Relatório

1. Objectivo do trabalho realizado

No trabalho realizado pretende-se analisar as oscilações de um pêndulo fazendo variar o comprimento do mesmo, de forma a determinar a relação existente entre o período das oscilações e o comprimento do pêndulo. Desta forma pretende-se cumprir os dois principais objectivos do trabalho, o primeiro, a determinação do valor da gravidade usando os dados obtidos e o segundo, a discussão dos processos e incertezas associados a cada um dos métodos distintos, um manual e outro automático, na determinação do período das oscilações.

2. Material utilizado

- Pêndulo simples (sistema composto por um objecto esférico ligado a um fio de comprimento variável);

- Craveira (0,02 mm);

- Fita métrica (0,1 mm);

- Cronómetro manual (0,01 s);

- Cronómetro automático com sensor de passagem;

- Computador com programa de aquisição de dados (DataStudio).

3. Procedimento experimental

1- Utilizando a craveira medimos o diâmetro do objecto, usando de seguida a fita métrica para determinar o comprimento exacto do fio, o qual já tínhamos anteriormente posto com aproximadamente 50 cm de comprimento. Com os dados obtidos anteriormente calculámos o comprimento do pêndulo.

2- De seguida montámos o pêndulo no suporte e cada elemento do nosso grupo (de 3 alunos) fez 4 medições do Período definido como uma oscilação do pêndulo, usando para o processo o cronómetro manual.

3- Repetimos o processo e o número de medições anterior, usando desta vez um período correspondente a 20 oscilações do pêndulo.

4- Ligámos o computador, abrimos o programa DataStudio e configuramo-lo de acordo com as indicações dadas no enunciado do trabalho.

5- Usando o pedaço de papel agarrado ao fio, dispusemos o pêndulo para que quando este estava em repouso ou em oscilação, o pedaço de papel cortava o feixe luminoso do sensor óptico, permitindo assim o funcionamento correcto do programa.

6- Com o papel correctamente posicionado e o programa (DataStudio) correctamente configurado, usámos o anterior para registar numa única aquisição de dados o tempo correspondente a 20 oscilações do pêndulo.

7- Fizemos variar o comprimento do fio 37 vezes, repetindo o processo anterior e usando o programa para determinar a média e o desvio padrão dos períodos registados.

4. Aquisição de dados

Comprimento do fio - lfio- 48,2 ± 0,1cm

Diâmetro do objecto - dobjecto- 3,29 ± 0,002cm

Usando estes dois valores calculámos o comprimento do pêndulo, desde o ponto em que se encontra suspenso até ao centro de massa (considerámos o centro de massa do objecto como o centro geométrico do mesmo) do objecto preso na extremidade. Obtivemos então o comprimento do pêndulo somando o comprimento do fio ao raio do objecto, como demonstramos na equação seguinte:

l pêndulo=l fio+dobjecto

2

l pêndulo= 48,2 + 3,292

≅ 49,85 cm, a este valor acrescenta-se a incerteza associada proveniente da soma das

incertezas dos objectos utilizados , 0,1 + 0,002 = 0,102, ficamos assim com um valor final de l pêndulo = 49,85 ± 0,102cm.

Comprimento do pêndulo (cm)

Elemento do grupo

Período (s)

Média período Desvio padrão Média desvio padrão

49,85

André

1,29

1,38

0,09

0,0925

1,35 0,031,43 0,051,4 0,02

Vando

1,43 0,051,4 0,02

1,43 0,051,44 0,06

Rafael

1,39 0,011,36 0,021,35 0,031,32 0,06

Tabela 1: medições correspondentes ao período de uma oscilação

Comprimento do pêndulo (cm)

Elemento do grupo

Período (s)

Média período Desvio padrão Média desvio padrão

49,85

André

28,38

28,40

0,02

0,12167

28,29 0,128,38 0,0228,48 0,1

Vando

28,32 0,128,35 0,0528,4 0,002

28,45 0,1

Rafael

28,39 0,0128,39 0,0128,43 0,0328,52 0,12

Tabela 2: medições do período correspondente a 12 períodos de oscilação

Comprimento do pêndulo (cm)

Período (s)

Média período Desvio padrão Média desvio padrão

24,645 1,0005

1,416678

2,18E-04

4,86E-04

28,145 1,0658 3,48E-0431,645 1,1304 5,18E-0432,345 1,1437 5,75E-0434,845 1,1878 0,30736,145 1,2039 2,47E-0439,745 1,261 1,16E-0342,845 1,336 6,15E-0445,145 1,351 3,72E-0348,745 1,4045 8,73E-0450,845 1,4327 4,37E-0354,345 1,4786 3,28E-0356,845 1,5107 1,40E-0459,045 1,5357 0,0688562,045 1,5735 2,99E-0366,945 1,6408 5,52E-0369,645 1,67 3,48E-0372,645 1,7107 0,460777,345 1,761 2,27E-0375,345 1,7425 2,35E-0379,845 1,786 0,02181,645 1,8077 2,18E-0384,745 1,8418 1,68E-0388,345 1,8833 1,53E-0392,145 1,9237 2,14E-0393,445 1,9364 5,36E-0496,345 1,9592 1,60E-02

99,045 1,9926 1,79E-03101,245 2,0155 5,14E-03104,345 2,046 1,49E-04106,645 2,0677 1,37E-03110,145 2,0971 1,05E-03115,845 2,155 4,55E-03118,845 2,18 5,75E-03120,745 2,192 6,16E-03121,645 2,209 9,58E-04124,045 2,2289 7,32E-03124,645 2,2395 8,28E-03

