Relaciones binarias
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MATEMATICA DISCRETA
UNIDAD Nº 3
1º parte
RELACIONES Y DIGRAFOSTEORIA
Bibliografía: Estructuras de Matemáticas Discretas para Computación.
Kolman y Busby. Cap IV y VII
1
RELACIONES BINARIAS
Una estructura de datos, tal como un arreglo, lista o árbol esgeneralmente usada para representar simultáneamente a unconjunto de datos y a una relación que se cumple entre losmiembros del conjunto. El caso particular de relaciones binariasmerece ser tratado aparte, por la riqueza de conceptos yresultados a que da lugar y el tipo de técnicas que puedenutilizarse.
Es por ello que en esta unidad estudiaremos formalmente a las
RELACIONES BINARIAS, conjunto de parejas de objetos que
comparten algunas características o propiedades en común. Las
mismas son de fundamental importancia en computación.
Para poder introducir el concepto de relación binaria necesitamosprecisar lo que significa una pareja ordenada de objetos y definirel producto cartesiano de dos conjuntos.
2
PAR ORDENADO
Un par ordenado (a, b) es una lista de dos objetos a y b en un orden preestablecido, donde a se dice primera componente y bsegunda componente.
Un par ordenado es una secuencia de longitud 2.
Se denota entre paréntesis y separadas las componentes por una coma: (a,b)
Por definición, (a,b) (b,a)
Igualdad entre pares ordenados
Definición: (a1, b1) = (a2, b2) si y solo si a1 = a2 y b1= b2
CONJUNTO PRODUCTO CARTESIANO
Definición: Si A y B son conjuntos no vacíos, se define el conjunto producto cartesiano A x B del siguiente modo
A x B = { (a, b) / a A y b B }3
Ejercicio para el aula: Sean A = {1, 2} y B = {a, b, c}
Calcule A x B y B x A . ¿Es conmutativo el producto cartesiano?
Para dos conjuntos finitos no vacíos A y B se cumple que |A x B|= |A|. |B|
El cardinal del producto es igual al producto de los cardinales
TEOREMA
A B a b c
1 (1,a) (1,b) (1,c)
2 (2,a) (2,b) (2,c)
B A 1 2
a (a,1) (a,2)
b (b,1) (b,2)
c (c,1) (c,2)
Observe que los elementos de AxB y BxA pueden ser dispuestos en forma tabular del siguiente modo
4
Ejercicio para el aula
Una compañía de investigación de mercadosclasifica a una persona de acuerdo con los siguientescriterios:Género: masculino (m); femenino (f)Máximo nivel de educación terminado:escuela primaria (p); secundaria (s); universidad (u); posgrado (g).
Sean S ={m,f} y L={p,s,u,g}Forme SxL y diga que representa
5
GENERALIZACIÓN: PRODUCTO
CARTESIANO DE N CONJUNTOS
Sean A1 , A2 , ….. , An conjuntos , se define
A1xA2x…xAn={ (a1, a2, … ,an) / ai Ai , i = 1, 2,… , n}
Si cada conjunto Ai es finito se tiene que
|A1xA2x…xAn| = | A1 | . |A2| . ….|An|
6
PARTICIÓN DE A O CONJUNTO COCIENTE
DE AUna partición o conjunto cociente de un conjunto no vacío A es una colección P={A1 , A2 …, AK } de subconjuntos no vacíos de A tales que:
a) Cada elemento de A pertenece a uno de los conjuntos en P
b) Si Ai y Aj son elementos distintos de P, entonces Ai ∩ Aj= Ø
A1
A2
A3 A4
A5 A6
A
7
Ejercicio para el aula:a) Sea A = {a, b, c, d, e, f, g, h}. ¿Cuáles de los siguientessubconjuntos forman una partición de A?A1 = {a, b, c, d} A2 = {a, c, f, g, h}A3 = {a, c, e, g} A4 = {b, d} A5 = {f, h}
b) Dados los siguientes conjuntos, encuentre por lo menosuna partición para cada uno:
i)ii) A={x N / x es múltiplo de 3}iii) A={ x / x es una letra de la palabra paralelepípedo}iv) A={ (a,b) / a, b {1,2,3} } v) A={ (a,b) / a,b N}
8
RELACIÓN
Definición:
Sean A y B conjuntos no vacios. Una relación R de A en B
es cualquier subconjunto del producto cartesiano AxB.
