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Referência Bibliográfica
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Apêndices
Apêndice A
Nesta seção, apresentam-se alguns conceitos e telas do software Macbeth
desenvolvido por Bana e Costa.
Aplicação do Software Macbeth
Macbeth é uma metodologia que permite avaliar opções levando em conta
múltiplos critérios. A distinção fundamental entre Macbeth e outros métodos de
análise de decisão com múltiplos critérios é que esta ferramenta requer apenas
julgamentos qualitativos sobre as diferenças de atratividade entre os elementos
para gerar pontuações sobre as opções em cada critério e para ponderar os critéri-
os.
À medida que os julgamentos qualitativos são expressos pelo avaliador e in-
troduzidos no software, há a verificação automática da consistência pelo sistema e
o mesmo ainda gera sugestões para resolver possíveis inconsistências.
A partir dos julgamentos do avaliador e utilizando as funcionalidades do
software, uma escala de pontuações em cada critério e pesos relativos para os cri-
térios são gradualmente sugeridos e discutidos. Em seguida, uma pontuação glo-
bal é calculada para cada opção, fazendo a soma ponderada das suas pontuações
nos múltiplos critérios. Essa pontuação global reflete a atratividade da opção res-
pectiva no conjunto de todos os critérios. Diversas análises de sensibilidade e de
robustez dos resultados do modelo, assim construído, permitem compreender o
problema em profundidade e ajustar o modelo.
O exemplo apresentado permitirá acompanhar cada etapa do processo Ma-
cbeth de apoio à tomada de decisões apresentado na figura 25: estruturação, avali-
ação e elaboração de recomendações.
Figura 25 – Etapas do processo Macbeth
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Na prática, a pertinência destas atividades e a ordem pela qual devem ser re-
alizadas dependem de vários tipos de incerteza nos dados.
Exemplo: compra de impressora
José pretende comprar uma impressora que lhe permita imprimir, de forma
rápida e com qualidade profissional. Para ele, o custo e o design da impressora são
também pontos de vista fundamentais (PVF’s).
Após consultar o mercado, José obteve as cinco opções apresentadas na fi-
gura 26:
Figura 26 - Opções de compra impressora
Fundamentos da estruturação
O software Macbeth designa por “opção” qualquer ação potencial ou al-
ternativa de decisão. As opções do exemplo de José constam na figura 26.
Uma opção é, por definição, um meio de se alcançar um fim. Portanto,
uma boa tomada de decisão requer que se comece por refletir sobre o que se pre-
tende obter, isto é, sobre quais pontos de vista com interesse para a avaliação, em
cada contexto específico. Certos pontos de vista terão uma definição mais abran-
gente, outros serão mais específicos. A estruturação em árvore pelo software (ou
árvore de valores) permite visualizar de uma forma organizada a totalidade dos
aspectos relevantes do problema.
A figura 27 mostra a árvore de Macbeth para o exemplo de José. Os nós
que se encontram abaixo do nó inicial (nó global por definição, “Escolha de uma
impressora”) correspondem aos pontos de vista que José considera importantes
para a escolha da impressora. Nota-se que três dos nós criados estão assinalados
em vermelho, o que indica que “Qualidade de impressão a cores”, “Velocidade de
impressão” e “Design de Impressora” são os critérios para a avaliação da impres-
sora. Nota-se ainda que “Dimensões da impressora”, “Cor da Impressora” e
“Forma da impressora”, apesar de não terem sido definidos como critérios (não
sendo essenciais para o modelo), foram incluídos na árvore para explicitar quais
aspectos do design são importantes para José. Da mesma forma, a criação do nó
124
“Características de impressão” foi criado para melhorar a estrutura do modelo,
tornando-o mais compreensível.
