REPRESENTAÇÃO DINÂMICA DE ORDEM REDUZIDA DE CARGAS TIPO MOTOR DE...

REPRESENTAÇÃO DINÂMICA DE ORDEM REDUZIDA DE CARGAS

TIPO MOTOR DE INDUÇÃO EM SISTEMAS ELÉTRICOS

Rafael de Souza Oliveira Azevedo

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Elétrica, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Elétrica.

Orientadores: Sebastião Ércules Melo de Oliveira

Antônio Carlos Ferreira

Rio de Janeiro

Setembro de 2011

REPRESENTAÇÃO DINÂMICA DE ORDEM REDUZIDA DE CARGAS

TIPO MOTOR DE INDUÇÃO EM SISTEMAS ELÉTRICOS


DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA

(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA ELÉTRICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Sebastião Ércules Melo de Oliveira, D. Sc.

________________________________________________ Prof. Antônio Carlos Ferreira, Ph. D.

________________________________________________ Prof. Henrique de Oliveira Henriques, D. Sc.

________________________________________________ Prof. Pedro Paulo de Carvalho Mendes, D. Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

SETEMBRO DE 2011

iii

Azevedo, Rafael de Souza Oliveira

Representação dinâmica de ordem reduzida de cargas

tipo motor de indução em sistemas elétricos / Rafael de

Souza Oliveira Azevedo. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE,

2011.

XVI, 90 p.: il.; 29,7 cm.



Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Elétrica, 2011.

Referências Bibliográficas: p. 87-90.

1. Equivalente dinâmico. 2. Motor de indução. 3.

Análise modal. I. Oliveira, Sebastião Ércules Melo de et

al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,

Programa de Engenharia Elétrica. III. Título.

iv

Ofereço este trabalho

Aos meus pais Dinorá e José Carlos e

À minha irmã Rafaella

v

AGRADECIMENTOS

Meus agradecimentos iniciais são dirigidos aos meus pais, pela educação e pelo

exemplo de vida que me propiciaram.

Agradeço em especial ao professor Sebastião Ércules Melo de Oliveira, pela

proposta do tema e pela orientação de forma dedicada e paciente.

Agradeço ao professor Antônio Carlos Ferreira pela orientação e apoio.

Agradeço ao meu amigo Deilton, que contribuiu de maneira incomparável para

o desenvolvimento deste trabalho.

Agradeço à Lilian, que sempre esteve ao meu lado, me deu forças e nunca me

deixou desistir.

Agradeço a todas as pessoas que contribuíram de alguma maneira para o

desenvolvimento deste trabalho.

E agradeço a Deus por sempre me acompanhar nos momentos difíceis.

vi

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M. Sc.)

REPRESENTAÇÃO DINÂMICA DE ORDEM REDUZIDA DE CARGAS TIPO

MOTOR DE INDUÇÃO EM SISTEMAS ELÉTRICOS


Setembro/2011



Programa: Engenharia Elétrica

Este trabalho apresenta uma nova técnica para representação de ordem reduzida

de motores de indução e que se apóia na análise modal. O método utilizado para a

agregação dos motores de indução é apresentado juntamente com resultados de

simulação para comprovação de sua consistência. O conceito de área externa do sistema

elétrico é utilizado na definição da área a ser equivalentada.

Com o objetivo de dar suporte ao trabalho desenvolvido, um sistema industrial

alimentado com tensão de 69kV e com derivações através de transformadores de

potência nas tensões de 13,8kV, 4,16kV e 480V foi utilizado como referência. Este

sistema é composto por cinqüenta e quatro motores de indução trifásicos do tipo gaiola.

O desempenho do método é analisado levando em consideração diferentes tipos

de carga do sistema externo, tais como cargas do tipo impedância constante e tipo motor

equivalente de terceira ordem, em número igual ao de modos retidos na representação

dinâmica. Excelente concordância dos resultados se verifica, inclusive para uma condi-

ção em que dois motores de maior porte não recuperam a operação normal.

vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

REDUCED ORDER DYNAMIC REPRESENTATION OF INDUCTION MOTOR

LOADS IN ELECTRICAL SYSTEMS


September/2011

Advisors: Sebastião Ércules Melo de Oliveira


Department: Electrical Engineering

The work presents a new technique for reduced order representation of induction

motor that relies on the modal analysis. The method used for induction motor

aggregation is presented with simulation results to prove its accuracy. The concept of

external area of the electric system is utilized for defining the area to be equivalenced.

In order to support the work, a 69 kV industrial supply system that feeds 69 kV,

13.8 kV, 4.16 kV and 480V power transformers was selected as reference. The

complete original system contains fifth-four induction motors of squirrel cage type.

The performance of the method is analyzed taking into account different types of

external system equivalent loads, such as constant impedance and third order induction

motors, in number equal to the modes retained in the dynamic equivalent representation.

Excellent agreement of the results can be observed, including a condition in which two

larger motors do not recover normal operation.

viii

ÍNDICE

LISTA DE FIGURAS .................................................................................................... xi

PRINCIPAIS SÍMBOLOS E VARIÁVEIS ............................................................... xv

1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1

1.1- Antecedentes ........................................................................................................ 1

1.2- Motivação ............................................................................................................. 2

1.2.1- Modelos de Motores de Indução ................................................................. 2

1.2.2- Agregação dos Motores de Indução ............................................................ 6

1.3- Objetivo .............................................................................................................. 15

1.4- Resumo ............................................................................................................... 16

2 ANÁLISE MODAL .............................................................................................. 17

2.1- Conceitos Gerais ................................................................................................ 17

2.2- Modos de Oscilação Eletromecânicos .............................................................. 17

2.3- Equações de Estado ........................................................................................... 18

2.4- Equações Dinâmicas .......................................................................................... 21

2.5- Equivalência das Equações Dinâmicas ............................................................ 24

2.6- Resíduo da Função de Transferência .............................................................. 24

2.7- Participação dos Modos de Oscilação ............................................................. 25

2.7.1- Critério da Observabilidade ...................................................................... 25

2.7.2- Critério da Controlabilidade ..................................................................... 25

2.8- Solução das Equações de Estado ...................................................................... 26

ix

3 MODELAGEM DE MOTORES DE INDUÇÃO .............................................. 28

3.1- Introdução .......................................................................................................... 28

3.2- Ordens do Modelo ............................................................................................. 28

3.3- Reduções de Ordem ......................................................................................... 29

3.4- Representação dos Motores de Indução .......................................................... 30

3.5- Motores de Indução de Dupla Gaiola .............................................................. 33

4 ESTUDO REALIZADO ...................................................................................... 36

4.1- Equivalente Dinâmico Definido Através da Análise Modal .......................... 36

4.2- Equações Linearizadas de Desempenho da Área Externa ............................ 38

4.3- Transformação Modal das Equações de Estado ............................................ 43

4.4- Rejeição dos Modos Insignificantes para a Representação Eletromecânica

da Área Externa ........................................................................................................ 44

4.5- Definição dos Parâmetros da Representação Modal Equivalente ................ 47

5 SIMULAÇÕES E RESULTADOS ..................................................................... 51

5.1- Introdução .......................................................................................................... 51

5.2- Principais Características do Sistema Industrial Estudado .......................... 51

5.3- Programa Utilizado ........................................................................................... 52

5.4- Modelagem Computacional do Sistema .......................................................... 53

5.5- Modelagem Computacional do Sistema Equivalentado ................................ 53

5.5.1- Sistema Equivalentado a partir do Modelo de Motores Agregados. ..... 55

5.5.2- Sistema Equivalentado a partir de uma Impedância Constante. .......... 59

5.5.3- Sistema Equivalentado a partir do Modelo de Motores Agregados

Demonstrando a Evolução dos Modos Oscilatórios. ......................................... 64

x

5.5.4- Sistema de Motores Agregados – Outros Casos. ..................................... 67

5.5.4.1 Caso Original x Agregado – Área Interna Composta por Cargas do Tipo Impedância Constante. ............................................................................... 67

5.5.4.2 Caso Original x Agregado – Área Interna Composta por Cargas do Tipo Impedância Constante e com Motores Conectados à Barra 15. ................. 71

5.5.4.3 Caso Original x Agregado – Área Interna Composta por Cargas do Tipo Impedância Constante e com Motores Conectados às Barras 10 e 15. ...... 76

5.5.4.4 Caso Original x Agregado – Instabilidade na Área Interna................ 80

5.5.4.5 Caso Original x Agregado - Estabilidade na Área Interna. ................ 83

6 CONCLUSÕES / RECOMENDAÇÕES ............................................................ 85

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 87

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1 – Circuito elétrico de um motor de indução de terceira ordem ............. 30

Figura 3.2 – Circuito elétrico do motor de indução de quinta ordem ..................... 35

Figura 4.1 - Sistema elétrico exemplo ......................................................................... 37

Figura 5.1– Diagrama unifilar do sistema industrial estudado ................................ 52

Figura 5.2 – Sistema original implementado no programa MATLAB .................... 53

Figura 5.3 – Área interna e externa do sistema original ........................................... 54

Figura 5.4 – Sistema agregado..................................................................................... 55

Figura 5.5 – Ocorrência de falta trifásica na barra 10 ............................................. 56

Figura 5.6 – Curvas de tensões para os sistemas agregado x original - Modelo

composto por 6 modos oscilatórios.............................................................................. 56

Figura 5.7 – Curvas de fluxo de corrente para sistemas agregado x original -

Modelo composto por 6 modos oscilatórios ................................................................ 57

Figura 5.8 – Curvas da potência ativa na barra 10 para sistemas agregado x

original - Modelo composto por 6 modos oscilatórios ............................................... 58

Figura 5.9 – Curvas da potência reativa na barra 10 para sistemas agregado x

original - Modelo composto por 6 modos oscilatórios ............................................... 58

Figura 5.10 - Curvas do deslizamento do motor de maior potência da barra 10

para sistemas agregado x original - Modelo composto por 6 modos oscilatórios ... 59

Figura 5.11 – Sistema agregado - Modelo composto por impedâncias constantes . 60

Figura 5.12 – Curvas de tensões para sistemas agregado x original - Modelo

impedâncias constantes ................................................................................................ 61

Figura 5.13 – Curvas de fluxo de corrente para sistema agregado x original -

Modelo impedâncias constantes. ................................................................................. 62

xii

Figura 5.14 – Curvas da potência ativa na barra 10 para sistema agregado x

original - Modelo impedâncias constantes ................................................................. 62

Figura 5.15 – Curvas da potência reativa na barra 10 para sistema agregado x

original - Modelo impedâncias constantes ................................................................. 63

Figura 5.16 – Curvas do deslizamento do motor de maior potência da barra 10

para sistema agregado x original - Modelo impedância constante .......................... 64

Figura 5.17 – Curvas da tensão na barra de fronteira para sistema agregado x

original – Efeito da inclusão dos modos oscilatórios ................................................. 65

Figura 5.18 – Curva de corrente total suprida em direção à barra de fronteira -

Sistema original x agregado – Efeito da inclusão dos modos oscilatórios ............... 65

Figura 5.19 – Curva de potência ativa total suprida aos motores na barra 10 -


Figura 5.20 – Curva de potência reativa total suprida aos motores na barra 10 -


Figura 5.21 – Curva de deslizamento do maior motor na barra 10 - Sistema

original x agregado – Efeito da inclusão dos modos oscilatórios ............................. 67

Figura 5.22 – Sistema original – Área interna com cargas estáticas ....................... 68

Figura 5.23 – Sistema agregado – Área interna com cargas estáticas ..................... 69

Figura 5.24 – Curvas de tensões para sistema agregado x original – Área interna

com cargas estáticas. Tensão na barra de fronteira para curto trifásico na barra 10

........................................................................................................................................ 69

Figura 5.25 – Corrente do sistema externo em direção à barra de fronteira –

Sistemas agregado x original – Área interna com cargas estáticas. Curto 3F na

barra 10. ........................................................................................................................ 70

xiii


original – Área interna com cargas estáticas – Curto 3F na barra 10. .................... 70


original – Área interna com cargas estáticas – Curto 3F na barra 10. .................... 71

Figura 5.28 – Sistema original – Área interna com cargas estáticas e motores na

barra 15 ......................................................................................................................... 72

Figura 5.29 – Sistema agregado – Área interna com cargas estáticas e motores na

barra 15 ......................................................................................................................... 72

Figura 5.30 – Ampliação da imagem evidenciando a falta trifásica na barra 15 da

área interna do sistema ................................................................................................ 73

Figura 5.31 – Curvas de tensões para sistema agregado x original - Motores na

barra 15 – Curto trifásico na barra 15. ...................................................................... 74

Figura 5.32 – Curvas de corrente do sistema externo em direção à barra de

fronteira para os sistemas agregado e original - Motores na barra 15 – Curto na

barra 15. ........................................................................................................................ 74

Figura 5.33 – Curvas da potência ativa total consumida pela barra 15 para os

sistemas agregado e original - Motores na barra 15 – Curto na barra 15. ............. 75

Figura 5.34 – Curvas da potência reativa total consumida pela barra 15 para os


Figura 5.35 – Curvas do deslizamento do maior motor ligado à barra 15 para os


Figura 5.36 – Sistema original - Motores nas barras 10 e 15.................................... 77

Figura 5.37 – Sistema agregado - Motores nas barras 10 e 15 ................................. 77

Figura 5.38 – Curvas da tensão na barra de fronteira para os sistema agregado x

original - Motores nas barras 10 e 15 – curto na barra 15 ....................................... 78

xiv

Figura 5.39 – Curvas de corrente em direção à barra de fronteira para os sistemas

agregado x original - Motores nas barras 10 e 15 – Curto na barra 15 .................. 78

Figura 5.40 – Curvas da potência ativa alimentada pela barra 10 para os sistema

agregado x original - Motores nas barras 10 e 15. Curto trifásico na barra 10. .... 79

Figura 5.41 – Curvas da potência reativa alimentada pela barra 10 para os

sistemas agregado e original - Motores nas barras 10 e 15. Curto trifásico na barra

10. ................................................................................................................................... 79


para os sistemas agregado x original - Motores nas barras 10 e 15 – Curto trifásico

na barra 10. ................................................................................................................... 80

Figura 5.43 – Curvas das tensões na barra de fronteira para os sistema agregado e

original – Reaceleração sem sucesso após curto na barra 10. .................................. 81

Figura 5.44 – Curvas de corrente da barra 3 para a barra 5, para os sistemas

agregado e original – Reaceleração sem sucesso........................................................ 81

Figura 5.45 – Curvas da potência ativa na barra 10 para os sistemas agregado e

original – Reaceleração sem sucesso ........................................................................... 82


original – Reaceleração sem sucesso ........................................................................... 82


para os sistemas agregado e original – Reaceleração sem sucesso. .......................... 83

Figura 5.48 – Curvas da potência ativa alimentada pela barra 10 para os sistemas

agregado e original – Reaceleração com sucesso. ...................................................... 84


para os sistemas agregado e original - Reaceleração com sucesso. ......................... 84

xv

PRINCIPAIS SÍMBOLOS E VARIÁVEIS

A Matriz de estado

B Matriz de coeficientes para as variáveis de entrada

C Matriz de coeficientes para as variáveis de saída

D Matriz dos termos diretos

)(tX Vetor de variáveis de estado

)(tU Vetor de variáveis de entrada do sistema

)(tY Vetor de variáveis de saída do sistema

Λ Matriz de autovalores

Γ Matriz de autovetores

λ Autovalor

∆ Simbologia para indicação de desvio de variável

TV Tensão no terminal do motor

θ Ângulo de fase da tensão terminal

RE′ Tensão proporcional ao enlace de fluxo do rotor

δ Ângulo da tensão interna do motor

sr Resistência do enrolamento de fase do estator

sx Reatância de dispersão do enrolamento de fase do estator

1Rr Resistência do enrolamento da primeira gaiola do rotor

1Rx Reatância de dispersão do enrolamento da primeira gaiola do rotor

2Rr Resistência do enrolamento da segunda gaiola do rotor

2Rx Reatância de dispersão do enrolamento da segunda gaiola do rotor

mx Reatância de magnetização do enrolamento do estator

xvi

'1Rr Resistência do enrolamento do rotor referida ao estator

'1Rx Reatância de dispersão do enrolamento do rotor referida ao estator

sX Reatância própria do enrolamento de fase do estator

RX Reatância própria do enrolamento de fase do rotor referida ao estator

X ′ Reatância transitória do motor

0T ′ Constante de tempo do enrolamento do rotor

G′ Condutância transitória do motor

B′ Susceptância transitória do motor

H Constante de inércia combinada do motor e da carga mecânica

s Deslizamento do motor com relação ao campo girante do motor

w Velocidade de rotação do rotor

sw Velocidade síncrona do campo girante do enrolamento do estator

MT Conjugado da carga mecânica

ET Conjugado eletromagnético

N Potência aparente

P Potência ativa

Q Potência reativa

MATLAB Matrix Laboratory

1

CAPÍTULO 1

1 INTRODUÇÃO

1.1- Antecedentes

O Brasil apresenta já há algum tempo um crescimento industrial significativo.