Tabela 3: médias e desvios padrões correspondentes ao período de 20 oscilações, variando o comprimento da corda

5. Análise e tratamento de dadosComeçamos por comparar as duas formas de medição com o cronómetro manual. Usando a fórmula

seguinte em que ∑Ti, representa a soma dos tempos medidos experimentalmente, calculou-se a média

do tempo correspondente ao período de uma oscilação:

T=∑ Ti

12⇔ T

~¿ 1,38 s

Calculámos de seguida o desvio-padrão de cada uma das medições usando para tal a seguinte fórmula : δ=¿T−Ti∨¿

Os valores obtidos foram os apresentados na tabela 1. O maior destes valores (0,09 s) foi em seguida comparado com a incerteza associada á leitura, no caso concreto a incerteza do cronómetro usado, ±0,01s. Como o valor 0,09¿0,01, pudemos concluir que a variação da média vai passar a ser o valor do maior desvio-padrão encontrado, ∆T=±0,09 s.

Usando as duas fórmulas referidas anteriormente para a média e para o desvio-padrão e os valores apresentados na tabela 2 calculámos os valores anteriores, desta vez para as medições efectuadas para o período de 20 oscilações.

T 20=∑ Ti

12⇔ T 20

~¿ 28,40 s

δMAX=¿T−Ti∨¿= 0,12 s

Comparando o valor de δMAXcom o valor da incerteza do cronómetro, 0,12¿ 0,01, verificamos que o valor de δMAX é superior á incerteza do cronómetro, logo podemos concluir que a variação da média vai passar a ser este valor, ∆T 20=±0,12 s.

Pegando no valor anterior e dividindo por 20, podemos proceder ao cálculo de ∆T 2020

, donde se obtém

que ∆T 2020

= 0,12 × 120

= 0,06, valor este que como se observa continua a ser superior que a incerteza do

cronómetro.

Com os valores da tabela 3 fornecidos pelo programa DataStudio, podemos verificar que a média dos

períodos, T é 1,416778, valor mais aproximado de T 2020

do que de T manual. O maior desvio-padrão

fornecido pelo programa ao longo das medições é 9,58 × 10−4, um valor bastante inferior aos verificados nas medições manuais.

10 30 50 70 90110

1300

0.40.81.21.6

22.4

Período vs comprimento do pêndulo

Período vs comprimento do pêndulo

Comprimento do pêndulo (cm)

Perío

do (s

)

Gráfico 1: comparação do período com o pêndulo

Como se verifica a relação entre o período e o comprimento do pêndulo não é linear, assim podemos considerar uma relação do tipo T = alb, de onde podemos ver que:

T = alb ⇔ lnT = ln(alb) ⇔ lnT = lna + ln¿) ⇔ lnT = lna + blnl

Ao compararmos esta equação com a da equação reduzida de uma recta( y=mx + B), reparamos que x é igual a lnl, m é igual a b e B é igual a lna.

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.20

0.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

f(x) = 0.495592217110576 x − 0.689818504909325

lnl vs lnT

lnl vs lnTLinear (lnl vs lnT)

ln l (cm)

ln T

(s)

Gráfico 2: comparação de ln l com ln T

De acordo com o que foi referido anteriormente podemos ver que lna= -0,6898 e b = 0,4956.

Sendo assim conclui-se que o valor de a= e−0,6898⇔ a ≅ 0,5.

Com a fórmula adquirida da teórica podemos desenvolver a função:

ω=√ gl

⇔ 2πT

= √ gl

⇔ T = 2πg

l12

Como a função T = 2πg

l12 é do tipo T= alb, podemos concluir que a =

2πg

e b = 12

. A partir desta realização e

usando o desenvolvimento anterior pode-se então obter uma estimativa do valor da aceleração da gravidade, g:

a = 2πg

⇔ g = ( 2πa

¿2 ⇔ g =( 2π0,5

¿2 ⇔ g= 157,91 cms−2 ⇔ g= 15,791 ms−2

Considerando o valor padrão para a aceleração da gravidade como gn =9,80665 m s−2 vamos calcular a percentagem de erro médio relativo da nossa estimativa:

percentagemdeerromédiarelativa=(15,791−9,80665)15,791−9,80665

2

≅ 47%

6. Conclusão

Através e ao longo da realização desta experiência podemos concluir que o período é directamente influenciado pelo tamanho do fio que constitui o pêndulo, o método utilizado para o determinar também difere, sendo que como observado no capítulo anterior o computador dá-nos valores mais aproximados que o método manual.

Observando os gráficos produzidos conclui-se que o período das oscilações é directamente proporcional ao comprimento do pêndulo.

Um dos objectivos para este trabalho era determinar experimentalmente o valor da aceleração da gravidade. Usando todos os dados que obtivemos ao longo da experiência e as funções aprendidas na teórica produzimos uma estimativa deste valor, onde se obteve que g = 15,791 ms−2 a que corresponde a um erro de 47 % face ao valor padrão. Com base no valor obtido e ao erro associado ao mesmo concluímos que o objectivo proposto não foi totalmente atingido visto termos um erro de dimensão considerável, erro esse que provavelmente se terá devido ao erro humano associado á experiência, e sobretudo a problemas de equipamento encontrado durante a mesma.