Figura 27 - Árvore Macbeth
Assim, uma árvore no software Macbeth é formada por dois tipos distintos
de nós: nós critérios e nós não critérios. Na fase de avaliação, Macbeth permitirá
atribuir uma pontuação a cada opção em cada critério introduzido no modelo, que
reflete a atratividade da opção, neste critério, para o avaliador. As opções podem
ser pontuadas por um de dois processos: comparando-as duas a duas diretamente
ou indiretamente através de uma função de valor. Uma função de valor constrói-se
comparando níveis de performance no critério, previamente definidos na estrutu-
ração do critério, sendo que os níveis de performance podem ser quantitativos ou
qualitativos. A função de valor permitirá converter as performances das opções
em pontuações, quer as performances das opções sejam descritas de uma forma
quantitativa, quer de forma qualitativa.
Construção de uma árvore e definição de critérios
Cada nó numa árvore Macbeth pode ser um nó critério ou um nó não crité-
rio, conforme seja ou não usado para avaliar a atratividade das opções. A cada nó
critério deve ser sempre associada uma “base de comparação”, direta ou indireta.
O software Macbeth oferece duas bases de comparação direta: as opções e
as opções mais duas referências. Selecionando-se as opções, indica que o software
quer comparar diretamente as opções entre si, para avaliar a sua atratividade rela-
tiva. Selecionando as opções mais duas referências significa que o software, além
125
de compará-las diretamente entre si, pretende adicionalmente comparar as opções
com base em duas referências a definir, para avaliar também a atratividade intrín-
seca de cada opção com base nas duas referências.
O software oferece também duas bases de comparação indireta: níveis quali-
tativos de performance e níveis quantitativos de performance. Selecionando qual-
quer destas bases de comparação, o usuário indica ao software que pretende ava-
liar a atratividade das opções no critério indiretamente, usando uma função de va-
lor para converter as performances em pontuações. Na comparação indireta, o u-
suário define limites superiores e inferiores que servem como referência para a
ponderação dos critérios.
No exemplo da impressora, o nó Qualidade de Impressão possui uma base
de comparação direta e o nó Velocidade de impressão possui uma base de compa-
ração indireta.
Introdução das performances de opções
Para os nós critérios com bases de comparação níveis qualitativos de per-
formance ou níveis quantitativos de performance, a conversão das performances
das opções em pontuações requer a introdução prévia no modelo das performan-
ces das opções. A figura 28 ilustra esta opção do software:
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Figura 28 - Performance das opções
Ordenação num critério
Na árvore do software Macbeth, ao se pressionar duas vezes sobre o critério
para o qual se pretende ordenar as opções ou níveis de performance, abre-se a ma-
triz de julgamentos Macbeth ilustrada na figura 29 para o critério selecionado.
Para indicar que duas opções, ou níveis de performance, são igualmente a-
trativas no critério selecionado, o usuário deve pressionar sobre uma das duas cé-
lulas que as compara (ex: a célula que corresponde à primeira opção, ou nível de
performance, na horizontal e à segunda na vertical) e selecione “nula” na barra de
julgamentos Macbeth. No exemplo de José, a diferença de atratividade em design
é nula entre as opções Espon e Neutro.
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Figura 29 - Matriz de julgamentos Macbeth
Uma vez estabelecida a ordenação pretendida, o usuário pressiona o botão
“validar a ordenação” no menu de contexto.
O usuário insere os julgamentos na matriz pressionando a célula que compa-
ra as duas opções pretendidas, ou níveis de performance, com a opção ou nível de
performance mais atrativo na linha da célula e a opção ou nível de performance
menos atrativo na coluna da célula correspondente. Para limpar uma célula que se
pretende introduzir um julgamento, basta pressionar com o botão direito do mouse
sobre a barra de julgamentos.
Resolução de inconsistências
À medida que cada julgamento é introduzido na matriz de julgamentos, o
software verifica automaticamente a sua compatibilidade com os julgamentos pre-
viamente introduzidos na matriz. Em caso de inconsistências, o Macbeth auxilia o
usuário a resolver as inconsistências detectadas.
Quando se introduz na matriz um julgamento incompatível, abre-se automa-
ticamente uma janela de confirmação. O software informa o número de possibili-
128
dades encontradas para tornar a matriz consistente com o menor número de mu-
danças na categoria.
