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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS -2 Instabilidade Elástica Luís Filipe Pereira Juvandes Mário Luís Vidal Pinheiro Genésio Porto 1989 AD.1 - Publicação de LUIS JUVANDES associada à Actividade Docente

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  • RESISTNCIA DE MATERIAIS -2

    Instabilidade Elstica

    Lus Filipe Pereira Juvandes

    Mrio Lus Vidal Pinheiro Gensio

    Porto 1989

    AD.1 - Publicao de LUIS JUVANDES associada Actividade Docente

  • RESISTNCIA DE MATERIAIS

    Instabilidade Elstica

    Texto de suporte terico e coleco de exerccios resolvidos para apoio disciplina de Resistncia

    de Materiais do 3 ano do Curso de Licenciatura em Engenharia Civil da FEUP.

    Por

    Luis Filipe Pereira Juvandes

    Mrio Luis Vidal Pinheiro Gensio

    AD.1 Juvandes, L. F. P. e Gensio, M. L. V. P., 1989, "Resistncia de Materiais: Instabilidade Elstica", texto de

    suporte terico e coleco de exerccios resolvidos para apoio da disciplina de Resistncia de Materiais

    (3 ano) do DEC, 21 pp.

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    NOTA

    Em virtude do contedo muito abrangente de Resistncia de Materiais 1 e 2, torna-se bastante

    difcil indicar um nico livro que englobe, de forma satisfatria, todas as matrias da disciplina de

    Resistncia de Materiais.

    Nestas condies, os apontamentos aqui apresentados so textos de suporte terico e coleco

    de exerccios resolvidos para apoio disciplina de Resistncia de Materiais 1 e 2 do 2 ano do Curso

    de Licenciatura em Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP.

    Desta forma, os apontamentos podem no incluir a totalidade da matria apresentada nas aulas

    tericas e prticas e conter alguns erros ou omisses. Estes, no pretendendo substituir a consulta da

    bibliografia sugerida nos contedos da disciplina, ajudam a fixar a direco e a profundidade com que

    se pretende abordar cada matria e proporcionam uma sistematizao dos assuntos tratados. Assim,

    aconselha-se a utilizao dos mesmos a ttulo de primeiro estudo, devendo uma anlise mais

    aprofundada ter como base a bibliografia indicada nas aulas tericas.

    Copyright 2005

    Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

    Rua Dr Roberto Frias, 4200-465 PORTO, Portugal

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    NDICE

    1. NOMENCLATURA 3

    2. PROBLEMA DE EULER (vlido em R. Elstico) 3

    3. COMPRIMENTO DE ENCURVADURA Art. 48 do R.E.A.E. 4

    4. ANLISE DA CAPACIDADE RESISTENTE 4

    5. VERIFICAO DA ESTABILIDADE - Art. 42 do R.E.A.E. 6

    5.1. Barras rectas sujeitas a esforos simples de compresso (Art. 42.2) 6

    5.2. Barras sujeitas simultaneamente a esforos de compresso e flexo (Art. 42.3) 8

    6. DIMENSIONAMENTO 8

    7. DIMENSIONAMENTO EXPEDITO DE BARRAS CONSTITUIDAS POR CANTONEIRAS 10

    7.1. Trabalhando em Regime Elasto-Plstico 11

    7.2. Trabalhando em Regime Elstico 11

    8. PROBLEMAS DE APLICAO 12

    9. BIBLIOGRAFIA 22

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    1. NOMENCLATURA

    crP - carga crtica de Euler

    ydf - valor de clculo da tenso de cedncia

    p - valor de clculo da tenso limite de proporcionalidade

    ydp f 8,0=

    eL - comprimento de encurvatura

    - esbelteza duma barra - coeficiente de encurvatura

    Rd - valor de clculo da tenso resistente compresso i - raio de girao da seco transversal (ix, iy)

    R.E.A.E. Regulamento de Estruturas de Ao para Edifcios

    2. PROBLEMA DE EULER (vlido em R. Elstico)

    L

    y = f (x)

    Deformao instvel

    P

    P

    Figura 1

    Este fenmeno foi estudado numa barra ideal,

    onde Euler quantificou a carga mnima que

    provocaria instabilidade na forma rectilnea da

    barra. Essa instabilidade levaria a um

    agravamento dos esforos equilbrio instvel da pea.

