UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁCENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Circuito RLC em série

ACADÊMICOS: RA:

MILENA VERISSIMO DE OLIVEIRA 81889

MATEUS GABRIEL MATOS 89515

EUGÊNIO MARCONI ZAGO JUNIOR 82150

PROFESSOR: ARY

Maringá2015

1.Introdução

O fenômeno da ressonância ocorre em inúmeros campos da Física e é particularmente

1

importante em situações técnicas. J´a estudamos a ressonância em dois sistemas mecânicos ( a corda vibrante e o tubo sonoro ), sujeitos a oscilações forçadas de uma fonte externa. O que caracteriza as situações de ressonância é o seguinte:• Em termos de frequência - A fonte externa vibra com uma frequência que corresponde a uma das frequências naturais do sistema.• Em termos de energia - a energia transferida da fonte ao sistema receptor é máxima. Nesta unidade estudaremos as oscilações elétricas[5, 15, 19] e o fenômenoda ressonância associados a um circuito RLC, que consiste de um resistor,de resistência ( R ), um indutor, de indutância ( L ) e um capacitorde capacitância ( C ), ligados em série, a uma fonte de fonte de tensãoalternada do tipo:

( ε )= εm cos (ω t).

Figura 1.1- Circuito RLC sob tensão alternada. Uma situação semelhante às oscilações elétricas, ocorre na Mecânica para um oscilador mecânico constituído de uma massa ( m ) e uma mola de constante elástica ( K ) e que é posto a oscilar, sob ação de uma força externa periódica.

1.2 - Representação vetorial de variáveis em corrente alternadaUma variável ( A ) em corrente alternada ( AC ou CA ) pode ser expressagenericamente por

A = Ao cos(ωt + α) (1)

onde ( A0 ) é o seu valor de pico ( valor máximo ) e ( α ) a diferença de faseentre a variável A e outra variável ( CA ), escolhida arbitrariamente como origem.Usando o método denominado de vetores girantes ( fasores ), temos para a variável ( A ), dada pela Eq.(1), a representação vetorial da Fig.(1.2-a), onde o vetor Ã0, que representa o valor máximo de Ã, que gira com velocidade angular ( ω ).

2

Figura 1.2- Vetores girantes - fasores. [1] Podemos fazer uma representação semelhante para o circuito RLC da Fig.(19). Na Fig.(1.2-b) temos o diagrama vetorial para os valores máximos das tensões, em cada um dos elementos do circuito, e da corrente. O vetor ( I ) representa o valor máximo da corrente no circuito, o vetor VR = RI está em fase com I, o vetor VL = XLI está adiantado de 90o, em relação à corrente, e o vetor VC = XCI está atrasado de 90o, em relação à mesma origem. De acordo com o diagrama vetorial da Fig.(20-b), os valores instantâneosda tens˜ao na fonte e da corrente no circuito são, respectivamente

i ¿imcos (ωt)=I cos (ωt ) (2) ε=εmcos (ωt+ϕ)=V cos (ωt+ϕ ) (3)

onde I ¿ im e V = εm são respectivamente, os valores máximos da corrente e da tensão fornecida ao circuito.

1.3 - Impedância no circuito RLC - série.

Fazendo uma analogia com vetores, e de acordo com o gráfico da Fig.(1.2-b ), temos: V m→=V R

→+V L→+V C

→ (4)Obtemos para o módulo de V e para a impedância (Z = V/I) do circuito, respectivamente

V=√ (5) Z¿√ (6)

ondeXL = ω L - reatância indutiva;

XC= 1ωC - reatância capacitiva;

ω = 2πf - frequência angular da fonte.O gráfico da Fig.(1.3), nos mostra como a resistência ( R ) do resistor e as reatâncias do indutor ( XL ) e do capacitor ( XC ) variam com a frequência angular.

3

Figura 1.3-Comportamento da resistência e das reatâncias em função da frequência angular.[1]

Verifica-se que à medida que frequência aumenta a reatância indutiva também aumenta e a reatância capacitiva diminui, enquanto a resistência permanece constante. [1]

1.4 - Potência média consumida em um circuito RLC

De um modo geral, em um circuito RLC, a corrente e a tensão estão defasadas de um ângulo φ, observe a Fig.(1.2-b), onde φ é dado por:

φ=arctan ( XL−X CR

)=ωL− 1

ωCR

(7)

A potência instantânea, de acordo com as Eq.(3) e (4), é P = v i = V I cos (ω t ) cos(ωt + φ) (8)

Integrando a Eq.(8), no intervalo de tempo de um período, e multiplicando pelo inverso do período, obtemos a potência média consumida no circuito, conforme a equação

PM=V ef I ef cos (ϕ ) , (9)

onde

V ef=V√

e I ef=I

√são respectivamente, os valores eficazes da tensão e da corrente. O cos φ é o fator de potência do circuito, podendo variar entre zero (φ = 90°) e a unidade para (φ = 0°). Um baixo valor para o fator de potência causa sérios problemas `as instalações elétricas, entre eles sobrecarga nos cabos e transformadores. [1]

