Resistência Dos Materiais - SCHAUM (Capítulo 01)

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  • 7/26/2019 Resistncia Dos Materiais - SCHAUM (Captulo 01)

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    Captulo 1

    1.1 EFEITOS INTERNOS DAS FORAS

    Neste livro, abordaremos os chamados efeitos internos das foras que agem em um corpo. Os corpos em si j nosero considerados perfeitamente rgidos, como se considerava na esttica; assim, o clculo das deformaes devrios corpos sob diversas cargas ser uma das nossas principais preocupaes no estudo da resistncia dos mate-riais.

    Barra axialmente carregada

    Inicialmente, o caso mais simples a se considerar o de uma barra prismtica de metal de eixo reto e seo trans-versal constante solicitado, nas suas extremidades, de um par de foras opostas colineares e coincidentes com oeixo longitudinal da barra e agindo atravs do centroide de cada seo transversal. Para o equilbrio esttico, asintensidades das foras devem ser iguais. Se essas foras so dirigidas para fora da barra, diz-se que a barra tra-cionada; no caso contrrio, diz-se que a barra comprimida. Esses dois casos esto ilustrados na Fig. 1-1.

    Sob a ao desse par de foras aplicadas, esforos internos so originados no interior da barra os quais podem

    ser estudados imaginando-se que a barra seja cortada por um plano ao longo de uma seo transversal qualquerperpendicular ao seu eixo longitudinal. Tal plano chamado de a-ana Fig 1-2(a). Se, para a anlise, a parte dabarra a ser removida for a da direita do plano, como na Fig. 1-2(b), ento, ela deve ser substituda por uma ao queessa parte exercia sobre a parte da esquerda. Com essa tcnica de utilizar um plano de corte, os esforos internosnesse corte agora transformam-se em esforos externos em relao parte do corpo remanescente. Por equilbrioda parte da esquerda, esses esforos devem ser uma fora horizontal de intensidade P. Contudo, essa fora P queatua perpendicularmente seo transversal a-a , geralmente, a resultante das foras distribudas que atuam nessaseo transversal na direo normal a ela.

    Agora, necessrio considerar alguma hiptese quanto forma de variao dessas foras distribudas, e, umavez que a fora aplicada Page no centroide da seo transversal, geralmente, supe-se que elas so uniformes emtoda a seo transversal.

    Barra tracionada

    Barra comprimida

    Figura 1-1 Barras carregadas axialmente.

    (a)

    (b)

    a

    a

    P

    P

    P

    P

    Figura 1-2 Esforo interno.

    Trao e Compresso

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    RESISTNCIADOSMATERIAIS2

    Tenso normal

    Em vez de falar da fora interna agindo em algum elemento pequeno de rea, melhor, para fins comparativos,tratar a fora normal agindo sobre uma rea unitriada seo transversal. A intensidade da fora normal por uni-dade de rea chamada de tenso normale expressa em unidades de fora por unidade de rea, N/m2. Se as for-as aplicadas nas extremidades da barra so de trao, ento, tenses de traoso originadas na barra; se a barraest em compresso, temos tenses de compresso. A linha de ao das foras aplicadas nas extremidades da barrapassa pelo centroide de cada seo transversal da barra.

    Deformao linear especfica

    Suponha que, na barra da Fig. 1-1, as foras de trao so aplicadas gradualmente nas extremidades. O alongamen-to por unidade de comprimento, que chamado de deformao linear especfica, representado por , pode ser en-contrado dividindo-se o alongamento total pelo comprimentoL, isto ,

    (1.1)

    A deformao geralmente expressa em unidades de metros por metros e, consequentemente, adimen-

    sional.

    Curva tenso-deformao

    medida que a carga axial na Fig. 1-1 aumentada gradualmente, o alongamento total ao longo do comprimentoda barra medido em cada incremento de carga, e isso continua at a fratura do corpo de prova. Conhecendo a reada seo transversal inicial do corpo de prova, a tenso normal, representada por , pode ser obtida para qualquervalor da carga axial pela seguinte relao

    (1.2)

    onde P a carga axial em newtons eA a rea da seo transversal inicial. Tendo obtido experimentalmente diver-sos pares de valores de tenso normal e de deformao , eles podem ser representados em um grfico com essas

    grandezas consideradas como ordena e abscissa, respectivamente. Essa a curvatenso-deformaoou diagramado material para esse tipo de carregamento. Diagramas de tenso-deformao apresentam formas diferentes paravrios materiais. A Fig. 1-3(a) mostra o diagrama para um ao estrutural de mdio carbono, a Fig. 1-3(b) mostra odiagrama de uma liga de ao e a Fig. 1-3(c) mostra o diagrama para aos de alto carbono e algumas ligas no fer-rosas. Para ligas no ferrosas e ferro fundido, o diagrama tem a forma representada na Fig. 1-3(d).

    )d()c()b()a(

    Figura 1-3 Diagramas tenso-deformao.

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    CAPTULO1 TRAOECOMPRESSO 3

    Materiais dcteis e frgeis

    Os materiais metlicos utilizados em engenharia so, geralmente, classificados como dcteisoufrgeis. Um mate-rial dctil aquele que apresenta grandes deformaes antes de atingir o ponto de ruptura (p. ex., o ao estruturalou alumnio), enquanto um material frgil aquele que se deforma relativamente pouco antes de atingir esse mes-mo ponto. Uma deformao de ruptura de 0,05 mm/mm frequentemente utilizada como limite entre essas duasclasses de materiais. Ferro fundido e concreto so exemplos de materiais frgeis.

