamente por meio da

Equação (3.1) a partir de uma condição inicial 𝑥0, e esta sequência é denominada órbita de 𝑥0

(Gilmore e Lefranc, 2012).

Silva, M. R.

37 3.1. Método para a redução do erro

Nepomuceno e Martins (2016) apresentam órbita como uma sequência de valores de um

mapa ou sistema representado pela Equação (3.3),

{𝑥𝑛} = [𝑥0,𝑥1,...,𝑥𝑛]. (3.3)

Conforme sugerido por Nepomuceno e Martins (2016), uma pseudo-órbita é definida por uma

determinada condição inicial e pela combinação de software e hardware. Portanto, uma pseudo-

órbita é a aproximação de uma órbita e pode ser representada como:

{��𝑖,𝑛} = [��𝑖,0,��𝑖,1, . . . ,��𝑖,𝑛]. (3.4)

Mendes e Nepomuceno (2017) destacam a diferença entre pseudo-órbitas reais e compu-

tacionais ressaltando que embora estas possuam mesmas condições iniciais, a combinação de

diferentes softwares e hardwares implica na inexistência de uma única pseudo-órbita, pois são

muitos os padrões de precisão numérica e métodos de discretização, o que pode produzir resul-

tados diferentes e, consequentemente, erros, 𝜉𝑖,𝑛, distintos. Em outras palavras, pode-se dizer

que pseudo-órbitas são aproximações de órbitas verdadeiras, então tais aproximações incorpo-

ram incertezas associadas a simulações de sistemas dinâmicos não-lineares. Portanto, sabe-se

que erros, 𝜉𝑖,𝑛, relacionados aos processos de arredondamento e às limitações de hardware são

recorrentes em simulações, deste modo, com o intuito de reduzi-los Silva et al. (2016) propõe

um tipo de filtro baseado na média dos modos arredondados para o infinito negativo e positivo.

3.1.2 Diretrizes

É razoável supor que os erros de arredondamento são uniformemente distribuídos (Furuya

et al., 1992; Gadzhiev, 2015; Li e Nadarajah, 2016; Landau et al., 2007). De acordo com IEEE-

754 (2008), as operações aritméticas também são arredondadas. Assim, assume-se que um

conjunto finito de funções aritméticas apresenta um erro distribuído uniformemente.

Sabe-se que o arredondamento para ponto-flutuante mais próximo é o mais usual tratando-

se de aritmética computacional. Porém, existem softwares que permitem ao usuário definir

o modo de arredondamento em infinito negativo ou infinito positivo. Levando em conta tais

considerações é estabelecido o lema a seguir.

Lema 3.1.1: Se 𝑖 ∈ N e 𝜉𝑖,𝑛 ∈ R é o limitante do erro e 𝜉𝑖,𝑛 ≥ 0, isto indica a presença da

Silva, M. R.


diferença entre pseudo-órbitas reais e computacionais (Nepomuceno e Martins, 2016), então

| 𝑥𝑛 − ��𝑖,𝑛 |≤ 𝜉𝑖,𝑛. (3.5)

Deste modo, seja ��−𝑖,𝑛 e ��+

𝑖,𝑛 duas pseudo-órbitas obtidas pelo cálculo dos arredondamentos da

pseudo-órbita ��𝑖,𝑛, nas direções de infinito negativo e infinito positivo, respectivamente. Logo,

a média aritmética é dada por

��𝑗,𝑛 =��+

𝑖,𝑛 + ��−𝑖,𝑛

2 , (3.6)

tal que |��𝑗,𝑛 − 𝑓(��𝑗,𝑛−1)| ≤ 𝛿𝑗,𝑛 apresenta erro de arredondamento inferior ao erro do arre-

dondamento para o mais próximo, com 𝑛 → ∞, logo 𝛿𝑗,𝑛 < 𝛿−𝑖,𝑛∼= 𝛿+

𝑖,𝑛. Ou seja, a média dos

modos arredondados proporciona um erro 𝛿𝑗,𝑛, que é inferior aos erros gerados em razão dos

arredondamentos de uma pseudo-órbita na direção do infinito negativo e positivo.

Prova: Assumindo a Equação (3.6), e considerando as Equações (3.7) e (3.8)

��−

𝑖,𝑛 − 𝑓(��𝑗,𝑛−1)≤ 𝛿−

𝑖,𝑛 (3.7)

��+

𝑖,𝑛 − 𝑓(��𝑗,𝑛−1)≤ 𝛿+

𝑖,𝑛 (3.8)

tem-se:

− 𝛿−𝑖,𝑛 + 𝑓(��𝑗,𝑛−1) ≤ ��−

𝑖,𝑛 ≤ 𝛿−𝑖,𝑛 + 𝑓(��𝑗,𝑛−1) (3.9)

− 𝛿+𝑖,𝑛 + 𝑓(��𝑗,𝑛−1) ≤ ��+

𝑖,𝑛 ≤ 𝛿+𝑖,𝑛 + 𝑓(��𝑗,𝑛−1) (3.10)

somando as Equações (3.9) e (3.10):

− 𝛿−𝑖,𝑛 − 𝛿+

𝑖,𝑛 + 2𝑓(��𝑗,𝑛−1) ≤ ��−𝑖,𝑛 + ��+

𝑖,𝑛 ≤ 𝛿−𝑖,𝑛 + 𝛿+

𝑖,𝑛 + 2𝑓(��𝑗,𝑛−1), (3.11)

e dividindo por 2 a Equação (3.11):

− 𝛿−𝑖,𝑛 − 𝛿+

𝑖,𝑛

2 + 𝑓(��𝑗,𝑛−1) ≤��−

𝑖,𝑛 + ��+𝑖,𝑛

2 ≤𝛿−

𝑖,𝑛 + 𝛿+𝑖,𝑛

2 + 𝑓(��𝑗,𝑛−1). (3.12)

Portanto,

− (𝛿−𝑖,𝑛 + 𝛿+

𝑖,𝑛)2 + 𝑓(��𝑗,𝑛−1) ≤ ��𝑗,𝑛 ≤

𝛿−𝑖,𝑛 + 𝛿+

𝑖,𝑛

2 + 𝑓(��𝑗,𝑛−1), (3.13)

Silva, M. R.


isto é,

|��𝑗,𝑛 − 𝑓(��𝑗,𝑛−1)| ≤𝛿−

𝑖,𝑛 + 𝛿+𝑖,𝑛

2 . (3.14)

Porém, 𝛿−𝑖,𝑛 e 𝛿+

𝑖,𝑛 foram considerados uniformemente distribuídos e conforme apresentado na

seção 2.9.3, sabe-se que a média de uma variável aleatória conduz a redução da potência do

ruído em 𝑛, que é, neste caso, 2. E isso completa a prova �

Algoritmo 1: Simulação de função recursiva baseada no Lema

1 ��𝑖,0; %Condição inicial2 𝑁 ; %Número de iterações3 ��−

𝑖,0 ← 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑−(��𝑖,0);4 ��+

𝑖,0 ← 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑+(��𝑖,0);5 ��𝑗,0 ← (��−

𝑖,0 + ��+𝑖,0)/2; %Média dos modos arredondados

6 ��−𝑖,0 ← ��𝑗,0;

7 ��+𝑖,0 ← ��𝑗,0;

8 For 𝑛← 1 to 𝑁 %Loop principal9 ��−

𝑖,𝑛 ← 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑−(𝑓(��−𝑗,𝑛−1));

10 ��+𝑖,𝑛 ← 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑+(𝑓(��+

𝑗,𝑛−1));11 ��𝑗,𝑛 ← (��−

𝑖,𝑛 + ��+𝑖,𝑛)/2;

12 ��−𝑖,𝑛 ← ��𝑗,𝑛;

13 ��+𝑖,𝑛 ← ��𝑗,𝑛;

14 EndFor

O Algoritmo 1 é um pseudo-código baseado no lema apresentado. De acordo com as diretrizes

da IEEE-754 (2008), o arredondamento para ponto-flutuante mais próximo é o padrão, portanto

onde não há indicação de qual arredondamento utilizado, considera-se a aproximação para o

mais próximo. Os operadores 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑− e 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑+ indicam arredondamentos para os pontos-

flutuantes mais próximos nas direções de infinito negativo e positivo, respectivamente. Neste

trabalho, os algoritmos foram implementados no software Matlab R2016a e a comparação dos

resultados do sistema discreto, caracterizado por uma função recursiva, feita com os valores

tradicionais de simulação de acordo com a IEEE-754 (2008) ou com valores de alta precisão

fornecidos pelo VPA toolbox do Matlab R2016a.

