Resistência dos Materiais

Eng. Mecânica, ProduçãoUNIME – 2016.1

Prof. CoreyLauro de Freitas, Março, 2016.

2 Tensão e deformação: Carregamento axial

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ConteúdoTensão e Deformação: Carregamento AxialDeformação NormalTeste de Tensão-DeformaçãoDiagrama de tensão-deformação: materiais dúcteisDiagrama de tensão-deformação: materiais frágeisLei de Hooke: Módulo de ElasticidadeComportamento Elástico versus PlásticoFadigaDeformações sob Carregamento AxialExemplo 2.01Problema Resolvido 2.1Indeterminação EstáticaExemplo 2.04Tensão TérmicaCoeficiente de Poisson

Lei de Hooke Generalizada Dilatação: Módulo de

Compressibilidade VolumétricaDeformação de CisalhamentoExemplo 2.10Relação entre E, e GProblema Resolvido 2.5Materiais CompósitosPrincípio de Saint-VenantConcentração de Tensão: FurosConcentração de Tensão:

ArredondamentosExemplo 2.12Materiais ElastoplásticosDeformações PlásticasTensões ResiduaisExemplos 2.14, 2.15, 2.16

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Tensão e Deformação: Carregamento Axial

• Adequação de uma estrutura ou máquina pode depender das deformações produzidas pelas cargas aplicadas a uma estrutura, bem como as tensões induzidas por estas cargas. A análise estática por si só não é suficiente.

• Considerando as estruturas como deformáveis e analisando as deformações em seus vários componentes, poderemos calcular as forças estaticamente indeterminadas.

• A determinação da distribuição de tensões dentro de um componente também exige a consideração das deformações que ocorrem neste componente.

• O Capítulo 2 está preocupado com a deformação de um componente estrutural sob carregamento axial. Nos outros capítulos trataremos de torção e flexão pura.

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Deformação Normal

σ=PA

= tensão

ε=δL

=deformação normal

Fig. 2.1

σ=2 P2 A

=PA

ε=δL

Fig. 2.3

σ=PA

ε=2δ2 L

=δL

Fig. 2.4

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δδ

δ

Teste de Tensão-Deformação

Fig 2.7 Esta máquina é utilizada para ensaios de corpos de prova a tração, tais como aqueles mostrados neste capítulo. Fig 2.8 Corpo de prova com carga de tração.

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Diagrama de tensão-deformação: materiais dúcteis

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Diagrama de tensão-deformação: materiais frágeis

Fig 2.1 Diagrama tensão-deformação para um material frágil típico.

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Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade

• Abaixo da tensão de proporcionalidade

σ=EεE=Módulo de Young ou Módulo de Elasticidade

• Algumas das propriedades físicas dos metais estruturais, como resistência, ductilidade, podem ser afetadas pela inclusão de elementos de liga, tratamento térmico e processos de fabricação, mas a rigidez (módulo de elasticidade) não pode ser afetada.

Fig 2.16 Diagramas tensão-deformação para o ferro e diferentes tipos de aço.

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Comportamento Elástico versus Plástico

• Se a deformação desaparece quando a tensão é removida, dizemos que o material se comporta elasticamente.

• Quando a deformação não retorna a zero após a tensão ser removida, dizemos que o material se comporta plasticamente.

• O maior valor de tensão para o qual isso ocorre é chamado de limite elástico do material.

Fig. 2.18

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Fadiga

• Propriedades de fadiga são mostrados no diagrama de σ-n

• A medida que a tensão é reduzida, o número de ciclos para provocar a ruptura aumenta até alcançar o limite de resistência à fadiga, que é a tensão para a qual não ocorre falhas.

• Um componente estrutural pode falhar devido à fadiga em níveis de tensão significativamente abaixo da resistência última quando sujeitos a muitos ciclos de carga.

Fig. 2.21

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Deformações sob Carregamento Axial

σ=Eε ε=σE

=PAE

• Para a Lei de Hooke:

• A definição de deformação específica:

ε=δL

• Transformando e substituindo a equação anterior na equação acima, temos

δ=PLAE

• Para barras com carregamentos em outros pontos, diversas seções transversais e diferentes materiais,

δ=∑i

P i Li

A i EiFig. 2.22

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Exemplo 2.01

Determine a deformação da barra de aço mostrada submetida às forças dadas.

E=200 GPa

SOLUÇÃO:

• Divida a barra em componentes de acordo com a aplicação das forças.

• Aplique uma análise de corpo livre de cada componente para determinar a força interna.

• Avaliar a deformação total da barra.

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SOLUÇÃO:

• Divida a barra em três componentes:

L1=L2=300 mm .

A1=A2=580 mm2

L3=400 mm .