1.5 - Ressonância no circuito RLC

Quando um circuito RLC se encontra na situação de ressonância, a f.e.m. (ε) está em fase com a corrente (φ = 0°).Dessa forma, de acordo com a Eq.(46), |XL| = |XC| e a frequência da fonte externa ( ω ) passa a ser igual a frequência natural ( ωo ) do circuito, ou seja

ω=ωo=1

√, (10)

e f o=12π

1√ (11)

4

Além disso, a corrente e a potência consumida, no circuito, são máximas e, conforme as equações (5), (6) e (9), iguais a:

i = I =V RR (12)

Pm=V ef I ef (13)

Figura 1.4- Fator de qualidade. [1]

Em resumo, em um circuito RLC - série: A condição de ressonância, além de tornar a impedância puramente resistiva e fazer com que o circuito oscile com a sua frequência natural (ω0 = 1/√LC), leva a corrente para um valor de pico. Nessa situação a potência transferida pela fonte ao circuito é máxima.Teoricamente, ( R = 0 ), faria a corrente tender a infinito ( I→ ∞ ), de acordo com a Eq.(12). Na prática, porém, tal situação não ocorre, uma vez que o indutor e as partes do circuito sempre apresentam alguma resistência. [1]

1.6 - Seletividade e fator de qualidade

Uma forma de se estudar as características de um circuito RLC é verificar a variação da corrente ( i ) no circuito com a frequência angular ( ω ). A Fig.(1.4), mostra um gráfico ( i ×ω ) para o referido circuito, com base em três valores diferentes para ( R ). Pela análise do gráfico, verifica-se que a frequência angular de ressonância ( ω0 ) ´e a mesma para as três curvas ( só depende de L e C ), porém, o pico de ressonância é mais acentuado para a menor resistência. As frequências ω1 e ω2, referentes a correntes I/√2 do valor máximo, são pontos de potência média e a separação entre eles ( ω) é chamada largura de banda do circuito. Quanto mais estreita a largura de banda, mais seletivo é o circuito, ou seja, é capaz de distinguir, com um pequeno intervalo de variação, uma dada frequência. Isto é importante nos circuitos receptores de rádio e televisão. Define-se fator de qualidade ( Q ) de um circuito como:

Q=f o

|f 2−f 1| (14)

Um circuito com elevado fator de qualidade é altamente seletivo e, praticamente, só responde na frequência de ressonância. [1]

5

2.Objetivo

Estudar o comportamento de um circuito RLC - série, em função da frequência, no que se refere a:• tensão em cada elemento do circuito;• frequência de ressonância;• impedância, reatância indutiva e capacitiva;• corrente no circuito;• largura de banda e fator de qualidade.

3.Materiais e métodos 3.1 Materiais Gerador de funções, frequencímetro, osciloscópio, indutor, capacitor, resistor, placa para montagem do circuito, cabos, jacarés.

3.2 Métodos Com o auxílio da Eq.(11), calculou-se o valor da frequência natural de ressonância f 0.Montou-se o circuito RLC - série, conforme esquematizado na Fig.(3) e conectou-se o osciloscópio aos terminais do resistor, após, variou-se a frequência do gerador, até obter tensão máxima no resistor. Nesta situação, o gerador e o circuito ficaram em ressonância. Verificou-se se VL = VC e se a frequência lida no osciloscópio é aproximadamente igual à frequência natural calculada. Na situação de ressonância, mediu-se e anotou-se na tabela (4.1) os valores de f 0, VR, VL, VC.

Figura 3- Montagem do circuito RLC.

6

4.Resultados

Os resultados do experimento foram obtidos através da análise da variação da frequência a partir da frequência de ressonância do circuito. Como na tabela 4.1, anotou-se a variação de Vr, Vc e Vl. Logo, podendo assim, calcular os valores de W, i, Xl, Xc e X e construir gráficos de R x f, Xl x f, Xc x f, i x f e X x f como nas figuras 4.1, 4.2 e 4.3 respectivamente.

