RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Apostila Engª Produção

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Resistncia dos MateriaisEng de Produo FASA

do original: UFSC Departamento de Engenharia Civil Resistncia dos Slidos

Autor Prof. Enedir Ghisi, PhD Adaptado por Prof. Halley Wanderbak

Montes Claros, Agosto de 2008.

SumrioAgradecimentos... .........................................................................................................................................3 1. Introduo Resistncia dos Materiais ... ................................................................................................4 1.1. Estrutura ... ........................................................................................................................................4 1.1.1. Tipos de estrutura ... ..................................................................................................................4 1.1.2. Aes externas (cargas) ............................................................................................................5 1.1.3. Vnculos (ou apoios) ... ...............................................................................................................6 1.2. Equaes de equilbrio esttico ... .....................................................................................................7 1.2.1. Condies de equilbrio ... ..........................................................................................................8 1.3. Exerccios - Reaes de apoio ... ......................................................................................................9 2. Esforos internos ... ................................................................................................................................11 2.2. Exerccios - Diagramas de esforos internos via FTOOL ... ...........................................................14 2.2.1. Exerccios ... .............................................................................................................................18 2.3. Lista de exerccios (atividade extra-classe) ... .................................................................................19 3. Diagramas tenso x deformao ... ........................................................................................................21 3.1. Esforos internos... ..........................................................................................................................21 3.2. Barra carregada axialmente ... ........................................................................................................21 3.2.1. Distribuio dos esforos internos ...........................................................................................21 3.2.2. Tenso normal ... .....................................................................................................................21 3.3. Corpos de prova ... ..........................................................................................................................22 3.4. Deformao linear ... .......................................................................................................................22 3.5. Diagrama tenso x deformao ... ...................................................................................................22 3.5.1. Materiais dcteis e frgeis ... ....................................................................................................22 3.5.2. Lei de Hooke ... ........................................................................................................................23 3.5.3. Mdulo de elasticidade ... .........................................................................................................23 3.5.4. Propriedades mecnicas ... ......................................................................................................23 3.5.5. Forma geral da Lei de Hooke ... ...............................................................................................24 3.6. Anlise elstica e anlise plstica... ................................................................................................25 3.7. Classificao dos materiais... ..........................................................................................................25 3.8. Exerccios ... ....................................................................................................................................25 4. Trelias ... ...............................................................................................................................................26 4.1. Trelias planas ................................................................................................................................26 4.2. Esforos primrios e secundrios ... ................................................................................................26 4.3. Trelias isostticas ... ......................................................................................................................26 4.4. Mtodo dos ns ... ...........................................................................................................................27 4.4.1. Exerccios ... .............................................................................................................................27 4.5. Mtodo de Ritter ... ..........................................................................................................................28 4.5.1. Exerccios ... .............................................................................................................................28 4.6. Lista de exerccios (atividade extra-classe) ... .................................................................................28 5. Cisalhamento simples... ..........................................................................................................................30 5.1. Deformao no cisalhamento ... ......................................................................................................30 5.2. Mdulo transversal de elasticidade .................................................................................................30 5.3. Exerccios ... ....................................................................................................................................31 5.4. Ligaes soldadas... ........................................................................................................................31 5.5. Ligaes rebitadas ..........................................................................................................................31 5.5.1. Ligao com simples superposio .........................................................................................31 7. Flexo simples ... ....................................................................................................................................44 7.1. Projeto de vigas... ............................................................................................................................46 7.2. Verificao de vigas ........................................................................................................................46 7.3. Exerccios ... ....................................................................................................................................46 8. Flexo composta ... .................................................................................................................................49 8.1. Esforo normal excntrico... ............................................................................................................50 8.1.1. Exerccio ..................................................................................................................................51 8.2. Linha neutra ... .................................................................................................................................52 8.2.1. Linha neutra oblqua ... .............................................................................................................52 8.2.2. Linha neutra paralela ao eixo y... .............................................................................................52 8.2.3. Linha neutra paralela ao eixo z... .............................................................................................52

10. Toro ... ...............................................................................................................................................61 10.1. Toro de barras circulares ... .......................................................................................................61 10.2. Relao entre torque e ngulo de toro.......................................................................................62 10.3. Toro de barras circulares vazadas ... .........................................................................................62 10.5. Exerccios ... ..................................................................................................................................65 10.6. Lista de exerccios (atividade extra-classe) ... ...............................................................................66 11. Flambagem de colunas ... .....................................................................................................................67 11.1. Tenso crtica ... ............................................................................................................................68 11.2. Comprimento de flambagem ... .....................................................................................................69 11.3. Carga admissvel... ........................................................................................................................69 11.4. Exerccios ... ..................................................................................................................................69 11.5. Lista de exerccios (atividade extra-classe) ... ...............................................................................71 Referncias bibliogrficas ... .......................................................................................................................72 Apndice 1 ... ............................................................................................................................................. -

Agradecimentos arquiteta e mestranda do Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil, Marina Vasconcelos Santana, pelas ilustraes. Ao acadmico do curso de Arquitetura e Urbanismo, Olavo Avalone Neto, pela digitao de parte do contedo.