A3=200 mm2

• Aplicar a análise de corpo livre em cada componente para determinar as forças internas,

P1=300 kN = 300 × 103 N

P2=−50 kN =−50 ×103 N

P3= 150 kN = 150×103 N

• Deformação total

δ=∑i

P i Li

A i Ei

=1E (P1 L1

A1

+P2 L2

A2

+P3 L3

A3)

δ=1200 [ (300×300 )

580+

(−50×300 )

580+

(150×400 )

200 ]δ=

429 ,31200

= 2,15 mm .

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Problema Resolvido 2.1

A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD.

A barra AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área transversal de 500 mm2; A barra CD é feita de aço (E = 200 GPa) e tem uma área transversal de 600 mm2. Para a força de 30 kN mostrada, determinar os deslocamentos dos pontos a) B, b) D e c) E.

SOLUÇÃO:

• Realizar uma análise do corpo livre para a barra BDE para encontrar as forças exercidas pelas barras AB e DC.

• Avaliar a deformação das barras AB e DC para encontrar os deslocamentos de B e D.

• Realize uma análise geométrica para encontrar o deslocamento do ponto E dado os deslocamentos em B e D.

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Problema Resolvido 2.1

Corpo Livre: Barra BDE

∑M B=0

0=−(30 kN×0 .6 m )+FCD×0. 2 mFCD=+ 90 kN tração

∑M D=0

0=−(30 kN×0 .4 m )−FAB×0 .2 mF AB=−60 kN compressão

SOLUÇÃO:

Deslocamento do ponto B:

m10514

Pa1070m10500

m3.0N1060

6

926-

3

AE

PLB

δB=0 .514 mm ↑

Deslocamento do ponto D:

δD=PLAE

δD=(90×103 N ) (0. 4 m )

(600×10-6 m2) (200×109 Pa )δD=300×10−6m

δD=0 .300 mm ↓

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Problema Resolvido 2.1

Deslocamento do ponto E:

B B'

D D' =BHHD

0 .514 mm0.300 mm

=(200 mm )−xx

x=73 .7 mm

δE=1. 928 mm ↓

E E'

D D' =HEHD

δE

0 .300 mm=

(400+73 .7 ) mm73 .7 mm

δE=1. 928 mm

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Indeterminação Estática• Estruturas onde as forças internas e as reações não

podem ser determinadas apenas por meio da estática, são chamadas de estruturas estaticamente indeterminadas.

δ=δ L+δR=0

• Deformações devido as forças reais e pela reações redundantes são determinadas separadamente e, em seguida, adicionadas ou superpostas.

• Reações redundantes são substituídas por forças desconhecidas que, juntamente com as demais forças, deve produzir deformações compatíveis com as restrições originais.

• A estrutura será estaticamente indeterminada sempre que ela for vinculada a mais apoios do que aqueles necessários para manter seu equilíbrio.

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Exemplo 2.04Determine o valor das reações em A e B para a barra de aço com os carregamentos mostrado, assumindo que não existe folgas entre os apoios e a barra.

• Exigir que os deslocamentos devido às forças e devido à reação redundante sejam compatíveis, ou seja, exigir que sua soma seja zero.

• Resolver o deslocamento em B devido à reação redundante em B.

SOLUÇÃO:

• Consideramos a reação em B como redundante e liberamos a barra daquele apoio. A reação Rb é considerada desconhecida.

• Resolver a reação em A pelo diagrama de corpo livre da barra, uma vez que se conhece a reação em B.

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Exemplo 2.04SOLUÇÃO:• Resolvendo o deslocamento em B devido às forças aplicadas,

P1=0 P2=P3=600×103 N P4=900×103 N

A1=A2=400×10−6m2 A3=A4=250×10−6m2

L1=L2=L3=L4=0 .150 m

δL=∑i

Pi Li

A i Ei

=1 .125×109

E

• Resolvendo o deslocamento em B devido à reação redundante,

P1=P2=−RB

A1=400×10−6m2 A2=250×10−6m2

L1=L2=0 .300 m

δR=∑i

Pi Li

Ai E i

=−(1. 95×103 )RB

E

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• Os deslocamentos devido às forças e devido à reação redundante devem ser compatíveis,

δ=δ L+δR=0

δ=1 .125×109

E−

(1. 95×103 )RB

E=0

RB=577×103 N=577 kN

Exemplo 2.04

• Encontrar a reação em A, devido às cargas e a reação em B

∑ F y=0=R A−300 kN−600 kN+577 kN

R A=323 kN

RA=323 kNRB=577 kN

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Tensão Térmica• A mudança de temperatura numa barra resulta uma

mudança no comprimento da mesma chamada de deformação térmica. Não há tensão associada com a deformação térmica, a menos que o alongamento seja contido pelo apoio.

δT=α (ΔT )L δP=PLAE

α= coeficiente de dilatação térmica

• Trate o apoio adicional como redundantes e aplicar o princípio da superposição.

δ=δT+δP=0

• A deformação térmica e a deformação do apoio redundante devem ser compatíveis.

α (ΔT )L+PLAE

=0

P=−AEα (ΔT )

σ=PA

=−Eα (ΔT )

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