RELATÓRIO DE ESTÁGIO 2/3 Período: de 05/10/2009 a · PDF...

Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico

Departamento de Engenharia Mecânica Coordenadoria de Estágio do Curso de

Engenharia Mecânica CEP 88040-970 - Florianópolis - SC - BRASIL

www.emc.ufsc.br/estagiomecanica [email protected]

RELATÓRIO DE ESTÁGIO – 2/3

Período: de 05/10/2009 a 04/12/2009

Whirlpool S/A: Unidade Compressores (Embraco)

Nome do aluno: Robert da Silva Bressan

Nome do supervisor: Fernando Antônio Ribas Jr.

Nome do orientador: César José Deschamps

Joinville, Santa Catarina, Novembro de 2009

Sumário

Introdução ....................................................................................... 4

Folga Pistão-cilindro .......................................................................... 5

Simulando apenas a folga ............................................................... 5

Procedimento de Cálculo .............................................................. 6

Resultados ................................................................................. 7

Abertura Bidirecional da Válvula ........... Erro! Indicador não definido.

Metodologia Híbrida de Simulação de Compressores ............................ 12

Solução do Fluido ......................................................................... 13

Calibração do Modelo .................................................................... 13

Simulação .................................................................................... 15

Implantação do algoritmo de Levemberg-Marquardt ....................... 16

Conclusão ....................................................................................... 19

Referências ..................................................................................... 20

Apêndice A – Decomposição de Cholesky Modificada ............................ 21

Apêndice B - Método de Levemberg-Marquardt ................................... 23

Whirlpool S/A: Unidade Compressores Relatório de Estágio (2º/3) – Robert da Silva Bressan

4

Introdução

Este documento visa descrever as atividades realizadas no segundo

bimestre de estágio na Embraco, continuando o trabalho já realizado nos

dois primeiros meses.

O relatório descreve duas frentes de trabalho. A primeira delas é a

continuação da análise da folga entre o pistão e o cilindro. A outra se

refere à implantação de um modelo híbrido de simulação térmica de

compressores.

Na primeira parte é discutido o modelo realizado no primeiro

relatório, mostrando as razões de sua ineficiência. Logo a seguir, o

desenvolvimento de alternativas de análise é discutido.

Na segunda seção, são destacados os aspectos inerentes à

formulação do modelo. A seguir os principais trechos da implantação são

discutidos, com posterior agregação de componentes que são exigidos ao

longo da formulação. Destaque para a rotina de otimização.

Avaliando que os conceitos matemáticos funcionam apenas como

suporte, e que a inserção deles no texto é irrelevante, foram incluídos dois

apêndices, que tratam melhor das questões relativas à abordagem

matemática do modelo.


5

Folga Pistão-cilindro

No último relatório um dos assuntos tratados foi uma análise entre a

folga que existe entre o pistão e o cilindro de um compressor. Na ocasião,

foi discutido um modelo de volumes finitos que continha a câmara de

compressão e a folga propriamente dita.

A proposta de simulação é tentar relacionar as perdas pela folga

com o tamanho da folga. Para isso, é necessária a simulação de diversos

tamanhos de folga, no intervalo de incertezas de ambos os componentes

(pistão e cilindro).

Entretanto, ao aplicar a proposta atual, a simulação de apenas uma

folga leva mais de 15 dias, para que a simulação se torne estável,

tornando impraticável esta solução para ser utilizada em uma varredura.

Com estas dificuldades, requere-se que uma redução no modelo

seja imposta, ou que o número de ciclos necessários para estabilização

seja menor. Algumas das tentativas serão discutidas a seguir.

Simulando apenas a folga

A primeira proposta é simular apenas a folga propriamente dita,

fazendo com que a câmara seja tratada com um modelo integral. Neste

modelo, concebido supondo que o gás é ideal, a pressão e a temperatura

são atualizadas na condição de contorno de acordo com o fluxo de massa

obtido na folga.

