REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 30 -...

MATEMÁTICA I 1 FUNÇÕES

CONCEITO DE FUNÇÃO ............................................................ 2

IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ........................................................ 8

IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO ..................................... 12

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO..................................................... 15

DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO .................................................. 15

DOMÍNIO A PARTIR DE UM GRÁFICO .................................... 17

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO .................................................... 19

FUNÇÃO CONSTANTE ............................................................. 25

RESPOSTAS ............................................................................. 27

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 30

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. O fato de apenas alguns exercícios estarem indicados não significa que os demais devam ser ignorados. Ao contrário, quanto mais exercícios você fizer mais hábil você pode ficar.

CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

CONCEITO DE FUNÇÃO

Dados dois conjuntos não vazios A

e B*, uma relação f de A em B recebe a denominação de função de A em B se, e

somente para todo x A existe um único

(x; y) f.

f é uma função de A em B

( x A, y B | (x; y) f)

É importante notar que:

Todo elemento de A deve ser associado a um elemento de B;

Para um dado elemento de A associamos um único elemento de B.

Usando o conceito de domínio e

imagem que já estudamos em relações, podemos dizer também, que:

f : A B é uma função se todo elemento do domínio

possui somente uma imagem.

Veja, a seguir, alguns exemplos

que ilustram relações de A em B. Note que algumas delas expressam função e outras não.

* Em todo nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e B são conjuntos formados

Vamos considerar os conjuntos

A = {0, 1, 2, 3} e B = { -1, 0, 1, 2, 3} e as seguintes relações binárias:

R = {(x; y) A x B | y = x + 1}

S = {(x; y) A x B | y2 = x2}

T = {(x; y) A x B | y = x}

V = {(x; y) A x B | y = (x -1)2 -1}

W = {(x; y) A x B | y = s} Começaremos pela relação R:

Desta forma temos:

R = { (0; 1), (1; 2), (2; 3) }

Para cada elemento x A com exceção do 3, existe um só elemento

y B tal que (x; y) R.

Para o elemento 3 A, não existe

y B tal que (3; y) R. Neste caso, como existe elemento

de A que não possui imagem, R NÃO é uma função de A em B.

por números reais, ou seja, A e B estão contidos

em .


Vejamos agora a relação S que associa x e y em pares de números que possuem o mesmo quadrado.

S = { (0; 0), (1; -1), (1; 1), (2; 2), (3; 3)}

Para cada elemento x A, com exceção do 1, existe um só elemento

y B tal que (x; y) S. Para o elemento 1, existem dois elementos de B, o 1 e o -1, tais que

(1, -1) S e (1, 1) S. Assim, S NÃO é uma função pois existe elemento do domínio que possui mais de uma imagem. Agora, a relação T:

T = { (0; 0), (1; 1), (2; 2), )3; 3) }

Para todo elemento x A sem

exceção, existe um só elemento y B tal

que (x; y) T. Então T É UMA FUNÇÃO de A em

B.

Veja a relação V agora:

V = { (0; 0), (1; -1), (2; 0), (3; 3) }



que (x; y) V. Então S É UMA FUNÇÃO de A em

B.

Vamos encerrar esta série com a relação W.:

W = { (0; 2), (1; 2), (2; 2), (3; 2) }



que (x; y) W.

Então W É UMA FUNÇÃO de A em B.


Estas três últimas relações: T, V e W que apresentam a particularidade:

“Para todo elemento x A sem

exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) pertence à relação”, logo são funções de A em B.

Quando analisamos uma relação a

partir da representação por diagrama de flechas em dois conjuntos A e B, devemos observar duas condições para que a relação de A em B seja uma função de A em B:

1. Deve sair flecha de TODOS os

elementos de A. 2. Deve sair apenas uma flecha de

cada elemento de A. Estas duas condições apenas afirmam o que foi dito no início da página 2 desta apostila.

Lá está afirmando que f: A B é uma função se todo elemento de A possui uma (condição 1) e somente uma (condição 2) imagem.

Vamos identificar, nos diagramas a seguir, onde está e onde não está representada uma função de A em B justificando, quando for o caso. a)

Função? Justifique:

b)


c)


d)


e)



f)


Podemos verificar também se uma

relação é ou não função a partir de sua representação gráfica.

