Resistência dos Materiais

Construes I Edmundo Rodrigues

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3 - RESISTNCIA DOS MATERIAIS

3.1. TRAO E COMPRESSO PURA


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3.1.1. IntroduoElementos estruturais sujeitos a esforo normal sofrem deformaes de alongamento ou encurtamento uniforme, ficando submetidos a tenses de trao ou de compresso, respectivamente. Os elementos estruturais mais comumente sujeitos trao e compresso so os tirantes e os pilares, conforme pode ser observado na Figura 17.

3.1.2. ElasticidadeDevido a natureza descontnua da matria e a existncia de foras intermoleculares e interatmicas, os corpos apresentam a propriedade de se deformarem sob a ao de esforos e de retornarem a sua forma original, aps cessada a causa da deformao. Os corpos podem ser constitudos de materiais perfeitamente elsticos, parcialmente elsticos ou perfeitamente plsticos, conforme apresentem deformaes totalmente reversveis, parcialmente reversveis ou irreversveis. Os materiais estruturais, tais como: o concreto, o ao e a madeira, podem ser considerados como perfeitamente elsticos dentro de certos limites. Ao se aproximarem da ruptura apresentam comportamento parcialmente plstico, com o surgimento de deformaes no totalmente reversveis. Ao se projetar uma estrutura, deve-se dimension-la para que trabalhe dentro da fase elstica do material, de modo a no apresentar deformaes permanentes em nenhum dos seus elementos.

FIGURA 17: Prtico com Elementos Estruturais Sujeitos Compresso (Pilares) e Trao (Tirante).

3.1.3. Lei de Hooke


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A Lei de Hooke fornece, para uma barra prismtica, sujeita a esforo normal, a relao entre as grandezas mecnicas e geomtricas envolvidas no fenmeno da deformao. Considere a barra da Figura 18, em que: F = fora axial atuando na barra; l = comprimento inicial da barra; l = deformao longitudinal da barra; f = tenso na seo transversal da barra. Verifica-se experimentalmente que:l F.l S

O alongamento da barra tracionada (l) diretamente proporcional fora de trao (F), ao seu comprimento inicial (l) e inversamente proporcional rea da seo transversal (S). Ento, pode-se dizer que:l= F.l ............................................................................................Eq. 24 E.S

em que:

E = mdulo de elasticidade do material da barra.

O mdulo de elasticidade uma caracterstica mecnica do material. constante na fase elstica, para cada tipo de material. O mdulo de elasticidade caracteriza se o material mais ou menos deformvel.

FIGURA 18: Barra Sujeita a Esforo Normal, a Alongamento e a Tenso de Trao. Define-se tenso (f), como a distribuio do esforo normal (F) na rea (S) da seo transversal da barra.

Construes I Edmundo Rodriguesf = F ................................................................................................Eq. 25 S

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A unidade de tenso expressa em unidade de fora dividida por unidade de rea. O kgf/cm e tf/m so unidades de tenso muito usadas na indstria. No Sistema Internacional (S.I.) a unidade de tenso o Newton por m (N/m) que recebe o nome de Pascal (Pa). A tenso (f) pode ser de trao ou de compresso, conforme a fora (F) seja de trao ou de compresso, ocasionando, respectivamente, alongamento ou encurtamento. Por conveno, adota-se tenses de trao e alongamentos como positivos, sendo negativas as tenses de compresso e os encurtamentos. Define-se deformao relativa (), como:= l ...................................................................................................Eq. 26 l

A deformao relativa expressa o quanto a barra se deforma em relao a seu comprimento inicial, sendo um nmero admensional (sem unidade). A deformao relativa pode ser expressa em %, , m/m, mm/m, etc.. Substituindo-se as Equaes 25 e 26 em 24, a Lei de Hooke pode ser reescrita como: f = E . ...............................................................................................Eq. 27 A tenso de trao (f) diretamente proporcional deformao relativa (), tendo como coeficiente de proporcionalidade o mdulo de elasticidade (E) do material da barra. A unidade do mdulo de elasticidade igual unidade de tenso, como pode ser concludo da Equao 27. Traado o diagrama tenso x deformao relativa (f x ), o mdulo de elasticidade (E) pode ser calculado por meio da inclinao do diagrama (Eq. 28), conforme mostrado na Figura 19. E = tg ..............................................................................................Eq. 28