A hipótese de gás ideal faz com que a equação de estado do gás

seja simplificada para

TmPVMTnPV molar RR


6

E a hipótese de que a compressão seja isentrópica obriga que para

um sistema

kkVPVP 0011 , com v

p

c

ck

Entretanto, o volume da câmara de compressão não é um sistema

fechado, sendo necessárias adaptações na equação acima para considerar

os fluxos de massa e energia. O tratamento dela então se dará em duas

partes, uma que trata da massa que é expulsa pela câmara, e outra que

faz com que o gás restante seja comprimido, tendo caracterizado um

sistema.

Procedimento de Cálculo

Em cada passo de tempo da solução, tomar o fluxo de massa me

que atravessa a superfície de controle. Então para um passo de tempo t

tmm eperdida ·

Esta massa, que está a uma temperatura e pressão conhecida,

ocupa um volume

molar

eperdido

PM

tRTmV

Assim, o volume de gás realmente comprimido passa a ser

perdidoVV 0 .

De acordo com a regra de compressão:

kkperdido VPVVP 1100 )(

A partir disso, podemos obter a nova temperatura do gás,

observando o valor do volume:

0

00

1

11)(

T

VVP

T

VP perdido

Neste modelo também foi concebida a idéia de uma válvula ideal, a

fim de estabilizar a pressão tal qual foi feito no modelo anterior. O fato da

câmara de compressão estar ausente neste modelo levou a criação de


7

uma condicional simples: se a pressão da câmara baixar a níveis inferiores

à da linha de sucção, a pressão da câmara é corrigida simplesmente à

pressão de sucção. Com isso, é preciso recalcular a massa que passa a

fazer parte da câmara de compressão.

No bloco a seguir está expresso um trecho do código, escrito em C,

utilizado nesta correção:

me = 2*M_PI*FluxoMassa(13); // 13 é um identificador

volperda = (UNIVERSAL_GAS_CONSTANT*T0*me)/

(mmolar*P0*freq*subciclo);

V0 = VolumeCamara(N_TIME,subciclo);

V1 = VolumeCamara(N_TIME+1,subciclo);

Vt = VelPistao(N_TIME,subciclo);

P1 = P0 * pow((V0+volperda)/V1,k);

if (P1<1e5) P1=1e5;

T1 = P1*V1*T0/(P0*(V0+volperda));

V0 = V1;

T0 = T1;

P0 = P1;

Resultados

A simulação que durava cerca de 20 dias passou, com este método a

se realizado em menos de oito horas. Esta redução drástica no tempo se

deve a diversos fatores, entre os quais:

Número de volumes necessários para a simulação é muito

menor (basta apenas a folga)

A folga tem escoamento laminar, não sendo necessária a

solução de um modelo de turbulência — pelo menos duas

equações deixam de ser resolvidas, por volume

Não há malhas móveis, implicando que não é necessário o

cálculo de qualquer deslocamento de malha

Estabilidade numérica, resultando em uma redução drástica no

número de ciclos necessários na simulação, passando de 15

para 3.

As quantidades obtidas para massa e o diagrama pressão volume

estão mostrados nos gráficos seguintes.


8

Fluxo de massa

-6,00E-05

-5,00E-05

-4,00E-05

-3,00E-05

-2,00E-05

-1,00E-05

0,00E+00

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

0 180 360 540 720 900 1080 1260 1440

Timestep

Topo do Pistao Base do Pistao

Figura 1 - Fluxo de massa através da folga, nos dois extremos

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

1600000

0,00E+00 2,00E-06 4,00E-06 6,00E-06 8,00E-06 1,00E-05 1,20E-05 1,40E-05 1,60E-05 1,80E-05

Figura 2 - Diagrama pressão-volume obtido


9

O comportamento do fluxo de massa é aparentemente normal, com

fluxos próximos aos obtidos no modelo completo. Entretanto, a integração

do diagrama pressão-volume assinalou uma considerável diferença com

relação ao modelo completo.

Essa diferença no resultado da potência, objeto de estudo do

modelo, fez com que este modelo não fosse aceito, levando ao

desenvolvimento da próxima metodologia. Uma possível causa desta

diferença é a falta de um modelo para captar a contração a que o gás está

sujeito ao passar da câmara para a folga.

