Representação dos Números Inteiros

Sumario

REPRESENTACAO DOS NUMEROSINTEIROS

Luciana Santos da Silva Martinolulismartino.blogspot.com.br

[email protected]

PROFMAT - Colegio Pedro II

30 de setembro de 2016

Sistemas de Numeracao Jogo de Nim

Sumario

1 Sistemas de Numeracao

2 Jogo de Nim


Outline


2 Jogo de Nim


Sistemas de Numeracao

sistema sexagesimal: babilonios, 1700 a.C.sistema decimal: desenvolvido na China e na India. Maiordifusao na Europa a partir de 1202, quando da publicacaodo Liber Abacci, de Fibonaccisistema binario: bases como potencias de 2 foram asescolhidas na arquitetura de computadores

Todos sao sistemas posicionais com base constante



No sistema decimal todo numero inteiro e representado poruma sequencia formada pelos algarismos

1,2,3,4,5,6,7,8,9

acrescidos do sımbolo 0(zero), que representa a ausencia dealgarismo. Por serem dez os algarismos , o sistema echamado decimal

. Sistema posicional: cada algarismo, alem do seu valorintrınseco, possui um peso que lhe e atribuıdo, em funcao daposicao que ele ocupa no numero. No sistema decimal essepeso e sempre uma potencia de dez



Cada algarismo de um numero possui uma ordem contada da direitapara a esquerda. Cada terna de ordens tambem contada da direitapara a esquerda, forma uma classe

classe das unidades

unidades 1aordemdezenas 2aordemcentenas 3aordem

classe do milhar

unidades de milhar 4aordemdezenas de milhar 5aordemcentenas de milhar 6aordem

classe do milhao

unidades de milhao 7aordemdezenas de milhao 8aordemcentenas de milhao 9aordem



Os sistemas de numeracao posicionais baseiam-se noteorema a seguir, que e uma aplicacao da divisao euclidiana

Teorema 4.1: Sejam dados a,b ∈ Z, com a > 0 e b > 1.Existem numeros inteiros n ≥ 0 e 0 ≤ r0, r1, ..., rn < b, com

rn 6= 0, univocamente determinados, tais que

a = r0 + r1b + r2b2 + ...+ rnbn

A representacao dada no teorema acima e chamada deexpansao relativa a base b.


Sistemas de Numeracao. Algoritmo para determinar a expansao de um numero qualquerrelativamente a base b

Aplicacoes sucessivas da divisao euclidiana

a = bq0 + r0, r0 < b

q0 = bq1 + r1, r1 < b

q1 = bq2 + r2, r2 < b

e assim por diante.Como a > q0 > q1 > ..., devemos, em certo ponto, ter qn−1 < b e, portanto,de

qn−1 = bqn + rn,

decorre que qn = 0, o que implica que 0 = qn = qn+1 = qn+2 = ..., e,portanto, 0 = rn+1 = rn+2 = ...Temos entao que

a = r0 + r1b + ...+ rnbn



Proposicao 4.2: Sejam dados os numeros inteiros b > 1,m,n′ ≥ 0, 0 < r0, ..., rn < b e 0 ≤ r ′0, ..., r

′n′ < b. Tem-se que

i) r0 + r1b + ...+ rnbn < bn+1

ii) n > n′ e rn 6= 0⇒ r0 + r1b + ...+ rnbn > r ′0 + r ′1b + ...+ r ′n′bn′

iii) n = n′ e rn > r ′n ⇒ r0 + r1b + ...+ rnbn > r ′0 + r ′1b + ...+ r ′nbn



A expansao numa dada base b fornece-nos um metodo para representar osnumeros naturais. Para tanto, escolha um conjunto S de b sımbolos

S = {s0, s1, ..., sb−1}com s0 = 0, para representar os numeros de 0 a b − 1Um numero natural c na base b escreve-se na forma

xnxn−1...x1x0

com x0, ..., xn ∈ S, e n variando, dependendo de a, representando o numero

x0 + x1b + ...+ xnbn

Notacao: [xn...x1x0]b: numero representado por xn...x1x0 na base b

[xn...x1x0]b = x0 + x1b + ...+ xnbn



Proposicao 4.6: Seja a = rn...r1r0 um numero representado no sistema decimal. Umacondicao necessaria e suficiente para que a seja divisıvel por 5 (respectivamente por10) e que r0 seja 0 ou 5 (respectivamente 0)

