RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIANGULO RETANGULO - 2011-2

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA

CAMPUS FLORIANÓPOLIS DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE FORMAÇÃO GERAL

DISCIPLINA: MATEMÁTICA

PROFESSOR: ANTÔNIO JOÃO

1

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

Triângulo retângulo é todo aquele triângulo que possui um ângulo reto (90º).

O TEOREMA DE PITÁGORAS

Desde a antiguidade, o triângulo retângulo sempre exerceu uma atração especial sobre os homens.

Nas culturas mais antigas, já encontramos mosaicos com vários triângulos retângulos.

O teorema de Pitágoras:

Várias descobertas feitas pelos Babilônios no campo da Astronomia eram baseadas nos triângulos

retângulos. Os egípcios usavam cordas com 12 nós para construir triângulos retângulos particulares

e, assim, obter “cantos” em ângulos retos.

Em todo triângulo retângulo, o

quadrado da medida da hipotenusa é

igual à soma dos quadrados das

medidas dos catetos.






2

EXEMPLOS

1. Determine o valor de 𝑥 em cada caso:

a) b)

c)

Resolução no caderno

2. Sabendo que a diagonal do retângulo da figura coincide com o lado do quadrado. Determine a área

do quadrado.

. .

9

12

𝑥 6

𝑥 − 7

𝑥

𝑥 + 1

.

5

𝑥

5 5

.

15 𝑐𝑚

8 𝑐𝑚






3

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

TRIÂNGULOS SEMELHANTES

1º Caso (critério AAA de semelhança de triângulos) Se os ângulos de um triângulo forem

respectivamente congruentes aos ângulos correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são

semelhantes.

Se acontecer de os ângulos correspondentes serem dois a dois congruentes,

𝐴 ≡ 𝐷 , 𝐵 ≡ 𝐸 𝑒 𝐶 ≡ 𝐹

E os lados homólogos serem proporcionais,

𝐴𝐵

𝐷𝐸=

𝐵𝐶

𝐸𝐹=

𝐶𝐴

𝐹𝐷

Diremos que os triângulos 𝐴𝐵𝐶 𝑒 𝐷𝐸𝐹 são semelhantes:

∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹

EXEMPLO

1. Na figura, 𝐴𝐵 ∥ 𝐷𝐸 e sabe-se que 𝐶 é ponto de 𝐵𝐸 . Determinar os valores de 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑒 𝑡.

Resolução no caderno

A

B

C

𝑥

5 𝑐𝑚 7 𝑐𝑚

𝐴

60°

60°

6

𝐵

𝐶

𝐷

𝐸

𝑧

𝑡






4

2. Calcule 𝑥 e 𝑦 no triângulo 𝐴𝐵𝐶.

3. Determine a medida da altura 𝑥 sabendo que os triângulos são semelhantes.

RELAÇÕES MÉTRICAS

a) Dado um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto A, tracemos a altura relativa à base 𝐵𝐶.

A

B C

h

m n

c b

a

c h

MB

A

A

B C

c b

a

Como o triângulo ∆ABC ~ ∆ABM (Caso AA)

Â ≅ 𝑀 (Ângulos retos)

𝐵 é comum

Logo, 𝑚

𝑐=

𝑐

𝑎⟹

𝑐2 = 𝑎 ∙ 𝑚 (1)

𝑦

8=

𝑦 + 21

20⟹ 2𝑦 + 42 = 5𝑦 ⟹ 𝑦 = 14

14

12=

35

12 + 𝑥⟹ 84 + 7𝑥 = 210 ⟹ 𝑥 = 18

Solução

E

15

6=

𝑥

5⟹

5

2=

𝑥

5⟹ 𝑥 =

25

2

Solução






5

b

h

M

A

A

B C

c b

a C n

b

h

M

A

C n

b)

c) Teorema de Pitágoras:

d)

e) Área

ou

Como o triângulo ∆ABC ~ ∆AMC

(Caso AA)

Â ≅ 𝑀 (Ângulos retos)