    - Carga crtica de Euler

    2e

    2

    cr LEI P = onde LLe = [1]

    - Tenso critca

    .alidadeproporcion de itelim tenso

    Li E P

    2e

    22cr

    cr == [2]

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    Assim, se pode concluir que em peas solicitadas axialmente compresso, as tenses podero ser

    agravadas por fenmenos de instabilidade ESTUDAR ENCURVADURA EM PEAS REAIS. Como em Resistncia de Materiais [A] o material utilizado em peas solicitadas por este tipo de fenmeno

    o AO, vamos destacar os aspectos a considerar no estudo do fenmeno pelo R.E.A.E. [B].

    3. COMPRIMENTO DE ENCURVADURA Art. 48 do R.E.A.E.

    As peas reais nem sempre apresentam as mesmas condies fronteira que a barra ideal de Euler. No

    entanto para situaes diferentes de condies fronteira, quando solicitadas axialmente compresso, estas

    podero igualmente apresentar fenmenos de instabilidade associao de uma carga crtica. Assim

    poderemos encontrar para comprimento de encurvatura (Le) nas situaes mais correntes (Figura 2):

    l

    2e

    2

    cr LEI P =

    4Pcr crP crP4 crP 04.2

    LLe = L2 L 2/L L7.0 Figura 2

    4. ANLISE DA CAPACIDADE RESISTENTE

    Os critrios utilizados pela nossa regulamentao na anlise da capacidade resistente de uma pea quando

    sujeita ao fenmeno de encurvadura, so iguais s normas Belgas NBN B51001 (1977). Segundo artigo 42.

    tem-se que:

    Coeficiente de esbelteza )( duma barra:

    iLe= [3]

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    Este coeficiente depende das caractersticas geomtricas da seco transversal da barra.

    Diagramas considerados:

    i) Comportamento do material ( ) Rd

    Rd

    ydf

    p

    Rd

    ydf

    p

    Figura 3 - ( ) Rd ii) Relao capacidade resistente - esbelteza ( ) Rd

    Rdydf

    8.1P

    p

    Rd

    ydf

    8.1P

    p 18020

    1

    2

    3

    250

    Figura 4 - ( ) Rd

    Com base no real comportamento de um ao, atravs do seu ensaio de compresso-traco axial ilustrado na

    Figura 3, foi possvel retractar a real capacidade resistente de uma pea (Figura 4) em funo da sua

    esbelteza ( ) . Como se pode observar do andamento da funo ( ) Rd , a capacidade vai-se reduzindo medida que a barra se torna mais esbelta, sendo o valor mximo de "" permitindo pelo R.E.A.E. (Art. 42.4) de:

    180 ( ou

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    Assim, a relao ( ) Rd permite identificar 3 campos bem definidos: 2/1

    p

    2

    p8.1E itelim esbelteza

    == [4]

    c - CAMPO PLSTICO - ydRd f = d - CAMPO ELASTO-PLSTICO - linear funoRd = e - CAMPO ELSTICO hiprbole de Euler

    5. VERIFICAO DA ESTABILIDADE - Art. 42 do R.E.A.E.

    A verificao da segurana em relaco ao estado limite ltimo de encurvatura por varejamento deve

    ser realizada por:

    RdSd [5]

    ydRd f= (Art. 42.1)

    5.1. Barras rectas sujeitas a esforos simples de compresso (Art. 42.2)

    Nestes casos o valor de clculo da tenso actuante definido por:

    = ANSd

    Sd [6]

    yd

    Sd

    f= - coeficiente de encurvadura [7]

    Este coeficiente pretende traduzir o efeito da reduo em termos de capacidade resistente de uma pea

    compresso, funcionamento este como coeficiente de minorao da rea real A.

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    Nota Como este parmetro depende do coeficiente de esbelteza da barra, ele deve traduzir a

    direco com maior probabilidade de vir a ocorrer o fenmeno de instabilidade. Como tal,

    interessar calcular primeiro o coeficiente de esbelteza mximo ( )mx .

    X X

    Y

    Y

    O

    =

    =REAE

    i

    L

    i

    L

    mx

    y

    xex

    x

    yey

    instabilidade segundo

    instabilidade segundo

    Y

    Y

    X X

    xx

    yy

    Figura 5

    1 CAMPO PLSTICO

    1f

    yd

    Rd == [8]

    2 CAMPO ELASTO-PLSTICO

    = ba [9]

    3 CAMPO ELSTICO

    2c= [10]

    [ ] Direco da instabilidade, isto , sentidos

    possveis para a translao da seco.

    Quadro 1 - Quantificao dos valores de "" de acordo com R.E.A.E.