3.1.4. Diagramas de EnsaioEnsaiando-se um corpo de prova de madeira trao obtem-se um diagrama como o mostrado na Figura 20, em que: fel = tenso limite da fase elstica; el = alongamento relativo limite da fase elstica; fr = tenso de ruptura da madeira; r = alongamento relativo do corpo de prova no momento da ruptura; E = tg = mdulo de elasticidade da madeira.


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FIGURA 19: Diagrama Tenso x Deformao e o Mdulo de Elasticidade.

FIGURA 20: Diagrama Tenso de Trao x Deformao Relativa Para a Madeira. Como exemplo, pode-se citar a madeira de eucalipto, com 15% de umidade, que possui as seguintes caractersticas mecnicas (PFEIL,1977): fr = 640 kgf/cm fel = 344 kgf/cm

Construes I Edmundo Rodrigues E = 161800 kgf/cm

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Ensaiando-se um corpo de prova de ao trao obtem-se um diagrama como o apresentado na Figura 21, em que: fel = tenso limite da fase elstica; el = alongamento relativo limite da fase elstica; fy = tenso de escoamento do ao; y = alongamento relativo no incio do escoamento; fr = tenso de ruptura do ao r = alongamento relativo no incio da ruptura; E = tg = mdulo de elasticidade do ao.

FIGURA 21: Diagrama Tenso de Trao x Deformao para o Ao. Chamamos de escoamento ao fenmeno, apresentado por alguns metais, em que ocorre acrscimo de deformao sem haver acrscimo de tenso no corpo de prova. O trecho A-B, na Figura 21, chamado de patamar de escoamento. Como exemplo, o ao CA-50, utilizado em concreto armado, possui as seguintes caractersticas mecnicas (FUSCO, 1975):


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fr = 5500 kgf/cm fy = 5000 kgf/cm fel = 2500 kgf/cm E = 2100000 kgf/cm Tanto o ao quanto a madeira apresentam propriedades semelhantes, quando submetidos trao ou compresso. Existem outros materiais, no entanto, que mostram comportamento distinto quando submetidos a esforos de trao ou de compresso. O concreto, por exemplo, apresenta elevada resistncia compresso e baixa resistncia trao. Nos materiais que apresentam somente tenso de ruptura, esta considerada como limite de resistncia. Nos materiais que apresentam tenso de ruptura e de escoamento, a tenso de escoamento considerada como limite de resistncia. Tal fato deve-se as grandes deformaes que ocorrem quando o material sofre escoamento.

3.1.5. Coeficiente de Segurana e Tenso AdmissvelAo se dimensionar uma estrutura, no se pode permitir que o material dos elementos estruturais atinja a tenso de ruptura, considerando-se como tenso limite de trabalho, o valor de tenso denominado tenso admissvel do material, o qual deve ser inferior a tenso de ruptura. O coeficiente de segurana, que relaciona a tenso de ruptura com a tenso admissvel, considera fatores, como: a) possveis imprecises na determinao das cargas atuantes e das tenses de ruptura do material; b) impreciso dos modelos matemticos adotados; c) faixa de trabalho da estrutura dentro do regime elstico; d) condies scio-econmicas do povo, etc.. Define-se tenso admissvel pela expresso seguinte:fr f adm = n 1 fy f = adm n2

.......................................................................................................Eq. 29

Em que: fadm = tenso admissvel; fr = tenso de ruptura; n1, n2 = coeficientes de segurana. fy = tenso de escoamento;

