resistencia dos materiais - 2.pdf

RESISTNCIA DE MATERIAIS -2

Instabilidade Elstica

Lus Filipe Pereira Juvandes

Mrio Lus Vidal Pinheiro Gensio

Porto 1989

AD.1 - Publicao de LUIS JUVANDES associada Actividade Docente

RESISTNCIA DE MATERIAIS

Instabilidade Elstica

Texto de suporte terico e coleco de exerccios resolvidos para apoio disciplina de Resistncia

de Materiais do 3 ano do Curso de Licenciatura em Engenharia Civil da FEUP.

Por

Luis Filipe Pereira Juvandes

Mrio Luis Vidal Pinheiro Gensio

AD.1 Juvandes, L. F. P. e Gensio, M. L. V. P., 1989, "Resistncia de Materiais: Instabilidade Elstica", texto de

suporte terico e coleco de exerccios resolvidos para apoio da disciplina de Resistncia de Materiais

(3 ano) do DEC, 21 pp.

Lus Juvandes / Mrio Gensio Resistncia de Materiais Instabilidade Elstica

1/22

NOTA

Em virtude do contedo muito abrangente de Resistncia de Materiais 1 e 2, torna-se bastante

difcil indicar um nico livro que englobe, de forma satisfatria, todas as matrias da disciplina de

Resistncia de Materiais.

Nestas condies, os apontamentos aqui apresentados so textos de suporte terico e coleco

de exerccios resolvidos para apoio disciplina de Resistncia de Materiais 1 e 2 do 2 ano do Curso

de Licenciatura em Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP.

Desta forma, os apontamentos podem no incluir a totalidade da matria apresentada nas aulas

tericas e prticas e conter alguns erros ou omisses. Estes, no pretendendo substituir a consulta da

bibliografia sugerida nos contedos da disciplina, ajudam a fixar a direco e a profundidade com que

se pretende abordar cada matria e proporcionam uma sistematizao dos assuntos tratados. Assim,

aconselha-se a utilizao dos mesmos a ttulo de primeiro estudo, devendo uma anlise mais

aprofundada ter como base a bibliografia indicada nas aulas tericas.

Copyright 2005

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Rua Dr Roberto Frias, 4200-465 PORTO, Portugal

www.fe.up.pt

e-mail: [email protected]

Todos os direitos reservados, incluindo os direitos de reproduo e uso sob qualquer forma ou meio, nomeadamente, reproduo em cpia ou oral, sem a expressa autorizao do autor, esto sujeitos ao estabelecido na Lei dos Direitos de Propriedade.


2/22

NDICE

1. NOMENCLATURA 3

2. PROBLEMA DE EULER (vlido em R. Elstico) 3

3. COMPRIMENTO DE ENCURVADURA Art. 48 do R.E.A.E. 4

4. ANLISE DA CAPACIDADE RESISTENTE 4

5. VERIFICAO DA ESTABILIDADE - Art. 42 do R.E.A.E. 6

5.1. Barras rectas sujeitas a esforos simples de compresso (Art. 42.2) 6

5.2. Barras sujeitas simultaneamente a esforos de compresso e flexo (Art. 42.3) 8

6. DIMENSIONAMENTO 8

7. DIMENSIONAMENTO EXPEDITO DE BARRAS CONSTITUIDAS POR CANTONEIRAS 10

7.1. Trabalhando em Regime Elasto-Plstico 11

7.2. Trabalhando em Regime Elstico 11

8. PROBLEMAS DE APLICAO 12

9. BIBLIOGRAFIA 22


3/22

1. NOMENCLATURA

crP - carga crtica de Euler

ydf - valor de clculo da tenso de cedncia

p - valor de clculo da tenso limite de proporcionalidade

ydp f 8,0=

eL - comprimento de encurvatura

- esbelteza duma barra - coeficiente de encurvatura

Rd - valor de clculo da tenso resistente compresso i - raio de girao da seco transversal (ix, iy)

R.E.A.E. Regulamento de Estruturas de Ao para Edifcios

2. PROBLEMA DE EULER (vlido em R. Elstico)

L

y = f (x)

Deformao instvel

P

P

Figura 1

Este fenmeno foi estudado numa barra ideal,

onde Euler quantificou a carga mnima que

provocaria instabilidade na forma rectilnea da

barra. Essa instabilidade levaria a um

agravamento dos esforos equilbrio instvel da pea.