Quantificação da atratividade num critério
O próprio software cria uma escala Macbeth de pontuação a partir dos jul-
gamentos introduzidos na matriz. Por definição, o software apresenta uma escala
de pontuação ancorada nos dois níveis de referência previamente definidos nas
propriedades do critério e atribui as pontuações 0 e 100 às referências inferior e
superior, respectivamente. Se os níveis de referência não tiverem sido definidos
antes, o software atribui automaticamente as pontuações 0 e 100 aos extremos da
escala. Se a pontuação pretendida se encontra fora do intervalo, o usuário pode
considerar a hipótese de rever alguns julgamentos efetuados. Tal escala é gerada
tanto para a atratividade por comparação de níveis qualitativos quanto quantitati-
vos de performance.
Referências de ponderação
As ponderações dos critérios requerem que sejam definidas em cada critério
duas referências de ponderação (uma superior e uma inferior).
Ordenação dos pesos dos critérios
A ordenação dos pesos dos critérios é determinada pela ordenação das refe-
rências globais em termos da sua atratividade global.
O usuário define cada uma das referências globais pressionando e arrastando
as mesmas para a sua posição pretendida, até que as mesmas se encontrem orde-
nadas por ordem decrescente de atratividade (global) de cima para baixo na colu-
na. Para o exemplo de José a ordenação é: Cor, Design, Velocidade. tudo inf.
A referência global tudo inf sempre deve estar na base da ordenação, por-
que tudo inf é dominado por qualquer das outras referências globais (por defini-
ção, cada uma destas é mais atrativa que tudo inf no critério respectivo e igual-
mente atrativa em cada um dos restantes critérios).
Uma vez introduzida a ordenação pretendida, o software valida os dados. A
avaliação de diferenças de atratividade global ocorre para itens qualitativos e
quantitativos.
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Quantificação dos pesos dos critérios
Para que ocorra a construção de uma escala de ponderação a partir da matriz
e julgamentos de ponderação, o usuário seleciona a opção ponderação de julga-
mentos no software. Na figura 30, está a ponderação dos pesos para os critérios da
escolha da impressora:
Figura 30 - Pesos dos critérios
Pontuações globais
Após construído o modelo Macbeth no software, é possível analisar os re-
sultados finais numa tabela de pontuações para as alternativas do problema pro-
posto.
Quando o usuário pressiona o botão tabela de pontuações, tem-se a tabela
apresentada na figura 31 para o exemplo da escolha da impressora:
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Figura 31 - Pontuações Globais
As pontuações globais podem ser visualizadas graficamente num “termôme-
tro global”, apresentado na figura 32 como intitula o software.
Figura 32 - Termômetro Global
131
Apêndice B
Exemplo de cálculo de melhoria de consistências na metodologia
AHP – Matriz de derivadas parciais
Suponhamos que na intenção da compra de um carro, estabelece-se n=3 cri-
térios e, com isso, obtém-se a seguinte matriz de comparações apresentada na ta-
bela 43:
Matriz critérios compra carro
Estilo Confi-abilidade
Economia de combustível
Estilo 1,00 0,50 3,00
Confiabilidade 2,00 1,00 4,00
Economia de combus-tível
0,33 0,25 1,00
Tabela 43 - Matriz de comparação dos critérios
De acordo com a equação apresentada abaixo, temos:
∂ λmáx = νiwj – a2ji νjwi
∂ aij
Onde i,j = 1,...n.
Obtemos o vetor da matriz transposta de A (At ), v para calcular os elemen-
tos da matriz de derivadas parciais.
A matriz At é apresentada na figura 33 :
Matriz A transposta (At) 1,00 2,00 0,33 0,50 1,00 0,25 3,00 4,00 1,00 Figura 33 - Matriz transposta
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Vetor normalizado da matriz At
0,24 0,14 0,63
Figura 34 - Vetor normalizado
Utilizando a equação das derivadas parciais para os elementos com i < j da
matriz inicial A, obtemos uma matriz triangular superior apresentada na figura 35.