Acelerando o Modelo Completo

As tentativas de reduzir o domínio da solução não mostraram

resultados coerentes, então resta tentar alguma abordagem que estabilize

o ciclo mais rapidamente.

A proposta para esta estabilização rápida é ao invés de haver

apenas uma entrada de massa haver uma abertura na câmara de

compressão.

Esta abertura na câmara de compressão faz com que o que a

pressão da câmara não varie. A justificativa é que neste caso, em

qualquer momento, a pressão na câmara pode ser equilibrada

rapidamente com a pressão de sucção. Para sanar este efeito, esta

abertura ficou condicionada a certa fração do ciclo.

Diversas alternativas são possíveis para executar esta diretiva,

explicadas nos próximos parágrafos.

Contrapressão

Esta proposta cria na região de troca de massa uma entrada e uma

saída, ambas unidirecionais (isto é, sem possibilidade de contrafluxo).

Para evitar que haja fluxo fora do intervalo especificado, atribui-se a estas

duas passagens pressões que causariam contrafluxo. Entretanto, como

numericamente elas são unidirecionais, a passagem é impedida.


10

Porosidade

Este método utiliza a resistência à passagem um meio poroso como

meio de fechar o escoamento. Para tal, é preciso adicionar um domínio

com esta característica. No momento que se deve fechar a passagem, é

dita que a resistência de permeabilidade e a consequente perda de carga

são muito elevadas. Para liberar a passagem, faz-se a resistência ao

escoamento nula.

Figura 3 - Ilustração do Volume Poroso

Alternar arquivos

O meio mais óbvio de se fazer a alternância de condições de

contorno é simplesmente parar o solver quando é necessário fazer a troca

de condição de contorno, e iniciar uma nova instância do mesmo com a

condição de contorno correta, utilizando a solução anterior como condição

inicial.

Na análise que está sendo feita, a troca é feita duas vezes por ciclo.

Como o número mínimo de ciclos é três, são necessárias pelo menos seis

trocas de solver. Se feitas manualmente o método passa a exigir muita

força bruta, gastando tempo na detecção da necessidade de troca de

solver e sua execução.


11

Figura 4 - Diagrama para execução em batch

Uma maneira de automatizar o processo é fazer execuções

sucessivas em batch, fazendo as referências necessárias. A desvantagem

deste processo é não poder acompanhar o andamento do solver

interativamente, apesar de que isto o torna mais rápido.

O que se observa, no entanto, é que qualquer um dos três métodos

apresentados causa falha no solver, possivelmente pela mudança ser

abrupta. Tentativas para deixar o processo mais gradual estão sendo

estudadas, desde variar o tamanho do timestep na região de troca, ou

impor as condições de porosidade/contrapressão por etapas.

Resolva válvula aberta (sem valores iniciais)

Resultados Válvula aberta

Parar solver

Parar solver

Resolva válvula fechada Com os resultados Válvula Aberta

Resultados Válvula fechada

Resolva Válvula aberta Com os resultados Válvula fechada

Fim de Simulação


12

Metodologia Híbrida de Simulação de

Compressores

A solução completa do escoamento do fluido refrigerante dentro de

um compressor é bastante difícil de ser simulada. As diversas curvas,

válvulas e outros componentes móveis são obstáculo para obtenção de

um perfil de escoamento, pois cada elemento precisa ter resolvidas as

conservações de massa, momento e energia, além dos modelos de

turbulência.

Por outro lado, resolver um sólido é razoavelmente barato

computacionalmente, pois apenas a equação da energia é calculada,

possibilitando, mesmo com algumas distorções, a solução completa dos

componentes e obter assim todo o perfil térmico do compressor.

É sabido também, que exceto na região da câmara de compressão,

todo o seu perfil térmico pode ser considerado em regime estacionário,

visto que a difusão do calor gerado na câmara de compressão é feita de

forma lenta.

Ribas Jr (2007) propõe uma metodologia híbrida para simulação de

compressores, posteriormente aprimorada por Schreiner (2008). Este

método utiliza uma formulação integral do escoamento do fluido, e associa

esta a métodos diferenciais — neste caso volumes finitos — para a

solução dos componentes sólidos do compressor.