    Ao

    Tipo

    )MPa(

    f yd p

    a

    [9]

    b

    [9]

    c

    [10]

    Fe 360 235 105 1.1328 0.00664 4802

    Fe 430 275 96 1.1460 0.0073 4103

    Fe 510 355 85 1.1723 0.00862 3179

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    5.2. Barras sujeitas simultaneamente a esforos de compresso e flexo (Art. 42.3)

    Nestes casos, o R.E.A.E. prope que os valores de clculo das tenses actuantes )( Sd devem ser determinados por teorias apropriadas, convenientemente comprovadas pela experincia.

    Adoptando o critrio especificado na norma Belga NBN B51001 (1977) a verificao da segurana de barras

    de seco constante, no sujeitas a foras ou momentos directamente aplicados ao longo do seu eixo, passa

    pela verificao da estabilidade a dois nveis.

    (i) Anlise da barra (efeito da encurvadura)

    +

    +=

    8.1NN

    1v1

    Mc

    8.1NN

    1v1k

    Mc

    AN

    Ey

    Sd

    y

    mxy,Sdy

    xE

    Sd

    x

    mxx,SdxSd

    Sd [11]

    (ii) Anlise de seco mais desfavorvel flexo composta

    y

    y,Sd

    x

    x,SdSdSd

    v1

    M

    v1

    MA

    N

    +

    += [12]

    O significado dos termos intervenientes nas duas expresses esto descritos no R.E.A.E..

    6. DIMENSIONAMENTO

    Como se observou no ponto 4, a capacidade resistente de uma pea apresenta 3 campos distintos, o

    que, partida, dificultar o processo de dimensionamento, de modo a evitar a rotura por encurvadura.

    Assim, teremos de proceder a um critrio geral de dimensionamento, que se resume a um processo de

    clculo por tentativas, traduzido por qualquer um dos dois mtodos que a seguir se expe.

    Mtodo 1 - Critrio geral de dimensionamento:

    (i) Admitindo R. plstico (dimensionamento directo)

    >

    (ii). ponto no ocontinua20)OK( 20

    se perfil do escolha

    TabelasfN

    A mxmxyd

    Sdo

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    (ii) Admitindo R. elstico (dimensionamento directo)

    < (iii). ponto no ocontinua

    )OK( se Tabelas

    EN L 8.1

    Ip

    pmxmx2

    Sd2e

    o

    (iii) Temos a certeza que o perfil se encontra em R. Elstico-plstico, sendo a sua seleco por

    tentativas. No entanto os dois pontos anteriores d-nos uma informao da aproximidade do

    perfil ao ponto (i) ou ao ponto (ii).

    Se prximo do ponto (i) Perfil superior a AO

    tabelas mx (*)

    Se prximo do ponto (ii) Perfil inferior a IO (ou superior a)

    >

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    Mtodo 2 Localizao prvia da 1. seco nas tabelas tcnicas ( )50.0= (i) Pr-dimensionamento

    )tabelas( osec .1 da escolhada50.0

    NA

    AN

    50.0

    Rd

    Sd

    RdSd

    =

    (ii) Verificao da segurana

    yx

    RdSdmxye

    xe

    yx

    , L,L

    i,i Perfil

    >

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    7.1. Trabalhando em Regime Elasto-Plstico

    p20

    Yn

    NXLLe

    b

    Sd2e ++

    barra a compe que scantoneira de n.-n

    )N( Newtons emN )mm( etroslimmi emL,b

    Sd

    e

    [13]

    Quadro 3 Valores X, Y

    Tipo de barra

    Tipo de ao

    X Y X Y X Y

    p

    Fe 360 87.247 66.763 212.044 104.082 334.816 130.787 105

    Fe 430 61.994 61.245 150.670 75.480 237.906 119.978 96

    Fe 510 35.373 53.153 85.970 82.870 135.745 104.132 85

    7.2. Trabalhando em Regime Elstico

    p

    42

    2eSd

    . nLN

    580.211b

    [14]

    Quadro 4 - Valores de

    195.0= 304.0= 382.0=

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    8. PROBLEMAS DE APLICAO

    Problema 1 - Verificar a estabilidade do pilar representado na Figura 7.