Matriz de derivadas par-ciais -0,14 0,01 -0,05 Figura 35 - Matriz de derivadas parciais
Onde seus elementos são obtidos conforme abaixo:
A12 = v1w2 - (a21)2v2w1 = -0,14
A13= v1w3 - (a31)2v3w1 = 0,01
A23 =v2w3 - (a32)2v3w2 = -0,05
Com isso, encontramos a posição do elemento na matriz original que muda-
do traria a maior variação no λmáx. O maior valor absoluto encontrado na matriz
de derivadas parciais é o que sinaliza a posição do elemento na matriz original a
ser modificado. No exemplo dado, o elemento corresponde à comparação entre
estilo do carro e economia de combustível.
O cálculo do RC para a matriz original foi de 1,17, ultrapassando o limite de
Saaty de 0,10.
Com isso, deveria haver um consenso a respeito de novos valores em torno
da comparação estilo e economia de combustível para a melhoria de consistência
da matriz de julgamentos inicial.
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Apêndice C
Mostra de simplificação do cálculo do autovetor w no método AHP
Soluções aproximadas
Winston (1994) e Saaty (1990) propuseram uma aproximação do cálculo do
vetor w de prioridades.
Tal aproximação torna o processo de comparação de critérios e alternativas
menos exaustivo para o tomador de decisão. É comum verificar na literatura que
muitos criticam o longo processo que se desenvolve quando existem muitos ele-
mentos a serem comparados.
Os métodos de sintetização simplificada de Winston e Saaty facilitam os
cálculos apenas, uma vez que todas as comparações entre as alternativas permane-
cem necessárias.
Exemplo de solução aproximada
Tomemos uma matriz apresentada na figura 36 que contempla os julga-
mentos de um decisor sobre as alternativas A1, A2 e A3. Procura-se saber qual a
ordem de prioridade das três alternativas em relação ao critério C1.
C1 A1 A2 A3 A1 1,0 0,3 0,2 A2 3,0 1,0 0,3 A3 5,0 3,0 1,0 Figura 36 - Matriz de julgamentos
Solução de Winston para a matriz deste exemplo
Primeiro passo: Fazer o somatório das colunas apresentado na figura 37.
C1 A1 A2 A3 A1 1,0 0,3 0,2 A2 3,0 1,0 0,3 A3 5,0 3,0 1,0 Soma 9,0 4,3 1,5 Figura 37 - Somatório colunas
Segundo passo: Normalizar a matriz, dividindo cada elemento pelo valor da soma
da respectiva coluna. Tal passo é apresentado na figura 38.
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C1 A1 A2 A3 A1 0,11 0,08 0,13 A2 0,33 0,23 0,22 A3 0,56 0,69 0,65 Figura 38 - Normalização da matriz
Terceiro passo: Tomar a média de cada linha da matriz.
Pr1 = (0,11 + 0,008 + 0,13) / 3 = 0,11
Pr2 = (0,33+ 0,23+ 0,22 )/3 = 0,26
Pr3 = (0,56 + 0,69 + 0,65 ) /3 = 0,63
As três prioridades formam o vetor de prioridades w:
Figura 39 - Autovetor w
Com isso, a alternativa A3 ficaria em primeiro lugar, seguida da alternativa
A2 e depois a A1. Essas seriam prioridades relativas, pois são as prioridades das
alternativas em relação a um dos critérios. Após este cálculo, seria necessário ado-
tar o mesmo procedimento para os demais critérios, e ainda comparar os critérios
entre si em relação ao objetivo geral. As prioridades dos critérios servem de peso
para as prioridades relativas e assim é possível chegar às prioridades finais.
Solução de Saaty para a matriz deste exemplo
Primeiro passo: Fazer o somatório das linhas, apresentado na figura 40.
Total linha
C1 A1 A2 A3 A1 1,0 0,3 0,2 1,5 A2 3,0 1,0 0,3 4,3 A3 5,0 3,0 1,0 9,0 Figura 40 - Somatório das linhas
0,11
0,26
0,63
135
Segundo passo : Fazer o somatório total.
Somatório Total = 1,53 + 4,3 + 9,0 = 14,86
Terceiro passo : Dividir a soma de cada linha pela soma total.