Para a formulação diferencial, foi utilizado o software comercial Fluent

(versão 6.3.26), de propriedade da Ansys, Inc..


13

Solução do Fluido

O método utilizado para a solução da parte fluida foi desenvolvido

inicialmente por Ussyk e depois aprimorado por diversas pessoas. O

RECIP, cujo nome é uma abreviação para reciprocating, é um método de

simulação de compressores alternativos que utiliza formulação integral

para predizer o comportamento do compressor em análise.

Entre as hipóteses do modelo estão:

Escoamento nos orifícios é modelado como bocais convergentes e

isentrópicos.

As válvulas são modeladas como um sistema massa-mola-

amortecedor.

As forças e o escoamento são corrigidos através de áreas efetivas.

Transiente da câmara de compressão é tido como quase-estático.

A troca de calor na câmara de compressão é feita através das

correlações, como por exemplo, a de Annand.

Calibração do Modelo

As duas soluções são realizadas de forma diferente, nascendo a

necessidade de se prover a interação entre o sólido e o fluido — em outras

palavras, transmissão de calor. Na metodologia híbrida, o modelo do

sólido sofre ação da transmissão de calor por convecção, considerado

através de diversos coeficientes de convecção e de temperaturas

representativas do fluido na câmara.

Por outro lado no RECIP são fixadas as temperaturas, obtidas

experimentalmente, e o fluxo de massa é calculado sobre elas. Com isso,

o fluxo de energia que deve atravessar a fronteira entre o sólido e o fluido

está determinado.

Assim, estes coeficientes de convecção são determinados de tal

forma que a conservação da energia seja respeitada. Conforme o número


14

de coeficientes pode-se requerer que a temperatura em alguns pontos

também seja satisfeita.

0

Fluent

)(

RECIP

sup

dATTHhm câmaraerfície

Figura 5 - Esquema do método

Obter um campo de coeficientes de convecção (H ) tal que os

requisitos sejam satisfeitos é bastante difícil, pois a determinação dele é

um processo iterativo de várias variáveis dependentes entre si. Uma

forma de contornar esta situação é forçar o fechamento deste balanço,

através da introdução de um termo de transferência global de calor entre

as câmaras.

CâmaranhaCâmaraViziCâmaraSuperfície TTUAdATTHhm )(


15

Figura 6 - Esquema do método, com correções

Dessa forma uma calibração apresenta dois campos como resposta: o

de coeficientes de convecção (H) e o de transferência global de calor (UA),

o último devendo ser o mínimo possível.

Simulação

Com o modelo calibrado, podemos começar os testes com possíveis

modificações no modelo. Agora são parâmetros de entrada os campos

obtidos na calibração, estando em teste agora as temperaturas do

modelo. Um resíduo é definido como o desbalanço energético em uma

câmara, conforme a equação a seguir:

Calibração

TTUA

Fluent

dATTH

RECIP

hmresíduo CVCSup )(

O procedimento equivale a realizar uma otimização, multivariada, que

toma as temperaturas como variáveis, e tem como função objetivo a

norma do vetor de resíduos da equação da energia.

A princípio, temos apenas como avaliar a função objetivo ponto a

ponto. Não podemos afirmar nada sobre as características da função,

como por exemplo, continuidade. O fato das equações terem surgido de


16

um problema de transmissão de calor, levam a crer que a função tem pelo

menos as derivadas de primeira ordem contínuas.

É suposto também que uma modificação no modelo não causará uma

mudança grande nas temperaturas, sendo as temperaturas de calibração

uma boa referência para o início da análise.

A admissão destas duas hipóteses faz com que o algoritmo de

Newton-Raphson seja o escolhido para a simulação. Entretanto, os

primeiros testes com o modelo mostraram que a estabilidade dele é muito

ruim. Outro agravante, é que caso não haja uma solução fechada, o

algoritmo tende a divergir.

Para superar estas dificuldades, foi então implantado o algoritmo de

Levemberg-Marquardt, que mistura a velocidade de Newton-Raphson com

a segurança do gradiente-descendente, detalhado nos apêndices.