    L = 6.00 m

    P = 375 kNSd

    P = 375 kNSd

    A

    B

    x

    y

    DADOS:

    Perfil IPE 400 (Fe 360) A = 84.5 cm2

    Ix = 23130 cm4 ; ix = 16.5 cm Iy = 1318 cm4 ; iy = 39.5 cm

    RESOLUO:

    Barra biarticulada m 00.6LLe ==

    Pesquisa da direco mais desfavorvel:

    364.365.16

    600iL

    yx

    ye ===

    ( )360Fe 105899.15195.3

    600iL

    xy

    xe >===

    Figura 7 CAMPO ELSTICO

    Verificao de segurana (Art. 42. REAE)

    RdSd

    ==

    ydRd

    SdSd

    fAN

    ydRdSd

    Sd fAN ==

    208.0899.151

    4802480222 ==

    )OK(MPa 235MPa 36.213208.0105.84

    10375Rd4

    3

    Sd ===

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    Problema 2 - Dimensionar o pilar representado na Figura 8 utilizando perfis da srie HEB (Fe 360)

    e admitindo que est impedida a encurvadura no plano de maior inrcia.

    E = 2.06105 MPa.

    L = 8.80 m

    P = 4724 kNSd

    x

    y

    contraventamento

    y

    x

    Impedida a deformao por instabilidade nestes sentidos

    Figura 8

    RESOLUO:

    m60.1780.82L2Lye ===

    Seleco do perfil por tentativas:

    (i) Se 20 Regime plstico

    )cm 02.201(m100102.2235

    104724fN

    A 2223

    yd

    SdO

    ==

    Tabelas HE 450 B cm 1.19i;cm 0.218A x2 ==

    201.921.19

    1760 >==

    No serve!

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    (ii) Se > 105 Regime elstico

    435232

    2Sd

    2e

    O m1029551.11006.2

    1047246.178.1EN 8.1

    I

    ==

    l

    Tabelas HE 550 B cm2.23i;cm 136691i x4

    x ==

    1059.752.23

    1760 >==

    (iii) Ento regime elasto-plstico 10520

    m60.17Le = 22O cm 02.201mm 20102A ==

    = 00664.01328.1 = ANSd

    Sd

    Quadro 5 Resultados das tentativas

    HEB )cm(A 2 )cm(i x x

    e

    iL= )MPa(Sd OBS.

    600 270.0 25.2 69.8 0.669 262 No serve RdSd >

    650 286.3 27.1 64.9 0.702 235 Serve RdSd 700 306.4 29.0 - - - Sobre-dimen.

    Soluo:

    No serve!

    HEB 650

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    Problema 3 - Considere o pilar AB , de altura m 0.3h = e de seco transversal constante e constitudo por duas cantoneiras de abas iguais de ao Fe 360, ligadas entre si por

    travessas soldadas aos teros da altura de acordo com a Figura 9. Dimensione as

    cantoneiras para a aco indicada.

    h/3

    P = 300 kN

    h/3

    h/3A

    C

    D

    B

    s s

    travessa

    corte s-s

    h/3

    travessa

    Figura 9

    RESOLUO:

    Neste tipo de seco, dever ter-se presente no s o funcionamento do conjunto, como o

    comportamento isolado de cada elemento da seco no contexto da sua ligao ao conjunto

    SECO COMPOSTA.

    No caso, a instabilidade do pilar AB poder dar-se para as duas cantoneiras conjuntamente na altura

    h ou numa cantoneira isoladamente na altura 3/h . Deste modo, a analise da estabilidade deve

    incidir sobre os dois casos, sendo a situao mais desfavorvel a limitativa no dimensionamento.

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    (i) Funcionamento conjunto das duas cantoneiras:

    1. Mtodo critrio geral

    Pr-dimensionamento: Admitindo regime elasto-plstico )10520( < e utilizando a expresso deduzida em 7.1 [Equao 13] para o dimensionamento expedito.

    Yn

    NXLL

    b

    Sd2ee ++

    Para Fe 360 e admitindo o varejamento segundo , direco mais desfavorvel pois a que mobiliza a menor inrcia ( ) (ver tabelas tcnicas), X e Y tomam os valores de

    816.334X = e de 787.130Y = .

    kN 4505.1300NSd ==

    m1.237.0L7.0LLL eee ===== 2n = cantoneiras

    Figura 10 Assim,

    mm84787.130

    2450000816.33421002100

    b

    2

    =++

    Verificao de Segurana: b deve ser aproximadamente 84 mm. Verifiquemos se as duas cantoneiras 88080 servem:

    :88080 L2 2cm 6.24A = ; 4)(x cm230II == ; cm06.3ii )(x == ( ) De acordo com as Tabelas Tcnicas

    6.6806.3

    210iLe

    mx ===

    10520 < (OK)

    (Art 42. REAE) = 00664.01328.1 677.0=

    RdSd

    Sd MPa 235MPa 270677.06.2410450

    AN =>=

    == No serve!