Com este crescimento, o aumento da carga a ser atendida pelo sistema elétrico se torna

imprescindível. Afinal, novas indústrias estão em construção e antigas fábricas estão em

processo de expansão. Para o acompanhamento deste crescimento, independente da área

de atuação, o setor industrial necessita cada vez mais de motores, sendo a maioria

destes, motores de indução trifásicos.

A análise do efeito transitório nos sistemas de energia elétrica para estudos de

planejamento, operação e proteção dos sistemas de potência e sistemas industriais, no

seguimento às perturbações resultantes de curto-circuito, redução de carga, alteração

súbita na configuração da rede e outras, apresenta dificuldades em termos da análise

dinâmica das cargas compostas predominantemente por motores de indução, visto que

os mesmos representam a componente de maior peso das cargas dinâmicas de um

sistema elétrico.

No passado, os motores de indução eram representados através de cargas do tipo

impedância constante na análise dinâmica dos sistemas de potência. A razão para esta

simplificação estava na redução do esforço computacional e também no fato que as

análises de curto-circuito desconsideravam as contribuições destes motores para as

correntes de falta. Entretanto, com o avanço da velocidade de atuação dos dispositivos

para interrupção de circuitos, os equipamentos de proteção interrompem presentemente

correntes de falta relativamente maiores com maior rapidez, em intervalos de tempos

menores em que ainda se apresenta relevante a contribuição dos motores de indução

para a corrente de falta. Este fato incentivou uma melhor representação dinâmica dos

motores de indução.

A necessidade de modelagem consistente de determinadas áreas do sistema

2

composto por motores de indução pode existir não em função do interesse direto no

desempenho dinâmico destes, mas sim em razão da contribuição de seu efeito dinâmico

sobre a área do sistema elétrico onde as perturbações serão aplicadas. Assim, a

representação eletromecânica para a área composta por motores de indução, na hipótese

de exigência de maior precisão nos resultados obtidos nos estudos, deve ser feita com o

maior detalhamento possível, utilizando os modelos disponíveis mais representativos.

A representação de ordem reduzida de determinadas áreas do sistema composto

predominantemente por motores de indução dentro do contexto da avaliação do

desempenho dinâmico de um sistema elétrico de potência ou industrial pode ser

bastante vantajosa se um grande número de motores de indução puder ser representado

por um número menor de motores equivalentes. Esta tarefa pode ser denominada como

agregação de motores de indução.

1.2- Motivação

A agregação de motores de indução é um assunto que sempre motivou estudos e

pesquisas. Ao longo das últimas décadas, o conceito de equivalente dinâmico também

se tornou muito atrativo, já que a quantidade de dados necessários para a representação

dos motores de indução em softwares capazes de realizar simulações dinâmicas sempre

foi um problema em termos de memória e processamento computacional. Diferentes

métodos para agregação de motores de indução trifásicos foram apresentados por

pesquisadores e engenheiros, visto que o conceito de representação de diversas

máquinas em um grupo de ordem relativamente menor é muito atrativo em termos

prático e econômico.

A seguir serão analisados alguns trabalhos publicados que tratam dos avanços

relacionados aos métodos para agregação dos motores de indução.

1.2.1- Modelos de Motores de Indução

Quando estudos de estabilidade transitória são realizados para um sistema de

potência, as cargas elétricas devem ser representadas em derivação nos barramentos do

3

sistema. No passado, muitos estudos de estabilidade transitória representavam os

motores de indução utilizando modelos de regime permanente. Esta representação pode,

em alguns casos, fornecer resultados precisos, porém para estudos de característica

transitória, o motor deve ser representado através de equações diferenciais não-lineares,

que descrevem seu comportamento dinâmico com melhor precisão.

A representação das equações dos motores de indução para análise transitória e

para a realização de simulações através de métodos computacionais sempre foi alvo de

estudo dos pesquisadores. No início da década de 70, devido ao desenvolvimento da

tecnologia moderna de semicondutores, a área de aplicação dos motores de indução foi

expandida pela operação dos motores através de variadores de freqüência, Sarkar e Berg

[1], 1970. Vários estudos para análise do transitório do motor operado pelo variador de

freqüência foram realizados e todos faziam uso das equações de Park, equações para a

representação do motor de indução no referencial dos eixos direto (d) e de quadratura

(q).

Com a aplicação dos variadores de freqüência verificou-se a necessidade de

incorporação às equações de modelagem dos motores de indução de termos envolvendo

o produto da corrente pela velocidade de rotor, fazendo com que as equações de

desempenho do motor apresentassem efeito não-linear acentuado resultante da variação

da velocidade.

Um motor trifásico alimentado por um inversor de freqüência variável terá as

tensões de alimentação com um conteúdo substancial de harmônicos. A referência [1]

ressalta que torna-se inconveniente levar em consideração estes harmônicos quando

utilizando as equações de Park. Sendo assim, devido a estas dificuldades, a

representação dos motores de indução através do método trifásico direto demonstra ser

desejável para estes casos.

Outra vantagem na utilização do método direto é que os parâmetros envolvidos

são constantes físicas explícitas do motor. Eles não são convertidos em nenhuma outra

base de referência para a realização dos cálculos. Isto diminui a possibilidade da ocor-

rência de erros.

A solução numérica do conjunto de equações diferenciais não-lineares que

descrevem o comportamento de um motor de indução trifásico é considerada complexa

e difícil devido à ordem das equações. Em função disto, quando possível, o método de

4

linearização é aplicado para solucionar estas equações e auxiliar na interpretação dos

resultados.

Na referência [2], Cathey, Cavin e Ayoub, 1973, o conjunto de equações

diferenciais não-lineares que descreve o comportamento de um equivalente bifásico de

um motor de indução trifásico é linearizado a partir de um ponto nominal arbitrário.

Assumindo que a tensão terminal e a freqüência do sistema podem ser aproximadas

através de um segmento linear para qualquer intervalo de tempo, soluções para as

equações devido a pequenas perturbações são utilizadas para gerar expressões para a

potência ativa e reativa absorvidas/geradas pelo motor durante as condições transitórias.

O resultado do método proposto por este modelo linearizado resultou na

avaliação de potência ativa e de potência reativa requeridas pelo motor de indução sob

condições transitórias. Esta simulação computacional aproximada utilizou um terço do

tempo requerido por uma solução numérica utilizando as equações diferenciais não-

lineares mais gerais.

Na referência [3], Lipo e Plunkett, em 1974, apresentam uma alternativa para a

representação das equações dos motores de indução utilizando a formulação em termos

de variáveis de estado. As equações são organizadas de uma maneira que todo o proce-

dimento de derivação pode ser realizado computacionalmente. Os pólos, zeros e ganhos

das funções de transferência para qualquer par de variáveis de entrada ou saída podem

ser obtidos rapidamente.

A aplicação do conceito de funções de transferência em conjunto com o método

do lugar das raízes tem constituído a metodologia preferida por alguns pesquisadores

para a realização de estudos de controle. Mais a frente, uma atenção maior foi

direcionada para a computação dos pólos da função de transferência das equações

linearizadas dos motores de indução. Tal informação se mostrou útil na análise da

instabilidade dos motores quando são alimentados por variadores de freqüência. Os

pólos do sistema podem ser encontrados facilmente através da matriz dos autovalores

do sistema. Então, os problemas de estabilidade dos motores podem ser investigados de

uma maneira relativamente mais simples.

Novotny e Wouterse [4], em 1976, afirmam que o método de linearização é útil,

porém os resultados dos modelos lineares são de ordem elevada e apresentam restrições,

com visualização complicada dos efeitos no ponto de operação do motor.

5

Os resultados apresentados neste artigo claramente demonstram a importância

das variáveis complexas na análise dinâmica dos motores de indução. Alguns benefícios

em particular: expressões generalizadas para os zeros das funções de transferência, a

forma simples e linear que o deslizamento do motor no ponto de operação apresenta em

relação aos autovalores de sua resposta linearizada e a representatividade de alguns

parâmetros não dimensionais que descrevem a resposta dinâmica do motor de uma

forma generalizada. Estes e outros resultados similares reforçam a simetria do motor de

indução e evidencia a dificuldade de obter estes resultados utilizando o método

tradicional de descrição do desempenho através de variáveis reais.

Como observado, os pesquisadores buscaram ao longo dos anos métodos que

proporcionassem uma simplificação da representação dos motores de indução. Sempre

com o objetivo de tornar o processo de solução de suas equações mais simples para

obter maior agilidade, mantendo a precisão dos resultados. Com isso, critérios para

obter a redução de ordem para as equações não-lineares dos motores de indução são

apresentadas por Sastry e Burridge, 1976, em [5]. Neste artigo, um modelo de ordem

reduzida de uma máquina de indução é estabelecido e analisado utilizando simulação

computacional e análise de autovalores. Este modelo é comparado com a representação

completa da máquina através de simulações das equações não-lineares para a mesma

situação dinâmica.

O modelo completo de um motor de indução do tipo gaiola de esquilo é

apresentado neste trabalho através de cinco equações diferenciais não-lineares, sendo

denominado modelo de 5ª ordem. Destas cinco equações, duas representam o efeito

transitório de estator, duas representam o efeito transitório no rotor e uma representa o

comportamento mecânico do motor, este representado pela equação da velocidade do

rotor da máquina.

Um modelo de ordem reduzida, 3ª ordem, pode ser extraído do modelo acima

referido quando não se considera os transitórios do estator nos estudos dinâmicos. Este

modelo é o denominado modelo simplificado para representação dos motores de

indução do tipo gaiola de esquilo simples.

Na referência [6], em 1982, os autores discutem a representação dos motores de

indução do tipo dupla gaiola. Sendo este tipo de motor representado através de sete

equações diferenciais não-lineares. O acréscimo de duas equações ao modelo de 5ª

6

ordem se deve à utilização da gaiola adicional de partida neste tipo de motor.

Negligenciando os transitórios rápidos devido à gaiola de partida, o modelo

convencional de 7ª ordem para o motor de indução de dupla gaiola pode ser diretamente

reduzido para um modelo de 5ª ordem com uma estrutura diferente do modelo regular

de 5ª ordem para um motor de gaiola simples.

1.2.2- Agregação dos Motores de Indução

Conforme apresentado por Iliceto e Capasso [7], em 1974, é possível observar

que a agregação de motores de indução através do desenvolvimento de uma estrutura

com mesmo desempenho dinâmico é alvo de interesse dos pesquisadores desde o início

da década de 70. Os autores abordam o comportamento dinâmico das cargas compostas

por motores de indução do ponto de vista computacional baseados nas equações gerais

para motores de indução. Estas equações foram deduzidas desconsiderando o fenômeno

transitório resultante das correntes no estator. É realizada uma análise do fenômeno

transitório eletromagnético de grupos de motores de indução para pequenas pertur-

bações, para afundamentos da tensão de alimentação produzidos por faltas no sistema

elétrico de alimentação. O artigo enfatiza a dificuldade na representação matemática de

todo o conjunto de motores de indução, que são numerosos, heterogêneos e estão

espalhados pela rede de distribuição em vários níveis de tensão. O método proposto

pelo artigo indica que os parâmetros dos motores de indução com maior influência no

comportamento transitório das máquinas são a inércia e a constante de tempo do rotor

com o circuito do estator aberto. Foram realizadas simulações considerando um valor

comum para a inércia de um grupo de motores e foi definido um valor equivalente para

a constante de tempo do rotor definido como sendo a média das constantes de tempo

dos motores individuais ponderadas por suas potências unitárias.

Comparado ao método de representação de cargas compostas por motores de

indução através do modelo de impedância constante, o modelo proposto neste artigo

permite uma análise mais precisa dos transitórios eletromecânicos do sistema. Por outro

lado, isto envolve um trabalho maior na coleta de dados dos motores e o processamento

exige um tempo maior para simulação computacional, bastante limitada na época.

7

Na referência [8], Hakin e Berg, em 1976, descrevem um método de represen-

tação de um grupo de motores de indução através de um equivalente único. O modelo

utiliza a representação do circuito equivalente do motor em regime permanente e

considera os efeitos da inércia e da característica da carga mecânica. São feitas

simulações utilizando o modelo proposto e as respostas são comparadas levando em

consideração a representação dos motores individualmente através das equações de

Park. Na análise de desempenho transitório foram consideradas perturbações súbitas e

graduais para ambos os modelos. Para o modelo equivalente único, a premissa básica

utilizada é a condição de potência invariável. Esta condição vai de encontro com o fato

que o conjugado da carga no eixo do motor tem característica exponencial. O processo

utilizado para obter o equivalente único de um grupo de motores partiu da idéia de,

primeiramente, desenvolver o equivalente de dois motores de indução conectados ao

mesmo barramento, ou seja, sob a mesma tensão de alimentação. Para o caso de mais

motores, o método sugere implementar o paralelismo dos motores dois a dois até se

alcançar o equivalente único. O modelo realiza um paralelismo das impedâncias dos

motores. Com relação à agregação da inércia e do conjugado mecânico, para estes

parâmetros são consideradas somas diretas dos parâmetros dos motores individuais. As

potências ativa e reativa que são requisitadas pelo grupo de motores podem ser previstas

utilizando este modelo, que leva em consideração os efeitos de conjugado mecânico e

da inércia. Nos resultados comparando este método com o método de representação

individual dos motores de indução (método exato), as curvas das potências ativas e

reativas apresentam a mesma tendência, porém descolam bastante uma da outra.

Os autores da referência [9], em 1987, investigam o efeito da representação

dinâmica de um grupo de motores de indução através de um ou mais motores. Os

parâmetros desconhecidos dos equivalentes são estimados através do método dos

mínimos quadrados. O artigo define que o primeiro estágio para o processo de agre-

gação de motores é escolher o modelo dinâmico do motor equivalente que refletirá

melhor o comportamento final do grupo de motores. Uma verificação dos resultados das

simulações sugere que seja utilizado o modelo dinâmico de 5ª ordem para a represen-

tação dos motores agregados. A técnica sugerida pelo artigo apresenta resultado satisfa-

tório com relação às características de convergência, estimação dos parâmetros iniciais,

seleção dos fatores de aceleração e também a homogeneidade do grupo de motores. De

acordo com o estudo apresentado no trabalho, um grupo de motores é caracterizado

8

como homogêneo quando a inércia de cada motor é maior que a metade de sua constan-

te de tempo do rotor com o circuito do estator aberto.

2roTH < (1.1)

A metodologia apresentada por Nozari, Kankam e Praice [10], em 1987, sugere

que o grupo de motores de indução que serão representados através de um equivalente

dinâmico utilize não apenas um motor agregado para a representação do grupo.

Dependendo da diversidade da carga, a representação do grupo de motores através de

dois motores agregados demonstra ser superior aos demais métodos já apresentados na

literatura. A carga de um barramento qualquer pode incluir diversos tipos de motores de

indução, cada um apresentando uma característica dinâmica específica e cada um

operando em uma condição de regime permanente distinta. No método proposto pelo

artigo, todos os parâmetros do circuito equivalente do motor de indução na forma de

resistências e reatâncias e a constante de inércia são multiplicados por um coeficiente α,

sendo este igual à potência aparente de cada motor individual dividida pela soma das

potências aparentes dos motores. Em uma metodologia alternativa, o coeficiente α agora

multiplica os parâmetros do motor transformados em admitâncias, enquanto os métodos

propostos anteriormente multiplicavam as impedâncias do circuito equivalente pelo

coeficiente α. O artigo realiza a segregação dos motores baseada nos autovalores do

modelo do motor de indução. O artigo afirma que não é necessária a representação

detalhada do modelo de um motor de indução para representar motores de uma forma

agregada, discordando do proposto no artigo [9]. O artigo em questão utiliza o modelo

dinâmico de 3ª ordem para a representação do motor de indução. O modelo de 3ª ordem

resulta em um par de autovalores complexos estáveis e um autovalor real estável. O par

complexo representa a dinâmica elétrica do circuito do rotor, enquanto o autovalor real

representa o movimento mecânico do motor. O autovalor real deve ser usado para

separar os motores agregados em diferentes grupos. Julgando o desempenho do método

de agregação alternativo apresentado no artigo para agregar motores com características

diferentes em um grupo de motores, o método proposto pelo artigo se mostrou eficaz.

Entretanto, para agrupar motores que possuem características similares, os métodos

anteriores apresentaram o mesmo resultado que o novo método proposto no artigo.

