Reologia de Fluidos e Suspensões de Partículas análogas ao Sangue

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Bolsa de Integração à Investigação (BII) financiada pela Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT) 2008-2009 Centro de Estudos de Fenómenos de Transporte (CEFT) Estudo da Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue Orientadores: Prof. Fernando Manuel Coutinho Tavares de Pinho Profª. Mónica Sofia Neves de Freitas Oliveira Agradecimentos: Prof. Adélio Manuel de Sousa Cavadas Prof.ª Maria Josefina Figueira Ferreira Trabalho Realizado por: Nuno António Aguiar dos Santos – em07177

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Relatório da Bolsa de Integração à Investigação do Centro de Estudos de Fenómenos de Transporte - CEFT, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, FEUP

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Bolsa de Integração à Investigação (BII) financiada pela

Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT)

2008-2009

Centro de Estudos de Fenómenos de Transporte (CEFT)

Estudo da Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue

Orientadores:

Prof. Fernando Manuel Coutinho Tavares de Pinho

Profª. Mónica Sofia Neves de Freitas Oliveira

Agradecimentos:

Prof. Adélio Manuel de Sousa Cavadas

Prof.ª Maria Josefina Figueira Ferreira

Trabalho Realizado por:

Nuno António Aguiar dos Santos – em07177

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 2

Agradecimentos

Em primeiro lugar, não há que deixar de agradecer à Fundação para a Ciência e

Tecnologia (FCT) por me ter dado a oportunidade de realizar o presente trabalho no

âmbito da Bolsa de Integração à Investigação BII/UNI/532/EME/2008: “Reologia de

Fluidos Análogos ao Sangue e Suspensões de Partículas Sensíveis a Campos Eléctricos”

e ao meu coordenador Prof. Fernando Manuel Coutinho Tavares de Pinho, Professor

associado da secção de Fluidos e Calor do Departamento de Engenharia Mecânica da

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto e membro do Centro de Estudos

de Fenómenos de Transporte (CEFT), pelos conhecimentos transmitidos e pela

disponibilidade em abordar os problemas expostos durante as reuniões, não

esquecendo a coordenadora Prof.ª Mónica Sofia Neves de Freitas de Oliveira,

Investigadora auxiliar do Centro de Estudos de Fenómenos de Transporte (CEFT), pela

disponibilidade demonstrada no esclarecimento de qualquer dúvida e pelo

acompanhamento nas actividades experimentais.

Um agradecimento especial aos professores do Centro de Estudos de

Fenómenos de Transporte (CEFT): Prof. Adélio Manuel de Sousa Cavadas e Prof.ª

Maria Josefina Figueira Ferreira, pela monitorização e auxilio prestado no

laboratório.

Um último agradecimento aos meus pais, à minha namorada e aos meus irmãos,

pela compreensão e pelo apoio prestado durante a execução deste trabalho, assim

como a todos aqueles que de uma forma indirecta contribuíram para ele.

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Nuno António Aguiar dos Santos 3

Índice

1. Objectivos .................................................................................................................................. 4

2. Introdução ................................................................................................................................. 5

3. Metodologia .............................................................................................................................. 6

3.1 Reometria de Corte ............................................................................................................. 7

3.1.1 Regimes de escoamento para um fluido ...................................................................... 7

3.1.2 Lei de Newton da Viscosidade ..................................................................................... 7

3.1.3 Tipos de Fluidos ............................................................................................................ 8

3.1.4 Principais Modelos Usados em Reologia...................................................................... 9

3.1.5. Materiais viscoelásticos............................................................................................. 11

3.1.6- Reometria utilizando geometrias de medição .......................................................... 20

3.1.7- Generalidades sobre o reómetro rotacional usado .................................................. 25

3.2-Reometria extensional ...................................................................................................... 28

4. Generalidades sobre o sangue ................................................................................................ 32

4.1- Hemoreologia ................................................................................................................... 32

4.2 Cuidados a ter com o sangue ............................................................................................ 32

4.3 Constituição do sangue ..................................................................................................... 33

4.4 Circulação do sangue......................................................................................................... 35

4.5 Reologia do sangue – Alguns modelos utilizados ............................................................. 38

5 Resultados dos ensaios ............................................................................................................ 42

5.1 Análise reológica ............................................................................................................... 42

5.1.1 Ensaio extensional ...................................................................................................... 42

5.1.2 Ensaio de corte ........................................................................................................... 45

5.2 Análise Electroreológica .................................................................................................... 64

5.2.1- Suspensão de amido de milho em óleo de linhaça ................................................... 69

5.2.2- Suspensão de CarboxiMetilCelulose em óleo de linhaça ......................................... 71

5.2.3- Suspensão de óxido de alumínio em óleo de linhaça ............................................... 73

5.2.4- Efeito da intensidade do campo eléctrico nas suspensões electroreológicas .......... 76

6. Conclusões ............................................................................................................................... 79

7. Bibliografia consultada ............................................................................................................ 81

8. Anexos ..................................................................................................................................... 84

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Nuno António Aguiar dos Santos 4

1. Objectivos Este trabalho insere-se numa bolsa de iniciação à investigação financiada pela

Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT) e realizada no Centro de Estudos de

Fenómenos de Transporte (CEFT), centrando-se no estudo da reologia de fluidos

análogos ao sangue e da electroreologia de suspensões, pelo que se pretende:

Desenvolver competências na área da investigação;

Pesquisar, ler e interpretar artigos publicados a nível internacional e saber

seleccionar o que é relevante para o trabalho;

Adquirir conhecimentos técnicos na área da reologia que não são

leccionados ao longo do Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica (MIEM);

Estudar trabalhos da literatura sobre reologia do sangue (hemoreologia) e

de fluidos análogos ao sangue com vista à selecção de fluidos análogos ao sangue e á

sua caracterização experimental no reómetro rotacional em termos da viscosidade

viscométrica em regime permanente e dos módulos de elasticidade e de dissipação

em escoamento de corte oscilatório de baixa amplitude, e na medição, do tempo de

relaxação num reómetro extensional;

Aprender técnicas de reometria, com ênfase na utilização dos reómetros:

rotacional Physica MCR- 301 e de ruptura capilar Thermo-Electron Haake CaBER1;

Estudar electroreologia e reconhecer características de suspensões de

partículas sensíveis a campos eléctricos;

Seleccionar algumas suspensões de partículas, prepara-las e caracterizar a

sua reologia em função do campo eléctrico aplicado e da velocidade de deformação

de corte.

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Nuno António Aguiar dos Santos

2. Introdução

O conceito habitual de fluido remonta à ideia de que um fluido, liquido ou gás, é um material que quando sujeito a esta ideia nem sempre é válida.da junção de rheo (fluxo) e deformações decorrentes, assim como as propriedades transporte de quantidade de movimento, tais como a viscosidade, elasticidade e plasticidade. A reologia está então relacionada com a Mecânica dos Meios Contínuos, o estudo dos Fenómenos de Transna figura 1. “O estudo dos líquidos não newtonianos é normalmente conhecido como “reologia””

Figura 1- Representação esquemática da interface existente entre a reologia e a Mecânica dos Fluidos, a Mecânica dos Meios Contínuos e os Fenómenos de Transporte.

O sangue é um fluido complexo, precioso e dispendioso para ser usado em grandes quantidades em estudos laboratoriais. O sangue é uma mistura que se degrada facilmente, o que leva à necessidade de cmanuseamento, transporte e armazenamento. A sua utilização está limitada a laboratórios especialmente creditados, o que não é comum em aplicações de engenharia. Assim, são cada vez mais procurados fluidos com característireológicas semelhantes ao sangue para o estudo em Engenharia.As suspensões electro-reológicas são materiais relativamente recentes que actualmente apresentam várias aplicações, tais como em amortecedores de automóveis. Estas suspensões constituem uma electromagnetoreologia que estuda as variações do comportamento reológico de materiais sensíveis a campos electromagnéticos, sob as mesmas condições de análise reológica. Assim, tornafacilmente produzíveis em laboratório para serem utilizados em dispositivos que beneficiem das propriedades electroreológicas destes, como por exemplo, amortecedores sensíveis a impulsos eléctricos.deste estudo poderá abrir oportunidades de novas investigações nesta área e consequentemente novas aplicações que bensangue.

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O conceito habitual de fluido remonta à ideia de que um fluido, liquido ou gás, é um material que quando sujeito a um esforço de corte escoa irreversivelmente. Contudo, esta ideia nem sempre é válida. A palavra reologia deriva da palavra grega

(fluxo) e logos (estudo), portanto é o estudo do fluxo e das suas deformações decorrentes, assim como as propriedades físicas que influenciam o transporte de quantidade de movimento, tais como a viscosidade, elasticidade e plasticidade. A reologia está então relacionada com a Mecânica dos Meios Contínuos, o estudo dos Fenómenos de Transporte e a Mecânica dos Fluidos, tal

O estudo dos líquidos não newtonianos é normalmente conhecido como “reologia”” [Massey, B., 2002]

Representação esquemática da interface existente entre a reologia e a Mecânica dos Fluidos, a Mecânica dos Meios Contínuos e os Fenómenos de Transporte.

O sangue é um fluido complexo, precioso e dispendioso para ser usado em grandes quantidades em estudos laboratoriais. O sangue é uma mistura que se degrada facilmente, o que leva à necessidade de cuidados especiais na sua colheita, manuseamento, transporte e armazenamento. A sua utilização está limitada a laboratórios especialmente creditados, o que não é comum em aplicações de engenharia. Assim, são cada vez mais procurados fluidos com característireológicas semelhantes ao sangue para o estudo em Engenharia.

reológicas são materiais relativamente recentes que actualmente apresentam várias aplicações, tais como em amortecedores de automóveis. Estas suspensões constituem uma nova área da reologia designada por electromagnetoreologia que estuda as variações do comportamento reológico de materiais sensíveis a campos electromagnéticos, sob as mesmas condições de análise reológica. Assim, torna-se interessante seleccionar fluidos electroreológicos facilmente produzíveis em laboratório para serem utilizados em dispositivos que beneficiem das propriedades electroreológicas destes, como por exemplo, amortecedores sensíveis a impulsos eléctricos. A conclusão que se obterá da análise

ste estudo poderá abrir oportunidades de novas investigações nesta área e consequentemente novas aplicações que beneficiem das propriedades

Reologia

Mecânica

dos Fluidos

Fenómenos

de

Transporte

Mecânica

dos Meios

Continuos

2008/2009

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O conceito habitual de fluido remonta à ideia de que um fluido, liquido ou gás, é um escoa irreversivelmente. Contudo,

A palavra reologia deriva da palavra grega rheologos (estudo), portanto é o estudo do fluxo e das suas

físicas que influenciam o transporte de quantidade de movimento, tais como a viscosidade, elasticidade e plasticidade. A reologia está então relacionada com a Mecânica dos Meios Contínuos,

porte e a Mecânica dos Fluidos, tal como mostrado

O estudo dos líquidos não newtonianos é normalmente conhecido como “reologia””

Representação esquemática da interface existente entre a reologia e a Mecânica dos Fluidos, a

O sangue é um fluido complexo, precioso e dispendioso para ser usado em grandes quantidades em estudos laboratoriais. O sangue é uma mistura que se degrada

uidados especiais na sua colheita, manuseamento, transporte e armazenamento. A sua utilização está limitada a laboratórios especialmente creditados, o que não é comum em aplicações de engenharia. Assim, são cada vez mais procurados fluidos com características

reológicas são materiais relativamente recentes que actualmente apresentam várias aplicações, tais como em amortecedores de

nova área da reologia designada por electromagnetoreologia que estuda as variações do comportamento reológico de materiais sensíveis a campos electromagnéticos, sob as mesmas condições de análise

electroreológicos facilmente produzíveis em laboratório para serem utilizados em dispositivos que beneficiem das propriedades electroreológicas destes, como por exemplo,

A conclusão que se obterá da análise ste estudo poderá abrir oportunidades de novas investigações nesta área e

eficiem das propriedades reológicas do

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3. Metodologia

A medição das propriedades reológicas de um fluido, reometria, pode ser feita modo a estudar diferentes tipos de propriedades. análise reológica, tal como a que foi feita para a caracterização dos fluidos análogos ao sangue, ou electroreológica, tal como a que foi feita para a selecção de fluidoselectroreológicos. Na caracterização dos fluidos análogos ao sangue, ensaio experimental que permitem estudar a reologia dos fluidos nãoReometria rotacional, Reometria extensional.electroreológicos para serem utilizados em aplicações de baixo custo, foi usado um método de ensaio experimental que consistiu no ensaio rotacional (de corte) de uma suspensão sujeita a uma tensão eléctrica constante durante todo o ensaio.metodologia encontra-se resumidamente esquematizada na figura 2.

Figura 2

Análise reológica

Reometria extensional

Ensaio extensional

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A medição das propriedades reológicas de um fluido, reometria, pode ser feita modo a estudar diferentes tipos de propriedades. A reometria pode ter por base uma análise reológica, tal como a que foi feita para a caracterização dos fluidos análogos ao sangue, ou electroreológica, tal como a que foi feita para a selecção de fluidos

Na caracterização dos fluidos análogos ao sangue, foram usados dois métodos de permitem estudar a reologia dos fluidos não

Reometria extensional. Quanto à selecção dos fluidos lectroreológicos para serem utilizados em aplicações de baixo custo, foi usado um

método de ensaio experimental que consistiu no ensaio rotacional (de corte) de uma suspensão sujeita a uma tensão eléctrica constante durante todo o ensaio.

se resumidamente esquematizada na figura 2.

Figura 2- Tipos de ensaios realizados na reometria.

Reometria

Análise reológica

Ensaio extensional

Reometria rotacional

Ensaio de corte

Ensaio oscilatório

Análise electroreológica

Reometria electrorotacional

Ensaio de corte sujeito a uma tensão eléctrica constante

2008/2009

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A medição das propriedades reológicas de um fluido, reometria, pode ser feita de A reometria pode ter por base uma

análise reológica, tal como a que foi feita para a caracterização dos fluidos análogos ao sangue, ou electroreológica, tal como a que foi feita para a selecção de fluidos

dois métodos de permitem estudar a reologia dos fluidos não-newtonianos:

Quanto à selecção dos fluidos lectroreológicos para serem utilizados em aplicações de baixo custo, foi usado um

método de ensaio experimental que consistiu no ensaio rotacional (de corte) de uma suspensão sujeita a uma tensão eléctrica constante durante todo o ensaio. Toda esta

se resumidamente esquematizada na figura 2.

Análise electroreológica

Reometria electrorotacional

Ensaio de corte sujeito a uma tensão eléctrica constante

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3.1 Reometria de Corte

A reometria de corte permite medir determinadas funções materiais, nomeadamente a viscosidade de corte, a primeira e a segunda diferença de tensões normais e os módulos de conservação e perdas, entre outras. (Alves 2009)

3.1.1 Regimes de escoamento para um fluido

Existem três tipos de regime em que um fluido pode escoar: laminar, transitório e turbulento. No escoamento em regime laminar num tubo, a velocidade tem somente uma componente ao longo do eixo. Em regime turbulento, embora a componente principal, não estacionária, seja ao longo do eixo, a velocidade tem também componentes nas direcções normais ao eixo. Em regime laminar o efeito das forças viscosas supera o efeito das forças de inércia, ao contrário do que acontece em regime turbulento. (Campos 2007)

O grupo adimensional de Reynolds representa a razão entre estas forças, pelo que o seu valor permite saber quando é que uma delas se "sobrepõe" ou “domina” a outra.

�� =������ �� �� ç�� � ��é ���

������ �� �� � �������� (1)

Por observações experimentais concluiu-se que, num tubo de secção recta circular, desde que não haja perturbações ao escoamento, o regime é laminar quando o número de Reynolds é inferior a 2100 e é turbulento quando é superior a 4000. Entre estes dois limites, o regime é de transição. Estes valores limites variam conforme a geometria do tubo confinante, em particular são função da dimensão característica escolhida para definir o número de Reynolds. (Campos 2008, Massey 2002)

3.1.2 Lei de Newton da Viscosidade

Considere-se um fluido contido entre duas placas planas paralelas, de área A,

separadas por uma distância H. Uma força F��

é aplicada na placa superior, fazendo

com que a placa entre em movimento, a uma velocidade u�

constante em relação à placa inferior, que é mantida fixa, conforme mostra a Figura 3.