Autor Prof. Enedir Ghisi ; Adaptado por Halley Wanderbak

1. Introduo Resistncia dos MateriaisCronologicamente o desenvolvimento da resistncia dos materiais seguiu-se ao desenvolvimento das leis da esttica. A esttica considera os efeitos externos das foras que atuam num corpo, isto , o fato de as foras tenderem a alterar o estado de movimento do corpo. A resistncia dos materiais considera os efeitos internos, ou seja, o estado de tenses e deformaes que se origina no corpo. O estudo da resistncia dos materiais constitui-se na determinao das reaes vinculares externas e na caracterizao das solicitaes fundamentais, bem como na obteno da configurao deformada de um dado corpo slido deformvel submetido aes externas e certas condies de vnculos. Aps o clculo das aes vinculares externas, penetra-se no interior da estrutura para, em suas diversas sees, analisar os esforos internos: esforos normais de trao ou compresso, esforos cortantes, momentos fletores e torores, que provocam a mudana da forma original do corpo, ou seja, provocam a deformao e o conseqente aparecimento de tenses. Os problemas de resistncia dos materiais constituem a verificao e o projeto de estruturas. No problema de verificao, conhece-se a estrutura, suas dimenses, carregamento e material utilizado. A resoluo do problema consiste em calcular o menor coeficiente de segurana para a estrutura, ou seja, calcular o coeficiente de segurana no ponto mais solicitado de toda a estrutura. No problema de projeto ou dimensionamento, conhece-se a estrutura, o carregamento e o coeficiente de segurana mnimo prescrito por norma conforme o material. A resoluo do problema consiste em escolher o material, a forma e as dimenses da seo transversal da pea de modo que ela no venha a falhar devido ao carregamento esperado. Qualquer um dos problemas resolvido por condies matemticas que comparem as maiores tenses que ocorram na estrutura com as tenses limites que caracterizam a capacidade resistente do material utilizado na estrutura. A fim de responder a estas questes matemticas, deve ser respondida uma pergunta fundamental: Em que condies uma pea submetida a esforos entra em colapso estrutural? Quando, em um ponto, a deformao for elevada? Quando, em um ponto, a tenso for elevada? O colapso de um material determinado por critrios de ruptura definidos de acordo com a natureza do material. Portanto, necessrio conhecer as tenses e as deformaes mximas atuantes na estrutura, bem como o critrio de ruptura que o material obedece. O projeto de uma estrutura deve ser iniciado pela determinao das sees crticas das vigas, onde ocorrem os valores mximos da fora cortante, da fora normal e do momento fletor. Esses clculos se simplificam bastante pela construo dos diagramas de momento fletor, esforo cortante e esforo normal.

1.1. EstruturaA estrutura a parte da construo responsvel pela resistncia s aes externas e o objeto de estudo da resistncia dos materiais.

1.1.1. Tipos de estruturaAs estruturas podem ser classificadas de diversas formas: - quanto s dimenses - quanto vinculao Quanto s dimenses: - Reticulares: - uma dimenso predomina sobre as outras duas

(ex.: vigas, trelias, prticos planos, etc.)

- Laminares: - duas dimenses predominam sobre a terceira (ex.: fechamentos laterais, muros de arrimo e conteno , lajes, etc.)

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- Tridimensionais: - as trs dimenses tm a mesma ordem de grandeza (ex.: barragens)

Nesta disciplina ser dada nfase no estudo das estruturas reticulares planas.

1.1.2. Aes externas (cargas)Uma estrutura pode estar sujeita ao de diferentes tipos de carga, tais como presso do vento, reao de um pilar ou viga, as rodas de um veculo, o peso de mercadorias, etc. Estas cargas podem ser classificadas quanto ocorrncia em relao ao tempo e quanto s leis de distribuio. Quanto ocorrncia em relao ao tempo: Cargas Permanentes: Atuam constantemente na estrutura ao longo do tempo e so devidas ao seu peso prprio e dos revestimentos e materiais que a estrutura suporta. Tratam-se de cargas com posio e valor conhecidos e invariveis.

Cargas Acidentais: So aquelas que podem ou no ocorrer na estrutura e so provocadas por ventos, empuxo de terra ou gua, impactos laterais, frenagem ou acelerao de veculos, sobrecargas em edifcios, peso de materiais que preenchero a estrutura no caso de reservatrios de gua e silos, efeitos de terremotos, peso de neve acumulada (regies frias), etc.

Quanto s leis de distribuio: Cargas concentradas: So cargas distribudas aplicadas a uma parcela reduzida da estrutura, podendo-se afirmar que so reas to pequenas em presena da dimenso da estrutura que podem ser consideradas pontualmente (ex.: a carga em cima de uma viga, a roda de um automvel, etc.). Cargas distribudas: Podem ser classificadas em uniformemente distribudas e uniformemente variveis.

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6Uniformemente distribudas: So cargas constantes ao longo ou em trechos da estrutura (ex.: peso prprio, peso de uma parede sobre uma viga, presso do vento em uma mesma altura da edificao, etc.).

Hh

VentoUniformemente variveis: So cargas triangulares (ex.: carga em paredes de reservatrio de lquido, carga de gros a granel, empuxo de terra ou gua, vento ao longo da altura da edificao, etc.).

1.1.3. Vnculos (ou apoios)A funo bsica dos vnculos ou apoios de restringir o grau de liberdade das estruturas por meio de reaes nas direes dos movimentos impedidos, ou seja, restringir as tendncias de movimento de uma estrutura. Os vnculos tm a funo fsica de ligar elementos que compem a estrutura, alm da funo esttica de transmitir as cargas ou foras. Os vnculos ou apoios so classificados em funo de nmero de movimentos impedidos. Para estruturas planas existem trs tipos de vnculos: Vnculos de Primeira Ordem (apoio simples): So aqueles que impedem deslocamento somente em uma direo, produzindo reaes equivalentes a uma fora com linha de ao conhecida. Apenas uma reao ser a incgnita.

Oou V

Oou V V

O deslocamento na posio y impedido, logo, nesta direo, tem-se uma reao de apoio V . Vnculos de Segunda Ordem (articulao plana): So aqueles que restringem a translao de um corpo livre em todas as direes, mas no podem restringir a rotao em torno da conexo. Portanto, a reao produzida equivale a uma

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7fora com direo conhecida, envolvendo duas incgnitas, geralmente representadas pelas componentes x e y da reao.H V Oou H V Oou H V

Vnculo de Terceira Ordem (engaste ou apoio fixo): So aqueles que impedem qualquer movimento de corpo livre, imobilizando-o completamente.

M Estrutura EngasteObservao: Os vnculos podem ser chamados de 1a, 2a e 3a ordem ou classe ou gnero ou tipo. Classificao da estrutura quanto vinculao: Isosttica: tem o nmero necessrio de vnculos para impedir o deslocamento. Bastam as equaes fundamentais da esttica para determinar as suas reaes de apoio. Hiposttica: tem menos vnculos do que o necessrio. Hipersttica: tem nmero de vnculos maior que o necessrio. O nmero de reaes de apoio excede o das equaes fundamentais da esttica. Exemplo: Determinar, qualitativamente, as reaes de apoio resultantes na estrutura abaixo: 500N 100N 200N

H V

A

B

1.5

2.5

2.0

1.2. Equaes de equilbrio estticoFora: tudo que altera o estado de repouso ou o movimento de um corpo. Sua unidade no S.I. N (Newton). As foras so quantidades vetoriais com direo, sentido e intensidade. Direo Sentido Intensidade Observao: 1 kgf = 10 N

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8Y Kj X Ki Kk Z F = iFx + jFy + kF z Momento:se chama momento de uma fora F em relao ao ponto zero ao produto vetorial M = om x F (m um ponto situado sobre a linha de ao de F). Sua unidade no S.I. Nm (Newton x metro).