Akbaba e Fakhro [11], em 1992, analisaram a representação dinâmica de um

9

grupo de motores de indução através de um ou mais motores equivalentes para estudo

de estabilidade transitória de sistemas de potência. Considerando o fato de que motores

de indução de grande potência constituem um grande percentual do total de cargas de

um sistema, e que o efeito pelicular possui uma participação considerável no desem-

penho destas máquinas, este efeito é incluído no modelo. Para permitir que o efeito

pelicular fosse incluído no modelo, as reatâncias de dispersão do rotor e do estator

foram separadas e as perdas no cobre foram desconsideradas. O efeito pelicular faz com

que a resistência e a reatância de dispersão do circuito equivalente do rotor variem

significativamente com o escorregamento. Então, com a inclusão deste efeito, o modelo

equivalente do motor ficou sendo representado através de sete parâmetros elétricos ao

invés dos cinco parâmetros convencionais. Segundo o artigo, o critério de

homogeneidade proposto em [9] foi analisado para um grupo de máquinas e ficou

constatado que o critério funciona apenas para o tipo de perturbação no sistema de

potência, que ocorre para uma falta com queda súbita de tensão e com um rápido

estabelecimento da tensão (extinção da falta). Para outros tipos de falta, este critério de

homogeneidade não funciona corretamente. Sendo assim, o artigo propõe um novo

critério de homogeneidade para agrupamento de motores de indução.

O método de agrupamento de motores de indução proposto neste artigo não

apresentou problemas de convergência, do ponto de vista da homogeneidade dos

motores. Este fato representou uma importante vantagem sobre o método apresentado

em [9], cujas simulações apresentaram problemas de convergência para determinados

tipos de falta.

Sriharan, Tan e Ting [12], em 1993, descrevem um modelo linear representando

um grupo de motores de indução. Assumindo que os motores estejam a uma velocidade

constante durante um breve período de tempo seguido por uma perturbação, o modelo é

reduzido ao construir-se um modelo de ordem menor utilizando apenas os autovalores

dominantes do modelo completo. Neste artigo é discutida a escolha dos autovalores que

serão retidos e a precisão do modelo reduzido é obtida com a comparação das respostas

referentes aos passos de integração dos modelos completo e de ordem reduzida. Grupos

de até vinte e nove motores são considerados e é demonstrado que através de modelos

de até um quarto da ordem do modelo completo, respostas com alto índice de precisão

são obtidas. No artigo cada motor de indução é representado pelas quatro primeiras

equações diferenciais lineares porque a velocidade é assumida ser constante. Neste caso

10

os autovalores deste grupo de motores são todos do tipo complexos conjugados e a

escolha dos autovalores dominantes se torna difícil. Sendo assim, um método para a

escolha destes autovalores é determinado levando em consideração a contribuição

destes dentro de um passo de integração. A precisão do modelo de redução é

determinada através da comparação da corrente total absorvida pelos motores de

indução no modelo completo com a corrente absorvida no modelo reduzido. Foram

considerados no estudo diversos grupos de motores e foi constatado que um grupo de

motores de baixa potência, composto por quatorze máquinas, não permite uma grande

redução da ordem do modelo, provavelmente em função dos motores apresentarem uma

grande diferença em suas potências nominais. Pelo contrário, para um grupo de motores

composto por seis máquinas grandes, a ordem do modelo foi reduzida considera-

velmente.

Na referência [13], Taleb, Akbaba e Abdullah, em 1994, utilizam o método de

agregação de motores recorrendo ao teorema de Thévenin juntamente com algumas

características transitórias dos motores de indução para calcular os parâmetros da

máquina equivalente. A resposta dinâmica da máquina resultante difere da soma das

máquinas individuais. Para um grupo de motores de indução diversificado, é necessário

o mínimo de duas máquinas agregadas separadas para representar o desempenho

dinâmico do grupo de máquinas. Para este fim, um índice de classificação para

agrupamento de máquinas foi sugerido. O procedimento começa com a utilização do

modelo dinâmico de 3ª ordem para identificar os parâmetros do motor equivalente. Em

uma análise dos parâmetros dos motores de indução, foi identificado que dois

parâmetros têm um importante papel na determinação da classe do motor, e estes são a

constante de inércia e a resistência do rotor. A combinação destes dois parâmetros irá

gerar um índice de agrupamento para os motores de acordo com a sua classe. O artigo

sugere a análise dos autovalores dos motores como alternativa para determinar o

agrupamento dos mesmos. Os casos estudados pelo artigo demonstram que para uma

ampla diversidade de grupos de motores de indução, o grupo pode ser dividido em

unidades sub-equivalentes. A categorização do grupo é baseada na ordem do índice

criado no artigo. O fator de agrupamento é dependente dos parâmetros dos motores.

Simulações não-lineares e análise de autovalores comparam favoravelmente os

resultados do modelo proposto com o resultado da análise dinâmica considerando o

modelo exato dos motores.

11

Franklin e Morelato [14], em 1994 focalizam o problema de agregação de um

grupo de motores de indução em um único modelo de motor, fazendo com que esta

agregação seja computacionalmente viável para grandes sistemas elétricos. Um novo

método de agregação é proposto baseado nos modelos usuais de motores de indução.

Considerando que o método não utiliza simplificações drásticas, que realiza o manejo

apropriado da carga mecânica do motor e que aplica um tratamento adequado à

constante de inércia equivalente, resulta um modelo que apresenta boa precisão nos seus

resultados. O método de agregação utilizado neste artigo é baseado na teoria do regime

permanente para os modelos de motores de indução. O desempenho em condições

transitórias é representado pelo comportamento do motor durante a sua partida na

tensão nominal. A técnica utilizada para construir o modelo agregado de motores de

indução tomou como premissa a determinação dos seguintes atributos do motor

agregado: Potência elétrica, parâmetros elétricos do circuito equivalente,

escorregamento inicial, características do escorregamento da potência x carga e a

constante de inércia total. Neste artigo é utilizado um modelo para motor de indução de

5ª ordem. O conceito básico utilizado para equivalência dos motores, denominado

invariância de potência, é que a potência ativa absorvida pelos motores individualmente

seja igual à potência ativa absorvida pelo modelo agregado. O mesmo conceito foi

aplicado para a potência reativa. Uma impedância fictícia foi utilizada para representar a

impedância dos estatores dos motores em paralelo com as demais impedâncias

(magnetização e rotor). Técnicas para determinar o escorregamento, a carga mecânica e

a constante de inércia do modelo agregado para motor de indução também foram

apresentadas neste artigo. Mesmo que a técnica de análise tenha sido estabelecida a

partir da utilização da teoria do comportamento estático dos motores, o método de

agregação proposto no artigo apresentou resultados bastante precisos na reprodução do

comportamento dinâmico dos motores originais. A precisão dos resultados apresentados

no artigo pode ser justificada pelos seguintes fatores: o cálculo exato das impedâncias

dos circuitos equivalentes, manejo adequado da carga através do escorregamento dos

motores individuais e a computação precisa da constante de inércia do modelo

agregado.

O método para a determinação dos parâmetros do motor agregado proposto na

referência [15] consiste no paralelismo das impedâncias dos motores individualmente

utilizando como base o fato do escorregamento ser aproximadamente zero para o caso

12

em que os motores operam sem carga e o escorregamento ser unitário no momento da

partida ou durante o teste de rotor bloqueado. A partir destas duas condições são

gerados os novos parâmetros das impedâncias do motor agregado. Para a constante de

inércia do modelo agregado, o artigo utiliza o mesmo método dos artigos [7] e [8].

O modelo utilizado na referência [16] é o mesmo utilizado em [15], porém neste

artigo o modelo agregado é utilizado unicamente na previsão da corrente de partida do

grupo de motores de indução. Desta forma, a metodologia relativa à determinação da

inércia equivalente não pode ser testada em simulações definidas para um período de

0,3 s. Foram realizadas simulações com a ajuda da ferramenta computacional MATLAB

/ SIMULINK.

Suwanwej e Kunakor [17], em 2004, utilizam as mesmas equações para agrega-

ção de motores de indução utilizados nas referências [15] e [16]. Porém, neste caso, o

modelo desenvolvido é agora aplicado no cálculo da contribuição da corrente de curto-

circuito do grupo de motores de indução para diferentes tipos de faltas. As análises e

simulações foram desenvolvidas no software PSCAD/EMTDC. Nos artigos mencio-

nados anteriormente, os modelos de agregação foram aplicados nos estudos de desem-

penho dinâmico de um sistema de potência, em particular em cálculos referentes à

estabilidade transitória. O artigo em questão trata da importância da contribuição do

grupo agregado em caso de faltas do tipo curto-circuito nos estudos dinâmicos em

sistemas de potência, considerando que a contribuição da corrente do grupo de motores

de indução pode resultar em mudança sensível do nível da falta e, possivelmente,

influenciar na especificação dos disjuntores do sistema de proteção. Este artigo apre-

senta simulações para vários tipos de faltas: falta trifásica, falta fase-terra, falta fase-fase

e falta fase-fase-terra.

Louie [18], em 2005, mantém os mesmos conceitos utilizados na referência [15]

para obtenção dos parâmetros do motor agregado. Paralelismo das impedâncias levando

em consideração os pontos de operação sem carga (escorregamento aproximadamente

zero) e rotor bloqueado (escorregamento unitário).

Pedra, Sainz e Córcoles [19], em 2008, defendem que o modelo de gaiola sim-

ples não é a escolha certa para representar motores de indução de gaiola de esquilo nos

estudos dinâmicos. Sendo assim, o artigo sugere que o modelo agregado de um grupo

de motores de indução deve ser baseado no modelo de gaiola dupla. Todos os artigos

13

anteriores tratando da agregação de grupos de motores de indução utilizam o modelo de

gaiola simples. Este trabalho demonstra que o modelo de gaiola simples do motor de

indução do tipo gaiola de esquilo não representa adequadamente o comportamento do

motor desde a condição de partida até a plena carga e apresenta resposta com erro

elevado. O artigo ainda informa que o modelo de gaiola simples pode ser usado apenas

para motor de indução do tipo rotor bobinado. O erro no conjugado de partida devido ao

uso do modelo de gaiola simples aumenta à medida que a potência do motor também

aumenta. De acordo com os resultados dos modelos agregados dos motores de indução

para dupla gaiola, ficou claro que o comportamento dos motores sob diferentes valores

de velocidade não pode ser simulado utilizando o modelo agregado. O modelo de dupla

gaiola deve ser utilizado para obter modelos de agregação realísticos porque o modelo

de gaiola simples apresenta muitos erros. O erro máximo é produzido quando o grupo

de motores agregados possui motores com potência muito diferentes.

Louie [20], em 2006, defende que é muito mais simples representar os motores

de indução em sistemas de potência baseado em suas especificações do que nos

parâmetros dos seus circuitos. O artigo apresenta uma metodologia para agregação de

motores de indução em diferentes barras de um sistema de potência com base em suas

especificações. Os parâmetros dos motores de indução podem ser derivados dos seus

dados de projeto, porém, a maioria dos usuários não tem acesso a estes dados. A

especificação padrão dos motores fornecidos pelos fabricantes está normalmente

disponível. Como esta especificação reflete bem o comportamento dos motores, os

efeitos dos motores individuais no modelo agregado serão determinados a partir destes

dados. No método proposto pelo artigo para a agregação de motores, é assumido que o

número de pólos do motor agregado será igual ao número de pólos do maior motor do

grupo a ser agregado. Para este modelo, o efeito das impedâncias da rede é incluído

explicitamente, já que os motores a serem agregados estão conectados em diferentes

barras do sistema. Com isso, a tensão terminal dos motores é diferente dos valores

nominais de placa devido às quedas de tensão ocasionadas pelas impedâncias da rede.

Antes de agregar os motores, os parâmetros dos mesmos têm que ser modificados de

acordo com a nova tensão terminal dos motores. O método matemático de agregação

das equações dos circuitos equivalentes dos motores segue a mesma linha dos artigos

[15], [16] e [17]. Como os motores de indução que possuem momento de inércia

elevado podem dominar sobre os efeitos causados pelos motores de pequeno e médio

14

porte, o autor sugere que os motores maiores sejam modelados separadamente.

Agregando os motores de potência similares, as representações ficam mais próximas do

caso original. Para os casos onde os motores são de potências muito diferentes, o

agrupamento destes em diferentes grupos baseado em seus tamanhos e a representação

destes grupos através de diferentes equivalentes resultará em melhor representação do

grupo de motores.

Seguindo o mesmo direcionamento da referência [19], Louie, Marti e Dommel

[21], em 2007, apresentam um método de agregação de motores de indução com rotor

de dupla gaiola conectados a uma mesma barra, baseados nos seus circuitos equiva-

lentes para estudos de sistemas de potência. O método utilizado neste artigo para o

modelo do motor agregado é o mesmo utilizado no artigo [15] deste histórico, a dife-

rença estando na consideração de motores de indução de dupla gaiola ao invés de gaiola

simples.

A referência [22] analisa o efeito de modelagem e agregação de cargas estáticas

e tipo motor de indução sobre o desempenho dinâmico dos sistemas de potência, a partir

da definição de um único motor agregado equivalente, como visto da barra de fronteira.

É realizada a comparação do desempenho do sistema para três casos: modelo detalhado

do sistema de potência original, modelo reduzido com as cargas dinâmicas agregadas e

modelo reduzido com a carga convenientemente representada através do modelo de

impedância constante. Resultados das simulações são apresentados para demonstrar a

superioridade da representação das cargas dinâmicas agregadas para os estudos de

pequenas e grandes perturbações. Os resultados incluem a resposta do sistema a

mudanças súbitas de carga, faltas trifásicas e análise de autovalores. A componente

estática representando a agregação das cargas estáticas distribuídas é composta através

da transferência destas cargas para a barra de fronteira do sistema conservando o

módulo da tensão e o valor da potência aparente nas barras dos motores. A componente

dinâmica que representa a agregação das cargas dos motores de indução distribuídos

pelo sistema é obtida incorporando os parâmetros do alimentador no circuito do estator

dos motores correspondentes. Os modelos não-lineares do sistema de potência são

necessários para simular a resposta do sistema devido a grandes perturbações. Modelos

linearizados são convenientes para os casos de estudos dinâmicos associados a pequenas

perturbações. As equações dos motores de indução seguem o modelo das equações de

Park. Assim como em [13], os autovalores da resposta linearizada são calculados para

15

comprovar que a agregação das cargas dinâmicas reduz a ordem do sistema.

O método utilizado por Karakas, Li e Adhiraki [23], em 2009, segue a mesma

linha apresentada em [15]. A inovação apresentada pelo artigo é a realização das

simulações dos modelos desenvolvidos através do software MATLAB, utilizando a

ferramenta SIMULINK.

O método proposto por Hongbin, Qiyu e Xiaohua [24], em 2010, para a

agregação de motores de indução é baseado no modelo matemático de 3ª ordem de

motor de indução. O artigo apresenta motores de indução ligados a diferentes barras,

com tensões distintas, em uma rede de distribuição. O modelo utilizado segue a mesma

filosofia do artigo [15]. A diferença está na comparação dos resultados. O artigo

compara os resultados da agregação com base na identificação do sistema externo. É

feita uma comparação, para o caso de falta trifásica, do comportamento do sistema de

alimentação da rede quando os motores são representados individualmente e para o caso

em que os motores são representados através de um motor agregado.

1.3- Objetivo

O objetivo deste trabalho é apresentar uma nova técnica a ser aplicada à

agregação de motores de indução e que se apóia também na análise modal, como na

referência [25]. O trabalho apresenta e discute o método utilizado para a agregação dos

motores de indução e apresenta resultados de simulação para comprovação da

consistência do método. O conceito de área externa do sistema elétrico de potência ou

industrial é utilizado na definição da área a ser equivalentada.

Com o objetivo de dar suporte ao trabalho desenvolvido, um sistema industrial

alimentado com tensão de 69kV e com derivações através de transformadores de

potência nas tensões de 13,8kV, 4,16kV e 480V foi utilizado como referência. Este

sistema é composto por cinqüenta e quatro motores de indução trifásicos do tipo gaiola

de esquilo. Para suporte às simulações, foi utilizado o software MATLAB.

No presente trabalho, a técnica de agregação de motores utiliza a análise modal

para realizar a redução do sistema externo original que passa a ser composto unicamente

por motores equivalentes. Neste caso, a análise dinâmica do sistema ocorre para

comparação do desempenho de dois sistemas, o primeiro composto por todos os

16

motores de indução originais e o segundo contendo os motores agregados na

representação da área externa. Finalmente, é realizada a comparação do comportamento

dinâmico da área analisada em ambos os sistemas, quando submetido à falta, visando

comprovar a eficiência do método proposto.

O desempenho do modelo é analisado levando em consideração diferentes

configurações de carga do sistema, tais como cargas do tipo impedância constante,

equivalentes de ordem reduzida com o modelo de terceira ordem e até mesmo para uma

condição de instabilidade do sistema.