Figura 3- Representação esquemática do escoamento de Couette entre duas placas paralelas.

u=u(y)

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Esta força F�� dá origem a uma força com a mesma intensidade, mas de sentido

contrário, que é a força de corte que se desenvolve devido às forças de coesão do fluido sobre as paredes da placa e entre as camadas de fluido, assumindo que o escoamento ocorre em regime laminar. Este escoamento tangencial promovido pelo movimento da parede é designado habitualmente por escoamento de Couette.

A força de corte dá origem a um gradiente de velocidade, du

dy, entre as placas que,

no caso do escoamento ser laminar, em regime estacionário (escoamento em que a

velocidade não varia com o tempo, v

t

∂= 0) só depende da ordenada do ponto que

estamos a estudar, y. Supondo que não haja deslizamento do fluido nas paredes das placas, a velocidade do fluido nas placas adjacentes a este será igual à velocidade das mesmas. Logo, a velocidade do fluido na placa inferior será nula e a do fluido na placa superior terá o valor de U- condição de não-deslizamento. (Bird et al. 2001, Musson et al. 2002) O perfil de velocidades segundo o eixo dos xx, u , é somente função da coordenada transversal y e varia linearmente na forma,

yu U

H= (2)

Pelo que a taxa de deformação será constante em todo o domínio,

du U

dy Hγ = =� (3)

Note-se que esse gradiente de velocidades na direcção do eixo dos xx coincide com a taxa de deformação de corte. (Munson et al, 2007) A viscosidade dinâmica define-se, por analogia com a lei de Newton para a viscosidade, como a razão entre a tensão de corte e a respectiva taxa de deformação,

( )xy xy

dudy

τ τµ γ

γ= =�

� (4)

A viscosidade dinâmica ou simplesmente viscosidade, µ, é uma importante propriedade na caracterização de um fluido, pois dá uma ideia da intensidade da agitação permanente entre as partículas do fluido em causa, isto é, reflecte o movimento browniano que cria uma resistência aos fluxos de quantidade de movimento. (Gray et al. 2007, Pinho 2009)

3.1.3 Tipos de Fluidos

Os fluidos podem ser classificados quanto à relação entre a tensão de corte, τ, e taxa de deformação de corte, γ� em newtonianos e não-newtonianos, consoante possam

ser descritos ou não pela equação (4). Apesar da maioria dos fluidos não newtonianos apresentar comportamento reofluidificante, existem algumas excepções: em certas suspensões de partículas irregulares é possível observar um comportamento reoespessante (fluidos dilatantes), isto é, a viscosidade de corte aumenta com a taxa de deformação.

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Figura 4- Comportamento de diferentes fluidos sujeitos a tensões de corte.

Por outro lado, as suspensões de partículas regulares (esféricas) apresentam um comportamento misto, sendo reofluidificantes a baixas velocidades de corte mas reoespessantes a elevadas taxas de deformação quando a concentração de partículas é elevada. (Pinho 2009)

3.1.4 Principais Modelos Usados em Reologia

Existem vários modelos para descrever matematicamente os comportamentos dos fluidos indicados na figura 4. O modelo mais geral para a caracterização de suspensões em reologia é o modelo de Cross, em homenagem ao reólogo Malcolm Cross que estudou corantes e dispersões de pigmentos, que é descrito pela seguinte lei constitutiva:

0

1

1 ( )m

K

µ µ

µ µ γ∞

−=

− + � (5)

Em que K possui unidades de tempo e m é uma constante adimensional. Considere-se o comportamento de um fluido, descrito pela Figura 2, onde é possível definir dois patamares de viscosidade constante: um deles para uma taxa de deformação de corte próxima de zero, em que se define viscosidade de corte nula,

0µ , e outro para uma taxa de deformação de corte elevada, em que se define

viscosidade de corte infinita, µ∞ . (Barnes 2000, Zhang 2008)

Figura 5- Identificação de dois patamares de viscosidade constante no estudo da variação da viscosidade

de corte com a taxa de deformação de um dado fluido.

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Também existe um outro modelo utilizado na avaliação do comportamento reológico dos materiais denominado por Modelo de Carreau. Este modelo é bastante semelhante ao Modelo de Cross, definido através da expressão:

2 20

1

(1 ( ) )m

K

µ µ

µ µ γ

−=

− + �

(6)

Ambos os modelos apresentam descrições que só diferem na zona intermédia para valores baixos de K γ� ( 1Kγ� ∼ ).

O Modelo de Cross, pode ser reduzido a outros modelos, tais como o modelo de Sisko, a Lei de Potência e o modelo de fluido newtoniano. Para muitos fluidos, a elevadas taxas de deformação de corte, verifica-se que

0µ µ∞>> e 1Kγ >>� , e é cómodo utilizar a equação constitutiva que descreve o

modelo de Sisko:

0

( )mK

µµ µ

γ∞= +

� (7)

A Lei de Potência, também conhecida por modelo de Orswado-de-Waele, é um modelo matemático que pode ser deduzido através do modelo de Sisko, admitindo

que µ∞ é pequeno, sendo dada pela expressão:

nKτ γ= � (8)

Em que K é designado por factor de consistência e n é o índice da lei de potência.

A expressão (8) pode ser escrita em função da viscosidade, por aplicação da lei de Newton da viscosidade:

1nKµ γ −= � (9)

Este modelo descreve o comportamento dos fluidos reofluidificantes, em que n<1, e dos fluidos reoespessantes, em que n>1. (Barnes 2000) Se n=1, a equação (8) reduz-se à Lei de Newton da viscosidade para fluidos newtonianos, equação (4), tal como se pode inferir da equação (9).

Os fluidos de Bingham (B) são fluidos que possuem uma tensão de cedência, 0τ , e

que após serem submetidos a uma tensão de corte superior à sua tensão de cedência, escoam com um comportamento newtoniano. A descrição matemática deste comportamento é feita através do modelo de Bingham, que consiste na sobreposição

do comportamento de um sólido (com uma dada tensão de cedência, 0τ ) com o

comportamento de um fluido newtoniano, descrito pela Lei de Newton da viscosidade, equação (4), o que resulta na seguinte expressão:

0 pτ τ µ γ= + � (10)

Em que pµ é a viscosidade plástica que coincide com a viscosidade infinita, µ∞ .

Por analogia, os fluidos de Herschel-Bulkley são fluidos que possuem uma tensão de

cedência, 0τ , e que após serem submetidos a uma tensão de corte superior á sua

tensão de cedência, escoam com um comportamento reofluidificante ou

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reoespessante consoante o seu índice de potência, n. A descrição matemática deste comportamento é feita através do modelo de Herschel-Bulkley, que consiste na sobreposição do comportamento de um sólido (com uma dada tensão de cedência,

0τ ) com o comportamento de um fluido descrito pela lei de Potência, equação (8) e

(9), o que resulta na seguinte expressão:

0

nKτ τ γ= + � (11)

Como se pode reparar através da análise das equações (10) e (11), o modelo de Bingham é um caso particular do modelo de Herschel-Buckley. [Barnes, H., 2000] Para finalizar a análise dos fluidos com tensão de cedência, também existem o modelo de Casson que descreve o comportamento dos fluidos de Casson, dado pela expressão:

0 pτ τ µ γ= + � (12)

Que se pode escrever sob a seguinte forma:

0 02p p

τ τ µ γ τ µ γ= + +� � (13)

3.1.5. Materiais viscoelásticos

Para além da tensão aplicada, o factor tempo também influência as propriedades de um fluido não-newtoniano. Assim classificam-se fluidos, quanto à sua dependência no tempo, em reopécticos, caso a viscosidade aumente com o tempo, e em tixotrópicos, caso a viscosidade diminua com o tempo. Esta classificação aplica-se quando a dependência do tempo é irreversível, isto é, quando não existe armazenamento de energia elástica, somente dissipação. (Alves 2009) Por último existem determinados fluidos viscoelásticos, denominados por fluidos de Boger em que é possível observar uma viscosidade de corte aproximadamente constante, apesar do seu comportamento não newtoniano. (Pinho 2009)

3.1.5.1 Modelo de Kelvin-Voigt e de Maxwell

Os materiais viscoelásticos, que tal como o nome indica exibem características viscosas (como os líquidos) e também características elásticas (como os sólidos), podem ser descritos pelo Modelo de Kelvin-Voigt, que consiste na analogia entre uma mola (representa as propriedades elásticas do material) e um amortecedor (representa as propriedades viscosas material). A lei constitutiva deste modelo pode ser obtida através do princípio da sobreposição dos esforços, considerando que a tensão total é a soma da tensão devida à componente elástica (mola) com a componente viscosa (amortecedor), isto é,

Eσ ε µε= + � (14)

Na figura 6 é representado o comportamento puramente elástico de uma mola, e na figura 7 é representado o comportamento puramente viscoso do amortecedor, quando sujeitos a um esforço axial de tracção.

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Figura 6- Mola com comportamento idealmente elástico. (Silva 2005)

Figura 7- Modelo físico da deformação viscosa: (a) amortecedor (b) representação esquemática

(c) variação linear da tensão com a taxa de deformação (caso ideal). (Silva 2005)

A expressão (14) é uma junção da lei de Hooke com a lei de Newton da viscosidade, podendo ser vista como sendo uma equação diferencial que pode ser resolvida, considerando que a seguinte equação é uma solução particular da equação.

0

E

σε = (15)

A solução dessa equação é:

0

Et

CeE

µσε

= + (16)

Admitindo que para t=t0, a deformação é nula, 0ε = , obtém-se:

0( )0 1

Et t

eE

µσε

− − = −

(17)

Para um dado instante t=t1 (t1>t0), a deformação é:

1 0( )0

1 1

Et t

eE

µσε

− − = −

(18)

Esta deformação tem características de uma deformação por fluência, uma vez que aumenta sem variação de tensão e a taxa de deformação diminui com o tempo. (Silva 2005) Na figura 8 encontra-se representado o comportamento no tempo do modelo de Kelvin-Voigt.

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Figura 8- Representação esquemática do Modelo de Kelvin-Voigt. (Silva 2005)

Como podemos observar no gráfico ( )tε ε= , em cima, toda a deformação é

recuperada. Estamos, pois na presença de um comportamento característico de um “sólido”. Num fluido, só parte da deformação pode ser recuperada. Podemos afirmar que apesar do amortecedor dissipar energia, a deformação é recuperável (é uma deformação elástica), desde que tenda assimptoticamente para zero. Note-se que o amortecedor, ao contrário da mola, quando sujeito a uma tensão não se deforma instantaneamente, mas escoa. Com o aumento da deformação no tempo, a tensão aumenta na mola e, como consequência, diminui no amortecedor, o que provoca uma queda da sua taxa de deformação.

Fazendo t →∞, tem-se a equação (15), 0

E

σε = , verificamos então que o termo que

envolvia a taxa de deformação desaparece, isto é, toda a tensão é transferida para a

mola. O tempo de reacção deste modelo é determinado pela quantidade E

µ,

designada por módulo de fluência ou coeficiente de relaxação, cujo inverso é designado por tempo de retardação. Uma associação em serie da mola com o amortecedor é descrita pelo Modelo de Maxwell. A taxa de deformação total deste modelo é a sobreposição das taxas de deformação da mola e do amortecedor. A lei constitutiva que o descreve é:

E

σ σε

µ= +�

� (19)

Ao contrário do Modelo de Kelvin, o Modelo de Maxwell é uma equação diferencial cuja solução é uma tensão e não uma deformação. (Silva 2005)

Admitindo que 0Eσ ε= , para t=t0, é uma solução particular da equação diferencial,

então resolvendo-a obtém-se:

0( )

0

Et t

E e µσ ε− −

= (20)

Da equação 20 podemos concluir que a tensão é uma função exponencial do tempo afectada por propriedades elásticas, tais como o módulo de Young (E) e propriedades

viscoelásticas, tais como o tempo de relaxação, Eµ .

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 14

Figura 9- Modelo de Maxwell: (a) Fluência; (b) Relaxação. (Silva 2005)

Como foi mencionado anteriormente, o amortecedor não se deforma instantaneamente, a deformação imposta é a primeira totalmente transmitida para a

mola, o que causa a tensão inicial, 0Eσ ε= . Esta tensão decresce no tempo, com a

deformação do amortecedor, visto que este causa uma redução na tensão aplicada à mola. (Silva 2005)

O tempo de reacção deste modelo é determinado pela quantidade E

µ, designada por

tempo de relaxação, cujo inverso é designado por módulo de relaxação.

3.1.5.2 Outros modelos reológicos

A combinação dos 2 modelos dá lugar ao modelo de Burgers que consiste na combinação em série de uma mola com um amortecedor mais um arranjo paralelo de um amortecedor com uma mola. Existe, portanto, uma infinidade de combinações possíveis, tanto em série como em paralelo, entre um dado número de molas, m, e um dado número de amortecedores, n. (Qaisar 1989)

Algumas dessas combinações utilizadas na caracterização dos materiais viscoelásticos encontram-se representadas na tabela 1, acompanhadas pela sua respectiva equação constitutiva.

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 15

Tabela 1- Outros modelos usados na caracterização dos materiais viscoelásticos.

3.1.5.3 Efeito Weissenberg

O efeito de Weissenberg é um fenómeno provocado devido à viscoelasticidade dos materiais e consiste em mergulhar um veio num material viscoelástico, e de seguida aplicar ao veio uma dada velocidade de rotação. Verifica-se que enquanto o veio roda, o material sobe pelo veio, devido às tensões normais geradas no escoamento, tal como se pode observar na figura 10. (Bonn et al. 2004)

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 16

Figura 10- Efeito de Weissenberg num material viscoelástico. (Pinho 2009)

3.1.5.4 Caracterização reológica dos fluidos viscoelásticos

Os principais fluidos estudados em Reologia podem ser resumidos no esquema abaixo indicado.

Figura 11- Classificação esquemática dos fluidos mais importantes em Reologia.

3.1.5.4.1 Escoamento de corte simples

Para fluidos que exibem propriedades viscoelásticas observa-se experimentalmente que, num escoamento de corte simples, surge uma força normal que tende a afastar as placas paralelas. Essa força normal advém do coeficiente da primeira diferença de

tensões normais 1ψ , não ser nulo. Esta propriedade material define-se pelo

quociente entre a primeira diferença de tensões normais, 1N , e o quadrado da taxa

de deformação, isto é,

11 2 2( )

xx yyN σ σψ γ

γ γ

−≡ =�� �

(21)

Verifica-se experimentalmente que a generalidade dos fluidos viscoelásticos

apresenta um comportamento reofluidificante em 1ψ , partindo de um patamar

constante a baixas taxas de deformação. Embora 1ψ seja usualmente positivo para a

generalidade dos líquidos poliméricos, tem-se constatado experimentalmente que poderá ser negativo no caso particular dos cristais líquidos. (Alves 2009)

Fluidos

Newtoniano

Não newtoniano

Viscoelásticos

Puramente

viscosos (inelásticos)

Independentes

do tempo

Sem tensão de

cedência

Com tensão de

cedência

Bingham

Herschel-Bulkley

Dependentes do

tempo

Reopécticos

Tixotrópicos

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 17

Um outro parâmetro que é possível obter num escoamento de corte é chamada

coeficiente da segunda diferença de tensões normais, 2ψ , definido por:

22 2 2( )

yy zzN σ σψ γ

γ γ

−≡ =�� �

(22)

Em que 2N representa a segunda diferença de tensões normais. A determinação

experimental de 2ψ não é simples e envolve habitualmente várias medições num

reómetro. Para fluidos viscoelásticos observa-se experimentalmente que 2ψ é

geralmente negativo, e o seu valor absoluto é significativamente inferior ao de 1ψ

(tipicamente 2 10,2ψ ψ≤ ).

Para fluidos newtonianos, as tensões normais num escoamento de corte simples são nulas ( 0xx yy zzσ σ σ= = = ) logo as diferenças de tensões normais também o são (

1 2 0N N= = ), assim como ambos os coeficientes das diferenças das tensões normais (

1 2 0ψ ψ= = ).