3.1.3 Método para a redução do ruído em sistemas contínuos

Tratando-se da computação aritmética, o desenvolvimento de algoritmos que sejam exe-

cutáveis em sistemas baseados na aritmética de ponto-flutuante garante vantagens (Kornerup

Silva, M. R.


et al., 2009). Portanto, nesta seção é apresentada, uma nova estratégia para a redução de ruído

de simulação, com base na média dos arredondamentos para o infinito nas direções negativa

e positiva. A metodologia pode ser comparada a um filtro digital. O método sugerido res-

tringe o ruído gerado pelos erros devido aos processos de arredondamento computacional e à

precisão finita do hardware. Os conceitos, processos e estratégias apresentados na seção 3.1.1

para funções recursivas são estendidos a sistemas dinâmicos contínuos que exibem dinâmica

aperiódica.

Definição 3.2.1: Filtragem iterativa - um sistema dinâmico pode ser usado para representar

um algoritmo sob precisão finita pela Equação (3.15), (Kornerup et al., 2009)

𝑥𝑛+1 = 𝑓(𝑥𝑛,𝑤𝑛). (3.15)

Na Figura 3.1(a), conforme propõe Hasan et al. (2013), 𝑃 representa um sistema dinâmico

Figura 3.1: Diagrama de blocos de um sistema dinâmico em que 𝑥 representa um estado, 𝑤 o estadosujeito ao distúrbio e a 𝑛 iteração. (a) Diagrama adaptado de Hasan et al. (2013). (b) Diagrama

proposto.

qualquer de comportamento caótico, 𝐸 os erros devido a precisão finita e1𝑧

o atraso. Porém,

para a Figura 3.1(b) sugere-se que à cada iteração, o resultado do algoritmo é filtrado e os erros

de precisão finita não mais são iguais ao vetor de estado e às entradas de perturbação do sistema

dinâmico, respectivamente. Portanto, considerando a definição de pseudo-órbita sugerida por

Nepomuceno e Martins (2016), que foi apresentada na seção 3.1.1, e considerando, adicional-

mente, o Lema proposto em 3.1.2 tem-se uma técnica de supressão do caos fundamentada na

limitação do erro e ruídos. Deste modo, a Figura 3.2 ilustra como o procedimento pode ser

aplicado a sistemas caóticos contínuos.

Baseando-se na Figura 3.2, considera-se ��𝑖,𝑛 um pseudo-órbita qualquer, que pode a prin-

Silva, M. R.


Figura 3.2: Diagrama de blocos do filtro baseado na média dos modos arredondados destinado àfiltragem de ruído.

cípio representar uma constante ou um vetor de condições iniciais, ou a entrada. Em seguida,

realiza-se dois processos computacionais de arredondamento, um na direção do infinito nega-

tivo, ��−𝑖,𝑛, e outro na direção do infinito positivo, ��+

𝑖,𝑛. Assim, a média aritmética de ��−𝑖,𝑛 e ��+

𝑖,𝑛

é obtida. Porém, o resultado desta média, ��𝑗,𝑛, representa uma pseudo-órbita alternativa que

tem seu valor arredondado para o ponto-flutuante mais próximo. Entretanto, conforme definido

na seção 2.9.3, a média de uma variável aleatória ocasiona a diminuição da potência do ruído

em 𝑛, neste caso 2, deste modo, o erro existente na pseudo-órbita alternativa ��𝑗,𝑛 é inferior

ao da pseudo-órbita ��𝑖,𝑛. Sendo assim, busca-se mostrar que o uso deste filtro em simulações

de sistemas caóticos, submetidos aos processos de discretização de Runge-Kutta de terceira,

quarta e quinta ordem (apresentados na seção 2.5), é capaz de limitar os erros e incertezas de

Silva, M. R.


simulação em razão da redução do ruído, portanto se os resultados da metologia apresentada são

comparados aos resultados originários da norma IEEE-754 (2008), e em alguns casos o caos é

suprimido.

3.2 Hardware e software utilizados

Os cálculos e processos executados para este trabalho foram realizados no software Matlab

R2016a em um computador com processador Intel(R) Core(TM) i7-5500U, CPU @ 2.40GHz,

sistema operacional Windows 10 de 64 bits e processador com base em x64. As rotinas de imple-

mentação das metodologias desenvolvidas estão disponíveis na seção A, referente ao Apêndice.

Silva, M. R.

CAPÍTULO 4

Resultados

Apresentam-se a seguir, resultados e considerações da aplicação da metodologia proposta

neste trabalho. Assim, a seção em questão aborda, primeiramente, o uso do método para sis-

temas discretos, sendo que o sistema escolhido é o mapa logístico. Em seguida, aplica-se a

estratégia de supressão a dois sistemas contínuos, o circuito de Chua e o sistema de Lorenz.

4.1 Redução do erro do mapa logístico

Considerando o sistema não-linear, discreto apresentado na seção 2.4 são apresentados três

casos que constatam a eficiência do método proposto para este sistema.

4.1.1 Caso 1 - A convergência para o ponto fixo

Admitindo 𝑥0 = 1/3,9 e 𝑟 = 3,9 na Equação (2.11), e utilizando-se o tradicional arre-

dondamento para o ponto-flutuante mais próximo, tem-se um comportamento caótico. Mas,

recorrendo ao método proposto na seção 3.1.1 constata-se que a função recursiva, característica

do mapa logístico, converge para um ponto fixo como mostrado na Tabela 4.1.

Observando ��𝑖,𝑛, nota-se que o valor da terceira iteração é igual ao da segunda para o for-

mato decimal, assim seria possível acreditar que houve convergência para um ponto fixo, mas

inspecionando os resultados em formato hexadecimal conclui-se que não houve convergência.

Assim, para o método de redução do erro expresso por ��𝑗,𝑛, o valor da terceira iteração é igual ao

da segunda, e assim sucessivamente, tanto em formato decimal quanto em hexadecimal. Assim,

��𝑗,𝑛 atinge um ponto fixo, que é a resposta exata esperada para os valores de 𝑥0 e 𝑟 estipulados,

43

Capítulo 4. Resultados 44

Tabela 4.1: Iterações do mapa logístico para 𝑥0 = 1/3,9 e 𝑟 = 3,9. ��𝑖,𝑛 caracteriza o arredondamentopara o mais próximo e ��𝑗,𝑛 o método sugerido em 3.1.2. Os valores são mostrados em notação decimal

e hexadecimal. Rotina mlre_caso1.m.

𝑛 ��𝑖,𝑛 (hex) ��𝑖,𝑛 (dec) ��𝑗,𝑛 (hex) ��𝑗,𝑛 (dec)1 3fd0690690690691 0,256410256410256 3fd0690690690691 0,2564102564102562 3fe7cb7cb7cb7cb8 0,743589743589744 3fe7cb7cb7cb7cb8 0,7435897435897443 3fe7cb7cb7cb7cb7 0,743589743589744 3fe7cb7cb7cb7cb8 0,7435897435897444 3fe7cb7cb7cb7cb9 0,743589743589744 3fe7cb7cb7cb7cb8 0,7435897435897445 3fe7cb7cb7cb7cb5 0,743589743589743 3fe7cb7cb7cb7cb8 0,7435897435897446 3fe7cb7cb7cb7cbd 0,743589743589744 3fe7cb7cb7cb7cb8 0,7435897435897447 3fe7cb7cb7cb7cae 0,743589743589743 3fe7cb7cb7cb7cb8 0,7435897435897448 3fe7cb7cb7cb7ccb 0,743589743589746 3fe7cb7cb7cb7cb8 0,7435897435897449 3fe7cb7cb7cb7c93 0,743589743589740 3fe7cb7cb7cb7cb8 0,743589743589744

10 3fe7cb7cb7cb7cfd 0,743589743589751 3fe7cb7cb7cb7cb8 0,743589743589744

como exibido nas Equações (4.1) e (4.2) a seguir:

𝑥1 = 3,9(1/3,9)(1− (1/3,9)) = (1− 10/39) = 29/39 (4.1)

𝑥2 = 3,9(29/39)(1− 29/39) = 29/39 (4.2)

e 29/39 ≈ 0,743589743589744 é um ponto fixo, que é o valor de convergência de ��𝑗,𝑛. Já

a pseudo-órbita ��𝑖,𝑛 diverge e apresenta um comportamento caótico conforme ilustra a Figura

4.1.