1.4- Resumo

Para apresentação do conteúdo citado anteriormente, a dissertação de mestrado

foi organizada de modo a considerar as seguintes etapas:

O capítulo 1 apresenta um breve descritivo sobre as características da agregação

de motores de indução trifásicos, mostra como a pesquisa foi direcionada ao longo dos

anos e indica as melhorias obtidas à medida que os recursos computacionais foram

desenvolvidos. São analisados artigos selecionados nos temas diretamente ligados ao

escopo da dissertação.

No capítulo 2 é apresentada a teoria geral da análise modal, bem como o

desenvolvimento de equações matemáticas contendo autovalores e autovetores,

permitindo assim a linearização das variáveis.

O capítulo 3 dedica-se à modelagem dos motores de indução trifásicos, aplica-

ção de conceitos para a escolha da ordem dos modelos de motores e também abrange a

modelagem da rede através da matriz de admitâncias.

No capítulo 4 é realizado o processo de agregação dos motores através das

teorias apresentadas nos capítulos anteriores. É demonstrado o processo de redução de

ordem a partir do método de participação dos modos de oscilação do sistema na

resposta do sistema externo, como vista da barra de fronteira.

No capítulo 5 são apresentados os casos de simulações implementados e a

análise dos resultados obtidos.

O capítulo 6 apresenta as conclusões finais e enumera sugestões de assuntos para

suporte a trabalhos de pesquisa futuros.

17

CAPÍTULO 2

2 ANÁLISE MODAL

2.1- Conceitos Gerais

A análise modal fornece um conjunto importante de informações dinâmicas de

sistemas elétricos, informações tais que são difíceis de serem obtidas por meio de

métodos convencionais como a simulação no tempo e a resposta em freqüência. Estas

informações compreendem os modos de oscilação natural, identificação dos

equipamentos que mais participam destes modos, sensibilidades destes modos em

relação a variações de parâmetros do sistema, etc. Estas informações dinâmicas podem

ser efetivamente utilizadas para analisar os transitórios eletromagnéticos e eletro-

mecânicos que se apresentam em um sistema dinâmico.

Devido à natureza matemática da análise modal e as dificuldades de

implementá-la através de sistemas computacionais, houve no passado uma certa

dificuldade em sua aplicação para a análise de transitórios do sistema. Porém devido à

ocorrência de oscilações pobremente amortecidas ou mesmos instáveis em diversos

sistemas físicos de muito interesse e com o desenvolvimento de diversos programas

computacionais, hoje a análise modal vem sendo utilizada de maneira complementar

para a análise de transitórios.

2.2- Modos de Oscilação Eletromecânicos

Um sistema de potência pode apresentar diversos tipos de oscilações

eletromecânicas [26], [27]. Dentre elas podem-se listar os modos de oscilação

característicos da dinâmica dos sistemas de potência:

- Modo local ou modo máquina-sistema: Este modo de oscilação está

associado às oscilações de uma determinada unidade ou usina geradora em relação ao

resto do sistema.

18

- Modo intermáquinas ou intraplanta: Este modo de oscilação está

associado às oscilações entre as unidades de uma mesma usina.

- Modo multimáquinas ou interplantas: Este modo está associado às

oscilações entre usinas eletricamente próximas.

- Modo interárea: Este modo está associado às oscilações de várias usinas

geradoras de uma mesma área elétrica com relação a outras usinas localizadas em outras

áreas do sistema. Este modo de oscilação ocorre em maiores amplitudes quando existem

dois ou mais grupos de máquinas fortemente acopladas e estes grupos são interligados

por elos de transmissão fracos de corrente alternada.

2.3- Equações de Estado

De uma maneira geral, um sistema é modelado por equações de estado da

seguinte forma:

)()()()(

tBUtAXtXdt

tdX+== & (2.1)

)()()( tDUtCXtY += (2.2)

onde

→)(tX Vetor de variáveis de estado

→A Matriz de estados

→B Matriz de coeficientes para as variáveis de entrada

→C Matriz de coeficientes para as variáveis de saída

→D Matriz dos termos diretos

→)(tU Vetor de variáveis de entrada do sistema

→)(tY Vetor de variáveis de saída do sistema

Para um vetor de variáveis de entrada do sistema 0)( =tU , (2.1) reduz-se a:

19

)()(

tAXdt

tdX= (2.3)

Para o caso particular do sistema ser de primeira ordem, tem-se:

)()(

taxdt

tdx= (2.4)

Cuja solução é:

atketx =)( (2.5)

Derivando (2.5) em relação ao tempo e substituindo em (2.4), obtém-se:

atakedt

tdx=

)( (2.6)

Comprovando desta maneira a solução dada em (2.5).

Generalizando a equação (2.5) para uma solução parcial de um sistema de ordem

n , tem-se:

tii

ietx λΓ=)( (2.7)

Onde

Γ

Γ

Γ

Γ

=Γ

n

i

M

M

2

1

(2.8)

Esta solução é valida se e somente se (2.3) é satisfeita, ou seja, derivando (2.7)

em relação ao tempo e substituindo em (2.3), obtém-se:

∴Γ=Γ ti

tii

ii eAe λλλ

20

iiiA Γ=Γ λ (2.9),

onde iλ e iΓ são denominados autovalor e autovetor à direita de A ,

respectivamente.

Reescrevendo (2.9), obtém-se:

0)( =Γ− ii IA λ (2.10),

onde:

→I Matriz identidade de ordem n .

Para uma solução não trivial )0( ≠Γi do sistema dado em (2.10), tem-se:

0det =−⋅ AIλ (2.11)

A equação (2.11) é chamada de equação característica do sistema.

Então para um sistema de ordem n a solução total do sistema é dada pela

combinação linear das soluções parciais, ou seja:

∑ ∑= =

Γ==n

i

n

i

tiii

iektxtX1 1

)()( λ (2.12),

onde

→ik i-ésima constante.

Conforme demonstrado a seguir, a equação de definição dos autovalores também

pode ser obtida a partir de uma função de transferência.

Aplicando a transformada de Laplace em (2.1), obtém-se:

∴+=− )()()0()( sBUsAXXssX

∴+=− )0()()()( XsBUsXAsI

[ ])0()(()()( 1 XsUBAsIsX +−= − (2.13)

21

Aplicando a transformada de Laplace em (2.2), obtém-se:

)()()( sDUsCXsY += (2.14)

Substituindo-se (2.13) em (2.14), obtém-se:

[ ] )()0()()()( 1 sDUXsBUAsICsY ++−= − (2.15)

Considerando condições iniciais nulas, obtém-se a função de transferência:

[ ]∴

+−==

−

)(

)()(

)(

)()(

1

sU

sUDBAsIC

sU

sYsG

DBAsICsG +−= −1)()( (2.16)

A equação (2.16) pode ser escrita como:

[ ]DB

AI

AsIadjCsG

t

+−⋅

−=

λdet

)()( (2.17)

A partir de (2.17) observa-se que os pólos da função de transferência )(sG são

obtidos quando 0det =−⋅ AIλ . A solução deste determinante fornece os autovalores

do sistema.

2.4- Equações Dinâmicas

Segundo [27], se for admitido que os autovalores (raízes características) de A

são distintos e denotados por nii ,,2,1, K=λ , então existe uma matriz não singular de

ordem n que transforma A em uma matriz diagonalΛ , tal que:

22

=Γ⋅⋅Γ=Λ −

n

i

A

λ

λ

λλ

LL

MOMMMM

LL

MMMOMM

LL

LL

000

000

000

000

2

1

1 (2.18)

A matriz Γ é formada pelos autovetores de A , também chamados de

autovetores à direita, isto é, se iΓ é o autovetor associado com o autovalor iλ , então,

tem-se para ni ,,2,1 L= :

[ ]Tni ΓΓΓΓ=Γ LL21 (2.19)

Uma vez que estes autovetores são independentes, 1−Γ existe.

O autovetor do autovalor iλ é o vetor coluna iΓ (dimensão 1nx ) que satisfaz a

equação matricial:

0)( =Γ−⋅ ii AIλ (2.20)

Pode-se mostrar que os autovalores ou valores característicos da matriz A são as

raízes da equação característica e calculada por:

0det =−⋅ AIλ (2.21)

Os autovalores podem ser reais ou complexos. Se a matriz A é real, como

ocorre em sistemas de potência, os autovalores complexos ocorrem em pares

conjugados. Quando os autovalores são complexos, tanto o autovetor à direita quanto o

autovetor à esquerda serão complexos.

Multiplicando a equação (2.3) por 1−Γ tem-se:

)()( 111 tXAtX ⋅Γ⋅Γ⋅⋅Γ=⋅Γ −−− & (2.22)

23

Com base na equação (2.22), uma vez determinada a matriz Γ dos autovetores,

pode-se considerar uma transformação de variáveis, definida pela equação:

)()(ˆ 1 tXtX ⋅Γ= − (2.23)

Sendo )(ˆ tX um novo vetor de estado relacionado ao vetor de estado original

pela matriz 1−Γ .

A equação (2.22) pode ser escrita como:

)(ˆ)(ˆ tXtX ⋅Λ=& (2.24)

Esta equação é às vezes referida como equação dinâmica na forma canônica,

normalizada ou desacoplada. Nota-se que a taxa de variação de cada nova variável de

estado não é mais uma combinação linear de todas as variáveis de estado, conforme

anteriormente ocorria quando se usava a equação (2.3), o que tornava difícil identificar

os parâmetros que mais influenciavam o comportamento dinâmico do sistema. Agora, a

taxa de variação de cada nova variável de estado é somente afetada pela própria variável

de estado.

Aplicando-se a transformada de Laplace a equação (2.24) tem-se:

)0(ˆ)()(ˆ 1 XsIsX ⋅Λ−= − (2.25)

onde:

−

−

−

−

=Λ− −

n

i

s

s

s

s

sI

λ

λ

λ

λ

1000

01

00

001

0

0001

)(2

1

1

LL

MOMMMM

MM

MMMOMM

LL

LL

(2.26)

24

2.5- Equivalência das Equações Dinâmicas

Seja um sistema representado pelas equações (2.1) e (2.2). Substituindo a

equação (2.23) nestas equações:

)()(ˆ)(ˆ tUBtXAtX ⋅+⋅Γ⋅=⋅Γ & (2.27)

)()(ˆ)( tUDtXCtY ⋅+⋅Γ⋅= (2.28)

E finalmente:

)(ˆ)(ˆ)(ˆ tUBtXtX ⋅+⋅Λ=& (2.29)

)()(ˆˆ)( tUDtXCtY ⋅+⋅= (2.30)

As equações dinâmicas apresentadas acima representadas pelas matrizes

CeBA, e CeB ˆˆ,Λ , são equivalentes se Γ for uma matriz de autovetores não singular

que permita as seguintes igualdades [26]:

Γ⋅⋅Γ=Λ − A1 (2.31)

BB ⋅Γ= −1ˆ (2.32)

CC ⋅Γ=ˆ (2.33)

Neste caso a matriz Γ é chamada de transformação de similaridade.

2.6- Resíduo da Função de Transferência

De acordo com a teoria da equivalência das equações dinâmicas, a função de

transferência obtida através da equação (2.16), para um sistema invariável no tempo,

poderá ser representada da seguinte maneira:

DBsICsG +Λ−= − ˆ)(ˆ)( 1 (2.34)

25

Ou ainda por:

∑ ∑= = −

⋅=

−=

n

i

n

i i

ii

i

i

s

cb

s

RsG

1 1

ˆˆ)(

λλ (2.35)

Onde iR é a matriz de resíduos de elementos complexos associada ao

autovalor iλ . O resíduo é a medida da sensibilidade do autovalor iλ a uma

realimentação adicionada à função de malha aberta entre )()( sYesU .

2.7- Participação dos Modos de Oscilação

2.7.1- Critério da Observabilidade

Cada autovalor do sistema corresponde a um modo de oscilação. Desta forma, é

possível medir a participação de cada modo de oscilação nas variáveis de saída e que,

para um determinado sistema, podem ser a potência ativa e reativa de um motor. O

conceito de observabilidade está associado a esta análise, que indica o quão observável

é cada modo de oscilação em determinada variável de interesse [26].

Índices de observabilidade podem ser obtidos a partir da matriz C , chamada de

vetor de observabilidade de modo, onde cada elemento ic é o fator de observabilidade

de modo. Cada elemento da matriz C é um número complexo, o qual pode ser

representado por um vetor a partir do módulo e ângulo, os quais podem ser

normalizados para fornecer o mode-shape (visualização da amplitude e fase de um

determinado modo de oscilação) de uma determinada variável de saída associada a um

autovalor específico [26].

2.7.2- Critério da Controlabilidade

Um sistema é controlável quando é possível encontrar um vetor de controle

26

)(tU que, em um tempo específico finito ft , transferirá o sistema de um estado inicial

0X para um estado final fX .

A controlabilidade de um sistema pode ser determinada a partir da matriz B ,

apresentada na equação (2.29), chamada de vetor de controlabilidade de modo, onde

cada elemento ib é chamado de fator de controlabilidade de modo.

Um sistema é completamente controlável quando a matriz B não possui linhas

zeradas. As variáveis de estado correspondentes às linhas zeradas são não controláveis,

ou seja, não é possível influenciá-las através de variáveis de controle.

Os índices de controlabilidade e observabilidade podem ser utilizados para a

determinação dos parâmetros dos sistemas que deverão ser manipulados ou

incrementados com o objetivo de se obter os resultados desejados para a resposta do

sistema [26].

2.8- Solução das Equações de Estado

A partir da equação (2.7), temos:

tii

ietx λΓ=)(ˆ (2.36)

Conclui-se que a resposta modal para cada componente do vetor )(ˆ txi é

independente das outras componentes modais e sua taxa de decaimento com o tempo é

dada pelo autovalor iλ [26]. Outra conclusão importante é que, para que o sistema seja

estável, todos os autovalores devem ser reais negativos ou complexos com parte real

negativa [28].

No caso específico de autovalor complexo, existem na verdade dois autovalores

complexos conjugados como seguem:

iii jw+=αλ e iii jw−=+ αλ 1 (2.37)

O par de pólos complexos conjugados é denominado modo natural de oscilação

27

do sistema. Portanto, para cada par de autovalores complexos conjugados, se iα for

negativo, o sistema terá uma resposta de característica estável. Caso iα seja positivo o

sistema terá um modo oscilatório com amplitude crescente, obtendo assim uma resposta

instável [28].

A parte real dos autovalores iα corresponde ao amortecimento das oscilações e a

parte imaginária iw fornece a freqüência da oscilação.

π2i

i

wf = (2.38)

28

CAPÍTULO 3

3 MODELAGEM DE MOTORES DE INDUÇÃO

3.1- Introdução

Nas simulações de sistemas elétricos de grande porte para estudos de análise

transitória, a representação das cargas assume uma importância considerável. É sabido

que a grande maioria destas cargas é composta por motores de indução, e sendo assim, é

importante incluir suas características de carga com um bom nível de precisão. Muitos

modelos para representação dos transitórios dos motores de indução podem ser

encontrados na literatura. No passado os modelos amplamente utilizados eram do tipo

regime permanente, representando estas cargas através do modelo de impedância

constante, corrente constante, cargas de potência constante, ou até mesmo a combinação

destes modelos. Com o progresso na representação dos motores de indução em estudos

dinâmicos, ficou evidenciado que estes modelos utilizados no passado não devem ser

utilizados nas análises transitórias atuais quando maior precisão for exigida.

Este capítulo descreve os modelos utilizados para representar os motores de

indução no estudo realizado no presente trabalho de pesquisa.

3.2- Ordens do Modelo

O progresso referido acima na representação dos motores de indução aumentou

sobremaneira a quantidade de detalhes que devem ser incluídos no modelo de cada

motor. Como o número de cargas composta por motores de indução em um sistema

elétrico é elevado, torna-se difícil representar todas as máquinas em detalhe para os

sistemas de motores de indução interconectados. Então, representações simplificadas

que prevêem com precisão condizente o comportamento eletromecânico dos motores de

indução são requeridas.

O conjunto de equações que representam as características eletromecânicas dos

29

motores de indução do tipo gaiola de esquilo para a análise dinâmica do mesmo é

dividido da seguinte maneira: duas equações representam o comportamento do motor

com relação ao efeito no rotor, duas equações representam o comportamento do motor

com relação ao efeito no estator e uma equação representa o efeito mecânico do motor

relacionado à velocidade do mesmo. Com isto podemos afirmar que o motor de indução

do tipo gaiola de esquilo pode ser representado dinamicamente através de cinco

equações não-lineares, sendo este modelo chamado de modelo de quinta ordem para

representação de um motor de indução.