Concretizando, existem 3 parâmetros independentes que podem ser obtidos através da reometria de corte e que permitem caracterizar o comportamento de um material: a viscosidade de corte, µ , e o coeficiente da primeira e da segunda

diferença de tensões normais, 1ψ e 2ψ , respectivamente. (Alves 2009)

3.1.5.4.2 Ensaio dinâmico

Como complemento às medições em escoamento de corte no regime permanente, realizam-se ensaios dinâmicos com vista a caracterizar o efeito da elasticidade. Para tal aplicam-se tensões (ou deformações, dependendo do modelo que estamos a utilizar) de pequena amplitude com carácter sinusoidal. As tensões (ou deformações) aplicadas deverão ser suficientemente baixas para evitar a destruição estrutural do material, e para que as funções materiais medidas sejam independentes da tensão aplicada, permitindo assim estudar o comportamento viscoelástico dos materiais. Dado um aparato semelhante ao ilustrado na figura 12, ao aplicar uma deformação oscilatória sinusoidal à placa superior,

( ) ( )0.t sen tγ γ ω=

(23)

Verifica-se experimentalmente que, para materiais viscoelásticos, a tensão de corte encontra-se desfasada relativamente à deformação induzida, tal como se pode ver na figura 12.

Figura 12- Desfasamento da tensão de corte relativamente à deformação a que a amostra é sujeita num

escoamento dinâmico de corte.

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Nuno António Aguiar dos Santos 18

Assim sendo, a tensão de corte é dada pela expressão:

( )0.xy sen tτ τ ω δ= + (24)

Em que δ é designado por ângulo de perdas, e traduz-se o desfasamento entre a deformação e a tensão. Desenvolvendo matematicamente a expressão (23), tem-se:

[ ]0. cos( ). ( ) ( ).cos( )xy sen t sen tτ τ δ ω δ ω= + (25)

De onde se pode concluir que a tensão de corte pode ser expressa com a soma de uma contribuição elástica, em fase com a deformação, e de uma contribuição

puramente viscosa (dissipativa) desfasada em 2

π . Fazendo 0 0Gτ γ= (25), em que G

é o módulo de rigidez ao corte definido pela expressão:

2(1 )

EG

ν=

+( 26)

Sendo ν o coeficiente de Poisson do material, tem-se:

( ) ( )0. . ( ) .cos( )xy

G sen t G tτ γ ω ω ω ω′ ′′ = + (27)

Surge assim o conceito de módulo de armazenamento (conservação), G′ , e de

módulo de perdas, G′′ . A componente elástica (comportamento sólido) a uma dada

velocidade angular, ω, é caracterizada pelo módulo de conservação, G′ , e a

componente viscosa (comportamento fluido), G′′ . (Barnes 2000)

Os módulos,G′ e G′′ são dados pelas seguintes expressões:

0

0

cos( )Gτ

δγ

′ =

(28)

0

0

( )G senτ

δγ

′′ = (29)

Note-se que estes módulos possuem unidades de pressão, tais como o módulo de rigidez ao corte, G. Dividindo uma expressão pela outra, tem-se:

( )tanG

′′=

′ (30)

Existe também o Módulo Complexo, G∗ , que é um parâmetro que combina a resposta

sólida com a resposta liquida, definida pela expressão:

2 2G G G

∗ ′ ′′= + (31)

Se a resposta da tensão se encontrar em fase com a deformação, isto é, δ =0, então

0

0 2(1 )

EG G

τ

γ υ′ = = =

+e 0G′′ = , logo o material diz-se perfeitamente elástico. Por

outro lado, se a resposta da tensão se encontrar em fase com a deformação, isto é,

2

πδ = , então: 0G′ = e .G µ ω′′ = , logo o material diz-se puramente viscoso (fluido

newtoniano).

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Nuno António Aguiar dos Santos 19

O modelo de Maxwell é matematicamente descrito pela seguinte equação constitutiva:

2

2

1

GG

G

G

µω

µω

′ =

+

(32)

2

.

1

G

G

µ ω

µω

′′ =

+

(33)

Devido ao aparecimento de escoamentos secundários, provocados por efeitos de inércia no escoamento, alguns ensaios podem ser seleccionados como válidos, inválidos ou válidos numa dada região para baixas frequências, tal como mostra a figura 13. O ensaio diz-se inválido quando se desconhece o tipo de escoamento secundário que vigora ao longo do ensaio. Logo, todos os ensaios reológicos devem ser feitos através de escoamentos cinemáticos conhecidos. (Barnes 2000)

Figura 13- Efeitos da inércia em escoamento oscilatório.

O ponto de intersecção do gráfico abaixo ocorre quando G′′ atinge o seu valor

máximo, igualando-se ao valor de G′ , de modo a que G G′ ′′= , tal como indicado na figura 14. Esse valor é atingido para uma frequência igual ao inverso do tempo de

relaxação, isto é, para uma frequência igual a G

µ.

Figura 14- Comportamento descrito pelo Modelo de Maxwell num ensaio oscilatório, com o ponto de intersecção indicado.

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Nuno António Aguiar dos Santos 20

Note-se que um fluido não-newtoniano a baixas frequências comporta-se como um fluido newtoniano. (Alves 2009)

Chama-se número de Deborah,e

D , ao quociente entre o tempo de relaxação e o

tempo de teste, ou seja,

�� =����� � �����çã�

����� � ����� (34)

Baixos números de Deborah indicam comportamento viscoso (liquido) e elevados números de Deborah indicam comportamento elástico (sólido). (Whorlow 1992) Resumindo, existem várias formas de medir o tempo de relaxação de um fluido:

(1) Num ensaio extensional; (2) Num ensaio oscilatório de baixa amplitude; (3) Num escoamento Couette, pois o tempo de relaxação é dado por:

1 1

2 22

1 1 1 1 1

2 2 . 2 . 2 2 ..

xx yy xx yy xx yy

xy xy

N σ σ σ σ σ σλ

τµ µ γ µ γ τ γγ

γ

− − −Ψ= = = = =

� � ��

(35)

Sendo 0yy

σ = , então:

1

2 .

xx

xy

σλ

τ γ=

� (36)

3.1.6- Reometria utilizando geometrias de medição

3.1.6.1 Prato-Cone

Embora existam reómetros de placas paralelas, o seu uso não é prático, por razões tecnológicas, uma vez que apenas é possível deformar a amostra de uma forma limitada. Geralmente utilizam-se reómetros rotativos, os quais promovem o escoamento da amostra entre dois cilindros concêntricos, discos paralelos, ou entre um cone e um prato. Na Figura 15 ilustra-se uma geometria cone e prato, frequentemente usada em reometria, dado que promove uma taxa de deformação uniforme em toda a amostra. (Alves 2009)

Figura 15- Ilustração de uma geometria de cone e prato usada em reometria.

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Nuno António Aguiar dos Santos 21

A tensão de corte relaciona-se com o binário, Т, através da expressão:

3

3( ).

2xy

T

Rτ µ γ γ

π= =� � (37)

E a primeira diferença de tensões normais pode ser obtida a partir da equação:

( ) 2

1 1 2

2.

FN

Rψ γ γ

π= =� � (38)

Em que F representa uma solicitação vertical que tende a separa o cone do prato, e que tem origem na componente elástica da tensão dos fluidos viscoelásticos (devido à existência de tensões normais não nula). Por outro lado, para elevadas velocidades de rotação do cone, as forças de inércia podem ter uma influência significativa, originando uma força normal negativa, que pode ser estima pela equação:

2 2

1, 0,15inerciaN Rρω= − (39)

Em ensaios realizados a velocidades elevadas, ou seja, a elevadas taxas de corte, surgem escoamentos secundários (vórtices de Taylor) derivados de instabilidades inérciais. Esses vórtices alteram os resultados obtidos nos ensaios de forma

significativa. A figura 16 (b) mostra a leitura que se obtém no gráfico ( )µ µ γ= �

quando os efeitos das forças de inércia se sobrepõem aos efeitos das forças viscosas.

(a) (b)

Figura 16- (a) Aparecimento de escoamentos secundários. (b) Efeito dos escoamentos secundários nos resultados do ensaio.

Em que R� é um número adimensional, r é a distância do eixo de revolução à partícula de fluido mais distante, ω é a velocidade angular, α é o ângulo que o cone

descreve com a placa horizontal e ν é a viscosidade cinemática. Quando 0.5R ≥� , ocorre a formação dos vórtices de Taylor. (Barnes 2000) Admitindo que r=R (raio do cone), isto é que todo o fluido está confinado ao limite imposto pelo cone, tal como na figura 16 (a), pode-se escrever:

2 2.0,5

12

R ω αµ

ρ

≤ (40)

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Nuno António Aguiar dos Santos 22

Fazendo ( ).tanω γ α= � , obtém-se:

( )2 2tan .

0,5

12

R γ α α

µ

ρ

≤�

(41)

Como o ângulo é pequeno, 1ºα = , pode-se fazer a seguinte aproximação: ( )tan α α≈

, substituindo em (42) tem-se:

2 3

6

R αµ ρ γ≤ � (42)

Logo, a seguinte expressão permite obter o valor da viscosidade que se pode medir para um valor da taxa de deformação de corte máximo na zona em o ensaio pode ser considerado válido.

2 3

max6

R αµ ρ γ= � (43)

3.1.6.2 Cilindros Concêntricos

A medição em cilindros concêntricos consiste em colocar a amostra a analisar entre o espaço existente entre os dois cilindros, manter o cilindro com maior diâmetro exterior fixo e aplicar uma velocidade angular constante,

ω , ao cilindro interior, de

modo a promover um escoamento Couette. Se designarmos o raio do cilindro interior

por 1R , e o outro raio por 2R , então a taxa de deformação de corte será dada por:

2

2 1

R

R R

ωγ =

−� (44)

(a) (b)

Figura 17- (a) Cilindro exterior de raio 2R (b) Geometria de encaixo na árvore do reómetro (cilindro

interior de raio 1R ).

Considerando desprezáveis os efeitos do escoamento abaixo do cilindro, a tensão de corte, τ , é dada pela expressão:

2

12

T

R Hτ

π= (45)

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Nuno António Aguiar dos Santos 23

Em que H é a altura da parte recta (não cónica) do cilindro interior. Aplicando em (46) a equação (4) e (45), obtém-se:

2 1

2

2 12

R R T

R R Hµ

ω π

−= (46)

Para fluidos pouco viscosos a escoarem no interior de dois cilindros concêntricos (tal como mostrado na figura 18) com o cilindro interior a rodar a elevadas velocidades, formam-se escoamentos estacionários provocados por instabilidades inérciais chamados Vórtices de Taylor quando a rotação excede um valor crítico. Essa rotação crítica depende da geometria e do fluido, e define-se de forma generalizada através do número de Taylor que consiste numa relação entre os efeitos das forças centrífugas e os efeitos das forças viscosas, isto é,

�� =������ �� �� � ���� ������

������ �� �� � �������� (47)

Figura 18- Características da geometria de cilindros concêntricos.

Para uma geometria de cilindros concêntricos, semelhante à mostrada na figura 19, o número de Taylor é dado pela seguinte expressão:

( )2 4 2

2 11

22

1

2

2

1

a

R RRT

R R

R

ρω

µ

− =

(48)

Para espaçamentos pequenos entre o raio exterior e o interior, 1

2

0,95R

R> , o número

de Taylor critico é aproximadamente 1700, mas para espaçamentos grandes (

2

1

1,25R

R< ) é dado por:

2

1

1700 110

a

RT

R

= +

(49)

Na figura 19, encontra-se representada a geometria de cilindros concêntricos utilizada.

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Nuno António Aguiar dos Santos 24

Figura 19- Geometria de cilindros concêntricos.

Para valores do número de Taylor superiores ao valor do número de Taylor critico, surgem escoamentos secundários, tal como mostra a figura 20, que afectam drasticamente a medição, geralmente quando se atingem escoamentos com números superiores ao número crítico, a experiência apresenta valores muito distanciados dos previstos, pelo que se pára o ensaio. (Barnes 2000, Whorlow 1992)

Figura 20- Escoamentos secundários, vórtices de Taylor, formados pela rotação dos cilindros

concêntricos.

3.1.6.3 Prato-Prato

Considere-se um escoamento torsional, formado entre os dois pratos, tal como mostrado na figura 21, induzido pelo movimento de rotação do prato de cima. A taxa de deformação para este escoamento é dada por:

R

h

ωγ =� (50)

Em que R é o raio do prato e h é a distância que separa os dois pratos. (Whorlow 1992)

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Nuno António Aguiar dos Santos 25

Figura 21- Representação esquemática do uso da geometria prato-prato.

A viscosidade do fluido pode ser obtida através da seguinte expressão:

4

9 ..

8

M h

π ω= (51)

3.1.7- Generalidades sobre o reómetro rotacional usado

O reómetro utilizado neste trabalho foi o reómetro rotacional Physica MCR301TM, fornecido pela empresa Anton Paar GmbH e possui várias geometrias, tais como:

Pratos paralelos de diâmetro 50 e 75 mm;

Cone e Prato de diâmetro 50 e 75 mm, com ângulos de inclinação de 1 e 2º;

Cilindros Concêntricos de diâmetro 17 e 27 mm;

(a) (b) Figura 22- (a) Reómetro rotacional Physica MCR301TM e (b) detalhe de um sistema de pratos paralelos.

Na figura 23 é possível visualizar uma representação esquemática dos principais constituintes de um reómetro rotacional.

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Nuno António Aguiar dos Santos 26

O reómetro rotacional permite obter vários parâmetros que caracterizam reologicamente um fluido, tais como a viscosidade de corte e os coeficientes da primeira e da segunda diferença de tensões normais.

Figura 23- Representação esquemática do reómetro rotacional a funcionar com uma geometria Prato-Prato (PP).

A amostra a analisar é colocada em cima de um prato fixo (coating, a vermelho), entretanto a geometria move-se na direcção perpendicular ao prato, prensando a amostra. Após a fixação da amostra entre o prato fixo e a geometria móvel, a geometria móvel roda com uma dada velocidade angular, ω , fazendo com que a amostra seja sujeita a um escoamento de Couette. Deve-se ter cuidado relativamente ao volume de amostra que se coloca no prato móvel, pois esta deve ser analisada exactamente na zona delimitada pela geometria móvel e o coating, não devendo ser ensaiada fora do limite imposto, nem pelo contrário ser analisada muito antes desse limite ter sido atingido. Além disso, deve-se ter cuidado para não verter qualquer quantidade de amostra para a geometria móvel utilizada nessa medição, fazendo com que esta execute o ensaio rotacional com gotículas presas na sua parte superior. Este descuido provoca alterações no momento de inércia da geometria e pode afectar significativamente as medições, principalmente no aparecimento de escoamentos secundários mais cedo do que o previsto, e consequentemente num aumento inesperado da viscosidade no caso de um ensaio de corte em regime permanente. A interface do software Rheoplus usado no comando do reometro Physica MCR301TM pode ser visualizado na figura 24, em que são mostrados os parâmetros a utilizar para o ensaio. Nessa janela podem se fazer variar a temperatura do ensaio através do sistema de arrefecimento Peltier e a gama de taxas de deformação de corte a utilizar no ensaio. No caso de se utilizar a geometria prato-prato, é possível variar não só a temperatura e a taxa de deformação de corte, mas também a distância entre pratos. Se se utilizar a geometria de cilindros concêntricos, por exemplo a que foi utilizada no capítulo 5.2 CC27-E, também é possível fazer variar a diferença de potencial que induz o campo eléctrico.

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Nuno António Aguiar dos Santos 27

Figura 24- Interface com o Software Rheoplus do reómetro usado, Physica MCR-301.

No final da programação dos parâmetros a utilizar deve-se ter em atenção se o motor se encontra bem calibrado. Esta calibração deve ser feita num período mínimo de 120 em 120 dias.

No final do ensaio, os resultados aparecem sob a forma de gráfico e da respectiva tabela. Contudo é necessário ter em atenção que os dados não são todos válidos. Na verdade, existem valores de viscosidade obtidos para valores pequenos de taxa de deformação de corte que devem ser rejeitados devido a incertezas relativas à resolução do aparelho, e valores de viscosidade obtidos para valores elevados de taxas de deformação de corte que devem igualmente ser rejeitados devido à formação de escoamentos secundários que aumentam esses valores de viscosidade (instabilidade inércial).

