Relação entre quantidades físicas e matemáticas;

1

Relaccedilatildeo entre quantidades fiacutesicas e matemaacuteticas

Prof Henrique A M Faria


Podem ser descritas por graacuteficos foacutermulas

dados ou palavras




dados ou palavras

As mais baacutesicas polinomiais trigonomeacutetricas

exponenciais e logariacutetmicas


bull Uma funccedilatildeo eacute o objeto matemaacutetico utilizado

para descrever relaccedilotildees entre quantidades

variaacuteveis




variaacuteveis

bull Muitas leis e princiacutepios cientiacuteficos descrevem

como uma quantidade depende da outra


ldquo111 Se uma variaacutevel y depende de uma variaacutevel

x de tal modo que cada valor de x determina

exatamente um valor de y entatildeo dizemos que

y eacute uma funccedilatildeo de xrdquo


Fonte Howard Anton 2007

Numericamente com tabelas

Geometricamente com graacuteficos

Algebricamente com foacutermulas

Verbalmente


Numericamente com a tabela


Fonte Bizzeli e Barroso 2009


Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009




No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a

ideia de denotar funccedilotildees por letras


Fonte Howard Anton 10 ed 2014



Um programa de computador por exemplo toma

uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y






uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y



ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma

uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for

denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo



Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra

119910 = 119891(119909)

A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel

independente enquanto 119962 eacute denominada

variaacutevel dependente


119910 = 119891(119909)

A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar

Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o

valor correspondente de 119962 estaacute determinado


O peso de um corpo dependendo apenas de

seu volume

A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da

profundidade

A pressatildeo de um gaacutes que se expande

isotermicamente dependente apenas de seu

volume


No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as

variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais

Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma

variaacutevel real



O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante

(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo

V(T) =V (1+ αT)

1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante

Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos

gases ideais

V (TP) = nRT

119927

119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0

119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1

21 Fonte Howard Anton 2007

A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2

Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula

119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2

Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y

eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula

119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1


Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real

Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido

como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909

Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891


Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014

Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )

Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo

pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta

o eixo 119961


Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de

zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de

corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909






Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo






Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940

A funccedilatildeo 119943 natildeo

pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938

113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de

uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta

vertical paralela ao eixo y intersecta a curva

mais de uma vez


A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo

119891 x =

0 119909 le minus1

1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1



119891 x =

0 119909 le minus1



A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes

Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ

119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0


O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo

119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0


Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6


Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)

bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas

permitidas dos valores de 119909

bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos

valores de 119910


Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem

impor restriccedilotildees ao domiacutenio

Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a

aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio

estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos


ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores

reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver

um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido

que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais

para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute

denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo



O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados




Encontrar o domiacutenio natural de

a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45

Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo

Sistemas Algeacutebricos Computacionais

Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos


Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)


Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos

Mathway Geogebra Symbolab



Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone

a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1

(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)


Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas

multiplicadas e divididas de forma natural

O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a

intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892

Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no

denominador exclui-se o ponto para o qual a

funccedilatildeo zera



119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909

Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909

Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0

Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B

119892 119860 rarr 119861

Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892

a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909


Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica

Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida

substituindo-se a variaacutevel independente por

uma outra funccedilatildeo


Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )

a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1



Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)

Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891

119891

119909 Domiacutenio de 119892

119892(119909)

Domiacutenio de 119891

119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )

132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de

f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por

(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)

Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em

todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute

no domiacutenio de f



57

Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio

119860 = 119860(119903) = 1205871199032

Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo

119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]

Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo

Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)

a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909


A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel

esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas

Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico

da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares

ordenados das curvas destas funccedilotildees


Vendas anuais de carros

61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905










Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
















133

Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102


A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909

Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y

A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909

Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem


Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)

Resolver os exemplos dados em aula

Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)


Funccedilotildees polinomiais

Funccedilotildees racionais

Funccedilotildees inversas

Funccedilotildees trigonomeacutetricas


1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007

2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009


Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014

henriquefariaunespbr






dados ou palavras




dados ou palavras






variaacuteveis




variaacuteveis













Verbalmente

















uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y






uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y









119910 = 119891(119909)