4.1.2 Caso 2 - Visualização da redução do erro

Para 𝑥0 = 0,01 e 𝑟 = 3,9, a Figura 4.2 mostra o gráfico logaritmo, em base 10, das pri-

meiras vinte iterações do erro para o caso do mapa logístico. Sendo que o erro apresentado foi

calculado por meio da toolbox VPA do Matlab com precisão de 1000 dígitos. Deste modo, duas

abordagens são mostradas, uma baseada na metodologia tradicional de simulação, segundo as

diretrizes da IEEE-754 (2008) para o arredondamento do ponto-flutuante mais próximo e outra

fundamentada na estratégia apresentada na seção 3.1. Observa-se que, a princípio, o método

sugerido apresenta erro superior ao tradicional, porém após algumas iterações o erro torna-se

menor.

4.1.3 Caso 3 - Generalizações

Seja o sistema característico do mapa logístico, admitindo três conjuntos de condições ini-

ciais e parâmetros de bifurcação, dados por (𝑥0, 𝑟) = [(0,1, 4,2); (0,2, 4); (0,41, 3,85)].

Silva, M. R.

45 4.1. Redução do erro do mapa logístico

Figura 4.1: Propagação do erro do mapa logístico com 𝑥0 = 1/3,9 e 𝑟 = 3,9. Onde (-o-) e (-x-)representam, respectivamente, o erro característico da metodologia tradicional e sugerida. Rotina

mlre_caso1.m.

Tabela 4.2: Resultados de 𝜉𝑖,𝑛 e 𝛿𝑗,𝑛 do mapa logístico, considerando diferentes condições iniciais 𝑥0, ediferentes valores de 𝑟. Rotina mlre_caso3.m.

𝑥0 = 0,1 e 𝑟 = 4,2 𝑥0 = 0,2 e 𝑟 = 4 𝑥0 = 0,41 e 𝑟 = 3,85𝑛 𝜉𝑖,𝑛 𝛿𝑗,𝑛 𝜉𝑖,𝑛 𝛿𝑗,𝑛 𝜉𝑖,𝑛 𝛿𝑗,𝑛

1 9,33254 e-18 9,33254 e-18 4,57088 e-16 1,20226 e-16 3,63078 e-16 2,69153 e-172 3,98107 e-17 3,31131 e-17 7,58577 e-16 9,12010 e-17 7,76247 e-16 6,76082 e-183 1,38038 e-16 8,31763 e-17 1,99526 e-15 2,08929 e-16 1,25893 e-15 4,67735 e-174 3,38844 e-16 1,17489 e-17 1,41253 e-15 6,76082 e-17 2,81838 e-15 1,28824 e-165 1,86208 e-15 7,58577 e-16 5,24807 e-15 2,69153 e-16 3,23593 e-15 2,51188 e-166 1,90546 e-15 6,91830 e-16 1,62181 e-14 8,51138 e-16 9,33254 e-15 7,07945 e-167 7,76247 e-15 2,81838 e-15 1,28824 e-14 6,76082 e-16 6,02559 e-15 4,67735 e-168 2,88403 e-14 1,04712 e-14 4,78630 e-14 2,51188 e-15 1,99526 e-14 1,54881 e-159 6,30957 e-14 2,29086 e-14 1,34896 e-13 7,07945 e-15 4,16869 e-14 3,23593 e-15

10 1,41253 e-13 5,12861 e-14 4,16869 e-15 1,94984 e-16 5,88843 e-14 4,46683 e-15

Na Tabela 4.2 são mostrados os erros 𝜉𝑖,𝑛 e 𝛿𝑗,𝑛, característicos dos métodos clássico e de

limitação do erro, proposto em 3.1.1. Apresentam-se as primeiras dez iterações do mapa logís-

tico, sendo que foram considerados três conjuntos distintos de condições iniciais e parâmetros

de bifurcação. Nota-se que, há uma diminuição geral no erro ao longo do processo de ite-

ração. Vale ressaltar que os parâmetros utilizados foram arbitrariamente definidos, entretanto

Silva, M. R.


Figura 4.2: Propagação do erro do mapa logístico com 𝑟 = 3,9 e 𝑥0 = 0,01. Onde (-o-) e (-x-)representam, respectivamente, o erro característico da metodologia tradicional e sugerida. Rotina

mlre_caso2.m.

realizaram-se muitos outros testes com diferentes valores realizamos e comportamentos seme-

lhantes a esses foram constatados.

4.2 Redução do erro aplicada a sistemas contínuos

A filtragem foi aplicada ao circuito de Chua e ao sistema de Lorenz, em condições nas quais

o comportamento esperado é aperiódico porém a ação do filtro fornece redução de ruído e,

portanto, o comportamento dinâmico do sistema é modificado tornando-se periódico.

4.2.1 Caso 1 - Circuito de Chua

Considerado um dos sistemas mais explorados para o estudo da dinâmica não-linear e do

caos, o circuito de Chua é conhecido por sua dinâmica caótica (Chua, 1994). Conforme apresen-

tado na seção 2.3 é composto de elementos lineares: dois capacitores, um indutor, um resistor

(Kennedy, 1992) e um resistor não-linear, o diodo de Chua. Assim, as Tabelas 4.3 e 4.4 trazem

Silva, M. R.

47 4.2. Redução do erro aplicada a sistemas contínuos

os parâmetros utilizados na simulação do circuito. Estes valores foram obtidos heuristicamente

com intuito de exprimir um comportamento aperiódico, que é suficientemente próximo ao re-

gime periódico.

Tabela 4.3: Valores de componentes e constantes encontrados heuristicamente, e utilizados nassimulações do circuito de Chua.

Componentes Valores

𝐶1 10 nF𝐶2 100 nF𝐿 19,2 mH𝑅 1975 Ω

𝑚0 -0,37 mS𝑚1 -0,68 mS𝐵𝑝 1,1 V

Tabela 4.4: Valores de condições iniciais e constantes de tempo do circuito de Chua.

Componentes Valores

𝑉𝐶1 0,7𝑉

𝑉𝐶2 0𝑉

𝑖𝐿 0𝐴

Passo de integração 1𝜇𝑠

Tempo de simulação 75𝑚𝑠

Os resultados exibidos na Figura 4.3 são consequências de diferentes estratégias de inte-

gração Runge-Kutta de terceira, quarta e quinta ordem. Para cada procedimento de integração

realizaram-se duas simulações: uma tradicional, sem a presença do filtro e outra com o filtro. As

simulações tradicionais, como esperado, apresentam um comportamento aperiódico, enquanto

a tensão 𝑣𝐶1(−) comporta-se periodicamente quando o filtro é incorporado em série ao sistema.

Sabe-se que, o cálculo do expoente de Lyapunov é usado para indicar se um sistema é caótico.

Deste modo, para legitimar os resultados obtidos por ambos os métodos, esse expoente é cal-

culado usando o programa Lyapmax (Kodba et al., 2005) que opera segundo o método de Wolf

et al. (1985) e tem valores apresentados na Tabela 4.5.

É possível observar que, a inclusão do filtro à planta foi suficiente para conduzir um sis-

tema de comportamento tipicamente aperiódico a outra região, de comportamento periódico.