Além disso, na tabela de resultados dos ensaios, existe uma coluna denominada por Status que indica se os valores foram medidos numa situação limite ou não. Quando uma variável atingiu um valor-limite, os resultados dessa medição devem ser verificados com cuidado. A seguinte tabela apresenta as principais mensagens mostradas na coluna Status:

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Nuno António Aguiar dos Santos 28

Tabela 2- Descrição das principais mensagens mostradas na coluna Status.

Status Description

Mea

The time settings for the calculation of the mean value could not be

kept; the available time is not sufficient for the pre-set number of

raw values.

MD+ The maximum electrical torque has been reached during adjustment

(DSO only).

taD Tanδ has been limited because the minimum or maximum possible

value has been reached.

DSO "Direct strain" has been enabled during strain controlled oscillation

(MCR / UDS with DSO option only).

Dy

xxx%

The dynamic for the speed controller has been set to xxx % during a

rotational measurement.

DyAuto The adaptive controller (speed control) has been used.

Sdy Steady state has been reached for the measuring point (rotational

measurements only).

TR The maximum electrical torque has been reduced due to the level of

the motor temperature.

CS_xxx The dynamic for the stress controller has been set to xxx % during a

rotational measurement.

3.2-Reometria extensional Por outro lado, a reometria extensional permite medir funções materiais em escoamento extensional e é usado para medir o tempo de relaxação ou a diferença das tensões normais. No caso vertente, apenas o tempo de relaxação é possível ser medido. Este tipo de ensaio consiste em gerar um escoamento puramente extensional, sem corte, para medir as propriedades materiais do fluido, para isso são fixadas ambas as extremidades de uma dada amostra através de duas placas, e de seguida fazer mover uma das extremidades através do movimento de uma das placas (ou das duas, tal como representado na figura 25), sujeitando a amostra a um esforço axial, traccionando-a. (Alves 2009)

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Nuno António Aguiar dos Santos 29

Figura 25- Representação esquemática do escoamento extensional. (a) Amostra no instante inicial; (b)

amostra durante o processo de extensão.

No caso da figura 25, o escoamento denomina-se por extensão simples se o campo de velocidades for expresso por:

12

12

x

u y

z

ε

ε

ε

− = −

��

(52)

Em que ε� é a taxa de extensão, assumida constante. Geralmente o filamento de líquido tem forma cilíndrica, sendo portanto recomendável o uso de coordenadas cilíndricas para o estudo do escoamento. Logo,

1 cos2

12

r

u rsen

z

ε θ

ε θ

ε

− = −

��

(53)

E,

2 2 1

2r x yu u u rε= − + = − � (54)

Em que θ é o ângulo que o eixo radial, rr, faz com o eixo dos xx. Considerando um filamento cilíndrico de comprimento L e raio R (ambos função do tempo), pode-se exprimir a taxa de deformação extensional por:

1d L

dt L t

ε ∂=

∂ (55)

A deformação extensional, ε, é definida como sendo a relação entre a variação do comprimento, ΔL, em relação a um dado comprimento de referencia, L. Isto é, um aumento de comprimento do filamento, dL, traduz-se numa deformação dε, ou seja,

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Nuno António Aguiar dos Santos 30

dLd

Lε = (56)

Que se pode escrever:

dLdt

Lε =� (57)

Integrando ambos os termos é possível demonstrar que: t

oL L eε=� (58)

Conclui-se, portanto que o comprimento do filamento aumenta exponencialmente com o tempo. Dado que o volume da amostra também se conserva é possível enunciar que:

2 2

0 0R L R Lπ π= (59)

Aplicando a expressão (52), atrás deduzida, tem-se: 1

20

tR R e

ε−=

(60)

Pelo que se pode inferir que o raio do filamento diminui exponencialmente com o tempo. Se integrarmos a equação (50), obtemos a deformação total (real) a que a amostra é sujeita, denominada por deformação de Hencky que é dada pela seguinte expressão:

0

0

ln 2lnRL

L Rε = = (61)

A tensão σ a que a amostra vai estar sujeita é obtida pelo quociente entre e a força exercida na amarra, F, e a área de secção recta do filamento,

2 2

0

. t

zz rr

F F e

R R

ε

σ τ τπ π

= = = −�

(62)

A viscosidade extensional uniaxial é definida por:

zz rrE

τ τµ

ε

−=

� (63)

Frequentemente utiliza-se na caracterização dos fluidos uma constante designada por número de Trouton, Tr, que é definida pelo quociente entre a viscosidade extensional uniaxial e a viscosidade de corte,

ErT

µ

µ≡ (64)

Um fluido com número de Trouton igual a 3, diz-se Newtoniano. Existem outros parâmetros, para além da viscosidade dinâmica e do número de Trouton, para avaliar reologicamente o comportamento de alguns materiais nas áreas da Engenharia, tais como a massa volúmica, a tensão superficial e viscosidade intrínseca e cinemática, que determinam e justificam a sua selecção para uma dada aplicação. (Alves 2009, Pinho 2009) A viscosidade cinemática, ν, é definida como sendo o quociente entre a viscosidade dinâmica e a massa volúmica do fluido em estudo, ou seja,

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 31

µυ

ρ= (65)

A viscosidade cinemática pode ser interpretada a viscosidade como uma espécie de velocidade média especial do movimento browniano. Ora, como o movimento

browniano é aleatório e tem uma velocidade aritmética média nula, � =∆�

∆�= 0, é

preferível criamos uma velocidade que é ∆� ×∆�

∆�. Desta forma o que contabilizamos é

um somatório de deslocamentos, que é independente das direcções e sentidos, mas que só mede a intensidade. (Bird 2001, Stewart 2001) A viscosidade intrínseca, η, é uma viscosidade relativa a uma mistura ou solução e nunca a substância pura, sendo definida pela expressão:

(66)

Assim, a viscosidade intrínseca é uma propriedade inerente ao soluto e ao efeito que ele vai ter ao ser dissolvido num dado solvente, ou seja, é uma medida do contributo específico do soluto. Pela análise dimensional da equação, infere-se que esta possui dimensões equivalentes ao inverso da concentração [ML-3] que expressa em unidades do Sistema Internacional (SI) seria kg.m-3. (Pinho 2009)

η – Viscosidade da solução.

η0 – Viscosidade do solvente puro.

ϕ – Concentração do soluto.

[ ]0

limφ φ

0

0 ×→

η − ηη =

η

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Nuno António Aguiar dos Santos 32

4. Generalidades sobre o sangue

4.1- Hemoreologia A hemoreologia é a ciência que estuda a deformação, o fluxo e a constituição do sangue. Este campo inclui investigações sobre o estudo das propriedades macroscópicas do sangue usando ensaios reométricos e também propriedades microscópicas in vitro e in vivo. (Robertson et al. 2008) Dado que a unidade básica de um organismo vivo é a célula, cada célula necessita de nutrição quer para se manter viva, quer para desempenhar a função fisiológica a que está destinada. A produção da energia na célula é realizada através das mitocondrias (caso a célula seja animal), em que o trifosfato de adenosina (ATP) é decomposta em difosfato de adenosina (ADP) e num radical fosfato ou, em alternativa em monofosfato de adenosina (AMP) e dois radicais de fosfato. Por seu lado, a formação de ATP decorre da oxidação dos alimentos. (Pinho 2009) As várias formas de fosfato de adenosina são assim compostos intermédios que reagem com os alimentos para lhes extrair a energia que é requerida pelas células, cabendo ao sangue o papel de agente de transporte nestas várias operações. A função da circulação sanguínea é pois a de fornecer oxigénio e combustível metabólicos e a de remover os resíduos desse metabolismo, como o dióxido de carbono, CO2, e a água, H2O, do interior das células dos organismos. O sangue é ainda responsável pela absorção de nutrientes (hidratos de carbono, gorduras e proteínas) enquanto circula no seio de órgãos por onde chega a energia do exterior, a absorção do oxigénio e a libertação do dióxido de carbono e vapor de água enquanto circula pelos pulmões e pela remoção de resíduos não gasosos resultantes dos processos metabólicos, depositando-os nos rins. (Pinho 2009) Assim, conclui-se que a hemoreologia está intimamente relacionada com o estudo dos fenómenos de transporte, a mecânica dos meios contínuos e a mecânicas dos fluidos.

4.2 Cuidados a ter com o sangue O sangue é um fluido complexo, precioso e dispendioso para ser usado em grandes quantidades em estudos laboratoriais. O sangue é uma mistura que se degrada facilmente, o que leva à necessidade de cuidados especiais na sua colheita, manuseamento, transporte e armazenamento. A sua utilização está limitada a laboratórios especialmente creditados, o que não é comum em aplicações de engenharia. Assim, são cada vez mais procurados fluidos com características reológicas semelhantes ao sangue para o estudo em Engenharia.

Relativamente aos cuidados a ter, é necessário garantir que:

A amostra seja constituída por material colhido com o mínimo de

contaminação por flora dos tecidos adjacentes;

Todos os recipientes de colheita e transporte se encontrem esterilizados;

A amostra tem que estar isolada de agentes microbianos;

Os recipientes para recolha não devem encher-se para além dos seus 2/3

de capacidade. Estes recipientes devem fechar-se hermeticamente, caso contrário,

têm que ser mantidos na posição vertical durante todo o transporte.

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Nuno António Aguiar dos Santos 33

Além disso a utilização de sangue, enquanto fluido biológico, exige a identificação de cada amostra, devendo constar nos dados: o nome do individuo, indicação do grupo sanguíneo, data e hora da colheita (NP EN 14820 2008). É importante, também salientar que as amostras biológicas, como sangue, devem ser transportadas o mais depressa possível ao Laboratório de Microbiologia (LM), a fim de evitar a proliferação da flora microbiana indígena ou de colonização, o que irá mascarar e dificultar o isolamento do(s) agente(s) patogénico(s). Quando não for possível transportar de imediato as amostras biológicas ao LM, estas devem ser conservadas de acordo com as condições aconselhadas pelo LM (refrigeração, meio de conservação, etc.) variáveis com o tipo de produto biológico. Dados esses problemas associados à utilização do sangue para o estudo reológico, os fluidos análogos ao sangue são cada vez mais utilizados e procurados para o estudo de propriedades hemoreológicas importantes na investigação e desenvolvimento do comportamento do sangue. (Robertson et al. 2008)

4.3 Constituição do sangue O sangue é uma mistura que consiste numa solução de glóbulos vermelhos (hemácias ou eritrócitos), glóbulos brancos (leucócitos) e plaquetas sanguíneas que se encontram em suspensão num plasma, ou seja, é uma mistura difícil de analisar devido à presença de muitos e diversos constituintes com diferentes formas. Na figura 26 encontra-se representado em corte um vaso sanguíneo em que são identificados os principais constituintes do sangue. Na figura 26 encontra-se representado em corte um vaso sanguíneo em que são identificados os principais constituintes do sangue.

Figura 26- Representação dos constituintes do sangue na vista em corte de um capilar.

Os glóbulos vermelhos são os constituintes maioritários e transportam cerca de 5 m3 de oxigénio para os vários tecidos do organismo, por cada 100 m3 de sangue em circulação. O transporte de oxigénio é executado pela hemoglobina, que ocupa cerca de 25% do volume do glóbulo. A hemoglobina tem como uma das suas características a reversibilidade da combinação com o oxigénio. Cada 0,1 litro de sangue contem cerca de 0,015Kg de hemoglobina e cada Kg de hemoglobina é capaz de se combinar com 1,33 x 10-3 m3 de oxigénio. Em cada mm3de sangue podemos encontrar cerca de 5 milhões de glóbulos vermelhos. Na ausência de tensões aplicadas ao sangue, os glóbulos vermelhos apresentam-se sob a forma de discos bicôncavos com um

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Nuno António Aguiar dos Santos 34

diâmetro médio de 8 µm, uma espessura de 1 µm no centro e cerca de 2 a 3 µm na periferia, mas são capazes de sofrer grandes deformações para poderem passar pelos capilares de dimensão inferior. Os glóbulos brancos são ligeiramente mais volumosos que os vermelhos, são igualmente deformáveis, mas existem em muito menor número, da ordem de 1 a 2 por cada 1000 glóbulos vermelhos. As plaquetas são mais numerosas que os glóbulos brancos, encontrando-se em concentrações de cerca de 80 a 100 por cada 1000 glóbulos vermelhos, e apresentando-se com uma forma arredondada de diâmetro, que varia entre os 2 e os 4 µm.

O sangue, em termos de substancias orgânicas, é constituído por:

Proteínas especiais, tais como a albumina (responsável pela regulação da

pressão osmótica), a globulina (anticorpo, responsável pela imunidade do

organismo), as aglutininas (responsáveis pela aglutinação dos nutrientes no sangue) e

o fibrogénio e protrombina (responsáveis pela coagulação sanguínea);

Substancias nitrogenadas de excreção, tais como a ureia, o acido úrico e a

creatinina;

Lipidos, tais como o colesterol e os triglicéridos;

Glícidos, tais como a glicose;

Aminoácidos.

O sangue, em termos reológicos, comporta-se como um fluido não-newtoniano, embora o seu constituinte maioritário, o plasma, seja um fluido newtoniano. Essa diferença no comportamento reológico do sangue deve-se à presença dos glóbulos vermelhos que a baixas taxas de deformação formam aglomerados com a estrutura de fibras longas (rouleaux) e fazem com que o sangue descreva um comportamento não-newtoniano reofluidificante. (Dutta e Tarbell 1992, Larson 1999) O comportamento reológico dos fluidos biológicos, tal como o sangue, varia de indivíduo para indivíduo, dentro de gamas estreitas, sendo afectado por determinadas patologias. Por exemplo, variações subtis do comportamento reológico do sangue (devido a enfermidades diversas) resultam normalmente em riscos cardiovasculares acrescidos. Por outro lado, diversas patologias conduzem a variações apreciáveis do comportamento reológico do sangue (e.g. anemia; leucemia; doença de Raynaud; doença de Crohn). Assim, o sangue é um fluido difícil de analisar devido à presença de muitos e diversos constituintes com diferentes formas. (Vlahovska et al. 2009)

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Nuno António Aguiar dos Santos 35

4.4 Circulação do sangue O sangue circula ao longo de um sistema de tubos fechados que permite o seu

transporte a todas as partes do corpo - Sistema circulatório do sangue. Os vasos condutores de sangue são classificados de acordo com a direcção de transporte do sangue. Os que estão ligados à saída do coração designam-se por artérias que, ao diminuírem de calibre, passam a designar-se por arteríolas. Por outro lado, os vasos que conduzem o sangue para o coração são denominados por veias que, ao diminuírem de calibre, passam a designar-se por vênulas. O sistema circulatório do sangue é fundamentalmente composto por vasos sanguíneos de diferentes calibres, tal como pode ser observado na figura 27. Assim, os vasos sanguíneos podem ser classificados em função do seu calibre em três tipos:

Artérias – estes vasos sanguíneos transportam o sangue a todo o corpo,

possuindo paredes espessas e dilatáveis (50 a 4000µm de diâmetro). As artérias são os

vasos responsáveis pela saída do sangue pelo coração, e ramificam-se dando origem a

vasos de menor calibre, os capilares.

Veias – estes vasos sanguíneos transportam o sangue dos pulmões para o

coração. Possuem diâmetros geralmente compreendidos entre os 20 e os 5000 µm.

Capilares - estes vasos sanguíneos ligam as veias às artérias e são

responsáveis pela respiração celular, isto é, permitem as trocas gasosas entre o

sangue e as células. Possuem diâmetro da ordem dos 8 µm.

Figura 27- Tipos de vasos sanguíneos.

O sistema circulatório pode ser dividido em 2 subsistemas, isto é, 2 percursos: a pequena circulação e a grande circulação. A grande circulação compreende a saída de sangue do coração, pela artéria aorta, até ao seu retorno ao coração pelas veias cavas, após ter fornecido todos os nutrientes e oxigénio a todas as células, recebendo destas o dióxido de carbono e outros produtos de excreção celular. A função do coração é semelhante ao de uma bomba, isto é, o coração aumenta a pressão do sangue para níveis suficientemente elevados que permitem que o escoamento seja capaz de vencer todas as resistências à circulação sanguínea (perda de carga). O caudal volúmico total do sangue que passa pelo coração é de cerca de 300l/h, sendo repartido por todos os órgãos. (Pinho 2009)

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Nuno António Aguiar dos Santos 36

Esse caudal volúmico divide-se em seis subsistemas de circulação: coronária, cerebral, cutânea, dos órgãos, muscular e renal. Na tabela 3 encontra-se apresentada a percentagem de caudal bombeado do coração que cada subsistema de circulação recebe.