    Lei de Hooke

    Para materiais que apresentam uma curva tenso-deformao com a forma mostrada nas Figs. 1-3( a), (b), (c) ou(d), evidente que a relao entre tenso e deformao, para pequenos valores de deformao, linear. Essa rela-o linear entre os alongamentos e as foras axiais que os provocam chamada de lei de Hooke. Para descrever estetrecho inicial do diagrama do material, pode-se escrever

    (1.3)

    ondeErepresenta a inclinao da linha reta OPde cada uma das curvas nas Figs. 1-3(a), (b) e (c).A constanteE, isto , a relao entre a tenso e a deformao, o mdulo de elasticidade do material sob tra-

    o, tambm chamado de mdulo de Young. Valores deEpara diferentes materiais de engenharia so encontradosem manuais. No fim deste captulo, a Tabela 1-3 apresenta uma lista dos materiais mais usuais em engenharia. Umavez que a deformao um nmero adimensional (relao de dois comprimentos), evidente queE tem a mesmaunidade que a tenso, N/m2. Para vrios materiais, o mdulo de elasticidade sob compresso o mesmo que sobtrao.Deve-se observar que o comportamento dos materiais tratados neste livro so somente o daqueles (a menosque indicado o contrrio) que apresentam uma regio linear na curva tenso-deformao, ou seja, daqueles que

    satisfazem a lei de Hooke.

    Os Problemas 1.1 at 1.8 abordam a lei de Hooke.

    1.2 PROPRIEDADES MECNICAS DOS MATERIAIS

    O diagrama tenso-deformao mostrado na Fig. 1-3(a) pode ser usado para caracterizar vrias propriedades do

    material. So elas:

    Limite de proporcionalidade

    O valor da tenso identificado pelo pontoP chamado de limite de proporcionalidade, ou seja, o valor da mxi-ma tenso que pode ser imposta ao material durante um teste de trao simples tal que a tenso uma funo linearda deformao. Para um material cujo diagrama o representado pela curva tenso-deformao mostrada na Fig.1-3(d), no existe limite de proporcionalidade.

    Limite elstico

    O valor da tenso identificado por um ponto que quase coincide com o ponto P chamado de limite elstico, ouseja, o valor da mxima tenso que pode ser imposta ao material durante um teste de trao simples tal que no

    exista deformao permanente ou residual quando a carga for completamente removida. Para muitos materiais, osvalores numricos do limite elstico e de proporcionalidade so quase idnticos, e os termos so, muitas vezes,usados como sinnimos. Naqueles casos em que a diferena entre os dois valores evidente, o limite elstico quase sempre maior do que o limite de proporcionalidade.

    Regies elstica e plstica

    A regio da curva tenso-deformao compreendida entre a origem e o limite de proporcionalidade chamada deregio elstica. A regio da curva tenso-deformao compreendida entre o limite de proporcionalidade e o pontoque correrponde ruptura chamada de regio plstica.

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    RESISTNCIADOSMATERIAIS4

    Limite de escoamento

    O valor da tenso identificado pelo pontoYna Fig. 1-3(a) chamado de limite de escoamento do material. Acimadesse ponto, ocorre aumento de deformaes sem que se aumente o valor da tenso. Depois que o carregamentoprogrediu at o limite de escoamento, diz-se que o material passa a escoar. Alguns materiais apresentam dois pon-tos sobre a curva tenso-deformao para os quais h um aumento de deformao sem que ocorra um aumento detenso. Esses pontos so chamados de limites de escoamento superiore inferior.

    Limite de resistncia ou resistncia trao

    O valor da tenso identificado pelo pontoUna Fig. 1-3(a), o mximo valor da tenso na curva, chamado de limi-te de resistncia ou de resistncia trao domaterial.

    Resistncia de ruptura

    O valor da tenso identificado pelo pontoBna Fig. 1-3(a) chamado deresistncia ruptura domaterial.

    Mdulo de resilincia

    O trabalho realizado por unidade de volume do material, quando h uma fora de trao simples que aumenta gra-

    dualmente a partir de zero at atingir o limite de proporcionalidade, chamado de mdulo de resilincia. Seu valorpode ser calculado tomando-se a rea sob a curva tenso-deformao da origem at o limite de proporcionalidade,indicada pela rea hachurada na Fig. 1-3(a). A unidade dessa grandeza Nm/m3no sistema SI. Portanto, a resi-lincia de um material a sua capacidade de absorver energia na regio elstica.

    Mdulo de tenacidade

    O trabalho realizado por unidade de volume do material, quando h uma fora de trao simples que aumenta gra-dualmente a partir de zero at atingir o limite de ruptura, chamado de mdulo de tenacidade. Seu valor pode sercalculado tomando-se a rea total sob a curva tenso-deformao da origem at a ruptura. A tenacidade de ummaterial a sua capacidade de absorver energia na regio plstica de um material.

    Reduo percentual de reaA diminuio da rea da seo transversal em relao rea inicial no instante da ruptura dividida pela rea iniciale multiplicada por 100 chamada de reduo percentual de rea. Observa-se que, quando foras de trao atuamsobre uma barra, a rea da seo transversal diminui, mas clculos para a tenso normal so geralmente feitos to-mando-se como base a rea inicial. Este o caso da curva mostrada na Fig. 1-3(a). Quanto mais as deformaesaumentam, mais importante considerar os valores instantneos da rea da seo transversal (que esto diminuin-do), e, se isso feito, obtm-se uma curva tenso-deformao verdadeira. Essa curva apresenta o comportamentomostrado pela linha tracejada na Fig. 1-3(a).

    Alongamento percentual

    O aumento no comprimento de uma barra depois da ruptura dividido pelo comprimento inicial e multiplicado por

    100 o alongamento percentual. Tanto a reduo percentual de rea quanto o alongamento percentual so utiliza-dos para caracterizar a ductilidadede um material.

    Tenso admissvel

    As caractersticas de resistncia mencionadas anteriormente podem ser usadas para fixar uma tenso admissveldomaterial. Frequentemente, essa tenso determinada simplesmente dividindo-se a tenso de escoamento ou o limi-te de resistncia por um nmero maior que a unidade, chamado de coeficiente de segurana. A escolha do coefi-ciente de segurana feita pelo julgamento e pela experincia do projetista. Coeficientes de segurana, muitas ve-zes, so fixados por normas de clculo.