- Carga crtica de Euler

2e

2

cr LEI P = onde LLe = [1]

- Tenso critca

.alidadeproporcion de itelim tenso

Li E P

2e

22cr

cr == [2]


4/22

Assim, se pode concluir que em peas solicitadas axialmente compresso, as tenses podero ser

agravadas por fenmenos de instabilidade ESTUDAR ENCURVADURA EM PEAS REAIS. Como em Resistncia de Materiais [A] o material utilizado em peas solicitadas por este tipo de fenmeno

o AO, vamos destacar os aspectos a considerar no estudo do fenmeno pelo R.E.A.E. [B].

3. COMPRIMENTO DE ENCURVADURA Art. 48 do R.E.A.E.

As peas reais nem sempre apresentam as mesmas condies fronteira que a barra ideal de Euler. No

entanto para situaes diferentes de condies fronteira, quando solicitadas axialmente compresso, estas

podero igualmente apresentar fenmenos de instabilidade associao de uma carga crtica. Assim

poderemos encontrar para comprimento de encurvatura (Le) nas situaes mais correntes (Figura 2):

l

2e

2

cr LEI P =

4Pcr crP crP4 crP 04.2

LLe = L2 L 2/L L7.0 Figura 2

4. ANLISE DA CAPACIDADE RESISTENTE

Os critrios utilizados pela nossa regulamentao na anlise da capacidade resistente de uma pea quando

sujeita ao fenmeno de encurvadura, so iguais s normas Belgas NBN B51001 (1977). Segundo artigo 42.

tem-se que:

Coeficiente de esbelteza )( duma barra:

iLe= [3]


5/22

Este coeficiente depende das caractersticas geomtricas da seco transversal da barra.

Diagramas considerados:

i) Comportamento do material ( ) Rd

Rd

ydf

p

Rd

ydf

p

Figura 3 - ( ) Rd ii) Relao capacidade resistente - esbelteza ( ) Rd

Rdydf

8.1P

p

Rd

ydf

8.1P

p 18020

1

2

3

250

Figura 4 - ( ) Rd

Com base no real comportamento de um ao, atravs do seu ensaio de compresso-traco axial ilustrado na

Figura 3, foi possvel retractar a real capacidade resistente de uma pea (Figura 4) em funo da sua

esbelteza ( ) . Como se pode observar do andamento da funo ( ) Rd , a capacidade vai-se reduzindo medida que a barra se torna mais esbelta, sendo o valor mximo de "" permitindo pelo R.E.A.E. (Art. 42.4) de:

180 ( ou


6/22

Assim, a relao ( ) Rd permite identificar 3 campos bem definidos: 2/1

p

2

p8.1E itelim esbelteza

== [4]

c - CAMPO PLSTICO - ydRd f = d - CAMPO ELASTO-PLSTICO - linear funoRd = e - CAMPO ELSTICO hiprbole de Euler

5. VERIFICAO DA ESTABILIDADE - Art. 42 do R.E.A.E.

A verificao da segurana em relaco ao estado limite ltimo de encurvatura por varejamento deve

ser realizada por:

RdSd [5]

ydRd f= (Art. 42.1)

5.1. Barras rectas sujeitas a esforos simples de compresso (Art. 42.2)

Nestes casos o valor de clculo da tenso actuante definido por:

= ANSd

Sd [6]

yd

Sd

f= - coeficiente de encurvadura [7]

Este coeficiente pretende traduzir o efeito da reduo em termos de capacidade resistente de uma pea

compresso, funcionamento este como coeficiente de minorao da rea real A.


7/22

Nota Como este parmetro depende do coeficiente de esbelteza da barra, ele deve traduzir a

direco com maior probabilidade de vir a ocorrer o fenmeno de instabilidade. Como tal,

interessar calcular primeiro o coeficiente de esbelteza mximo ( )mx .

X X

Y

Y

O

=

=REAE

i

L

i

L

mx

y

xex

x

yey

instabilidade segundo

instabilidade segundo

Y

Y

X X

xx

yy

Figura 5

1 CAMPO PLSTICO

1f

yd

Rd == [8]

2 CAMPO ELASTO-PLSTICO

= ba [9]

3 CAMPO ELSTICO

2c= [10]

[ ] Direco da instabilidade, isto , sentidos

possveis para a translao da seco.