Tabela 3- Subsistemas de circulação.

Tipo de circulação Orgãos % de caudal

circulação coronária músculos do coração 5%

circulação cerebral cérebro 15%

circulação cutânea pele 8%

circulação dos orgãos estômago, fígado, baço, intestinos 30%

circulação muscular músculos 17%

circulação renal rins 25%

A pequena circulação leva o sangue do coração, através da artéria pulmonar, até aos alvéolos pulmonares para expelir o dióxido de carbono e receber o oxigénio, voltando ao coração através das veias pulmonares. Na figura 28 encontram-se representados os principais orifícios do coração.

Figura 28- Representação esquemática dos principais orifícios do coração.

A função respiratória está intimamente ligada à função circulatória, visto que só mantendo uma boa capacidade ventilatória é possível o sangue receber a quantidade de oxigénio necessária à manutenção dos órgãos, com especial atenção para o cérebro. A respiração compreende a fase de ventilação pulmonar e a fase de respiração celular, na qual se processam as trocas gasosas entre o sangue e as células. A fase ventilatória processa-se através de ciclos e cada ciclo ventilatório compreende um momento de inspiração, que corresponde à entrada de ar oxigenado na árvore brônquica e alveolar, seguida da expiração, na qual o ar menos oxigenado sai da árvore brônquica, passando a um momento de pausa até ao próximo ciclo ventilatório. Num adulto, a frequência ventilatória situa-se num intervalo de 12 a 18 ciclos/minuto. Quanto à sua pulsação (frequência cardíaca), esta situa-se no intervalo de 60 a 80 batimentos/minuto. (Alt et al. 2002)

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Um batimento cardíaco é composto por dois intervalos de tempo: uma sístole (contracção muscular das câmaras do coração que provoca a saída do sangue para o resto do corpo pelas artérias) e uma diástole (dilatação muscular das câmaras do coração que permite a entrada do sangue no coração pelas veias). Habitualmente é medido a pressão sistólica e diastólica como forma de garantir que o indivíduo não tem problemas de hipertensão. A tabela 4 apresenta os valores críticos da pressão sistólica e diastólica que permitem classificar o estado de saúde do indivíduo.

Tabela 4- Classificação do estado de saúde do indivíduo relativamente a problemas de hipertensão.

Classificação do estado

de saúde do indivíduo

Pressão

sistólica,

mmHg

Pressão

diastólica,

mmHg

Hipotensão <90 <60

Normal 90-119 60-79

Pré-hipertensão 120-139 80-89

Hipertensão de nível 1 140-159 90-99

Hipertensão de nível 2 ≥160 ≥100

Em seguida, é apresentado na figura 29 um gráfico de colunas que apresenta os valores de pressão que vigoram nos diferentes vasos sanguíneos que constituem o sistema circulatório.

Figura 29- Distribuição da pressão ao longo do sistema de circulação humano.

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4.5 Reologia do sangue – Alguns modelos utilizados Nesta secção apresentam-se propriedades reológicas do sangue e sobretudo modelos constitutivos que a representam. Os diferentes modelos possuem graus de sofisticação diferentes e naturalmente em função disso darão respostas que nem sempre são idênticas. (Picart 1997) O modelo mais simples é o newtoniano, com um coeficiente de viscosidade µ=0,004Pa.s. Com uma massa volúmica de 1060Kg/m3 (e calor especifico de aproximadamente 3760 J/(Kg.K)) à temperatura de 37ºC, a viscosidade cinemática que daí resulta é 4x10-6 m2/s. Como a viscosidade depende da estrutura dos seus vários constituintes, uma opção frequentemente adoptada é considerar o fluido como newtoniano e em cada situação utilizar o valor da viscosidade mais adequado ao escoamento. Por exemplo, os valores da viscosidade do sangue variam conforme o calibre do vaso sanguíneo, apresentando valores de viscosidade maiores em vasos sanguíneos de maior diâmetro. Esta variação está relacionada com o efeito de Fahraeus-Lindqvist que consiste no alinhamento de células e na formação de uma camada de plasma isenta de células junto às paredes dos vasos sanguíneos. Quando se considera a variação da viscosidade com a velocidade de deformação, um modelo frequentemente utilizado para o sangue é o modelo de Casson. Este modelo (equação 12) contabiliza o efeito da tensão de cedência e de acordo com Charm et al (1965) os parâmetros a utilizar numa gama de velocidade de deformação entre 0 e 106 s-1 são τ0=0,0108 Pa e µp=0,00276 Pa.s. (Pinho 2009)

Substituindo na equação 0 p

τ τ µ γ= + � (12) obtém-se:

0,0108 0,0109 0,0276τ γ γ+ +� �� (67)

Note-se que a tensão de cedência é bastante baixa e é afectada pelo hematócrito (H), ou seja, a percentagem de glóbulos vermelhos existente no volume total do sangue. Esta dependência pode contabilizar-se através da seguinte equação:

13

0

.( )

100

mA H Hτ

−= (68)

Onde A=0,0037 ± 0,001 (Pa)1/3, sendo Hm o valor do hematócrito abaixo do qual não há tensão de cedência. Este modelo, embora muito simples, está longe de prever correctamente a viscosidade do sangue e por isso existem equações reológicas constitutivas ainda mais complexas, mas previsivelmente mais correctas. No entanto ao recorrer a equações mais complexas a obtenção de soluções analíticas torna-se impossível e as soluções passam a ter de ser exclusivamente numéricas. Walburn e Schneck (1976) propuseram mais que uma equação. Uma lei de potência, a 37ºC, com os parâmetros K=0,0134 (Pa.s)n e n=0,0785. Easthope e Brooks (1980) propuseram um modelo que possui quatro parâmetros, x1 a x4, para além do hematócrito (H). (Easthope e Brooks 1980)

1 .4 32 2. .

1.

x Hxx H

Hx eγ

τ−

+ =

(69)

Com 1 2 3 4x 2,70; x 3,66; x 0,389;x 0,00495= = = = − .

Nesta equação, a tensão τ vem dada em mPa e ela é válida para uma gama de taxas de deformação entre 0,031 e os 120 s-1. Esta equação, realmente da autoria de

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Walburn e Schneck (1976) tem como desvantagem a previsão de uma viscosidade infinita no limite de taxa de deformação nula. De notar que a equação foi determinada para viscosidades a 25ºC que nela não há tensão de cedência. De facto o seu valor é baixo e alguns investigadores (Dutta e Tarbell, 1996) afirmam que a tensão de cedência só é detectável em ensaios realizados em condições estáticas. Outros modelos possíveis, mas puramente viscosos, embora de ajustamento não tão bom como o da equação de Walburn e Schneck (1976) estão listados no trabalho de Easthope e Brooks (1980), mas a equação (63) será a melhor do conjunto. Uma outra equação é a lei de potência, utilizada por Das e Chakraborty (2006), e retirada da literatura. Aqui os parâmetros da equação constitutiva dependem de várias grandezas como a fracção de hematócrito (h), ou seja, a percentagem de glóbulos vermelhos existentes na amostra, e a concentração de hemoglobina, entre outros. Assim,

1. nKµ γ −= � (9)

Com 2 .

1.C h

K C e= e 31 .n C h= − .

A constante 1C é dada pela seguinte expressão:

4

2

.( )

*

1 1 .

C PTMA

hC C e

= (70)

Com *

1 0, 00797C = (Pa.s)n, 2 17,167C = , 3 0,651C = , 4 0,00795C = (Pa.s)n.

O parâmetro PTMA representa a diferença entre a proteína total e a albumina, e numa situação normal observa-se que PTMA=0,0325 e o hematócrito médio é de 45%. Para além destas características, o sangue apresenta também dependência do tempo, dos tipos tixotropia e viscoelasticidade. Estas características são importantes para explicar o comportamento hemodinâmico em escoamentos que se afastam do regime permanente, sejam eles escoamentos pulsantes ou escoamentos em geometrias de secção não constante, como por exemplo em bifurcações ou junto a contracções e expansões. As medições do comportamento viscoelástico do sangue foram feitas por Thurston (1973) através de ensaios num escoamento oscilatório de baixa amplitude para medir os módulos de conservação e de dissipação, tendo mostrado que o sangue apresenta valores consideráveis de componente elástica, embora inferiores em magnitude aos da componente viscosa, nas gamas de frequência de interesse fisiológico. Thurston (1979) também derivou, a partir de medições mais extensas, uma equação inspirada nos modelos generalizados de viscoelasticidade de Maxwell e que é capaz de prever o comportamento viscoso e elástico do sangue. Na tabela 5 encontram-se algumas dessas medições obtidas utilizando os parâmetros µ0=0,11 Pa.s e µ∞= 0,004 Pa.s.

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Nuno António Aguiar dos Santos 40

Tabela 5- Parâmetros do modelo constitutivo para o sangue com µ0=0,11 Pa.s e µ∞=0,004 Pa.s (Thurston, 1979).

j (μ0)j - Pa.s λj - s

1 0,0930 25

2 0,0033 1

3 0,0050 0,3

4 0,0032 0,1

5 0,0016 0,01

6 0,0007 0,001

A relação entre a tensão e a taxa de deformação que este autor derivou é do tipo multimodal, com uma componente newtoniana do solvente com viscosidade µ∞ e é dada pela equação:

6

1

.j

j

τ τ µ γ∞=

= +∑ � (71)

Onde cada modo elástico vem representado pela equação:

( )

( )0

2

1 .

j j

j j

jt

µττ λ γ

λ γ

∂+ =

∂ +�

(72)

Desta equação constitutiva resulta que a viscosidade de corte do fluido é determinada pela seguinte expressão:

( ) ( )6 1

2

0

1

1 .jjj

µ µ µ λ γ−

∞=

= + + ∑ � (73)

Quanto à viscosidade dinâmica complexa, num escoamento oscilatório de corte, ela vem dada por:

( )( ) ( )

12

6 0*

1

1 .

1

jj

j ji

µ λ γµ γ µ

ωλ

∞=

+ = ++

∑�

� (74)

A comparação dos resultados deste modelo com valores experimentais realizada por Thurston (1979) é de boa qualidade. No mesmo trabalho, Thurston (1979) apresenta um segundo modelo para quantificar o efeito da tixotropia e recomenda a seguinte expressão:

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Nuno António Aguiar dos Santos 41

( )'

6

1

. 1 i

t

inicial i

j

t s w eλµ µ

=

= + −

∑ (75)

Onde µ se refere quer à componente viscosa (µv) quer à componente elástica (µe) da

viscosidade complexa. Nesta expressão '

iλ são constantes de tempo do processo

tixotrópico. O parâmetro s distingue os dois conjuntos de tempo, '

iλ e

jλ , pois s=-1

quando há ruptura da estrutura e s=+1 quando à formação da estrutura, enquanto i

w

são os coeficientes de peso das várias parcelas. Os coeficientes '

iλ e

iw

são

determinados por ajuste a resultados experimentais e devem haver sempre termos de ruptura e formação de estrutura. Existe um outro modelo denominado por modelo de Ellis, que embora não seja normalmente utilizado para representar a reologia do sangue, apresenta uma característica comum ao modelo de Casson, que é muito utilizado para descrever o comportamento do sangue. Ambos os modelos são não-lineares na tensão e no caso do fluido de Ellis isso é ainda mais notório porque a equação é implícita na tensão. Estas características introduzem uma nuance no cálculo, que no entanto continua a possuir uma solução analítica. A equação constitutiva que rege o modelo de Ellis é:

1

1

.A Bα

σ γσ −

=+

� (76)

Que se pode escrever de forma equivalente,

1

1

.A Bα

µσ −

=+

(77)

A não-linearidade deste modelo reológico causa problemas, pois não permite a elaboração de uma equação explícita. Assim, o cálculo terá que ser sempre numérico.

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Nuno António Aguiar dos Santos 42

5 Resultados dos ensaios A apresentação e discussão dos resultados encontra-se dividida em duas abordagens de análise distintas: uma análise reológica de fluidos análogos ao sangue e uma análise electroreológica de suspensões de partículas que possam ser utilizadas num sistema de amortecimento de baixo custo. A primeira parte deste trabalho consistiu em seleccionar um fluido análogo ao sangue e identificar as suas propriedades reológicas. Segundo Vlastos, G. et al, 1997, os fluidos com propriedades análogas ao sangue são as soluções aquosas de goma de xantano (XG) a uma concentração de 500ppm e de poliacrilamida (PAA) a uma concentração de 125ppm. Na caracterização reológica destes dois fluidos foram utilizados dois reómetros: reómetro rotacional Physica MCR- 301 com as geometrias cone-prato (CP 75-1) e prato-prato (PP 75) e reómetro extensional de ruptura capilar Thermo-Electron Haake CaBER1. A segunda parte deste trabalho consistiu em seleccionar suspensões de partículas num óleo sensíveis à presença de campos eléctricos na sua vizinhança. Segundo Tam, W. e tal, 1996, um fluido electroreológico consiste em partículas de um semiconductor dispersas numa suspensão não-conductora eléctrica, geralmente um óleo. Assim sendo, foram concebidas suspensões de partículas de CarboxiMetilCelulose (CMC), Amido de milho (Maizena) e óxido de Aluminio (Alumina) em óleo de linhaça. Na caracterização electroreológica destas suspensões de partículas foi utilizado apenas o reómetro rotacional Physica MCR-301 com a geometria de cilindros concêntricos CC27/E, juntamente com a célula electroreológica C-PTD200/E.

5.1 Análise reológica

5.1.1 Ensaio extensional

Actualmente existe pouca informação sobre a reologia extensional do sangue, sendo assim nesta secção somente se irá caracterizar os fluidos análogos ao sangue utilizados neste trabalho, a solução de goma de xantano (XG) a 500ppm e a solução de poliacrilamida (PAA) a 125ppm. Os parâmetros utilizados neste ensaio desenvolvido no reómetro de ruptura capilar (CaBERTM- Capillary Breakup Extensional Rheometer) foram a abertura desde 3,01 a 8,98 mm com um perfil exponencial e uma temperatura de ensaio constante próxima da temperatura ambiente, de modo a desprezar eventuais fenómenos de transferência de calor que possam interferir na medição.

5.1.1.1 Solução de goma de xantano a 500ppm

Com o objectivo de caracterizar, em termos de reologia extensional, a solução de goma de xantano (XG) foram realizados dez ensaios a uma temperatura de 19ºC (próxima da temperatura ambiente) que são apresentados na tabela 6.

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 43

Tabela 6- Resultados dos dez ensaios extensionais da solução de goma de xantano.

Temperatura

do ensaio (ºC)

Tempo de

relaxação (ms)

19 4,31

19 3,53

19 3,51

19 3,94

19 3,98

19 4,12

19 4,28

19 3,37

19 3,46

19 3,62

Através de uma análise estatística da tabela 6, conclui-se que o tempo de relaxação médio, a uma temperatura de 19ºC, da solução de goma de xantano a 500ppm é cerca de 3,81±0,35 ms.

De acordo com o modelo de Maxwell:

3

0

.tD

k eD

λ−= (78)

Que se pode escrever na seguinte forma:

( )0

ln ln3

D tk

D λ

= − +

(79)

Assim, através do traçado do gráfico ( )0 0

ln lnD D

tD D

=

é possível determinar o

tempo de relaxação de um dado ensaio extensional. No nono ensaio, por exemplo, seleccionou-se uma zona linear no gráfico do logaritmo da razão de diâmetros em função do tempo, de modo a obter um tempo de relaxação médio da solução. A zona linear é linear é mostrada na figura 30 com um erro de ajuste (fit quality) de cerca de 0,422%, assim como algumas propriedades da solução, entre as quais o tempo relaxação.

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 44

Figura 30- Gráfico da evolução do logaritmo natural da razão dos diâmetros com o tempo.

O tempo de relaxação obtido foi cerca de 3,46 ms, o que está próximo do valor obtido na tabela 6.

5.1.1.2 Solução de poliacrilamida a 125ppm

Com o objectivo de caracterizar em termos de reologia extensional a solução de poliacrilamida foi apenas realizada uma série de três ensaios a uma temperatura de 20ºC.