Para tal, basta verificarmos se

todas as retas paralelas ao eixo das ordenadas que podemos traçar dentro do domínio da relação toca o gráfico em um e somente um ponto, veja nos exemplos que seguem.

Vamos identificar, nos gráficos a

seguir, onde está e onde não está representada uma função de A em B ficando atentos para o domínio determinado e justificando, quando for o caso.

a) A = [-1; 2] e B =


b) A = [-2; 2] e B =

Função?

Justifique:

c) A = [0; 4] e B =



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EXEMPLOS COMPLEMENTARES Ver R.6 e R7 das Páginas 123 e 124

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1) Assim como foi feito no exemplo da página 4, identifique cada uma das relações de A em B abaixo, apresentadas sob forma de diagrama, como função ou não e a seguir, justifique. a)

b)

c)

d)

e)


f)

2) Dentre os gráficos abaixo, identifique aquele que apresenta e aquele que não apresenta função justificando sua resposta ficando sempre atento ao domínio apresentado. a)D = [1; 4]

b) D = [-4; 3]

c) D = [-7; 7]

d) D = [-4; 4]

e) D =


f) D =

g) D =

h) D =

IMAGEM DE UMA FUNÇÃO

Dada uma função f: A B sendo

f = {(x, y) A x B}, assim como vimos nas relações, os valores que a ordenada y admite, formam o conjunto chamado IMAGEM. Veja, nos dois exemplos a seguir, a determinação da imagem de uma função.

Ex.: Dado A = {1, 2, 3, 4}, consideremos

a função f: A definida por f(x) = 2x, temos:

Para x = 1, 2121f

Para x = 2, 4222f

Para x = 3, 6323f

Para x = 4, 8424f

A imagem desta função é

Im(f) = {2; 4; 6; 8}


Ex.: Determinar a imagem da função

f: D definida por f(x) = x3 – x + 10, sendo D = { -2; -1; 0; 1; 2}. Para x = -2

4102810222f3

Para x = -1

10101110111f3

Para x = 0

10100010000f3

Para x = 1

10101110111f3

Para x = 2

16102810222f3

Logo, Im(f) = {4; 10; 16}

Observe que três elementos do domínio (-1, 0 e 1) possuem a mesma imagem (10). Isto é permitido no conceito de função, pois ele exige que cada elemento do domínio tenha somente uma imagem. Nada impede que um mesmo elemento do contra-domínio tenha mais de uma contra-imagem.

Lembre-se que, para que f: A B seja uma função o que não pode ocorrer é um dado elemento de A não ter imagem ou ter mais de uma imagem.

3) Determine o conjunto imagem em cada uma das funções a seguir apresentadas sob forma de diagrama de flechas. a)


b)

c)

4) Sendo f: A , uma função definida por f(x) = 3x2 + 1, determine a imagem de f sabendo que

13 ;3 ;3

2 ;5 ;5A

5) Seja f: a função definida por

1x

2xf

2 . Calcule:

a) 1f

b)

2

1f

c) 2f

d) 21f


6) Se 1x

1

x

1xf

, qual é o valor de

f(1) + f(2) + f(3)? 7) Determine a imagem de cada função:

a) f: A dada por x

1xxf e

3 ;2 ;1 ;2

1 ;

3

1A

b) f: D dada por 11xxf e

2 ;1 ;0 ;1 ;2D

8) Na função f: definida por f(x) = 7x – 3, para que valor de x tem-se f(x) = 18?


9) Na função f: definida por f(x) = x2 – 2x, para que valor de x tem-se f(x) = 3? E f(x) = 0?

10) Uma função definida por 1x2

1xxf

tem imagem Im(f) = {-3; -1; 1; 3; 5}. Qual o domínio de x?

11) Dada 1xxf , calcule o valor de

x para o qual se tem f(x) = 2.

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 123 – Exercícios 17 a 22

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IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO

Para determinar a imagem de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo vertical que possuem uma contra-imagem no eixo OX. De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas horizontais. Todas aquelas que tocarem o gráfico em pelo menos um ponto determinam, no eixo OY a imagem.

Veja nos exemplos a seguir.