O número de equações para a representação do modelo do motor de indução

permanece o mesmo, tanto para o método direto quanto para o método das equações de

Park. Para o método direto, a representação dos parâmetros do rotor e do estator é feita

referenciada aos eixos real e imaginário vinculados ao estator, enquanto que, para a

representação através das equações de Park, são utilizados os eixos direto e de

quadratura girantes na velocidade síncrona.

Na modelagem dos motores de indução, as correntes dos enrolamentos, tensões

ou enlaces de fluxo podem ser escolhidas como sendo as variáveis de estado do modelo.

Neste trabalho foram utilizadas as equações das tensões para a representação dinâmica

dos motores de indução e o deslizamento para a representação do comportamento

mecânico dos mesmos. O conjunto destas equações não-lineares representa seu

comportamento eletromecânico.

3.3- Reduções de Ordem

Krause e Murdoch em [29] desenvolveram um modelo de ordem reduzida que

desconsidera os efeitos transitórios do estator, preservando ainda as características

eletromecânicas e as características de amortecimento das oscilações dos motores de

indução com um alto grau de precisão. Isto equivale a ignorar a componente cc das

correntes do estator causada por variações repentinas na magnitude da tensão no estator.

A componente cc das correntes do estator resulta no decaimento das oscilações do fluxo

de potência ativa e reativa, e do conjugado desenvolvido no período transitório.

Levando-se em consideração que a constante de tempo dos transitórios no estator é

relativamente maior do que seu período de oscilação, esta componente tem um

significado aproximadamente nulo no fluxo de potência e no conjugado do modelo de

30

ordem completa do motor de indução. Conseqüentemente, o modelo de ordem reduzida

que resulta da desconsideração dos transitórios no estator, e assim causa a ausência da

componente cc para as oscilações de alta freqüência do fluxo de potência e do torque,

pode ser um indicador preciso do fluxo de potência e velocidade média da máquina.

3.4- Representação dos Motores de Indução

O modelo mais utilizado para a representação do motor de indução em estudos

dinâmicos é o modelo de terceira ordem. Este modelo considera em sua representação a

variável de estado mecânica do motor, podendo ser, neste caso, sua velocidade angular

w ou seu deslizamento s . Esta variável de estado representa o comportamento

mecânico do motor. O comportamento elétrico do motor é representado através das

variáveis de estado elétricas correspondentes ao comportamento das variações contínuas

da tensão produzida pelo enlace de fluxo próprio do enrolamento do rotor. Estas são

representadas pela tensão ´RE e pelo seu ângulo de fase δ .

Para o modelo de terceira ordem, o circuito simplificado convencionalmente

utilizado para representar o motor de indução está ilustrado na figura 3.1.

Figura 3.1 – Circuito elétrico de um motor de indução de terceira ordem

onde:

→TV Tensão terminal

→θ Ângulo de fase da tensão terminal

31

→I Corrente do estator

→Sr Resistência do enrolamento de fase do estator

→Sx Reatância de dispersão do enrolamento de fase do estator

→mx Reatância de magnetização do enrolamento do estator

→'1Rx Reatância de dispersão do enrolamento do rotor referida ao estator

→'1Rr Resistência de enrolamento do rotor referida ao estator

→s Deslizamento

As equações são formuladas em termos dos eixos cartesianos (DQ), tendo como

referências o ângulo de uma determinada tensão da rede e a velocidade síncrona sw .

Utilizando sw com referência, as equações da tensão terminal do enrolamento de

estator, com grandezas expressas em por unidade, desprezados os transitórios de estator

e incluídos os transitórios de fluxo concatenado no rotor ψ , são dadas por:

QSDSSDS irv ψ−= (3.1)

DSQSSQS irv ψ+= (3.2)

IrVjiirjvvj STQSDSSQSDSDSQS −=+−+=+− )(ψψ (3.3)

As equações das derivadas de fluxo próprio dos enrolamentos de rotor no

referencial DQ do estator na representação cartesiana são:

'''QRDRR jEEE += (3.4)

onde:

''0

''''''0 )(/).(// QRSQSSDRSDR ETXXXXEXdtdET ωωψ −+−−−= (3.5)

''0

''''''0 )(/).(// DRSDSSQRSQR ETXXXXEXdtdET ωωψ −−−+−= (3.6)

32

Então somando as expressões acima, para IjXEIrV RST'' +=− :

∴−−−+−= ''0

''''''0 /)).((// RSSTSRSR ETjsXIrVXXXEXdtdET ω

∴−+−+−= ''0

''''''''0 /)).((// RSRSRSR ETjsXIjXEXXXEXdtdET ω

∴−−+−= ''0

''''0 ).(/ RSSRR ETjsIXXjEdtdET ω

∴−−+−= ''''0

''0 )()(/ RSRSR EIXXjsETjdtdET ω

IXXjETjsdtdET SRSR )()1(/ '''0

''0 −++−= ω (3.7)

Sendo a equação da corrente de estator dada por:

=+−= )/()( '' jXrEVI SRT ∴+−− )/())((2'2'' XrjXrEV SSRT

))(( ''' jBGEVI RT −−= (3.8),

onde:

→'RE Tensão proporcional ao enlace de fluxo do rotor

→⋅= )/( '1

'0 RSR rwXT Constante de tempo do enrolamento do rotor

→+= mRR xxX '1 Reatância própria do enrolamento do rotor referida ao estator

→+= mSS xxX Reatância própria do enrolamento de fase do estator

→+⋅+= )/( '1

'1

'RmRmS xxxxxX Reatância transitória do motor

→+= )/(2'2' XrrG SS Condutância transitória do motor

→+= )/(2'2'' XrXB S Susceptância transitória do motor

→w Velocidade de rotação do rotor

Para efeito de simplificação, serão adotadas as seguintes variáveis:

)/()'(2'2' XrXXXa SS +−= (3.9)

)/()'(2'2 XrrXXb SSS +−= (3.10)

33

22 bac += (3.11)

)'/(atan)/(atan Xrab S==γ (3.12)

Conforme [30], através da decomposição da equação (3.7) e considerando δ∠= ´´RR EE

e θ∠= TT VV como representações fasoriais destas grandezas, obtêm-se as equações das

derivadas da amplitude ´RE e do ângulo de fase δ , conforme representação abaixo:

))(cos()1(/ '''0 γθδ +−++−= TRR cVEadtdET (3.13)

=dtd /δ ))(sin())/(()/( ''0

'0 γθδω +−−+− RTS ETVcTbs (3.14)

A equação que representa o comportamento mecânico do motor é dada por:

)(2

1Em TT

Hdt

ds−= (3.15)

Onde:

Ss ωω /1−=

→−−−−=2'''''' )sin()cos( RTRTRE EGVEBVEGT θδθδ Conjugado Elétrico

→−= nTm skT )1( Conjugado da carga mecânica

As equações (3.13), (3.14) e (3.15) representam o comportamento

eletromecânico do motor de terceira ordem.

Para a representação do motor de indução através do modelo de primeira ordem,

somente é considerado seu comportamento mecânico, sendo esta única variável de

estado representada através da equação (3.15).

3.5- Motores de Indução de Dupla Gaiola

Nos últimos anos houve um crescimento na utilização de motores de indução de

grande porte e, com isto, surgiram os problemas relativos ao aumento considerável da

34

corrente de partida dos motores de indução, tornando isto um obstáculo na utilização

deste tipo de motor de indução. Com o objetivo de limitar a corrente de partida e ainda

assim conseguir manter o conjugado associado elevado, os motores de indução foram

equipados com uma segunda gaiola, chamada de gaiola de partida.

O motor de indução de gaiola simples, quando considerado o efeito transitório

no estator, é representado dinamicamente por cinco equações não-lineares. Já para o

caso do motor de indução do tipo dupla gaiola, sua representação é feita através de sete

equações não-lineares. Isto ocorre porque o efeito transitório do rotor é representado

através de quatro equações não-lineares, duas para cada eixo d ou q, duas para cada

enrolamento de rotor.

Mesmo assim, a representação mais utilizada para este tipo de motor de indução

apresentada na literatura é usualmente definida através de um modelo de quinta ordem,

.A utilização do modelo de quinta ordem a fim de representar os motores de indução de

grande porte ignora a presença da segunda gaiola do motor. Ainda neste contexto, para

os estudos de estabilidade transitória tornou-se usual a utilização de modelo

simplificado deste modelo de quinta ordem, desconsiderando-se os transitórios de

estator.

A gaiola de partida dos motores de indução de dupla gaiola é desenvolvida com

o objetivo de limitar a corrente de partida e proporcionar conjugado de partida elevado.

Este objetivo é atingido fazendo a resistência da gaiola na partida muito maior do que a

resistência de operação ( )12 RR rr >> e também levando em consideração a reatância de

partida menor que a reatância de operação do motor ( )12 RR xx < . A verificação do

comportamento transitório causado pela presença das duas gaiolas pode ser feita através

da comparação das duas constantes de tempos equivalentes dos enrolamentos do rotor,

1

11

R

RR r

lT = e 2

22

R

RR r

lT = . Sendo 12 RR TT << , os transitórios associados à gaiola de

partida são muito mais rápidos do que os produzidos pela gaiola de operação do motor.

A figura 3.2 representa o circuito elétrico do motor de indução de dupla gaiola.

35

Figura 3.2 – Circuito elétrico do motor de indução de quinta ordem

Neste trabalho não foi levado em consideração o efeito da gaiola de partida nos

estudos dinâmicos. Desta forma, os transitórios mais rápidos foram desprezados, geran-

do assim respostas mais “limpas” para as simulações das perturbações ocorridas na área

interna do sistema. Sendo assim, os motores de indução que integram o sistema elétrico

deste trabalho foram representados através do modelo de terceira ordem, independente

do nível de potência quanto do tipo da gaiola.

36

CAPÍTULO 4

4 ESTUDO REALIZADO

4.1- Equivalente Dinâmico Definido Através da Análise Modal

Este trabalho tem como objetivo apresentar um sistema equivalente para

representação dinâmica simplificada de um grupo de motores de indução trifásicos. A

metodologia aplicada na obtenção deste equivalente foi desenvolvida a partir da

necessidade de consistência na reprodução das componentes modais de resposta da área

externa com importância para o desempenho transitório da área interna de um

determinado sistema elétrico. Sendo:

- Área externa - Área do sistema elétrico composta por motores de indução,

para a qual será desenvolvido o equivalente dinâmico agregado.

- Área interna - Área do sistema elétrico que deseja ser analisada do ponto de

vista dinâmico.

- Barra de fronteira - Barra do sistema elétrico que separa a área externa da área

interna.

A figura 4.1 ilustra a representação genérica do sistema contendo a área externa,

para a qual se deseja definir um sistema equivalente agregado, a área interna, cujo

desempenho transitório é para ser avaliado, as barras terminais referentes aos motores

de indução, cujas tensões e potências complexas são consideradas no estudo e a barra de

fronteira, que é considerada a barra de interligação entre a área externa e a área interna

do sistema elétrico referido.

37

Figura 4.1 - Sistema elétrico exemplo

Para a análise e determinação de um conjunto de motores equivalentes de ordem

reduzida, o primeiro procedimento a ser realizado é a construção da matriz de

admitâncias do sistema elétrico completo, composto pelas áreas interna e externa do

sistema. Com apoio desta matriz, o fluxo de potência do sistema é resolvido e são

determinadas as tensões terminais para cada um dos motores do sistema, assim como as

demais grandezas pertinentes ao estudo.

Ainda, a partir dos resultados obtidos da solução do fluxo de potência, são

definidas as amplitudes e fases das tensões internas e terminais dos motores localizados

na área externa do sistema. Também são armazenadas a amplitude e fase da tensão da

barra de fronteira do sistema.

A representação dinâmica equivalente da área externa é obtida a partir da

eliminação dos modos de oscilação que revelarem efeito desprezível sobre a dinâmica

da área interna (além da barra de fronteira). Esta eliminação pode ser realizada com

base na participação relativa de cada um dos modos de oscilação na composição das

variáveis elétricas de saída associadas à barra de fronteira. A eliminação destes estados

resulta na redução da ordem do sistema externo.

38

Além de utilizar o procedimento acima para a eliminação dos modos de

oscilação de menor importância, a metodologia apresentada neste trabalho procura

definir um equivalente composto por elementos com a mesma estrutura física e

matemática apresentada pelos motores originais e mesma resposta dinâmica sob

pequenas variações. Os modelos associados serão, portanto, tratados da mesma forma

que os motores originais pelos programas computacionais de análise transitória

existentes.

4.2- Equações Linearizadas de Desempenho da Área Externa

O desempenho da área externa pode ser analisado em função da variação das

potências ativa e reativa dos motores de indução desta área em suas respectivas barras

terminais. Estas variações de potência podem ser expressa em função das variações das

tensões internas destes motores de indução, das variações dos ângulos de fase destas

tensões e também em função dos deslizamentos de rotor dos motores.

As equações das potências elétricas dos motores de indução da área externa em

suas barras terminais podem ser verificadas abaixo:

Potência complexa:

*..

. IVN T=& = ∴−− *'''...

)])([( jBGEVV RTT

∴+=+−+= jQPjBGEVjBGVVN RTTT )(.)(. ''*'.

''*..

&

)90(90)( 0''02'''2' +−∠−∠+−∠−= δθδθ RTTRTT EVBVBEVGVGN& (4.1)

Potência ativa:

)sin()cos( ''''2' δθδθ −+−−= RTRTT EVBEVGVGP (4.2)

Potência Reativa:

)cos()sin( ''''2' δθδθ −−−−= RTRTT EVBEVGVBQ (4.3)

39

A linearização destas equações é obtida aplicando as derivadas parciais das

potências com relação às tensões e ângulos de fase pertinentes. O processo de lineari-

zação da potência ativa e reativa dos motores em suas respectivas barras terminais pode

ser observado a seguir:

Considerando:

P∆ - Vetor dos desvios de potência ativa dos motores da área externa

Q∆ - Vetor dos desvios de potência reativa dos motores da área externa

RE′∆ - Vetor dos desvios das tensões internas dos motores da área externa

δ∆ - Vetor dos desvios dos ângulos das tensões internas dos motores da área

externa

s∆ - Vetor dos desvios dos deslizamentos dos motores da área externa

∆

∆

′∆

⋅

∂∂

∂∂

′∂∂

∂∂

∂∂

′∂∂

=

∆

∆

s

E

s

QQ

E

Qs

PP

E

P

Q

P R

R

R δ

δ

δ (4.4)

onde:

xxPP ∆∂∂=∆ ∑ .)/( (4.5)

xxQQ ∆∂∂=∆ ∑ .)/( (4.6)

=∂∂ '/ REP '2''' /)()sin()cos( RTTT EVGPVBVG −=−+−− δθδθ (4.7)

)()cos()sin(/ 2'''''TRTRT VBQEVBEVGP −=−−−−=∂∂ δθδθδ (4.8)

0/ =∂∂ sP (4.9)

=∂∂ '/ REQ '2''' /)()cos()sin( RTTT EVBQVBVG −=−−−− δθδθ (4.10)

)()sin()cos(/ 2'''''TRTRT VGPEVBEVGQ −−=−−−+=∂∂ δθδθδ (4.11)

0/ =∂∂ sQ (4.12)

40

A partir da linearização das equações que definem o comportamento

eletromecânico do motor de indução, apresentas no capítulo 3, obtém-se:

TRR VcEa

dt

EdT ∆+−+∆+−=

∆))(cos(.)1( '

''

0 αθδ

θαθδδαθδ ∆+−+∆+−− ))((sin))(sin( TT cVVc (4.13)

δαθδαθδωδ

∆+−−∆+−−∆−=∆

))(cos())/(())(sin())/(( ''0

''0 RTTRS ETcVVETcs

dt

d

'2''0

''0 ))(sin())/(())(cos())/(( RRRT EETcETcV ∆+−+∆+−+ αθδθαθδ (4.14)

)2/()( HTTdt

sdEM ∆−∆=

∆ (4.15)

onde:

=∆ MT sskTnssnk TM

nT ∆−−=∆− − )]1/()([)1( 010

102 (4.16)

TRRE VEBEGT ∆−−−=∆ ''''' )]sin()cos([ θδθδ ''''' ]2)sin()cos([ RRTT EGEVBVG ∆−−−−+ θδθδ

θθδθδ ∆−+−+ )]cos()sin([ ''''TRTR VEBVEG

δθδθδ ∆−+−− )]cos()sin([ ''''TRTR VEBVEG (4.17)

As expressões gerais para os elementos das matrizes que constituem a resposta

linearizada de um motor de indução em torno de seu ponto de operação podem ser

retiradas das expressões acima. Estas equações podem ser manipuladas para representar,

mais a frente, a linearização das variações das potências ativas e reativas dos motores de

indução em torno do ponto de operação da área externa, considerando apenas as

derivadas parciais de primeira ordem.