Tabela 7- Resultados dos três ensaios extensionais da solução de poliacrilamida.

Temperatura do

ensaio (ºC)

Tempo de

relaxação (ms)

20 33,8

20 34,5

20 33,7

Verifica-se, através de uma análise estatística da tabela 7, que a solução de poliacrilamida apresenta, a uma temperatura de 20ºC, um tempo de relaxação médio aproximadamente igual a 34,00 ± 0,44ms. Pode-se concluir que embora ambas as soluções sejam fluidos análogos ao sangue em termos de reologia de corte, estas não o são em termos de reologia extensional, pois por comparação dos valores médios do tempo de relaxação observa-se que a solução de poliacrilamida apresenta um comportamento cerca de oito a nove vezes mais elástico do que a solução de goma de xantano.

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 45

5.1.2 Ensaio de corte

Na caracterização da reologia de corte dos dois fluidos análogos ao sangue, foram realizados vários ensaios no reómetro rotacional com o objectivo de comparar os resultados obtidos com os dados existentes sobre a reologia do sangue retirados de Vlastos, G. et al, 1997 que se encontram apresentados na tabela 8.

Tabela 8- Dados sobre a reologia do sangue para uma temperatura de 37ºC.

Taxa de corte, γ�

(s-1)

Viscosidade de corte, µ

(Pa.s)

0,0103 0,1580

0,0599 0,0997

0,121 0,0743

0,527 0,0362

1,17 0,0237

5,99 0,0112

11,4 0,0086

58,1 0,0054

118 0,0046

230 0,0040

Estes dados podem ser representados de forma gráfica, tal como se pode observar na figura 31.

Figura 31- Dados sobre a reologia do sangue para uma temperatura de 37ºC.

0,001

0,01

0,1

1

0,01 0,1 1 10 100 1000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

Sangue

T=37ºC

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 46

Segue-se uma descrição dos resultados, sob forma gráfica dos dois tipos de ensaios realizados na caracterização reológica de corte: ensaio de corte e ensaio oscilatório. Em ambos os ensaios, seguiu-se o protocolo de traçar 50 ou 100 pontos entre gamas de taxa de corte definidas, sendo que os gráficos obtidos no tratamento dos ensaios com 100 pontos serão mais pormenorizados do que os que foram obtidos com 50, notando-se um maior número de irregularidades ao longo do gráfico. Nos ensaios de corte foram utilizadas as geometrias Cone-Prato (CP-75-1) e Prato-Prato (PP-75). Enquanto nos ensaios oscilatórios foi apenas utilizada a geometria Cone-Prato (CP-75-1).

5.1.2.1 Geometria Cone-Prato (CP-75-1)

5.1.2.1.1 Dependência da Temperatura

Relativamente à geometria de Cone-Prato de 75mm com um ângulo de inclinação de 1º, foram realizados dois conjuntos de três ensaios a temperaturas diferentes: 15, 20 e 25ºC, para avaliar a influência da temperatura no ensaio, tal como se pode observar nas figuras 32 e 33.

1º Conjunto:

Figura 32- 1º Conjunto de Curvas obtidas para o ensaio de corte da solução aquosa da goma de xantano a

500ppm.

Note-se que na figura 32 o gráfico obtido no ensaio relativo a uma temperatura de 25ºC apresenta uma viscosidade superior aos restantes gráficos para uma taxa de deformação de corte inferior a 1s-1. O que contradiz a equação de Andrade que explica que a viscosidade de um fluido diminui com o aumento da temperatura.

0,001

0,01

0,1

1

10

0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

15ºC

20ºC

25ºC

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 47

2º Conjunto:

Figura 33- 2º Conjunto de curvas obtidas para o ensaio de corte da solução aquosa da goma de xantano a 500ppm.

Na figura 33, ao contrário do que acontece na figura 32, gráficos de ensaios realizados a uma temperatura mais elevada possuem uma viscosidade mais reduzida.

É de salientar que o gráfico ( )µ µ γ= � obtido num ensaio de corte não é válido para

todas as regiões de taxa de deformação de corte. Na verdade, o ensaio está limitado por duas fronteiras que definem uma região do gráfico que não é influenciada pelo aparecimento de escoamentos secundários, nem pela resolução do aparelho de medição (insensibilidade para valores inferiores a um certo valor para o momento torsor). Assim sendo, os gráficos seguintes relativos a ensaios de corte estarão limitados à esquerda por uma fronteira devida ao momento torsor mínimo que o sistema consegue medir e à direita por outra fronteira devida à ocorrência de instabilidades inerciais, ou seja, o surgimento de escoamentos secundários (vórtices de Taylor). A primeira fronteira pode ser determinada através das equações (4) e (37), obténdo-se:

minmin 3

3 1

2

M

π γ=

� (80)

O manual refere que o momento torsor mínimo é cerca de 1x10-7 N.m, mas por uma questão de rigor será utilizado um valor 200 vezes superior (2x10-5 N.m). O valor do raio da geometria utilizada 0,037491 m. Com estes dois parâmetros é possível visualizar esta fronteira traçando a curva para alguns valores “pequenos” da taxa de corte. Sendo assim, seleccionou-se a seguinte tabela:

0,001

0,01

0,1

1

10

0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

15ºC

20ºC

25ºC

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 48

Tabela 9- Condição mínima de resolução.

Taxa de corte

γ� (s-1)

Viscosidade de

corte μ (Pa.s)

0,1 1,8121340

1 0,1812134

10 0,0181213

100 0,0018121

Figura 34- Condição de validação dos ensaios devido à sensibilidade do momento torsor do

aparelho.(válida unicamente para a geometria de cone-prato).

Através da seguinte expressão é possível determinar a outra fronteira:

2 3

max6

R αµ ρ γ= � (82)

Através de uma análise da massa volúmica da solução feita através de picnometria, concluímos que ρ=1000,5 Kg/m3. Sendo R=0,037491m e que α=1º=π/180 rad, então atribuindo valores de taxas de corte elevados, é possível visualizar graficamente a fronteira correspondente à tabela 10 representada na figura 35.

Tabela 10- Condição de instabilidade inercial.

Taxa de corte

(s-1

)

Viscosidade de

corte, µ (Pa.s)

10 1,25E-05

100 1,25E-04

1000 1,25E-03

10000 1,25E-02

Os dados da tabela 10 encontram-se representados na figura 35.

0,001

0,01

0,1

1

10

0,1 1 10 100

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

Resolução

Minima

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 49

Figura 35- Condição de validação dos ensaios devido ao aparecimento de instabilidades inérciais (válida unicamente para a geometria de cone-prato).

Aplicando essas fronteiras, obtém-se os gráficos que se encontram representados nas figuras 36 e 37.

Figura 36- Resultados do 1º conjunto de ensaios limitados pelas duas fronteiras.

1E-05

0,0001

0,001

0,01

0,1

10 100 1000 10000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

Vórtices de Taylor

0,001

0,01

0,1

1

10

0,1 1 10 100 1000 10000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

Vórtices Taylor

Resolução Minima

15ºC

20ºC

25ºC

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 50

Figura 37- Resultados do 2º conjunto de ensaios limitados pelas duas fronteiras

Ampliando os gráficos representados nas figuras 36 e 37 na região considerada válida, obtêm-se os gráficos mostrados nas figuras 38 e 39, cujos valores de viscosidade correspondem aos esperados. Além disso, é possível observar que nos dois gráficos representados nas figuras 38 e 39, a viscosidade de corte diminui com o aumento da temperatura, sendo a curva com viscosidade mais elevada a obtida no ensaio a 15ºC. No gráfico 36 para valores de viscosidade de corte obtidos para valores de taxa de deformação de corte inferiores a 10 s-1 verifica-se que a curva que apresenta valores de viscosidade mais elevados é a curva relativa ao ensaio realizado a 25ºC, o que não está de acordo com a realidade.

0,001

0,01

0,1

1

0,1 1 10 100 1000 10000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

15ºC

20ºC

25ºC

Vórtices Taylor

Resolução

minima

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 51

Figura 38- Zona válida da taxa de deformação de corte (1º conjunto).

Figura 39- Zona válida da taxa de deformação de corte (2º conjunto).

A obtenção dos gráficos a diferentes temperaturas permite obter, através de uma técnica de tratamento de resultados designada por Time Temperature Superposition, uma curva mestre (master curve) para uma dada temperatura de referência, Tref. Este método consiste em representar a viscosidade reduzida em função de um parâmetro que resulta da multiplicação de um parâmetro adimensional aT pela taxa de deformação de corte. Esse parâmetro aT é dado pela seguinte expressão:

0,001

0,01

0,1

10 100 1000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

15ºC

20ºC

25ºC

0,001

0,01

0,1

10 100 1000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

15ºC

20ºC

25ºC

Page 52: Reologia de Fluidos e Suspensões de Partículas análogas ao Sangue

Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 52

( )

( ).

.

ref ref

T

ref

T Ta

T T

µ ρ

µ ρ= (83)

E a viscosidade reduzida (reduced viscosity) pela seguinte equação:

( ).

ref ref

r

T

TT

a T

ρµ µ

ρ= (84)

Por sua vez, o parâmetro aT é dado pela seguinte expressão que deriva da equação de Arrhenius:

1 1

expT

ref

Ha

R T T

∆= − −

(85)

Em que ∆H é a energia de activação e R é a constante dos gases ideais.

Aplicando o logaritmo a ambos os membros, tem-se:

( )1 1

lnT

ref

Ha

R T T

∆= − −

(86)

E consequentemente que,

( )ln

1 1

T

ref

aH

R

T T

∆= −

(87)

Assim sendo, para além de ser possível obter uma curva mestre para cada conjunto

de três ensaios a diferentes temperaturas, é possível quantificar o valor de HR

∆ ,

que pela análise dimensional da equação (87) possui unidades de temperatura.

Figura 40- Curva mestre (1º conjunto).

0,001

0,01

0,1

8 80 800

Visco

sida

de red

uzid

a (P

a.s)

aT*Taxa de corte (s-1)

15ºC (aT=1,11)

20ºC (aT=1,00)

25ºC (aT=0,90)

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 53

Fazendo uma interpolação linear entre os pontos retirados dos gráficos representados na figura 40, é possível determinar o quociente entre a energia de activação e a constante dos gases ideais. A interpolação obtida encontra-se representada na figura 41 e possui um factor de correlação quadrático de 0,9998.

Figura 41- Interpolação linear obtida através dos três pontos retirados do gráfico anterior e que permite determinar o quociente entre a energia de activação e a constante dos gases ideais.

Dado que a recta que interpola os três pontos obtidos em cada gráfico é dada pela seguinte expressão:

( )1 1

ln 1801,5. 0,0015T

ref

aT T

= − −

(88)

Então o seu declive é 1801,5H

KR

∆=

Efectuando o mesmo procedimento para o segundo conjunto, tem-se:

Figura 42- Curva Mestre (2º conjunto)

y = 1801,5x - 0,0015

R² = 0,9998

-0,11

-0,06

-0,01

0,04

0,09

-6E-05 -3E-05 1E-20 3E-05 6E-05ln(a

T)

(1/T)-(1/Tref) (K-1)

1º Conjunto

Linear (1º Conjunto)

0,001

0,01

0,1

8 80 800

Visco

sida

de red

uzid

a (P

a.s)

aT*Taxa de corte (s-1)

15ºC aT=1,10

20ºC aT=1,00

25ºC aT=0,83

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 54

Fazendo uma interpolação linear entre os pontos retirados dos gráficos representados na figura 42, determina-se o quociente entre a energia de activação e a constante dos gases ideais. A interpolação obtida encontra-se representada na figura 43 e possui um factor de correlação quadrático de 0,9627.

Figura 43- Interpolação linear obtida através do três pontos retirados do gráfico anterior e que permite

determinar o quociente entre a energia de activação e a constante dos gases ideais.

( )1 1

ln 2414,9. 0,0319T

ref

aT T

= − −

(89)

De onde se pode concluir que o declive é 2414,9H

KR

∆=

Segue-se o estudo da dependência da reologia da solução de PAA com a temperatura, a determinação da curva mestre e o valor do quociente entre a sua energia de activação e a constante dos gases ideais. Analogamente à solução de goma de xantano, obtém-se os gráficos que podem ser observados nas figuras 44 e 45.

y = 2414,9x - 0,0319

R² = 0,9627

-0,2

-0,1

0

0,1

-6E-05 -3E-05 1E-20 3E-05 6E-05

ln(a

T)

(1/T)-(1/Tref) (K-1)

2º Conjunto

Linear (2º Conjunto)

0,001

0,01

20 200 2000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

Resolução minima

Vórtices Taylor

PAA 15ºC

PAA 20ºC

PAA 25ºC

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 55

Figura 44- Conjunto de Curvas obtidas para o ensaio de corte da solução aquosa da poliacrilamida a diferentes temperaturas.

Figura 45- Ampliação da zona válida do conjunto de Curvas obtidas para o ensaio de corte da solução aquosa da poliacrilamida a 125ppm.

A partir do gráfico da figura 45, obtém-se através das expressões anteriormente enunciadas, a curva mestre para a solução de PAA.

Figura 46- Curva mestre da solução aquosa de PAA a 125ppm.

Fazendo uma interpolação linear entre os pontos retirados dos gráficos representados na figura 46, determina-se o quociente entre a energia de activação e a constante dos gases ideais. A interpolação obtida encontra-se representada na figura 47 e possui um factor de correlação quadrático de 0,9535.

0,001

0,01

30 300

Visco

sida

de d

e co

rte(

Pa.s

)

Taxa de corte (s-1)

PAA 15ºC

PAA 20ºC

PAA 25ºC

0,001

0,01

0,1

1 10 100 1000

Visco

sida

de red

uzid

a (P

a.s)

aT*Taxa de Corte (s-1)

15ºC (aT=1,10)

20ºC (aT=1,00)

25ºC (aT=0,96)

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 56

Figura 47- Interpolação linear obtida através do três pontos retirados do gráfico anterior e que permite determinar o quociente entre a energia de activação e a constante dos gases ideais.

( )1 1

ln 1172,1. 0,0174T

ref

aT T

= − −

(90)

De onde se pode concluir que o declive é 1172,1H

KR

∆=

Para finalizar a análise da dependência da temperatura no comportamento reológico das soluções, faz-se uma comparação das curvas mestres da solução de goma de xantano a 500ppm com a solução de poliacrilamida a 125ppm, que encontra representada na figura 48.

Figura 48- Comparação da curva mestre do 1º Conjunto de ensaios da goma de xantano a 500ppm com a

da solução de PAA a 125ppm.

y = 1172,1x + 0,0174

R² = 0,9535

-0,08

-0,04

1E-17

0,04

0,08

-6E-05 -3E-05 1E-20 3E-05 6E-05ln(a

T)

(1/T)-(1/Tref) (K-1)

PAA 125ppm

0,001

0,01

0,1

1 10 100 1000

Visco

sida

de red

uzid

a (P

a.s)

aT*Taxa de corte (s-1)

XG 15ºC (aT=1,11)

XG 20ºC (aT=1,00)

XG 25ºC (aT=0,90)

PAA 15ºC (aT=1,10)

PAA 20ºC (aT=1,00)

PAA 25ºC (aT=0,96)

Sangue T=37ºC

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 57

A partir dos gráficos representados na figura 48 pode-se concluir que a solução de goma de xantano a 500ppm é ligeiramente mais viscosa que a solução de poliacrilamida a 125ppm especialmente na região de taxa de deformação de corte compreendida entre os 5 e os 500 s-1. Verifica-se que as viscosidades de ambas as soluções tendem a serem idênticas. Este fenómeno deve-se à fractura das cadeias poliméricas na solução. Através da comparação das energias de activação pode-se concluir que a energia de activação da solução de goma de xantano é superior à da solução de poliacrilamida, e logo as cadeias poliméricas da primeira solução encontram-se mais fortemente ligadas. Da observação do gráfico representado na figura 48 pode-se verificar que de facto a solução de goma de xantano apresenta um comportamento mais estável do que a solução de poliacrilamida, especialmente para taxas de deformação de corte elevadas. Como nota final deste subcapítulo, pode-se apontar que na equação da energia de activação a ordenada na origem para os gráficos apresentados nas figuras 41, 43 e 47 deveria ser nula. Embora o coeficiente de correlação linear ao quadrado seja muito próximo do valor 1, em próximos ensaios o experimentalista deverá impor um valor nulo para o valor da ordenada da origem. Outra observação importante é o aumento da viscosidade nas curvas relativas ao ensaio do PAA para elevadas taxas de deformação de corte, embora tenha sido limitada pela recta para o qual surgem instabilidades inérciais. Esse efeito deve-se à elasticidade da molécula de PAA que é uma molécula muito elástica ao contrário da molécula de XG que é semi-rigida, e que provoca esse aumento inesperado da viscosidade. Trata-te de uma instabilidade elástica.