F

0

m

Os momentos tambm so quantidades vetoriais com direo, sentido e intensidade. Direo Sentido Intensidade Y Kj X

Ki Kk Z M= i M + jM + k Mx y

z

1.2.1. Condies de equilbrioPara um corpo, submetido a diferentes foras, estar em equilbrio, necessrio que as foras no provoquem tendncia rotao e translao. Translao depende das foras resultantes: F = 0 Rotao depende dos momentos resultantes: M = 0 Logo, tem-se as seis equaes fundamentais da esttica: Fx = 0; Fy = 0; Fz = 0 Mx = 0; My = 0; Mz = 0

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91.3. Exerccios - Reaes de apoioDeterminar as reaes de apoio para as estruturas dadas abaixo. Exerccios a serem resolvidos em sala de aula. 1. Viga biapoiada com carga concentrada: 400N

A 2,0m 2,0m

B

2. Viga biapoiada com carga concentrada:

400N A 3,0m 1,0m B

3. Viga biapoiada com carga concentrada:

400N A 3,0m 45B 1,0m

4. Viga engastada com carga concentrada:

200N

A 2,0m

B

5. Viga biapoiada com momento aplicado:

100Nm 2,0m 2,0m

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106. Prtico com carga concentrada e momento aplicado:

6t 8tm A C 3,0m D 3,0m B 4,0m 4,0m 4t

7. Viga biapoiada com cargas concentradas na direo horizontal:

1kN A0,5 0,5

B 1kN 2,0m 2,0m

8. Viga biapoiada com carga uniformemente distribuda:

Lq[N/m] A Ll B

9. Viga engastada com carga uniformemente varivel e uniformemente distribuda:

2kN/m 1kN/m 10kNm

3,0m 2,0

1,0

2,0m 1,0 1,0

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2. Esforos internosViu-se, anteriormente, os esforos que atuam numa estrutura em equilbrio. Veremos agora os esforos que atuam numa seo qualquer da estrutura, provocados por foras ativas e reativas. Numa seo qualquer, para manter o equilbrio, as foras da esquerda devem ser iguais s da direita.R R

E

D

M

M

Uma seo S de uma estrutura em equilbrio est submetida a um par de foras R e -R e um par de momentos M e -M aplicados no seu centro de gravidade, resultantes das foras atuantes direita e esquerda da seo. R M

R M Decompondo a fora resultante e o momento em duas componentes, uma perpendicular e a outra paralela seo, teremos:

M

M0

NT

Q

R

Assim, tm-se os seguintes esforos solicitantes: N = fora normal (fora perpendicular seo S); Q = esforo cortante (fora pertencente seo S); T = momento toror (momento perpendicular seo S); M = momento fletor (momento pertencente seo S). Esforo Normal (N): a soma algbrica de todas as componentes, na direo normal seo, de todas as foras atuantes de um dos lados da seo. Por conveno, o esforo normal positivo quando determina trao e negativo quando determina compresso.

N

NN N

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12Esforo Cortante (Q): a soma vetorial das componentes sobre o plano da seo das foras situadas de um mesmo lado da seo. Por conveno, as projees que se orientarem no sentido dos eixos sero positivas e nos sentidos opostos, negativas.Qy Z Qz Q CG Qy Y Y Z CG Qz Q

Momento Fletor (M): a soma vetorial das componentes dos momentos atuantes sobre a seo, situados de um mesmo lado da seo em relao ao seu centro de gravidade.

Z

Mz

M

Trao Compresso

M Y No caso de momento fletor, o sinal positivo ou negativo irrelevante, importante determinar o seu mdulo e verificar onde ocorre compresso e trao. Trao Mz

My

Trao

Compresso

Compresso

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142.2. Diagramas de esforos internos ( p/ Laboratrio FTOOL )Viga biapoiada com carga concentrada:

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15Viga biapoiada com carga uniformemente distribuda:

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16Balano com carga uniformemente distribuda:

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17Viga biapoiada com carga triangular:

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182.2.1. ExercciosTraar os diagramas de momento fletor, esforo cortante e esforo normal para as estruturas dadas abaixo. Exerccios a serem resolvidos via FTOOL.

1)

2)

3)

4)

5)

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192.3. Lista de exerccios (atividade extra-classe)Traar os diagramas de momento fletor, esforo cortante e esforo normal para as estruturas dadas abaixo. 1) 2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

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2011)

12)

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21

3. Diagramas tenso x deformao3.1. Esforos internosO objetivo principal deste mdulo estudar os esforos ou efeitos internos de foras que agem sobre um corpo. Os corpos considerados no so supostos perfeitamente rgidos; so corp os deformveis de diferentes formas e submetidos a diferentes carregamentos.

3.2. Barra carregada axialmenteConsiderando-se uma barra prismtica (de eixo reto e seo transversal constante) sob ao de duas foras iguais e opostas, coincidentes com o seu eixo, a barra tracionada quando as foras so direcionadas para fora da barra. Em caso contrrio, a barra comprimida.

PTRAO

P

PCOMPRESSO

P

Sob a ao dessas foras externas surgem esforos internos na barra; para o seu estudo, imagina-se a barra cortada ao longo de uma seo transversal qualquer. Removendo-se a parte do corpo situada direita do corte, tem-se a situao onde est apresentada a ao que a parte suprimida exercia sobre o restante.

Pa P Pa P P P

Atravs deste artifcio, os esforos internos na seo considerada transformam -se em externos. Para que no se altere o equilbrio, estes estoros devem ser equivalentes resultante, tambm axial de intensidade P, e devem ser perpendiculares seo transversal considerada.

3.2.1. Distribuio dos esforos internosA distribuio dos esforos resistentes ao longo de todos os pontos da seo transversal considerada uniforme embora talvez nunca se verifique na realidade. O valor exato do esforo que atua em cada ponto funo da natureza cristalina do material e da orientao dos cristais no ponto.