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    CAPTULO1 TRAOECOMPRESSO 5

    Encruamento

    Se um material dctil pode ser solicitado consideravelmente alm do limite de escoamento sem falha, dizemos queele encrua. Isso observado para muitos metais estruturais.

    A curva tenso-deformao no linear de um material frgil, mostrada na Fig. 1-3(d), caracteriza vrias outraspropriedades que no podem ser introduzidas se a curva tenso-deformao tem uma regio linear. So elas:

    Resistncia ao escoamento

    O valor da tenso na curva tenso-deformao que corresponde a uma deformao permanente predeterminadadepois de removida a carga chamado de resistncia ao escoamento do material. A deformao permanente ,muitas vezes, definida em 0,002 ou 0,0035 mm por mm. Esses valores so, naturalmente, arbitrrios. Na Fig.1-3(d), a quantidade 1, indicada no eixo da deformao, e uma linha O'Y desenhada paralelamente tangenteinicial da curva. A interseo dessa linha com a curva determina o ponto Y, que corresponde resistncia ao esco-amentodo material.

    Mdulo tangente

    A taxa de variao da tenso em relao deformao conhecida como o mdulo tangentedo material. Ele ,

    essencialmente, um mdulo instantneo dado porE

    t=

    d/

    d.

    Coeficiente de dilatao linear

    O coeficiente de dilatao linear definido como a variao de comprimento por unidade de comprimento de umabarra reta submetida a uma variao de temperatura de um grau, sendo geralmente indicado por . O valor destecoeficiente independente da unidade de comprimento adotada, mas depende da escala de temperatura utilizada.Por exemplo, a Tabela 1-3, no fim deste captulo, fornece para o ao um coeficiente de 12 106/C. As variaesde temperatura sofridas por uma estrutura podem gerar tenses, semelhantes quelas das cargas externas aplicadas.A deformao trmica produzida por uma variao de temperatura T

    (1.4)

    O Problema 1.7 trata da contrao de um cabo devido a uma diminuio de temperatura.

    Coeficiente de Poisson

    Quando uma barra submetida a um carregamento de trao simples, observa-se um aumento em seu comprimen-to na direo paralela carga, mas uma diminuio nas dimenses laterais perpendiculares carga. A relao entrea deformao na direo lateral e a deformao na direo longitudinal definida como coeficiente de Poisson. Ele representado pela letra grega . Para vrios metais, ele compreendido entre 0,25 e 0,35. Para a cortia, o coefi-ciente de Poisson muito prximo de zero.

    Forma geral da lei de Hooke

    Foi considerado, inicialmente, um caso simples da aplicao da lei de Hooke para uma barra solicitada por uma

    trao axial quando o carregamento est na direo de uma linha reta, ou seja, uniaxial. Considerou-se a deforma-o somente na direo da carga, representada pela eq. (1.3), que agora escrita da seguinte forma:

    (1.5)

    Os Problemas 1.8 e 1.9 ilustram a aplicao desse carregamento uniaxial.No caso mais geral, um elemento do material est solicitado por trs tenses normais perpendiculares entre si,

    x,

    ye

    z, as quais so acompanhadas pelas deformaes

    x,

    ye

    z, respectivamente. Superpondo as componentes

    de deformao resultantes da contrao lateral devido ao efeito de Poisson sobre as deformaes diretas, obtm-sea lei de Hooke para o caso geral:

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    RESISTNCIADOSMATERIAIS6

    (1.6)

    Os Problemas 1.10 at 1.14 trataro do caso mais geral.

    1.3 SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS

    Se os valores de todas as foras externas que atuam em um corpo podem ser determinados somente pelas equaesde equilbrio da esttica, ento, o sistema de foras estaticamente determinado. Vrios problemas tratados aquisero desse tipo.

    A barra mostrada na Fig. 1-4(a) submetida a uma fora conhecida P. As reaes soR1, R2eR3.O sistema estaticamente determinado porque existem disponveis trs equaes de equilbrio da esttica (F

    x=0, F

    y=0,

    M=0) para o sistema e elas so suficientes para determinar as trs incgnitas.

    )b()a(

    Figura 1-4 Sistemas estaticamente determinados.

    A treliaABCDmostrada na Fig. 1-4(b) submetida a um carregamento de foras conhecidas P1 e P2.As rea-es soR1, R2eR3.Novamente, desde que existam disponveis trs equaes de equilbrio da esttica, todas as trsreaes incgnitas podem ser determinadas, e, consequentemente, o sistema de foras externas estaticamente

    determinado.Os dois casos da Fig. 1-4 referem-se somente a reaes externas, e os sistemas de foras podem ser definidos

    como estaticamente determinados externamente.Em vrios casos, as foras que atuam sobre o corpo no podem ser determinadas apenas pelas equaes da

    esttica, porque o nmero de foras incgnitas maior do que o nmero de equaes de equilbrio. Nesses casos,o sistema de foras chamado de estaticamente indeterminado.

    A barra mostrada na Fig. 1-5(a) submetida a um carregamento de uma fora conhecida P. As reaes soR1,R2,R3 eR4. O sistema de foras estaticamente indeterminado, porque existem quatro reaes incgnitas, massomente trs equaes de equilbrio da esttica. Esse sistema de foras chamado de um grau deindeterminao.

    )b()a(

    Figura 1-5 Sistemas estaticamente indeterminados.

    A barra mostrada na Fig. 1-5(b) estaticamente de dois graus de indeterminao, porque existem cinco rea-es incgnitas,R1, R2,R3,R4eM1, mas somente trs equaes de equilbrio da esttica. Consequentemente, osvalores de todas as reaes no podem ser determinados usando somente as equaes da esttica.

