Rendas e Taxas equivalentes

8/18/2019 Rendas e Taxas equivalentes

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Análise de Projectos

ESAPL IPVC

Taxas Equivalentes

Rendas


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Taxas Equivalentes

Duas taxas i e i’, referentes a períodos

diferentes, dizem-se equivalentes se,aplicadas a um mesmo capital, produziremdurante o mesmo prazo de tempo, o mesmo

valor acumulado.


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Taxas Equivalentes

em regime de juro simples

0 1

i

Seja i uma taxa de período unitário.

0 11/m 2/m (m-1)/m

i’

…

Fraccione-se este período unitário emm partes iguais, por forma a que cada

novo período fique igual a 1/m doperíodo de i. Seja i’ a taxa de juro parao novo período.

m é o número de vezes que o período da taxa i’ está contido no período da taxa i. Podemos então

dizer que: Período de i

Período de i’m =

De acordo com a definição, dizemos então que i e i’ são equivalentes se, durante o intervalo [0,1]produzirem o mesmo valor acumulado.


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Se o capital inicial for unitário, ou seja, C0=1, sabemos que:

1 + i é o valor acumulado para C0=1 no final do período de i ;1 + mi’ é o valor acumulado para C0=1 no final de m períodos de i’ .

Como pretendemos que esses valores sejam iguais:

(1 + i) = (1 + mi’) mi’ = i ou

i’ = i/m

Esta última expressão dá-nos a expressão para a equivalência detaxas em regime de juro simples.

Taxas Equivalentes

em regime de juro simples


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Partindo exactamente dos mesmos pressupostos anteriores,

teremos para o caso do regime de juro composto:1 + i é o valor acumulado para C0=1 no final do período de i ;(1 + i’)m é o valor acumulado para C0=1 no final de m períodos de i’ .

Como pretendemos que esses valores sejam iguais:

(1 + i) = (1 + i’)m Elevando ambos os membros a i/m obtemos mi’ = i ou

(1 + i)1/m = (1 + i’) i’ = (1 + i)1/m - 1

Esta última expressão dá-nos a expressão para a equivalência detaxas em regime de juro composto.

Taxas Equivalentes

em regime de juro composto


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Rendas

Denomina-se por Renda um conjunto decapitais que se vencem em momentosequidistantes.

Chama-se deTermo da Renda

a cada umdesses capitais.

E chama-se de Período da Renda ao

intervalo de tempo que decorre entre osvencimentos de dois termos consecutivos.


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Rendas – condição necessária

e condição suficiente

Não é condição necessária para que se fale

de uma renda que os capitais vencidos emcada momento sejam iguais.

É condição suficiente para que se fale de

uma renda que o intervalo de tempo quedecorre entre o vencimento de dois termosconsecutivos (o período da renda) seja uma

constante. Falamos assim de anuidades,

semestralidades, trimestralidades,

mensalidades, etc..


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Classificação das Rendas

Quanto ao número de termos: Renda Temporária – a que tem nº limitado de termos

Renda Perpétua – a que tem nº ilimitado de termos

Quanto à dependência de factores aleatórios: Renda Certa – a disponibilidade dos termos é

absoluta

Renda Incerta – o vencimento dos termos estácondicionado por qualquer facto aleatório


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Quanto ao momento a que são referidos os

seus Valores Actuais: Renda Imediata – o Valor Actual é referido ao

momento que coincide com o início do 1º período.

Renda Diferida – o Valor Actual é referido a ummomento anterior ao início do 1º período.

Quanto à relação entre Período e Taxa: Renda Inteira – o período da renda e o período da

taxa são coincidentes.

Renda Fraccionada – os períodos da renda e da taxa

não são coincidentes.

Classificação das Rendas


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Classificação dos Termos das

Rendas

Quanto ao seu vencimento: Termos Normais – aqueles que se vencem no fim do

período a que dizem respeito.

Termos Antecipados – aqueles que se vencem no

início do período a que dizem respeito. Quanto ao seu valor:

Termos Constantes – aqueles que apresentam todos

o mesmo valor. Termos Variáveis – aqueles que apresentam valores

desiguais.


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Valor Actual de uma Renda

Imediata

Seja a renda uma renda certa, temporária, imediata e inteira, com n termos normaise unitários:

O Valor Actual (em t ) de cada um dos seus termos será:

(1+i)-1 ; (1+i)-2 ; (1+i)-3 ; ... ; (1+i)-(n-1) ; (1+i)-n ; ou seja, uma progressãogeométrica de razão (1+i)-1 .

Calcular o Valor Actual da renda não custa então mais do que calcular o somatóriodaquela progressão.

0 1 2 t-1 t t+1 t+(n-1) t+n

1º Período Último Período

... ...

1€ 1€ 1€


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O somatório de uma progressão geométrica é dado pela expressão:

Valor Actual de uma Renda

Imediata

r

r a n

−−1)1( Em que a é o primeiro termo da progressão, r é a razão e n onúmero de termos.