Pr1 = 1,53 /14,86 = 0,10
Pr2 = 4,3 / 14,86 = 0,29
Pr3 = 9,0 / 14,86 = 0,61
O resultado é o vetor de prioridades w:
Figura 41 – Autovetor
Comparando com o resultado de Winston, verificamos que os valores finais
são bem próximos.
Apêndice D
Histórico Empresa estudada
Após a privatização do sistema de telecomunicações no Brasil, em 1998,
nasceu, em janeiro de 1999, o projeto oficial de empresa de telecomunicações
chamado Bonari. O direito à licença para operar como empresa espelho da Embra-
tel foi adquirido por R$ 55 milhões. Com o suporte de uma campanha publicitária
que convidava o público a escolher o nome da nova empresa, criou-se a Intelig
Telecom.
A Intelig Telecom foi formada a partir de um consórcio entre três empresas:
• National Grid (NGC):
Com 50% das ações, a NGC é uma das cinqüenta maiores empresas do
Reino Unido e a maior empresa privada de transmissão de energia elétrica
com operações no Reino Unido, Estados Unidos, Argentina, Zâmbia e
0,10
0,29
0,61
136
Austrália. Desde 1993, atua em telecomunicações através da propriedade
da empresa Energis, provedora britânica de serviços de telefonia fixa e ce-
lular.
(http://www.nationalgrid.com/uk)
• France Telecom:
Com 25% das ações, é uma das maiores operadoras de telecomunicações
do mundo, operando em mais de 50 países em todos os continentes. Com
forte presença na América Latina desde 1989, a France Telecom possui
operações no México, Argentina, El Salvador e agora no Brasil. Atua nos
segmentos residencial e corporativo com um portfólio de serviços que a-
brange soluções de internet, TV a cabo, processamento de dados, além de
ligações interurbanas, locais e internacionais.
(http://www.francetelecom)
• Sprint:
Os restantes 25% das ações estão nas mãos desta empresa de origem norte-
americana de telecomunicações, que atua na vanguarda da integração de
sistemas de comunicação de longa distância, local e sem fio, além de ser
uma das maiores operadoras de internet. A Sprint construiu e opera a única
rede de fibra óptica totalmente digital dos Estados Unidos e atende a mais
de 17 milhões de clientes residenciais e corporativos.
(http://www.sprint.com)
Trazendo competição para o mercado brasileiro de telefonia, os maiores de-
safios para o início de suas operações foram negociar conexões com as principais
operadoras nacionais e internacionais, possuir pontos de presença (POP’s) nas
trinta e sete maiores cidades do país (incluindo capitais) e a abertura do código 23
em 13 mil centrais telefônicas, locais e interurbanas. Tudo isso para que no dia 23
de janeiro de 2000, a população brasileira pudesse fazer ligações de qualquer lu-
gar do mundo, usando o 23.
Marcando a entrada no mercado, a Intelig Telecom promoveu uma série de
eventos para mostrar que veio para ficar: coletiva de imprensa, campanha publici-
tária em todos os veículos importantes do país e uma grande festa para todos os
137
funcionários com a presença de algumas das personalidades. Além disso, anunci-
ou um "jeito novo" que se traduzia principalmente em três palavras: qualidade,
simplicidade e preço.
Entre as conquistas durante os anos de 1999 e 2000 destacam-se a realiza-
ção de 45 mil horas de testes na rede, construção de rede com capacidade para 70
mil ligações simultâneas, oito estações de comunicação via satélite, backbones
ATM e IP com abrangência nacional, compra de doze edifícios, entre eles nossa
sede que ostenta a logomarca em frente à Baía de Guanabara, grande capacidade
em cabos submarinos para Estados Unidos e Europa (Américas dois, 360 Améri-
cas e Atlantis dois), dois centros nacionais de operação de rede, construção e fun-
cionamento de oito centrais telefônicas, dois data centers, centrais telefônicas es-
pecializadas no atendimento a clientes residenciais e corporativos, instalação de
mais de 8.500 km de fibra óptica em todo o Brasil e a contratação direta de mais
de 600 pessoas, além da criação de aproximadamente 10 mil empregos indiretos.
