Resistência dos Materiais II

• FLEXÃO OBLÍQUA

SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO

MAJ MONIZ DE ARAGÃO

Flexão Oblíqua

1º Caso: Vigas Simétricas

xLPM z cos

xLPM y sen

z

z

y

y

xI

yM

I

zM

Eixo neutro: 0 x zI

Iy

y

z

tg

tg Em geral:

=

zy II

90

0

Flexão Oblíqua

1º Caso: Vigas Simétricas

y

zEI

PL

3

sen3

22zy

Direção da deflexão resultante:

tgtg

y

z

y

z

I

I

z

yEI

PL

3

cos3

Flexão Oblíqua

2º Caso: Vigas com seções assimétricas

1)Localização dos eixos principais centrais y e z

2)Decomposição de M em My e Mz

3)Determinação do eixo neutro: tgtg y

z

I

I

Solução:

z

z

y

y

xI

yM

I

zM

Flexão Oblíqua

2º Caso: Vigas com seções assimétricas

Solução Geral:

0dA

EzEy

x

zyx

dAyM

dAzM

xz

xy

dAzEdAyzEM zyy2

zzyzyy EIEIM

yzzzyz EIEIM

Flexão Oblíqua

2º Caso: Vigas com seções assimétricas

Solução Geral:

2yzzy

yzyyzyzzzy

xIII

yIMIMzIMIM

Flexão Oblíqua

2º Caso: Vigas com seções assimétricas

2yzzy

yzyyzyzzzy

xIII

yIMIMzIMIM

0

0

z

y

M

M 2yzzy

yyzz

xIII

yIzIM

Flexão apenas em z:

Flexão nos eixos principais:

z

z

y

y

xI

yM

I

zM

0 yzI

Solução Geral:

Flexão Oblíqua

Exercício

Determine:

- a tensão atuante em A

- a linha neutra

Ref: Beer e Johnston, Resistência dos Materiais, 3ª Ed. Pág. 432

Flexão Oblíqua

Exercício

Eixos principais:

Z (Iz ; -Pyz)

Y (Iy ; Pyz)

z y normal “saindo” do plano?

Sim Z (Iz ; +Pyz)

Não Z (Iz ; - Pyz)

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

432

Flexão Oblíqua

Exercício

Eixos principais:

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

432

Flexão Oblíqua

Exercício

Carregamento

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

432

Flexão Oblíqua

Exercício

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

432

z

y

v

u

cossen

sencos

Distância de A em relação a u e v

Flexão Oblíqua

Exercício

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

432

Tensões em A

Flexão Oblíqua

Exercício

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

432

Linha neutra

m

u

v

I

I tgtg

81

4,41m

Flexão Oblíqua com carregamento transversal

Seção com plano de

simetria vertical:

Seção SEM plano de

simetria vertical:

Uma carga vertical atuante numa seção assimétrica

usualmente produz flexão combinada com TORÇÂO

Flexão Oblíqua com carregamento transversal

Momento na seção que passa por a maior que o

momento na seção que passa por b...

F1 > F2

21 FFdxe

Flexão oblíqua com carregamento transversal

21 FFdxe

eI

QV

z

zy

Flexão oblíqua com carregamento transversal

Fluxo de cisalhamento

• as tensões de cisalhamento são orientadas ao longo da linha média da

seção, paralelamente aos lados;

• as tensões de cisalhamento são admitidas como constantes na

espessura da parede;

• a espessura da parede não precisa ser constante;

• fluxo de cisalhamento é definido como o produto da tensão de

cisalhamento pela espessura no ponto de análise:eq

Torção!

Flexão oblíqua com carregamento transversal

Centro de torção

• É possível aplicar uma força transversal de alguma maneira que não

provoque torção?

V

Fhe CENTRO DE TORÇÃO

ou de CISALHAMENTO

Flexão oblíqua com carregamento transversal

Expressão generalizada – eixos não-principais

s

y

s

yz

yzzy

ydAyIdAzI

IIIe

V

002

2yzzy

yzzzy

xIII

zIMIM

21 FFdxe

s

y

s

yz

yzzy

z dAzIdAyIIIIe

V

002

Vy

Flexão assimétrica com carregamento transversal

Exercício

Determine:

- o centro de cisalhamento da seção;

- a distribuição das tensões de cisalhamento para a força

aplicada no centro de cisalhamento;

- a máxima tensão de cisalhamento para a força aplicada no

centro geométrico da seção.

Ref: Beer e Johnston, Resistência dos Materiais, 3ª Ed. Pág. 561

Flexão assimétrica com carregamento transversal

Exercício

Fluxo de cisalhamento na aba AB:

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

557

Flexão assimétrica com carregamento transversal

Exercício

Momento de inércia

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

557

Cálculo da distância e:

mmI

bth

V

h

I

Vthb

V

Fh40

44e

222

abaalma III 2

2

0

33

212

12

12

1 hbtbtth

hbth 612

1 2

Flexão assimétrica com carregamento transversal

Exercício

Tensão de cisalhamento na aba AB:

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

557

distribuição linear

Flexão assimétrica com carregamento transversal

Exercício

Tensão de cisalhamento na aba AB:

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

557

distribuição linear

Flexão assimétrica com carregamento transversal

Exercício

Tensão de cisalhamento na alma:

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

557

parabólica

Flexão assimétrica com carregamento transversal

Exercício

Distribuição das tensões de cisalhamento na seção

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

557

Flexão assimétrica com carregamento transversal

Exercício

a máxima tensão de cisalhamento

para a força aplicada no centro

geométrico da seção

Ref: B

eer

e J

ohnsto

n,

Resis

tência

dos M

ate

riais

, 3ª

Ed.

Pág.

557

Teoria da membrana