𝐶 é comum

Logo, ℎ

𝑐=

𝑏

𝑎=

𝑛

𝑏 ⟹

De (1) e (2) temos: 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎𝑚 + 𝑎𝑛

𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎(𝑚 + 𝑛)

Mas 𝑚 + 𝑛 = 𝑎, portanto ;

∆ABM ~ ∆AMC

Como o triângulo ∆ABM ~ ∆ABC e ∆ABC ~ ∆AMC ⟹

⟹ ∆ABM ~ ∆AMC

Logo, ℎ

𝑛=

𝑚

ℎ⟹

ℎ2 = 𝑚 ∙ 𝑛

𝑆 =𝑎 × ℎ

2 𝑆 =

𝑏 × 𝑐

2

𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑛 (2)

𝑏𝑐 = 𝑎 ∙ ℎ (3)

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2






6

RESUMO RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO No Triângulo Retângulo ABC são válidas as seguintes Relações Métricas (entre as medidas mencionadas acima): RELAÇÃO 01: TEOREMA DE PITÁGORAS – O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. RELAÇÃO 02: O produto entre a hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre os catetos. RELAÇÃO 03: O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a hipotenusa e a projeção ortogonal do cateto sobre a hipotenusa. RELAÇÃO 04: O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre as projeções ortogonais dos catetos. RELAÇÃO 05: A hipotenusa é igual à soma das projeções ortogonais dos catetos.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

𝑎 ∙ ℎ = 𝑏 ∙ 𝑐

𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑛

𝑐2 = 𝑎 ∙ 𝑚

ℎ2 = 𝑚 ∙ 𝑛

𝑎 = 𝑚 + 𝑛






7

A

B C

h=8 cm

m n

c b

a

=4 cm

EXEMPLO:

1- Calcule o valor de 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑛 e 𝑆 no triângulo retângulo abaixo, sabendo-se que ℎ = 8 𝑐𝑚 e

𝑚 = 4 𝑐𝑚:

Resolução:

1º Aplicando o Teorema de Pitágoras no ∆ABM, temos:

𝑐2 = 𝑚2 + ℎ2

𝑐2 = 42 + 82

𝑐2 = 80

𝑐 = 80

Finalmente:

𝑐 = 4 5 cm

𝑏 ∙ 4 5 = 20 ∙ 8

𝑏 =20 ∙ 8

4 5

𝑏 =40

5⟹ 𝑏 = 8 5 𝑐𝑚

3º Sabendo-se que: 𝑏. 𝑐 = 𝑎. ℎ

80 2

= 𝑎 ∙ 4

𝑎. 4 = 80

𝑎 =80

4

𝑎 = 20 𝑐𝑚

2º Como 𝑐2 = 𝑎 ∙ 𝑚

𝑎 = 𝑚 + 𝑛

20 = 4 + 𝑛

𝑛 = 16 𝑐𝑚

𝑆 =𝑎∙ℎ

2 ⟹ 𝑆 =

20 ∙8

2 ⟹ 𝑆 = 80 𝑐𝑚2






8

LISTA 01- RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

1. Determine o valor de 𝑥 nos casos:

2. Determine 𝑥 em função de 𝑎 nos seguintes casos:

3. Determine 𝑥 nos casos:







9

5. A sombra de um prédio mede 18 𝑚 no mesmo instante em que a de uma pessoa de 1,8 𝑚

mede 1 𝑚. Qual é a altura do prédio?

6. Sabendo que 𝐵𝐶 = 15 𝑐𝑚, 𝐶𝐸 = 60 𝑐𝑚, 𝐴𝐵 = 9 𝑐𝑚 e que 𝐴𝐵 //𝐶𝐷 , determine 𝐶𝐷.

7. São semelhantes os triângulos 𝐴𝑀𝑁 e 𝑃𝑀𝑁 da figura ao lado? Justifique sua resposta.

8. Determine 𝑥 𝑒 𝑦.

9. Os lados de um triângulo medem 30 𝑐𝑚, 40 𝑐𝑚 e 60 𝑐𝑚. Ele é semelhante a um outro

triângulo de perímetro 13 𝑚. Ache as medidas dos lados do segundo triângulo e as razões de

semelhança.

B

A

E C

D

C

M

P N

6

8 5

10

.