Quadro 1 - Quantificao dos valores de "" de acordo com R.E.A.E.

Ao

Tipo

)MPa(

f yd p

a

[9]

b

[9]

c

[10]

Fe 360 235 105 1.1328 0.00664 4802

Fe 430 275 96 1.1460 0.0073 4103

Fe 510 355 85 1.1723 0.00862 3179


8/22

5.2. Barras sujeitas simultaneamente a esforos de compresso e flexo (Art. 42.3)

Nestes casos, o R.E.A.E. prope que os valores de clculo das tenses actuantes )( Sd devem ser determinados por teorias apropriadas, convenientemente comprovadas pela experincia.

Adoptando o critrio especificado na norma Belga NBN B51001 (1977) a verificao da segurana de barras

de seco constante, no sujeitas a foras ou momentos directamente aplicados ao longo do seu eixo, passa

pela verificao da estabilidade a dois nveis.

(i) Anlise da barra (efeito da encurvadura)

+

+=

8.1NN

1v1

Mc

8.1NN

1v1k

Mc

AN

Ey

Sd

y

mxy,Sdy

xE

Sd

x

mxx,SdxSd

Sd [11]

(ii) Anlise de seco mais desfavorvel flexo composta

y

y,Sd

x

x,SdSdSd

v1

M

v1

MA

N

+

+= [12]

O significado dos termos intervenientes nas duas expresses esto descritos no R.E.A.E..

6. DIMENSIONAMENTO

Como se observou no ponto 4, a capacidade resistente de uma pea apresenta 3 campos distintos, o

que, partida, dificultar o processo de dimensionamento, de modo a evitar a rotura por encurvadura.

Assim, teremos de proceder a um critrio geral de dimensionamento, que se resume a um processo de

clculo por tentativas, traduzido por qualquer um dos dois mtodos que a seguir se expe.

Mtodo 1 - Critrio geral de dimensionamento:

(i) Admitindo R. plstico (dimensionamento directo)

>

(ii). ponto no ocontinua20)OK( 20

se perfil do escolha

TabelasfN

A mxmxyd

Sdo


9/22

(ii) Admitindo R. elstico (dimensionamento directo)

< (iii). ponto no ocontinua

)OK( se Tabelas

EN L 8.1

Ip

pmxmx2

Sd2e

o

(iii) Temos a certeza que o perfil se encontra em R. Elstico-plstico, sendo a sua seleco por

tentativas. No entanto os dois pontos anteriores d-nos uma informao da aproximidade do

perfil ao ponto (i) ou ao ponto (ii).

Se prximo do ponto (i) Perfil superior a AO

tabelas mx (*)

Se prximo do ponto (ii) Perfil inferior a IO (ou superior a)

>


10/22

Mtodo 2 Localizao prvia da 1. seco nas tabelas tcnicas ( )50.0= (i) Pr-dimensionamento

)tabelas( osec .1 da escolhada50.0

NA

AN

50.0

Rd

Sd

RdSd

=

(ii) Verificao da segurana

yx

RdSdmxye

xe

yx

, L,L

i,i Perfil

>


11/22

7.1. Trabalhando em Regime Elasto-Plstico

p20

Yn

NXLLe

b

Sd2e ++

barra a compe que scantoneira de n.-n

)N( Newtons emN )mm( etroslimmi emL,b

Sd

e

[13]

Quadro 3 Valores X, Y

Tipo de barra

Tipo de ao

X Y X Y X Y

p

Fe 360 87.247 66.763 212.044 104.082 334.816 130.787 105

Fe 430 61.994 61.245 150.670 75.480 237.906 119.978 96

Fe 510 35.373 53.153 85.970 82.870 135.745 104.132 85

7.2. Trabalhando em Regime Elstico

p

42

2eSd

. nLN

580.211b

[14]

Quadro 4 - Valores de

195.0= 304.0= 382.0=


12/22

8. PROBLEMAS DE APLICAO

Problema 1 - Verificar a estabilidade do pilar representado na Figura 7.

