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Resistência dos Materiais II

• Trabalho de deformação.

• Trabalho específico de deformação em um ponto.

• Trabalho de distorção.

SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO

MAJ MONIZ DE ARAGÃO

Trabalho de Deformação

Trabalho elementar:

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

975

dxPdU

Trabalho ou Energia de Deformação: 1

0

x

dxPU

Nm = J = joule


Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

975

Trabalho de deformação linear e elástica:

21

02

11

xkdxkxU

x

112

1xPU


Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

975

Trabalho de deformação específica:

11

00

x

xx

x

dL

dx

A

P

V

Uu

dV

dU

V

Uu

V

0lim

Energia por unidade de volume

necessária para provocar a ruptura

do material

Energia

recuperável

Energia

perdida


Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

975

Módulo de resiliência:

EE

d

EdE

ux

xx

x

xx

2

2

21

0

21

0

1

1

Trabalho de deformação específica:

E

fu

y

res2

2

onde fy tensão de escoamento


Tensões Normais

(para A cte)

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

975

dxAdV

dVuU

Eu

2

21

Trabalho de deformação para carga axial:

dVEA

PdV

EU

2

221

22

L

dxEA

PU

0

2

2

EA

LPU

2

2


Tensões Normais

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

975

dxdAdV

dVuU

Eu x

2

2

Trabalho de deformação na flexão:

dVEI

yMdV

EU x

2

222

22

I

Myx

LL

dxEI

MdxdAy

EI

MU

0

2

0

2

2

2

22


Tensões Normais - Exemplos

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

975


Tensões Cisalhantes

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

986

Trabalho específico de deformação para um material submetido a

tensões cisalhantes:

1

0

x

xx du

xy

xyxy du

0

Abaixo do limite de proporcionalidade:

GGu

xy

xyxyxy22

1

2

12

2

dVuU dVG

U x

2

2

Trabalho de deformação :


Tensões Cisalhantes

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

975

Trabalho de deformação na torção:

(para A, T cte)

J

T

dxAdV

dVuU

Gu

xy

xy

2

2

L

dxdAGJ

TdV

GJ

TU

0

2

2

2

2

22

22

GJ

LTU

2

2


Tensões Cisalhantes - Exemplos

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

990

GA

LP

EI

LP

5

3

6

232

UUU

desprezível


Caso Geral de Tensões

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

990

Expressão geral do trabalho de deformação:

Expressão geral do trabalho em função das tensões principais:

Trabalho específico: u = uv + ud

variação volumétrica “reta”

distorção: mudança de forma


Teoremas de Castigliano

Primeiro Teorema de Castigliano:

,

0 ,

ijii

iji

i

PdPdU

ddU

dU

i

i

UP

Segundo Teorema de Castigliano:

i

iP

U

ji

P

ij

ij

UUk

i

2

não realizam trabalho

Def. coef. de rigidez



Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

1047

EA

LP,U

2

3640

EA

PLyB 728,0

ByPU 2

1

AE

BDF

AE

BCFU BDBC

22

22

mas P é a única força

que realiza trabalho

PFBC 6,0onde

PFBD 8,0



Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

1047

P

UyB

8060 ,

BDBD

,

BCBC

P

F

AE

BDF

P

F

AE

BCF

2º Teo Castigliano:

PFBC 6,0pois PFBD 8,0e

EA

PLyB 728,0

EA

LP,U

2

3640



BBBB xyCDBxDCByr5

4

5

3ˆcosˆcos1

ou ainda 1º Teo Castigliano:

1r

BB xyr5

3

5

42

1r

By

Bx



1º Teo Castigliano (cont.):222

211

2

1

2

1rkrkU

22

21

22r

BD

EAr

BC

EAU 2

22

16,12,1

rL

EAr

L

EA

22

5

3

5

4

61

1

5

4

5

3

21

1BBBB xy

,xy

,L

EA

22758020007000 BBBB x,xy,y,

L

EA



1º Teo Castigliano (cont.):

EA

PLyB 728,0

Py

U

B

BB x,y,

L

EA2041

0

Bx

U BB x,y,

L

EA517120

BB y,

,x

5171

2000

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