A operação começou oferecendo serviços de voz para ligações de longa dis-
tância nacionais e internacionais. Ao longo do ano 2000, foram lançados outros
produtos de voz e dados para atender à demanda do público em geral, mas princi-
palmente, ao mercado corporativo. Com apenas um ano de operações, a empresa
atingiu a marca expressiva de 16 milhões de usuários. Entre alguns dos benefícios
percebidos no mercado, estava a redução dos preços das ligações internacionais e
interurbanas, que já caíram até 60% e 31%, respectivamente. Até o final de 2001,
foram investidos R$ 2,8 bilhões, instalados 15 mil quilômetros de fibra óptica,
oito centrais telefônicas e mais 600 funcionários em todo Brasil.
Situação atual da Empresa estudada
• Possui nove anos no mercado;
• Vendida para o grupo Docas recentemente;
• Aproximadamente 600 funcionários;
• Rede técnica nova e eficiente.
138
Apêndice E
Avaliação da Indústria Telecomunicações
Nos últimos anos, notamos um enorme dinamismo no setor de Telecomuni-
cações no mundo para o qual contribuiu o crescente desenvolvimento tecnológico,
especialmente o da Telefonia e de comunicação. Todos os elementos participantes
acompanharam esta incrível mutabilidade do setor, quer sejam os produtos, os
serviços e até mesmo a demanda.
Com isso, uma feroz competição estabeleceu-se no setor e os players que
apresentarem serviços de melhor qualidade e com maiores possibilidades de cus-
tomização ocuparão posição mais destacada no cenário global.
Observamos crescimentos significativos na base de clientes e na evolução
de receitas de serviços mais recentes lançados no mercado. Em contraposição,
houve uma tendência menor de crescimento relativo na telefonia fixa, por ser um
segmento mais amadurecido e com menor possibilidade de novidades no mercado
mundial.
Para sustentar um cenário tão competitivo e em constante evolução tecnoló-
gica, é marcante o crescimento no volume de recursos anualmente investido.
No mercado global, verifica-se que o fator preço era inicialmente preponde-
rante para uma escolha, mas logo adiante a diferenciação/customização de servi-
ços é que se tornou um item chave para as operadoras ao redor do mundo. Servi-
ços de valor agregado, novas composições de planos e um maior entendimento do
consumidor e de suas necessidades tornam-se primordiais no cenário de Teleco-
municações.
O surgimento de novos produtos e serviços é decisivo para garantir a per-
manência no setor, e um processo é bastante nítido ao redor do mundo: conver-
gência. Internet, voz, dados e multimídia já são uma realidade, mas que ainda pre-
cisam trilhar muitas etapas de evolução.
Essa tendência de convergência de serviços tende a mudar o padrão de ne-
gócios no mundo, uma vez que a operadora se transforma numa provedora de uma
grande variedade de serviços.
Diante deste fato observa-se a incorporação de empresas de internet e con-
teúdo pelas operadoras no mercado global.
139
Da mesma forma que o padrão dos negócios apresenta novas vertentes, os
sistemas de apoio das operadoras precisam também de características de flexibili-
dade e escalabilidade para suportar este novo cenário. Tais itens são essenciais
num momento em que a oferta crescente de novos serviços deve possuir por trás
de si sistemas eficientes e que permitam entregas customizadas.
Da mesma forma, toda a cadeia de suporte das operadoras (fornecedores)
deve possuir as características flexíveis e ágeis de entrega, acompanhando a velo-
cidade e a necessidade do setor.
Outro fator interessante a se notar é que a conquista de novos clientes num
cenário tão competitivo acarreta em oferta de subsídios (descontos, promoções,
etc.) e, com isso, há uma redução de lucros na operação. As operadoras, então,
adotam uma estratégia forte de fidelização de sua base de clientes e os sistemas de
atendimento e a qualidade dos processos nos call centers tornam-se primordiais.