L = 6.00 m

P = 375 kNSd

P = 375 kNSd

A

B

x

y

DADOS:

Perfil IPE 400 (Fe 360) A = 84.5 cm2

Ix = 23130 cm4 ; ix = 16.5 cm Iy = 1318 cm4 ; iy = 39.5 cm

RESOLUO:

Barra biarticulada m 00.6LLe ==

Pesquisa da direco mais desfavorvel:

364.365.16

600iL

yx

ye ===

( )360Fe 105899.15195.3

600iL

xy

xe >===

Figura 7 CAMPO ELSTICO

Verificao de segurana (Art. 42. REAE)

RdSd

==

ydRd

SdSd

fAN

ydRdSd

Sd fAN ==

208.0899.151

4802480222 ==

)OK(MPa 235MPa 36.213208.0105.84

10375Rd4

3

Sd ===


13/22

Problema 2 - Dimensionar o pilar representado na Figura 8 utilizando perfis da srie HEB (Fe 360)

e admitindo que est impedida a encurvadura no plano de maior inrcia.

E = 2.06105 MPa.

L = 8.80 m

P = 4724 kNSd

x

y

contraventamento

y

x

Impedida a deformao por instabilidade nestes sentidos

Figura 8

RESOLUO:

m60.1780.82L2Lye ===

Seleco do perfil por tentativas:

(i) Se 20 Regime plstico

)cm 02.201(m100102.2235

104724fN

A 2223

yd

SdO

==

Tabelas HE 450 B cm 1.19i;cm 0.218A x2 ==

201.921.19

1760 >==

No serve!


14/22

(ii) Se > 105 Regime elstico

435232

2Sd

2e

O m1029551.11006.2

1047246.178.1EN 8.1

I

==

l

Tabelas HE 550 B cm2.23i;cm 136691i x4

x ==

1059.752.23

1760 >==

(iii) Ento regime elasto-plstico 10520

m60.17Le = 22O cm 02.201mm 20102A ==

= 00664.01328.1 = ANSd

Sd

Quadro 5 Resultados das tentativas

HEB )cm(A 2 )cm(i x x

e

iL= )MPa(Sd OBS.

600 270.0 25.2 69.8 0.669 262 No serve RdSd >

650 286.3 27.1 64.9 0.702 235 Serve RdSd 700 306.4 29.0 - - - Sobre-dimen.

Soluo:

No serve!

HEB 650


15/22

Problema 3 - Considere o pilar AB , de altura m 0.3h = e de seco transversal constante e constitudo por duas cantoneiras de abas iguais de ao Fe 360, ligadas entre si por

travessas soldadas aos teros da altura de acordo com a Figura 9. Dimensione as

cantoneiras para a aco indicada.

h/3

P = 300 kN

h/3

h/3A

C

D

B

s s

travessa

corte s-s

h/3

travessa

Figura 9

RESOLUO:

Neste tipo de seco, dever ter-se presente no s o funcionamento do conjunto, como o

comportamento isolado de cada elemento da seco no contexto da sua ligao ao conjunto

SECO COMPOSTA.

No caso, a instabilidade do pilar AB poder dar-se para as duas cantoneiras conjuntamente na altura

h ou numa cantoneira isoladamente na altura 3/h . Deste modo, a analise da estabilidade deve

incidir sobre os dois casos, sendo a situao mais desfavorvel a limitativa no dimensionamento.


16/22

(i) Funcionamento conjunto das duas cantoneiras:

1. Mtodo critrio geral

Pr-dimensionamento: Admitindo regime elasto-plstico )10520( < e utilizando a expresso deduzida em 7.1 [Equao 13] para o dimensionamento expedito.

Yn

NXLL

b

Sd2ee ++

Para Fe 360 e admitindo o varejamento segundo , direco mais desfavorvel pois a que mobiliza a menor inrcia ( ) (ver tabelas tcnicas), X e Y tomam os valores de

816.334X = e de 787.130Y = .

kN 4505.1300NSd ==

m1.237.0L7.0LLL eee ===== 2n = cantoneiras

Figura 10 Assim,

mm84787.130

2450000816.33421002100

b

2

=++

Verificao de Segurana: b deve ser aproximadamente 84 mm. Verifiquemos se as duas cantoneiras 88080 servem:

:88080 L2 2cm 6.24A = ; 4)(x cm230II == ; cm06.3ii )(x == ( ) De acordo com as Tabelas Tcnicas

6.6806.3

210iLe

mx ===

10520 < (OK)

(Art 42. REAE) = 00664.01328.1 677.0=

RdSd

Sd MPa 235MPa 270677.06.2410450

AN =>=

== No serve!