119910 = 119891(119909)






seu volume


profundidade



volume





variaacutevel real





V(T) =V (1+ αT)



gases ideais

V (TP) = nRT

119927

119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0

119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1


A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2


119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2



119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1











o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133

























dados ou palavras






variaacuteveis




variaacuteveis













Verbalmente

















uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y






uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y









119910 = 119891(119909)





119910 = 119891(119909)






seu volume


profundidade



volume





variaacutevel real





V(T) =V (1+ αT)



gases ideais

V (TP) = nRT

119927

119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0

119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1


A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2


119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2



119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1











o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133

























variaacuteveis




variaacuteveis













Verbalmente

















uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y






uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y









119910 = 119891(119909)





119910 = 119891(119909)






seu volume


profundidade



volume





variaacutevel real





V(T) =V (1+ αT)



gases ideais

V (TP) = nRT

119927

119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0

119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1


A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2


119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2



119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1











o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133

























variaacuteveis













Verbalmente

















uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y






uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y









119910 = 119891(119909)





119910 = 119891(119909)






seu volume


profundidade



volume





variaacutevel real





V(T) =V (1+ αT)



gases ideais

V (TP) = nRT

119927

119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0

119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1


A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2


119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2



119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1











o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133
































Verbalmente

















uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y






uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y









119910 = 119891(119909)





119910 = 119891(119909)






seu volume


profundidade



volume





variaacutevel real





V(T) =V (1+ αT)



gases ideais

V (TP) = nRT

119927

119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0

119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1


A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2


119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2



119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1











o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133






































uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y






uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y









119910 = 119891(119909)





119910 = 119891(119909)






seu volume


profundidade



volume





variaacutevel real





V(T) =V (1+ αT)



gases ideais

V (TP) = nRT

119927

119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0

119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1


A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2


119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2



119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1











o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133


























uma entrada x

opera sobre ela e

produz exatamente

a saiacuteda y









119910 = 119891(119909)





119910 = 119891(119909)






seu volume


profundidade



volume





variaacutevel real





V(T) =V (1+ αT)



gases ideais

V (TP) = nRT

119927

119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0

119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1


A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2


119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2



119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1











o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133





























119910 = 119891(119909)





119910 = 119891(119909)






seu volume


profundidade



volume





variaacutevel real





V(T) =V (1+ αT)



gases ideais

V (TP) = nRT

119927

119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0

119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1


A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2


119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2



119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1











o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133























119910 = 119891(119909)






seu volume


profundidade



volume





variaacutevel real





V(T) =V (1+ αT)



gases ideais

V (TP) = nRT

119927

119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0

119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1


A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2


119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2



119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1











o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133
























seu volume


profundidade



volume





variaacutevel real





V(T) =V (1+ αT)



gases ideais

V (TP) = nRT

119927

119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0

119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1


A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2


119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2



119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1











o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133


























variaacutevel real





V(T) =V (1+ αT)



gases ideais

V (TP) = nRT

119927

119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0

119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1


A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2


119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2



119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1











o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133


























V(T) =V (1+ αT)



gases ideais

V (TP) = nRT

119927

119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0

119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1


A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2


119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2



119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1











o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133























119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0

119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1


A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2


119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2



119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1











o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133























A equaccedilatildeo

y = 31199092 minus 4119909 + 2


119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2



119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1











o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133
































o eixo 119961
















Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133





































Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940


pode atribuir dois

valores diferentes

para 119938




mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133


























mais de uma vez



119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133
























119891 x =

0 119909 le minus1




119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133
























119891 x =

0 119909 le minus1





119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133

























119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0



119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133
























119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0








valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133





























valores de 119910





















a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133










































a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)



c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133
























c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6


45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133























45












a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133


































a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1

(119909minus1)(119909minus3)

c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6

e) 119891 119909 =1

(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923

g) 119891 119909 =1












119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133
































119891 119860 rarr 119861

Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909


Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909

Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0


119892 119860 rarr 119861


a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133
























a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3

b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909








a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133





























a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1





119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133


























119891


119892(119909)


119891(119892(119909))

119892

119891(119892 119909 )



(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133

























(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)






57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133























57


119860 = 119860(119903) = 1205871199032


119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]



a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133
























a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909



b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133
























b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909









61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133






























61

119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905


























133















































133























Relação entre quantidades físicas e matemáticas;

Documents

Transcript of Relação entre quantidades físicas e matemáticas;