Simbólicamente : Cualquier conjunto R tal que R ⊆ AxB se
dice Relación de A en B
Caso particular:
Si A = B se dice que R está definida en A y se expresa
R⊆ A x A
Notación :
Cuando a está relacionada con b por medio de R
escribiremos (a,b) R o aRb9
a) Sean A={Pablo,Juan,Carlos} y B={Fiat,Peugeot,Chevrolet,Renault}
y sea R definida del siguiente modo
aRb⇔ “a prefiere la marca b”
Entonces la enumeración de los elementos de R podría ser:
R={(Pablo,Chevrolet),(Juan,Fiat),(Juan,Renault),(Carlos,Peugeot)}
b) Sea R definida en N por medio de la condición
a Rb ⇔ a = b2
Entonces R = { (1,1),(4,2),(9,3),(16,4),…} es un conjunto infinito, por lo tanto conviene definirlo por comprensión o propiedad
Se tendrá R = { (a,b) NxN / a = b2 }
EJEMPLOS
10
c) Sea R definida en Z+ por medio de aRb⇔ a|b
Si bien R puede expresarse por extensión, lo más conveniente es expresarla por comprensión:
R ={(a,b) / a|b con a,b Z+} = {(a,b) / b = ak con a,b,k Z+ }
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7
b
a
R
11
Conjuntos que surgen de las relaciones:
Sea R de A en B, se definen:
Dominio de R : Conjunto de elementos de A que están relacionados con algún elemento de B mediante la relación R
Rango de R: Conjunto de elementos de B que están relacionados con algún elemento de A por medio de R
Si x A , se define el Conjunto relativo en R de x como el conjunto de todos los elementos de B relacionados con x . Simbólicamente se expresa R(x)={y B / xRy}
En el Ejemplo c)Dom R = Z+
Rango R = Z+
R(1) = { 1,2,3,4,5,…} = Z+ , R(2) = { 2,4,6,8,…} , R(3) = {3,6,9,12,15,…}etc
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MATRIZ DE UNA RELACIÓNSi A= {a1,a2,…,am} y B={b1,b2,…,bn} son conjuntos finitos
que contienen m y n elementos, respectivamente, y si R
es una relación de A en B, se representa R por la matriz
MR definida como
MR se dice matriz de R y es una matriz booleana de
orden mxn. A menudo MR proporciona una manera fácil
de verificar si tiene una propiedad dada.
R b , a si 0
R b , a si 1 m /)(mM
ji
ji
ijijR
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Ejercicio para el aulaSea A = { Ana , Carlos , Javier , Victor} yB = { M , F} y sea R la relación que vincula a cadapersona con su sexo. EntoncesR= { (Ana,F),(Carlos,M),(Javier,M),(Victor,M)} FM
01
01
01
10
V
J
C
A
M R
La matriz que representa a R es
Teorema: Toda relación definida en conjuntos finitos tiene representación matricial booleana y recíprocamente toda matriz booleana representa una relación.
Ejercicio para el aulaDeducir la relación definida en A representada por la siguiente matriz booleana
11000
11100
01111
00110
00101
MR 14
GRAFO DIRIGIDO O DIGRAFO DE RSi A es un conjunto finito y R una relación definida en A, se puede representar a R de modo gráfico siguiendo las instrucciones que se dan a continuación:
Se representa con un círculo o simplemente con un punto a cada elemento de A.
Se dibuja una flecha del vértice ai al vértice aj si y solo si (ai,aj)∈R
Esta representación gráfica se llama Grafo Dirigido o Digrafo de R. Los círculos se dicen nodos o vértices y las flechas se dicen aristas o arcos del Digrafo
Al conjunto de vértices o nodos se le representa con V y al conjunto de aristas con la letra E. Se denota digrafo G=(V,E)
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Ejercicio para el aulaSea A = { 1 ,2,3,4,5,6} y sea R en A definida por
aRb a|bConfeccionar el Digrafo y la matriz de R.
Observe que:•Debido a que cada número es divisor de si mismo , en el grafo cadaelemento de A tendrá un lazo (flecha que sale de un vértice e ingresa almismo) . Esta particularidad se verá reflejada en la diagonal de la matriz.•Como 1 es divisor de todos los números, del vértice etiquetado con 1saldrán flechas hacia todos los elementos de A. Esto se observará en la 1ºfila de la matriz•4 , 5 y 6 sólo son divisores de si mismo por lo que de ellos saldrá una únicaarista, un lazo. Y en la matriz se observará en las filas correspondientes lapresencia del único 1 que representa al lazo correspondiente
16
El grafo y la matriz correspondientes son
6
5
4
3
2
1
100000
010000
001000
100100
101010
111111
RMDom R= ……..
Rango R = …….
R(1)= …………
R(3)=………..
R(6)=………..
