Resistencia estabilidade

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1 Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco SUMÁRIO Capítulo 1 Introdução e Definições de Resistência dos Materiais 4 1.1. Definição de Resistência dos Materiais 4 1.2. Evolução Histórica 4 1.3. Princípio da Estática e do Equilíbrio das Forças 5 1.3.1. Forças Externas 5 1.3.1.1. Forças de Superfície 6 1.3.1.1.1. Cargas Concentradas ou Pontuais 6 1.3.1.1.2. Cargas Distribuídas Linearmente 7 1.3.1.1.3. Cargas Distribuídas por Área 10 1.3.1.2. Força de Corpo 10 1.3.2. Forças Internas ou Esforços Solicitantes 11 1.3.2.1. Esforços Normais 11 1.3.2.2. Esforços de flexão 12 1.3.2.3. Esforços de Cisalhamento 13 1.3.2.4. Esforços de Torção 14 1.3.3. Cargas Internas Resultantes 14 1.3.4. Equilíbrio das Forças 15 Capítulo 2 Momento Fletor e Força Cortante 17 2.1. Análise de Momento Fletor e Força Cortante em Vigas 17 2.2. Representação Gráfica 17 2.3. Vínculos das Estruturas 18 2.3.1. Vínculo Simples ou Móvel 18 2.3.2. Vínculo Duplo ou Fixo 18 2.3.3. Engastamento 18 2.4. Estruturas 19 2.4.1. Estruturas Hipoestáticas 19 2.4.2. Estruturas Isoestáticas 19 2.4.3. Estruturas Hiperestáticas 20 2.5. Tipos de Vigas 20 2.6. Momento Fletor 21 2.6.1. Exercícios Resolvidos 22 2.7. Diagrama de Momento Fletor (DMF) 25 2.8. Esforço Cortante 30 2.8.1. Exercícios Resolvidos 31 2.9. Diagrama de Esforço Cortante (DEC) 32 2.10. Cálculo do Momento Máximo e do Ponto de Aplicação 33 2.11. Exercícios Propostos 35 Capítulo 3 Características Geométricas das Superfícies Planas 36 3.1. Centroides de Superfícies Planas 36 3.1.1. Tabela de Centro de Gravidade de Superfícies Planas 37 3.1.2. Exercícios Propostos 42 3.2. Momento de Inércia ou Momento de 2ª Ordem 43 3.2.1. Tabela de Momento de Inércia, Raio de Giração e Módulo de Resistência 43 3.2.2. Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de Steiner 46 3.3. Raio de Giração 49 3.4. Módulo de Resistência 50 3.5. Exercícios Propostos 51 Capítulo 4 Tensões Normais (tração e compressão) 52 4.1. Força Normal ou Axial 52

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SUMÁRIO

Capítulo 1 – Introdução e Definições de Resistência dos Materiais 4

1.1. Definição de Resistência dos Materiais 4 1.2. Evolução Histórica 4 1.3. Princípio da Estática e do Equilíbrio das Forças 5

1.3.1. Forças Externas 5 1.3.1.1. Forças de Superfície 6

1.3.1.1.1. Cargas Concentradas ou Pontuais 6 1.3.1.1.2. Cargas Distribuídas Linearmente 7 1.3.1.1.3. Cargas Distribuídas por Área 10

1.3.1.2. Força de Corpo 10 1.3.2. Forças Internas ou Esforços Solicitantes 11

1.3.2.1. Esforços Normais 11 1.3.2.2. Esforços de flexão 12 1.3.2.3. Esforços de Cisalhamento 13 1.3.2.4. Esforços de Torção 14

1.3.3. Cargas Internas Resultantes 14 1.3.4. Equilíbrio das Forças 15

Capítulo 2 – Momento Fletor e Força Cortante 17

2.1. Análise de Momento Fletor e Força Cortante em Vigas 17 2.2. Representação Gráfica 17 2.3. Vínculos das Estruturas 18

