Introdução

Uma das invenções mais importantes da história da humanidade foi a roda, por

volta de 3000 a.C.

Figura 1

Talvez essa ideia tenha surgido da observação de formas arredondadas

existentes na natureza, por exemplo, um tronco de árvore que pode rolar quando

empurrado.

A partir dessa ideia, foi possível chegar à roda e seus vários tipos: rodas de

carroças, de carros, de locomotivas, rolamentos, engrenagens, entre outras.

Nesta apostila daremos ênfase à linha que contorna o círculo, ou seja, à

circunferência.

Relações Métricas na Circunferência

Na Figura 1 tem-se uma circunferência de centro O e raio R.

Figura 2

Se considerarmos a circunferência mais a sua parte interna, temos um círculo

(Figura 3).

Relações Trigonométricas na

Circunferência

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Figura 3

Contornando um círculo com um fio e depois o esticando, obtemos o comprimento

C da circunferência. Na figura 4 observa-se essa definição.

Figura 4

Desse modo, tem-se que C é o comprimento da circunferência, D é o diâmetro e

R o raio. Além disso, é uma constante que equivale a aproximadamente 3,14.

Arcos de Circunferência

Os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Cada uma dessas

partes é denominada arco da circunferência.

Figura 5

Quando nos referimos ao arco maior, marcamos mais uma letra nesse arco.

𝐶 = 𝜋𝐷 ou 𝐶 = 2𝜋R

𝜋 = 3,1415926

arco ABO Arco menor é indicado por arco

AB.

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Figura 6___________

Arcos e Ângulos

Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma dessas partes é um

arco de 1º (um grau).

Por isso dizemos que a circunferência toda tem 360º.

Esse raciocínio pode ser interpretado melhor na Figura 7.

Figura 7

Nas figuras abaixo se pode observar que a medida em graus de um arco é igual à

medida em graus do ângulo central correspondente.

Figura 8

arco AXB

Como o ângulo destacado na cor laranja mede

90º, o arco destacado na cor vermelha também

mede 90º.

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Figura 9

A mesma situação ocorre para os casos abaixo:

Figura 10

Figura 11

Figura 12

Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo. Dessa forma, tem-se:

• Um minuto é igual a

do grau.

• Um segundo é igual a

do minuto.

med(AXB)= 270º

med(AB)= 90º

Neste caso o ângulo mede 360º, logo, o arco

destacado na cor vermelha também mede 360º.

med(AB)= 30º

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Usando a simbologia:

° Grau

' Minuto

'' Segundo

Exemplo: Se a medida de um arco é 50 graus, 15 minutos e 27 segundos, indica-

se: 50º 15' 27''.

Comprimento de um arco de circunferência

Observando a imagem abaixo, pode-se afirmar que:

Figura 13

Com isso, conclui-se que o comprimento de um arco é diretamente proporcional a

sua medida em graus.

Retas e Circunferência

Analisando a Figura 14, tem-se:

Figura 14

Em um plano, uma reta e uma circunferência podem ter em comuns dois pontos

distintos, um único ponto ou nenhum ponto. Observe os casos a seguir:

O arco AC mede 120º, e o arco AB mede 60º. O arco AD mede 180º, e o arco AB mede 60º.

C e F são pontos externos à circunferência.

B e O são pontos internos à circunferência.

A, E e G são pontos da circunferência.

AE é uma corda onde os pontos A e E pertencem a mesma circunferência.

AG é o diâmetro, pois, a corda passa pelo centro da circunferência.

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Figura 15

Figura 16

Figura 17

Relação entre as Cordas

Consideremos as cordas e que se interceptam no ponto P. Conforme a

Figura 18.

Figura 18

Observando os triângulos PAD e PCB, tem-se:

Além disso, observa-se também que (são opostos pelo vértice).

𝐴 𝐶 (medem 𝐵𝐷

2: ângulos inscritos no mesmo arco BD)

A reta s e a circunferência têm dois pontos em comum,

A e B distintos. Logo, s é secante à circunferência.

A reta t e a circunferência têm um único ponto E em

comum. Logo, t é tangente à circunferência. O ponto

E é o ponto de tangência.

A reta tangente a uma circunferência é perpendicular

ao raio no ponto de tangência. (Ver aplicativo no

Geogebra)

A reta u e a circunferência não têm nenhum ponto em

comum. Logo, u é externa a circunferência.

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Logo,

Como esses triângulos são semelhantes, podemos escrever:

=

. Fazendo

meio pelos extremos tem-se: =

Em resumo, se duas cordas de uma circunferência se interceptam, então, o

produto das medidas das duas partes de uma delas é igual ao produto das

medidas das duas partes da outra.

Relação entre as Secantes

Consideremos dois segmentos e ; traçados por um ponto P externo à

circunferência, e suas respectivas partes externas e . Conforme a Figura

19.

Figura 19

Observando os triângulos PAD e PCB, tem-se:

A é o ângulo comum aos dois triângulos

(medem

2: ângulos inscritos no mesmo arco )

Logo: . Como esses triângulos são semelhantes, pode-se afirmar

que:

=

Fazendo meio pelos extremos tem-se: = .

Em resumo, se por um ponto externo a uma circunferência traçarmos dois

segmentos secantes, então, o produto da medida de um deles pela medida da

sua parte externa é igual ao produto da medida do outro pela medida da parte

externa deste segmento.

Relação entre Secante e Tangente

Consideremos um segmento secante , sua parte externa e um

segmento tangente a uma circunferência, traçados de um mesmo ponto

externo P.

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Figura 20

Observando os triângulos PTA e PTB, tem-se: ângulo comum).

(medem

2: está inscrito no arco , e é ângulo de

segmento correspondente ao arco ). Logo,

Como esses triângulos são semelhantes, podemos escrever:

=

. Fazendo

meio pelos extremos, tem-se: 2 = , passando o expoente para o

segundo membro em forma de raiz, tem-se: = √ .

Em resumo, se por um ponto externo a uma circunferência traçarmos um

segmento secante e outro tangente a ela, então, a medida do segmento

tangente é média geométrica entre as medidas do segmento secante e da sua

parte externa.

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS

BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, Ayrton. Matemática:

Fazendo a diferença. São Paulo: FTD, 2006.

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