3.1.6. Exerccios


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a) Determine o alongamento total de uma barra de ao de 2 m de comprimento, sendo a tenso de trao de 1050 kgf/cm e o mdulo de elasticidade do ao de 2100000 kgf/cm. b) Determine a fora de trao numa barra de ao, com 5cm de dimetro, quando submetida a um alongamento relativo de 0,7 mm/m, sendo o mdulo de elasticidade do ao de 2100000 kgf/cm. c) Uma barra de ao, de seo transversal A=10cm est sujeita ao das foras Q=15 tf e P=10 tf, conforme mostrado abaixo. Calcular o alongamento total da barra sabendo-se que Eao=2100000 kgf/cm.

d) Um arame de 30 m de comprimento, sujeito a uma fora de trao de 500 kgf alonga-se 3 cm. Determine o mdulo de elasticidade do arame, sendo sua seo transversal de 0,25 cm. e) Um corpo de prova de madeira, de peroba rosa, com seo transversal de 10 cm x 10 cm, com 50 cm de altura, foi submetido a um ensaio de compresso. Verificou-se um encurtamento de 0,25 cm quando o corpo de prova estava sujeito a uma fora de 50 tf. Qual o mdulo de elasticidade da madeira? f) Um tirante de madeira est sujeito a uma fora de trao de 20000 kgf. Qual deve ser sua seo transversal, sabendo-se que ser construdo com uma madeira que possui tenso de ruptura trao paralela s fibras de 600 kgf/cm? Use coeficiente de segurana 2. g) Um tirante de ao, de seo circular, est sujeito a uma fora de trao de 20000 kgf. Qual deve ser o seu dimetro, sabendo-se que a tenso de escoamento do ao trao de 2400 kgf/cm?

3.2. CIZALHAMENTO PURO 3.2.1. Relao Tenso x Deformao


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Elementos estruturais sujeitos unicamente a esforo cortante (Q) ficam submetidos a tenses de cizalhamento (), apresentando como deformao uma distoro (), conforme mostrado na Figura 22 (a). Define-se como tenso de cizalhamento () a distribuo do esforo cortante (Q) na rea (S) da seo transversal, conforme mostrado na Figura 22 (b).

=

Q ..................................................................................................Eq. 30 S

Se o material obedece a Lei de Hooke, verifica-se, experimentalmente, que a distoro () diretamente proporcional tenso de cizalhamento (), sendo o coeficiente de proporcionalidade o mdulo de elasticidade transversal (G). Ento:= .................................................................................................Eq. 31 G

Prova-se (TIMOSHENKO, 1977) que o mdulo de elasticidade transversal pode ser calculado pela Equao 32, em que : G = mdulo de elasticidade transversal; E = mdulo de elasticidade longitudinal; = coeficiente de Poisson.

G=

E .......................................................................................Eq. 32 2 (1 + )

FIGURA 22: Distoro e Cizalhamento (a), Cortante e Tenso de Cizalhamento (b).

3.2.2. Diagramas de EnsaioEnsaiando-se um corpo e prova de madeira ao cizalhamento, obtem-se um diagrama como o mostrado na Figura 23, em que:


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el = tenso de cizalhamento limite da fase elstica; el = distoro limite da fase elstica; r = tenso de ruptura ao cizalhamento; r = distoro quando da ruptura ao cizalhamento; G = tg = mdulo de elasticidade transversal. Como exemplo, pode-se citar a madeira de eucalipto, com 15% de umidade, que possui as seguintes caractersticas mecnicas (PFEIL, 1977): r = 166 kgf/cm2; G = 41200 kgf/cm2. importante notar que os valores de limite de resistncia ao cizalhamento (r) so bem inferiores aos de resistncia compresso e trao (fr), bem como o mdulo de elasticidade transversal (G), quando comparado com o longitudinal (E).

FIGURA 23: Diagrama Tenso de Cizalhamento x Distoro.

3.2.3. Tenso Admissvel ao CizalhamentoElementos estruturais sujeitos a cizalhamento devem ser dimensionados de forma tal, que a tenso atuante na seo transversal no ultrapasse a tenso admissvel ao cizalhamento, conforme mostrado na Equao 33.

