RESGATE HISTÓRICO DA GEOMETRIA ANALÍTICA A INFLUÊNCIA DOS GRANDES PENSADORES

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTASCENTRO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA A DISTÂNCIA

ANA LUCIA FLORES DE LIMADANIELA PACHECO DA SILVAILSIARA SILVA FONSECAJORGE ROBERTO SANTOS MIRANDAMICHELE MARQUES DALMOLIN

POLO SAPUCAIA DO SUL

Introdução

O presente trabalho tem como objetivo apresentar um breve resgate histórico acerca da Geometria Analítica, apresentando seus principais pensadores, sua vida esuas obras.

O estudo traz curiosidades de como surgiu os teoremas e a ligação entre umhistoriador e outro.

Apolônio

Apolônio de Perga, foi considerado como um dos mais originais matemáticos gregos no campo dageometria pura. Era conhecido como "O Grande Geómetra“. Viveu durante os últimos anos do século III eprimeiros do século II. Os dados da vida de Apolônio são raros. Quase tudo é proveniente de notas queaparecem nos prefácios dos seus livros.

Apolônio nasceu por volta de 262 a.c. em Perga, na Panfília. Quando jovem, deixou Perga em direção aAlexandria onde o Museu e Biblioteca eram considerados o centro do saber. Estudou com os sucessoresde Euclides e, mais tarde, veio a ensinar. Ele também visitou Pérgamo, onde havia sido construído uma bibliotecasemelhante à de Alexandria.

Apolônio é autor do famoso tratado ”As Conicas”, única obra conhecida inteiramente por nós. A Conicas éconsiderada uma das principais obras de matemática da Antiguidade. Este tratado é composto por oito livros nosquais são demonstrados centenas de teoremas recorrendo aos métodos geométricos de Euclides. Além destaobra, escreveu os seguintes títulos: “Dividir Segundo uma Razão”, “Cortar uma Área”, ”Tangências”, ”LugaresPlanos”, ”Determinar uma Seção”, ”Inclinações”, ”Cálculo Rápido” e ”Comparação entre o Rápido e Comparaçãoentre o Dodecaedro e o Icosaedro”, hoje perdidas. Da sua vasta obra científica só dois trabalhos chegaram aosnosso dias, ”As Conicas” e “Dividir Segundo uma Razão”.

Além de matemático, Apolônio também foi astrônomo tendo ficado conhecido pelo seu modelo derepresentação dos planetas. Faleceu por volta de 190 a. c. em Alexandria.

As Cónicas

As Cónicas é uma grandiosa e magnífica obra, é considerada por muitos, como o ponto máximo damatemática grega.

É composta por oito livros, dos quais apenas os sete primeiros chegaram aos nossos dias. Destes, somenteos quatro primeiros é que são em grego, os outros três são numa tradução árabe. Edmund Halley, em 1710, fezuma tradução latina dos oito livros, em consequência surgiu posteriormente traduções em outras línguas.

No prefácio geral da obra, Apolónio explica as razões que o levaram a escrevê-lá:"... levei a cabo a investigação deste assunto a pedido de Neucrates o geómetra, quando ele veio a

Alexandria e ficou comigo, e, quando tinha trabalhado os oito livros, dei-lhos de imediato, apressadamente,porque ele estava de partida; não foi possível portanto revê-los. Escrevi tudo conforme me ia ocorrendo, adiandoa revisão até ao fim.“ (in, Thomas Heath, A History of Greek Mathematics, volume II, página 129).

Não foi descoberta nenhuma propriedades novas das cónicas até ao século XIX. Sua excelência apenas foiavaliada na altura em que as elipses, parábolas e hipérboles começaram a ser estudadas na GeometriaProjectiva.

François Viète

François Viète nasceu em Fontenay-le-Comte, na França, em 1540, e morreu em Paris, no dia 13 de dezembrode 1603. Era apaixonado por álgebra, e pelo seu entusiasmo ficou conhecido como o “Pai da Álgebra”. Foiresponsável pela introdução da primeira notação algébrica sistematizada, além de contribuir para a teoria dasequações.

Foi também um dos melhores especialistas em cifras de todos os tempos. No final do século 16, o impérioespanhol dominava grande parte do mundo, então os agentes espanhóis tinham que se comunicar usando umacifra (códigos) quase impossível de se entender. Uma cifra era composta por mais de 500 caracteres. Foi usadospelo Rei Felipe II da Espanha durante sua guerra em defesa do Catolicismo Romano e dos huguenotes franceses.Algumas mensagens de soldados espanhóis foram interceptadas pelos franceses e acabaram entregues ao reiHenrique IV da França. O rei entregou estas mensagens para o matemático Viète, com o intuito de que ele asdecifrasse. O matemático coseguiu decifrar e guardou segredo, mas dois anos depois, os espanhóis descobriram. Orei Felipe da Espanha, não acreditava que uma cifra tão complexa pudesse ser quebrada, então sendo informadode que os franceses conheciam seus planos militares, foi reclamar com o Papa alegando que estavam usandomagia negra contra o seu país.