3.2.2. Tenso normalQuando o esforo interno resistente atuando em cada ponto da seo transversal for perpendicular esta seo, recebe o nome de tenso normal. A tenso normal tem a mesma unidade de presso, ou seja, fora por unidade de rea. No exemplo em questo, a intensidade da tenso normal em qualquer ponto da seo transversal obtida dividindo-se a fora P pela rea A da seo transversal.

= P/AOnde:

a tenso normal (N/m2);P a fora aplicada na seo transversal (N); A a rea da seo transversal (m2). Se a fora P de trao, a tenso normal de trao. Se a fora P de compresso, a tenso normal de compresso.

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223.3. Corpos de provaPara a anlise de tenses e deformaes, corpos de prova so ensaiados em laboratrio. Os ensaios so padronizados: a forma e as dimenses dos corpos de prova variam conforme o material a ser ensaiado ou o tipo de ensaio a se realizar.

3.4. Deformao linearEnsaiando-se um corpo de prova trao, com foras axiais gradualmente crescentes e medindo-se os acrscimos sofridos pelo comprimento inicial, pode-se obter a deformao linear.

P L L P L

P

P

= L/LOnde:

a deformao linear (adimensional);L o acrscimo do comprimento do corpo de prova devido aplicao da carga (m); L o comprimento inicial do corpo de prova (m).

3.5. Diagrama tenso x deformaoPode-se ento medir os diversos Ls correspondentes aos acrscimos da carga axial aplicada barra e realizar o ensaio at a ruptura do corpo de prova. Chamando de A a rea da seo transversal inicial do corpo de prova, a tenso normal P/A.

pode ser determinada para qualquer valor de P, com .

a frmula

=

Obtm-se, assim, diversos pares de valores e recebe o nome de diagrama tenso x deformao. Exemplos de diagrama tenso x deformao:

A representao grfica da funo que os relaciona

0

O diagrama tenso x deformao varia muito de material para material e, dependendo da temperatura do corpo de prova ou da velocidade de crescimento da carga podem ocorrer resultados diferentes para um mesmo material. Entre os diagramas tenso x deformao de vrios grupos de materiais possvel, no entanto, distinguir algumas caractersticas comuns que nos levam a dividir os materiais em duas importantes categorias: materiais dcteis e materiais frgeis.

3.5.1. Materiais dcteis e frgeisMaterial dctil aquele que apresenta grandes deformaes antes de se romper (ao e alumnio, por exemplo), enquanto que o frgil aquele que se deforma relativamente pouco antes de se romper (ferro

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23fundido e concreto, por exemplo).

3.5.2. Lei de HookePara os materiais dcteis, observa-se que a funo tenso x deformao, no trecho OP, linear. Esta relao linear entre os deslocamentos e as cargas axiais foi apresentada por Robert Hooke em 1678 e conhecida como Lei de Hooke. Logo, o trecho OP do diagrama representado por:

P

=EOnde:

a tenso normal (N/m2);E o mdulo de elasticidade do material (N/m 2) e representa a tangente do ngulo que a reta OP forma com o eixo ; a deformao linear (adimensional).

3.5.3. Mdulo de elasticidadeA constante E representa o mdulo de elasticidade do material sob trao e tambm pode ser chamada de Mdulo de Young. Tabelas com os mdulos de elasticidade de diferentes materiais podem ser obtidas em manuais ou livros de engenharia.

3.5.4. Propriedades mecnicasA anlise dos diagramas tenso x deformao permite caracterizar diversas propriedades do material: Limite de proporcionalidade: A tenso correspondente ao ponto P recebe o nome de limite de proporcionalidade e representa o valor mximo da tenso abaixo da qual o material obedece a Lei de Hooke. Para um material frgil, no existe limite de proporcionalidade (o diagrama no apresenta parte reta). Limite de elasticidade: Muito prximo a P, existe um ponto na curva tenso x deformao ao qual corresponde o limite de elasticidade; representa a tenso mxima que pode ser aplicada barra sem que apaream deformaes residuais ou permanentes aps a retirada integral da carga externa. Para muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e proporcionalidade so praticamente iguais, sendo usados como sinnimos. Regio elstica: O trecho da curva compreendido entre a origem e o limite de proporcionalidade recebe o nome de regio elstica. Regio plstica: O trecho da curva entre o limite de proporcionalidade e o ponto de ruptura do material; chamado de regio plstica.

Regio Plstica Regio Elstica

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24Limite de escoamento: A tenso correspondente ao ponto Y tem o nome de limite de escoamento. A partir deste ponto, aumentam as deformaes sem que se altere praticamente o valor da tenso. Quando se atinge o limite de escoamento, diz-se que o material passa a escoar-se. Limite de resistncia (ou resistncia trao): A tenso correspondente ao ponto U recebe o nome de limite de resistncia. Limite de ruptura: A tenso correspondente ao ponto R recebe o nome de limite de ruptura (ocorre a ruptura do corpo de prova).

U Y P R

Tenso admissvel: Obtm-se a tenso admissvel dividindo-se a tenso correspondente ao limite de resistncia ou a tenso correspondente ao limite de escoamento por um nmero, maior do que a unidade (1), denominado coeficiente de segurana. A fixao do coeficiente de segurana feita nas normas de clculo ou, s vezes, pelo prprio calculista, baseado em experincia prpria.

adm = res/s adm = esc/sLimite de escoamento de materiais frgeis: Denomina-se agora o limite de escoamento como a tenso que corresponde a uma deformao permanente, pr-fixada, depois do descarregamento do corpo de prova. Fixa-se 1, traa-se a reta tangente curva partindo da origem, traa-se uma reta paralela tangente passando por O; sua interseo com a curva determina o ponto Y que corresponde ao limite de escoamento procurado. Coeficiente de Poisson: a relao entre a deformao transversal e a longitudinal verificada em barras tracionadas recebe o nome de coeficiente de Poisson (). Para diversos metais, o coeficiente de Poisson varia entre 0,25 e 0,35.