Vamos determinar a imagem de cada uma das funções abaixo apresentadas pelos seus gráficos.


a)

Im = [a; b]

b)

Im = [a; b]

c)

Im = [a; b[ - {0}

d)

Im = [-2; 0[ ]1; 3[

e)

Im = {1; 3}

12) Seguem 12 gráficos montados em uma malha quadriculada. Sabendo que cada quadrinho representa uma unidade, determine a imagem da função em cada caso. a)

b)


c)

d)

e)

f)

g)

h)


i)

j)

k)

l)

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO

Considerando que toda função de

A em B é uma relação binária então f tem uma imagem, como já vimos, e também um domínio.

Chamamos de domínio o conjunto

D dos elementos x A para os quais

existe y B tal que (x; y) f. Como pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedades, temos, nas funções:

Domínio = conjunto de partida É importante ressaltar que os elementos que formam o domínio são aqueles assumidos pela abscissa, desta forma, no plano cartesiano, o domínio são os valores neste eixo.

DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO

Tomemos algumas funções e

determinemos o seu domínio:


Ex.: 1

f(x) = 2x

Notemos que 2x para todo x , temos, então:

D = Ex.: 2

f(x) = x2

Notemos que x2 para todo x , temos, então:

D = Ex.: 3

x

1xf

Notemos que x

1 se, e somente se, x

é real diferente de zero, temos, então,:

D = * Ex.: 4

xxf

Notemos que x se, e somente se,

x é real e não negativo, então:

D = +

Ex.: 5

3 xxf

Notando que 3 x para todo x ,

temos:

D =

13) Determine o domínio de cada uma das funções reais a seguir:

a) 2x3xf

b) 2x

1xf

c) 4x

1xxf

2

d) 1xxf


e) 1x

1xf

f) 2x

2xxf

g) 3 1x2xf

h) 3 3x2

1xf

i) 3x

2xxf

3

DOMÍNIO A PARTIR DE UM GRÁFICO

Para determinar o domínio de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo horizontal que possuem uma imagem no eixo OY. De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas verticais. Todas aquelas que tocarem o gráfico determinam, no eixo OX, o domínio. Lembre-se que nenhuma destas retas verticais podem tocar o gráfico em mais de um ponto. Caso isto ocorra, o gráfico não representa uma função.

Veja nos exemplos a seguir.

Ex.: 1

D = [a; b]


Ex.: 2

D = [a; b]

Ex.: 3

D =

Ex.: 4

D = *

14) Todos os gráficos a seguir representam funções. Determine o domínio de cada uma delas. a)

b)

c)


d)

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 127 – Exercícios 24, 25 e 26

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GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

Quando o domínio e o contradomínio de uma função f são subconjuntos de , dizemos que f é uma função real de variável real. Neste caso, podemos fazer uma representação geométrica da função assinalando num sistema de coordenadas cartesianas os

pontos (x; y) com x D e y = f(x). Estes pontos formam o que chamamos de gráfico de f.

Ex.: 1

Fazer o gráfico da função f(x) = definida no domínio D(f) = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Resolução:

Para cada x D(f), calculamos y = f(x) e obtemos um ponto (x; y) do gráfico. Temos: Para x = 0,

33020fy

Para x = 1

13121fy

Para x = 2

13222fy

Para x = 3

33323fy

Para x = 4

53424fy

Para x = 5

73525fy

O gráfico de f é formado pelos

pontos A(0; -3), B(-1; 1), C(2; 1), D(3; 3), E(4; 5) e F(5; 7).


Ex.: 2 Fazer o gráfico da função

f(x) = 2x – 3 definida no domínio

D(f) = {x | 0 x 5}. Resolução

Neste caso temos a mesma lei do exemplo anterior, y = f(x) = 2x – 3, porém o intervalo do domínio é [0; 5]. Assim, além dos pontos A,B C, D, E e F, devemos, também, considerar os pontos situados “entre eles”, no segmento de

reta AF . Veja, por exemplo: Para x = 0,5

235,025,0fy

Para x = 2,25

5,1325,2225,2fy

Ex.: 3 Fazer o gráfico da função

f(x) = 2x – 3 definida no domínio D(f) = . Resolução

Temos, mais uma vez, a mesma lei dos exemplos anteriores, y = f(x) = 2x – 3, mas o domínio é formado por todos os números reais. Assim, além

do segmento AF , devemos considerar pontos À direita, com abscissa x > 5 e pontos à esquerda com x < 0. Veja, por exemplo: Para x = 6

93626fy

Para x = -1

53121fy

O gráfico é, neste caso, a reta AFque não tem fim de um lado nem de outro.


