Resistencia dos materiais Apostila 2007

PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Resistncia dos

Materiais I

Notas de Aula

Profa. Maria Regina Costa Leggerini

Resistncia dos Materiais I CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini

2

CAPTULO I

INTRODUO RESISTNCIA DOS MATERIAIS

I. OBJETIVO FUNDAMENTAL

A Resistncia dos Materiais se preocupa fundamentalmente com o comportamento das diversas partes de um corpo quando sob a ao de solicitaes.

Ao estudar-se o equilbrio interno de um corpo, as solicitaes internas fundamentais (M, Q, N e Mt) so determinadas. Se est penetrando no interior da estrutura, para analisar-se, em suas diversas sees, a existncia e a grandeza dos esforos que a solicitam.

A avaliao destes esforos foi objeto de estudo na disciplina de Estruturas Isostticas que deve preceder a Resistncia dos Materiais.

Consideram-se corpos reais, istropos e contnuos constitudos de pequenas partculas ligadas entre si por foras de atrao. Com a aplicao de esforos externos supe-se que as partculas destes corpos se desloquem e que isto prossiga at que se atinja uma situao de equilbrio entre os esforos externos aplicados e os esforos internos resistentes. Este equilbrio se verifica nos diversos pontos do corpo citado e se manifesta sob a forma de deformaes (mudana da forma original), dando origem tenses internas.

Observe-se que o equilbrio se d na configurao deformada do corpo, que admitiremos como igual configurao inicial, pois em estruturas estaremos sempre no campo das pequenas deformaes.

Resumindo, em um corpo que suporta cargas ocorre:

1. Um fenmeno geomtrico que a mudana da sua forma original: Isto deformao.

2. Um fenmeno mecnico que a difuso dos esforos para as diversas partes do corpo: Isto tenso.

claro que se entende que a capacidade que um material tem de resistir as solicitaes que lhe so impostas limitada, pois pode ocorrer a ruptura do corpo quando o carregamento for excessivo. necessrio conhecer esta capacidade para que se projete com segurana.

Pode-se resumir um problema de Resistncia dos Materiais conforme fluxograma abaixo:

Estrutura

Cargas Externas Reativas

Cargas Externas Ativas

Solicitaes

Tenses

Deformae

Limite Resistente do Material

Critrio de Resistncia (Coeficiente de Segurana)

PROJETO

VERIFICAO


3

II. TENSES

Conforme se citou, as tenses que se desenvolvem nas partculas de um corpo so consequncia dos esforos (fora ou momento) desenvolvidos. Como os esforos so elementos vetoriais (mdulo, direo e sentido) a tenso como consequncia tambm o ser.

Lembra-se do mtodo das sees visto em Isosttica:

Supe-se um corpo carregado e em equilbrio esttico. Ao se cortar este corpo por um plano qualquer e isolando-se uma das partes, pode-se dizer que na seo cortada devem se desenvolver esforos que se equivalham aos esforos da parte retirada, para que assim o sistema permanea em equilbrio. Estes esforos so decompostos e se constituem nas solicitaes internas fundamentais. O isolamento de qualquer uma das partes deve levar ao mesmo resultado.

As resultantes nas sees de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situao original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princpio da ao e reao devem ser de mesmo mdulo, mesma direo e sentidos opostos. r rR e M so as resultantes das solicitaes internas referidas ao centro de gravidade da seo de corte da barra.

Partindo-se deste raciocnio pode-se afirmar que em cada elemento de rea que constitui a seo cortada, est sendo desenvolvido um elemento de fora, cujo somatrio (integral) ao longo da rea mantm o equilbrio do corpo isolado.

=A

dA.Rr


4

O Momento M resultante se deve translao das diversas foras para o centro de gravidade da seo.

A tenso mdia (rm) desenvolvida no elemento de rea citado nada mais do que a

distribuio do efeito da fora pela rea de atuao da mesma.

Sejam:

A Elemento genrico de rea

rF Elemento de fora que atua em

rm tenso mdia

rr

m FA

=

Como a tenso um elemento vetorial se pode represent-la aplicada em um ponto determinado, que obtem-se fazendo o elemento de rea tender ao ponto (A0), e ento: r = Tenso atuante em um ponto ou tenso resultante em um ponto

ou grficamente:

Ainda por ser um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espao segundo trs direes ortogonais que se queira, portanto escolhe-se como referncia duas direes contidas pelo plano da seo de referncia "S" (x,y) e a terceira perpendicular este plano (n).

F

dA

Fd =

A

F lim0A

rrr

=


5

Isto permite dividir as componentes da tenso do ponto em duas categorias:

1. Tenses Tangenciais ou de Cisalhamento () - contidas pela seo de referncia

2. Tenso Normal () - perpendicular seo de referncia

Costuma-se em Resistncia dos Materiais diferenciar estas duas tenses pelos efeitos diferentes que elas produzem (deformaes) e se pode adiantar que normalmente trabalham-se com estas componentes ao invs da resultante.

Tambm se pode convencionar como seo de referncia a seo transversal da pea em estudo. Cabe observar-se entretanto que mudada a referncia mudam tambm as componentes.

S S'

'

y'

x'

y

x

Existem casos em que a seo transversal no a de maior interesse, como ser demonstrado oportunamente nas solicitaes compostas. Nestes casos o procedimento ser alterado.

A. TENSES NORMAIS ()

A tenso normal tem a direo perpendicular seo de referncia e o seu efeito o de provocar alongamento ou encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendo-as paralelas.

z

x

y

y x


6

Costuma-se medir a deformao de peas sujeitas a tenso normal pela deformao especfica longitudinal ().

1. Conceito:

a relao que existe entre a deformao medida em um corpo e o seu comprimento inicial, sendo as medidas feitas na direo da tenso.

li comprimento inicial da barra

lf comprimento final da barra

l deformao total l = l f - l i

il

l=

Observe que no exemplo dado l > 0 portanto > 0 (alongamento) Pode-se mostrar um outro exemplo onde l < 0 conseqentemente < 0 (encurtamento)

Neste exemplo l 0 portanto 0

2. Sinal:

li

lf

li

lf


7

(+) alongamento Corresponde uma tenso de trao que tambm ser positiva

(-) encurtamento Corresponde uma tenso de compresso que tambm ser negativa

3. Unidade:

- adimensional quando tomarmos para l a mesma unidade que para li

-Taxa milesimal (o/oo) - Nestes casos medimos l em mm e li em m(metros).

B. TENSES TANGENCIAIS ( ) a tenso desenvolvida no plano da seo de referncia tendo o efeito de provocar corte ou cisalhamento nesta seo.

1. Lei da Reciprocidade das tenses tangenciais

Esta lei representa uma propriedade especial das tenses tangenciais. Pode-se provar a sua existncia a partir das equaes de equilbrio esttico. Pode-se enunci-la de forma simples e aplic-la.

Suponha duas sees perpendiculares entre si formando um diedro retangulo. Se em uma das faces deste diedro existir uma tenso tangencial normal a aresta de perpendicularidade das faces, ento, obrigatriamente na outra face, existir a mesma tenso tangencial normal a aresta. Ambas tero o mesmo mdulo e ambas se aproximam ou se afastam da aresta de perpendicularidade. So chamadas de tenses recprocas."

Para facilitar a compreenso, pode-se representa-la grficamente:

A figura (c) demonstra o desenvolvimento das tenses de cisalhamento longitudinais, recprocas s tenses de cisalhamento desenvolvidas pelo esforo cortante.

(c)


8

2. Distoro Especfica ( ) Medida de deformao de corpos submetidos a tenses tangenciais.

Supe-se um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tenses tangenciais em suas faces. Para melhor ser visualisar a deformao considera-se fixa a face compreendida pelas arestas A e B.

DB

'DD

CA

CC' = tg =

Como em estruturas trabalha-se sempre no campo das pequenas deformaes e ento


9

Pode-se diferenciar os tipos de deformaes observando um ensaio simples, de uma mola presa a uma superfcie fixa e submetida sucessivamente a cargas cada vez maiores at a sua ruptura.

A. DEFORMAES ELSTICAS

Uma deformao elstica quando cessado o efeito do carregamento o corpo volta a sua forma original.

Exemplo:

No exemplo acima, se medidas numricamente as grandezas vamos ver que:

kd

P= .....

d

P

d

P

n

n

2

2

1

1=== (constante elstica da mola)

Conclui-se que as duas propriedades que caracterizam uma deformao elstica so:

1. Deformaes reversveis

2. Proporcionalidade entre carga e deformao.

B. DEFORMAES PLSTICAS:

Se fosse aumentada a carga sobre esta mola ela chegaria a uma situao em que terminaria a proporcionalidade e apesar da tendncia do corpo em assumir sua forma original, sempre restariam as chamadas deformaes residuais.

Considera-se ento terminado o regime elstico e o corpo passa a atuar em regime plstico.

Note-se que no regime plstico termina a proporcionalidade e a reversibilidade das deformaes.

Se fosse aumentada ainda mais a carga, o prximo limite seria a ruptura.


10

IV. CORPO DE DOUTRINA DA RESISTNCIA DOS MATERIAIS

Em Resistncia dos Materiais trabalha-se com corpos que apresentam determinadas caractersticas:

A. CONTINUIDADE:

Um corpo considerado contnuo quando qualquer de suas amostras trabalha de maneira idntica as demais. No havendo descontinuidade, as tenses e as deformaes no variam bruscamente entre dois pontos vizinhos no interior deste corpo carregado.