Construes I Edmundo Rodrigues adm = r ..........................................................................................................Eq.33 n

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Em que: adm = tenso admissvel ao cizalhamento; r = tenso de cizalhamento de ruptura; n = coeficiente de segurana.

3.2.4. Exercciosa) Determinar o dimetro do parafuso da ligao representada abaixo, sendo P=5000 kgf e adm=420 kgf/cm2.

b) Achar o comprimento necessrio "2l" da ligao de duas barras retangulares de madeira, submetidas trao, sendo P=5000 kgf, adm=7 kgf/cm2 para cizalhamento paralelo s fibras e b=25 cm. Determine a altura necessria "mn",, sendo o limite de segurana para a tenso de compresso local, ao longo das fibras da madeira, igual a 56 kgf/cm2.

c) Achar o dimetro dos rebites abaixo, sendo adm=560 kgf/cm2 e P=4000 kgf.

3.3. FLEXOOs valores das tenses, numa seo transversal sujeita flexo, so caracterizados pelas grandezas do momento fletor (M) e do esforo cortante (Q) atuantes na seo. Tem-se flexo pura quando o elemento estrutural est sujeito somente a momento fletor. Quando sujeito a momento fletor e esforo cortante trata-se de flexo simples e quando sujeito a momento fletor, esforo cortante e esforo normal de flexo composta. Com boa


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aproximao, pode-se estudar separadamente, o efeito do momento fletor e do esforo cortante sobre o elemento estrutural que est sofrendo flexo.

3.3.1. Efeito do Momento FletorConsidere a deformao de uma viga sujeita flexo pura. As seguintes hipteses podem ser consideradas como verdadeiras: I) as sees transversais inicialmente planas, permanecem planas aps a deformao; II) as sees transversais permanecem normais ao eixo da viga. A experincia mostra que a teoria baseada nas hipteses anteriores fornece resultados bastante satisfatrios. A Figura 24 mostra um trecho de uma viga, antes (a) e aps (b) sofrer flexo.

FIGURA 24: Deformao de uma Viga Sujeita a Momento Fletor. Antes da Flexo (a) e Depois da Flexo (b). Com base nas hipteses citadas anteriormente, conclui-se que as sees "M-M" e "P-P" giram uma em relao a outra, de modo que as fibras longitudinais do lado convexo sofrem alongamentos e as do lado cncavo encurtamento. A linha "R-S", chamada Linha Neutra, o lugar geomtrico das fibras que no sofrem deformao. A variao das deformaes das fibras longitudinais, para a seo transversal "P-P", sujeita flexo pura, para a fase elstica, mostrada na Figura 25. Verifica-se, experimentalmente, que a variao da deformao das fibras longitudinais linear. Para um


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momento fletor positivo o encurtamento mximo ocorre para as fibras mais superiores e o alongamento mximo para as fibras mais inferiores. As fibras ao longo da Linha Neutra no sofrem nem alongamento nem encurtamento.

FIGURA 25: Deformao das Fibras Longitudinais em Viga Sujeita Flexo. Prova-se, (TIMOSHENKO, 1977) que as tenses nas fibras longitudinais (fx), a uma certa distncia da Linha Neutra (y), diretamente proporcional ao momento fletor (M) atuante na seo e inversamente proporcional ao momento de inrcia da seo transversal, em relao ao eixo z (Iz). Ou seja:

Construes I Edmundo Rodriguesfx = M. y ............................................................................................Eq. 34 Iz

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A variao das tenses nas fibras longitudinais, para a seo "M-M", sujeita flexo mostrada na Figura 26(a), espacialmente, e 26(b), para um plano vertical que contm a Linha Neutra. A tenso fx ser considerada positiva se for de trao e negativa se de compresso.