2.3.1. Vínculo Simples ou Móvel 18 2.3.2. Vínculo Duplo ou Fixo 18 2.3.3. Engastamento 18

2.4. Estruturas 19 2.4.1. Estruturas Hipoestáticas 19 2.4.2. Estruturas Isoestáticas 19 2.4.3. Estruturas Hiperestáticas 20

2.5. Tipos de Vigas 20 2.6. Momento Fletor 21

2.6.1. Exercícios Resolvidos 22 2.7. Diagrama de Momento Fletor (DMF) 25 2.8. Esforço Cortante 30

2.8.1. Exercícios Resolvidos 31 2.9. Diagrama de Esforço Cortante (DEC) 32 2.10. Cálculo do Momento Máximo e do Ponto de Aplicação 33 2.11. Exercícios Propostos 35

Capítulo 3 – Características Geométricas das Superfícies Planas 36

3.1. Centroides de Superfícies Planas 36 3.1.1. Tabela de Centro de Gravidade de Superfícies Planas 37 3.1.2. Exercícios Propostos 42

3.2. Momento de Inércia ou Momento de 2ª Ordem 43 3.2.1. Tabela de Momento de Inércia, Raio de Giração e Módulo de Resistência

43

3.2.2. Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de Steiner 46 3.3. Raio de Giração 49 3.4. Módulo de Resistência 50 3.5. Exercícios Propostos 51

Capítulo 4 – Tensões Normais (tração e compressão) 52

4.1. Força Normal ou Axial 52

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4.2. Tensão Normal 54 4.3. Lei de Hooke 56 4.4. Coeficiente de Segurança 57

4.4.1. Carga Estática ou Permanente 57 4.4.2. Carga Intermitente 57 4.4.3. Carga Alternada 58

4.5. Tensão Admissível 59 4.6. Exercícios Propostos 61

Capítulo 5 – Tensões de Flexão 63 5.1. Introdução 63 5.2. Flexão Pura 63 5.3. Flexão Simples 64 5.4. Tensões Normais na Flexão 64 5.5. Dimensionamento na Flexão 66 5.6. Exercícios Propostos 68

Capítulo 6 – Tensões de Cisalhamento Puro 69

6.1. Introdução 69 6.2. Força Cortante 69 6.3. Tensão de Cisalhamento 70 6.4. Exercícios Propostos 71

Referências 72

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Introdução e Definições de Resistência

dos Materiais

1.1. DEFINIÇÃO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

“Resistência dos Materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas

externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro

do corpo. Esse assunto abrange também o cálculo da deformação do corpo e o estudo da sua

estabilidade, quando ele está submetido a forças externas.” (HIBBELER, 2010)

No projeto de qualquer estrutura ou máquina é fundamental que sejam estudadas não

somente as forças atuantes, mas também o comportamento do material diante das situações de

carregamento. Essa conjuntura é essencial para a escolha do material mais adequado para uma

determinada situação de projeto. As dimensões dos elementos, sua deflexão e sua estabilidade

dependem não só das cargas internas como também do tipo de material do qual esses elementos

são feitos.

1.2. EVOLUÇÃO HISTÓRICA

A origem dos estudos em resistência dos materiais vem do

século XVII, quando Galileu realizou as primeiras experiências em

hastes e vigas de diferentes matérias, avaliando o efeito das cargas

sobre os elementos e os seus respectivos comportamentos.

Entretanto, para a compreensão adequada, foi necessário

estabelecer descrições experimentais mais precisas das

propriedades mecânicas de um material. Os métodos para tais

descrições foram consideravelmente melhorados no início do século

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XVIII. Naquela época, estudos sobre o assunto, tanto experimentais quanto teóricos, foram

realizados principalmente na França por estudiosos renomados como Saint-Venant, Poisson,

Lamer e Navier.