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 58

5.1.2.1.2 Repetibilidade dos ensaios

Para averiguar a existência de repetibilidade dos resultados obtidos nos ensaios, foram realizados no mesmo dia dois ensaios de corte entre a mesma gama de valores de taxa de deformação de corte para a solução de goma de xantano a uma temperatura constante de 20ºC. A temperatura ambiente foi registada pois prevê-se que esta poderá influenciar significativamente os resultados.

Figura 49- Repetibilidade dos resultados da reometria de corte para duas soluções de goma de xantano a

500ppm ensaiadas no mesmo dia.

Existem dois factores que podem influenciar as medições: a precisão do aparelho que se reflecte mais intensamente a baixas taxas de deformação de corte e a degradação das moléculas que afecta todo o ensaio. Do gráfico da figura 49 pode-se concluir que existe repetibilidade das propriedades reológicas das soluções quando submetidas aos mesmos parâmetros de ensaio, pois as curvas são praticamente coincidentes, não se verificando diferenças significativas. A única diferença que se poderia apontar ocorre para baixas taxas de deformação de corte.

0,001

0,01

0,1

1

10

0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

Tamb=22ºC

Tamb=23ºC

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 59

5.1.2.1.3 Dependência no Tempo

Para averiguar se a amostra exibia tixotropia, tal como o sangue (Thurston 1979), foi seguido um protocolo adequado para a detecção de fenómenos de histerese, nomeadamente variou-se continuamente a taxa de deformação de corte entre um valor mínimo (1s-1) e máximo (3000s-1), como forma de verificar a dependência dos resultados no tempo. Tal como se pode observar na figura 49, os resultados são muito próximos, as curvas são praticamente coincidentes (especialmente a elevadas taxas de deformação de corte) o que indica que embora o sangue descreva um comportamento tixotrópico, a solução aquosa de goma de xantano, não apresenta dependência no tempo. Apenas se detectou histerese para valores pequenos da taxa de deformação de corte, tal como se pode observar nas figuras 50 e 51.

Figura 50- Detecção de histerese para baixas taxas de deformação de corte.

Ampliando a zona válida,

Figura 51- Detecção de histerese para baixas taxas de deformação de corte.

0,001

0,01

0,1

1 10 100 1000 10000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

XG 1

XG 2

0,001

0,01

0,1

6 60 600 6000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

XG 1

XG 2

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 60

5.1.2.1.4 Comparação dos fluidos com o sangue

Faz-se em seguida uma comparação da solução de goma de xantano a 500ppm com a solução de poliacrilamida a 125ppm com os dados do sangue mostrados na tabela 8. Essa comparação encontra-se representada nas figuras 52 e 53.

Figura 52- Comparação dos resultados obtidos no ensaio de corte das soluções de XG 500ppm e PAA 125ppm a uma temperatura constante de 20ºC, com os dados sobre a reologia de corte

do sangue a 37ºC.

Figura 53- Comparação dos resultados obtidos no ensaio de corte das soluções de XG 500ppm e PAA 125ppm a uma temperatura constante de 20ºC, com os dados sobre a reologia de corte

do sangue a 37ºC.

Dos gráficos representados nas figuras 52 e 53 pode-se concluir que a solução de goma de xantano é mais viscosa que o sangue e que a solução de poliacrilamida. Também se pode concluir que a solução de poliacrilamida apresenta um melhor ajuste aos dados reológicos do sangue do que a solução de goma de xantano.

0,001

0,01

0,1

1

0,01 0,1 1 10 100 1000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

PAA 125ppm

XG 500ppm

Dados do sangue a 37ºC

0,001

0,01

0,1

10 100 1000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

PAA 125ppm

XG 500ppm

Dados do sangue a

37ºC

Page 61: Reologia de Fluidos e Suspensões de Partículas análogas ao Sangue

Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 61

5.1.2.1.5 Análise das propriedades viscoelásticas

Os ensaios oscilatórios foram realizados a 20ºC e foram de dois tipos: varrimento em amplitude (amplitude sweep) e varrimento em frequência (frequency sweep). Os ensaios de varrimento foram utilizados para medir a o módulo de armazenamento

G′ e o módulo de perdas G′′ . Na figura 54 encontra-se representado o resultado de um ensaio oscilatório com varrimento em amplitude realizado a uma frequência de 10Hz.

Figura 54- Amplitude sweep a 20ºC com frequência constante de 10Hz.

Dada a diluição da solução, é difícil determinar a primeira e a segunda diferença das tensões normais, devido às tensões serem demasiado pequenas, sendo assim estas não foram determinadas. Na figura 55 encontra-se representado o resultado de um ensaio oscilatório com varrimento em frequência a uma amplitude constante e igual a 10%.

Figura 55- Frequency sweep a 20ºC para uma amplitude de 10%.

Pode-se concluir que o ensaio foi realizado a uma frequência elevada (10%) e por isso a curva de pontos relativa ao módulo de armazenamento (G’) e a relativa ao módulo de dissipação (G’’) não se intersectam, embora se note umas tendências de aproximação relativa. Deve-se no futuro realizar ensaios a uma frequência mais baixa, por exemplo 1 Hz, e com uma taxa de deformação de corte compreendida entre os 0,1 e os 1000 s-1.

0,1

1

0,1 1

Mód

ulo

de

arm

azen

amen

to e

de

diss

ipaç

ão (Pa

)

Amplitude (%)

G' XG

G'' XG

0,01

0,1

1

0,1 1

Mód

ulo

de a

rmaz

enam

ento

e

diss

ipaç

ão (Pa

)

Frequência (Hz)

G' XG

G'' XG

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 62

5.1.2.2 Geometria Prato-Prato (PP-75)

Nesta secção é caracterizada a reologia da solução aquosa de goma de xantano com uma concentração de 500ppm num ensaio de corte em regime permanente utilizando uma geometria de medição prato-prato. Embora os resultados obtidos não sejam aqui comparados com os dados do sangue, estes constituem uma informação útil para investigações futuras no âmbito do estudo da reologia dos fluidos análogos ao sangue. A reometria em sistema prato-prato não é trivial, na verdade existem dois parâmetros, nos quais a medição nesse tipo de geometria é influência, nomeadamente, a distância entre as placas paralelas que pode ser controlada (ao contrário do que acontece na geometria cone-prato) e a taxa de deformação de corte. Relativamente aos resultados obtidos no ensaio de corte, em geral, podem ser obtidos como output do ensaio, várias propriedades, entre as quais se destacam a taxa de deformação de corte, a velocidade angular, o momento torsor aplicado e a viscosidade. Contudo, a viscosidade é obtida considerando que o fluido que está a ser ensaiado é newtoniano, o que pode apresentar resultados bastante diferentes do que os previstos. Quando se mede com a geometria prato-prato, a viscosidade é uma função dependente do binário aplicado e da taxa de deformação de corte, isto é:

3

13

2

dM M

R dµ

π γ γ

= +

� �

(91)

Sendo 3 1

3 13

dM M M dM

d M d

γ

γ γ γ γ

+ = +

� � � � (Whorlow, 1992), então é possível escrever a

expressão (91) na seguinte forma:

( )( )

ln3 13 1

3 ln

d MdM M M

d dγ γ γ γ

+ = +

� � � � (92)

O gráfico do logaritmo natural do momento aplicado em função do logaritmo da taxa de deformação de corte encontra-se representado na figura 59 e a partir dele é possível determinar a equação que interpola melhor o conjunto de pontos e calcular

a sua derivada, de modo a obter o parâmetro

( )( )

ln

ln

d M

d γ� da equação (92).

y = 0,0006x4 - 0,0048x3 - 0,0053x2 + 0,6906x + 1,4557

R² = 0,9942

-2

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4 6 8

Loga

ritm

o na

tura

l do

m

omen

to a

plic

ado

Logaritmo natural da taxa de deformação de corte

XG 500ppm

Logarítmica (XG

500ppm)

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 63

Figura 59- Gráfico que permite determinar o valor da derivada do logaritmo natural do momento em ordem ao logaritmo natural da taxa de deformação de corte.

Foi utilizado um polinómio de grau quatro para interpolar os pontos obtidos no ensaio, que é dado matematicamente pela seguinte expressão:

( ) ( ) ( ) ( )4 3 2

ln 0,0006 ln 0,0048 ln 0,0053 ln 0,6906 ln 1, 4557M γ γ γ γ= − − + +� � � �

(93)

Derivando em ordem ao logaritmo natural da taxa de deformação de corte,

( ) ( ) ( )3 2ln

0,0024 ln 0,0144 ln 0,0106 ln 0,6906ln

d M

dγ γ γ

γ= − − +� � ��

(94)

Como resultado final tem-se o gráfico, representado na figura 58, da viscosidade em função da taxa de deformação de corte.

Figura 60- Gráfico que se obtém após o tratamento dos dados.

Caso se tenham valores da velocidade angular e não da taxa de deformação de corte, é possível obtê-los, visto que:

1 rr

r

v vr

r r r

θθθγ

θ

∂∂ = +

∂ ∂ (95)

Como 0rrv

θ

∂=

∂, então

r r

v Rr

r r d

θθθ θ

ωγ γ

∂ = ⇔ =

∂ , em que d é a distância entre os

dois pratos. Também era possível limitar o gráfico por duas fronteiras, tal como acontece nas outras geometrias, fazendo uma analogia com base na geometria cone-prato, garantindo que a distância entre os pratos paralelos é igual à altura máxima que o fluido atinge quando se encontra confinado na geometria cone-prato, ou seja quando o fluido se encontra na iminência de transpor uma distância radial superior ao raio da

geometria. Matematicamente, tem que se garantir que ( ). tanh R α= .

0,001

0,01

0,1

0,1 1 10 100 1000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

XG 500ppm

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 64

5.2 Análise Electroreológica

Os fluidos electroreológicos são fluidos cujas propriedades reológicas variam com a presença de um campo eléctrico, nomeadamente a viscosidade que aumenta com o aumento da intensidade do campo eléctrico aplicado. Estes fluidos geralmente consistem em partículas de um semiconductor dispersas numa suspensão não-conductora eléctrica, geralmente um solvente oleoso. (Bonnecaze 1991) Considere-se o escoamento Couette de um fluido electroreológico originado pela aplicação de uma força F que faz mover a placa superior, tal como mostrado na figura 59.

Figura 61- Escoamento Couette promovido pelo movimento da placa superior num fluido electroreológico.

A força F necessária para promover o escoamento do fluido com uma dada velocidade v na placa superior é:

u vF A F A

y hµ µ

∂= ⇔ =

∂ (96)

Em que µ é a viscosidade do fluido, A é a área de contacto do fluido com a placa, v é a velocidade da placa superior (que se move) e h é a distância entre as duas placas.

Seja ( ), ,V V x y z= a função potencial de campo eléctrico, então o campo eléctrico

gerado pela variação de potencial no espaço é dado genericamente pela expressão:

.V V V

E V E i j kx y z

∂ ∂ ∂= −∇ ⇔ = − + +

∂ ∂ ∂

�� �� �� � � �

(97)

Desta expressão pode-se concluir que sempre que há variação da função potencial no espaço, gera-se um campo eléctrico, e esse campo eléctrico tem o sentido dos potenciais decrescentes. Suponha-se agora que as placas são constituídas por um material conductor, por exemplo, um metal. É possível criar um campo eléctrico constante, através do estabelecimento de uma diferença de potencial (tensão eléctrica) entre as duas placas, por exemplo com uma fonte de alimentação ligada com os terminais ligados a cada uma das placas. Considere-se que as placas se encontram ligadas a uma fonte de alimentação, que a direcção xx é a direcção da força F e que a direcção yy é a direcção perpendicular às placas, então com a aplicação de um campo eléctrico constante, E, entre as duas

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 65

placas, verifica-se que as partículas ficam polarizadas, alinhando-se na direcção das linhas do campo eléctrico. O campo eléctrico terá direcção vertical e o sentido da placa de pólo positivo para a de pólo negativo. A sua intensidade será dada pela seguinte expressão:

y

V V VE

y h

+ −∆ −= − = −

∆ (98)

Em que ∆V a diferença de potencial entre as placas, isto é a diferença de potencial entre os terminais da fonte de alimentação, e h é a distância entre as placas. Assim, as partículas com cargas negativas migram para o pólo positivo, enquanto as partículas com cargas positivas migram para o pólo negativo, tal como se encontra representado na figura 60.

Figura 62- Aplicação de um campo eléctrico numa direcção perpendicular à direcção do escoamento.

Essa migração e alinhamento das partículas vão provocar a formação de agregados de partículas que vão ficar alongados, o que vai contribuir para um aumento da viscosidade do fluido, fazendo com que a tensão de corte aumente e que a força que inicialmente possuía uma intensidade F passe a apresentar uma intensidade superior, F’. Assim, a viscosidade do fluido é função da taxa de deformação de corte e do

campo eléctrico aplicado, isto é, ( ), Eµ µ γ= � . (Tam 1996)

A viscosidade do fluido também depende de outros factores, tais como a concentração de partículas de semiconductor dispersas, o tamanho das partículas e a própria natureza química delas, assim como a do óleo. Considerando esses factores constantes ao longo de cada ensaio, é possível observar o aparecimento rápido e reversível de uma tensão de cedência aquando da aplicação de um campo eléctrico, mesmo que inicialmente o fluido não a possua. Pode-se maximizar esse efeito electroreológico produzindo suspensões de partículas de pequena dimensão com uma elevada concentração. (Wen 2004) Os fluidos com maior efeito electroreológico são as suspensões de Zeolite ou de Titanato de Bário (TiBaO4) em óleo de silicone, mas dado o seu elevado custo, tanto do pó desses cerâmicos, como do óleo de silicone, nesta experiência não serão utilizados. Em vez disso, serão utilizadas três suspensões: CMC (CarboxiMetiloCelulose), Amido de milho (químico que entra na composição da farinha Maizena) e Alumina (óxido de Aluminio) em óleo de linhaça. Foram então preparadas seis soluções diferentes para as concentrações de 500 e 2000ppm, tendo sido realizados seis ensaios electroreológicos de modo a inferir a influência da concentração da solução nas propriedades electroreológicas desses fluidos.

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 66

Também foi seleccionada uma solução nesse conjunto de seis pelo critério de ser a que foi mais influenciada electroreologicamente (solução de amido de milho em óleo de linhaça a 2000ppm), e foi ensaiada para tensões de 0, 2, 4, 6 e 8 KV a fim de visualizar o efeito da tensão eléctrica no aumento da viscosidade, e consequentemente no aumento da tensão de cedência. (Bombard 2000, Ren 2006) Relativamente à análise dos dados, da mesma forma que os gráficos relativos à medição na geometria prato-cone se encontravam limitados à esquerda por uma fronteira devida ao momento torsor mínimo que o sistema consegue medir e à direita por outra fronteira devida à ocorrência de instabilidades inerciais, também é possível fazer um raciocínio análogo para a geometria de cilindros concêntricos.

Recorrendo à expressão (47):

2 1

2

2 12

R R T

R R Hµ

ω π

−= (47)

Em que R2 é o raio do cilindro externo, R1 é o raio do cilindro interno, ω é a velocidade angular, H é o comprimento da secção recta da geometria de cilindros concêntricos e M é o momento torsor aplicado à geometria.(Whorlow 1992)

Sendo 2

2 1

R

R Rγ ω=

−� , então:

minmin 2

1

1.2

M

R Hµ

γ π=�

(99)

Como H=39,9740mm e R1=13,3240mm, R2=14,4600mm e Mmin=0,00002Nm, então:

min

0,4485421611µ

γ=

� (100)

Tabela 11- Fronteira à esquerda.