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    CAPTULO1 TRAOECOMPRESSO 7

    O processo de clculo que ser considerado aqui chamado de mtodo dos deslocamentos, pois consideram-seos deslocamentos no sistema. Resumidamente, o procedimento a ser seguido na anlise de um sistema indetermi-nado , inicialmente, escrever todas as equaes de equilbrio da esttica que pertencem ao sistema e, em seguida,completaressas equaes com as equaes adicionais com base nos deslocamentos da estrutura. Devem ser escri-tas equaes suficientes envolvendo deslocamentos, de tal modo que o nmero total de equaes da esttica e dosdeslocamentos igual ao nmero de foras incgnitas envolvidas. Os Problemas 1.15 at o 1.19 tratam desse m-

    todo.

    1.4 CLASSIFICAO DOS MATERIAIS

    At agora, toda a discusso se baseou na hiptese de que o material apresenta duas caractersticas. So elas:

    Material homogneo: aquele que tem as mesmas propriedades elsticas (E, ) em todos os pontos do corpo. Material isotrpico: aquele que tem as mesmas propriedades elsticas em todas as direes em quaquer pon-

    to do corpo.

    Nem todos os materiais so isotrpicos. Se um determinado material no possui qualquer tipo de simetriaelstica, ele chamado de anisotrpico. Nesse caso, em vez de ter duas constantes elsticas independentes (E, ),como um material isotrpico, ele caracterizado por ter 21 constantes elsticas. Se um determinado material tem

    trs planos perpendiculares entre si de simetria elstica, ele chamado de ortotrpico. O nmero de constantesindependentes, nesse caso, nove. Excelentes exemplos de materiais anisotrpicos so os materiais reforadoscom fibras, chamados de materiais compsitos. A Fig. 1-6 mostra exemplos de materiais compsitos.

    )b()a(

    Fibras Fibras

    Figura 1-6 (a) Barra de epxi reforada por fibras em uma direo;(b) placa de epxi reforada por fibras em duas direes.

    Anlises plstica e elstica dos materiais

    Tenses e deformaes na regio plstica de um material so frequentemente permitidas para algumas estrutu-ras. Algumas normas de construo permitem que alguns elementos estruturais sofram deformao plstica,

    como tambm determinados componentes de aeronaves e estruturas de msseis so deliberadamente projetados

    para atuar na regio plstica para fins de economia de peso. Alm disso, muitos processos de conformao dos

    metais atuam na regio plstica do material. Para pequenas deformaes plsticas de aos estruturais de baixo

    e mdio carbono, a curva tenso-deformao pode ser representada por duas linhas retas, como mostra a Fig.

    1-7; uma das retas com inclinaoE, representando a regio elstica, e a outra com inclinao zero, represen-

    tando a regio plstica. O grfico mostrado na Fig. 1-7 representa um material com comportamento perfeita-

    mente elastoplstico. Ele no considera que ocorram grandes deformaes que sejam suficientes para atingir a

    regio de encruamento, como pode ser visto na parte final da curva tenso-deformao da Fig. 1-3(a). Veja o

    Problema 1.20.

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    RESISTNCIADOSMATERIAIS8

    Figura 1-7 Curva tenso-deformao para um materialperfeitamente elastoplstico.

    Considere o grfico da Fig. 1-7. Se a carga aumenta de tal modo que a deformao correspondente atinja opontoBe, em seguida, a carga removida, o descarregamento ocorre ao longo da linhaBC. Assim, uma remoocompleta da carga deixa uma deformao permanente ou alongamento correspondendo deformao OC.

    1.5 UNIDADES

    A Tabela 1-1 lista as unidades e converses para diversas grandezas de interesse.

    Tabela 1-1 Fatores de converso

    Grandeza SmboloUnidades

    do SI

    Unidades dosistema ingls

    Para converter do sistemaingls de unidades para o SI,multiplicar por

    Comprimento L m ft 0,3048Massa m kg lbm 0,4536

    Tempo t s sec 1rea A m2 ft2 0,09290Volume V m3 ft3 0,02832Velocidade V m/s ft/sec 0,3048Acelerao a m/s2 ft/sec2 0,3048Velocidade angular rad/s rad/sec 1

    rad/s rpm 9,55Fora, peso F, W N lbf 4,448Densidade kg/m3 lbm/ft3 16,02Peso especfico N/m3 lbf/ft3 157,1Presso, tenso , , kPa psi 6,895Trabalho, energia W,E, U J ft-lbf 1,356Potncia W W ft-lbf/sec 1,356

    W hp 746

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    CAPTULO1 TRAOECOMPRESSO 9

    Quando se expressa uma grandeza em unidades do SI, certos prefixos decimais podem ser usados para repre-sentar multiplicao por potncia. A Tabela 1-2 mostra esses prefixos e seus respectivos fatores de multiplicao esmbolos. Assim, melhor do que escrever 30 000 Pa ou 30 103Pa, pode-se escrever simplesmente 30 kPa.

    Tabela 1-2 Prefixos para unidades do SI

    Fator de multiplicao Prefixo Smbolo

    1012 tera T

    109 giga G106 mega M103 kilo k102 centi* c103 mili m106 micro109 nano n1012 pico p

    * No aconselhado, exceto em cm, cm2, cm3ou cm4.

    As unidades de diversas grandezas esto interligadas atravs das leis fsicas obedecidas pelas grandezas. Dissoresulta que, no importando o sistema utilizado, todas as unidades podem ser expressas como combinaes alg-bricas de um conjunto selecionado de unidades fundamentais. Existem sete unidades fundamentais no sistema SI:m, kg, s, K, mol, A (Ampre) e cd (candela). A ltima raramente utilizada em engenharia mecnica. Observe queN (newton) no est listada como uma unidade fundamental. Ela est relacionada a outras unidades pela segundalei de Newton,

    (1.7)

    Se ns avaliarmos Fem newtons, mem kg e aem m/s2, vemos que N =kgm/s2. Logo, o newton expresso emtermos das unidades fundamentais.