As variações das potências ativa e reativa ),( FF QP ∆∆ absorvidas pelo sistema

externo, como vistas da sua barra de fronteira e produzidas por variações na amplitude e

na fase da tensão nesta barra ),( FFV θ∆∆ podem ser expressas em função desta tensão,

em função das variações das tensões terminais e ângulos de fase ),( θ∆∆ TV dos motores

presentes neste sistema e da dinâmica de cada motor representada pelas equações (4.13)

a (4.15). É esta dinâmica que precisa ser determinada para exprimir as variações de

potência ativa e reativa FF QeP ∆∆ em função das variações em FF eV θ∆∆

FF QP ∆∆ , = ),( FF Vf ∆∆θ (4.18)

41

A matriz de admitâncias de barras do sistema externo sendo equivalentado é

fundamental nas relações dinâmicas expressas sumariamente por (4.18). Nesta relação

matricial, se não houve carga motórica ligado à j-ésima barra, está barra poderá ser

eliminada, já que os desvios jP∆ e jQ∆ serão nulos. Se nesta j-ésima barra sem motor

houver carga estática, aí a carga é transformada em impedância constante e integrada à

matriz de admitâncias.

Com base nas expressões apresentadas anteriormente, obtidas através das

equações linearizadas das potências ativa e reativa, e a partir da analogia destas

equações com as equações de estado linearizadas apresentadas no capítulo 2, segue

abaixo:

)()()( tUBtXAtX ⋅+⋅=& (4.19)

)()()( tUDtXCtY ⋅+⋅= (4.20)

A partir das equações de desempenho da área externa podemos definir os vetores

das variáveis de estado, das variáveis de entrada e das variáveis de saída da área externa

composta pelos motores de indução:

∆

∆=

∆

∆=

∆

∆

′∆

=Q

PtY

VtU

s

E

tXT

R

)(;)(;)(θ

δ (4.21)

As matrizes DeCBA ,, definem as equações da área externa para perturbações

aplicadas na barra de fronteira ou na área interna.

A matriz de estados A do sistema externo pode ser definida, para cada motor

nesta área, por:

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A (4.22)

onde:

42

'011 /)1( Taa +−= (4.23)

))(sin()/( '012 γθδ +−−= TcVa T (4.24)

013 =a (4.25)

=21a '2''0 ))(sin())/(( RRT EETVc ∆+−+ γθδ (4.26)

=22a ))(cos())/(( ''0 γθδ +−− RT ETcV (4.27)

=23a Sω− (4.28)

=31a )2/(]2)sin()cos([ '''' HGEVBVG RTT −−−−− θδθδ (4.29)

)2/()]cos()sin([ ''''32 HVEBVEGa TRTR θδθδ −+−+= (4.30)

=33a )2/()]1/([ 00 HsnTm −− (4.31)

A matriz de coeficientes para as variáveis de entrada B é apresentada abaixo:

=

3231

2221

1211

bb

bb

bb

B (4.32)

onde:

=11b'

0/))((sin TcVT γθδ +−+ (4.33)

=12b'

0/))(cos(. Tc γθδ +−+ (4.34)

=21b ))(cos())/(( ''0 γθδ +−+ RT ETcV (4.35)

=22b ))(())/(( ''0 γθδ +−− sinETc R (4.36)

=31b )2/()]cos()sin([ '''' HVEBVEG TRTR θδθδ −+−− (4.37)

=32b )2/()]()cos([ '''' HsinEBEG RR θδθδ −−−− (4.38)

A matriz dos coeficientes para as variáveis de saída C é apresentada abaixo:

=

232221

131211

ccc

cccC (4.39)

onde:

'11 / REPc ∂∂= '2' /)( RT EVGP −= (4.40)

δ∂∂= /12 Pc )( 2'TVBQ −= (4.41)

0/13 =∂∂= sPc (4.42)

'21 / REQc ∂∂= '2' /)( RT EVBQ −= (4.43)

δ∂∂= /22 Qc )( 2'TVGP −−= (4.44)

0/23 =∂∂= sQc (4.45)

43

Para a matriz dos termos diretos D são apresentadas as seguintes equações:

=

2221

1211

dd

ddD (4.46)

onde:

θ∂∂= /11 Pd = )( 2'TVBQ −− (4.47)

TVPd ∂∂= /12 = TT VGVP '/ + (4.48)

θ∂∂= /21 Qd = 2'TVGP − (4.49)

TVQd ∂∂= /22 = TT VBVQ '/ += (4.50)

4.3- Transformação Modal das Equações de Estado

A transformação modal das equações de estado indicadas anteriormente, para

cada um dos modos naturais do sistema global, vista da barra de fronteira, resulta em

equações desacopladas, na forma:

UBXX II ⋅+⋅Λ= ˆˆ& (4.51)

UDXCY JJIJI .ˆ.ˆ += (4.52)

onde:

→Λ I é o i-ésimo autovalor de A ;

→IB é a i-ésima linha da matriz B ;

→JIC é o elemento de ordem (j,i) da matriz C ;

→JD é a j-ésima linha da matriz D .

Nas equações de estado JIY é a resposta associada ao i-ésimo modo contido nas

variações de potência ativa FP∆ e reativa FQ∆ na barra de fronteira produzida por

variações no ângulo de fase Fθ∆ e na amplitude da tensão FV∆ nesta barra.

44

4.4- Rejeição dos Modos Insignificantes para a Representação

Eletromecânica da Área Externa

A rejeição dos modos de oscilação sem maior importância para a representação

eletromecânica da área externa é o procedimento equivalente ao reconhecimento dos

grupos coerentes. Sendo assim, a definição dos modos importantes a serem retidos na

representação equivalente da área externa pode ser realizada pela verificação da

participação relativa de cada modo na matriz de variáveis de saída do sistema Y da área

externa original.

[ ]

∆

∆⋅

+⋅

−

−

−

⋅

=

∆

∆

)(

)(ˆˆ

)(

1000

000

00)(

10

000)(

1

ˆ

ˆ

2221

1211212

1

2

1

sV

s

DD

DDBB

s

s

s

C

C

Q

Pnn

n

n

nθ

λ

λ

λ

O

∆+Λ−+Λ−+

∆+Λ−+Λ−=∆

∆+Λ−+Λ−+

∆+Λ−+Λ−=∆

=

∑∑∑

∑

)(}.)]/(ˆ.ˆ)/(ˆ.ˆ[

)(}.)]/(ˆ.ˆ)/(ˆ.ˆ[

)(}.)]/(ˆ.ˆ)/(ˆ.ˆ[

)(}.)]/(ˆ.ˆ)/(ˆ.ˆ[

222222

211212

122121

111111

sVDsBCsBC

sDsBCsBCQ

sVDsBCsBC

sDsBCsBCP

Y

JJJIII

JJJIII

JJJIII

JJJIII

θ

θ

(4.53)

onde:

conjugadocomplexoParj

j

IIJ

III

−=Λ

+=Λ

ωα

ωα

→+= IIII jIRBC 11ˆ.ˆ Termo associado à IΛ

O termo associado à matriz dos autovalores IΛ da equação acima contém as N

componentes modais de resposta transitória da área externa. Este termo define também

uma parcela da resposta de regime permanente, sendo a outra parcela da resposta de

regime permanente definida por )(sUD ⋅ .

Pode-se observar a resposta da área externa ao vetor [ ]TsVssU )()()( ∆∆= θ ,

quando é aplicada uma variação do tipo degrau no ângulo da tensão na barra de

fronteira s

sI

θθ

∆=∆ )( e também uma variação do tipo degrau na amplitude da tensão

45

na barra de fronteira s

VsVI

∆=∆ )( .

O mesmo deslocamento nos ângulos da barra de fronteira irá implicar em igual

variação, depois de cessado o regime transitório, dos ângulos de tensão dos rotores dos

motores da área externa. Desta forma, serão mantidas, antes e depois de o regime

transitório, as mesmas defasagens entre os ângulos dos rotores nδδδ ,,, 21 K . Assim, a

potência ativa e reativa na barra de fronteira deverá sofrer apenas variações de regime

transitório quando da aplicação do vetor )(sU acima definido. As amplitudes relativas

dos desvios transitórios de potência ativa e reativa nas barras de fronteira definirão

quais os modos que deverão ser retidos e aqueles que podem ser eliminados na

definição do equivalente modal.

Considerando a aplicação da perturbação definida acima nas expressões dos

desvios das potências ativa e reativa, tem-se:

s

VsBCsBC

ssBCsBCP

JJJIII

JJJIIII

∆⋅Λ−+Λ−

∆⋅Λ−+Λ−=∆

)}/(ˆ.ˆ)/(ˆ.ˆ{

)}/(ˆ.ˆ)/(ˆ.ˆ{

2121

1111

θ

(4.54)

s

VsBCsBC

ssBCsBCQ

JJJIII

JJJIIII

∆⋅Λ−+Λ−

∆⋅Λ−+Λ−=∆

)}/(ˆ.ˆ)/(ˆ.ˆ{

)}/(ˆ.ˆ)/(ˆ.ˆ{

2222

1212

θ

(4.55)

Pode-se definir a variação de potência aparente na barra de fronteira por:

2FN∆ = 2

FP∆ + 2FQ∆ (4.56)

A rejeição dos modos sem maior importância para a resposta linearizada da área

externa pode, portanto, ser feita com base na verificação das amplitudes das variações

da potência aparente FN∆ na barra de fronteira.

As expressões da potência aparente revelam o critério a ser usado para a

eliminação dos modos sem maior efeito no desempenho dinâmico da área externa, como

visto da barra de fronteira. Se um determinado modo não é importante, então as

variações de potência aparente associadas a este modo podem ser desprezadas em

46

comparação com os desvios de potência aparente associados à pelo menos um dos

modos que devem ser retidos pelo equivalente dinâmico.

Desta forma, o seguinte procedimento é utilizado para definição dos modos a

serem rejeitados:

Para cada modo I , observar as respostas de:

2FIN∆ = 2

FIP∆ + 2FIQ∆ em Y para variação do tipo degrau Fθ∆ em U

2

FIN∆ = 2FIP∆ + 2

FIQ∆ em Y para variação do tipo degrau FV∆ em U Considerando a resposta ao degrau, pode ser mostrado que: Para a resposta de IP∆ à variação em θ∆ , tem-se:

∑ −∆=∆ )}(({.{)( IIIt

I tsinQetP i γωθ α + }∑ tJJ

JJeB σ (4.57)

E para a resposta de IQ∆ à variação em V∆ , tem-se:

}/)(sin(.{)( ∑+−∆=∆ tJJIII

tI

JJi eBtQeVtQ σα γω (4.58)

onde:

2´

2´

1´

1´ .. IIIIIII BCouBCjIRK =+= (4.59)

IIIII PRN ωα /)2( += 2/)(2 nIIIIII RIP ωαω +−= (4.60)

22III NPQ += (4.61)

)/tan( III NPa=γ (4.62)

JJJJJJJJ BCB σ/ˆˆ1,,1 ⋅= em (4.57) ou JJJJJJJJ BCB σ/ˆˆ

2,,2 ⋅= em (4.58) (4.63)

Devem ser retidos o modo com maior amplitude IQ , JJB e aqueles que

apresentarem um percentual igual ou superior a uma determinada fração do modo com

maior amplitude na resposta a variações em Fθ∆ e FV∆ .

Os modos retidos irão definir o equivalente dinâmico modal de ordem reduzida.

A definição dos níveis de potência ativa e de potência reativa e da amplitude da

inércia a serem atribuídos à representação equivalente associada a um determinado

modo retido na representação equivalente é, até certo ponto, arbitrária. No entanto, no

presente trabalho, adotou-se, sempre que possível, na ausência de problema de

convergência no processo de determinação dos parâmetros do motor equivalente para os

47

modos retidos, os mesmos fatores de participação IQ , JJB indicados acima.

4.5- Definição dos Parâmetros da Representação Modal Equivalente

Para cada modo equivalente, um motor com estrutura similar à dos motores

originais é definida e carregada, em termos de potências ativa e reativa, sempre que

possível, com parcela da potência total verificada na barra de fronteira. Esta parcela é

fixada no procedimento anteriormente descrito de definição dos modos retidos na

estrutura do equivalente.

Estas mesmas parcelas são utilizadas na alocação das constantes de inércia e dos

conjugados mecânicos dos modos retidos na representação equivalente. Cada motor

equivalente é ligado diretamente à barra de fronteira previamente selecionada.

Cada estrutura equivalente tem, portanto, desempenho linearizado independente

e fixado para as mesmas variações de amplitude e fase da tensão na barra de fronteira de

forma a apresentar a mesma característica de resposta natural (os mesmos autovalores).

A fixação dos mesmos modos (autovalores) retidos na representação equivalente

pode ser feita de forma mais expedida a partir da relação entre os termos da equação

característica de terceira ordem associada a cada motor e os elementos de sua matriz de

estado na resposta vista de sua barra terminal.

As raízes da equação característica de cada motor de indução, com representação

de terceira ordem, possuem três componentes, sendo uma delas real σ e as demais

compostas por um par complexo conjugado ωα j± . Conforme informado

anteriormente, para um sistema ser estável, as componentes reais α e σ de todos os

autovalores devem ser negativas.

Sendo assim, a equação característica dos motores pode ser descrita como:

∴+−−−− )))()(( ωαωασ jsjss

∴+−− )))((( 22 ωασ ss

∴+−− )2)(( 22nsss ωασ

))2()2(( 2223nn sss σωασωσα −+++− (4.64)

onde:

222nωωα =+ (4.65)

48

Conforme demonstrado na equação 2.11, os pólos da função de transferência

G(s) são obtidos quando 0det =−⋅ AIλ . A solução deste determinante fornece os

autovalores do sistema.

Sendo assim, para 0det =−⋅ AIλ tem-se:

0

333231

232221

131211

=

−−−

−−−

−−−

asaa

aasa

aaas

(4.66)

Simplificando a matriz acima para:

013 =a (4.67)

=23a Sω− (4.68)

Obtém-se:

0

0

333231

2221

1211

=

−−−

+−−

−−

asaa

asa

aas

Sω (4.69)

Resolvendo o determinante:

∴−−−++−−− )()()))()(( 33211211323112332211 asaaasaaaasasas SS ωω

∴−−−++−++− )()()))()(( 332112113231123322112211

2 asaaasaaaasaasaas SS ωω

∴−−−+

+−++−++−

)()(

)()((

3321121132

31123322112211332

3322112

22113

asaaasa

aaaaasaaasasaasaas

S

S

ω

ω

∴+−−+

+−+++++−

))

)()((

3321122112321132

31123322113322331122112

3322113

aaasaaaasa

aaaaasaaaaaasaaas

SS

S

ωω

ω

])()(

)()([

332211211232113112

2112323322331122112

3322113

aaaaaaaaa

saaaaaaaaasaaas

S

S

−+−+

−++++++−

ω

ω (4.70)

Supondo 033 =a (apenas para exemplificar), no desenvolvimento de cada motor

agregado, pode-se simplificar a equação acima para:

49

)]()()([ 3211311221123222112

22113 aaaasaaaaasaas SS −+−+++− ωω (4.71)

Estabelecendo a relação entre as raízes da equação característica e os elementos

da matriz de estado de cada motor, tem-se:

)2()( 2211 σα +−=+− aa (4.72)

ασωω 222112322211 +=−+ nS aaaaa (4.73)

2

32113112 )( nS aaaa σωω −=− (4.74)

A partir das equações acima, os motores agregados podem ser definidos na barra

de fronteira. Para isso, a resposta associada a cada modo retido na representação

dinâmica é obtida, a partir da repartição das potências ativa e reativa total absorvida

pelo sistema externo na barra de fronteira pelos diferentes modos retidos.

Como informado anteriormente, o critério para retenção dos modos mais

relevantes é sua participação na resposta de potência ativa e reativa na barra de fronteira

frente à variação degrau de pequena amplitude no módulo e na fase da tensão na barra

de fronteira. Assim, as seguintes grandezas são definidas previamente para cada motor

agregado associado a cada modo retido: constante de inércia, potência ativa e potência

reativa.

Cada motor agregado tem seus parâmetros da representação dinâmica definidos

para resultar na mesma equação característica de terceira ordem dos motores do sistema

externo original do sistema. Seus parâmetros são determinados de forma iterativa para

repartir a potência total injetada pelo sistema externo na barra de fronteira. Neste

processo iterativo as seguintes constantes e variáveis de operação do motor equivalente

associado a um modo retido são determinadas: sXTXXR RSS ,,,, ''0,

As expressões das derivadas parciais das potências ativa e reativa utilizadas na

construção da matriz de estado mostram, portanto, que pode-se obter os parâmetros da

representação equivalente para cada um dos modos retidos. Desta forma, está imposto

que o motor modal tenha, sob pequenos desvios, variações de potência ativa e reativa na

barra de fronteira exatamente igual às componentes modais das variações das potências

ativa e reativa na barra de fronteira do sistema original.