No cenário global observa-se uma estratégia de one stop shopping, na qual
uma operadora oferece uma enorme gama de serviços. Tal fato torna a operadora
mais atraente aos olhos do consumidor e facilita seu trabalho de fidelização de
seus clientes.
Apêndice F
Comparações entre a ferramenta AHP e a Macbeth
Apesar de algumas semelhanças entre os métodos AHP e Macbeth, os mes-
mos se diferem, como pode ser apresentado na tabela 29. De uma forma abrangen-
te, as principais diferenças entre os dois métodos recaem nas escalas utilizadas
para a composição dos julgamentos e nas validações dos mesmos e são apresenta-
das na tabela 44. É preciso que exista coerência semântica e consistência dos jul-
gamentos no AHP. A consistência na transformação da escala semântica em esca-
la cardinal é necessária no Macbeth.
140
Metodologia AHP Metodologia Macbeth
Há uma escala semântica e as preferências são
associadas a uma escala fixa
Existe também uma escala semântica , porém
as preferências são transformadas numa escala
cardinal através de uma programação linear
Não há ancoragem de escala Há ancoragem de escala com limites superiores
e inferiores
Os julgamentos medem os graus de importân-
cia entre os elementos
Os julgamentos medem os graus de atratividade
entre os elementos
A metodologia AHP verifica a consistência entre
os julgamentos
Verifica a consistência da escala de transforma-
ção cardinal
Tabela 44 - Comparações entre os dois métodos da Escola Americana - AHP e Macbeth
A formação das matrizes em ambos os métodos também possui diferenças
em sua organização. No Macbeth, a diferença de atratividade entre as compara-
ções deve aumentar da esquerda para a direita e de baixo para cima, em função de
uma ordenação antes dos julgamentos. Com isso, há a formação de uma matriz
superior.
Na metodologia AHP, devido à intensidade de preferência ter que satisfazer
uma condição de reciprocidade, há a geração de uma matriz com elementos 1
em toda a sua diagonal principal.
Ambos os métodos possuem também como limitação a quantidade de com-
parações que deve ser feita para que as preferências possam ser estabelecidas. Um
problema com um número razoável de alternativas e critérios demandam um nú-
mero grande de comparações. Os dois métodos contribuem de forma bastante si-
gnificativa em torno da formação de uma estrutura lógica e de hierarquização de
determinado problema.
Apêndice G
Autovalores e autovetores
Os conceitos de autovalor e autovetor são definidos para matrizes quadra-
das. Eles estão ligados a outro conceito de álgebra linear, o de transformação line-
ar que, em essência, corresponde a uma interpretação particular da conhecida e-
quação Ax=b. Dada a matriz Amxn e um vetor x de dimensão n, podemos interpre-
tar o produto Ax como uma transformação de um vetor Rn em um vetor do Rm.
141
Além disso, essa transformação pode ser aplicada a qualquer elemento do Rn; por-
tanto, consideramos que todo o espaço n-dimensional fica transformado no espaço
m-dimensional pela matriz A.
A transformação Ax= λ x
Definição: Seja T: V →V um operador linear. Um vetor v ∈V ,v ≠ 0v, é di-
to autovetor , vetor próprio ou vetor característico do operador T, se existir λ ∈
R tal que T (v) = λ .v.
O escalar λ é denominado autovalor, valor próprio ou valor característico do
operador linear T associado ao autovetor v.
No caso dos autovalores e dos autovetores, estamos interessados em trans-
formações lineares, definidas para x ≠ 0, com duas características especiais: a) o
espaço vetorial é transformado nele próprio, ou seja, as matrizes são quadradas; b)
os elementos do Rn são transformados em múltiplos de si mesmos, ou seja, essas
transformações podem ser representadas por Ax= λ x (para um determinado esca-
lar λ .)
Ex: Transformação linear no R3
A =
500
050
005
Figura 42 – Matriz A
Dada a matriz anterior, qualquer vetor x com três componentes fica trans-
formado no vetor 5x, isto é, em um vetor com a mesma direção e sentido do vetor
original e com comprimento cinco vezes maior. Esta transformação linear pode
ser representada por Ax= λ x, com λ =5.
