Resistencia Dos Materiais I - Apostila - Parte 2

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Apostila de Resistência dos Materiais I – Parte 2 Profª Eliane Alves Pereira Turma: Engenharia Civil Equilíbrio de uma Partícula Condição de Equilíbrio do Ponto Material Um ponto material encontra-se em equilíbrio estático desde que esteja em repouso ou então possua velocidade constante. Para que essa condição ocorra, a soma de todas as forças que atuam sobre o ponto material deve ser nula, portanto: ∑0 Diagrama de Corpo Livre O diagrama de corpo livre representa um esboço do ponto material que mostra todas as forças que atuam sobre ele. Exemplo de Diagrama de Corpo Livre (DCL) Molas Quando se utilizar uma mola elástica, o comprimento da mola variará em proporção direta com a força que atua sobre ela. A equação da força atuante na mola é apresentada a seguir. F = k × s k = Constante elástica da mola. s = Deformação da mola. Cabos e Polias Cabos suportam apenas uma força de tração que atuam na direção do mesmo. Equações de Equilíbrio Se um ponto material estiver submetido a um sistema de vária forças coplanares e colineares, cada força poderá ser decomposta em componentes x e y e para a condição de equilíbrio é necessário que as seguintes condições sejam atendidas. 0∑ 0

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Apostila de Resistência dos Materiais I – Parte 2 Profª Eliane Alves Pereira Turma: Engenharia Civil

Equilíbrio de uma Partícula

Condição de Equilíbrio do Ponto Material

Um ponto material encontra-se em equilíbrio estático desde que esteja em repouso ou então possua velocidade constante. Para que essa condição ocorra, a soma de todas as forças que atuam sobre o ponto material deve ser nula, portanto:

∑� � 0

Diagrama de Corpo Livre

O diagrama de corpo livre representa um esboço do ponto material que mostra todas as forças que atuam sobre ele.

Exemplo de Diagrama de Corpo Livre (DCL)

Molas Quando se utilizar uma mola elástica, o comprimento da mola variará em proporção direta com a força que atua sobre ela. A equação da força atuante na mola é apresentada a seguir.

F = k × s k = Constante elástica da mola. s = Deformação da mola.

Cabos e Polias Cabos suportam apenas uma força de tração que atuam na direção do mesmo.

Equações de Equilíbrio

Se um ponto material estiver submetido a um sistema de vária forças coplanares e colineares, cada força poderá ser decomposta em componentes x e y e para a condição de equilíbrio é necessário que as seguintes condições sejam atendidas.

∑�� � 0 � ∑ �� � 0

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Exemplo:

1) Determine a tensão nos cabos AB e AD para o equilíbrio do motor de 250kg mostrado na figura.

Solução:

a) DCL

b) Peso do motor:

� � → � 250�� ∙ 9,8�� → � 2.452�

c) Equações de equilíbrio:

∑�� � 0 →�� ∙ cos 30° �! � 0 (I)

∑�� � 0 → �� ∙ sin 30° � 0 (II)

Resolvendo a equação II:

�� ∙ sin 30° 2.452 � 0 → �� � 2.452sin 30° → �� � 4.904�

Substituindo em I:

4.904 ∙ cos30° �! � 0 → �! � 4.904 ∙ cos30° → �! � 4.247�

2) Determine o comprimento da corda AC da figura, de modo que a luminária de 8kg seja suspensa na posição mostrada. O comprimento não deformado da mola é l’AB = 0,4m e a mola tem rigidez kAB

=300N/m.

Solução:

a) DCL

b) Peso da luminária:

� � → � 8�� ∙ 9,8�� → � 78,5�

c) Equações de equilíbrio:

∑�� � 0 →�%� �%& ∙ cos 30° � 0 (I)

∑�� � 0 → �%& ∙ sin 30° � 0 (II)

Resolvendo a equação II:

�%& ∙ sin 30° 78,5 � 0 → �%& � 78,5sin 30° → �� � 157�

Substituindo em I:

�%� 157 ∙ cos30° � 0 → �%� � 157 ∙ cos 30° → �%� � 136�

d) Comprimento dos Cabos:

Alongamento da mola (F = k × s): �%� � �%� ∙ �%� → 136 � 300 ∙ �%�

�%� � 136300 → �%� � 0,453

Comprimento deformado da mola:

)%� � )′%� + �%� → )%� � 0,4 + 0,453 → )%� � 0,853

Comprimento do cabo AC:

2 � )%& ∙ cos 30° + )%� → 2 � )%& ∙ cos 30° + 0,853

)%& � 2 0,853cos 30° → )%& � 1,32

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Sistema de Forças Tridimensionais

No caso de um sistema de forças tridimensionais, podemos decompor as forças em suas respectivas componentes i, j, k, de modo que ∑��, +∑��- +∑�./ � 0. Para satisfazer a condição de equilíbrio é necessário que:

∑� � 0 ∴ ∑�� � 0 ∑�� � 0 ∑�. � 0

Portanto a solução é obtida por um sistema de três equações e três incógnitas.

Exemplo:

1) Determine a intensidade e os ângulos diretores da força F necessários para o equilíbrio do ponto O.