Conforme mostra a Tabela 4.5, constata-se que os resultados não filtrados, método tradicional,

possuem expoente de Lyapunov positivo. Porém, os resultados oriundos da filtragem apresen-

tam expoentes negativos. Deste modo, nota-se que a inserção do filtro ao sistema é suficiente

Silva, M. R.


Figura 4.3: Tensão no diodo de Chua para a simulação sem a presença do filtro, 𝑣𝐶1(−−), e submetidaao método de supressão de caos 𝑣𝐶1(−). Mediante aos seguintes métodos de discretização: (a)

Runge-Kutta de terceira ordem; (b) Runge-Kutta de quarta ordem; (c) Runge-Kutta de quinta ordem;Rotina mainchua.m.

Silva, M. R.

49 4.2. Redução do erro aplicada a sistemas contínuos

Figura 4.4: Atratores caraterísticos do circuito de Chua simulações sem a presença do filtro (a), (c) e(e), e atratores do sistema submetido ao método de supressão de caos (b), (d) e (f). Mediante aos

métodos de discretização: Runge-Kutta de terceira ordem, (a) e (b); Runge-Kutta de quarta ordem, (c) e(d); Runge-Kutta de quinta ordem, (e) e (f); Rotina mainchua.m.

Silva, M. R.


para gerar um atrator periódico para um sistema, tradicionalmente, representado por um atrator

estranho, Figura 4.4. Portanto, por meio de diferentes técnicas de integração numérica, observa-

se que o filtro, fundamentado no propósito da redução do ruído, como explicado na seção 3, é

capaz de suprimir o caos do circuito de Chua, de acordo com as condições estipuladas.

Tabela 4.5: Valores dos maiores expoentes de Lyapunov do circuito de Chua submetido aos processosde discretização de Runge-Kutta de terceira, quarta e quinta ordem, para a metodologia tradicional e de

filtragem.

Método de Runge-Kutta Método tradicional FiltragemRK3 11,164 -4,890

RK4 7,532 -4,871

RK5 12,308 -5,151

4.2.2 Caso 2 - Sistema de Lorenz

O sistema de Lorenz, tratado na seção 2.9, é um dos exemplos mais conhecidos e estuda-

dos na literatura, uma vez que descreve um modelo meteorológico que se comporta de maneira

caótica. A Tabela 4.6 traz os parâmetros do sistema que foram heuristicamente encontrados

com intuito de exibir um comportamento aperiódico de transição. Deste modo, espera-se que

a intensidade do movimento de convecção, simulada tradicionalmente sob as regras da norma

IEEE-754 (2008), seja aperiódica. Tal comportamento é verificado na Figura 4.5, em 𝑥(−−).

Porém, recorrendo ao método proposto, observa-se na Figura 4.5, em 𝑥(−), uma notória dife-

rença, pois o sistema comporta-se periodicamente e tem dinâmica caracterizada por um ciclo

limite, Figura 4.6.

Tabela 4.6: Valores de condições iniciais, parâmetros característicos e constantes de tempo do sistemade Lorenz obtidos heuristicamente.

Parâmetros Valores

𝑥0 0,06735𝑦0 1,8841𝑧0 15,7734𝜎 7,6𝜌 65𝛽 5,3

Passo de intergração 10 𝑚𝑠

Tempo de simulação 1 𝑠

Observa-se que a intensidade do movimento de convecção, se classicamente implementada,

comporta-se de maneira distinta para cada método de discretização (RK3, RK4 e RK5). En-

Silva, M. R.

51 4.3. Conclusões do capítulo

tretanto, quando submetida à ação do filtro comporta-se periodicamente para os três tipos de

discretização, o que é bastante sugestivo. Assim, calcula-se o maior exponente de Lyapunov

para cada caso, usando o programa Lyapmax (Kodba et al., 2005) que opera segundo o método

de Wolf et al. (1985), e constata-se o comportamento periódico, e consequente supressão do

caos, para o sistema sujeito a influência do filtro, Tabela 4.7.

Tabela 4.7: Valores dos maiores expoentes de Lyapunov do sistema de Lorenz submetido aos processosde discretização de Runge-Kutta de terceira, quarta e quinta ordem, para a metodologia tradicional e de

filtragem.

Método de Runge-Kutta Método tradicional FiltragemRK3 0,344215 -0,011370

RK4 0,087915 -0,001371

RK5 0,165580 -0,001362

4.3 Conclusões do capítulo

Esta seção apresentou considerações a respeito de um método que limita os erros e ruídos

computacionais. Conforme apresentado para o caso do mapa logístico, a metodologia proposta

forneceu como resultado a convergência para o ponto fixo, o que é matematicamente esperado

para os parâmetros 𝑥0 = 1/3,9 e 𝑟 = 3,9, mas que computacionalmente, utilizando o arre-

dondamento para o ponto-flutuante mais próximo, não ocorre. Do mesmo modo, mostrou-se

também, graficamente, a limitação da propagação do erro. E ainda, para diferentes valores de

𝑥0 e 𝑟 comparou-se os resultados fornecidos pelo arredondamento tradicional e pela técnica

proposta aos da VPA toolbox do Matlab R2016a, que gera resultados de alta precisão, e assim

constatou-se que os erros gerados pelo método sugerido neste trabalho são inferiores aos erros

proporcionados pela processo tradicional de simulação. Logo, pode-se afirmar que o método

de limitação do ruído computacional aplicado ao sistema discreto proporciona resultados onde

a propagação do erro é menor, o que foi claramente exibido por uma referência simbólica e um

resultado analítico. .

Aplicando a filtragem apresentada na seção 3.1.3 aos sistemas de Chua e Lorenz, constata-

se que esta tem capacidade fornecer comportamentos periódicos, e em alguns casos suprimir o

caos em regiões de transição. Isto é, regiões que mediante a processos de simulação com arre-

dondamento para o ponto-flutuante mais próximo apresentam comportamento aperiódico, mas

estão na iminência do comportamento periódico. Logo, o filtro incorporado às plantas desses

Silva, M. R.


sistemas em regiões de transição, encontradas heuristicamente, proporciona a supressão do caos

que é constatada por meio do cálculo do expoente de Lyapunov. É importante ressaltar que três

diferentes métodos de discretização foram utilizados nas simulações do circuito de Chua, e que

estes fornecem, tradicionalmente, três comportamentos caóticos distintos para o sistema, porém

o resultado periódico é praticamente idêntico nos três processos de discretização. E o mesmo

ocorre para o sistema de Lorenz. Portanto, nota-se que o método limita os erros de tradicionais

de arredondamento e contorna as diferenças entre os métodos de discretização proporcionando

um resultado periódico para cada um dos sistemas trabalhados, e consequentemente, suprime o

caos.

Silva, M. R.

53 4.3. Conclusões do capítulo

Figura 4.5: Intensidade do movimento de convecção sem a presença do filtro, 𝑥(−−), e submetida aométodo de supressão de caos 𝑥(−). Mediante aos seguintes métodos de discretização: (a) Runge-Kutta

de terceira ordem; (b) Runge-Kutta de quarta ordem; (c) Runge-Kutta de quinta ordem; Rotinamainlorenz.m.

Silva, M. R.


Figura 4.6: Atratores caraterísticos do sistema de Lorenz simulações sem a presença do filtro (a), (c) e(e), e atratores do sistema submetido ao método de supressão de caos (b), (d) e (f). Mediante aos

métodos de discretização: Runge-Kutta de terceira ordem, (a) e (b); Runge-Kutta de quarta ordem, (c) e(d); Runge-Kutta de quinta ordem, (e) e (f); Rotina mainlorenz.m.

Silva, M. R.

CAPÍTULO 5

Conclusoes

5.1 Considerações finais

No presente trabalho, apresentou-se um método fundamentado na média dos arredondamen-

tos para infinito positivo e negativo, que proporciona a simulação de funções recursivas com

redução de erro. A metodologia explora a natureza estocástica do arredondamento, e consiste

na média de dois valores arredondados.