    Opeso a fora gravitacional; pela segunda lei de Newton,

    (1.8)

    Uma vez que a massa permanece constante, o peso Wvaria de acordo com a acelerao da gravidadeg(a partir deaproximadamente 9,77 m/s2na montanha mais alta at 9,83 m/s2na vala mais profunda do oceano, apenas cerca de0,3% de variao de 9,80 m/s2). Ser usado neste livro o valor padro ao nvel do mar, 9,81 m/s2(32,2 ft/sec2), amenos que seja indicado o contrrio.

    Uma discusso a respeito de algarismos significativos pode ser oportuna. As respostas devem ser apresentadascom trs ou quatro dgitos significativos, nunca mais. A maioria dos problemas de engenharia contm informaestais como o raio de um eixo e a densidade dos materiais, bem como as constantes de outros materiais. Raramentetais informaes so fornecidas com mais de quatro dgitos, por isso, no apropriado apresentar uma respostacom mais dgitos do que as informaes fornecidas. No entanto, quando um nmero comea com 1, esse dgitono contado como um dgito significativo. Ento, 1024 representam trs dgitos significativos, assim como

    0,0001800.Por fim, no vamos incluir as unidades na maioria dos problemas para os quais mostramos as etapas das solu-

    es. Se as grandezas nas equaes forem entradas com unidades em metros (m), segundos (s), pascal (Pa), quilo-gramas (kg) e newtons (N), as unidades das respostas sero previsveis. No h necessidade, na maioria das vezes,de trabalhar com dois problemas: um com nmeros e o outro com as unidades. Por exemplo, uma propriedade domaterial de 200 GPa, quando utilizada em uma equao, seria introduzida como 200 109Pa; um momento deinrcia de 2000 mm4seria introduzido como 2000 1012m4; e uma tenso de 35 MPa seria introduzida como35 106Pa.

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    Problemas Resolvidos

    1.1 Na Fig. 1-8, determine uma expresso para o alongamento total de uma barra prismtica de comprimentoL, rea de seo transversalAe mdulo de elasticidadeEse uma fora de trao P age nas extremidades dabarra.

    Figura 1-8

    SOLUO: A tenso normal na direo da fora P simplesmente a carga dividida pela rea da seo transversal, isto ,=P/A. Alm disso, a deformao linear especfica dada pela elongao total dividida pelo comprimento inicial,isto , =/L. Por definio, o mdulo de elasticidadeE a relao de /, isto ,

    Observe que tem unidade de comprimento, em metros.

    1.2 Uma barra cuja rea de seo transversal 500 mm2est submetida ao carregamento mostrado na Fig.1-9(a). Determine o alongamento total da barra. Para o ao, considereE=200 GPa.

    Figura 1-9

    SOLUO:Observa-se, na Fig. 1-9(a) que a barra est em equilbrio, logo, cada uma de suas partes tambm estar emequilbrio. O trecho entre as seesAeBtem uma fora resultante de 50 kN agindo sobre toda a seo transversal, e umdiagrama de corpo livre desse comprimento de 0,6 m est representado na Fig. 1-9( b). A fora na extremidade direitadesse trecho deve ser de 50 kN para garantir o equilbrio com a fora aplicada emA. O alongamento do trechoAB, doProblema 1.1,

    A fora que atua no trecho entre as seesBe C obtida considerando a soma algbrica das foras que atuam esquerda de uma seo situada entreBe C, isto , uma fora resultante de 35 kN atuando para a esquerda, logo esse

    trecho est submetido fora de trao. O diagrama de corpo livre do trechoBC mostrado na Fig. 1-9(c) e o alonga-mento dele

    Da mesma forma, a fora que atua no trecho entre as sees CeDdeve ser de 45 kN, para garantir o equilbrio coma fora aplicada emD. O alongamento deCD

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    O alongamento total

    1.3 A trelia mostrada na Fig. 1-10(a) submetida ao carregamento indicado. Todas as barras tm rea da seotransversal igual aA. Determine as tenses nas barrasABeAF.

    (a) (b)

    Figura 1-10

    SOLUO:As reaes nos vnculos esto indicadas por Cx, C

    yeA

    x. Da esttica, temos

    Um diagrama de corpo livre do nA mostrado na Fig. 1-10(b). Da esttica, temos

    As tenses nas barras so

    1.4 Na Fig. 1-11, determine o alongamento de uma barra de seo transversal constante suspensa verticalmentee submetida somente ao seu prprio peso. A barra inicialmente reta.

    Figura 1-11

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    RESISTNCIADOSMATERIAIS12

    SOLUO:A tenso normal (trao) que atua em uma determinada seo transversal provocada pelo peso da parte dabarra situada abaixo dessa seo. O alongamento do elemento de espessuradymostrado (ver Problema 1.1)

    ondeA a rea da seo transversal da barra e o seu peso especfico (peso/unidade de volume). Integrando, o alon-

    gamento total da barra

    ondeW o peso total da barra. Observe que o alongamento total da barra produzido pelo seu peso prprio igual queleproduzido por uma carga de metade do seu peso aplicada na extremidade.

    1.5 Em 1989, Jason, um submersvel de pesquisa com recursos de monitoramento remoto de TV pesando35200 N, foi lanado ao mar a uma profundidade de 646 m para enviar superfcie fotografias do cascode um navio romano afundado na costa da Itlia. O submersvel foi lanado na extremidade de um cabo deao de seo vazada com uma rea de 452 106m2e E =200 GPa. Determine o alongamento do cabo deao. Devido ao pequeno volume de todo o sistema, a flutuabilidade pode ser desprezada. (Nota:Jasonfoi oprimeiro sistema que fotografou o Titanicafundado, em 1986.)

