Universidade de São Paulo

Escola de Engenharia de São Carlos

SEL 0359 - Controle Digital

Professor Manoel L. Aguiar

Cesar Machado Maia 5209512

Gabriel Santos da Silva 5911155

João Carlos S. Sampaio Januario 5971222

As provas do laboratório de controle digital se embasaram na planta da figura 1:

Figura 1: Planta a ser estudada

Para este grupo os valores para os componentes passivos do circuito acima são

dados R1 = 390K ohms e R2 = 560k ohms e C1 =C2 = 2,2 uF e o degrau é de 1,62V

A) Prova 1:

Primeiramente foi feita a modelagem contínua da planta. A função de transferência

obtida foi:

H (s )= 0,44995

s2+1,36601 s+0,44995

A modelagem em espaço de estados obtida foi:

A=[−0.8117 00.5543 −0.5543] B=[0.8117

0 ] C=[ 0 1 ] D=0

O diagrama do Simulink da FT e da VE é mostrado abaixo:

Figura 2: Representação da planta para a simulação discreta

Em seguida investigou-se uma taxa amostral que fosse suficiente para as

simulações, assim foi obtido um valor de T0=0,2 segundos.

Tendo posse do valor de T0 foi possível obter a formulação discreta da planta em

FT e VE. Para encontrar a VE discreto foi usado o comando “c2d” do matlab. Para

formular a FT discreta foram usados 5 modos diferentes: Integração retangular (ir),

integração retangular sob a curva, integração trapezoidal, mapeamento direto e

invariância ao degrau.

I – Integração Retangular

H ( z )= (0,1623 z )(0,1109 z )(1,1623 z−1)(1,1109 z−1)

II – Integração Retangular abaixo da curva

H ( z )= 0,017998

z2−1,7268 z+0,7448

III – Integração Trapezoidal

H ( z )= (0,8117 z+0,8117)(0,5543 z+0,5543)(10,8117 z+9,1883)(10,5543 z−9,4457)

IV – Mapeamento direto

H ( z )= 0,0157(z−0,8502)(z−0,8951)

V – Invariância ao Degrau

H ( z )= 0,0783 z−0,0783(z−0,8950)(z−0,8502)

Com o comando c2d do Matlab, obteve-se o espaço de estados discreto:

O VI usado está mostrado abaixo:

Figura 3: Arquivo Vi utilizado na prática.

O arquivo mdl da prática, onde estão todas as comparações, inclusive as

respostas dos espaços de estados discretos e contínuos são mostrados abaixo:

Figura 4: Simulink completo com todas as modelagens de FT propostas:

Figura 5: Espaço de estado discreto e contínuo.

A reposta ao degrau do sistema discretizado e do sistema simulado estão na figura

abaixo:

Figura 6: Reposta do sistema discreto

As discretizações mostradas antes, os espaços de estados e a planta contínua

estão mostradas na figura abaixo:

Figura 7: Respostas Analisadas na prática:

B) Prova 2

Nessa prática investigou-se o comportamento do controlador proporcional e a

redução do erro de regime que ele provoca. Nesta prática ainda será feito o teste

para o ganho crítico para projeto do controlador proporcional de Ziegler-Nichols

Os diagramas do Simulink basicamente foram um sistema realimentado com um

ganho proporcional K.

Abaixo está mostrado o diagrama do simulink:

Figura 8: Simulações de controladores prporcionais

Para essa prática foi usado o seguinte VI:

Figura 9: Arquivo LabView para realização da prática.

As saídas referentes aos ganhos indicados estão mostrados nas figuras abaixo:

Figura 10: Resposta ao degrau para ganho 1

Para uma realimentação unitária, um baixo sobressinal. Entretanto um certo grau

de erro de regime.

Um ganho 5 eleva o sobressinal, isto é, aloca os polos mais perto de uma

instabilidade.

Figura 11: Resposta ao degrau para ganho 5

Um ganho 8, aumenta esse overshoot e o tempo de acomodação:

Figura 12: Resposta ao degrau para ganho 8

Observa-se nesse caso, uma pequena discrepância entre os valores simulados e os do

obtidos diretamente na prática.

As ações de controle também foram observadas:

Figura 13: Ação de controle para ganho 1.

Figura 14: Ação de controle para ganho 5.

Figura 15: Ação de controle para ganho 8.