Então teremos:

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) 111

1

1

1111

11111 −

+−−

−

−−

+−+−+=

+−+−+=

iii

iii

nn

V.A.Multiplicando ambos ostermos da fracção por (1+i)obtemos:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )

i

i

ii

iii nn −

−

+−−+−

=++−

++−+=

11

111

111

1

11

V.A.

Esta é a expressão que nos dá o valor actual de uma renda com as característicasanteriormente indicadas, ou seja, dá-nos no fundo o Factor de Desconto de umaRenda.


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Valor Acumulado de uma

Renda Imediata

Seja de novo uma renda certa, temporária, imediata e inteira, com n termos normaise unitários:

O Valor Acumulado ou Futuro (em t ) de cada um dos seus termos será:

(1+i)n-1

; (1+i)n-2

; (1+i)n-3

; ... ; (1+i)n-(n-1)

; (1+i)n-n

; ou seja, também umaprogressão geométrica de razão (1+i)-1 .

Calcular o Valor Acumulado desta renda não custa então mais do que calcular osomatório daquela progressão.

0 1 2 t-1 t t+1 t+(n-1) t+n

1º Período Último Período

... ...

1€ 1€ 1€


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Seguindo exactamente o mesmo raciocínio que o anterior:

Valor Acumulado de uma

Renda Imediata

( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) 1

11

1

1

11

11

11

111−

−−

−

−−

+−

+−+=

+−

+−+=

i

ii

i

ii nnn

V.F.Multiplicando ambos ostermos da fracção por (1+i)obtemos:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )i

i

ii

iii

nn

11111

1111

11

−+=++−

++−+=−

−−

V.F.

Esta é a expressão que nos dá o valor acumulado ou futuro de uma renda com ascaracterísticas anteriormente indicadas, ou seja, dá-nos no fundo o Factor deCapitalização de uma Renda.

Note-se ainda que capitalizando a expressão do Valor Actual durante n períodos, ouseja, multiplicando-a por (1+i)n, se obtém a expressão do Valor Acumulado. Pode-seassim afirmar que o valor actualizado de uma renda, capitalizado durante n períodos,é igual ao valor acumulado da mesma renda, ao fim de n períodos.


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Valor Actual e Acumulado de Renda

Imediata com Termos Antecipados

Os casos vistos anteriormente referiam-se a rendas com termos normais,ou seja, com termos vencidos no fim de cada período.

No caso da renda possuir termos antecipados, ou seja, vencidos noprincípio de cada período: O Valor Actual da Renda difere do V.A. do caso anterior pelo facto do primeiro

termo não dever ser actualizado (já que se vence no início da contagem de

tempo). Isso será o mesmo que fazer uma actualização a menos, ou seja, nofundo usar o anterior valor actual e capitalizá-lo por um período – multiplicá-lo por(1+i):

O Valor Futuro da Renda difere do V.F. do caso anterior pelo facto de faltarcapitalizar o último termo. Isso será o mesmo que fazer mais uma capitalizaçãode um período, ou seja, também multiplicar o anterior V.F. por (1+i):

( )( )i

i

i n

++−

=−

111

V.A.

( )( )i

i

i n

+−+

= 111

V.F.


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Valor Actual de Rendas

Diferidas

Quer no caso do Valor Actual duma renda temporária, certa, inteira e diferida de tperíodos com n termos normais e unitários, quer no caso do Valor Actual de umarenda temporária, certa, inteira e diferida de t+1 períodos com n termos antecipadose unitários, a expressão a utilizar será:

0 1 2 t-1 t t+1 t+(n-1) t+n... ...

1€ 1€ 1€

t+n+1

V.A. se termosnormais

V.A. se termosantecipados

( )( ) 11

1

111 −−

+=+

=+−

ii

vi

iv

n

t com ,


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Em ambos os casos, com termos normais e comtermos diferidos, o Valor Acumulado éexactamente igual ao que seria no caso dasRendas Imediatas:

Valor Acumulado ou Futuro de

Rendas Diferidas

0 1 2 t-1 t t+1 t+(n-1) t+n... ...

1€ 1€ 1€

t+n+1

V.F. se termosnormais

V.F. se termosantecipados

( )i

i n 11 −+=V.F. ( ) ( )ii

i n

+−+= 111

V.F.

No caso de termos normais No caso de termos antecipados


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Rendas Perpétuas

Se o número de termos de uma renda for ilimitado a renda terá adesignação de Perpétua, ou dir-se-á tratar-se de uma Perpetuidade.

O seu valor Actual será:

( )ii

i n

n

111lim =

+−=

−

∞→

V.A. No caso dos termos serem normais, ou:

( )i

ii

i

+=+=

11

1V.A. No caso dos termos serem antecipados.

Se a renda for diferida:

t

ii

V.A. ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

+=

1

11

No caso de uma renda perpétua, falar de valor futuro ou acumulado não fazqualquer sentido.


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Factor de Reposição do

Capital

Corresponde ao valor de cada um dos n termos de uma

renda imediata de valor actual unitário, ou seja, aomontante anual necessário para repor ao fim de nperíodos um total unitário, tendo em conta os jurossobre o montante ainda não reposto. O seu valor é dado

pelo inverso do factor de Desconto de uma Renda:

( ) t ii

−+−= 11F.R.C.

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