    SOLUO:O alongamento total do cabo a soma dos alongamentos devido (a) ao peso doJasone (b) ao peso do cabode ao. Do Problema 1.1, temos para (a)

    e do Problema 1.4, temos para (b)

    onde W o peso do cabo. Wpode ser encontrado a partir do volume do cabo, isto ,

    que deve ser multiplicado pelo peso do ao por unidade de volume. Na Tabela 1-3, no final do captulo, esse valor 77 kN/m3. Assim, o peso do cabo

    logo, o alongamento devido ao peso do cabo

    O alongamento total a soma dos alongamentos,

    1.6 Duas barras prismticas, rigidamente ligadas entre si, suportam uma carga vertical de 45 kN, como mostraa Fig. 1-12. A barra superior de ao e tem um comprimento de 10 m e rea da seo transversal igual a60 cm2. A barra inferior de lato e tem um comprimento de 6 m e rea da seo transversal igual a 50 cm2.

    Para o ao,E=200 GPa; para o lato,E=100 GPa. Determine a mxima tenso em cada barra.

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    CAPTULO1 TRAOECOMPRESSO 13

    A A

    B B

    C C

    10 m

    6 m

    45 kN

    Figura 1-12

    SOLUO:A tenso mxima na barra de lato ocorre logo abaixo a juno na seoB-B. Nessa seo, a tenso normal provocada pelo efeito combinado da carga de 45000 N com o peso prprio da barra de lato. (Usar peso especfico daTabela 1-3.)

    O peso da barra de lato Wl=6 (50 104) 84000 =2520 N. A tenso nessa seo

    A mxima tenso na barra de ao ocorre na seoA-A, no ponto de suspenso, porque nessa seo atua uma tensoque a soma das tenses provocadas pelo peso das duas barras e da carga aplicada. O peso da barra de ao W

    a=10

    (60 104) 77000 =4620 N.

    A tenso na seoA-A

    1.7 Em 1989, um novo cabo de fibra ptica capaz de suportar 40.000 chamadas telefnicas simultaneamente foilanado no Oceano Pacfico, desde a Califrnia at o Japo, cobrindo uma distncia de 13300 km. O cabofoi desenrolado do bordo de um navio com uma temperatura mdia de 22C e lanado ao fundo do mar comuma temperatura mdia de 5C. O coeficiente de dilatao linear do cabo de 75 106/C. Determine ocomprimento do cabo que deve ser transportado no navio para atravessar os 13300 km.

    SOLUO:O comprimento do cabo que deve ser transportado a bordo do navio consiste de 13300 km mais um compri-mento desconhecido L. Esse comprimento permitir uma contrao, garantindo um comprimento final de 13300 kmquando estiver no fundo do oceano. Da definio do coeficiente de dilatao trmica [Eq. (1.4)], temos

    (1)

    Resolvendo-se a equao (1), tem-se:

    A variao percentual do comprimento , ento,

    Nota-se que o termo Lna eq. (1) pequeno comparado com o comprimento total do cabo. O comprimento do cabo natemperatura do navio de aproximadamente 13317 km.

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    RESISTNCIADOSMATERIAIS14

    1.8 Considere duas barras finas, como mostra a Fig. 1-13(a), articuladas emA,B e C, inicialmente horizontaise de comprimentosLquando a carga no aplicada. Uma foraQ aplicada gradualmente no pontoB.Determine a intensidade da fora Qpara que ela produza um deslocamento vertical no pontoB. Desprezeo efeito do peso prprio das barras.

    )b()a(

    N

    Figura 1-13

    SOLUO:Este um exemplo bastante interessante de um sistema cujos alongamentos das barras obedecem lei deHooke, mas o deslocamento vertical no proporcional fora por razes geomtricas. Do Problema 1.1, calcula-se a

    seguinte relao para cada barra: =PL/AE. Considerando-se queL o comprimento final de cada barra depois que acarga Qfor aplicada, pode-se escrever:

    (1)

    O diagrama de corpo livre do nB mostrado na Fig. 1-13(b). Impondo-se a condio de equilbrio do nB, tem-se

    Utilizando-se da (1), obtm-se (2)

    Mas (3)

    Das eqs. (2) e (3), vem

    (4)

    A eq. (4) pode ser simplificada pelo teorema binomial:

    (5)

    Portanto,

    (6)

    Das eqs. (4) e (6), obtm-se a relao aproximada entre a fora e o deslocamento,

    (7)

    Observa-se, na eq. (7), que o deslocamento no proporcional fora Q,mesmo que a lei de Hooke tenha sidoutilizada individualmente para cada barra.

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    CAPTULO1 TRAOECOMPRESSO 15

    1.9 Volte ao sistema de barras apresentado no Problema 1.8. Considere que cada barra tenha um comprimentoinicial de 2 m e rea de seo transversal igual a 0,6 cm2. Determine o valor do deslocamento para umafora Qde 85 N em ambas as solues, exata e aproximada. UseE=200 GPa.

    SOLUO:A expresso exata que relaciona fora e deslocamento . Substituindo-se osvalores numricos dados,

    Resolvendo-se por tentativa e erro, encontra-se =0,0385 m.

    A expresso aproximada entre a fora e o deslocamento . Substituindo-se os valores numricos,

    tem-se,

    A expresso aproximada fornece um valor com um erro menor do que 1,5%.

    1.10 Uma barra de ao, com seo quadrada de lado igual a 50 mm e comprimento igual a 1 m, submetida a

    uma fora axial de trao de 250 kN. Determine a diminuio da dimenso lateral tdevido a essa fora.UseE=200 GPa e =0,3.

    SOLUO:Como o carregamento axial, a tenso na direo da fora dada por

    Para carregamento axial, a lei de Hooke estabelece que E=/. A deformao na direo da fora , portanto,(100 106)/(200 109) =5 104.