Foi Viète que adotou vogais para as incógnitas, consoantes para os números conhecidos, gráficos pararesolver equações cúbicas e biquadradas (ou de 4º grau) e trigonometria, para as equações de graus mais elevadosna álgebra. Viète pode ser considerado um precursor da geometria analítica, pois é quem também simplificou asrelações trigonométricas. Foi ele também, que abriu caminho para os trabalhos de Descartes, Newton, entreoutros, realizando inúmeras simplificações na resolução das equações

O livro de sua autoria, "Isagoge in artem analyticum" ( Tours, 1591), é a obra mais antiga sobre a álgebrasimbólica. Foi adicionado um primeiro apêndice, "Logistice speciosa", no qual falou da adição, multiplicação, eexplicou como elevar um binômio até á sexta potência. No segundo apêndice, "Zetetica", apresenteou a resoluçãodas equações. Em outras obras explicou a teoria das equações e a resolução de várias equações numéricas.

“Matemática não é apenas números, e sim envolve letras e toda a capacidade que o ser humano conseguir expressar.” – François Viète

Fermat

Pierre de Fermat nasceu em Beaumont-de-Lomages, no dia 17 de agosto de 1601, na França, e morreu noem Castres, no dia 12 de janeiro de 1665, também na França. Foi advogado e oficial do governo em Toulouse amaior parte de sua vida. A matemática era um passatempo. Em 1636, Fermat apresentou um sistema degeometria analítica parecido com o que Descartes iria propor um ano depois. O trabalho de Fermat era inspiradoem uma reconstrução do trabalho de Apolônio, usando a álgebra de Viète. Um trabalho aproximando levouFermat à descobrir métodos semelhantes para diferenciação e integração por máximos e mínimos.

Fermat é a mais reconhecido pelo seu trabalho em teoria de número, em especial pelo o “Último Teoremade Fermat”. Este teorema diz que xn + yn = zn não tem nenhuma solução de inteiro (não zero) para x, y e z quandon>2. Fermat escreveu, conforme a tradução de Bachet de Diofante: “Eu descobri uma prova verdadeiramentenotável, que esta margem é muito pequena conter”.

Hoje se acredita que a “prova” de Fermat estava errada, mesmo sendo impossível estar completamentecerto disso. Em junho de 1993, o matemático britânico Andrew Wiles demonstrou a verdade da afirmação deFermat, porém Wiles retirou a solução de ter uma prova, quando problemas surgiram mais tarde. Em novembro1994, Wiles afirmou novamente ter uma prova correta. Mas fracassado, tentou provar o teorema sobre umperíodo de 300, encaminhou à descoberta da teoria comutativa do anel e uma riqueza de outras descobertasmatemáticas. Em uma correspondência com Pascal ele fundou a teoria matemática da probabilidade.

Mersenne era um amigo de Fermat, que também era interessado em teoria do número e pertencia àordem religiosa do Minims. Sua cela, em Paris, se tornou um lugar de encontro freqüente para Fermat, Pascal,Gassendi, e outros.

Fermat não publicou quase nada durante a sua vida, as suas descobertas eram anunciadas através de cartasaos amigos. Às vezes ele anotava os resultados nas margens dos seus livros. Seu trabalho foi esquecido até serredescoberto no meio do século 19.

O Último Teorema de Fermathttps://www.youtube.com/watch?v=RJQebfUUEzI

René Descartes

René Descartes nasceu em La Haye, a cerca de 300 quilômetros de Paris. Seu pai, Joachim Descartes eraadvogado e juiz, tinha terras e o título de escudeiro, também era conselheiro no Parlamento de Rennes, naBretanha. Descartes perdeu a mãe com um ano de idade e foi criado pela avó. O seu pai o chamava de “pequenofilósofo”. Ficou aborrecido com o filho quando ele não quis exercer o direito, curso que concluiu na universidadede Poitiers em 1616.

Em 1618, Descartes foi para a Holanda e se alistou no exército de Maurício de Nassau. Nessa época conheceuo duque filósofo, doutor e físico Isaac Beeckman, a qual dedicou o "Compendium Musicae", que era um pequenotratado sobre música. Em 1619, viajou para a Dinamarca, Polônia e Alemanha, onde, segundo a história, no dia 10de novembro, teve uma visão em sonho de um novo sistema matemático e científico. Em 1628, Descartes,incentivado pelo cardeal De Bérulle, escreveu "Regras para a Direção do Espírito". A fim de ter mais tranqüilidade,foi para os Países Baixos, onde viveu até 1649.