Implantação do algoritmo de Levemberg-Marquardt

O método de Levemberg-Marquardt tem como função de iteração a

seguinte equação, detalhada no Apêndice B - Método de Levemberg-

Marquardt:

fJhIJJ Tlm

T

Nesta equação:

J é a matriz jacobiana

hlm é o passo dado no vetor solução

f é um vetor com resíduos

µ é um fator de damping

I é a matriz identidade

Por esta equação faz-se necessárias algumas rotinas:

Obtenção da matriz Jacobiana

Multiplicação de matrizes

Multiplicação de matriz por vetor

Solução de um sistema linear


17

A matriz jacobiana, pela característica da função, não pode ser obtida

analiticamente, sendo necessária a obtenção da mesma por diferenças

finitas. Ou seja:

x

xFxxF

x

F

)()(

Um método que pode ser estendido para outros propósitos supõe a

concepção de um programa mais genérico. Esta característica fica bem

marcada ao definir todo o programa em função de ponteiros, tanto para

variáveis quanto para funções. O protótipo da função definida é

Levemberg_Marquadt(

double **x,

(void *f)(double*),

int itmax

double e1,

double e2,

double tau

);

// Ponteiro para vetor de entrada

// ponteiro para função resíduo

// número máximo de iterações

// tolerância no gradiente

// tolerância no passo da solução

// fator que determina 1º dumping

É fato que qualquer matriz real multiplicada pela sua transposta é

simétrica e positiva-semi-definida. Isso implica em duas possíveis

melhoras no código: a primeira é que na multiplicação das matrizes é

possível cortar a alocação de memória e processamento, pois se trata de

apenas metade da matriz. A outra é que um método mais adequado pode

ser utilizado para cálculo do sistema linear, como a decomposição de

Cholesky, cortando pela metade as operações de cálculo e reduzindo erros

de truncamento.

Entretanto, modificações no solver não fazem grande diferença no

tempo de simulação. O gargalo do método é avaliar a função de resíduo.

Então, qualquer tentativa de reduzir o número de avaliações ou o tempo

das mesmas é benéfica.

Uma das apostas é fazer que o método avalie apenas as variações no

meio fluido, que toma poucos segundos, e desconsiderar as variações no

sólido, que toma vários minutos. Esta estratégia não é ruim, visto que as

variações no modelo do sólido são menores em comparação com as que


18

ocorrem no modelo fluido. Em compensação, esta tentativa faz com que

sejam necessárias mais iterações, pois em última análise estamos

relaxando a solução do sólido.

O algoritmo no momento desta publicação ainda está em

desenvolvimento, em fase de debug, portanto ainda não apresentando

resultados.


19

Conclusão

O trabalho realizado neste período de estágio contou com duas

frentes bastante distintas apesar de ambas tratarem de simulação

numérica de compressores.

A primeira delas resultou em um trabalho intenso em solução

numérica em mecânica dos fluidos. Apesar do objetivo do estudo ser

aparentemente simples, o modelo impôs diversos desafios em razão da

instabilidade numérica. Essa dificuldade resultou na obtenção de diversos

recursos até então pouco utilizados.

Na outra frente um trabalho intenso em programação linear e

desenvolvimento de software, em que o software comercial, apesar de

agente no processo, não foi protagonista no trabalho, deixando maior

espaço para criatividade e aprimoramento pessoal.

Em comum aos dois trabalhos está a ausência de resultados, pois,

em ambos os casos, os conjuntos ainda estavam em fase de

desenvolvimento.


20

Referências

1. SCHREINER, João Ernesto. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA

CATARINA Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. .

Desenvolvimento de metodologias de simulação para a

análise de soluções de gerenciamento térmico aplicadas a

compressores alternativos de refrigeração. Florianópolis, SC,

2008. 1 v. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Santa

Catarina, Centro Tecnológico. Programa de Pós-Graduação em

Engenharia Mecânica.

2. ALVES, Leonardo V. Decomposicao de Cholesky e LDLt. Disponível em

<http://homepages.dcc.ufmg.br/~lalves/aulas/cn/Aula8.pdf> 3. MAFFRA, Fabíola A.; GATTASS, Marcelo. Método de Levenberg-

Marquardt. Disponível em <http://www.tecgraf.puc-

rio.br/~mgattass/LM_Fabiola/LM_Teoria.pdf> 4. Cplusplus.com - The C++ Resources Network. C++ Reference.