    A relao entre a deformao lateral e a deformao axial igual ao coeficiente de Poisson, isto ,

    deformao lateraldeformao axial

    A variao no comprimento de 50 mm

    que representa a diminuio na dimenso lateral da barra.

    1.11 Considere-se um bloco elementar submetido trao uniaxial (ver Fig. 1-14). Deduza a expresso aproxi-mada para a variao de volume por unidade de volume devido a esse carregamento.

    Figura 1-14

    SOLUO:x a deformao na direo da tenso.As deformaes nas outras duas direes ortogonais so y=z=

    x. Sendo dx, dye dzas dimenses iniciais do elemento depois do carregamento, elas se transformam em

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    RESISTNCIADOSMATERIAIS16

    e o volume depois da deformao

    uma vez que as deformaes so pequenas, foram desprezados os produtose os quadradosdessas deformaes naequao anterior. A variao de volume por unidade de volume

    O coeficiente sempre positivo e, para a maioria dos materiais, menor do que 0,5. Portanto, para uma tenso detrao, o volume do elemento aumenta levemente, e, para o caso de compresso, o elemento diminui.

    Ainda, a rea da seo transversal do elemento em um plano normal a direo da tenso aplicada dada aproxi-madamente por

    1.12 Uma barra de alumnio, com seo quadrada de lado igual a 50 mm e comprimento igual a 250 mm, sub-metida a foras axiais de trao nas extremidades. Experimentalmente, determinou-se que a deformao nadireo das foras de 0,001. Determine o volume final da barra. Considere =0,33.

    SOLUO:A partir da expresso deduzida no Problema 1.11, a variao de volume por unidade de volume

    Logo, a variao de volume da barra inteira dada por

    O volume inicial da barra no estado indeformado 6,25 105mm3. Uma vez que uma fora de trao aumenta ovolume, o volume final sob carga 6,252125 105mm3. Medies efetuadas com o auxlio de lasers permite determi-

    nar o volume final com sete algarismos significativos. Mtodos comuns de medio no conseguem tal preciso.

    1.13 A forma geral da lei de Hooke, apresentada na eq. (1.6), exprime as componentes de deformaes em fun-o das componentes de tenses. Muitas vezes, necessrio exprimir as componentes de tenso em funodas componentes de deformaes. Deduza essas expresses.

    SOLUO:Sejam as equaes anteriores

    e as seguintes notaes

    A soluo do sistema de equaes formado pelas equaes (1), (2) e (3) para as incgnitas x,

    ye

    z,com as

    notaes (4) e (5), produz

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    CAPTULO1 TRAOECOMPRESSO 17

    Essas so as expresses solicitadas.

    Se as equaes (1), (2) e (3) so somadas e as notaes e e introduzidas, temos

    (9)

    No caso especial de um corpo ser submetido a um estado hidrosttico de tenso, ou seja, x=

    y=

    z=p, obtm-se

    (10)

    A grandezaE/3(1 2) , muitas vezes, representada por K e chamada de bulk modulusou de compressibilidadevolumtricado material. Fisicamente, o mdulo de compressibilidade volumtrica uma medida da resistncia de ummaterial variao de volume.

    Vimos que o volume final de um elemento de lados dx, dy e dzantes do carregamento e submetido s deformaesx,

    ye

    z (1 +

    x) dx (1 +

    y) dy(1 +z) dz (1 +x+y+z)dx dy dz.

    Assim, a relao entre o aumento de volume e o volume inicial dada aproximadamente por

    e =x+y+z

    Essa variao de volume por unidade de volume, e, chamada de dilatao.

    1.14 Um cubo de ao est submetido a uma presso hidrosttica de 1,5 MPa. Com essa presso, o volume dimi-nui de modo a ter uma dilatao de 105. O mdulo de Young do material 200 GPa. Determine o coefi-ciente de Poisson do material e tambm o mdulo de compressibilidade volumtrica.

    SOLUO:Do Problema 1.13, para um estado hidrosttico de tenso, a dilatao e dada pela eq. (10)

    Substituindo-se os valores numricos dados, temos

    ,

    e, dessa expresso, obtm-se =0,278. Ainda do Problema 1.13, a expresso para o mdulo de compressibilidadevolumtrica

    e a aplicao dos valores numricos produz

    1.15 Considere um cilindro de alumnio dentro de um tubo de ao. O conjunto est sendo comprimido por umpar de foras centradas aplicadas em placas rgidas, como mostra a Fig. 1-15(a). O cilindro de alumnio temum dimetro de 8 cm, e o dimetro externo do tubo de ao de 9,2 cm. Se P =200 kN, encontre a tenso notubo de ao e no cilindro de alumnio. Para o ao,E=200 GPa, e, para o alumnio,E=80 GPa.

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    RESISTNCIADOSMATERIAIS18

    )b()a(

    Al

    ao aoal

    Figura 1-15

    SOLUO:Passeum plano horizontal pelo conjunto em qualquer posio intermediria distante das placas rgidas,separando-o em duas partes. Em seguida, remova uma das partes, por exemplo, a parte superior. A parte que foi remo-vida deve ser substituda pelo efeito que ela exerce sobre a parte restante, e esse efeito consiste em tenses normaisverticais distribudas ao longo dos dois materiais. O diagrama de corpo livre da parte do conjunto abaixo desse planode corte mostrado na Fig. 1-15(b), onde

    aoe

    also as tenses normais que atuam no tubo de ao e no cilindro de

    alumnio, respectivamente.