Com o passar do tempo, a medida que problemas mais complexos foram surgindo e

precisavam ser resolvidos, tornou-se necessário usar técnicas de matemática avançada e de

computador. Hoje, os profissionais envolvidos no estudo das estruturas têm à sua disposição

softwares capazes de simular inúmeras situações de projeto e fornecer dados precisos sobre o

comportamento dos elementos estruturais.

1.3. PRINCÍPIO DA ESTÁTICA E DO EQUILÍBRIO DAS FORÇAS

Como já foi dito, o estudo da resistência dos materiais envolve a determinação das forças

atuantes sobre o corpo e o comportamento do material sobre o efeito do carregamento. O

princípio da estática desempenha um papel relevante tanto no desenvolvimento como na

aplicação da resistência dos materiais, logo é muito importante ter uma boa compreensão dos

seus fundamentos.

1.3.1. FORÇAS EXTERNAS

Um corpo qualquer pode ser submetido a várias

forças externas, ou seja, sofrer ação de inúmeros

agentes externos. Estas forças podem assumir

características distintas, conforme a natureza de sua

aplicação.

Quanto aos tipos de forças externas, podemos classificá-

las como:

1) Forças de superfície: ocorrem quando há o contato

direto de um corpo com a superfície do outro. Em

todos os casos essas forças são distribuídas pela

área de contato entre os dois corpos.

2) Força de corpo: ocorre quando um corpo exerce uma força sobre o outro sem contato físico

direto entre eles. Um exemplo desta força é a gravidade, representada como uma única força

concentrada chamada de peso do corpo, cuja resultante atua no centro de gravidade do corpo.

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1.3.1.1. Forças de superfície

As forças geradas pelo contato entre dois corpos são chamadas de forças de superfície. Logo,

podemos avaliar o carregamento gerado por essa interação como sendo distribuído em toda a

área de contato. Entretanto, em alguns casos esta área de interação ou contato é pequena em

relação ao tamanho dos corpos e, por isso, podem ser consideradas pontuais ou lineares.

Analisemos a seguinte situação: ao espetarmos um palito num pedaço de carne, todas as forças

estão sendo distribuídas ao longo da área da ponta do palito, que é muito pequena em relação ao

tamanho da carne. Logo, neste caso podemos considerar esta carga como sendo pontual. Em

seguida vamos ver os tipos de carregamento gerados pelas forças de superfície.

1.3.1.1.1. Cargas concentradas ou pontuais

As cargas pontuais, como o próprio nome sugere, exerce contato sobre uma área muito

pequena e, por isso, pode ser considerada como pontual. Como exemplo, podemos destacar uma

pessoa ou um móvel em cima de uma laje. A carga concentrada é representada por uma única

seta ou vetor, que pode admitir sentidos e direções diferentes, conforme a orientação do

carregamento. O vetor deve ser aplicado em cima do ponto onde ocorre o carregamento

concentrado.

Na figura abaixo temos o esquema de uma viga biapoiada sendo submetida a uma força

concentrada “F”, localizada no meio do vão:

O carregamento é expresso em unidades de força, conforme a interação massa e

aceleração da gravidade:

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As unidades mais comuns de representação destas forças são:

N – Newton

KN – Quilonewton

Kgf – Quilograma força

1.3.1.1.2. Cargas distribuídas linearmente

A carga pode se considerada linearmente distribuída quando a área de atuação sobre a

superfície é estreita, formando uma espécie de “corredor”. A palavra “linear” significa relativo a

linha ou algo que segue a direção de uma linha.

Partindo desta definição, podemos dar como exemplo de carregamento linear o peso de

uma parede sobre a laje ou sobre a viga:

O carregamento linearmente distribuído é representado pela sequência linear de setas ou

vetores de força distribuídos ao longo da região de atuação. A unidade desta grandeza é dada em

força por metro, conforme é mostrado na figura abaixo:

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Na figura, a viga com apoios

A e B está sofrendo um

carregamento linearmente

distribuído de 10 KN/m, o que

significa que em cada metro da viga

atua um carregamento de 10 KN.