Nestes casos tanto as tenses como as deformaes podem ser expressas por funes contnuas em relao as ordenadas dos pontos que constituem o corpo.

Observe-se que a continuidade no implica em homogeneidade pois podemos ter corpos com material no homogneo e no entanto eles trabalham de maneira contnua (exemplo : concreto).

B. HIPTESE DE BERNOULLI (SEES PLANAS)

Bernoulli observou a seguinte caracterstica no funcionamento dos corpos sujeitos solicitaes:

"Uma seo plana e perpendicular ao eixo longitudinal de uma pea, continuar plana e perpendicular ao eixo da mesma durante e aps sua deformao.

C. PRINCPIO DA SUPERPOSIO DE EFEITOS

O efeito produzido por um conjunto de cargas atuando simultaneamente em um corpo igual a soma dos efeitos produzidos por cada uma das cargas atuando isolada.

Este princpio pode ser generalizado, mas s vlido quando causa e efeito forem diretamente proporcionais o que se aplica a grande maioria dos casos em Resistncia dos Materiais. Somente em casos de peas submetidas a flambagem (desequilbrio elasto-geomtrico do sistema) ou no Trabalho de Deformao este princpio no ser vlido devido a inexistncia de proporcionalidade entre causa e efeito, o que ser oportunamente demonstrado.

Observe-se que este princpio j foi utilizado em outras disciplinas, como por exemplo, no clculo das reaes de apoio em uma estrutura isosttica.

Eixo longitudinal

Linha Elstica


11

V. LEI DE HOOKE

A maioria dos projetos de peas sero tratados no regime elstico do material, sendo os casos mais sofisticados trabalhados em regime plstico e se constituindo no que h de mais moderno e ainda em estudo no campo da Resistncia dos Materiais.

Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que a base de funcionamento dos corpos em regime elstico.

As tenses desenvolvidas e suas deformaes especficas consequentes so proporcionais enquanto no se ultrapassa o limite elstico do material.

A Lei de Hooke pode ser representada pelas expresses analticas:

al)longitudin deelasticida de .(modE=

al) transversdeelasticida de.mod(G=

Estes mdulos de elasticidade so constantes elsticas de um material, e so determinados experimentalmente.

VI. LEI DE POISSON ( DEFORMAO ESPECFICA TRANSVERSAL)

notao : t

Poisson determinou experimentalmente a deformao que as peas sofrem nas direes perpendiculares a da aplicao da tenso normal.

= +

li

lf

D

D+D


12

A. CONCEITO:

Deformao especfica transversal a relao entre a deformao apresentada e o seu comprimento respectivo, ambos medidos em direo perpendicular da tenso.

D

Dt

=

Os estudos de Poisson sobre a deformao transversal levam as seguintes concluses:

1. e t tem sempre sinais contrrios

2. As deformaes especficas longitudinais e transversais so proporcionais em um mesmo material

=

t

O coeficiente de Poisson a terceira constante elstica de um material, tambm determinada experimentalmente.

3. Em uma mesma seo a deformao especfica transversal constante para qualquer direo perpendicular ao eixo.

tetanconsb

b

a

at ==

=

As constantes elsticas de um mesmo material se relacionam pela expresso:

)1(2

EG

+=

li

lf

a

a+a

b+b b


13

Resumindo:

VII. LEI DE HOOKE GENERALIZADA

Hooke enunciou a sua lei tomando como exemplo corpos submetidos a tenso em uma s direo. Na prtica os corpos podem estar sujeitos a tenso em todas as direes, o que pode ser simplificado reduzindo-as a trs direes ortogonais tomadas como referncia.

A figura a seguir mostra um prisma elementar submetido a tenses normais com resultante nas trs direes tomadas como referncia no espao : x, y, e z.

Poisson observou que uma tenso provoca deformao em sua direo e em direes perpendiculares a sua tambm.

Poisson:

E

E

E

xz

xy

xx

=

=

=

= Coeficiente de Poisson

x

y

z

x x

y

y

z

z


14

E- t

t ==

Hooke:

E-=

E t=

O efeito da tenso x seria:

na direo x : Ex

x

=

na direo y : Ex

yt=

na direo z: Ex

zt=

Pode-se fazer este raciocnio com as demais tenses.

Para determinao da deformao resultante em uma direo, por exemplo x:

efeito de x Ex

x

=

efeito de y Ey

xt

=

efeito de z Ez

xt=

Adotando-se o princpio da superposio de efeitos teramos:

+

+=EEEzyx

x

Esta expresso simplificada algbricamente fica:

( )[ ]zyxx E1

+=

anlogamente

( )[ ]zxyy E1

+= e ( )[ ]yxzz E1

+=

Estas expresses se constituem na LEI DE HOOKE GENERALIZADA


15

Observaes:

1. Tenso em uma s direo no implica em deformao em uma s direo.

2. Para a deduo das expresses anteriores as tenses normais foram representadas de trao e portanto positivas. Se alguma delas for de compresso dever figurar nas frmulas com o sinal negativo convencionado.

3. Resultados positivos para a deformao especfica indicam alongamentos enquanto que resultados negativos significaro encurtamentos.

VIII . PROPRIEDADES MECNICAS DOS MATERIAIS

Para serem determinadas as caractersticas mecnicas dos materiais so realizados em laboratrio ensaios com amostras do material, que so chamadas de corpos de prova.

No Brasil estes ensaios so realizados empregando-se mtodos padronizados e regulamentados pela ABNT.

O ensaio mais costumeiro o de trao simples, onde determinam-se as TENSES LIMITES dos diversos materiais, que indica a tenso mxima alcanada pelo material, em laboratrio, sem que se inicie o seu processo de ruptura.

Com a realizao destes ensaios pode-se classificar os materiais em dois grupos:

frageis materiais

dteis materiais

A. MATERIAIS DTEIS :

So considerados materiais dteis aqueles que sofrem grandes deformaes antes da ruptura. Dentre os materiais dteis ainda temos duas categorias:

1. Dtil com escoamento real:

exemplo: ao comum

Num ensaio de trao axial simples costuma-se demonstrar os resultados atravz de um diagrama tenso x deformao especfica ( x ).

No caso de material dtil com escoamento real a forma deste diagrama segue o seguinte modelo:


16

reta OA - Indica a proporcionalidade entre x , portanto o perodo em que o material trabalha em regime elstico (lei de Hooke). Deformaes reversveis.

p - Tenso de proporcionalidade

Representa o limite do regime elstico.

curva AB - A curvatura indica o fim da proporcionalidade, caracterizando o regime plstico do material. Podemos notar que as deformaes crescem mais rapidamente do que as tenses e cessado o ensaio j aparecem as deformaes residuais, que graficamente podemos calcular traando pelo ponto de interesse uma reta paralela do regime elstico. Notamos que neste trecho as deformaes residuais so ainda pequenas mas irreversveis.

e - Tenso de escoamento

Quando atingida a tenso de escoamento o material se desorganiza internamente (a nvel molecular) e sem que se aumente a tenso ao qual ele submetido, aumenta grandemente a deformao que ele apresenta.

trecho BC - Chamado de patamar de escoamento. Durante este perodo comeam a aparecer falhas no material (estrices), ficando o mesmo invalidado para a funo resistente.

curva CD - Aps uma reorganizao interna o material continua a resistir a tenso em regime plstico, porm agora com grandes e visveis deformaes residuais. As estrices so agora perceptveis ntidamente. No se admitem estruturas com esta ordem de grandeza para as deformaes residuais.

R - Tenso de ruptura

Conforme se pode analisar no ensaio acima, o material pode ser aproveitado at o escoamento, portanto sua TENSO LIMITE ser a TENSO DE ESCOAMENTO.

2. Dtil com escoamento convencional

Exemplo: aos duros

Se comporta de maneira semelhante ao anterior, mas no apresenta patamar de escoamento. Como em estruturas no se admitem grandes deformaes residuais se convenciona este limite, ficando a tenso correspondente convencionada como TENSO DE ESCOAMENTO, que tambm a TENSO LIMITE do material.


17

OBSERVAES:

Os materiais dteis de uma maneira geral so classificados como aqueles que apresentam grandes deformaes antes da ruptura, podendo tambm ser utilizados em regime plstico com pequenas deformaes residuais.

Apresentam uma propriedade importantssima que resistirem igualmente a trao e a compresso. Isto quer dizer que o escoamento serve como limite de trao e de compresso.

B. MATERIAIS FRGEIS

Exemplo : concreto

So materiais que se caracterizam por pequenas deformaes anteriores a ruptura. O diagrama x quase linear sendo quase global a aplicao da lei de Hooke.

Nestes casos a tenso limite a tenso de ruptura.

Ao contrrio dos materiais dteis, eles resistem diferentemente a trao e a compresso, sendo necessrio ambos os ensaios e obtendo-se assim dois limites:

T = Limite de ruptura a trao

C = Limite ruptura a compresso

Em geral estes materiais resistem melhor a compresso do que a trao.

IX. CRITRIO DE RESISTNCIA - COEFICIENTE DE SEGURANA

Em termos gerais um projeto est sempre ligado ao binmio economia x segurana. Deve-se aotar um ndice que otimize este binmio.


18

Pode-se dizer tambm que mesmo sendo determinada em laboratrio a utilizao da tenso limite em projetos arriscada, pois os valores so trabalhados com diversos fatres de incerteza.