Y

0

1

0

Yy

=

[ deformao especfica transversal

/Yz P Yx

deformao especfica longitudinal ]

= [y / x] ou = [z / x] 3.5.5. Forma geral da Lei de Hooke

Considerou-se, anteriormente, o caso particular da Lei de Hooke aplicvel ao caso simples de solicitao axial. No caso mais geral, em que um elemento do material est solicitado por trs tenses normais Hooke se escreve da seguinte forma:

z, perpendiculares entre si, s quais correspondem, respectivamente, as deformaes x, y e z, a Lei de x = (1/E) [x - (y + z)] y = (1/E) [y - (x + z)] z = (1/E) [z - (x + y)]

x, y e

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253.6. Anlise elstica e anlise plsticaTenses e deformaes nas regies plsticas dos materiais so freqentemente permitidas em certas estruturas. Algumas normas construtivas permitem que certos membros estruturais sofram deformaes plsticas e certos componentes de avies e msseis so projetados deliberadamente para agir na regio plstica de modo a se obter menores pesos. Para pequenas deformaes plsticas de aos estruturais de baixo e mdio carbono, a curva de tenso x deformao normalmente representada por duas linhas retas, uma com inclinao definida por E, representando a regio elstica, outra horizontal, representando a regio plstica. Tal curva de tenso x deformao representa um, assim chamado, material elstico e perfeitamente plstico; no levando em considerao deformaes plsticas ainda menores que ocorrem na regio mostrada na poro direita da curva tenso x deformao.

3.7. Classificao dos materiaisO contedo que foi apresentado neste captulo 3 baseia-se na hiptese de que o material satisfaa a duas condies, isto , que seja: Material homogneo: Com as mesmas propriedades (mesmos E e ), em todos os seus pontos. Material istropo: Com as mesmas propriedades, qualquer que seja a direo escolhida, no ponto considerado. Nem todos os materiais so istropos. Se um material no possui qualquer espcie de simetria elstica, ele chamado anistropo e, vezes, aeltropo. Em lugar de dias constantes elsticas (E e ), que definem o slido istropo que obedece Lei de Hooke, tal substncia ter 21 constantes elsticas. Se o material possui trs planos de simetria elstica, perpendiculares entre si, ele recebe o nome de orttropo. Nesse caso, o nmero de constantes independentes 9. Aqui se consideram somente os materiais istropos e homogneos que obedecem Lei de Hooke.

3.8. Exerccios1) Uma barra de 3 metros de comprimento tem seo transversal retangular de 3 cm x 1 cm. Determinar o alongamento produzido pela carga axial de 60N. O mdulo de elasticidade do material de 200000 N/mm2.

60N

60N

2) Uma barra de 30 cm de comprimento e dimetro de 1 cm sofre um alongamento produzido por uma carga de 5 toneladas. O mdulo de elasticidade do material de 150000 N/mm2. Determinar o alongamento da barra.

5t

5t

3) Uma barra de 500 mm de comprimento e 16 mm de dimetro tracionada por uma carga axial de 12 kN. O seu comprimento aumenta em 0,3 mm e o seu dimetro se reduz em 0,0024 mm. Determinar o mdulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material.

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4. TreliasAs trelias so um tipo de estrutura usado em engenharia normalmente em projetos de pontes e edifcios. Uma trelia uma estrutura composta de barras retas articuladas nas juntas.

Em geral as barras de uma trelia so finas e podem suportar pequena carga lateral. Todas as cargas so, portanto, aplicadas s juntas e no s barras. Embora as barras sejam unidas por meio de conexes pivotadas ou soldadas, costuma-se considerar que as barras so unidas atravs de pinos; logo, as foras que atuam em cada extremidade de uma barra reduzem-se a uma nica fora sem nenhum momento. Cada barra pode ento, ser tratada como uma barra sob a ao de duas foras; e a trelia pode ser considerada como um grupo de pinos e barras com duas foras. A ao das foras sobre uma barra individual pode provocar esforos de trao ou compresso.

4.1. Trelias planasSo estruturas constitudas por barras de eixo retilneo, articuladas entre si em suas extremidades, formando malhas triangulares. As articulaes (ou juntas) so chamadas de ns. Como as cargas externas so aplicadas somente nos ns, as barras das trelias so solicitadas apenas por foras normais. Hipteses de Clculo: 1) As barras que formam a trelia ligam-se por meio de articulaes sem atrito. 2) As cargas e as reaes so aplicadas somente nos ns da trelia. 3) O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulaes nas extremidades. 4) As barras so solicitadas somente por esforo normal.

4.2. Esforos primrios e secundriosSempre que as barras da trelia forem dispostas de modo que os eixos se cruzem em um nico ponto, os esforos secundrios so desprezveis (por exemplo: a flexo que surge nas barras devido rigidez dos ns).

4.3. Trelias isostticasConhecendo-se os esforos externos ativos, atravs das equaes de equilbrio da esttica, pode-se determinar tanto as reaes nos apoios quanto as foras normais nas barras. Condio necessria, mas no suficiente, para que uma trelia seja isosttica: 2n = b + v

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27Onde:

n = nmero de ns na trelia, incluindo os vnculos externos; b = nmero de barras da trelia; v = nmero total de reaes dos vnculos externos; b + v indica o nmero de incgnitas do problema.

Logo, a condio necessria de que o nmero de equaes seja igual ao nmero de incgnitas. Exemplo:

Enquanto a trelia da esquerda isosttica, a da direita no o , pois a malha BCFE deformvel (hipoesttica), no tendo condies de permanecer em equilbrio (a no ser sob carregamentos particulares). O trecho ABED hiperesttico. Assim, a condio 2n = b + v necessria, mas no suficiente, pois alm de verificada esta condio preciso que as malhas sejam triangulares.

4.4. Mtodo dos nsConsiste em determinar as foras atuantes em cada n da trelia.

4.4.1. ExercciosDeterminar o esforo normal em cada barra das trelias abaixo indicadas: 1)

2)

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284.5. Mtodo de Ritter ( das Sees)Consiste em cortar a trelia de modo a evidenciar os esforos internos (solicitantes) das barras em que se quer determin-los. O corte deve seccionar no mximo trs barras da trelia (nmero de incgnitas a determinar).

4.5.1. Exerccios1) Determinar o esforo normal em cada barra da trelia abaixo indicada:

2) Determinar o dimetro das barras da trelia do exerccio anterior. A tenso admissvel do material trao de 210 N/mm e compresso de 120 N/mm. O mdulo de elasticidade do material de 210.000 N/mm.