7

6

𝑦

4 5

𝑥

. .






10

10. Observe a figura seguinte:

11. Na figura, 𝑅𝑆 // 𝑇𝑉. Determine 𝑥 e 𝑦.

12. Determine 𝑥 nos casos

13. Na figura, determine os elementos 𝑥, 𝑦, 𝑧 e 𝑡.

20 𝑥

3

5

𝐵 𝐶

𝐷

𝐸

𝐴

. .

a) Explique por que os triângulos

𝐴𝐵𝐶 𝑒 𝐸𝐷𝐶 são semelhantes.

b) Calcule 𝑥 e a razão de semelhança 𝑘

entre os triângulos ABC e EDC.

c) Calcule a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 e

use o item b) para calcular a área do

triângulo 𝐸𝐷𝐶.

𝑇 𝑉 𝑥2

𝑥

𝑆 𝑅

𝑃

4

8 𝑦

18






11

14. Determine 𝑥 e 𝑦 nos casos:

15. Determine o valor de 𝑥:









12

19. Determine o valor de 𝑥 nos trapézios retângulos:

20. Determine o valor de 𝑥 nos losangos:

14. No hexágono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 da figura, cada lado mede 2 𝑐𝑚.

Quanto mede a diagonal do retângulo 𝐴𝐶𝐷𝐹?

15. Ricardo vai construir um barco e dobrou uma folha de papel conforme a figura. Se a folha tem

18 𝑐𝑚 por 12 𝑐𝑚, qual a medida do segmento 𝐴𝐸 ?






13

16. No triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶 da figura, determine as medidas 𝑚, 𝑛, ℎ e 𝑐 indicadas.

17. (Fatec-SP) Na figura abaixo, o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retângulo e isósceles e o retângulo nele inscrito

tem lados que medem 4 𝑐𝑚 e 2 𝑐𝑚. Determine o perímetro de triângulo 𝑀𝐵𝑁.

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS

1. a) 𝑥 = 5 b) 𝑥 = 12 c) 𝑥 = 7 d) 𝑥 = 3 3 2. a) 𝑥 = 𝑎 3 b) 𝑥 =𝑎

2

3. a) 𝑥 = 12 b) 𝑥 = 24 c) 𝑥 = 20 d) 𝑥 = 8 4. a) 𝑥 = 2 29 b) 𝑥 = 9

5. 32,4 𝑚 6. 6 𝑐𝑚 7. Não; 6

8≠

5

6 𝑒

5

8≠

6

6 8. 𝑥 =

14

3 𝑒 𝑦 =

15

2

9. 3𝑚, 4𝑚 𝑒 6 𝑚;1

10 𝑒 10 10. a) Porque possuem os ângulos com mesma medida, 𝐵 = 𝐷 ,

𝐴𝐶 𝐵 = 𝐸𝐶 𝐷 (opv) e 𝐴 = 𝐸 b) 𝑥 = 12 𝑒 𝑘 =5

3 c) 50; 18 11. 𝑥 = 3 e 𝑦 = 12

12. a) 𝑥 = 6 b) 𝑥 = 3 c) 𝑥 = 8 d) 𝑥 = 9 13. 𝑥 =60

13, 𝑦 =

25

13, 𝑧 =

144

13 e 𝑡 = 13

14. a) 𝑥 = 10, 𝑦 =24

5 b) 𝑥 = 4, 𝑦 = 4 3 15. a) 𝑥 = 3 5 b) 𝑥 = 2 16. a) 𝑥 = 12

b) 𝑥 = 5 3 17. a) 𝑥 = 13 b) 𝑥 = 6 2 18. a) 𝑥 = 4 2 b) 𝑥 = 6 19. a) 𝑥 = 6

b) 𝑥 = 4 c) 𝑥 = 5 d) 𝑥 = 17 20. a) 𝑥 = 161 b) 𝑥 = 10 21. a) 2 3 𝑐𝑚

22. 6 5𝑐𝑚 23. 𝑚 = 4, 𝑛 = 12, ℎ = 4 3 e 𝑐 = 8 3 24. 4 2 + 2

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