Em vista do que foi exposto adota-se o seguinte critrio:

A tenso limite reduzida divindo-a por um nmero que se chama coeficiente de segurana (s). Para que este nmero reduza o mdulo da tenso limite, ele deve ser maior do que a unidade. Ento, para que haja segurana:

1 s As tenses assim reduzidas, que so as que realmente se pode utilizar. So chamadas de tenses admissveis ou tenses de projeto. Para serem diferenciadas das tenses limites so assinaladas com uma barra ( ).

slim

adm

=

Resumindo analticamente o critrio de segurana conforme abaixo, para os diversos casos:

MATERIAIS DTEIS MATERIAIS FRGEIS

ee

mxt s=

= (tenso de escoamento

admissvel)

TT

mxt s=

= (tenso de trao admissvel)

ee

mxc s=

= (tenso de escoamento

admIssvel)

cc

mxc s=

= (tenso de compresso

admissvel)


19

EXERCCIOS PROPOSTOS:

1. Uma barra de lato de seo circular de diametro 3 cm est tracionada com uma fora axial de 50 kN. Determinar a diminuio de seu diametro. So dados do material o

mdulo de elastcidade logitudinal de 1,08 . 104 kN/cm2 e o seu coeficiente de Poisson 0,3.

R: 5,89 . 10-4 cm

2. Uma barra de ao de 25 cm de comprimento e seo quadrada de lado 5 cm suporta uma

fora axial de trao de 200 kN. Sendo E = 2,4 . 104 kN/cm2 e = 0,3 , qual a variao unitria do seu volume ?

R: 0,000133

3. Suponha a barra do problema anterior sumetida uma fora axial de trao. Experimentalmente determinou-se o mdulo de sua deformao especfica longitudinal 0,001. Sabendo-se que o seu coeficiente de Poisson de 0,33, pergunta-se qual o volume final desta barra?

R: 625,212 cm3

4. Uma barra de alumnio de seo circular de diametro 30 mm est sujeita uma fora de trao de 50 kN. Determine:

a. Tenso normal.

b. Deformao especfica longitudinal.

c. Alongamento em uma distncia padro de 200 mm.

d. Variao do dimetro.

e. Variao da rea da seo.

f. Variao de volume em um comprimento padro de 200 mm.

Admite-se E = 0,8 . 106 kgf/cm2 = 0,25 5. A placa da figura submetida a tenses normais de compresso na direo z de mdulo

10 kN/cm2 . Sabe-se que a deformao impedida na direo x devido presena de elementos fixos A e B. Pede-se :

a. Deformao especfica na direo y

b. Deformao total na direo y

Dados do material : E = 105 kN/cm2 = 0.86


20

R: (a) 1,59 . 10-4

(b) 0,000636 cm

6. A figura abaixo mostra um prisma submetido fora P =30 kN e Q = 32 kN. As peas A e B so fixas. Pede-se a deformao especfica longitudinal na direo y e a deformao total na direo z.

E = 103 kN/cm2 = 0,2

x

z y

z

10 cm

z

x

z

y

6 cm

2 cm

z

z

z z

A B


21

R: y = - 4,08 . 10-3

lz = 5,64 . 10-3 cm

x

z

y

Q

Q

P

P

4 cm

z

x 4 cm

z 2 cm

P

P

x

Q

Q

A

A

B

B


22

7. Considere um ensaio cuidadosamente conduzido no qual uma barra de alumnio de 50 mm de dimetro solicitada em uma mquina de ensaio. Em certo instante a fora aplicada de 100 kN e o alongamento medido na direo do eixo da barra 0,219 mm em uma distancia padro de 300 mm. O dimetro sofreu uma diminuio de 0,0125 mm. Calcule o coeficiente de Poisson do material e o seu mdulo de elasticidade longitudinal.

R: = 0,33 E =0,7 . 104 kN/cm2


23

CAPTULO II

TRAO OU COMPRESSO AXIAL (SIMPLES)

I. CONCEITO:

Quando um corpo que est sob ao de foras externas, na direo do seu eixo longitudinal, origina-se Esforos Normal no seu interior, mesmo sendo de equilbrio a situao.

Assim como todo o corpo est em equilbrio, qualquer parte sua tambm estar.

Adotando-se o mtodo nas sees, e seccionando o corpo, na seo de corte de rea A, deve aparecer uma fora equivalente ao esforo normal N, capaz de manter o equilbrio das partes do corpo isoladas pelo corte (fig b e c). Observe que se as partes isoladas forem novamente unidas, voltamos a situao precedente ao corte.

Neste caso, apenas a solicitao de esforo normal N, atuando no centro de gravidade da seo de corte necessria para manter o equilbrio.

Na prtica, vistas isomtricas do corpo so raramente empregadas, sendo a visualizao simplificada por vistas laterais.


24

FV = 0 N - P = 0

Admite-se que este esforo normal se distribui uniformemente na rea em que atua (A), ficando a tenso definida pela expresso:

sendo:

N Esforo Normal desenvolvido

A rea da seo transversal

A trao ou Compresso axial simples pode ser observada, por exemplo, em tirantes, pilares e trelias.

A conveno adotada para o esforo normal (N)

N = P

A

N =

P

P

P

P

N

N

P

P

+ trao Normal N - compresso


25

Nas tenses normais, adota-se a mesma conveno.

As deformaes desenvolvidas podem ser calculadas diretamente pela lei de Hooke:

= l

l

E

=

N = P A

N =

E =

l

l

EA

N =

l

l ou :

E.A

N.l = l

II. VALIDADE DA DISTRIBUIO UNIFORME

Ao adotar-se as equaes acima, deve-se ter em mente que o comportamento do material idealizado, pois todas as partculas do corpo so consideradas com contribuio igual para o equilbrio da fora N.

Pode-se calcular a resultante de fora N aplicada no centride da seo forem somadas todas as resultantes de fora que atuam em todos os elementos de rea que constituem a seo transversal.

=A

dA.N

No caso de adotar-se a distribuio uniforne, em todos os elementos de rea atua a mesma tenso. Decorre da que:

Nos materiais reais esta premissa no se verifica exatamente. Por exemplo, os metais consistem em grande nmero de gros e as madeiras so fibrosas.

N A= .

P P

l

l + l


26

Sendo assim, algumas partculas contribuiro mais para a resistncia de que outras, e o diagrama verdadeiro de distribuio de tenses varia em cada caso particular e bastante irregular.

Os mtodos de obteno desta distribuio exata de tenses so tratados na teoria matemtica da elasticidade e mesmo assim apenas casos simples podem ser resolvidos.

Neste caso observa-se que quanto mais perto da carga aplicada estiver a seo em estudo, maior ser o pico de tenses normais.

Em termos prticos porm, os clculos pela equao da tenso uniforme so considerados corretos.

Dois fatores de concentrao de tenses, onde a distribuio uniforme no vlida, so mostrados abaixo, e representam peas com variaes bruscas de seo.

Deve-se ter um cuidado adicional para com as peas comprimidas, pois peas esbeltas devem ser verificadas a flambagem.

A flambagem representa uma situao de desequilbrio elasto-geomtrico do sistema e pode provocar o colapso sem que se atinja o esmagamento.


27

III. TRELIAS

Trelia ideal um sistema reticulado, indeformvel, cujas barras tem todas as extremidades rotuladas e cujas cargas esto aplicadas nestas rtulas. Pelo fato das rtulas no transmitirem momento e devido ausncia de cargas nas barras podemos dizer que as barras de uma trelia esto sujeitas apenas a esforos normais que devem ser calculados.

Trelia uma opo estrutural em casos de grandes vos ou grandes carregamentos em que estruturas tradicionais seriam muito pesadas e dispendiosas. Como as trelias so constitudas de barras delgadas o peso prprio destas barras desprezado.

Exemplo: Observaes:

1. Qualquer polgono que constitua um sistema reticulado, quando articulado em seus vrtices deformvel (hiposttico) com exceo dos casos abaixo:

2. As trelias surgiram como um sistema mais econmico que as vigas para vencerem vos maiores ou suportar cargas maiores.

3. Embora o caso mais geral seja o de trelias espaciais, o mais frequente o de trelias planas, que ser o estudado em nosso curso.

4. Imaginamos as barras rotuladas em suas extremidades (isto , sendo livre sua rotao relativa nos ns), conforme figura a. No frequente, no entanto, a unio destas barras nesta forma, sendo mais comum ligar as barras nos ns atravz de chapas auxiliares, nas quais rebitamos, soldamos ou parafusamos as barras neles concorrentes (fig. b).

P P P

P

A

B D F

C E G H

P P


28

Estas ligaes criaro sempre pequenas restries livre rotao relativa das barras nos ns, com o aparecimento de pequenos momentos nas barras.

Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no mesmo plano e que estes eixos se encontrem em um nico ponto em cada n, os resultados reais diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria que vamos desenvolver, sendo ela vlida do ponto de vista prtico.

A. TRELIAS PLANAS

Pode-se facilmente demonstrar que as barras de uma trelia por terem suas extremidades rotuladas (rtulas no absorvem momento), e por terem as cargas aplicadas apenas nos ns, desenvolvem apenas esforos normais constantes ao longo de suas barras.

Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma trelia.

Sabe-se que uma rtula no transmite momento, e apenas esforos na direo do eixo da barra. Por outro lado, as cargas externas s esto aplicadas nos ns.

A anlise do equilbrio nos mostra que nas extremidades das barras de uma trelia s existem esforos na direo do eixo longitudinal da mesma e que so de mesmo mdulo, porm sentidos contrrios. A existncia de esforos perpendiculares ao eixo da barra (esforo cortante) descartada pois as barras no so carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas extremidades momentos nulos.

Concluso: A nica solicitao interna desenvolvida um Esforo Normal constante ao longo da mesma.