Denomina-se λ , autovalor (ou raiz característica) de A e x, autovetor (ou
vetor característico) de A. A matriz desse exemplo constitui um caso especial,
uma vez que A é uma matriz escalar (igual a 5I) e, portanto, a determinação do
autovalor torna-se trivial. Além disso, qualquer vetor do espaço tridimensional é
um autovetor da matriz, o que não ocorre em geral. Por outro lado, duas caracte-
rísticas observadas no exemplo se verificam em qualquer situação: uma matriz
possui número finito de autovalores e um conjunto infinito de autovetores.
142
Determinação de autovalores e autovetores
Dada a matriz
A =
−
000
020
002
Figura 43 – Matriz A
Neste caso, três subespaços do R3 correspondem à transformação Ax= λ x:
qualquer vetor x=[x1 0 0]´ fica transformado por A em 2x, qualquer vetor x=[ 0 x2
0]´ é transformado em -2x, e qualquer vetor x= [ 0 0 x3]´ é transformado em 0x.
Dizemos que A possui três autovalores (2, -2, 0), e que o conjunto de autovetores
referentes a λ =2 é o eixo determinado por e1; os autovetores associados a λ =-2
estão no eixo determinado por e2, e os autovetores referentes a λ =0 estão no eixo
correspondente a e3.
Em geral, dada uma matriz quadrada An, devemos resolver o sistema
Ax= λ x para encontrar seus autovalores e autovetores. Esse sistema possui n+1
incógnitas, ou seja, os componentes de x e o escalar λ . Porém, este sistema não é
linear, já que as incógnitas aparecem multiplicadas. As equações, no entanto, po-
dem ser rearranjadas. Subtraindo-se os dois lados da equação matricial por λ x e
isolando o vetor x, temos (A- λ x)=0. Com o conjunto de equações assim colocado
verificamos que, caso tivéssemos um valor para λ , este seria um sistema linear e
homogêneo convencional. Em outras palavras, se pudéssemos determinar de al-
guma maneira um escalar λ , teríamos um sistema que poderia ser resolvido e
analisado.
Um sistema homogêneo corresponde à determinação do subespaço nulo de
uma matriz – neste caso, da matriz (A- λ I). Normalmente, estamos interessados
em encontrar soluções diferentes da solução trivial - isto é, a solução x=0- e, para
isso, é necessário que as colunas da matriz sejam linearmente dependentes.
Uma condição necessária para que as colunas de uma matriz quadrada sejam
linearmente dependentes é que o determinante desta matriz seja zero. Aplicando
esta condição à matriz (A- λ I), encontramos o que buscávamos, ou seja, uma e-
143
quação característica de A. Portanto, o método geral para achar os autovalores e
autovetores de uma matriz consiste das seguintes etapas: a) utilização da equação
det (A- λ I)=0 para achar os autovalores de A; b) para cada autovalor encontrado
na etapa anterior, substituir no sistema (A- λ I)x=0 e determinar o subespaço nulo
da matriz (A- λ I); os vetores nesse subespaço são os autovetores de A.
Propriedades dos autovalores e autovetores
Propriedade 1: A soma dos autovalores é igual ao traço da matriz, ou seja,
à soma dos elementos na diagonal.
Propriedade 2: O produto de autovalores é igual ao determinante da matriz.
Propriedade 3: Se uma matriz é triangular (superior ou inferior), os autova-
lores são os elementos da diagonal.
Propriedade 4: Se A possui autovalor λ e autovetor x, An possui autovalor
λn e o mesmo autovetor x.
Propriedade 5: Os autovalores da inversa de A são os inversos dos autova-
lores de A, e os autovetores são os mesmos.
Propriedade 6: Se uma matriz An possui autovalores distintos entre si λ 1,
λ 2,... λ k, com respectivos autovetores x1,x2,...xk, então esses autovetores são li-
nearmente independentes.
Propriedade 7: Se A é uma matriz simétrica com elementos reais, então
seus autovalores são reais e seus autovetores são ortogonais (ou podem ser orto-
gonalizados).