Taxa de corte, γ� (s-1)

Viscosidade de corte, µ (Pa.s)

0,1 4,485421611

1 0,448542161

10 0,044854216

100 0,004485421

Na figura 63 encontra-se representado graficamente os dados da tabela 11.

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 67

Figura 63- Fronteira à esquerda.

A fronteira à esquerda é facilmente obtida através da definição de número de Taylor num escoamento entre cilindros concêntricos, da expressão (49):

( )

2 4 2

2 11

22

1

2

2

1

a

R RRT

R R

R

ρω

µ

− =

(49)

Fazendo Ta=Tcritico=1700, obtém-se:

( )

3

2 11max

22

12

2

1.

8501

R RR

RR

RR

µ γ−

=

� (101)

Substituindo R1=13,3240mm, R2=14,4600mm, tem-se:

max 0,00316050781.µ γ= � (102)

Tabela 12- Fronteira à direita.

Taxa de corte, γ� (s-1)

Viscosidade de corte, µ (Pa.s)

1 0,00316

10 0,03161

100 0,31605

1000 3,16050

10000 31,6051

0,001

0,01

0,1

1

10

0,1 1 10 100

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

Resolução

Minima

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 68

Figura 64- Fronteira à direita.

O óleo de linhaça é o solvente comum das suspensões electroreológicas utilizadas neste trabalho. O óleo de linhaça é um fluido solúvel em solventes orgânicos e insolúvel em água que evapora a uma temperatura de cerca de 145ºC. É um fluido ligeiramente mais denso que a água, a sua massa volúmica é aproximadamente 1,05±0,09 Kg/m3.

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1 10 100 1000 10000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

Vórtices de

Taylor

Page 69: Reologia de Fluidos e Suspensões de Partículas análogas ao Sangue

Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 69

5.2.1- Suspensão de amido de milho em óleo de linhaça

O principal constituinte da farinha maizena é o amido de milho. Nesta secção

apresentam-se os gráficos ( )τ τ γ= � (figura 65) e ( )µ µ γ= � (figura 66, 67, 68) dos

ensaios electroreológicos relativos às suspensões de maizena (amido de mliho) em óleo de linhaça a 500ppm e 2000ppm, a uma tensão eléctrica de 2KV.

Figura 65- Gráfico ( )τ τ γ= � para duas suspensões de maizena em óleo de linhaça, com concentrações

de 500 e 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

Figura 66- Gráfico ( )µ µ γ= � para duas suspensões de maizena em óleo de linhaça, com concentrações

de 500 e 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

0,1

1

10

1 10 100

Tens

ão d

e co

rte

(Pa)

Taxa de corte (s-1)

Maizena 500ppm

Maizena 2000ppm

0,01

0,1

1

10

0,1 1 10 100 1000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

Maizena 500ppm

Maizena 2000ppm

Page 70: Reologia de Fluidos e Suspensões de Partículas análogas ao Sangue

Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 70

Figura 67- Gráfico ( )µ µ γ= � limitado na região válida para duas suspensões de maizena em óleo de

linhaça, com concentrações de 500 e 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

Figura 68- Gráfico ( )µ µ γ= �

limitado na região válida para duas suspensões de maizena em óleo de

linhaça, com concentrações de 500 e 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

Da análise dos gráficos representados nas figuras 65 a 68 conclui-se que a concentração da suspensão de maizena em óleo de linhaça influencia significativamente o efeito electroreológico da suspensão. Na verdade verificam-se que a diferença máxima de viscosidades é 30,79% e ocorre para um valor de taxa de deformação de 2,02s-1.

0,01

0,1

1

10

0,1 1 10 100 1000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

Maizena 500ppm

Maizena 2000ppm

Fronteira Taylor

Fronteira M

minimo

0,1

1

0,5 5

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

Maizena 500ppm

Maizena 2000ppm

Page 71: Reologia de Fluidos e Suspensões de Partículas análogas ao Sangue

Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 71

5.2.2- Suspensão de CarboxiMetilCelulose em óleo de linhaça

Nesta secção apresentam-se os gráficos ( )τ τ γ= � (figura 69) e ( )µ µ γ= � (figura 70,

71, 72) dos ensaios electroreológicos relativos às suspensões de maizena (amido de mliho) em óleo de linhaça a 500ppm e 2000ppm, a uma tensão eléctrica de 2KV.

Figura 69- Gráfico ( )τ τ γ= � para duas suspensões de carboximetilcelulose em óleo de linhaça, com

concentrações de 500 e 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

Figura 70- Gráfico ( )µ µ γ= �

para duas suspensões de carboximetilcelulose em óleo de linhaça, com

concentrações de 500 e 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

0,1

1

10

1 10 100

Tens

ão d

e co

rte

(Pa)

Taxa de corte (s-1)

CMC 2000ppm

CMC 500ppm

0,01

0,1

1

10

0,1 1 10 100 1000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

CMC 2000ppm

CMC 500ppm

Page 72: Reologia de Fluidos e Suspensões de Partículas análogas ao Sangue

Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 72

Figura 71- Gráfico ( )µ µ γ= � limitado na região válida para duas suspensões de maizena em

óleo de linhaça, com concentrações de 500 e 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

Figura 72- Gráfico ( )µ µ γ= � limitado na região válida para duas suspensões de maizena em

óleo de linhaça, com concentrações de 500 e 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV

Da análise dos gráficos representados nas figuras 69 a 72 conclui-se que a concentração da suspensão de carboximetilcelulose em óleo de linhaça influência ligeiramente o efeito electroreológico da suspensão. Na verdade verificam-se que a diferença máxima de viscosidades é 10,36% e ocorre para um valor de taxa de deformação de 2,44s-1.

0,01

0,1

1

10

0,1 1 10 100 1000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

CMC 2000ppm

CMC 500ppm

Fronteira Taylor

Fronteira M minimo

0,1

1

0,9 9

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

CMC 2000ppm

CMC 500ppm

Page 73: Reologia de Fluidos e Suspensões de Partículas análogas ao Sangue

Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 73

5.2.3- Suspensão de óxido de alumínio em óleo de linhaça

Nesta secção apresentam-se os gráficos ( )τ τ γ= � (figura 73) e ( )µ µ γ= � (figura 74,

75, 76) dos ensaios electroreológicos relativos às suspensões de maizena (amido de mliho) em óleo de linhaça a 500ppm e 2000ppm, a uma tensão eléctrica de 2KV. Dado que a alumina é um cerâmico, e portanto um material de elevada dureza, pode acontecer que, aquando da formação de cadeias de partículas alinhadas na direcção do campo eléctrico, estas possam riscar a geometria de cilindros concêntricos utilizada no ensaio. Assim, para evitar este problema mediu-se a granulometria das partículas de óxido de aluminio através do granulometro Coulter, obtendo-se um valor médio de 19,98 µm para a dimensão das partículas de cerâmico. Visto que o espaçamento existente entre a geometria de cilindros concêntricos é 1,136 mm, seria necessário ocorrer a formação de cadeias com mais de 56 particulas alinhadas. Caso o campo eléctrico seja muito intenso, pode ocorrer a formação de colunas constituídas por várias cadeias paralelas entre si. (Wen 2004). Os dados estatísticos obtidos no granulometro podem ser consultados nos anexos, assim como as normas relativas às geometrias de cilindros concêntricos e cone-prato.

Figura 73- Gráfico ( )τ τ γ= � para duas suspensões de óxido de alumínio em óleo de linhaça, com

concentrações de 500 e 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

0,1

1

10

1 10 100

Tens

ão d

e co

rte

(Pa)

Taxa de corte (s-1)

Al2O3 2000ppm

Al2O3 500ppm

Page 74: Reologia de Fluidos e Suspensões de Partículas análogas ao Sangue

Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 74

Figura 74- Gráfico ( )µ µ γ= �

para duas suspensões de óxido de alumínio em óleo de linhaça, com

concentrações de 500 e 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

Figura 75- Gráfico ( )µ µ γ= �

para duas suspensões de óxido de alumínio em óleo de linhaça, com

concentrações de 500 e 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

Da análise dos gráficos representados nas figuras 73 a 75 conclui-se que a concentração da suspensão de óxido de aluminio em óleo de linhaça influência ligeiramente o efeito electroreológico da suspensão. Na verdade verificam-se que a diferença máxima de viscosidades é 18,49% e ocorre para um valor de taxa de deformação de 2,02 s-1. Na figura 76 encontra-se representada uma ampliação da região válida do gráfico apresentado na figura 75.

0,01

0,1

1

10

0,1 1 10 100 1000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

Al2O3 2000ppm

Al2O3 500ppm

0,01

0,1

1

10

0,1 1 10 100 1000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

Al2O3 2000ppm

Al2O3 500ppm

Fronteira Taylor

Fronteira M

minimo

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 75

Figura 76- Gráfico ( )µ µ γ= � para duas suspensões de óxido de alumínio em óleo de linhaça, com

concentrações de 500 e 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

0,01

0,1

1

10

0,2 2 20

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

Al2O3 2000ppm

Al2O3 500ppm

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 76

5.2.4- Efeito da intensidade do campo eléctrico nas suspensões electroreológicas

Nesta secção é apresentado o efeito da intensidade do campo eléctrico na suspensão de maizena em óleo de linhaça com uma concentração de 2000ppm devido ao facto de ser ter verificado que esta na secção 5.2.1. possui um maior efeito electroreológico (ver figuras 65 e 66). São realizados cinco ensaios a uma tensão de 0, 2, 4, 6 e 8 KV e são analisadas as eventuais diferenças existentes nos gráficos representados nas figuras 77 a 80.

Figura 77- Gráfico ( )τ τ γ= � para cinco ensaios de cinco suspensões de maizena em óleo de linhaça

com uma concentração de 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

Figura 78- Gráfico ( )µ µ γ= � para cinco ensaios de cinco suspensões de maizena em óleo de linhaça

com uma concentração de 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

0,1

1

10

100

0,1 1 10 100 1000

Tens

ão d

e co

rte

(Pa)

Taxa de corte (s-1)

0KV

2KV

4KV

6KV

8KV

0,01

0,1

1

10

100

0,1 1 10 100 1000

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

0KV

2KV

4KV

6KV

8KV

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 77

Note-se que, através de uma análise ao gráfico da figura 77, a tensão de corte aumenta com a diferença de potencial estabelecida, e assim o fluido que inicialmente descrevia um comportamento newtoniano passou a descrever um comportamento de um fluido de Bingham, com tensão de cedência. Pela observação do gráfico representado na figura 78, a viscosidade aumenta com o aumento da diferença de potencial, excepto para taxas de deformação de corte elevadas.

Figura 79- Gráfico ( )τ τ γ= � para cinco ensaios de cinco suspensões de maizena em óleo de linhaça

com uma concentração de 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

Figura 80- Gráfico ( )µ µ γ= � para cinco ensaios de cinco suspensões de maizena em óleo de linhaça

com uma concentração de 2000ppm, sujeitas a uma tensão eléctrica de 2KV.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 1 2 3 4 5

Tens

ão d

e co

rte

(Pa)

Taxa de corte (s-1)

0KV

2KV

4KV

6KV

8KV

0,01

0,1

1

10

100

0 1 2 3 4 5

Visco

sida

de d

e co

rte

(Pa.

s)

Taxa de corte (s-1)

0KV

2KV

4KV

6KV

8KV

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 78

Por observação das figuras 78 e 79 verifica-se que com um aumento da taxa de deformação de corte, o fluido apresenta um patamar de viscosidade constante, comportando-se como um fluido newtoniano. Ou melhor, com o mesmo comportamento que quando sujeito a uma tensão de 0KV. De onde se pode concluir que a elevadas taxas de deformação de corte o efeito electroreológico torna-se desprezável, pois ocorre a ruptura das cadeias ou colunas formadas pela aplicação do campo eléctrico.

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 79

6. Conclusões

Os fluidos considerados análogos ao sangue por Thurston (1979) são a solução aquosa de goma de xantano a 500ppm e a solução aquosa de poliacrilamida a 125ppm. As soluções de goma de xantano e poliacrilamida à temperatura de 20ºC apresentam uma viscosidade de corte ligeiramente superior aos dados do reológicos do sangue obtidos para uma temperatura de 37ºC, sendo a solução de poliacrilamida a que apresenta um melhor ajuste. Outro facto a ter em conta é que a energia de activação da solução de goma de xantano é superior à da solução de poliacrilamida, o que significa que as cadeias poliméricas da primeira solução encontram-se mais fortemente ligadas, garantindo uma menor degradação das suas moléculas durante o ensaio, isto é, um comportamento mais estável. Esse comportamento estável resulta na existência de repetibilidade em ensaios realizados sob as mesmas condições. Relativamente à dependência das soluções no tempo, embora o sangue exiba no tempo uma dependência tixotropica, as soluções de goma de xantano e de poliacrilamida não apresentam qualquer dependência no tempo, apenas se verificando o aparecimento ligeiro de histerese para baixas taxas de deformação de corte. Um outro resultado a considerar é o resultado do ensaio de ruptura capilar, em que se obteve a informação que a solução de goma de xantano apresenta um tempo de relaxação médio de 3,81±0,35 ms, enquanto a solução de poliacrilamida apresenta um tempo de relaxação médio de 34,00±0,44 ms. De onde se pode concluir que a solução de poliacrilamida apresenta uma viscosidade oito a nove vezes superior À viscosidade da solução de goma de xantano. Assim, embora estes fluidos sejam considerados análogos ao sangue, em termos de reologia de corte, por Thurston (1979), estes não o são em termos de reologia extensional. Dados estes factos, pode-se inferir que se objectivo for uma solução com um comportamento reológico próximo do sangue para baixas taxas de deformação de corte, a solução de poliacrilamida a uma concentração de 125 ppm apresenta um bom ajuste. A solução de goma de xantano com uma concentração de 500ppm apresenta uma viscosidade superior à do sangue, mas apresenta um comportamento mais estável que a solução de poliacrilamida durante todo o ensaio. Para se conseguir uma representação mais fidedigna dos dados do sangue, dever-se-á proceder a uma diluição da solução de goma de xantano, de modo a se obter um melhor ajuste. Sobre a análise electroreológica, das três suspensões de partículas em óleo de linhaça ensaiadas (amido de milho, óxido de alumínio e carboximetilcelulose), a que apresentou um maior efeito electroreológico foi a de amido de milho sob uma tensão eléctrica constante igual a 2KV. Verificou-se nesses três ensaios que sob a acção de um campo eléctrico constante, as suspensões apresentaram um aumento de viscosidade, e consequentemente um aumento da tensão de corte, adquirindo uma tensão de cedência. Pode-se também concluir que o aumento da concentração da suspensão, intensifica a sensibilidade da mesma à presença de campos eléctricos. A suspensão de amido de milho em óleo de linhaça com uma concentração de 2000ppm foi testada em cinco ensaios realizados a cinco diferenças de potencial diferentes (0, 2, 4, 6 e 8KV), podendo-se concluir que o aumento da tensão eléctrica

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 80

tem como consequência o aumento da viscosidade da suspensão, e consequentemente o aumento da tensão de corte da mesma. Uma outra conclusão a salientar é que o efeito electroreológico torna-se desprezável a elevadas taxas de deformação de corte, pois a elevada velocidade angular imposta no ensaio, faz com que ocorra a ruptura das cadeias ou colunas formadas. Este fenómeno tem como consequência o comportamento da suspensão a uma tensão eléctrica de 0KV (newtoniano). Para aplicações a baixo custo, poder-se-ia proceder à moagem do amido de milho, ao aumento da concentração do mesmo e à utilização de óleo de silicone, assim como aumentar a concentração de modo a intensificar esse efeito.

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Reologia de Fluidos Análogos ao Sangue BII – 2008/2009

Nuno António Aguiar dos Santos 81

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Nuno António Aguiar dos Santos 82

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Nuno António Aguiar dos Santos 84

8. Anexos

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Figura 81 – Gráfico obtido através da técnica de medição de granulometria Coulter Counter

Tabela 13 – Valores das estatísticas obtidas na medição da granulometria do pó de Al2O3.

Estatística Valor Unidade

Média 19,98 μm

Moda 14,45 μm

Mediana 31,5 μm

Desvio-padrão 19,4 μm

Variância 376,3 μm2

Covariância 97,08 Adimensional