Como o esforo normal constante ao longo da barra pode-se calcular o seu valor em uma seo qualquer da barra que se deseja.

Lembrando a conveno adotada considera-se positivo os esforos de trao e negativos os esforos de compresso.

(a) (b)

P

P


29


30

B. CLASSIFICAO QUANTO A SUA ESTATICIDADE

Pode-se classificar uma trelia quanto a sua estaticidade de maneira muito simples.

Sejam:

b - nmero de barras

n - nmero de ns ou rtulas

r - nmero de reaes externas

As incognitas do problema sero em nmero de (b + r), representando o nmero de reaes (r) e a solicitao de esforo normal em cada barra (b).

O nmero de equaes ser de 2n, pois em cada n se aplicam duas equaes de equilbrio de um ponto material ( Fx = 0 Fy = 0 ).

Ento:

r + b 2 n Trelia hiposttica.

r + b = 2 n Sugere tratar- se de uma trelia isosttica, o que no pode ser confirmado sem antes analisarmos os apoios externos e a lei de formao interna da trelia em questo.

r + b > 2 n Sugere tratar- se de uma trelia hiperesttica, sendo vlidas as observaes feitas no caso anterior.

C. CLASSIFICAO QUANTO LEI DE FORMAO

Quanto a formao as trelias podem ser :

1. Simples :

A trelia ser simples se puder ser obtida a partir de configuraes indeformveis pela adio de duas a duas barras partindo ns j existentes para novos ns (um novo n para cada duas novas barras).

Exemplo:

2. Composta

A trelia isosttica composta quando for formada por duas trelias simples ligadas por 3 barras no simultaneamente concorrentes ou paralelas, ou por um n e uma barra sendo que esta barra no concorre no n citado.

A resoluo de uma trelia composta pode recair no caso de duas trelias simples, mediante o clculo prvio dos esforos nos elementos de ligao, o que permitir isol-las para fins de clculo esttico.


31

Exemplo:

3. Complexa:

Uma trelia complexa classificada por excluso, ou seja, quando no simples e nem composta. Observe que no se pode afirmar se ela isosttica pela simples anlise (b+r = 2 n) dos nmeros de barras e ns, que uma condio necessria mas no suficiente para garantir a isostaticidade.

Exemplo:

D. MTODO DE RESOLUO DE TRELIAS ISOSTTICAS SIMPLES

MTODO DOS NS

o mtodo natural de resoluo que consiste em se estudar o equilbrio de cada n isolado.

Devemos INICIAR E PROSSEGUIR pelos ns que possuam apenas duas incgnitas determinar (esforo normal de 2 barras). Aplicamos as equaes de equilbrio esttico:

Fx = 0 Fy = 0

Note-se que se o n tiver mais de duas barras serem determinadas (2 incgnitas) 2 equaes no bastam para a soluo do sistema.

1 - Clculo das reaes externas (se necessrio)

2 - Escolha do 1 n ser examinado

3 - Aplicao das equaes de equilbrio no n escolhido

4 - Resolvido o primeiro n, passamos ao segundo sempre com o cuidado de verificar se ela tem apenas duas incgnitas (2 barras serem determinadas)


32

OBS: Este mtodo apresenta o problema de acumular os erros de clculos que por acaso forem cometidos.

Exemplo 1:

R: VA = - 40 kN HA = 20 kN ( ) VB = 60 kN

NAB = 0 NAC = + 20 kN

NAD = + 28,28 kN NBD = - 60 kN

NCD = - 20 kN NCE = 0

NCF = + 28,28 KN NEF = - 20 kN

NDF = - 40 kN

IV. PESO PRPRIO DAS PEAS

O peso prprio das peas constitui-se em uma das cargas externas ativas que devem ser resistidas. Pode-se observar como se d a ao do peso prprio:

Peas de eixo horizontal

pp

20 kN 20 kN

3 m

3 m

3 m

A B

C D

E F

Peas de eixo vertical

G


33

Nota-se que nas peas horizontais o peso prprio constitui-se em uma carga transversal ao eixo, desenvolvendo Momento Fletor e Esforo Cortante.

No caso das peas verticais o peso prprio (G), atua na direo do eixo longitudinal da pea e provoca Esforo Normal, que pode ter um efeito diferenciado dependendo da sua vinculao:

Nas peas suspensas (tirantes) o efeito do peso de trao e nas apoiadas (pilares) este efeito de compresso.

O peso prprio de uma pea (G) pode ser calculado, multiplicando-se o volume da mesma pelo peso especfico do material:

l..AG = Sendo: A - rea da seo transversal da pea l - comprimento peso especfico do material Na trao ou compresso axial a no considerao do peso prprio o caso mais simples.

A no considerao do peso prprio se d em peas construdas em materiais de elevada resistncia, quando a mesma capaz de resistir a grandes esforos externos com pequenas dimenses de seo transversal, ficando portanto o seu peso prprio um valor desprezvel em presena da carga externa. Nestes casos comum desprezar-se o peso prprio da pea. Exemplo: Trelias e tirantes.

A. ESFOROS, TENSES E DEFORMAES

Considere uma barra sujeita a uma carga externa P e ao seu prprio peso, conforme figura abaixo:

Sejam: A - rea de seo transversal da pea - peso especfico do material l - comprimento da pea P - carga externa atuante na pea

Pode ser feita a determinao de uma expresso genrica para o clculo das tenses normais desenvolvidas ao longo da barra e a deformao total consequente.

Usando o mtodo das sees a barra cortada por uma seo S qualquer e isolado um dos lados do corte.

Separar-se em duas partes um corpo. Sendo uma delas extremidade livre, conveniente que esta parte seja isolada pois evita o clculo das reaes vinculares.

P

G


34

Como o peso do material deve ser considerado, na seo cortada deve aparecer um esforo normal que equilibre a carga externa e tambm o peso prprio do material isolado.

Isto indica que a posio da seo de corte tem agora importncia, pois ela determina o peso da pea isolado pelo corte.

De acrdo com esta concluso deve-se criar uma varivel que nos indique a posio da seo de corte desejada.

Fazendo x ser uma ordenada genrica da posio da seo ser analizada e como a barra tem um comprimento L:

0 x L

Aplica-se a equao de equilbrio pertinente:

Fy = 0 N - P - g = 0

N = P + g(x)

onde g(x) o peso parcial da barra isolada pelo corte

Para que seja avaliado o peso de um corpo, multiplica-se o seu volume por seu peso especfico

V = A.x gx = A . . x

Observe que o esforo normal varia linearmente em funo da ordenada x da seo de referncia.

Como 0 x L pode-se calcular os valores extremos do esforo normal

x = 0 N = P

x = l

Chamando de G o peso total da barra

l..AG = Pode-se escrever de outra forma o mximo esforo normal:

N = P + A . . x

Nmx = P + A . . L

P

g(x) x

S

N(x)


35

A descrio da variao do esforo normal pode ser expressa de forma grfica:

Assim como se desenvolveram as expresses analticas para o esforo normal, pode-se desenvlver a expresso para as tenses normais:

Sabendo que A

N = )x(

Como N(x) = P + A . . x ento: Ax.A. + P

= )x(

ou

Substituindo x por seus valores extremos tem-se:

x = 0 A

P =

x = L l . + A

P = mx

Com modificaes algbricas pode-se expressar o valor da tenso mxima em funo do peso total da barra, colocando A como denominador comum s parcelas:

A

.lA. + P =mx

ou

AG + P

=mx

Para a determinao da deformao total ( l ) sofrida por uma barra sujeita uma carga externa (P) e ao seu peso prprio (G), e utiliza-se o mtodo das sees. Isola-se um trecho

Nmx = P + G

.x + A

P = )x(


36

desta barra cortando-a por duas sees transversais S e S' infinitamente prximas, formando um prisma de comprimento elementar dx que se alongar apresentando um comprimento dx + dx.

dx

dx =

dx = . dx

E = x

dx .E =dx x (alongamento do trecho de comprimento dx)

como visto anteriormente

x.A

Px +=

ento:

Como se quer o alongamento da barra toda deve-se fazer o somatrio dos diversos trechos de comprimento dx que compem a barra, ou seja:

+

=

l

0

dx.E

x.dx.

EA

Pl

Efetuando as integrais:

2.E

l . +

E.A

P.l = l

2

dx PEA

dxx

Edx= +

.

l

S

S dx

x

dx dx +dx

N+N

N

P

S

S


37

Pode-se expressar a equao da deformao total em funo do peso total G da pea, fazendo algumas modificaes algbricas:

+=2

GP

EA

ll

Observaes:

1. Nas expresses acima deduzidas a carga P das primeiras parcelas representa esforos externos pea em estudo ficando as segundas parcelas com o efeito do peso prprio.

2. Tanto o esforo normal mximo como a tenso normal mxima foram expressos em duas equaes, uma em funo do peso especfico do material e outra em funo do peso total da pea. A utilizao de uma ou outra equao depende da convenincia do problema.

3. Como foi utilizado na deduo destas expresses, um exemplo em que tanto a carga externa como o peso prprio so esforos de trao, ambas as parcelas so positivas. No caso de haver qualquer um destes efeitos negativo (compresso) deve-se mudar o sinal da parcela correspondente.

V. BARRAS DE IGUAL RESISTENCIA

Se a rea da seo transversal de uma barra varia contnuamente de modo que em todas as sees atingimos a tenso admissvel do material, a barra ser chamada de igual resistncia.