No processo de redução do sistema externo, o efeito das cargas dentro do

50

sistema externo é transferido também para a barra de fronteira (impedâncias para a

terra) e podem ser consideradas como pertencentes ao sistema interno. Entretanto, é

conveniente que elas continuem vinculadas ao sistema externo e sejam alocadas na

barra de fronteira, satisfazendo a condição de balanço de potência e, portanto,

incorporando também o efeito dos modos cuja dinâmica apresente pequena influência

na resposta do sistema externo.

Considere a barra de fronteira e os elementos ligados a ela pertencentes aos

motores modais retidos. Seja FN a potência complexa líquida absorvida pelo sistema

externo na barra de fronteira. Esta potência pode ser dividida, em qualquer proporção

(por exemplo, em função da importância de cada modo), entre os modos retidos, de

forma que, a potência absorvida pela área externa na barra de fronteira será o somatório

das potências distribuídas entre os motores modais.

51

CAPÍTULO 5

5 SIMULAÇÕES E RESULTADOS

5.1- Introdução

Neste capitulo é apresentado o sistema industrial tomado como exemplo para

estudo de casos e indicada a representação dos componentes/equipamentos que

compõem tal sistema. São descritos também os procedimentos utilizados nas simulações

e apresentados os resultados comparativos de análise de desempenho do método

proposto para redução de ordem.

5.2- Principais Características do Sistema Industrial Estudado

Para este estudo foram utilizados parâmetros reais coletados a partir de um

sistema elétrico industrial de porte médio. O sistema é do tipo radial e sua alimentação é

proveniente de uma subestação de 69kV. A figura 5.1 apresenta um diagrama unifilar

do sistema estudado. O sistema é composto por transformadores abaixadores (69kV –

13,8kV, 13,8kV – 4,16kV e 13,8kV – 480 V), cargas estáticas do tipo impedância

constante e cinqüenta e quatro motores de indução trifásicos.

Os motores de indução estão distribuídos pelo sistema e são alimentados através

das tensões de 13,8kV, 4,16kV e 480V.

52

SISTEMA ORIGINAL

BARRA 169000.0 V

L-1

BARRA 269000.0 V

L-2 L-3

BARRA 369000.0 V

BARRA 469000.0 V

S

P

TR-169000 V13800 V

S

P

TR-269000 V13800 V

BARRA 513800.0 V

MI-1 MI-2

L-4 L-5

BARRA 713800.0 V

BARRA 813800.0 V

S

P

TR-4.13800 V480 V

S

P

TR-5.13800 V480 V

S

P

TR-6.13800 V480 V

S

P

TR-3.13800 V4160 V

S

P

TR-713800 V4160 V

S

P

TR-813800 V480 V

S

P

TR-913800 V480 V

S

P

TR-1013800 V480 V

BARRA 11480.0 V

MI-14 MI-15 MI-16 MI-17

L-7 L-8

BARRA 17480.0 V

MI-30 MI-31 MI-32 C-17

BARRA 18480.0 V

MI-33 MI-34

BARRA 12480.0 V

MI-21MI-20MI-19MI-18

L-10L-9

BARRA 19480.0 V

MI-35 MI-36 MI-37 MI-38 C-19

BARRA 20480.0 V

C-20 MI-39

BARRA 13480.0 V

MI-22C-4

L-11

BARRA 21480.0 V

MI-40C-21

L-12

BARRA 22480.0 V

C-22 MI-41 MI-42

BARRA 94160.0 V

MI-3 MI-4 MI-5 MI-6 MI-7

BARRA 16480.0 V

L-17 L-18 L-6

C-16

BARRA 6480.0 V

BARRA 28480.0 V

C-28 MI-53 MI-54

BARRA 27480.0 V

MI-51 MI-52 C-27

BARRA 15480.0 V

MI-29MI-28MI-27MI-26MI-25

L-16L-15

BARRA 26480.0 V

MI-50C-26

BARRA 25480.0 V

MI-49MI-48MI-47C-25

BARRA 14480.0 V

MI-24MI-23

L-14L-13

BARRA 24480.0 V

MI-46

BARRA 23480.0 V

MI-45MI-44MI-43C-23

BARRA 104160.0 V

MI-9 MI-10 MI-11 MI-12 MI-13MI-8

Figura 5.1– Diagrama unifilar do sistema industrial estudado

5.3- Programa Utilizado

No presente trabalho, foram desenvolvidas no ambiente MATLAB rotinas

específicas de análise modal para definição do equivalente da área externa do sistema

industrial estudado. Foi ainda utilizada uma ferramenta computacional específica

pertencente ao programa MATLAB® que permite análise estática, análise dinâmica,

bem como a execução de rotinas para estudo de controle em sistemas elétricos de

potência.

O programa funciona como uma ferramenta do software MATLAB da

MATHWORKS e utiliza o SIMULINK como interface gráfica para a realização das

simulações, já que muitos profissionais estão familiarizados com o modelo de desenho

utilizado por este aplicativo.

Com o suporte computacional acima descrito, foram realizas simulações de

regime permanente e de regime transitório, levando em consideração diferentes topo-

logias do sistema frente a diferentes tipos de perturbações.

53

5.4- Modelagem Computacional do Sistema

A figura 5.2 apresenta o circuito real/original inicialmente implementado, onde

todos os dados inseridos no modelo estão em pu, tendo como base a potência aparente

de 100MVA.

Figura 5.2 – Sistema original implementado no programa MATLAB

5.5- Modelagem Computacional do Sistema Equivalentado

Baseado no sistema industrial apresentado foi definida a área interna e a área

externa do sistema. A área interna é aquela que terá seu desempenho dinâmico descrito

neste capítulo e a área externa é a que teve sua estrutura substituída por outra,

equivalente, de dimensão e ordem bem menores. O sistema equivalente é ligado

diretamente à barra de fronteira. A barra cinco do sistema original foi escolhida como

barra de fronteira, já que a mesma é o limite de separação das áreas. Esta divisão está

ilustrada na figura 5.3.

54

Figura 5.3 – Área interna e externa do sistema original

O sistema foi proporcionalmente dividido e a área externa original do sistema

(destacada em vermelho na figura 5.3) ficou composta por vinte e sete motores.

Casualmente, a área interna apresenta também vinte e sete motores conectados a seus

barramentos. Após a realização da análise modal da área externa, o modelo equivalente

desta área foi reduzido à utilização de seis motores para sua representação no sistema.

Os demais modos de oscilação foram descartados através do critério de participação dos

modos. Foram descartados os modos que apresentaram fator de participação abaixo de

10% do máximo fator. A área externa equivalentada é ilustrada na figura 5.4.

55

Figura 5.4 – Sistema agregado

5.5.1- Sistema Equivalentado a partir do Modelo de Motores Agregados.

Neste item são apresentados resultados de comparação do desempenho dinâmico

dos motores do sistema interno, considerado a execução das simulações com o sistema

completo original e com a área externa substituída pela representação com os 6 (seis)

motores equivalentes, um para cada modo linearizado retido. Esta comparação tem

como objetivo comprovar a eficiência do método de agregação dos motores de indução.

Para efeito de análise foi simulada uma falta trifásica na barra 10 localizada na

área interna. Esta barra foi escolhida para a aplicação da falta porque nela estão ligados

os motores de maior potência do sistema elétrico industrial analisado. Na simulação

ficou definida a ocorrência da falta trifásica no instante de tempo igual a 1s com

duração de cinco ciclos, ou seja, a falta é eliminada no instante igual a 1,08333s. A

figura 5.5 ilustra a aplicação desta falta na área interna do sistema.

56

Figura 5.5 – Ocorrência de falta trifásica na barra 10

Para análise do comportamento do sistema interno, foram geradas curvas rela-

tivas a grandezas do sistema que poderiam sofrer maior influência devido à represen-

tação do sistema externo através de um modelo equivalente. Logo, foram realizadas as

simulações do sistema contendo a representação agregada e do sistema original (conten-

do todos os motores) para verificar a equivalência dos dois sistemas. A figura 5.6

apresenta as curvas de tensões na barra 5 para os dois sistemas, permitindo assim uma

comparação do comportamento do sistema agregado em relação ao original. Estas

curvas foram geradas levando em consideração o modelo composto por 6 modos

oscilatórios.

Figura 5.6 – Curvas de tensões para os sistemas agregado x original - Modelo

composto por 6 modos oscilatórios

57

Pode-se notar na figura 5.6 que o modelo agregado dos motores de indução

representa com precisão o comportamento do sistema original diante de tal perturba-

ção. Nota-se na figura 5.6 que o sistema permanece com as tensões inalteradas para a

condição de regime permanente e, sendo assim, o modelo agregado composto por seis

modos oscilatórios comprova a utilidade da análise modal para a geração de um modelo

equivalente que represente, através de um modelo reduzido, os mesmos resultados de

um modelo completo.

Ainda considerando o sistema equivalente composto por 6 modos oscilatórios, a

figura 5.7 apresenta as curvas de fluxo de corrente entre as barras 3 e 5 para os dois

sistemas (sistema agregado e sistema original).

Figura 5.7 – Curvas de fluxo de corrente para sistemas agregado x original -

Modelo composto por 6 modos oscilatórios

Assim como a tensão na barra 5 visualizada na figura 5.6, pode-se observar que

a figura 5.7 apresenta um resultado com a mesma precisão, reafirmando assim o bom

desempenho do modelo agregado quando utilizado para estudo de desempenho

dinâmico do sistema indicado na figura 5.2.

Levando em consideração ainda o modelo composto por 6 modos oscilatórios, as

figuras 5.8 e 5.9 apresentam as curvas de evolução das potências ativa e reativa na barra

10 para os dois sistemas (sistema agregado e sistema original).

58

Figura 5.8 – Curvas da potência ativa na barra 10 para sistemas agregado x

original - Modelo composto por 6 modos oscilatórios

Figura 5.9 – Curvas da potência reativa na barra 10 para sistemas agregado x

original - Modelo composto por 6 modos oscilatórios

Logo, percebe-se nas figuras 5.8 e 5.9 que as potências ativa e reativa na barra

10, barra onde foi aplicada a falta trifásica e que possui os motores de maiores

potências, se comportam de maneira muito próximas para os dois casos (Sistema

Agregado e Original).

Para finalizar a apresentação de grandezas de maior interesse para este caso, é

apresentado na figura 5.10 o comportamento da curva de deslizamento do motor de

59

maior potência localizado na barra 10 do sistema interno. Pode-se comprovar que, assim

como os demais parâmetros apresentados anteriormente, o deslizamento do modelo

agregado representa quase que com perfeição total o comportamento do motor em

comparação com o sistema original, composto por todos os motores de indução do

sistema.

De acordo com os resultados demonstrados no conjunto de figuras apresentadas

e considerando o sistema equivalentado a partir do modelo de motores agregados,

percebe-se que os seis modelos de terceira ordem associados aos motores equivalentes

representam o sistema original com grande precisão. Os resultados indicam grande

fidelidade na reprodução do sistema original em condições de desempenho com grande

conteúdo não-linear.

Figura 5.10 - Curvas do deslizamento do motor de maior potência da barra 10

para sistemas agregado x original - Modelo composto por 6 modos oscilatórios

5.5.2- Sistema Equivalentado a partir de uma Impedância Constante.

Para demonstrar a eficiência do método de agregação de motores através da

análise modal, a área externa neste segundo momento foi representada através de um

modelo de impedância constante. Isto foi feito com o objetivo de ilustrar a participação

progressiva dos modos oscilatórios da área representada pelos motores agregados no

desempenho dinâmico do sistema global e para a ocorrência da mesma perturbação na

60

área interna simulada no caso anterior.

Os modos de oscilação substituídos por cargas do tipo impedância constante

podem ser observados na figura 5.11.

Figura 5.11 – Sistema agregado - Modelo composto por impedâncias constantes

Para análise do comportamento do sistema interno, e como efeito de comparação

com o caso apresentado no item 5.5.1, foram plotadas curvas relativas aos mesmos

parâmetros do sistema. Foi realizada uma comparação do comportamento do sistema

agora representado através do modelo de impedância constante, com o caso original,

contendo todos os motores de indução do sistema. A seguir são apresentadas as curvas

comparativas dos parâmetros do sistema.

A figura 5.12 apresenta as curvas de tensões na barra 5 para os dois sistemas,

permitindo assim uma comparação do comportamento do sistema agregado com

impedâncias constantes em relação ao sistema original.

61

Figura 5.12 – Curvas de tensões para sistemas agregado x original - Modelo

impedâncias constantes

Analisando a figura 5.12 nota-se que para o período transitório, logo após o

período da falta, a curva do modelo agregado referente à tensão na barra 5, conhecida

como barra de fronteira, sofre um descolamento com relação à curva do sistema

original. Já no período de regime estático, ambos os sistemas possuem o mesmo

comportamento, simplesmente porque a configuração pré-falta é a mesma pós-falta.

Portanto, observa-se com este resultado que, em regime dinâmico, o modelo impedân-

cia constante apresenta pouca precisão no processo de avaliação do comportamento real

do sistema.

Ainda, levando em consideração o modelo de impedâncias constantes, a figura

5.13 apresenta as curvas de fluxo de corrente entre as barras 3 e 5 para os dois sistemas

(sistema agregado e sistema original).

62

Figura 5.13 – Curvas de fluxo de corrente para sistema agregado x original -

Modelo impedâncias constantes.

Assim como na figura 5.12 as curvas da figura 5.13 mostram um pequeno

deslocamento entre elas, sendo este devido à má representatividade do modelo

impedância constante para estudos em regime transitório.

Levando em consideração o modelo de impedâncias constantes, a figura 5.14 e a

figura 5.15 apresentam as curvas de potência ativa e reativa respectivamente, na barra

10 para os dois sistemas (sistema agregado e sistema original).


original - Modelo impedâncias constantes

63


original - Modelo impedâncias constantes

Assim tanto para potência ativa como para a potência reativa, as curvas

apresentam desvios consideráveis para o modelo equivalente com relação ao sistema

original. Isto ocorre devido à ausência dos modos oscilatórios na análise dinâmica da

perturbação.

Para finalizar as análises para este caso, a figura 5.16 apresenta o comporta-

mento da curva de deslizamento do motor de maior potência localizado na barra 10 do

sistema interno. Pode-se comprovar que, assim como as demais grandezas apresentadas

anteriormente, o deslizamento do motor equivalente obtido a partir do modelo impedân-

cia constante não reflete a realidade do sistema original composto por todos os motores

de indução do sistema.

64


para sistema agregado x original - Modelo impedância constante

5.5.3- Sistema Equivalentado a partir do Modelo de Motores Agregados

Demonstrando a Evolução dos Modos Oscilatórios.

Neste sub-item pode ser visualizado o efeito da participação de cada modo osci-

latório na composição do sistema agregado. Como foi dito anteriormente, cada modo

oscilatório foi representado no sistema através de um motor de indução equivalente.

Para exemplificar a participação de cada um dos modos na análise transitória do

sistema, foi simulada a mesma perturbação na área interna do sistema, falta trifásica na

barra 10, para o sistema representado desde a condição do caso anterior, não contendo

nenhum modo de oscilação, até alcançar o modelo agregado completo composto pelos

seis modos oscilatórios.

A figura 5.17 ilustra o efeito progressivo da participação dos modos oscilatórios

do modelo agregado sobre os desvios da tensão na barra de fronteira do sistema.

65

Figura 5.17 – Curvas da tensão na barra de fronteira para sistema agregado x

original – Efeito da inclusão dos modos oscilatórios

Como pode ser observado na figura 5.17, à medida que foram sendo acres-

centados os modos oscilatórios para a representação da área externa no sistema, a curva

de resposta vai se aproximando do resultado obtido através da simulação realizada sobre

o sistema original.

O mesmo pode ser verificado na figura 5.18, onde o fluxo de corrente em dire-

ção à barra de fronteira sofre alterações significativas ao serem adicionados os modos

de oscilação disponibilizados pela análise modal do sistema externo.

Figura 5.18 – Curva de corrente total suprida em direção à barra de fronteira -

Sistema original x agregado – Efeito da inclusão dos modos oscilatórios

66

A potência ativa na barra 10, onde foi aplicada a falta trifásica, foi a grandeza

que apresentou o maior desvio em relação ao sistema original. Pode-se verificar na

figura 5.19 que a inclusão do efeito dos modos oscilatórios de resposta refletem com

precisão a resposta transitória do modelo agregado para a potência ativa quando o efeito

de todos os seis modos oscilatórios são incluídos na análise.