Proposicao 4.7: Seja a = rn...r1r0 um numero representado no sistema decimal. Umacondicao necessaria e suficiente para que a seja divisıvel por 3 (respectivamente por9) e que rn + ...+ r1 + r0 seja divisıvel por 3 (respectivamente por 9)

Exemplo 4.8: O nove misterioso

Peca para alguem escolher, em segredo, um numero natural com, pelo menos, tres

algarismos (no sistema decimal). Peca, ainda, para que efetue uma permutacao

qualquer dos seus algarismos, obtendo um novo numero, e que subtraia o menor do

maior dos dois numeros. Finalmente, peca ao seu parceiro de jogo para reter um dos

algarismos diferentes de zero desse novo numero e divulgar os restantes. E possıvel

adivinhar o algarismo retido!



Corolario 4.9: Todo numero natural escreve-se de modo unicocomo soma de potencias distintas de 2.

Exemplo 4.10: O metodo acima, para determinar expansoesbinarias permite desenvolver um algoritmo antigo para calcularo produto de dois numeros usando apenas multiplicacoes edivisoes por 2, alem de adicoes. Esse metodo tem a vantagemde apenas necessitar da tabuada do 2.

Exemplo 4.11: O Problema da Moeda FalsaVamos generalizar a solucao do problema da moeda falsa, quediscutimos no Exemplo 2.13 (pag 37), para um numeroarbitrario de moedas


Outline


2 Jogo de Nim


Jogo 1

Dispoe-se sobre uma mesa um numero N de palitos separadosem tres grupos, de n1,n2 e n3 palitos (N1 + n2 + n3 = N), demodo que ni 6= nj se i 6= j . O jogo e realizado por doisjogadores. Cada jogador, na sua vez, deve retirar um numeroqualquer (6= 0) de palitos de um, e de apenas um, dos grupos.Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s) ultimo(s) palito(s)ganha o jogo.

O objetivo da estrategia e mostrar que, se um dos jogadores aum certo momento encontrar-se numa situacao favoravel (a serdefinida) e se nao cometer nenhum deslize nas jogadasseguintes, ele ganhara o jogo.


Jogo 1

Cada estado do jogo pode ser codificado por um terno denumeros, representando o numero de palitos em cada grupo,ordenados previamente como Grupo 1, Grupo 2 e Grupo 3,comecando com uma configuracao inicial (n1,n2,n3) onden1 + n2 + n3 = N

Exemplo: Joao (J) e Maria (M) com configuracao inicial (3,5,7)

Uma situacao em que todos os algarismos da chave saopares sera chamada de posicao segura, enquanto que,quando pelo menos um dos algarismos da chave e ımpar,sera uma posicao insegura


Jogo 1

Resultado (Bouton): Qualquer que seja a configuracao inicialdo jogo, se um jogador encontra na sua vez uma posicaosegura qualquer que seja a jogada que faca, so podera chegara uma posicao insegura

Resultado (Bouton): De uma posicao insegura, pode-se, comuma jogada conveniente, sempre retornar a uma posicaosegura

Outro Exemplo: Configuracao inicial (3,5,6)


Outras variantes do Jogo do Nim

Jogo 2: Dispoe-se sobre uma mesa um certo numero N depalitos. Estipula-se que cada jogador, na sua vez, possa retirar,no mınimo, 1 palito e, no maximo, um numero preestabelecidode n palitos, com n > 1. Supoe-se ainda, que N e N − 1 naosejam multiplos de n + 1. Perde o jogador que retirar o ultimopalito

Jogo 3: Da mesma forma que a variante anterior, dispoe-sesobre uma mesa um certo numero N de palitos e estipula-seque cada jogador, na sua vez, possa retirar, no mınimo, 1 palitoe, no maximo, um numero n prefixado de palitos, com n > 1.Supoe-se ainda que N nao seja multiplo de n + 1. Ganha ojogador que retirar o ultimo palito


Outro Jogo

Um jogo, jogado por duas pessoas, consiste de um tablete dechocolate dividido em 6x10 quadradinhos separados porsulcos.

Cada jogador, na sua vez, quebra a barra de chocolate numahorizontal ou numa vertical ao longo de todo um sulco e comeuma das partes. O jogo prossegue com a parte restante ateque um dos jogadores e obrigado a comer o ultimoquadradinho que restar, perdendo o jogo

Representação dos Números Inteiros

Education

Transcript of Representação dos Números Inteiros