Disponível em <http://www.cplusplus.com/reference/>


21

Apêndice A – Decomposição de Cholesky

Modificada

A decomposição de Cholesky tradicional atesta que qualquer matriz

simétrica e positiva-definida A pode ser decomposta em LLA T , em que

L é uma matriz triangular inferior.

Uma fórmula para obter os elementos de L pode ser deduzida

utilizando esta definição, mostrada aqui para o caso de ordem 3.

2

33

2

32

2

31223221311131

2

22

2

211121

2

11

33

2322

131211

332313

2212

11 )(

00

00

00

LLLLLLLLL

LLLL

simétricoL

L

LL

LLL

LLL

LL

L

A

Não é difícil concluir que

1

1

2

1

1

1

i

kikiiii

j

kjkikij

jj

ij

LAL

LLAL

L

Entretanto, calcular raízes quadradas é caro e instável

computacionalmente. Assim não é corrente fazer a fatoração de Cholesky,

e sim, uma versão modificada, que faz a fatoração TLDLA , com D uma

matriz diagonal. Esta fatoração, além de mais estável numericamente,

permite a fatoração de matrizes que não sejam positiva-definidas.

100

10

1

00

00

00

1

01

001

32

3121

3

2

1

3231

21 L

LL

D

D

D

LL

LA

E pelo mesmo raciocínio anterior

1

1

2

1

1

para , 1

j-

kkikiii

j

kkjkikij

j

ij

DL- A D

jiDLLAD

L


22

Com a fatoração completa, podemos resolver sistemas lineares

facilmente, em aproximadamente metade do tempo que seria necessário

para a realização de uma eliminação de Gauss completa.


23

Apêndice B - Método de Levemberg-Marquardt

O método de Levemberg-Marquardt tem como sua principal

aplicação ajuste de parâmetros por mínimos quadrados.

Matematicamente, um problema de mínimos quadrados é definido

conforme o bloco a seguir:

T

mn

xfxfxFx

xfx

nmfx

2

1 para local mínimo um seja que ~ Encontre

ementeequivalent ou, mínimo, seja )~( que tal ~Encontrar

,RR: e vetor o Seja

Partindo da expansão da série de Taylor, tomando apenas a 1ª

ordem, afirma-se

hxHxFhxF F

Em que e FH representa a matriz hessiana para F e hum passo

para solução. Se xhx ~ é o mínimo procurado, então 0 hxF

Então, a direção de descida pode ser obtida como

xFhxHF

Normalmente é bastante difícil determinar, mesmo numericamente,

a matriz hessiana. Para isso, podemos recorrer à definição da função F e à

expansão de Taylor em f .

h

xF

H

xJxJh

xF

xfxJh

xF

xfxf

hxJxfhxJxfhxF

hxJxfhxf

hxfhxfhxF

TTTTT

T

T

)(2

1

)()(

2

1

2

1

2

1

Logo a função de iteração pode ser escrita como


24

fJhJJ TT

Entretanto, a matriz resultado do produto JJT pode não ter inversa,

tendo como única garantia de que ela é simétrica. Para contornar esta

deficiência e garantir que haja direção de descida, o método de

Levemberg-Marquardt adiciona um termo à matriz hessiana, garantindo

assim que a matriz seja positiva-definida, e assim seja inversível.

fJhIJJ TT

Onde é um fator chamado damping, e I é a matriz identidade.

O fator determina o comportamento da iteração do método:

Se é pequeno, descemos de acordo com Gauss-Newton

Se é grande, damos um pequeno passo na direção do gradiente.

Este damping pode ser alterado de acordo com o resultado da

iteração. Se na iteração houver ganho, podemos diminuir o seu valor.

Caso contrário, seu valor é aumentado, para que o passo seja menor e

resulte em descida.

Uma das maneiras de avaliar este ganho é comparar o ganho real

em F com o que é previsto pelo modelo linear, conforme equação abaixo:

fJhh

hxFxF

TT

2

1

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