Figura 5.19 – Curva de potência ativa total suprida aos motores na barra 10 -


O mesmo pode ser observado para a potência reativa da barra 10, que segue

conforme ilustrado na figura 5.20.

Figura 5.20 – Curva de potência reativa total suprida aos motores na barra 10 -


67

A variação transitória do deslizamento do maior motor da barra onde ocorre a

falta também fica precisamente representada com a incorporação do efeito dos seis

modos oscilatórios, vide figura 5.21.

Figura 5.21 – Curva de deslizamento do maior motor na barra 10 - Sistema

original x agregado – Efeito da inclusão dos modos oscilatórios

5.5.4- Sistema de Motores Agregados – Outros Casos.

Partindo da premissa de que a área externa, contendo vinte e sete motores de

indução, está sendo representada dinamicamente através do modelo disponível mais

preciso, o modelo contendo seis motores de indução agregados, foram realizadas simu-

lações de perturbações para diferentes tipos de representação da carga motórica dentro

da área interna. Estas simulações forma especificadas para verificar a robustez do

equivalente fixado para o sistema externo.

5.5.4.1 Caso Original x Agregado – Área Interna Composta por Cargas do Tipo

Impedância Constante.

Para prosseguir com a avaliação do método de agregação para uma configuração

do sistema industrial analisado estruturalmente diferente da apresentada anteriormente,

toda a área interna do sistema foi representada através de cargas do tipo impedância

constante. Esta alteração foi aplicada à área interna do sistema original e do sistema

68

agregado, como pode ser observado através das figuras 5.22 e 5.23. Os únicos motores

que permaneceram no sistema foram os motores de indução conectados à barra de

fronteira. Para este caso de simulação, foram identificadas a potência ativa e a potência

reativa absorvida por cada barra de motor da área interna e foram inseridos estes

mesmos valores em cargas conectadas com representação tipo impedância constante.

Com isto os motores permanecem conectados às barras, porém encontram-se na

condição de impedância fixa.

Figura 5.22 – Sistema original – Área interna com cargas estáticas

69

Figura 5.23 – Sistema agregado – Área interna com cargas estáticas

Para este caso, a especificação da perturbação permanece a mesma aplicada aos

casos descritos anteriormente, ou seja, aplicação de falta trifásica na barra 10.

Na figura 5.24 pode-se observar o comportamento da tensão na barra de

fronteira para o sistema original e agregado com as alterações mencionadas.

Figura 5.24 – Curvas de tensões para sistema agregado x original – Área interna

com cargas estáticas. Tensão na barra de fronteira para curto trifásico na barra 10

70

Já a figura 5.25 ilustra o fluxo de corrente do sistema externo em direção à barra

de fronteira através do equivalente agregado e através do sistema original.

Figura 5.25 – Corrente do sistema externo em direção à barra de fronteira –

Sistemas agregado x original – Área interna com cargas estáticas. Curto 3F na barra 10.

As figuras 5.26 e 5.27 mostram a concordância praticamente total da evolução

da potência ativa e da potência reativa absorvidas pela barra onde a falta trifásica foi

aplicada quando considerando os sistemas agregado e original.


original – Área interna com cargas estáticas – Curto 3F na barra 10.

71


original – Área interna com cargas estáticas – Curto 3F na barra 10.


Impedância Constante e com Motores Conectados à Barra 15.

No estudo foi estabelecido que a segunda avaliação do comportamento do

sistema devido à representação do mesmo através do modelo agregado de motores de

indução levaria em consideração a aplicação de uma falta trifásica em uma barra

diferente da área interna do sistema e também para uma configuração diferente desta

área.

Sendo assim, para esta avaliação foi aplicada uma falta trifásica na barra 15 da

área interna com os todos os motores desta barra conectados. As figuras 5.28 e 5.29

ilustram os dois casos (Sistema Agregado x Original) contendo esta alteração. Como se

pode observar nas figuras, os motores da barra quinze, agora conectados à mesma, estão

representados no sistema através da cor preta, o que indica que os mesmos estão em

operação no sistema.

72

Figura 5.28 – Sistema original – Área interna com cargas estáticas e motores na

barra 15

Figura 5.29 – Sistema agregado – Área interna com cargas estáticas e motores na

73

barra 15

Como 480V é a tensão nominal da barra 15, a falta trifásica aplicada à esta barra

possui a duração de 50ms, sendo este o tempo de atuação de um disjuntor do tipo caixa

aberta, geralmente utilizado para a proteção de barramento dos centros de controle de

motores de 480V. A falta é aplicada no instante de tempo igual a 1s e foi eliminada no

instante de tempo igual 1,05 s. A figura 5.30 apresenta uma ampliação da imagem

focando a barra 15, a fim de permitir uma melhor visualização da falta trifásica aplicada

nesta barra.

Figura 5.30 – Ampliação da imagem evidenciando a falta trifásica na barra 15 da

área interna do sistema

Assim como nos casos anteriores, é apresentada a evolução transitória de

algumas grandezas de importância para o sistema interno.

A figura 5.31 apresenta a evolução da tensão na barra de fronteira durante o

período transitório.

74

Figura 5.31 – Curvas de tensões para sistema agregado x original - Motores na

barra 15 – Curto trifásico na barra 15.

O fluxo de corrente do sistema externo em direção à barra de fronteira é ilus-

trado na figura 5.32, onde percebe-se concordância quase total entre os resultados obti-

dos com o sistema original e com o sistema agregado, apesar da alteração na configu-

ração dinâmica do sistema interno e da alteração do tipo e localização da perturbação.

Figura 5.32 – Curvas de corrente do sistema externo em direção à barra de

fronteira para os sistemas agregado e original - Motores na barra 15 – Curto na barra 15.

Seguem nas figuras 5.33 e 5.34 a evolução das potências ativa e reativa,

respectivamente, absorvidas pela barra 15 durante o período transitório. Mesmo as

75

grandezas sofrendo variações consideráveis na resposta à perturbação, o modelo

agregado apresenta uma resposta totalmente superposta à do modelo completo do

sistema.

Figura 5.33 – Curvas da potência ativa total consumida pela barra 15 para os

sistemas agregado e original - Motores na barra 15 – Curto na barra 15.

Figura 5.34 – Curvas da potência reativa total consumida pela barra 15 para os


Por último, pode-se observar na figura 5.35 que o deslizamento do maior motor

conectado à barra 15 também apresenta exatamente o mesmo desempenho dinâmico,

76

tanto para o sistema original, quanto para o sistema composto pelos motores agregados.

Figura 5.35 – Curvas do deslizamento do maior motor ligado à barra 15 para os



Impedância Constante e com Motores Conectados às Barras 10 e 15.

Como foram observados no caso anterior, os resultados da análise transitória

referente à perturbação na barra 15 ficaram muito próximos quando comparando as

simulações referentes ao sistema original com as simulações incluindo os motores de

indução agregados. Sendo assim, o terceiro caso simulado tem como finalidade analisar

o comportamento transitório dos motores alocados na barra 10 do sistema para a mesma

falta aplicada no caso anterior.

As figuras 5.36 e 5.37 ilustram esta mudança onde, em relação ao caso anterior,

se verifica a inclusão da representação dos motores na barra 10 do sistema (motores

agora na cor preta) e ainda pode-se observar que a falta continua sendo aplicada na

barra 15 de ambos os sistemas, original e agregado.

77

Figura 5.36 – Sistema original - Motores nas barras 10 e 15

Figura 5.37 – Sistema agregado - Motores nas barras 10 e 15

78

A figura 5.38 ilustra o comportamento transitório da tensão na barra de fronteira

como resposta à falta aplicada na barra 15 de ambos os sistemas, original e agregado.

Figura 5.38 – Curvas da tensão na barra de fronteira para os sistema agregado x

original - Motores nas barras 10 e 15 – curto na barra 15

Assim como para a tensão, o fluxo de corrente em direção à barra de fronteira,

ilustrado na figura 5.39, também reproduz, no caso do sistema agregado, o mesmo

comportamento revelado pela resposta do sistema original.

Figura 5.39 – Curvas de corrente em direção à barra de fronteira para os

sistemas agregado x original - Motores nas barras 10 e 15 – Curto na barra 15

79

Quando o curto é aplicado à barra 10, ainda com representação dinâmica apenas

para os motores ligados às barras 10 e 15, as respostas transitórias de potências ativa e

reativa aparecem indicadas nas figuras 5.40 e 5.41 e revelam um comportamento

diferente do relevado para a perturbação na barra 15. Porém os modelos agregado e

original continuam apresentando respostas praticamente coincidentes.

Figura 5.40 – Curvas da potência ativa alimentada pela barra 10 para os sistema

agregado x original - Motores nas barras 10 e 15. Curto trifásico na barra 10.

Figura 5.41 – Curvas da potência reativa alimentada pela barra 10 para os

sistemas agregado e original - Motores nas barras 10 e 15. Curto trifásico na barra 10.

80

Para finalizar a análise de desempenho das grandezas da barra 10, seguem, na

figura 5.42, as curvas de variação no tempo do deslizamento do motor de maior potên-

cia na barra 10, para o sistema original e agregado, face à perturbação na barra 15.


para os sistemas agregado x original - Motores nas barras 10 e 15 – Curto trifásico na

barra 10.

5.5.4.4 Caso Original x Agregado – Instabilidade na Área Interna.

Tendo em vista que todos os casos descritos até aqui apresentaram resposta

convergente a um ponto de operação de regime permanente, no presente caso é

simulada uma condição de perturbação em que o sistema global não converge a um

ponto de operação final, o que levaria a uma situação de desligamento dos motores

envolvidos. Este é o caso mais crítico dentre as contingências simuladas.

Este caso descreve os resultados de simulação de uma falta trifásica na barra 10

localizada na área interna, com duração de 6(seis) ciclos, de forma que os dois motores

de maior potência desta barra não conseguem retornar à operação normal e falham no

processo de reaceleração para retomada do ponto operativo. O resultado da operação

indevida de falha na reaceleração é a presença sustentada de correntes de estator

elevadas nos dois motores. O desempenho revelado pelas simulações do sistema agre-

gado indica, novamente, reprodução extremamente precisa dos resultados relativos à

81

representação do sistema original.

Pode ser observado ainda na figura 5.43, indicativa da evolução da tensão na

barra de fronteira, que o sistema apresenta uma queda de tensão sustentada associada à

reaceleração sem sucesso dos dois motores referidos

Figura 5.43 – Curvas das tensões na barra de fronteira para os sistema agregado

e original – Reaceleração sem sucesso após curto na barra 10.

O comportamento do fluxo de corrente da barra 3 para a barra 5 pode ser

observado na figura 5.44.

Figura 5.44 – Curvas de corrente da barra 3 para a barra 5, para os sistemas

agregado e original – Reaceleração sem sucesso.

82

A figura 5.45 apresenta a potência ativa absorvida pela barra 10. Pode-se

observar que os dois motores que não reaceleram provocam um comportamento não

convergente para a potência absorvida por esta barra, porém as curvas resultantes das

simulações dos sistemas agregado e original permanecem sobrepostas.

Figura 5.45 – Curvas da potência ativa na barra 10 para os sistemas agregado e

original – Reaceleração sem sucesso

O mesmo pode ser observado nas curvas referentes às potências reativas

absorvidas pelos sistemas agregado e original, ambas apresentadas na figura 5.46. Uma

vez que os motores não se liberam do processo de partida, potência reativa elevada

continua sendo absorvida da rede.


original – Reaceleração sem sucesso

83

A figura 5.47 ilustra a evolução do deslizamento dos dois motores referidos. No

instante 18,5s, o deslizamento referido atinge o valor unitário, significando que o motor

anula sua rotação.


para os sistemas agregado e original – Reaceleração sem sucesso.

5.5.4.5 Caso Original x Agregado - Estabilidade na Área Interna.

Para o caso de insucesso na reaceleração descrito no item anterior, foi utilizado o

modelo de terceira ordem na representação dos dois maiores motores de indução ali-

mentados pela barra 10. Agora a mesma simulação descrita no item 5.5.4.4 é reproduzi-

da, mas o modelo de primeira ordem é fixado na representação dos dois motores

referidos.

A figura 5.48 ilustra a potência ativa absorvida pela barra 10. Nota-se que o

modelo de primeira ordem (incorporando apenas o efeito mecânico da inércia rotórica)

não representa de forma tão precisa quanto o de terceira ordem, o comportamento

dinâmico dos dois motores maiores alimentados pela barra 10. Pelo exame do

deslizamento destes motores, como registrado na figura 5.49, fica evidente que, no caso

da representação de primeira ordem, os motores retornariam à operação normal após a

ocorrência da falta.

84

Figura 5.48 – Curvas da potência ativa alimentada pela barra 10 para os sistemas

agregado e original – Reaceleração com sucesso.


para os sistemas agregado e original - Reaceleração com sucesso.

85

6 CONCLUSÕES / RECOMENDAÇÕES

O objetivo deste trabalho foi desenvolver uma metodologia para a agregação de

motores de indução utilizando como ferramenta a técnica da análise modal. A técnica

proposta teve como objetivo fundamental a análise dos modos de oscilação de um grupo

de motores de indução de uma determinada área de um sistema elétrico e, a partir disto,

a representação deste grupo através de um modelo equivalente. Os dados utilizados

foram obtidos a partir de um sistema industrial real. O equivalente referido foi obtido

através da técnica da análise modal mencionada anteriormente.

De forma a se construir um procedimento para verificação que reproduzisse o

desempenho dos motores representados da forma mais precisa possível, decidiu-se por

utilizar o software MATLAB para a modelagem do sistema. Sua escolha foi influen-

ciada pelo fato de que os motores de indução poderiam ser representados de acordo com

a ordem do modelo escolhido, tendo opções para sua representação em diversas ordens,

dependendo das considerações realizadas. Além disso, o software em questão utiliza

uma interface gráfica bastante conhecida, já que seus modelos são baseados na ferra-

menta MATLAB/Simulink. Este fato tornou a construção e o teste de desempenho do

sistema industrial tarefas relativamente mais simples.

Primeiramente foi realizada a escolha da ordem do modelo dos motores de

indução do sistema industrial em estudo. Sendo assim, para representar estes motores,

decidiu-se utilizar o modelo de terceira ordem, ainda desconsiderando os transitórios de

estator e os efeitos da gaiola de partida, conhecida como gaiola rápida, dos motores de

indução de grande porte.

A segunda etapa do trabalho consistiu na construção do sistema composto pelo

modelo agregado dos motores de indução. Este modelo foi obtido a partir da análise

modal do sistema externo original. Nesta análise foi realizada uma avaliação do nível de

participação dos modos de oscilação presentes nos desvios de potências ativa e reativa

absorvidas pelos motores de indução como vistos da barra de fronteira da área externa

do sistema. Em seguida, são escolhidos os modos de oscilação mais relevantes do

sistema e descartados os demais. Após a escolha dos modos oscilatórios que são sufi-

cientes para representar o sistema completo através de um sistema agregado, cada modo

86

de oscilação remanescente fica sendo representado como um motor de indução.

Estando o sistema agregado definido, é realizada a alteração no sistema original,

transformando a área externa em uma área composta apenas pelos motores de indução

agregados, e estes conectados agora à barra de fronteira do sistema, tendo todos os

motores sido transferidos para uma mesma tensão de alimentação. Com isso é resolvido

novamente o fluxo de potência do sistema e verifica-se que, para o regime permanente,

as tensões nas barras do sistema remanescente permanecem inalteradas com relação ao

sistema original.

A partir dai foram realizadas simulações para análise do desempenho dinâmico

do sistema agregado, considerando-se a aplicação de faltas na área interna do sistema

(área dos motores remanescentes, sem qualquer equivalente), tanto para o sistema

original, quanto para o sistema agregado. Com isto, as respostas do comportamento dos

motores para ambos os casos foram obtidas e comparadas. Foram escolhidas as

variáveis mais significativas para indicação dos efeitos produzidos nos períodos de falta

e pós-falta.

Os resultados apresentados no trabalho mostram que o modelo agregado dos

motores de indução representa com grande precisão o efeito da área externa do sistema

sobre o desempenho dinâmico da área interna sob diferentes graus de modelagem da

carga motórica presente nesta última área e para diferentes posicionamentos das faltas.

Isto ocorre inclusive para o caso apresentado de reaceleração sem sucesso, sendo este o

caso mais crítico que poderia gerar maior divergência entre os modelos. Sendo assim,

pode-se concluir que o equivalente apresentado no trabalho é capaz de reproduzir os

efeitos não lineares associado ao desempenho dos motores de indução sob desvios de

grande amplitude.

Como sugestão para trabalhos de pesquisa futuros e de modo a aperfeiçoar a

metodologia abordada, propõe-se a representação dos motores de indução através de um

modelo de quinta ordem, levando-se em consideração o efeito subtransitório produzido

pela gaiola de partida.

87

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