Existem duas razes para se variar a rea da seo transversal de uma pea ao longo de seu comprimento:

1. Se a rea da seo fr constante ao longo de seu comprimento, aproveita-se a tenso admissvel do material em apenas uma seo (a seo de tenso mxima) ficando as demais com tenses abaixo da tenso que o material poderia estar desenvolvendo. Pode-se conseguir uma economia de material diminuindo a rea das sees onde a tenso inferior tenso admissvel.

2. Nos casos em que o peso especfico do material elevado em presena de sua resistncia procura-se variar a rea da seo tornando a pea mais leve e econmica.

Para atingir-se a situao ideal que descreve uma barra de igual resistncia, deve-se formar uma equao que determine a lei de variao da rea, mantendo a tenso constante e no mximo. Se chegaria uma lei logartmica do tipo:

xo e . A A

=

onde Ao a rea inicial (situao mais favorvel), o peso especfico do material, a tenso admissvel do mesmo e x a varivel que marca a posio da seo na pea.

O que tericamente seria o timo, pela dificuldade de execuo no se mostra econmico pois no fcil a execuo de uma pea com seo variando segundo uma lei logartmica. Pode-se, entretanto, fazer a rea da seo variar descontinuamente, mantendo-a constante em determinados trechos e assim torn-la mais leve e portanto mais econmica.


38

Este procedimento simplificado leva ao que se chama de barra de igual resistncia aproximada , o que na prtica o mais usado.

VI. SISTEMAS ESTTICAMENTE INDETERMINADOS

Se diz que um sistema estticamente indeterminado quando necessita-se de mais condies para resolv-lo do que as simples condies estticas.

A. PEAS CONSTITUDAS DE DOIS MATERIAIS DIFERENTES E COAXIAIS

Na prtica surge frequentemente a necessidade de se projetar peas constituidas de dois ou mais materiais diferentes, sujeitas trao ou compresso axial.

Como exemplo para o problema vamos supe-se um cilindro envolto por um tubo. As peas so construdas em materiais diferentes e comprimidos entre os pratos de uma prensa. Sendo os materiais coaxiais tem o centro de gravidade comum.


39

Corta-se esta pea e adotando-se o mtodo das sees para serem determinadas as tenses atuantes nestes materiais:

N1 = 1 . A1

N2 = 2 . A2

Fv = 0 P - N1 - N2 = 0 P =N1 + N2

Esta condio da esttica no suficiente pois precisa-se determinar duas incgnitas, de modo que precisa-se de outra condio para o problema.

Estas so chamadas de Condies de Compatibilidade, so prprias dos casos e normalmente referem-se condies de deformaes obrigatrias para que os sistemas analisados trabalhem conforme se observa.

Neste caso pode-se usar a condio de que se a pea trabalha como um bloco nico, portanto a deformao dos diversos materiais deve ser a mesma.

l1 = l 2 = l

ento:

22

22

1.1

1.1

A.E

l.N

AE

lN=

Como l1 = l2 = l

22

2

1.1

.1

A.E

l.N

AE

lN=

22

2

1.1

1

A.E

N

AE

N=

Substituindo N1 e N 2 por seus valores teremos:


40

22

2 . 2

1.1

1 .1

A.E

A

AE

A =

ou simplesmente:

2

2

1

1

EE

=

2

1

2

1

E

E=

Interpretando fsicamente a equao acima, ve-se que a quantidade de tenso desenvolvida em cada material proporcional sua elasticidade.

Como E1 e E2 correspondem constantes de um material a relao entre as tenses tambm

uma constante que poderemos chamar de n.

2

1

E

E = n

Logo: 2 = 1 n. Levando este valor equao de equilbrio esttico temos:

P = (n.2) A1 + 2 . A 2 ou isolando 2

21

2A + n.A

P =

B. PEAS HIPERESTTICAS

Em casos como o acima indicado, onde a vinculao excessiva (pea hiperesttica), precisa-se tambm condies alm das estabelecidas pelo equilbrio esttico.

Como os vnculos nas extremidades so de 3 espcie, conclui-se que a deformao na direo da carga aplicada impedida. Considerando-se a barra formada por dois trechos determinados pelo ponto de carga aplicada, podemos montar o seguinte sistema:

a b

P

a b

P R1 R2


41

Fx = 0 R1 + P - R2 = 0

Equao de Compatibilidade:

l = 0

l1 + l2 = 0 E.AlN

= l 11.

1 E.A

lN = l

22.2

Pode-se expressar N1 e N2 em funo das cargas externas P, R1 e R 2 , e ento obtem-se

duas equaes com duas incgnitas (R1 e R2 ), o que torna o siatema algbricamente vivel.

VII. PEAS E RECIPIENTES DE PAREDES FINAS

Outra aplicao de tenses normais uniformemente distribuidas ocorre na anlise simplificada de peas ou recipientes de paredes finas assim como tubos, reservatrios cilndricos, esfricos,cnicos, etc. sujeitos presso interna ou externa de um gs ou lquido.

Por serem muito delgadas as paredes destas peas, considera-se uniforme a distribuio de tenses normais ao longo de sua espessura e considera-se tambm que devido sua flexibilidade estas peas no absorvem e nem transmitem momento fletor ou esforo cortante.

A relao entre a espessura e o raio mdio da pea no deve ultrapassar 0,1, sendo excluda a possibilidade de descontinuidade da estrutura.

Nestes casos tambm existe a possibilidade de ruptura por flambagem das paredes sujeitas compresso, possibilidade esta que no ser considerada de momento.

As aplicaes deste estudo se do em tanques e recipientes de armazenagem de lquidos ou gazes, tubulaes de gua ou vapor (caldeiras), cascos de submarinos e certos componentes de avio, que so exemplos comuns de vasos de presso de paredes finas.

A. TUBOS CILINDRICOS DE PAREDES FINAS

Seja o tubo de paredes finas abaixo:

Seja:

pi - presso interna ri - raio interno t - espessura da parede

Intuitivamente se pode observar suas transformaes quando sujeito por exemplo uma presso interna pi:


42

Observe que o arco genrico de comprimento dS aps a atuao da presso interna alongou e passou a medir dS+dS, portanto houve uma tenso de trao capaz de along-lo. Como o arco aumentou na sua prpria direo, e como o arco considerado dS um arco genrico, pode-se concluir que em todos os arcos elementares que constituem a circunferncia se desenvolve uma tenso normal, que por provocar um alongamento de trao (+) e por ter a direo da circunferncia chama-se de tenso circunferencial( circ ).

1. Deteminao da tenso circunferencial e de sua deformao

Para a determinao do valor desta tenses consida-se um tubo de comprimento 'L' conforme desenho:

Secciona-se o tubo segundo um plano diametral longitudinal e aplicamos as equaes de equilbrio:

Ao efetuar-se o corte, na seo cortada devem aparecer tenses que equilibrem o sistema. Conforme j foi visto so tenses circunferenciais.

Pode-se substituir as preses internas por um sistema equivalente:


43

Aplicando a equao de equilbrio esttico pertinente:

Fy = 0 circ 2.L.t - pi.2.ri.L = 0

2.L.t rea de corte onde atua a circ

2.ri.L rea onde atua pi

Efetuando modificaes algbricas chega-se na expresso:

t

rp ii. = circ

tenso crcunferencial corresponde uma deformao circunferencial.

dS

dS = circ

Considerando-se o comprimento dos arcos como o da circunferencia toda:

comprimento inicial = 2.pi.ri

comprimento final = 2.pi. (ri + ri )

ento dS = 2.pi. (ri + ri ) - 2.pi.ri = 2.pi.ri

=r

r=

.r2.

r.2. = rad

i

i

i

icirc

pi

pi

Pela lei de Hooke t.E

.rp

E

iicirc = circ =

ento comparando os valores: t.E

.rp =

r

r ii

i

i

E.tr.p =r i2

i i

Observaes:

Chega-se aos valores das tenses e deformaes circunferenciais tomando-se como exemplo o caso de tubos sujeitos presso interna. Quando se estiver diante de um caso onde atuam presses externas, pode-se adaptar o formulrio.

Pode-se citar como exemplo destes casos tubulaes submersas que esto sujeitas presso do lquido na qual esto submersas (presso externa).


44

Podemos notar que sob o efeito de presses internas o comprimento da circunferncia que compe a seo do tubo diminui ao invs de aumentar e portanto as tenses circunferenciais so de compresso e portanto negativas.

Da mesma maneira o raio da seo diminui e portanto tambm sua variao negativa.

O formulrio fica:

t

.rp- =

eecirc t.E

rp- = r e2

e.e

B. RESERVATRIOS CILNDRICOS DE PAREDES FINAS

Reservatrios cilndricos de paredes finas nada mais so do que tubos com as extremidades fechadas.

Pode-se notar que a ao da presso sobre as paredes longitudinais do reservatrio exercem o mesmo efeito que nos tubos, e que a ao da presso nas paredes de fechamento faz com que a tendncia do reservatrio seja aumentar de comprimento. Isto sugere o aparecimento de tenses na direo do eixo longitudinal do reservatrio chamadas de tenses longitudinais(

long). O clculo do valor destas tenses feito fazendo um corte transversal no reservatrio e

aplicando equaes de equilbrio.

Se fosse isolado um elemento de rea da parede do reservatrio, a seguinte situao apareceria:

t

.rp =

iicirc

2.t

.rp =

iilong


45

C. RESERVATRIOS ESFRICOS DE PAREDES FINAS

Quando submetido presso, um reservatrio esfrico de paredes finas desenvolve tenses circunferenciais em todas as direes, pois todas as direes formam circunferncias.