Tratando-se de sistemas discretos, utilizou-se como teste o mapa logístico, e três casos foram

apresentados. Assim, nota-se que o método é capaz de manter o ponto fixo correto, enquanto o

arredondamento para o mais próximo diverge para o comportamento não periódico, ou seja, evi-

tou a divergência de um regime estacionário; proporcionou melhoria de um dígito na precisão;

e ainda constatou-se graficamente a limitação do erro. É importante ressaltar que a metodologia

de limitação do erro não ocasiona aumento significativo do tempo computacional, consequen-

temente poderia provavelmente ser facilmente estendida para outras aplicações como solução

numérica de equações diferenciais, assim como em Yu et al. (2016).

Por conseguinte, expande-se a técnica proposta e aplica-se a sistemas dinâmicos contínuos

de comportamento caótico. Os sistemas escolhidos foram de Lorenz e o circuito de Chua.

Contudo, os parâmetros utilizados destes sistemas foram escolhidos em uma região limítrofe,

em que o método tradicional apresenta comportamento não periódico. Nas simulações utilizou-

se três diferentes processos de discretização, Runge-Kutta de terceira, quarta e quinta ordem.

Porém, a cada passo de discretização ocorre acumulação do erro, o que distancia o resultado

da solução real. Assim, de acordo com Cartwright e Piro (1992) existem dois tipos de erros: o

de arredondamento: provocado pelas limitações da precisão finita da aritmética computacional,

55

Capítulo 5. Conclusões 56

o qual é incrementado a cada etapa e depende do número e das operações realizadas passo a

passo e geralmente, não é considerado na análise numérica de algoritmos, porque depende do

hardware no qual o algoritmo é implementado; e o erro de truncamento, que ocorre inclusive

na aritmética de precisão infinita, pois é provocado pelo truncamento da série infinita de Taylor

que constitui o algoritmo. Este erro é relacionado ao tamanho do passo de integração, da ordem

do método de Runge-Kutta e do problema.

A respeito das limitações dos métodos de discretização, é possível notar que ambos sis-

temas, Lorenz e Chua, quando submetidos ao arredondamento para o mais próximo, isto é,

quando comportam-se de modo aperiódico, tem para uma mesma implementação de mesmas

condições iniciais, resultados distintos, assim, comprova-se a influência dos erros em processos

de discretização. Por outro lado, se a metodologia de redução do erro é aplicada às simulações

destes sistemas, isto é, se o filtro é incorporado à planta de cada um destes sistemas obtem-se

comportamento periódico, que independe do processo de discretização aplicado, e é constatado

por meio do cálculo do expoente de Lyapunov. Portanto, a filtragem baseada na média dos ar-

redondamentos, que visa reduzir o ruído na simulação de sistemas caóticos, levou à supressão

do caos.

Apresenta-se um caso, em que a redução da variância do erro ocasionada pela média dos

valores arredondados para infinito positivo e negativo foi suficiente para suprimir o comporta-

mento não periódico, evidenciando, a ligação entre caos e ruído, em ambiente computacional.

Isto mostra que, embora uma simulação possa ser vista como uma experiência teórica, de fato

esta apresenta características do mundo real, como sinais estocásticos, e portanto, ferramentas

usuais apresentadas na engenharia podem ser aplicadas.

Sabendo que, este trabalho teve como alvo a limitação de erros, incertezas e ruídos computa-

cionais. Constatou-se que a técnica desenvolvida, fundamentada em processos computacionais

rigorosos, análogos a ação de um filtro, é capaz de proporcionar a supressão do caos de siste-

mas que em mesmas condições comportam-se de modo aperiódico. Deste modo, serão os erros

agentes causadores do comportamento caótico? Sobre isto ainda não é possível ter certeza. Li

e Liao (2016) sugerem que ruídos numéricos, como o truncamento e os erros de arredonda-

mento, exercem forte influência em sistemas que transitam entre os comportamentos caótico e

de equilíbrio. Para Zhang et al. (2015); Kloeden (1994); McKenna e Temam (1988), os erros de

arredondamento introduzem o caos espúrio, e de acordo com Corless (1994), pequenos efeitos

Silva, M. R.

57 5.2. Trabalhos futuros

físicos negligenciados em modelos matemáticos, ou mesmo erros de arredondamento simples,

podem ser amplificados ao longo do tempo para que o resultado previsto seja diferente do re-

sultado real. Portanto, o filtro proposto evita a amplificação de ruídos simulacionais, que não

deixam de ser processos práticos reais, e mais, age como um agente de supressão do caos.

5.2 Trabalhos futuros

Dando continuidade ao método apresentado neste trabalho, busca-se:

• Pretende-se realizar o diagrama de bifurcação de modo a verificar a faixa em que ocorre

a da supressão do caos, uma vez que os parâmetros dos sistemas de Chua e Lorenz foram

escolhidos na região limítrofe do caos;

• Aplicar a mais sistemas dinâmicos discretos e contínuos utilizando diferentes métodos

para o cálculo do expoente de Lyapunov;

• Aumentar o número de métodos de arredondamento, com intuito de verificar a redução da

variância;

• Sabendo que a média provoca redução da variância do erro, pretende-se investigar as ra-

zões de um resultado com ruído de menor variância apresentar comportamento periódico;

• Pretende-se aprimorar a metodologia exposta de modo que o erro seja empiricamente

reduzido;

• Conforme discutido em Mendes e Nepomuceno (2017); Nepomuceno e Martins (2016),

espera-se investigar se o uso de extensões intervalares e outros modos de arredondamento

proporcionam a redução do ruído ou comportamento periódico.

Silva, M. R.

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Silva, M. R.

APÊNDICE A

Rotinas Computacionais

A.1 mainchua_extensao.m - Arquivo principal

Somente o arquivo principal, mainchua_extensao.m, deverá ser acionado este fornecerá os

resultados de extensões de 𝑣𝐶1 mediante ao processo de discretização Runge-Kutta de quarta

ordem.

%UNIVERSIDADE FEDERAL DE SAO JOAO DEL-REI

%PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM ENGENHARIA ELETRICA UFSJ/CEFET

clc

close all

clear all

y0=[-0.7 0 0]

tf=0.075;

h=1e-6;

tspan = 0:h:tf;

y = ode4(@chuakennedy1992_extensao1,tspan,y0);

y1 = ode4(@chuakennedy1992_extensao2,tspan,y0);

figure(1)

plot(1:30000,y((1:30000),1),'k',1:30000, y1((1:30000),1),'k--','Linewidth',1.2)

axis([0 30000 -4.5 4.5])

box off

xlabel('t(ms)')

ylabel('(1/C1)((1/R)(vC2-vC1)- id)')

legend('Extensao Intervalar 1','Extensao Intervalar 2')

set(gcf, 'PaperPosition', [0 0 20 10]);

set(gcf, 'PaperSize', [50 10]);

65

Apêndice A. Rotinas Computacionais 66

set(gca,'FontSize',35,'Fontname','Times New Roman')

saveas(gcf, 'tensao', 'pdf')

saveas(gcf, 'tensao', 'jpg')

A.1.1 chuakennedy1992_extensao1.m - Arquivo secundário característico da extensão 1

%Simulation of Chua's Circuit

%Based on:

% @article{Kennedy1992,

% title={Robust op amp realization of Chua's circuit},

% author={Kennedy, Michael Peter},

% journal={Frequenz},

% volume={46},

% number={3-4},

% pages={66--80},

% year={1992}

% }

%and p.588 on

% %@book{Aguirre2004,

% title={Introducao a identificao de sistemas--Tecnicas lineares

%e nao-lineares aplicadas a sistemas reais},

% author={Aguirre, Luis Antonio},

% year={2004},

% publisher={Editora UFMG}

% }

function out = chuakennedy1992_extensao1(t,in)

x = in(1); %v_1 %v_c1

y = in(2); %v_2 %v_c2

z = in(3); %i_L %i_L

%Kennedy 1992

%Robust Amp Op Realization of Chua's Circuit

L = 19.2*10^(-3); %Aguirre p.588 - Kennedy e 18mF

C1 = 10*10^(-9); %10nF

C2 = 100*10^(-9); %100nF

R =1978.5;

Silva, M. R.