4.6. Lista de exerccios (atividade extra-classe)Determinar o esforo normal em cada barra das trelias abaixo indicadas, especificando se o esforo de compresso ou trao. 1) 2)

3

4)

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5. Cisalhamento simplesFora cortante Q uma fora que atua no plano de uma seo transversal. A fora cortante provoca, em cada ponto da seo, o aparecimento de uma tenso tangencial denominada tenso de cisalhamento, representada pela letra grega (tau).

= Q/AOnde:

a tenso de cisalhamento (N/m2);Q a fora cortante aplicada na seo transversal (N); A a rea da seo transversal (m2). Com relao distribuio das tenses de cisalhamento, admite-se, com preciso satisfatria, para os fins da prtica, a hiptese da distribuio uniforme, segundo a qual, em todos os pontos da seo se tenha a mesma tenso mdia .

5.1. Deformao no cisalhamentoConsidere-se a deformao de um elemento plano retangular, cortado em um corpo onde as foras que nele atuam do origem somente tenses de cisalhamento. Como no existem tenses normais atuando no elemento, os comprimentos das arestas no se alteram com a aplicao das tenses de cisalhamento. No entanto, aparece uma distoro dos ngulos inicialmente retos. A variao radianos (adimensional).

do ngulo A, inicialmente reto, denomina-se distoro e expressa em

5.2. Mdulo transversal de elasticidadeDesde que o material obedea Lei de Hooke, h proporcionalidade entre a tenso de cisalhamento e a distoro. A constante de proporcionalidade chamada de mdulo transversal de elasticidade e designada pela letra G. Na trao tnhamos que E = / No cisalhamento teremos: G = / A determinao experimental de G pela regio de proporcionalidade entre e feita atravs de diagramas tenso x deformao para cisalhamento. Esses diagramas so semelhantes queles obtidos em ensaios de trao. Todavia, valores tais como tenso de escoamento, limite de resistncia, etc para um determinado material, do em torno da metade dos valores obtidos no ensaio de trao desse mesmo material.

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315.3. Exerccios1) Um bloco retangular feito de material que tem mdulo de elasticidade transversal de 600 MPa. O bloco colado a duas placas horizontais rgidas. A placa inferior fixa e a superior submetida uma fora P. Sabendo-se que a placa superior se move 0,8 mm sob a ao da fora, determine: (a) a deformao de cisalhamento no material, (b) a fora P que atua na placa superior.

2) Na ligao rebitada abaixo atua um carregamento axial de 20 kN. Determine a tenso de cisalhamento no pino, sabendo-se que o mesmo tem um dimetro de 1 cm.

5.4. Ligaes soldadasPara o caso da ligao soldada indicada na figura abaixo, a rea que resiste ao cisalhamento dada por e A = 2.b.l (pois tem-se solda nos dois lados); b = (deduo por mtodos de Tecnologias da Soldagem). 2

5.5. Ligaes rebitadasA unio de duas chapas por meio de rebites pode ser feita de vrias maneiras: Exemplo: Ligao com simples superposio, cada rebite proporciona uma seo resistente.

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7. Flexo simplesNo estudo da flexo simples sero analisadas as tenses internas decorrentes de momentos fletores. Para isso, analisemos as seguintes imagens:

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45Supondo uma viga biapoiada com um carregamento qualquer e um momento fletor Mx conhecido na seo S e isolando-se a zona esquerda de S tem-se:

Na seo transversal, x e y so eixos principais de inrcia (passando pelo centro de gravidade). Supondo que a seo S, plana antes da atuao do momento Mx, continuar plana aps a atuao deste momento, ento a seo S antes da atuao de Mx, passar para a posio S aps a atuao de Mx. Analisando uma fibra genrica f na parte inferior da viga, observa -se que o seu alongamento proporcional coordenada y e independe da coordenada x. Logo, as tenses normais causadas por Mx nos diversos pontos da seo S tm distribuio linear ao longo de y e independentes de x. Assim, o diagrama de tenses ser:

De acordo com o exposto possvel admitir uma lei de variao das tenses normais nos diversos pontos da seo. Tal lei = c.y , onde c uma constante no nula. Como as tenses normais so provocadas pelo momento Mx, o momento resultante das tenses em relao ao eixo x deve ser o prprio Mx. Logo: M=Fd= Ad No nosso caso temos:

M =x

ydA =A

cyydA = cA

y2dAA

Como j sabemos que

A

y2 dA = I x , teremos:

M =cx

y 2 dA = cIA x

Portanto, a constante c ser dada por:

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46c=M Ix x

Assim, a tenso normal ser dada por: = Mx

y [N/m2]

Ix Pode-se fazer tambm: M = x w onde w =x

y

I chamado de mdulo de resistncia flexo [m3 ].

7.1. Projeto de vigasO projeto de vigas de seo constante e material homogneo segue os seguintes passos: a) Calcular o momento fletor mximo; b) Verificar as tenses mximas de trao e compresso em funo do momento; c) Comparar as tenses mximas de trao e compresso com as tenses admissveis do material; d) Calcular as dimenses da seo transversal.

7.2. Verificao de vigasEm um problema de verificao deve-se calcular o coeficiente de segurana seguindo os seguintes passos: a) Calcular o momento fletor mximo; b) Calcular o coeficiente de segurana no ponto em pior situao na seo mais solicitada.

7.3. Exerccios1) Tem-se uma seo quadrada de lado a e uma seo circular de raio R, ambas co m mesma rea. Qual possui maior resistncia flexo?

2) Uma viga de madeira, com seo transversal de 30 x 40 cm, pesa 75 kgf/m e suporta uma carga concentrada de 2000 kgf aplicada na extremidade com sentido de baixo para cima. Determinar as mximas tenses de flexo numa seo a 2 m da extremidade livre.

3) Para o exerccio anterior considere L = 6m e determine as tenses de flexo no engaste.

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8. Flexo compostaNo estudo de flexo composta so estudadas colunas submetidas a esforos excntricos, ou seja, aplicados fora do centro de gravidade da seo transversal da estrutura. Para isso, analisemos as seguintes imagens:

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8.1. Esforo normal excntricoSeja o pilar abaixo, submetido a uma carga P cuja direo a mesma do eixo do pilar. A seo transversal constante e seus eixos principais de inrcia so y e z.