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    :108080 L2 2cm 2.30A = ; 4x cm 278II == cm 03.3ii x ==

    673.0)10520(3.6903.3

    210iLe

    mx =

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    Ajuste da seco ao bom aproveitamento dos perfis anlise exposta no quadro seguinte:

    Quadro 6 Clculo iterativo.

    Cantoneiras 2L )cm(A 2 )cm(i )MPa(Sd Obs.

    99090 31.0 3.45 60.87 0.729 199.2 Sobre-dimen. 88080 24.6 3.06 68.63 0.677 270.2 No serve

    108080 30.2 3.03 69.3 0.673 221.5 OK

    Soluo: 108080 L2

    Procurou-se, neste ponto, ajustar a seco inicialmente pr-definida em [15], percorrendo as

    Tabelas Tcnicas no sentido da pesquisa dos menores perfis, por forma a satisfazer a condio de

    segurana e o pleno aproveitamento da seco.

    (ii) Funcionamento isolado das cantoneiras (troos AC, CD, DA)

    Como em cada troo de comprimento h/3 as cantoneiras no esto ligadas, temos de estudar a

    hiptese de elas encurvarem, isoladamente, segundo o seu plano de instabilidade mais

    desfavorvel.

    O plano mais desfavorvel corresponde mobilizao do menor raio de girao "i" e,

    consequentemente, o maior )(

    = i

    Le

    Para determinao do comprimento de encurvatura "L" e temos que estudar as possveis

    ligaes entre os diferentes troos do pilar e, de seguida, tomar o maior valor de "L" e .

    eee LLL ==

    Figura 10

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    Condies fronteira possveis para a ligao das cantoneiras entre travessas:

    ll

    l7.0'L e = l5.0L e = l=eL

    Figura 11

    ( ) 702.0 9.64 54.1100

    iL

    108080 cm54.1i

    m0.13hLL mxe

    mx

    e

    xme ====

    ===

    !OKMPa235MPa4.212702.02.30

    10450AN

    RdSd

    Sd =

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    Problema 4 - Verifica a estabilidade do pilar representado na figura constitudo por um perfil HE

    300B (FE360). Considerar impedidos o bambeamento e a encurvadura na direco

    de maior inrcia.

    6.00 m

    200 kN

    35 kN

    x

    y

    Figura 12

    DADOS:

    ;cm1.149A 2= 4x cm25166I =

    ;cm1680W 3x = cm0.13ix =

    ;cm30hb == cm9.1e =

    RESOLUO:

    De acordo com o REAE, Art. 42.

    RdSd

    com ydRd f=

    Como o pilar est sujeito simultaneamente a esforos de compresso e flexo a verificao da

    segurana deve ser feita de acordo com o Art. 42.3 do R.E.A.E. e adoptando o critrio da norma

    Belga NBN B51001 (1997). Assim, a segurana do pilar passa pela verificao da estabilidade a dois

    nveis (elemento e seccional).

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    Verificao da estabilidade do pilar (com encurvadura) [Equao 11 do item 5.2]

    +

    +=

    8.1NN

    1v1

    Mc

    8.1NN

    1v1k

    Mc

    AN

    Ey

    Sd

    y

    mxy,Sdy

    xE

    Sd

    x

    mxx,SdxSd

    Sd

    Verificao da estabilidade em flexo composta para a seco mais desfavorvel [Equao 12 do item 5.2]

    y

    y,Sd

    x

    x,SdSdSd

    v1

    M

    v1

    MA

    N

    +

    +=

    Como neste exemplo 0M y,Sd = , as terceiras parcelas das expresses [11] e [12] so nulas.

    Anlise da encurvadura (Art. 42.3):

    m1262L2LLL eye

    xe =====

    direco nessa adeinstabilid h no porque calcula se no "" x . Assim,

    520.0;3.920.13

    1200iL

    x

    yey ===

    kNm210636Mmxx == kNm3155.1210M mxx,Sd ==

    kN2.35531200

    251661006.2L

    I E N 2

    42

    2e

    x2

    Ex === (com yee LL = )

    kN3005.1200NSd ==

    yx cc85.0c === ; como a estrutura classificada de ns mveis, o regulamento recomenda a adopo deste valor para este caso.

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    Anlise do bambeamento (Art. 43.):

    x

    y

    Figura 13

    Por estar impedido o bambeamento no plano de menor

    inrcia e porque no so de temer os efeitos deste tipo de

    instabilidade no outro plano, o regulamento recomenda k=I.

    Em resumo, as expresses [11] e [12] vo assumir os valores seguintes:

    =