17/22

:108080 L2 2cm 2.30A = ; 4x cm 278II == cm 03.3ii x ==

673.0)10520(3.6903.3

210iLe

mx =


18/22

Ajuste da seco ao bom aproveitamento dos perfis anlise exposta no quadro seguinte:

Quadro 6 Clculo iterativo.

Cantoneiras 2L )cm(A 2 )cm(i )MPa(Sd Obs.

99090 31.0 3.45 60.87 0.729 199.2 Sobre-dimen. 88080 24.6 3.06 68.63 0.677 270.2 No serve

108080 30.2 3.03 69.3 0.673 221.5 OK

Soluo: 108080 L2

Procurou-se, neste ponto, ajustar a seco inicialmente pr-definida em [15], percorrendo as

Tabelas Tcnicas no sentido da pesquisa dos menores perfis, por forma a satisfazer a condio de

segurana e o pleno aproveitamento da seco.

(ii) Funcionamento isolado das cantoneiras (troos AC, CD, DA)

Como em cada troo de comprimento h/3 as cantoneiras no esto ligadas, temos de estudar a

hiptese de elas encurvarem, isoladamente, segundo o seu plano de instabilidade mais

desfavorvel.

O plano mais desfavorvel corresponde mobilizao do menor raio de girao "i" e,

consequentemente, o maior )(

= i

Le

Para determinao do comprimento de encurvatura "L" e temos que estudar as possveis

ligaes entre os diferentes troos do pilar e, de seguida, tomar o maior valor de "L" e .

eee LLL ==

Figura 10


19/22

Condies fronteira possveis para a ligao das cantoneiras entre travessas:

ll

l7.0'L e = l5.0L e = l=eL

Figura 11

( ) 702.0 9.64 54.1100

iL

108080 cm54.1i

m0.13hLL mxe

mx

e

xme ====

===

!OKMPa235MPa4.212702.02.30

10450AN

RdSd

Sd =


20/22

Problema 4 - Verifica a estabilidade do pilar representado na figura constitudo por um perfil HE

300B (FE360). Considerar impedidos o bambeamento e a encurvadura na direco

de maior inrcia.

6.00 m

200 kN

35 kN

x

y

Figura 12

DADOS:

;cm1.149A 2= 4x cm25166I =

;cm1680W 3x = cm0.13ix =

;cm30hb == cm9.1e =

RESOLUO:

De acordo com o REAE, Art. 42.

RdSd

com ydRd f=

Como o pilar est sujeito simultaneamente a esforos de compresso e flexo a verificao da

segurana deve ser feita de acordo com o Art. 42.3 do R.E.A.E. e adoptando o critrio da norma

Belga NBN B51001 (1997). Assim, a segurana do pilar passa pela verificao da estabilidade a dois

nveis (elemento e seccional).


21/22

Verificao da estabilidade do pilar (com encurvadura) [Equao 11 do item 5.2]

+

+=

8.1NN

1v1

Mc

8.1NN

1v1k

Mc

AN

Ey

Sd

y

mxy,Sdy

xE

Sd

x

mxx,SdxSd

Sd

Verificao da estabilidade em flexo composta para a seco mais desfavorvel [Equao 12 do item 5.2]

y

y,Sd

x

x,SdSdSd

v1

M

v1

MA

N

+

+=

Como neste exemplo 0M y,Sd = , as terceiras parcelas das expresses [11] e [12] so nulas.

Anlise da encurvadura (Art. 42.3):

m1262L2LLL eye

xe =====

direco nessa adeinstabilid h no porque calcula se no "" x . Assim,

520.0;3.920.13

1200iL

x

yey ===

kNm210636Mmxx == kNm3155.1210M mxx,Sd ==

kN2.35531200

251661006.2L

I E N 2

42

2e

x2

Ex === (com yee LL = )

kN3005.1200NSd ==

yx cc85.0c === ; como a estrutura classificada de ns mveis, o regulamento recomenda a adopo deste valor para este caso.


22/22

Anlise do bambeamento (Art. 43.):

x

y

Figura 13

Por estar impedido o bambeamento no plano de menor

inrcia e porque no so de temer os efeitos deste tipo de

instabilidade no outro plano, o regulamento recomenda k=I.

Em resumo, as expresses [11] e [12] vo assumir os valores seguintes:

=

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