Solução:

a) Determinação das forças:

0 � ��, + ��- + �./

�12 � (40041)

�1� � ( 800�61)

�17 � �7 ∙ 8619�

b) Vetor unitário e vetor posição

8619� � :19�:9�

:19� � ( 2;1 341+ 6�61)

:9� � <2� + 3� + 6� → :9� � 7

8619� � 2;1 341+ 6�61

7

8619� � 0,286;1 0,42941+ 0,857�61 �17 � �7 ∙ 8619� →�17 � 700 ∙ ( 0,286;1 0,42941+ 0,857�61)

�17 � = 200;1 30041+ 600�61>�

c) Condição de equilíbrio:

∑� � 0 →�12 + �1� + �17 + �1 � 0

40041 800�61 200;1 30041+ 600�61 + ��;1+ ��41+ �.�61 � 0

d) Sistemas de equações:

∑�� � 0 → 200 + �� → �� � 200�

∑�� � 0 → 400 300 + �� → �� � 100�

∑�. � 0 → 800 + 600 + �. → �. � 200�

e) Vetor força F

� � =200;1 10041+ 200�61>�

f) Módulo de F

� � <200� + 100� + 200� → � � 300�

g) Ângulos diretores de F:

861? � �1� → 861? � 200@1 100A1+ 200�61

300

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861? � 200300 ;1 100300 41 +

200300 �

B � cosC2 D200300E → B � 48,2°

F � cosC2 D 100300 E → F � 109°

G � cosC2 D200300E → G � 48,2°

2) A caixa de 100kg mostrada na figura é suportada por três cordas, uma delas é acoplada na mola mostrada. Determine a força nas cordas AC e AD e a deformação da mola.

a) Determinação das forças:

�1� � (��;1)�

�1& � =�& ∙ cos120° ;1 + �& ∙ cos 135° 41+ �& ∙ cos60° �61>�

�1& � = 0,5 ∙ �&;1 0,707 ∙ �&41+ 0,5 ∙ �&�61>�

61 � = 981�61>�

�1! � �! ∙ 861%!

b) Vetor unitário e vetor posição

861%! � :1%!:%!

:1%! � ( 1;1+ 241+ 2�61)

:%! � <1� + 2� + 2� → :%! � 3

861%! � 1;1+ 241+ 2�61

3

861%! � 0,333;1+ 0,66741+ 0,667�61 �1! � �! ∙ 861%! →�1! � �! ∙ ( 0,333;1+ 0,66741+ 0,667�61)

�1! � = 0,333 ∙ �H@1+ 0,667 ∙ �HA1+ 0,667 ∙ �H�61>�

c) Condição de equilíbrio:

∑� � 0 →�1� + �1& + �1! + 61 � 0

��;1 0,5 ∙ �&;1 0,707 ∙ �&41 + 0,5 ∙ �&�61 0,333 ∙�!;1 + 0,667 ∙ �!41 + 0,667 ∙ �!�61 981�61 � 0

d) Sistemas de equações:

∑�� � 0 → �� 0,5 ∙ �& 0,333 ∙ �! � 0 (I)

∑�� � 0 → 0,707 ∙ �& + 0,667 ∙ �! � 0 (II)

∑�. � 0 → 0,5 ∙ �& + 0,667 ∙ �! 981 � 0 (III)

Solução das equações:

De (II):

0,707 ∙ �& + 0,667 ∙ �! � 0

�! � 0,707 ∙ �&0,667 → �! � 1,059 ∙ �& (IV)

Substituindo (IV) em (III):

0,5 ∙ �& + (0,667 ∙ (0,667 ∙ �&)) 981 � 0

0,5 ∙ �& + 0,706 ∙ �& 981 � 0 → 1,207 ∙ �& 981 � 0

�& � 9811,207 → �& � 813�

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Em (IV):

�! � 1,059 ∙ �& →�! � 1,059 ∙ 813 → �! � 862�

Em (I):

�� 0,5 ∙ �& 0,333 ∙ �! � 0 → �� 0,5 ∙ 813 0,333 ∙ 862 � 0

�� � 406,5 + 287,04 → �� � 693,7�

e) Deformação da mola (F = k × s):

�� � �� ∙ �� → 693,7 � 1500 ∙ ��

�� � 693,71500 → �� � 0,462

Lista de Exercícios

1) Responda as questões de equilíbrio em duas e três dimensões:

a) A caixa de 200kg da figura é suspensa usando as cordas AB e AC. Cada corda pode suportar uma força máxima de 10kN antes de se romper. Se AB sempre permanece horizontal, determine o menor ângulo θ para o qual a caixa pode ser suspensa antes que uma das cordas se rompa.

Resp.: FB=9,81kN e θ =11,31°

b) Determine o ângulo θ e a intensidade de F de

modo que o ponto material esteja em equilíbrio estático.

Resp.: F=4,94kN e θ =31,8°

c) Determine a intensidade e o sentido de F1 necessários para manter o sistema de forças concorrentes em equilíbrio.

Resp.: F1=607,89N, α=79,2°, β=16,4°e

γ=77,8°

d) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condição de equilíbrio do ponto material.

Resp.: F1=800N, F2=147N e F3=564N

e) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a

condição de equilíbrio do ponto material.

Resp.: F1=5,60kN, F2=8,55kN e F3=9,44kN

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f) O cabo suporá O cabo suporta a caçamba e

seu conteúdo que tem massa total de 300kg. Determine as forças desenvolvidas nas escoras AD e AE e a força na parte AB do cabo para a condição de equilíbrio. A força em cada escora atua ao longo do seu próprio eixo.

Resp: FAE=FAD = 1240,76N e FAB=1319,28N

g) Os cabos AB e AC suportam uma tração máxima de 500N e o poste, uma compressão máxima de 300N. Determine o peso da luminária sustentada na posição mostrada. A força no poste atua alongo de seu próprio eixo.

Resp: P=138N

h) Determine a força necessária em cada um dos três cabos para levantar a escavadeira que tem massa de 8 toneladas.

Resp: FAB=FAC = 16,6kN e FAD=55,2kN