67 A.1. mainchua_extensao.m - Arquivo principal

G = 1/R;

%Valores: p. 588 Aguirre

m0=-0.37*10^(-3);

m1=-0.68*10^(-3);

Bp=1.1;

if x >Bp

g=m0*x+Bp*(m1-m0);

elseif (x >= -Bp)&(x <= Bp)

g=m1*x;

else

g=m0*x+Bp*(m0-m1);

end

% Equacoes do circuito de Chua

xdot = (1/C1)*(G*(y-x)-g);

ydot = (1/C2)*(G*(x-y)+z);

zdot = -(1/L)*y;

out = [xdot ydot zdot]';

A.1.2 chuakennedy1992_extensao2.m - Arquivo secundário característico da extensão 2


%Based on:





% volume={46},

% number={3-4},

% pages={66--80},

% year={1992}

% }

%and p.588 on



Silva, M. R.




% year={2004},


% }

function out = chuakennedy1992_extensao1(t,in)

x = in(1); %v_1 %v_c1

y = in(2); %v_2 %v_c2

z = in(3); %i_L %i_L

%Kennedy 1992



C1 = 10*10^(-9); %10nF

C2 = 100*10^(-9); %100nF

R =1978.5;

G = 1/R;


m0=-0.37*10^(-3);

m1=-0.68*10^(-3);

Bp=1.1;

if x >Bp

g=m0*x+Bp*(m1-m0);


g=m1*x;

else

g=m0*x+Bp*(m0-m1);

end


xdot = (G*y-G*x-g)/C1;

ydot = (1/C2)*(G*(x-y)+z);

zdot = -(1/L)*y;


Silva, M. R.

69 A.2. mlre_caso1.m

A.2 mlre_caso1.m

mlre_caso1.m é o algoritmo relacionado aos métodos tradicional e de redução erro para o

caso do mapa logístico, em que 𝑟 = 3,9 e 𝑥0 = 1/3,9.



clc

close all

clear all

%% Sobre as variaveis

%x => codicao inicial;

%w => codicao inicial;

%y => codicao inicial;

%R => parametro de controle entre 0 e 4;

%p => codicao inicial empressa em forma fracionaria;

%r => parametro de controle entre 0 e 4 empresso em forma fracionaria;

%Nota: As variaveis apresentadas acima devem ser alteradas a cada caso,

%trata-se de uma alteracao manual, uma vez que, o intuito e nao

%usar funcoes do Matlab, pois o uso de funcoes pode acarretar em mais

%incertezas nas simualcoes.

%%

%ESTA ROTINA DEVE SER LANCADA NO WORKSPACE-ATENCAO

%% Determine as condicoes

x=1/3.9;

y=x;

w=x;

R=3.9;

digits(1000);

p=vpa('10/39');

r=vpa('39/10');

%% Simulacao tradicional para o caso do mapa logistico

for k=1:20

x(k+1)=R*x(k)*(1-x(k))

end

%% Simulacao via metodo de reducao de erro para o caso do mapa logistico

system_dependent('setround',-Inf)

Silva, M. R.


y=y;

system_dependent('setround',Inf)

w=w;

system_dependent('setround',0.5)

z=(y+w)/2;

y=z;

w=z;

for k=1:20


y(k+1)=R*y(k)*(1-y(k))


w(k+1)=R*w(k)*(1-w(k))


z(k+1)=(y(k+1)+w(k+1))/2

y(k+1)=z(k+1);

w(k+1)=z(k+1);

end

%% Simulacao da rotina de alta prcisao VPA toolbox Matlab para o caso do

%mapa logistico

for k=1:20

p(k+1)=vpa(r.*p(k).*(1-p(k)));

end

%% Processo de comparacao dos resultados com uma rotina de alta precicao

%VPA toolbox Matlab

% VPA x simulacao tradicional

a=abs(vpa(p(3:21)-x(3:21)));

% VPA x simulacao metodo de reducao de erro

b=abs(vpa(p(3:21)-w(3:21)));

%% Exibindo resultados

figure()

plot(3:21,log10(abs(vpa(p(3:21)-x(3:21)))),'-o',3:21,log10(abs(vpa(p(3:21

)-w(3:21)))),'-x')

legend('Metodo tradicional','Metodo de reducao do erro')

xlabel('n')

ylabel('log10(|erro|)')

Silva, M. R.


A.3 mlre_caso2.m


caso do mapa logístico, em que 𝑟 = 3,9 e 𝑥0 = 0,01.



clc

close all

clear all










%usar funcoes do Matlab, pois o uso de funcoes pode acarretar em mais


%%



x=0.01;

y=x;

w=x;

R=3.9;

digits(1000);

p=vpa('1/100');

r=vpa('39/10');


for k=1:20

x(k+1)=R*x(k)*(1-x(k))

end



Silva, M. R.


y=y;


w=w;


z=(y+w)/2;

y=z;

w=z;

for k=1:20


y(k+1)=R*y(k)*(1-y(k))


w(k+1)=R*w(k)*(1-w(k))


z(k+1)=(y(k+1)+w(k+1))/2

y(k+1)=z(k+1);

w(k+1)=z(k+1);

end

%% Simulacao da rotina de alta prcisao VPA toolbox Matlab para o caso do

%mapa logistico

for k=1:20

p(k+1)=vpa(r.*p(k).*(1-p(k)));

end


%VPA toolbox Matlab


a=abs(vpa(p(3:21)-x(3:21)));


b=abs(vpa(p(3:21)-w(3:21)));

%% Exibindo resultados

figure()

plot(3:21,log10(abs(vpa(p(3:21)-x(3:21)))),'-o',3:21,log10(abs(vpa(p(3:21

)-w(3:21)))),'-x')

legend('Metodo tradicional','Metodo de reducao do erro')

xlabel('n')

ylabel('log10(|erro|)')

Silva, M. R.


A.4 mlre_caso3.m


caso do mapa logístico, em que admitiu-se três conjuntos de condições iniciais e parâmetros de

bifurcação, dados por (𝑥0, 𝑟) = [(0,1,4,2); (0,2,4); (0,41,3,85)].



clc

close all

clear all










%usar funcoes do Matlab, pois o uso destas pode acarretar em mais


%%


%% Primeiro conjunto (0.1 e 4.2)


x=0.1;

y=x;

w=x;

R=4.2;

digits(1000);

p=vpa('1/10');

r=vpa('42/10');


for k=1:20

x(k+1)=R*x(k)*(1-x(k))

end

Silva, M. R.


%% Simulacao via metodo de reducao de erro para o caso do mapa %logistico


y=y;


w=w;


z=(y+w)/2;

y=z;

w=z;

for k=1:20


y(k+1)=R*y(k)*(1-y(k))


w(k+1)=R*w(k)*(1-w(k))


z(k+1)=(y(k+1)+w(k+1))/2

y(k+1)=z(k+1);

w(k+1)=z(k+1);

end

%% Simulacao da rotina de alta prcisao VPA toolbox Matlab para o caso do mapa

%logistico

for k=1:20

p(k+1)=vpa(r.*p(k).*(1-p(k)));

end


%VPA toolbox Matlab


a=abs(vpa(p(3:21)-x(3:21)));


b=abs(vpa(p(3:21)-w(3:21)));

%% Erros sigma e delta

figure()

plot(1:19,a,'-o',1:19,b,'-x')%% Determine as condicoes

%% Segundo conjunto (0.2 e 4)

x=0.2;

y=x;

w=x;

R=4;

Silva, M. R.