Em 1629 começou a criar o "Tratado do Mundo", uma obra de física. Porém em 1633, quando Galileu foicondenado pela igreja católica, Descartes não quis publicá-lo.

Em 1637, publicou anonimamente "Discurso sobre o Método para Bem Conduzir a Razão a Buscar a VerdadeAtravés da Ciência". Os três apêndices desta obra foram "A Dióptrica" (um trabalho sobre ótica), "Os Meteoros"(sobre meteorologia), e "A Geometria" (onde introduz o sistema de coordenadas que ficaria conhecido como"cartesianas", em sua homenagem). Seu nome e suas teorias foram se tornando conhecidos nas rodas ilustres esua afirmação "Penso, logo existo" (Cogito, ergo sum) tornou-se popular.

Em 1641, sua obra mais conhecida surgiu: as "Meditações Sobre a Filosofia Primeira", com os primeiros seisconjuntos de "Objeções e Respostas". Os autores das objeções foram Johan de Kater; Mersene; Thomas Hobbes;Arnauld e Gassendi. A segunda edição das Meditações incluía uma sétima objeção, feita pelo jesuíta PierreBourdin.

René Descartes

Em 1643, a Universidade de Utrecht (Holanda) condenou a filosofia cartesiana e acusou Descartes de ateísmo,porém ele obteve a proteção do Príncipe de Orange. No ano seguinte, lançou "Princípios de Filosofia", um livro quena maioria esta dedicado à física e foi ofertado à princesa Elizabete da Boêmia, com quem mantinhacorrespondência.

A rainha Cristina da Suécia recebeu uma cópia manuscrita do "Tratado das Paixões” enviada através doembaixador francês da época. Então Descartes recebeu insistentes convites que foram aceitos em 1649, onde foipara Estocolmo, com o objetivo de instruir a rainha de 23 anos em matemática e filosofia. O horário da aula era àscinco horas da manhã. Em consequência do clima rigoroso, sua saúde deteriorou. Em fevereiro de 1650, ele contraiupneumonia e dez dias depois morreu.

Em 1667, depois de sua morte, a Igreja Católica Romana colocou suas obras no Índice de Livros Proibidos.Descartes, foi chamado muitas vezes de “o fundador da filosofia moderna” e “o pai da matemática moderna”,

além de ser considerado um dos pensadores mais influentes da história humana.

Descartes e a Geometria

Em resumo, Descartes pensava que a geometria analítica seria uma tradução das operações algébricasem linguagem geométrica e a essa nova forma de proceder tem uma enorme crença do autor no novométodo como uma forma organizada e clara de resolver problemas de natureza geométrica.

Observamos como a ideia central do método cartesiano está inserida nos procedimentos de resoluçãodo seguinte problema geométrico sem uso da fórmula de distância de ponto a reta: determinar a alturarelativa ao vértice C do triângulo de vértices A(xa,ya), B(xb,yb) e C(xc,yc).

Dividiremos o problema em 5 problemas menores:•Primeira etapa: determinar a equação da reta que passa pelos pontos A e B.• Segunda etapa: encontrar o coeficiente angular de uma reta perpendicular à reta que passa por A e B.•Terceira etapa: determinar a equação da reta que passa por C e tem o coeficiente angular igual ao

encontrado na segundo etapa.•Quarta etapa: encontrar o ponto P de intersecção das retas da primeira e terceira etapas.•Quinta etapa: calcular a distância entre os pontos P e C (a altura do triângulo).

O projeto filosófico de Descartes trouxe inegáveis contribuições para o desenvolvimento da ciência demodo geral e da matemática em particular, sem duvida. Mas vale destacar que a fragmentação doconhecimento que dele decorre é um dos mais sérios problemas a serem enfrentados pelo homemcontemporâneo.

Conclusão

Através dessa pesquisas podemos observar como são importantes ospensadores no nosso aprendizado. Cada um aperfeiçoando aquilo que descobriuatravés de pesquisas sérias ao longo da história.

Percebemos que a maioria deles são matemáticos natos, tem intuições paragerar suas teorias. Todos buscavam sempre mais e mais conhecimento, através delivros e debates.

Percebemos que a história deve ser sempre registrada para que outrospensadores possam a cada dia buscar novas teorias matemáticas a fim deaperfeiçoar os conhecimentos e obterem novas descobertas .

Bibliografia

• Instituto de Educação - Universidade de Lisboa - http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/apolonio/ -Acesso em 06/07/2014

• Só matemática - http://www.somatematica.com.br/biograf/francois.php - Acesso em 06/07/2014

•Youtube - O último teorema de Fermat - http://www.youtube.com/watch?v=RJQebfUUEzI – Acesso em 06/07/2014