Um elemento de rea da parede deste reservatrio seria representado:

O valor destas tenses circunferenciais seria:

2.t

.rp =

iicirc


46


1. Uma barra de seo transversal retangular de 3 x 1 cm tem comprimento de 3 m. Determinar o alongamento produzido por uma carga axial de trao de 60 kN, sabendo-

se que o mdulo de elasticidade longitudinal do material de 2 . 104 kN/cm2.

R: 0,3 cm

2. Determine as tenses normais desenvolvidas no pilar abaixo indicado nas sees de topo, meia altura e base. O material com que ela construda tem peso especfico 30 kN/m3.

3. Uma barra de ao e outra de alumnio tem as dimenses indicadas na figura.Determine a carga "P" que provocar um encurtamento total de 0,25 mm no comprimento do sistema. Admitimos que as barras so impedidas de flambar lateralmente, e despreza-se o peso prprio das barras.

Dados: Eao = 2 . 104 kN/cm2 EAl = 0,7 . 104 kN/cm2

OBS : medidas em cm

Vista Frontal Vista Lateral

90 kN 90 kN

60 m

2 m 30 m


47

R : P 1.900 kN

4. A trelia da figura suporta uma fora de 54 tf. Determine a rea das sees transversais das barras BD, CE e DE sabendo-se que a tenso admissvel de escoamento do material

de l.400 Kgf/cm2. Determine tambm o alongamento da barra DE sendo E= 2,1 .

104kN/cm2.

R: ADE = 38,57 cm2

lDE = 0,133 cm ACE =28,92 cm2

ABD = 14,46 cm2

5. Para a trelia da figura determine as reas mnimas necessrias s hastes FG e CD, sendo dados do material :

T = 4 kN/cm2 C = 6 kN/cm2 s = 2

300 cm

500 cm

P

Ao Seo 50 x 50

Alumnio Seo 100 x 100


48

R:

ACD=20 cm2

AFG= 19,4 cm2

6. Para a trelia da figura determine as reas necessrias s hastes DF e DE sendo dados:

T = 16 kN/cm2 C = 20 kN/cm2 s = 2

R: ADF = 9 cm2

ADE = 12,5 cm2

7. Um cilindro slido de 50 mm de diametro e 900 mm de comprimento acha-se sujeito uma fora axial de trao de 120 kN. Uma parte deste cilindro de comprimento L1 de

ao e a outra parte unida ao ao de alumnio e tem comprimento L2.

a. Determinar os comprimentos L1 e L2 de modo que os dois materiais apresentem o

mesmo alongamento.

b. Qual o alongamento total do cilindro.

Dados: Eao = 2 . 104 kN/cm2 EAl = 0,7 . 104 kN/cm2


49

R: (a) L1 = 66,5 cm

L2 = 23,33 cm

(b) l = 0,04 cm

8. Um pilar de tijolos recebe uma carga axial de 70 kN. Dimensione-o com seo quadrada de lado a levando em conta que a tenso admissvel de compresso para esta alvenaria de 0,08 kN/cm2. Dimensione tambm o seu bloco de fundao, com seo igualmente quadrada e lado b, sabendo que o solo onde o sistema assenta tem uma tenso de compresso admissvel de 0,025 kN/cm2.

(DICA: O peso prprio dos materiais deve ser considerado). Dados : alvenaria= 15 kN/m3. concreto= 25 kN/m3.

2 m

b b

a a

4 m

70 kN


50

9. A carga P aplicada um pino de ao transmitida por um suporte de madeira por intermdio de uma arruela de diametro interno 25 mm e de diametro externo "d". Sabendo-se que a tenso normal axial no pino de ao no deve ultrapassar 35 MPa e que a tenso de esmagamento mdia entre a pea de madeira e a arruela no deve exceder 5MPa, calcule o diametro "d" necessrio para a arruela.

R: 6,32 cm

10. Aplica-se extremidade C da barrade ao ABC uma carga de 66,7 kN. Sabe-se que Eao

de 2,1.104 kN/cm2. Determinar o diametro "d" da parte BC para a qual o deslocamento do ponto C seja de 1,3 mm.

R: 21,8 mm

11. Usando o desenho do problema anterior, suponha as duas partes da barra de alumnio com

mdulo de elasticidade longitudinal de 0,7 . 104kN/cm2. O diametro da parte BC de 28 mm. Determinar a mxima fora que pode ser aplicada na extremidade C sabendo-se que o seu deslocamento no pode ultrapassar 3,8 mm. Sabe-se que a tenso de escoamento

admissvel para o alumnio de 16,5 kN/cm2.

R: P 84 kN

12. O fio de ao CD de 2 mm de diametro tem seu comprimento ajustado para que sem nenhum carregamento exista uma distancia mdia de 1,5 mm entre a extremidade B da viga rgida ABC e o ponto de contato E. Pede-se determinar em que ponto deve ser colocado o bloco de 20 kgf sobre a viga de modo a causar contato entre B e E.


51

Dados do ao: E = 2 . 104 kN/cm2.

R: x = 10 cm

13. Uma barra de ao tem seo transversal de 10 cm2 e est solicitada pelas foras axiais indicadas. Determinar as tenses desenvolvidas nos diversos trechos da barra.

R: trecho 1 : 10 kN /cm2 trecho 2 : 7 kN/cm2

trecho 3 : 9 kN/cm2

14. Uma barra de ao colocada na horizontal mede 5 m. Calcular o seu alongamento quando suspensa verticalmente por uma extremidade. Dados do ao:

E = 2,1 . 104 kN/cm2 = 80 kN/m3 R: 0,004763 mm

15. Um pilar de tijolos comuns deve receber uma carga oriunda de um telhado de 32 kN. Dimensione-o com seo quadrada sabendo que a alvenaria apresenta peso especfico de

19 kN/m3 e tem uma tenso de compresso admissvel de 6 kgf/cm2.

100 kN 90 kN 30 kN 20 kN

2 m 3 m 4 m


52

R: a 24,2 cm

16. Duas barras prismticas rgidamente ligadas entre si suportam uma carga axial de 45 kN como se indica a figura. A barra superior de ao, tem 10 m de comprimento e

seotransversal com 65 cm2 de rea; a barra inferior de lato, tem 6 m de comprimento

e seo transversal com 52 cm2de rea. Pedem-se as mximas tenses de cada material e o alongamento do sistema.

Dados: ao lato

E = 2,1 . 104 kN/cm2 E = 0,9 . 104 kN/cm2

= 78 kN/m3 = 83 kN/m3

R: mx ao =0,81 kN/cm2

mx lato = 0,91 kN/cm2

l = 0,096 cm

10 m

6 m

ao

lato

45 kN


53

17. Para a pea do problema anterior, supondo toda ela de lato, qual a rea necessria para a parte de cima para que se tenha a mesma tenso mxima desenvolvida na parte de baixo.Neste caso qual o alongamento sofrido.

R: Anec 57,54 cm2 l = 0,1558 cm

18. Determine as dimenses 'a', 'b' e 'c' dos pilares abaixo com seo circular que recebemuma carga axial de 3.000 kN. Determine tambm a percentagem de material economizado quando se adota a segunda distribuio. Dados do material:

= 90 kN/m3 e = 0.5 kN/cm2

R: a 165.17 cm b 109.25 cm c 136.56 cm econ 44 %

19. Suponha um pilar de concreto de seo quadrada 20 x 20 cm, armado com 4 1/2", conforme figura. Determine a mxima carga 'P' que se pode aplicar este pilar, a percentagem desta carga que cada material absorve e o encurtamento do sistema. So dados:

ao concreto e kN cm= 12

2 / c kN cm= 0 62. /

E = 2.1 . 104 kN/cm2 E = 0.14 . 104 kN/cm2


54

R : P 282.5 kN concr: 83.88 % ao: 16.12 % l = 0.171 cm

20. Um cilindro de alumnio esta no interior de um tubo de ao e o conjunto comprimido axialmente por 240 kN por intermdio de placas rgidas. O cilindro de alumnio tem 8 cm de diametro e o de ao tem 10 cm de diametro externo. Determine as tenses desenvolvidas no ao e no alumnio, a percentagem de carga que cada material absorve e o coeficiente de segurana do sistema. Dados:

Alumnio ao

E = 0.28 . 104 kN/cm2 E = 2.1 . 104 kN/cm2

e = 6 kN/cm2 e = 12 kN/cm2

R: ao = 6.85 kN/cm2

Al = 0.91 kN/cm2

s = 1.75

21. Um tubo vertical de ao cheio de concreto tem diametro externo de 90 cm e interno de 87

cm. Para o ao o limite de escoamento de 24 kN/cm2 e o coeficiente de segurana adotado pela norma 2.25. Para o concreto a tenso de ruptura compresso de 1.5


55

kN/cm2 e o coeficiente de segurana adotado 2.5. Supondo o sistema comprimido por placas rgidas, determine a carga mxima aplicvel, sendo dados:

Eao = 2.1 . 104 kN/cm2 Econcr = 0.18 . 104 kN/cm2

R: P 6.500 kN

22. Uma barra de seo quadrada de 5 cm de lado est fixa rgidamente entre duas paredes e suporta uma carga axial de 20.000 Kgf, conforme figura. Calcular as reaes nos engastes e o alongamento da parte tracionada.

Emat = 2.4 . 106 kgf/cm2

R: Resq = 12.000 Kgf ( )

Rdir = 8.000 Kgf ( )

l = 0.002 cm

23. A barra prismtica da figura engastada nas extremidades e suporta as cargas que a se indicam, aplicadas por intermdio de saliencias rgidamente ligadas barra. Desprezada a influncia da distribuio de esforos nessas salincias, pede-se calcular as tenses

normais nos trechos AB, BC e CD. A rea da seo transversal desta barra de 10 cm2.