digits(1000);

p=vpa('2/10');

r=vpa('40/10');


for k=1:20

x(k+1)=R*x(k)*(1-x(k))

end

%% Simulacao via metodo de reducao de erro para o caso do mapa

%logistico


y=y;


w=w;


z=(y+w)/2;

y=z;

w=z;

for k=1:20


y(k+1)=R*y(k)*(1-y(k))


w(k+1)=R*w(k)*(1-w(k))


z(k+1)=(y(k+1)+w(k+1))/2

y(k+1)=z(k+1);

w(k+1)=z(k+1);

end

%% Simulacao da rotina de alta prcisao VPA toolbox Matlab para o caso do mapa

%logistico

for k=1:20

p(k+1)=vpa(r.*p(k).*(1-p(k)));

end


%VPA toolbox Matlab


a=abs(vpa(p(3:21)-x(3:21)));


b=abs(vpa(p(3:21)-w(3:21)));

Silva, M. R.



figure()

plot(1:19,a,'-o',1:19,b,'-x')

%% Terceiro conjunto (0.41 e 3.85)

x=0.41;

y=x;

w=x;

R=3.85;

digits(1000);

p=vpa('41/100');

r=vpa('385/100');


for k=1:20

x(k+1)=R*x(k)*(1-x(k))

end



y=y;


w=w;


z=(y+w)/2;

y=z;

w=z;

for k=1:20


y(k+1)=R*y(k)*(1-y(k))


w(k+1)=R*w(k)*(1-w(k))


z(k+1)=(y(k+1)+w(k+1))/2

y(k+1)=z(k+1);

w(k+1)=z(k+1);

end

%% Simulacao da rotina de alta precisao VPA toolbox Matlab para o caso do mapa

%logistico

for k=1:20

p(k+1)=vpa(r.*p(k).*(1-p(k)));

end

Silva, M. R.

77 A.5. Algoritmo dos métodos tradicional e de supressão de caos - Circuito de Chua


%VPA toolbox Matlab


a=abs(vpa(p(3:21)-x(3:21)));


b=abs(vpa(p(3:21)-w(3:21)));


figure()

plot(1:19,a,'-o',1:19,b,'-x')

A.5 Algoritmo dos métodos tradicional e de supressão de caos - Circuito

de Chua

Somente o arquivo principal, mainchua.m, deverá ser acionado este fornecerá os resultados

dos métodos tradicional, arquivo mainchua1.m, e de supressão de caos, mainchua2.m, median-

tes aos processos de discretização de Runge-Kutta de terceira, quarta e quinta ordem.

A.5.1 mainchua.m - Arquivo principal



clear

clc

close all

%% Metodo tradicional

tic()

mainchua1

toc()

[y_3,y_4,y_5] = mainchua1( );

%% Metodo de supressao

tic()

mainchua2

toc()

[ym_3,ym_4,ym_5] = mainchua2( );

Silva, M. R.


%% Obtencao grafica

figure()

subplot(3,1,1)

plot(1:20000,y_3(1:20000),'k--',1:20000,ym_3(1:20000,1),'k','linewidth',1.75)

axis([0 20000 -4.5 4.5])

box off

xlabel('n')

ylabel('Amplitude')



saveas(gcf, 'wave3', 'pdf')


subplot(3,1,2)


axis([0 20000 -4.5 4.5])

box off

xlabel('n')

ylabel('Amplitude')





subplot(3,1,3)


axis([0 20000 -4.5 4.5])

box off

xlabel('n')

ylabel('Amplitude')





%%

figure()

subplot(3,2,1)

plot3(y_3(:,1),y_3(:,2),y_3(:,3),'k')

%better perspective

view(-16,24)

grid

Silva, M. R.


xlabel('(a)')




subplot(3,2,2)

plot3(ym_3(:,1),ym_3(:,2),ym_3(:,3),'k')

%better perspective

view(-16,24)

%view(-16,24)

grid

xlabel('(b)')




subplot(3,2,3)

plot3(y_4(:,1),y_4(:,2),y_4(:,3),'k')

%better perspective

view(-16,24)

grid

xlabel('(c)')




subplot(3,2,4)

plot3(ym_4(:,1),ym_4(:,2),ym_4(:,3),'k')

%better perspective

view(-16,24)

%view(-16,24)

grid

xlabel('(d)')




subplot(3,2,5)

plot3(y_3(:,1),y_3(:,2),y_3(:,3),'k')

%better perspective

view(-16,24)

grid

xlabel('(e)')

Silva, M. R.





subplot(3,2,6)

plot3(ym_5(:,1),ym_5(:,2),ym_5(:,3),'k')

%better perspective

view(-16,24)

%view(-16,24)

grid

xlabel('(f)')




A.5.2 mainchua1.m - Arquivo secundário característico do método tradicional



function [y_3,y_4,y_5] = mainchua1( )

%clear all

%Condicoes iniciais

y0=[-0.7 0 0]

%%

%Parametros

tf=0.075;

h=1e-6;

tspan = 0:h:tf;

%% Runge-Kutta

%Runge-Kutta de ordem 3

y_3 = ode3(@chuakennedy1992_1,tspan,y0);





%%

% % Parametros para o calculo do expoente de Lyapunov

% %RK3

Silva, M. R.


% x_3=y_3(3000:35768,1);

% r_3=y_3(3000:35768,2);

% z_3=y_3(3000:35768,3);

% cd C:\Users\Melanie\Desktop

% save main1_x_3.dat x_3 -ascii


% save main1_y_3.dat r_3 -ascii


% save main1_z_3.dat z_3 -ascii


% save main1_3.dat y_3 -ascii

% % RK4

% x_4=y_4(3000:35768,1);

% r_4=y_4(3000:35768,2);

% z_4=y_4(3000:35768,3);









% %RK5

% x_5=y_5(3000:35768,1);

% r_5=y_5(3000:35768,2);

% z_5=y_5(3000:35768,3);









end

A.5.3 chuakennedy1992_1.m - Arquivo base característico do método tradicional

Silva, M. R.



%Based on:





% volume={46},

% number={3-4},

% pages={66--80},

% year={1992}

% }

%and p.588 on





% year={2004},


% }

function out = chuakennedy1992_1(t,in)

x = in(1); %v_1 %v_c1

y = in(2); %v_2 %v_c2

z = in(3); %i_L %i_L

%Kennedy 1992



C1 = 10*10^(-9); %10nF

C2 = 100*10^(-9); %100nF

R =1975;

G = 1/R;


m0=-0.37*10^(-3);

m1=-0.68*10^(-3);

Bp=1.1;

if x >Bp

Silva, M. R.


g=m0*x+Bp*(m1-m0);


g=m1*x;

else

g=m0*x+Bp*(m0-m1);

end


xdot = (1/C1)*(G*(y-x)-g);

ydot = (1/C2)*(G*(x-y)+z);

zdot = -(1/L)*y;


A.5.4 mainchua2.m - Arquivo secundário característico do método de supressão de caos



function [ym_3,ym_4,ym_5] = mainchua2()

%% Media dos modos arredondados - condicoes iniciais

system_dependent('setround',-Inf);

ym=[-0.7 0 0];

system_dependent('setround',Inf);

yp=[-0.7 0 0];

y1=(ym+yp)/2;

ym_3=y1;

yp_3=y1;

ym_4=y1;

yp_4=y1;

ym_5=y1;

yp_5=y1;

%% Parametros

tf=0.075;

h=1e-6;

tspan = 0:h:tf;

N=length(tspan);

%% Procedimento de filtragem/limitacao do erro/supressao


for k=1:N-1

Silva, M. R.



aux_3 = ode3(@chuakennedy1992_2,tspan(k:k+1),ym_3(k,:),yp_3(k,:));

ym_3(k+1,:)=aux_3(2,:);


aux_3 = ode3(@chuakennedy1992_2,tspan(k:k+1),yp_3(k,:),ym_3(k,:));

yp_3(k+1,:)=aux_3(2,:);

end


for k=1:N-1



ym_4(k+1,:)=aux_4(2,:);



yp_4(k+1,:)=aux_4(2,:);

end


for k=1:N-1



ym_5(k+1,:)=aux_5(2,:);



yp_5(k+1,:)=aux_5(2,:);

end

%%

% Parametros para o calculo do expoente de Lyapunov

%%RK3

% x_3=y_3(3000:35768,1);

% r_3=y_3(3000:35768,2);

% z_3=y_3(3000:35768,3);









Silva, M. R.