Tabela 4.1: Dados obtidos a partir da frequência de ressonância

f (Hz) Vr (V) Vl (V) Vc (V) i (mA) W (rad/s) Xl (Ω) Xc (Ω) X (Ω)

23370 7,45 25,6 39,2 74,23276146838,040

6 391,32338695,9368

3 -304,613

24510 8,95 28,8 41,6 89,17896154000,871

9 410,41232663,5676

7 -253,155

25430 10,49 33,6 45,6104,5237

1159781,402

4 425,81744639,5612

9 -213,744

f1 26450 12,37 39,2 50,4123,2562

8166190,251

4 442,89702614,8976

8 -172,001

27930 14,90 47,2 55,2148,4655

2175489,365

6 467,67916582,3144

9 -114,635

29070 16,85 52,8 57,6167,8955

8182652,196

9 486,76810559,4786

3 -72,7105

f0 30480 17,55 57,6 56,0174,8704

7191511,488

2 510,37812533,5972

3 -23,2191

32790 16,75 56,1 47,2166,8991

6206025,646

2 549,05835496,0062

153,0521

4

34890 14,27 50,4 36,8142,1881

2219220,335

4 584,22219466,1520

1118,070

2

f2 36920 12,42 44,8 29,6123,7544

8231975,201

5 618,21391440,5212

3177,692

7

37870 11,58 43,2 27,2115,3846

2237944,227

6 634,12137429,4703

9204,651

0

38780 10,90 40,8 24,8108,6090

1243661,926

2 649,35903419,3925

6229,966

5

39630 10,32 39,2 24,0 102,8298 249002,633 663,59202 410,3972 253,194

7

1 7 7 8

Temos que a largura de banda é:∆f = f1 - f2 = 26450 - 36920 = 10470 HzTendo que os valores nominais da capacitância, indutância e do resistor sendo:C = 10,219 nFR = 100, 36 ΩL = 2,665 mHEm destaque na tabela 4.1, temos o valor obtido da frequência de ressonância do circuito que foi de 30480 Hz. Portanto, calculando o fator de qualidade do circuito pela equação (14), temos que Q = 2.911.Logo, usando a equação (11), temos que a frequência de ressonância nominal do circuito é de 30498 Hz. Tendo assim, um desvio percentual de:

∆% = (f - fn/ fn) * 100∆% = 0,06%

Figura 4.1- R x f, Xl x f e Xc x f.

A partir dos gráficos mostrados a cima podemos ver que a reatância aumenta a medida que a frequência imposta no gerador afasta-se da frequência de corte. Ou seja, na frequência de corte a reatância é mínima e na frequência máxima e mínima ela é máxima. No caso do nosso experimento a frequência mínima imposta ao gerador proporcionou a maior reatância no valor de 253,1948Ω.

Na frequência de ressonância XL = Xc; podemos ver que isso não ocorreu exatamente, mas teve pequena variação. Além disso, nessa frequência o i é máximo e isso pode ser observado na Tabela 4.1.

8

Figura 4.2: i x f

Figura 4.3: X x f A largura de banda é a medida do comprimento da resposta em frequência das

duas frequências com metade da potência do sinal de entrada. Como resultado, esta medida de largura de banda é muitas vezes chamada de "comprimento total a metade da potência". Visto que a potência é proporcional ao quadrado da tensão do circuito (ou

corrente), a resposta em frequência irá cair a nas frequências de metade da potência.

9

De acordo com o gráfico podemos ver que a largura da banda é dada pela distância, na corrente efetiva, das linhas do gráfico acima ( Figura 4.2 ); temos então que variação de frequência na corrente de 17,55/(2)1/2 é aproximadamente igual a 12,41 kHz.

A qualidade do circuito, ou factor Q, é calculada como a razão entre a frequência de ressonância

e a largura de banda (em radianos por segundo):

Ou, em hertz:

6) Para uma rádio com banda de larga de 0,05 MHz e f0 = 100,1 MHz, temos que Q = 2002.

Discussão

No circuito RLC observa-se três tipos de sistemas; no começo quando trabalhamos em baixas frequências, observamos que XC > XL, portanto, trabalhamos em um circuito capacitivo. Na freqüência de ressonância, de acordo com o embasamento teórico, era de se esperar que XC = XL provando que o sistema estaria em ressonância, porem pode se observar que houve uma pequena variação tal que XL> XC. A Cima destas frequências pode-se observar o sistema começa trabalhar de forma indutiva tal que XL > XC.

Conclusão

Os gráficos encontrados experimentalmente foram extremamente satisfatórios tanto nos que relacionava tipos de resistências, voltagens e nos fatores de qualidade, onde pudemos encontrar, no circuito RLC, banda de larga próxima de 12,4 kHz. Pudemos, na introdução teórica analisar a diferença de fasores para os diferentes tipos de voltagem e da corrente, e por fim, aprender a relação desses circuitos com o funcionamento das rádios e qual a verdadeira importância da frequência de corte para a natureza desses circuitos.

Bibliografia

[1] Weinand, Wilson Ricardo. Avila, Ester. Hibler, Mateus Irineu. Circuitos série sob tensão alternada e ótica. Apostila de Física Experimental. Disponível em:

10

<http://www.dfi.uem.br/dfinova3/textos/ca_oticair.pdf> . Acesso em 31 de novembro de 2015

[2] D. Halliday e R. Resnick – Física 4 –1984.

[3]T. J. Bonagamba – Apostila de Laboratório de Ensino –Vol. 3 – USP, São Carlos – 1994.