15) Faça o gráfico da função f(x) = 6 – x nos casos: a) sendo o domínio D = {1; 2; 3; 4; 5}

b) sendo D = {x | 1 x 5}

c) sendo D =

16) Faça o gráfico da função 2

xxf nos

casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2}


b) sendo D = {x | -2 x 2}

c) sendo D =

17) Faça o gráfico da função 2xxf nos

casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2} Para x = -2, y = _______ Para x = -1, y = _______ Para x = 0, y = _______ Para x = 1, y = _______ Para x = 2, y = _______

b) sendo D = {x | -2 x 2}


c) sendo D =

18) Faça o gráfico da função xxf

nos casos. a) sendo o domínio D = {0; 1; 2; 3; 4}

b) sendo D = +.

19) Faça o gráfico da função 2

1xxf

com domínio D = . (Obtenha pontos do gráfico escolhendo valores para x e calculando y = f(x))


20) Faça o gráfico de f(x) = 2x + 1 com domínio D = [0; 3[

21) Faça o gráfico de f: [-1; 5] ,

definida por 2

x5xf

.


22) Faça o gráfico de f: [-2; 2] ,

definida por 2

xxf

2

.

FUNÇÃO CONSTANTE

Dado um número real k, podemos considerar uma função que a todo número real x faz corresponder o número k:

f: , com f(x) = k ( x )

Esta função é denominada função constante. O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas passado por todos os pontos de ordenada y = k.

Observe que o domínio é D(f) =

e a imagem é Im(f) = { k }.

Ex.: 1 Construir o gráfico da função

f: dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), veja:


Ex.: 2 Construir o gráfico da função

f: + dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), mas agora há uma restrição no domínio. Veja:

23) Faça o gráfico da função

f: dado por f(x) = - 1.

24) Faça o gráfico da função

f: dado por

0 xse1-

0 xse,1xf .


RESPOSTAS

1) a) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem.

b) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem.

c) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem.

d) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem.

e) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem.

f) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem.

2) a) Não é função, pois existe

elemento do domínio com mais de uma imagem.

b) Função

c) Função

d) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem.

e) Função

f) Função

g) Não é função pois existem elementos do domínio que não possuem imagem.

h) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem.

3) a) Im = {-1; 0; 1}

b) Im = {-1}

c) Im = {-1, 2}

4)

76 ;3613 ;10 ;3

7fIm

5) a) 1 b) 5

8

c) 3

2 d)

2

22

6) 4

3

7) a)

2 ;2

5 ;

3

10fIm

b) 4 ;3 ;2 ;1fIm

8) Resolução:

3x

21x7

183x7

18xf e 3x7xf

9) f(x) = 3 para x = 3 ou x = -1

f(x) = 0 para x = 0 ou x = 2

10)

3

2 ;

5

4 ;2 ;0 ;

7

2fD

11) x = 3

12) a) Im = {-2, 0, 2}

b) Im =

c) Im = [-2; 2] d) Im = {y | -4 x -2 ou -1 < x

4}

e) Im = {y | x -1}

f) Im = {y | x > 2 ou x = 1}

g) Im = {-2; -1; 0; 2; 3; 4}

h) Im = [1; 4[

i) Im = [-4; 3[


j) Im = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}

k) Im = [-2; 3] 13) a) D

b)

2x|xD ou 2D

c) Resolução

2x e 2x|xD

2x

4x

04x

4x

1xxf

2

2

2

d) 1x|xD

e) 1x|xD

f) 2x e 2x|xD

g) D

h)

2

3D

i) 3D

14) a) [-3; 4[

b) [-3; 3] - {-1; 1}

c) *

d) * 15) a)

b)

c)

16) a)

b)


c)

17) a)

b)

c)

18) a)

b)

19)

20)


21)

22)

23)

24)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

DANTE, Luiz Roberto;

Matemática. São Paulo, Ática, 2004

MACHADO, Antônio dos Santos;

Matemática, Temas e Metas. São Paulo,

Atual, 1988

IEZZI, Gelson e outros;

Matemática, Volume único. São Paulo,

Atual, 2002

PAIVA, Manoel; Matemática –

Ensino Médio, Volume 1. 2.ed. São

Paulo. Moderna, 2013.

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