% % RK4

% x_4=y_4(3000:35768,1);

% r_4=y_4(3000:35768,2);

% z_4=y_4(3000:35768,3);









% %RK5

% x_5=y_5(3000:35768,1);

% r_5=y_5(3000:35768,2);

% z_5=y_5(3000:35768,3);









end

A.5.5 chuakennedy1992_2.m - Arquivo base característico do método de supressão de

caos


%Based on:





% volume={46},

% number={3-4},

Silva, M. R.


% pages={66--80},

% year={1992}

% }

%and p.588 on


% title={Introducao a identificao de sistemas--Tecnicas lineares e

%nao-lineares aplicadas a sistemas reais},


% year={2004},


% }

function out = chuakennedy1992_2(t,in,in2)

x = in(1); %v_1 %v_c1

y = in(2); %v_1 %v_c1

z = in(3); %i_L %i_L

x2=in2(1); %v_1 %v_c1

y2=in2(2); %v_1 %v_c1

z2=in2(3); %i_L %i_L

%% Media das entradas arredondadas para o ponto-flutuante mais proximo

system_dependent('setround',0.5);

x=(x+x2)/2;


y=(y+y2)/2;


z=(z+z2)/2;

%Kennedy 1992



C1 = 10*10^(-9); %10nF

C2 = 100*10^(-9); %100nF

R = 1975;

G = 1/R;


m0=-0.37*10^(-3);

m1=-0.68*10^(-3);

Bp=1.1;

Silva, M. R.

87 A.6. Algoritmo dos métodos tradicional e de supressão de caos - Sistema de Lorenz

%Dupla volta - periodico

if x >Bp

g=m0*x+Bp*(m1-m0);


g=m1*x;

else

g=m0*x+Bp*(m0-m1);

end

% Eqaucoes do circuito de Chua

xdot = (1/C1)*(G*(y-x)-g);

ydot = (1/C2)*(G*(x-y)+z);

zdot = -(1/L)*y;


A.6 Algoritmo dos métodos tradicional e de supressão de caos - Sistema

de Lorenz

Somente arquivo principal, mainlorenz.m, deverá ser acionado este fornecerá os resulta-

dos dos métodos tradicional, arquivo mainlorenz1.m, e de supressão de caos, mainlorenz2.m,

mediantes aos processos de discretização de Runge-Kutta de terceira, quarta e quinta ordem.

A.6.1 mainlorenz.m - Arquivo principal



clear

clc

close all

%% Metodo tradicional

tic()

mainlorenz1

toc()

[y_3,y_4,y_5] = mainlorenz1( );

%% Metodo de supressao de caos

Silva, M. R.


tic()

mainlorenz2

toc()

[ym_3,ym_4,ym_5] = mainlorenz2( );

%% Obtencao grafica

figure()

subplot(3,1,1)


axis([0 1000 -40 40])

box off

xlabel('n')

ylabel('Amplitude')





subplot(3,1,2)


axis([0 1000 -40 40])

box off

xlabel('n')

ylabel('Amplitude')





subplot(3,1,3)


axis([0 1000 -40 40])

box off

xlabel('n')

ylabel('Amplitude')





%%

figure()

subplot(3,2,1)

Silva, M. R.


plot3(y_3(:,1),y_3(:,2),y_3(:,3),'k')

%better perspective

view(-16,24)

grid

xlabel('(a)')




subplot(3,2,2)

plot3(ym_3(:,1),ym_3(:,2),ym_3(:,3),'k')

%better perspective

view(-16,24)

%view(-16,24)

grid

xlabel('(b)')




subplot(3,2,3)

plot3(y_4(:,1),y_4(:,2),y_4(:,3),'k')

%better perspective

view(-16,24)

grid

xlabel('(c)')




subplot(3,2,4)

plot3(ym_4(:,1),ym_4(:,2),ym_4(:,3),'k')

%better perspective

view(-16,24)

%view(-16,24)

grid

xlabel('(d)')




subplot(3,2,5)

plot3(y_3(:,1),y_3(:,2),y_3(:,3),'k')

Silva, M. R.


%better perspective

view(-16,24)

grid

xlabel('(e)')




subplot(3,2,6)

plot3(ym_5(:,1),ym_5(:,2),ym_5(:,3),'k')

%better perspective

view(-16,24)

%view(-16,24)

grid

xlabel('(f)')




A.6.2 mainlorenz1.m - Arquivo secundário característico do método tradicional



function [ y_3,y_4,y_5 ] = mainlorenz1()



y0=[0.06735 1.8841 15.7734]; %Valores de \cite{Cor1994}

tf=100;

h=1e-2;

tspan = 0:h:tf;

%%


y_3 = ode3(@lorenz_1,tspan,y0);





%% Parametros para o calculo do expoente de Lyapunov

Silva, M. R.


% ydots_3=y_3(4000:8096);


% save lorenz3_main1.dat ydots_3 -ascii

% ydots_4=y_4(4000:8096);



% ydots_5=y_5(4000:8096);


% save lorenz5_main1.dat ydots_5 -ascii;

end

A.6.3 lorenz_1.m - Arquivo base característico do método tradicional

%Simulacao do sistema de Lorenz

function out = lorenz_1(t,in)

%Entradas

x = in(1);

y = in(2);

z = in(3);

%% Parametros do sistema

sigma = 7.6;rho = 65; beta = 5.3;

%Equacoes do sistema de Lorenz

xdot = sigma*(y - x);

ydot = x*(rho - z) - y;

zdot = x*y - beta*z;


A.6.4 mainlorenz2.m - Arquivo secundário característico do método de supressão de

caos



function [ ym_3,ym_4,ym_5 ] = mainlorenz2()

Silva, M. R.


%%

%Primeira rodada para a supressao - media da condicao inicial

% Media dos modos arredondados das entradas


ym=[0.06735 1.8841 15.7734]; %condicoes de \cite{Cor1994}


yp=[0.06735 1.8841 15.7734]; %condicoes de \cite{Cor1994}


y1=(ym+yp)/2;

ym_3=y1;

yp_3=y1;

ym_4=y1;

yp_4=y1;

ym_5=y1;

yp_5=y1;

%%

%Parametros

tf=100;

h=1e-2;

tspan = 0:h:tf;

N=length(tspan);

%% Procedimento de filtragem/limitacao do erro/supressao


for k=1:N-1


aux_3 = ode3(@lorenz_2,tspan(k:k+1),ym_3(k,:),yp_3(k,:));

ym_3(k+1,:)=aux_3(2,:);


aux_3 = ode3(@lorenz_2,tspan(k:k+1),yp_3(k,:),ym_3(k,:));

yp_3(k+1,:)=aux_3(2,:);

end


for k=1:N-1



ym_4(k+1,:)=aux_4(2,:);



yp_4(k+1,:)=aux_4(2,:);

Silva, M. R.


end


for k=1:N-1



ym_5(k+1,:)=aux_5(2,:);



yp_5(k+1,:)=aux_5(2,:);

end

%% Parametros para o calculo do expoente de Lyapunov

% ydots_3=ym_3(4000:8096);



% ydots_4=ym_4(4000:8096);



% ydots_5=ym_5(4000:8096);



A.6.5 lorenz_2.m - Arquivo base característico do método de supressão de caos

%Simulacao do sistema de Lorenz

function out = lorenz_2(t,in,in2)

%Entradas

x = in(1);

y = in(2);

z = in(3);

x2=in2(1);

y2=in2(2);

z2=in2(3);

%% Media das entradas arredondadas para o ponto-flutuante mais proximo


x=(x+x2)/2;


y=(y+y2)/2;

Silva, M. R.



z=(z+z2)/2;

%% Parametros do sistema

sigma = 7.6;rho = 65; beta = 5.3;

% Equacoes do sistema de Lorenz

xdot = sigma*(y - x);

ydot = x*(rho - z) - y;

zdot = x*y - beta*z;


Silva, M. R.

Redução de ruído na simulação de sistemas dinâmicos … · computation has been applied to...

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