FIGURA 26: Distribuio de Tenses nas Fibras Longitudinais Devido Flexo. de particular interesse o clculo das tenses mximas, tanto de trao quanto de compresso, que ocorrem nas fibras mais afastadas das Linha Neutra (fxs e fxi), que distam dela, yi e ys, respectivamente. Ento:

Construes I Edmundo Rodriguesf xs = M. y s .......................Eq. 35 Iz

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e

f xi =

M. y i .....................Eq. 36 Iz

Chamando:Ws = Iz ..........................Eq. 37 ys

e

Wi =

Iz ........................Eq. 38 yi

Em que: Ws = mdulo de resistncia superior; Wi = mdulo de resistncia inferior. Substituindo 37 e 38 em 35 e 36, respectivamente, vem:f xs = M .........................Eq. 39 Ws

e

f xi =

M .........................Eq. 40 Wi

Convm observar que: a) para clculo de ys e yi deve-se conhecer a posio da Linha Neutra. Prova-se que, na flexo simples, a Linha Neutra passa pelo Centro de Gravidade da seo transversal; b) reveja em Mecnica Tcnica como calcular centros de gravidade, momentos de inrcia e momentos estticos.

3.3.2. Efeito do Esforo CortanteProva-se, (TIMOSHENKO,1977) que a variao da tenso de cizalhamento, numa seo transversal sujeita a momento fletor e esforo cortante dada pela expresso seguinte:x = Q s .........................................................................................Eq. 41 b. I z

Sendo: x = tenso de cizalhamento num determinado ponto da seo transversal; Q = esforo cortante na seo transversal; b = largura da seo no ponto onde se est calculando a tenso de cizalhamento; Iz = momento de inrcia da seo em relao ao eixo z que passa pelo centro de gravidade; s = momento esttico da rea hachuriada na Figura 27, em relao ao eixo z. A Figura 27 mostra a variao da tenso de cizalhamento ao longo da altura da viga, para uma seo transversal retangular.


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FIGURA 27: Variao da Tenso de Cizalhamento na Seo Transversal de uma Viga.

3.3.3. Critrios de DimensionamentoAs tenses mximas que atuam nos materiais no podem ultrapassar as tenses admissveis trao, compresso e ao cizalhamento. Para um momento positivo atuando numa determinada seo transversal, deve-se impor que: a) a tenso longitudinal nas fibras mais inferiores no deve ultrapassar tenso admissvel trao do material (fxi fadm trao); b) a tenso longitudinal nas fibras mais superiores no deve ultrapassar tenso admissvel compresso do material (fxs fadm compresso); c) a mxima tenso de cizalhamento no deve ultrapassar a tenso admissvel ao cizalhamento do material que constitui a viga (max adm).

3.3.4. Exercciosa) Uma viga bi-apoiada, com 5m de vo, de seo transversal constante, com 20cm de largura por 30cm de altura, suporta uma carga uniformemente distribuda, em todo vo, de 3tf/m. Responda o seguinte:


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I- Qual o traado dos diagramas de esforo cortante e de momento fletor? II- Em que sees transversais ocorrem os maiores valores das tenses de cizalhamento e de flexo? III- Nestas sees, calcule os valores das tenses mximas devido ao cizalhamento e flexo. b) Considere a viga abaixo, de seo transversal constante, de 20cm de largura por 50cm de altura.

I- Trace seus diagramas de esforo cortante e de momento fletor. II- Para a seo S1 e S2, calcule: fA = ? fB = ? fC = ? fD = ? A = ? B = ? C = ? D = ? c) Considere a viga do problema (b), com a seo transversal dada abaixo.

I- Calcule para a seo S1 a tenso de cizalhamento no ponto A; II- Calcule para a seo S2 as tenses devido flexo nos pontos A, B e C. d) Idem problema (c), com a seo transversal dada abaixo.


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e) Uma viga de madeira de seo transversal quadrada, com 3m de vo, suporta uma carga uniformemente distribuda de 2tf/m. Qual deve ser as dimenses da seo transversal da viga, sabendo-se que a tenso admissvel da madeira trao e compresso de 300kgf/cm2? f) Resolva o problema (e) para uma seo transversal retangular. g) Resolva o problema (e) para uma seo transversal circular. h) Em relao aos problemas (e), (f) e (g) qual soluo a mais econmica?

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