R: AB = - 2 kN/cm2

BC = - 6 kN/cm2

CD = + 6 kN/cm2

24. O tanque de um compressor de ar formado por um cilindro fechado nas extremidades por calotas semi-esfricas. O diametro interno do cilindro de 60 cm e a presso interna

de 35 Kgf/cm2 . Se o material com que feito o cilindro de ao com limite de

escoamento de 2.400 Kgf/cm2 e o coeficiente de segurana adotado de 3.5, pede-se determinar a espessura da parede do cilindro desprezando-se os efeitos da ligao do cilindro com as calotas.

OBS: num clculo mais rigoroso seria necessrio levar em conta e dimensionar a ligao. R: 1.53 cm


56

25. Um tanque cilindrico de gasolina com eixo vertical est cheio partir da extremidade

inferior com 12 m do lquido, tendo a gasolina peso especfico de 7.4 kN/m3. Tendo o tanque 26 m de diametro interno e sendo o limite de escoamento do material do tanque 240 MPa, pede-se calcular com segurana 2 a espessura necessria a parede em sua parte mais profunda. Qual seria esta espessura se a eficincia da ligao parede-fundo fosse de 85%?

R: t = 0.962 cm tjunta = 1.13 cm

26. Um tubulo de ar comprimido constituido por um tubo de ao de 2 m de diametro interno e recebe ar injetado para expulsar gua uma profundidade de 20 m. Calcular a espessura necesssria este tubo numa profundidade de 2 m, sendo a tenso de

escoamento admissvel para o material do tubo de 6 kN/cm2.

R: 3 mm

27. Considere uma pea formada por dois tubos co-axiais. Inicialmente existe uma diferena entre os diametros de 0.025 cm, sendo necessrio aquecer o cilindro externo para nele introduzir o interno. Sendo de ao os dois cilindros; 10 cm o diametro da superfcie de contato; 0.25 cm a espessura do cilindro interno e 0.20 cm a espessura do externo, pede-se determinar as tenses circunferenciais desenvolvidas em cada um dos cilindros depois de resfriado o sistema.


57


58

CAPTULO III

CISALHAMENTO CONVENCIONAL

I. ASPECTOS GERAIS

O cisalhamento convencional adotado em casos especiais, que a ligao de peas de espessura pequena.

Consida-se inicialmente um sistema formado por duas chapas de espessura "t" ligadas entre si por um pino de diametro "d", conforme esquematizado abaixo:

A largura destas chapas representada por "l" e a ligao est sujeita uma carga de trao "P".

t - Espessura das chapas

l - Largura das chapas

Considerando-se o mtodo das sees, e cortando a estrutura por uma seo "S", perpendicular ao eixo do pino e justamente no encontro das duas chapas, nesta seo de pino cortada devem ser desenvolvidos esforos que equilibrem o sistema isolado pelo corte. Ento:


59

Aplicando as equaes de equilbrio:

Fx = 0 Q - P = 0 MS = 0

M - P.t/2 =0 2

t . P = M

As solicitaes que se desenvolvem na seo de corte do pino so de Momento Fletor e Esforo Cortante, com os valores acima calculados.

II. CISALHAMENTO CONVENCIONAL

Conforme os clculos acima efetuados, pode-se notar que o valor do momento pequeno j que se trabalha com a unio de chapas que, por definio, tem a sua espessura pequena em presena de suas demais dimenses.

Nestes casos, pode-se fazer uma aproximao, desprezando o efeito do momento fletor em presena do efeito do esforo cortante.

Isto facilitaria o desenvolvimento matemtico do problema, mas tericamente no exato pois sabemos que momento e cortante so grandezas interligadas:

dx

dMQ =

Em casos de ligaes de peas de pequena espessura, como normalmente aparecem em ligaes rebitadas, soldadas, parafusadas, pregadas e cavilhas, esta soluo simplificada leva a resultados prticos bastante bons. nestes casos que se adota o cisalhamento aproximado, tambm chamado de cisalhamento convencional.

O cisalhamento convencional uma aproximao do cisalhamento real, onde o efeito do momento desprezado.

Tem-se apenas uma rea sujeita uma fora contida em seu plano e passando pelo seu centro de gravidade. Para o clculo das tenses desenvolvidas adotado o da distribuio uniforme, dividindo o valor da fora atuante pela rea de atuao da mesma. Esta seo chamada de REA RESISTENTE, que dever ser o objeto de anlise.

A distribuio uniforme diz que em cada ponto desta rea a tenso tangencial tem o mesmo valor dada por:

resistA

Q =

Q = P

Q


60

A lei exata da distribuio de tenses deve ser posteriormente estudada para os outros casos em que o cisalhamento convencional no adotado.

III. LIGAES SOLDADAS

A. TIPOS DE SOLDA

DE TOPO SOLDA POR CORDES

Pode-se observar que na solda de topo, h o desenvolvimento de tenso normal, o que j foi visto e foge do proposto neste captulo.

B. SOLDA POR CORDES

Consideram-se duas chapas de espessura t1 e t2, ligadas entre si por cordes de solda

conforme a figura abaixo:

Sejam:

g - comprimento de trespasse entre as chapas h - largura da chapa ser soldada t1 - espessura da chapa ser soldada

Pode-se, intuitivamente, notar que o efeito da fora se faz sentir ao longo do comprimento do cordo de solda, sendo lgico se atribuir uma relao direta entre a rea resistente de solda e o comprimento do cordo.

Nas ligaes soldadas, consideramos a rea resistente de solda ao produto da menor dimenso transversal do cordo por seu comprimento respectivo.

Na ligao acima e v que a chapa de espessura t1est ligada chapa de espessura t2 por

meio de um cordo de solda. Vamos ver ampliada uma seo transversal desta solda:


61

costume desprezar-se a parte boleada da seo de solda pois onde provveis falhas se localizam(bolhas de ar, etc)

"d" a menor dimenso da seo resistente deste cordo e que pode ser calculada como a altura do triangulo retangulo de catetos iguais t1 .

Observao:

O dimetro do cordo de solda escolhido de acrdo com a espessura da chapa ser soldada.

d = t1 . sen 45

cordoresis l . t 0,7 A =

Observe-se que t corresponde espessura da chapa que est sendo soldada e lcordo seria o comprimento do cordo de solda.

Para o caso especial do exemplo citado ficaria:

lc = 2.g + h Aresist = d . lc

Aresist = 0,7 t (2.g + h)

Para calcula-se a tenso tangencial desenvolvida tem-se:

h) + (2.g t 0,7

P =

A avaliao da rea resistente deve ser estudada em cada caso, pois partindo da concluso que ela deva ser igual ao comprimento do cordo multiplicado pela menor dimenso da seo da solda, pode-e ter casos em que a expresso analtica aparece um tanto diferente:

Neste caso temos a chapa de cima sendo fixada na de baixo mas aproveitando o comprimento disponvel do trespasse inferior tambm fixamos atravz de solda a chapa de baixo na de cima.

Aresist = 0,7 . t1(2.g + h) + 0,7 t2.h

A condio de segurana de uma ligao soldada ser ento:

solda de cordo h) + (2.g t 0,7

P

d = 0,7 t1


62

IV. LIGAES REBITADAS

A. TIPOS DE LIGAES REBITADAS

1. Superposio 2. De topo com cobrejunta simples

3. De topo com cobrejunta duplo

B. CONSIDERAES GERAIS

Em qualquer ligao rebitada, alm de se levar em conta o cisalhamento nos rebites, outros fatores tambm devem ser examinados. Sempre que se projeta ou verifica uma ligao rebitada deve-se analisar os seguintes itens:

1. Cisalhamento nos rebites.

2. Compresso nas paredes dos furos.

3. Trao nas chapas enfraquecidas.

4. Espaamento mnimo entre rebites.

Para que a ligao tenha segurana todos estes fatores devem estar bem dimensionados.

C. FATRES A SEREM CONSIDERADOS

1 Cisalhamento dos rebites

O fator cisalhamento nos rebites previne o corte das sees dos rebites entre duas chapas. Estas seriam as sees chamadas de sees de corte ou sees resistentes.

Sendo:

n - nmero de rebites que resiste carga P

m - nmero de sees resistentes por rebite.


63

d - diametro dos rebites

A fora P resistida por "n" rebites com "m" sees resistentes cada um. Ento a rea resistente total nos casos de uma ligao rebitada :

4dn. . m = A2

.resistpi

Sendo reb a tenso admissvel ao cisalhamento do material do rebite, a tenso tangencial desenvolvida no pode ultrapassar a admitida.

A condio de segurana para o cisalhamneto nos rebites expressa de uma forma analtica seria:

reb2

4d.n.m

P

pi

Observando os tipos de ligaes rebitadas nos exemplos vistos anteriormante ve-se que:

Superposio Cobrej. simples Cobrej. duplo

m = 1 m = 1 m = 2

n = 4 n = 4 n = 4

2. Compresso nas paredes dos furos

A fora exercida nas chapas, e estando a ligao em equilbrio esttico, cria uma zona comprimida entre as paredes dos furos dos rebites e o prprio rebite.

Esta compresso pode ser to grande a ponto de esmagar as paredes dos furos e colocar em risco toda a ligao rebitada.

Deve-se portanto descartar esta possibilidade.