A posio do ponto de aplicao da carga P (ponto A) determinada pelas distncias L y e Lz. Transladando P ao baricentro tem-se: My = P Ly Mz = P Lz

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51Tem-se ento dois sistemas vetorialmente equivalentes. a) Carga P aplicada no ponto A. b) Carga P aplicada no CG mais o momento M y atuando em torno do eixo y e mais o momento M z atuando em torno do eixo z. Analisando-se a distribuio de tenses atravs do segundo sistema tem-se: Seo transversal submetida carga P: tem-se compresso normal simples.

' =

P A

Seo transversal submetida ao momento Mz: O momento fletor Mz provoca tenses normais de trao na zona do semi-eixo y negativo e compresso na zona do semi-eixo y positivo. A linha neutra o eixo z.

' ' =

Mz y Iz

Seo transversal submetida ao momento My: O momento fletor My provoca tenses normais de trao na zona do semi-eixo z positivo e compresso na zona do semi-eixo z negativo. A linha neutra o eixo y.

My ' '' = Iy

z

Por superposio de efeitos tem-se:

=

+

+

a tenso em qualquer ponto da seo transversal.8.1.1. Exerccio1) Verificar as tenses provocadas nos pontos indicados na seo transversal quando uma carga P posicionada em A.

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528.2. Linha neutraA linha neutra caracterizada por tenses nulas ( = 0)

8.2.1. Linha neutra oblquaPara Lz 0 e Ly 0, a linha neutra oblqua em relao aos eixos y e z. Neste caso tem-se flexo composta oblqua.

8.2.2. Linha neutra paralela ao eixo yPara Lz = 0 e Ly 0, a carga aplicada em um ponto sobre o eixo z e a linha neutra paralela ao eixo y. Neste caso tem-se flexo composta normal.

8.2.3. Linha neutra paralela ao eixo zPara Lz 0 e Ly = 0, a carga aplicada em um ponto sobre o eixo y e a linha neutra paralela ao eixo z. Neste caso tambm tem-se flexo composta normal.

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10. Toro10.1. Toro de barras circularesConsidere-se uma barra de seo transversal circular sofrendo toro por meio de momentos torores (torque) atuando em suas extremidades.

Durante a toro haver rotao em torno do eixo longitudinal. Considerando-se fixa a extremidade esquerda da barra, a da direita gira num ngulo em relao primeira. A linha nn gira num pequeno ngulo para nn. Tomando -se um elemento retangular sobre a superfcie da barra, entre duas sees transversais afastadas de dx, tem-se:

Os comprimentos dos lados do elemento no variam durante esta rotao, porm os ngulos dos vrtices no continuam retos. Logo, o elemento est em estado de cisalhamento puro e portanto a deformao de cisalhamento ser: = bb Rd 'ab = dx

Quando uma barra circular sofre toro pura, a taxa de variao d do ngulo de toro constante ao longo do comprimento dx da barra. Essa constante o ngulo de toro por unidade de comprimento e ser designado por . = L logo = R = R L

As tenses de cisalhamento que agem nos lados do elemento, como visto anteriormente na disciplina, para material elstico, sero dadas por:

=G =GRG o mdulo de elasticidade transversal. O estado de tenses no interior do eixo (barra circular) pode ser determinado de forma anloga.

=r

=G =Gr

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6210.2. Relao entre torque e ngulo de toroUma vez que o momento de toro causa o aparecimento de tenses de cisalhamento, deveremos ter que o momento resultante das tenses tangenciais em relao ao eixo 0 deve ser igual ao momento de toro. Logo: M = Fd =T

A

dA r = G r dA r = G r2 dA

A

A

Como

rA

2.dA

representa o momento de inrcia polar (I) da seo transversal circular, teremos:

MT = G I Ou = MT GI Como visto anteriormente, = G r , logo pode-se escrever que = Dessa forma, igualando as duas equaes de , teremos: MT GI=

Gr

Gr

Portanto, = MT r I Para r = R, = max Para r = 0, = 0 Observao: para um crculo de raio R, o momento de inrcia polar (I) da seo transversal dado por: D I= R 2 = 32 O ngulo de toro por unidade de comprimento = = MT / GI x L4 4

MT e o ngulo total de toro = L, logo: GI

10.3. Toro de barras circulares vazadasComo visto, a tenso de cisalhamento em barras circulares mxima na superfcie e nula no centro. Em conseqncia, grande parte do material trabalha com tenses bem inferiores admissvel. Se a reduo de peso e a economia de material forem fatores importantes prefervel usar eixos vazados. A anlise de toro de barras circulares vazadas baseia-se nas mesmas hipteses levantadas na anlise de barras circulares cheias (vista na seo anterior). Portanto, as expresses para as tenses e deformaes de cisalhamento deduzidas anteriormente podem ser utilizadas observando-se que a distncia radial fica limitada ao intervalo entre R1 e R2. Observao: o momento de inrcia polar (I) da seo transversal vazada dado por: I = / 2 ( R24 R14) = / 32 ( D24 D14)

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6510.5. Exerccios1. Dada a barra circular abaixo, determine a mxima tenso de cisalhamento (resposta em N/cm 2).

2. Determine as tenses de cisalhamento na parte interna e externa de um tubo vazado quando submetido a um torque de 4 kgf.m. O dimetro interno do tubo de 15mm e o externo, de 25mm (resposta em kN/cm 2).

3. Sabendo-se que o tubo da questo anterior tem comprimento de 2m e que o seu mdulo de elasticidade transversal de 8000 kN/cm2, determine o ngulo total de toro. 4. Qual o maior momento de toro que pode ser aplicado ao eixo circular vazado abaixo para que as tenses de cisalhamento no excedam a 120 MPa? Qual o valor mnimo da tenso de cisalhamento para este caso?

5. Determine a tenso de cisalhamento para um tubo de parede delgada sujeito a um torque de 3000 kgf.m. O dimetro interno do tubo de 20cm, o dimetro externo de 24cm e a espessura da parede de 2cm. 6. Dada uma barra circular macia com diferentes dimetros e diferentes torques aplicados conforme a figura abaixo, pede-se: (a) A mxima tenso de cisalhamento; (b) O ngulo de toro (em graus) entre as duas extremidades sabendo-se que o mdulo de elasticidade transversal do material de 8500 kgf/mm2.

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6610.6. Lista de exerccios (atividade extra-classe)1. Determine a mxima tenso de cisalhamento e o ngulo de toro entre as duas extremidades da barra circular abaixo (Dimetro = 10 cm). O mdulo de elasticidade transversal do material 10000 kgf/mm2.