O ganho de 8 satura a fonte, como pode ser observado. E para esse ganho acontece

certa discrepância entre o experimental e o simulado.

Dentro da proposta dos exercícios, pediu-se que fizesse um controlador que

reduzisse 65% do erro de regime do controlador de ganho 1. O valor de K que

possibilitou essa redução foi de 2,1. Esse valor de K também obteve algumas análises:

A saída da planta controlada:

Figura 16: Resposta ao degrau com ganho 2.1

A ação de controle, que não satura a fonte.

Figura 17: Ação de controle para resposta ao degrau com ganho 2.1

Como item extra, foi pedido para que se obtivesse o valor do ganho crítico, aquele

que representa o início da instabilidade. Usando a ferramenta de gráfico de lugar de

raízes, obteve-se um ganho crítico de 31,854. A resposta e a ação de controle também

foram analisadas, mas houve uma grande discrepância:

Figura 18: Resposta ao degrau com ganho crítico

Figura 19: Ação de controle com ganho crítico

Pode ter sido resultado de algum erro na modelagem ou na taxa de amostragem.

C) Prova 3

Nessa prática investigou-se a melhoria introduzida pelos termos derivativo e

integrativo o controlador, configurando um controlador PID.

Inicialmente, usou-se a ferramenta do MATLAB “RLTOOL” para fazer o local

de raízes da planta, e projetar o controlador PID.

As figuras referentes ao uso do RLTOOL estão na sequência:

O diagrama de lugar das raízes:

Figura 20: Local de Raízes para o projeto do PID

A resposta ao degrau e os parâmetros de desempenho como overshoot, tempo de

acomodação e tempo de subida:

Figura 21: Resposta ao degrau obtida com o “rltool”

A título de completude, a interface gráfica de projeto de controladores do

“rltool”:

Figura 22: Interface gráfica do “rltool”

O algoritmo PID usado pelo simulink está mostrado na figura abaixo:

Figura 23: Algoritmo PID usado na prática

O arquivo VI para essa finalidade, está mostrado na figura a seguir:

Figura 24: Arquivo Vi do algoritmo PID

As análises das respostas temporais podem ser feitas com os gráficos a seguir. A

resposta do PID corresponde ao especificado em sobressinal como pode ser visto na

figura:

Figura 25: Resposta ao degrau do PID em malha fechada.

A reposta do PID deve ter erro de regime nulo. Esse fato pode ser observado no

gráfico do erro:

Figura 26: Erro do PID em malha fechada.

Observa-se que a o erro em regime se anula.

E em todo projeto de controle, a ação de controle não deve saturar a fonte, isto é,

exigir da fonte uma quantidade maior de energia do que a fonte pode fornecer, com

posse da resposta temporal, isso pode ser comprovado:

Figura 27: Ação de controle do PID em malha fechada.

Pode-se concluir que o projeto do controlador atendeu aos especificados.

Ainda no simulink fez-se o controlador de Ziegler-Nichols, mas não foi

implementado em prática. Observa-se que esse controlador tem um sobressinal maior

sendo não muito aconselhável em estratégias de controle mais agressivas:

Figura 28: Simulação da planta com PID Ziegler-Nichols 2

D) Prova 4

Essa prática introduziu o controlador “dead beat” e o conceito envolvido no

projeto desse controlador.

Nessa prática projetou-se e programou-se os controladores “dead beat(n) dead

beat(n+1)”. Além de comprovar que o projeto desse controlador é feito para entrada

degrau.

Em princípio será mostrado o arquivo mdl usado para as simulações dos

controladores “dead beat” :

num(s)

den(s)

Transfer Fcn5

num(s)

den(s)

Transfer Fcn4

num(s)

den(s)

Transfer Fcn3

num(s)

den(s)

Transfer Fcn1

u_db

To Workspace9

erro_db

To Workspace8

Erro2

To Workspace7

saida2

To Workspace6

saida_db

To Workspace4

saida3

To Workspace2

u_db_1

To Workspace13

erro_db_1

To Workspace12

saida_db_1

To Workspace11

Erro

To Workspace1

saida

To Workspace

Step4

Step3

Step2

Step

Scope9Scope8

Scope7

Scope6

Scope5

Scope4

Scope2

Scope14

Scope13

Scope12

Scope11

Scope10

Scope1

Scope

Saturation4

Saturation3

Saturation2

Saturation1

Quantizer6

Quantizer5

Quantizer3

Quantizer1

1

Gain9

1

Gain8

2

Gain4

1

Gain3

1

Gain2

1

Gain11

1

Gain10

1

Gain

num_db_1

den_db_1

DiscreteTransfer Fcn2

num_db

den_db

DiscreteTransfer Fcn1

5.2393z -8.7513z+3.65652

z -z2

DiscreteTransfer Fcn

Figura 29: Controladores dead beat

Os arquivos VI usados são mostrados abaixo:

A primeira figura é o controlador dead beat (n):

Figura 30: Implementação do controlador dead beat n

A próxima figura mostra o controlador dead beat (n+1):

Figura 31: Implementação do controlador dead beat n+1

Comparando a simulação com os valores experimentais, os resultados estão mostrados

abaixo:

Figura 32: Resposta ao degrau com controlador dead beat n

Figura 33: Ação de controle com controlador dead beat n

Figura 34: Erro com controlador dead beat n

Com o controlador dead beat (n+1), os seguintes resultados foram obtidos:

Figura 35: Resposta ao degrau com controlador dead beat n+1

Figura 36: Ação de controle com controlador dead beat n

Figura 37: Erro com controlador dead beat n

Para ambos os casos, foi observado que o erro de regime tendeu a zero e não houve

saturação da fonte. Sem sobressinal considerável para entrada degrau.

Analisando o controlador para uma entrada rampa, com inclinação de 0,7059.

O arquivo do Simulink é mostrado abaixo:

Figura 38: Controlador dead beat com entrada rampa

A partir do simulink fez-se o arquivo VI, com a mesma entrada em rampa:

Figura 39: Arquivo VI para controlador com entrada rampa:

Os resultados não foram satisfatórios, o que era de se esperar, pois o controlador é

feito para entrada degrau. As figuras abaixo mostram o comportamento desse

controlador para a devida entrada:

Figura 40: Reposta á rampa

Esta figura mostra a instabilidade que a entrada rampa insere no sistema.

O erro, aumenta da mesma forma que a saída do controlador:

Figura 41: Erro da resposta à rampa

A ação de controle, como se pode observar, saturaria a fonte. Assim, pode-se

concluir que o controlador dead beat para entrada rampa tem um comportamento

totalmente insatisfatório.

Figura 42: Ação de controle com entrada rampa.

E) Prova 5

Essa prática teve como objetivo o uso do controlador por realimentação de estados.

Esse controlador devera fazer com que os polos da matriz A sejam os mesmo da planta

com o controlador PID.

A representação de realimentação de estados é mostrada na figura abaixo:

Figura 43: Arquivo Simulink de realimentação de estados

O programa em LabView que faz essa realimentação nos estados é mostrado abaixo:

Figura 44: Arquivo LabView de realimentação de estados

A saída com o controlador K é mostrada abaixo:

Figura 45: Saída com controlador de realimentação de estados

A ação de controle também:

Figura 46: Ação de controle com controlador de realimentação de estados

Foi pedido também para que se fizesse um observador de estados em duas

condições: Sem a realimentação de estados e com a realimentação. O modelo mdl do

observador sem o controlador K, está na sequência:

Figura 47: Simulink de observador de estados

O Vi correspondente:

Figura 48: LabView de observador de estados

Quando se inclui o controlador de estados, tem-se:

Figura 49: Simulink de observador de estados com controlador K

E seu VI:

Figura 50: Simulink de observador de estados com controlador K

A resposta do observador sem o controlador é mostrado abaixo:

As saídas observadas foram x1 e x2:

Figura 51: Variável de estado X1

Observa-se nesse caso que há um leve erro. A origem desse erro pode ser a

implementação computacional do algoritmo.

Figura 52: Variável de estado X2

O caso acima, não houve discrepâncias e os resultados foram absolutamente coerentes.

Analisando com o observador e controlador a saída da planta:

Figura 52: Resposta do observador com controlador K

E a ação de controle, que novamente, não satura a fonte:

Figura 53: Ação de controle do observador com controlador K

Ainda nessa prática, pedia-se que se fizesse um observador considerando apenas

X1 como observável. Nesse caso, com apenas essa saída, o sistema não é observável,

assim não há meios de se fazer um observador de estados para o sistema.