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Ejercicio para el aula Para las siguientes relaciones confeccioneel digrafo de R y encuentre su matriz
a) A = { 1 ,2,3,4,5,6} y sea R en A definida por aRb a+b es par
b) A = { a,b,c,d} y R = {(a,a),(a,b),(b,c),(c,d),(b,b),(c,c),(d,d),(a,c),(a,b) ,(b,d)}
18
6
5
4
3
2
1
111000
111000
111000
000111
000111
000111
6
4
2
5
3
1
RM
642531Respuesta de a)
Observe que se han formado dos grupos de elementos, por un lado los numeros pares relacionados todos entre si y por otro lado los impares todos entre si. Ninguna arista va de un par a un impar ni a la inversa.Se ha producido una partición P del conjunto AP = { {1,3,5},{2,4,6}}
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Otros conceptos importantes:
Si R es una relación en A y si a∈A entonces el grado
interno de a es el número de nodos b∈A tal que
(b,a)∈R
Mientras que el grado externo de a es el número de
nodos b∈A tal que (a,b)∈R
Esto significa , en términos del digrafo de R, que el
grado interno de un vértice es el número de arcos que
terminan en el vértice y el grado externo es el número de
arcos que salen del vértice.
Ejercicio para el aula
Sea A={a,b,c,d} y sea R la relación sobre A que
tiene la matriz
Construya el digrafo de R y haga una lista de los
grados internos y externos de todos los vértices20
TRAYECTORIAS EN RELACIONES Y DIGRAFOS
Sea R en A. Una trayectoria de longitud n de a a b es una sucesión finita que comienza con a y termina en b tal que
Si están involucrados n+1 elementos de A, no necesariamente distintos, se dice que es una trayectoria de longitud n.
Una trayectoria se concibe visualmente con más facilidad con ayuda del digrafo de la relación. Aparece como una trayectoria geométrica o sucesión de arcos, y de hecho el nombre de trayectoria es debido a esta representación.
En consecuencia, la longitud de una trayectoria es el número de arcos que hay en la misma, en donde los vértices no necesitan ser todos distintos
b,,...xx,xa,:π 1n21
Rbx ..., ,Rxx , Rxx , aRx 1n32211
21
6
5
4
3
2
1
Ejemplo
En el digrafo
1 : 1,3 es una trayectoria de 1 a 3 de longitud 1
2: 1,1,2,4,4,4 es una trayectoria de 1 a 4 de longitud 5
3 :2,4,4 es una trayectoria de 2 a 4 y de longitud 2 22
Las trayectorias pueden usarse para definir otras
relaciones vinculadas a una R dada.
Definición de Rn
Si n N , se define una relación Rn en A como sigue:
a Rn b existe una trayectoria de longitud n de a a b en R
Caso particular
a R2 b existe una trayectoria de longitud 2 de a a b en R
Definición de R
a R b existe una trayectoria de cualquier longitud de a a b en R
R se llama relación de conectividad23
Ejercicio para el aula Sea R la relación dada por el siguiente
grafo
a
b
4
c d e
f
Encuentre los digrafos de R2 , R3 y R24
R2 es la relación tal que vincula a los elementos de
A unidos por una trayectoria de longitud 2 en R
Se observa que aR2c , aR2d, cR2d, fR2d, cR2c, etc
Pero sin embargo aR2b , cR2e
R3 es la relación tal que vincula a los elementos de A
unidos por una trayectoria de longitud 3 en R
Se observa que aR3c , aR3d, cR3d, bR3d, bR3c, etc
Pero sin embargo aR3b , cR3e
25
Los grafos de R2 y R3 son
a
b
4
c d e
f a
b
4
c d e
fR2R3
26
TEOREMA
Para n N y R definida en A se tiene que( n factores)
Donde es el símbolo que representa al producto booleano de matrices
RRRRM....MMM n
27
En el ejemplo se tiene que para R y R2 sus respectivas matrices son
011000
001000
000000
001100
000100
000110
RM
001000
000000
000000
001100
001100
001100
011000
001000
000000
001100
000100
000110
011000
001000
000000
001100
000100
000110
2 RRRMMM
28
a
b
4
c d e
f
a
b
4
c d e
f
Para R3
La matriz de R es igual a la suma booleana de las
matrices que representan a todas
las trayectorias posibles:
......MMMMRRRR 32
29
000000
000000
000000
001100
001100
001100
M 3R
011000
001000
000000
001100
001100
001110
a
b
4
c d e
f011000
001000
000000
001100
000100
000110
001000
000000
000000
001100
001100
001100
MMMM RRR3R
a
b
4
c d e
f
R3
R
Ejercicio para el aula a) Dadas la relación R, encontrar R2, R 3yR ∞ y sus
correspondientes matrices
R a
g
d
ce
bf
30
b) ¿Es posible partir de un vértice y llegar a
cualquier vértice de A = { u,t,s,z,y,x } por medio
de la relación cuyo dígrafo se muestra?
x
u
st
z Y
31