2. Determine a mxima tenso de cisalhamento e o ngulo de toro entre as duas extremidades da barra circular vazada representada abaixo (Dimetro externo = 10 cm, Dimetro interno = 3 cm). O mdulo de elasticidade transversal do material 9000 kgf/mm 2.

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11. Flambagem de colunasNeste ltimo mdulo da disciplina (aleluia!) estuda-se a estabilidade da estrutura, ou seja, sua capacidade para suportar uma dada carga sem sofrer uma mudana brusca em sua configurao. O estudo ser voltado para colunas suportando cargas axiais. Vejamos as seguintes imagens:

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68Uma coluna qualquer de comprimento L que vai suportar uma carga qualquer P estar bem dimensionada se a rea A da seo transversal for escolhida de modo que a tenso normal em qualquer ponto da seo transversal fique abaixo da tenso admissvel trao ou compresso do material usado; e se a deformao se mantiver dentro de especificaes recomendadas. No entanto, pode ocorrer o fenmeno da flambagem quando a carga P aplicada; em vez de permanecer com seu eixo retilneo, a coluna se torna encurvada. A coluna que flamba sob o carregamento especificado no clculo no est dimensionada corretamente. Se a condio de equilbrio perturbada, o sistema retornar sua posio original de equilbrio desde que a carga P no exceda a um certo valor Pcr, denominado carga crtica. Se P < Pcr ento o sistema estvel. A carga crtica determinada atravs da Frmula de Euler (Leonhard Euler, matemtico suo, 1707 1783), dada abaixo: Pcr = 2 EI L2 f

onde: Pcr = carga crtica; E = mdulo de elasticidade; I = momento de inrcia; Lf = comprimento de flambagem. No caso de colunas com seo transversal quadrada ou circular, o momento de inrcia da seo transversal em relao a qualquer eixo baricntrico o mesmo, de modo que a coluna pode flambar em qualquer plano. Para sees transversais de outras formas, a carga crtica deve ser calculada para I = Imin. Se a flambagem ocorrer, ela acontecer em um plano perpendicular ao eixo principal de inrcia correspondente.

11.1. Tenso crticaA tenso crtica dada por: P cr 2 EI 2 A = AL f Do estudo de propriedades geomtricas de superfcies planas, temos que I = r 2 A, onde r o raio de girao e A, a rea da seo transversal. Logo: cr = cr EAr =2 AL f 2 2

Er =2

2

2

Lf Esta equao pode ser reescrita na forma: E

cr =

(

Lf ) r

2

A parcela Lf chamada de ndice de esbeltez e representada pela letra . Assim, teremos: r

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69cr = E 2

Observao: o raio de girao deve ser aquele correspondente ao momento de inrcia mnimo.

11.2. Comprimento de flambagemO comprimento de flambagem dado pela seguinte frmula: Lf =kL Onde: Lf = comprimento de flambagem; k = coeficiente que depende dos tipos de vnculo da coluna; L = comprimento real da coluna. O coeficiente k dado abaixo para quatro diferentes situaes:

11.3. Carga admissvelPara garantir que no ocorra flambagem, adota-se um coeficiente de segurana e calcula-se a carga admissvel, da seguinte forma: P adm = onde: Padm Pcr s P cr s

= carga admissvel; = carga crtica; = coeficiente de segurana.

11.4. Exerccios1. Determinar a carga crtica de flambagem de um pilar de 2 m com extremidades articuladas sabendose que o mdulo de elasticidade do material de 200.000 kgf/cm. A seo transversal mede 10 x 15 cm.

2. Supondo-se que a tenso crtica para o pilar da questo anterior de 500 kgf/cm, verifique se a pea est sujeita flambagem.

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7111.5. Lista de exerccios (atividade extra-classe)1. Caso ocorra flambagem nos pilares cujas sees transversais esto abaixo representadas, em relao a qual plano esta ocorrer?

2. Determine a carga crtica de flambagem para os pilares abaixo sendo dada a seo transversal e o mdulo de elasticidade do material (2,5x10 5 kgf/cm 2).

3. Determine a carga crtica de flambagem para os pilares abaixo sendo dada a seo transversal e o mdulo de elasticidade do material (2,4x10 5 kgf/cm 2).

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Referncias bibliogrficasBEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, Elwood Russell. Resistncia dos Materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: MaKron Books do Brasil, 1995.1253p. ISBN 8534603448. Nmero de chamada na Biblioteca Universitria da UFSC: 620.17 B398r. NASH, William Arthur. Resistncia dos Materiais: resumo da teoria, problemas resolvidos, problemas propostos. Rio de Janeiro: Ao Livro Tcnico, 1978. 384p. Nmero de Chamada na Biblioteca Universitria da UFSC: 620.17 N253r. POPOV, Egor Paul. Introduo Mecnica dos Slidos. So Paulo: Edgard Blucher, 1978. 534p. Nmero de chamada na Biblioteca Universitria da UFSC: 620.172.2-405 P829i. SCHIEL, Frederico. Introduo Resistncia de Materiais. So Paulo: HARBRA, 1984. 395p.Nmero de chamada na Biblioteca Universitria da UFSC: 620.17 S332i. TIMOSHENKO, Stephen; GERE, James M. Mecnica dos Slidos. Rio de Janeiro: LTC, 1994. ISBN 8521602472. Nmero de chamada na Biblioteca Universitria da UFSC: 620.172.2-405 T585m. TIMOSHENKO, Stephen P. Resistncia dos Materiais. Rio de Janeiro: LTC, 1976 , Nmero de chamada na Biblioteca Universitria da UFSC: 620.17 T443r.

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Apndice 1Apoios e suas aes e reaes. ( Fx=0 ; Fy=0 ; Mp=0 )MVELImpede o movimento de translao na direo perpendicular base do apoio. Por isso s aparece uma reao (Ry). chamado, tambm, de rolete.

FIXOImpede o movimento de translao na direo perpendicular e na paralela base do apoio. Podem aparecer, por isso, at duas reaes (Rx ; Ry).

ENGASTAMENTOImpede dois tipos de movimento, dois de translao e um de rotao. Com isso podem aparecer at trs reaes ( Rx ; Ry ; Mp ).