    Vamos, agora, chamar a fora resultante que atua no tubo de ao de Pao

    e aquela que atua no cilindro de alumniode P

    al. Considerando-se queA

    aoeA

    also as reas das sees transversais do tubo de ao e do cilindro de alumnio,

    respectivamente, essas foras so, ento, Pao=Aaoaoe Pal=Aalal. Existe somente uma equao de equilibrio daesttica disponvel, ou seja,

    Fy=PP

    aoP

    al=0

    Logo, temos uma equao e duas incgnitas, PaoePal, e, assim, o problema estaticamente indeterminado. Neste caso,devemos complementar a equao da esttica com uma equao que envolve as deformaes do sistema estrutural.Como as placas so rgidas, a condio de que as deformaes do tubo de ao e do cilindro de alumnio so idnticasdeve ser imposta.

    A deformao devido ao carregamento axial dada por =PL/AE. Igualando as deformaes do tubo de ao e docilindro de alumnio, temos

    ou

    Portanto, Pao

    =0,806Pal

    Essa equao, junto com a equao de equilbrio da esttica, P=Pao

    +Pal

    , forma um conjunto de duas equaes comduas incgnitas. A soluo desse sistema fornece P

    al=0,554Pe P

    ao=0,446P.

    Para uma fora de P=200 kN, obtm-se Pal

    =111 kN e Pao

    =89 kN. As tenses so encontradas dividindo-se asforas resultantes em cada material pela respectiva rea da seo transversal:

    1.16

    O conjunto de trs barras mostrado na Fig. 1-16 est submetido a uma carga vertical Paplicada no nB.As barrasABeBDso idnticas, cada uma com comprimentoLe rea de seo transversalA1. A barraBCtambm tem comprimentoL, mas a rea da seo transversal igual aA2. Todas as barras tm o mesmomdulo de elasticidadeEe so articuladas emA,B, CeD. Determine a fora axial em cada uma das barras.

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    CAPTULO1 TRAOECOMPRESSO 19

    Figura 1-16

    SOLUO:Inicialmente,considere o diagrama de corpo livre mostrado na Fig. 1-17, onde esto representadas as forasP1e P2em cada uma das barras.A condio de equilbrio de foras na direo vertical impe:

    (1)

    Figura 1-17

    Considere, temporariamente, que o nBseja removido e, em seguida, analise as deformaes. Sob a ao da foraaxial P2, a barra vertical se estende para baixo de um valor igual a

    (2)

    nessa condio, a extremidade inferior (originalmente emB) se move paraB, como mostra a Fig. 1.18.

    Figura 1-18

    Figura 1-19

    A fora de compresso que atua na barraABprovoca um encurtamento de um valor indicado comoBBna Fig.1-19. A barraAB, ento, gira em torno do pontoAcomo um corpo rgido, fazendoBse mover paraBpara baixo. Apartir da Fig. 1-19, a componente vertical de

    Em seguida, considere que o nBseja colocado de volta no sistema. Os pontos Be Bdevem coincidir de talmodo que

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    RESISTNCIADOSMATERIAIS20

    (3)

    A soluo do sistema de equaes formado pelas Eqs. (1) e (3) fornece

    onde =A2/A1. Considera-se que P, e so conhecidos.

    1.17 A barra composta de dois materiais mostrada na Fig. 1-20(a) est biengastada. A parte da esquerda dabarra de cobre, com uma rea de seo transversal uniforme igual a 80 cm2e comprimento igual a 30cm. A parte da direita da barra de alumnio, com uma rea de seo transversal uniforme igual a 20 cm2e comprimento igual a 20 cm. A uma temperatura de 26C, o conjunto todo est livre de tenso. A tempe-ratura da estrutura diminuiu, e, durante esse processo, o engastamento da direita sofreu um deslocamentode 0,025 mm no sentido de contrair a barra. Determine o valor da temperatura mnima qual o conjuntodeve ser submetido a fim de que a tenso no alumnio no ultraspasse 160 MPa. Utilize para o cobreE=100 GPa, =17 106/C; e, para o alumnio,E=80 GPa, =23 106/C.

    30 cm 20 cm

    )b()a(

    T

    Figura 1-20

    SOLUO:Considere que a barra seja cortada do lado esquerdo do engastamento da direita e est livre para contrairdevido a uma queda de temperatura de T. O encurtamento total da barra composta dado por

    que est de acordo com a definio do coeficiente de dilatao linear [eq. (1.4)]. Observe que a forma da seo transver-sal no tem influncia na variao do comprimento da barra devido variao da temperatura.

    Mesmo que a barra contraia esse valor, ela ainda estar livre de tenso. No entanto, essa no a anlise completa,porque a reao do engastamento do lado direito no foi considerada pelo corte da barra. Consequentemente, deve-serepresentar a ao do engastamento na barra por uma fora axial P, como mostra a Fig. 1-20(b). Por equilbrio, a foraresultante atuando sobre qualquer seo transversal tanto do cobre quanto do alumnio deve ser igual a P. A aplicaoda fora Palonga a barra composta por uma quantidade de

    Se o apoio da direita no sofresse deslocamento, essa ltima expresso deveria ser igualada quela que fornece oencurtamento total devido queda de temperatura. Mas, na verdade, o engastamento da direita deslocou-se 0,025 mm,

    portanto, deve-se escrever

    A tenso na barra de alumnio no pode ultrapassar 160 MPa. Uma vez que a tenso na barra de alumnio =P/A, a fora mxima P torna-se P=A=20 104 (160 106) =320000 N. Substituindo-se esse valor de Pna equaoacima, encontra-se T=56,2C. Portanto, a temperatura pode diminuir 56,2C da inicial 26C. A temperatura final ser30,2C.

    1.18 Considere um cilindro de cobre slido dentro de um cilindro de ao vazado. O conjunto est submetido aum carregamento axial de 200 kN, como mostra a Fig. 1-21(a). A rea da seo transversal do cilindro deao de 20 cm2, enquanto a do cilindro de cobre de 60 cm2. Ambos os cilindros tm os mesmos compri-mentos antes de a carga ser aplicada. Determine o aumento da temperatura necessrio ao sistema todo para