Sejam duas chapas ligadas entre si por um rebite de diametro "d",conforme figura:

Observam-se zonas comprimidas nas duas chapas devido ao do rebite sobre elas, sendo na vista de cima, representada a ao do rebite na chapa superior.

fim de facilitar-se o clculo destas compresses substitui-se a rea semi cilindrica, da parede do furo, por sua projeo, que seria uma rea equivalente ou simplificada ficando:


64

Aresist = Asimpl = d.t

F = P

resistA

F =

d.t

P = C

Como nos casos de ligaes rebitadas existem n rebites, podemos generalizar a expresso::

n.d.t

P =

Sendo chapaC a tenso de compresso admissvel para o material da chapa ou dos cobrejuntas, ento para que o projeto funcione com segurana, a condio expressa analticamente ficaria:

Cchapa n.d.t

P

As tenses de compresso no se distribuem de maneira exatamente uniforme, entretanto assim se admite.

3. Trao nas chapas enfraquecidas

Quando se perfura as chapas para a colocao de rebites elas so enfraquecidas em sua seo transversal. Quanto maior for o nmero de furos em uma mesma seo transversal, mais enfraquecida ficar a chapa nesta seo, pois sua rea resistente trao fica reduzida.

Antes da furao a seo transversal da chapa que resistia trao era:

l.t

PT =

Supondo que se faam dois furos em uma mesma seo transversal de chapa para a colocao de rebites. A nova rea resistente ser:


65

A nova tenso de trao desenvolvida ser:

2.d) - t(l

P =

Para generalizar criamos uma grandeza, n1 que reprezenta o nmero de rebites colocados em uma mesma seo transversal;

.d)n - (lt

P =

1

A condio de segurana expressa analticamente ser:

.d)n - (lt

P

1

onde representa a tenso de trao admissvel para o material das chapas ou cobrejuntas Observaes:

1. Em casos de projetos de ligaes rebitadas sempre interessa a pior situao do sistema, que muitas vzes determinada com a simples observao. Nos dois itens anteriores (compresso nos furos e trao nas chapas enfraquecidas) pode-se tirar as seguintes concluses:

a. Nas ligaes por superposio e cobrejunta simples, sempre estar em pior situao a pea de menor espessura, pois ambas recebem a mesma carga. Resta apenas observar que para a trao nas chapas enfraquecidas, a seo transversal com maior nmero de rebites colocados a em pior situao (n1 mximo).


66

b.Nas ligaes com cobrejunta duplo seria conveniente a anlise das chapas e dos cobrejuntas j que a espessura dos mesmos diferente e a carga ao qual eles esto submetidos tambm o .

Cobrejunta: P/2 , t1

Chapas: P, t2

4. Espaamento mnimo entre rebites

Com a finalidade de limitar a proximidade entre rebites e entre rebites e bordas livres, as normas fixaram um espaamento mnimo que deve ser preservado.

Isto evita zonas de extrema fragilidade entre dois furos em uma chapa e evita tambm que o funcionamento de um rebite interfira nos rebites vizinhos, o que poderia provocar acmulos de tenses nestas reas comuns .

NB - 14 ( Estruturas Metlicas)

Recomendaes da Norma:

3 d - distcia mnima entre os centros de 2 rebites

2 d - distncia mnima entre centro de rebite e borda livre perpendicular ao da fora

1,5 d - distncia mnima entre centro de rebite e borda livre paralela ao da fora onde "d" o dimetro do rebite.


67


1. Uma guilhotina para cortes de chapas tem mesa com 2 metros de largura de corte e 450 kN de capacidade. Determinar as espessuras mximas de corte em toda a largura para as chapas :

a. Ao ( = 220 MPa ) R: (a) 0.10 cm b. Cobre ( = 130 MPa ) (b) 0.17 cm c. Alumnio ( = 70 MPa) (c) 0.32 cm

2. As chapas soldadas abaixo na figura tem espessura de 5/8". Qual o valor de 'P' se na solda

usada a tenso admissvel ao cisalhamento de 8 kN/cm2. Determine tambm o menor trespasse possvel adotando-se todas as possibilidades de solda.

R: P 356.16 kN g 14 cm 3. Considere-se o pino de 12.5 mm de diametro da junta da figura. A fora "P" igual 37.50 kN. Admita a distribuio de tenses de cisalhamento uniforme. Qual o valor destas tenses nos planos a-a' e b-b'.

R: 1.528 Kgf/cm2

4. De acrdo com a figura, a fora P tende a fazer com que a pea superior (1) deslize sobre a inferior (2). Sendo P = 4.000 Kgf, qual a tenso desenvolvida no plano de contato entre as duas peas?


68

R: 4,71 kN/cm2

5. O ao de baixo teor de carbono usado em estruturas tem limite de resistncia ao

cisalhamento de 31 kN/cm2 . Pede-se a fora P necessria para se fazer um furo de 2.5 cm de diametro, em uma chapa deste ao com 3/8" de espessura.

R: 231,91 kN

6. Considere-se o corpo de prova da figura, de seo transversal retangular 2.5 x 5 cm, usado

para testar a resistncia a trao da madeira. Sendo para a peroba de 1,3 kN/cm2 a tenso de ruptura ao cisalhamento, pede-se determinar comprimento mnimo "a" indicado, para que a ruptura se de por trao e no por cisalhamento nos encaixes do corpo de prova. Sabe-se que a carga de ruptura do corpo por trao de 10,4 kN.

R: a 0.8 cm

Vista Lateral

Seo do corpo de prova

Corpo de prova


69

7. Considere-se um pino de ao de 3/8" de diametro sujeito fora axial de trao de 10 kN. Calcular a tenso de cisalhamento na cabea do pino, admitindo que a superfcie resistente seja de um cilindro de mesmo diametro do pino, como se indica em tracejado.

R: 1,05 kN/cm2

8. As peas de madeira A e B so ligadas por cobrejuntas de madeira que so colados nas superfcie de contato com as peas. Deixa-se uma folga de 8 mm entre as extremidades de A e B . Determine o valor do comprimento "L"para que a tenso de cisalhamento nas

superfcies coladas no ultrapasse 0,8 kN/cm2.

R: 308 mm

9. Ao se aplicar a fora indicada, a pea de madeira se rompe por corte ao longo da superfcie tracejada. Determine a tenso de cisalhamento mdia na superfcie de ruptura.

R: 6 MPa


70

10. Sabendo que a tenso de ruptura ao cisalhamento de uma chapa de ao de 330 MPa, determine:

a. A fora necessria para produzir por puno um furo de 30 mm de diametro em uma chapa com 9 mm de espessura.

b. A tenso normal correspondente no furador.

R: (a) 279,91 kN (b) 39,59 kN/cm2

11. A placa indicada na figura presa base por meio de 3 parafusos de ao. A tenso de cisalhamento ltima do ao de 331 MPa. Utilizando-se um coeficiente de segurana de 3,5 determine o diametro do parafuso ser usado.

R: 22 mm

12. A ligao AB est sujeita uma fora de trao de 27 kN. Determine:

a. O diametro "d"do pino no qual a tenso mdia permitida de 100 MPa. b. A dimenso "b"da barra para a qual a mxima tenso normal ser de 120 MPa.


71

R: (a) 1,85 cm (b) 3,75 cm

13. Quais as distancias "a" e "b" necessrias para os entalhes na pea horizontal da trelia indicada? Todas as peas tem seo transversal de 0,20 x 0,20 m. Admitir a tenso de cisalhamento da madeira de 3,5 MPa e utilizar coeficiente de segurana 5.

R : a b 24 cm

14. Verificar a ligao rebitada da figura, sendo dados

Rebites Chapas = 100 MPa T = 150 MPa d = 1/2" = 1,27 cm C = 250 MPa


72

R: No h segurana (trao nas chapas)

15. Determine a mxima carga P que se pode aplicar ligao rebitada abaixo sendo dados:

Rebites Chapas e Cobrejuntas d = 1/2" = 1.27 cm T = 150 MPa = 100 MPa

OBS: medidas em mm

16. Verificar a ligao rebitada abaixo sendo dados:

Rebites Chapas e Cobrejuntas d = 1/2" = 1,27 cm e = 220 MPa = 110 MPa


73

R: No h segurana

17. A junta longitudinal de uma caldeira de topo com cobrejunta duplo. O diametro interno da caldeira de 1,3 m , a espessura de sua chapa de 15 mm e as chapas de recobrimento (cobrejuntas) de 10 mm. Sabe-se que os rebites so colocados longitudinalmente a cada 8 cm. Determinar a presso interna que esta caldeira pode suportar e tambm a eficincia da ligao rebitada. Os rebites usados tem 12 mm de dimetro e so dados dos

Resistencia dos materiais Apostila 2007

Documents

Transcript of Resistencia dos materiais Apostila 2007

Aula 3 - Resistencia dos Materiais

Apostila Resistencia Dos Materiais 1

Aula 1 - Resistencia dos Materiais

Relatório rESISTENCIA DOS MATERIAIS

Resistencia materiais e dimensionamento

53561157 PROTEC Resistencia Dos Materiais

Eletromecanica Resistencia Dos Materiais

resistencia dos materiais explicações.pdf

Resistencia dos materiais apostila

Senai Resistencia Dos Materiais

Resistencia dos Materiais Exercicios

Resistencia dos-materiais

Apostila de Resistencia Dos Materiais

Apostila resistencia materiais unip

Resistencia Materiais - 5 Flexão

Resistencia de materiais

Aula 4 - Resistencia dos Materiais

Resistencia Materiais EAD

resistencia dos materiais - 2.pdf

RESISTENCIA DOS MATERIAIS 3°ed