Pode ser comumente expresso,

ainda, em N/m e kgf/m.

Na análise de todo carregamento distribuído é necessário que seja encontrada uma força

resultante equivalente. No caso do carregamento linear, esta força é calculada multiplicando a

carga pelo comprimento linear de atuação. O ponto de aplicação da força resultante está

localizado na metade do comprimento de atuação. Abaixo, dois exemplos de cálculo da resultante:

Cálculo da força resultante:

Região da aplicação da força:

Cálculo das forças resultantes:

Região de aplicação das forças:

As cargas distribuídas linearmente nem sempre são uniformes. Em alguns casos podem

variar de intensidade ao longo da distribuição, apresentando um carregamento com formas

geométricas triangulares ou trapezoidais.

Nos carregamentos que variam de forma triangular, a força resultante equivale à área do

triângulo e está posicionada a 1/3 da base, partindo do ângulo reto.

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Nos carregamentos trapezoidais, a melhor força de encontrar as forças resultantes é

dividindo a figura em duas outras formas geométricas conhecidas, como o triângulo e o retângulo.

Desta forma, obteremos duas resultantes concentradas: uma equivalente à porção retangular e a

outra à porção triangular.

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1.3.1.1.3. Carga distribuída por área

Foi visto anteriormente que toda força de superfície é distribuída por área, mas que em

alguns casos estas áreas são muito pequenas ou estreitas, dando origem aos carregamentos

lineares e pontuais.

No carregamento distribuído por área, a região de contato é consideravelmente grande e,

portanto, a área deve ser considerada na distribuição das forças. Esse tipo de carga é bastante

encontrado nas situações que envolvem a engenharia e a mecânica, principalmente no

carregamento sobre as lajes de uma construção.

Assim como no linear, o carregamento distribuído por área também exige o cálculo de uma

resultante que atua no centro da área de contato. Esta resultante é calculada quando

multiplicamos o carregamento pela área:

1.3.1.2. Força de corpo

A força de corpo, como foi visto anteriormente, não depende do contato entre duas

superfícies. O exemplo mais evidente desta força é o peso de um corpo. Todo corpo possui uma

massa e, portanto, sofrendo ação da gravidade, possui um peso que atua no seu centro de

gravidade ou centroide.

A força que atua no centroide do corpo é também chamada de resultante do peso e ela

atua no centro do corpo, conforme a figura:

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Portanto, um corpo com massa igual a 80 kg, sofrendo a ação da gravidade g = 9,81 m/s²,

exerce uma força de 785 N (Newton), cuja resultante se encontra no seu centro de gravidade ou

centro de massa.

1.3.2. FORÇAS INTERNAS OU ESFORÇOS SOLICITANTES

A atuação de forças externas sobre um corpo gera em toda a sua estrutura ou secção

forças internas. Portanto, solicitação é todo esforço ou conjunto de esforços que, devido às ações

externas, atuam sobre uma ou mais secções de um elemento da estrutura. A seguir serão

apresentados os tipos de esforços solicitantes e mais adiante cada um será estudado de forma

detalhada.

1.3.2.1. Esforços normais

Os esforços normais são assim chamados, pois atuam perpendicular à superfície da

secção da peça. Em outras palavras, a resultante desta força forma um ângulo de 90º com a

superfície.

Existem dois tipos de esforços normais e estes são muito importantes no estudo da

resistência dos materiais. São eles os esforços de compressão e tração. Ambos atuam

perpendiculares à superfície da secção, porém se diferenciam pelo sentido da força.

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Os esforços de compressão ocorrem quando há duas forças na mesma direção

empurrando ou comprimindo em sentidos opostos.

Os esforços de tração ocorrem quando há duas forças na mesma direção puxando em

sentidos opostos.

1.3.2.2. Esforços de flexão

A flexão é um esforço onde a deformação ocorre perpendicularmente ao eixo do corpo.

Observe as duas figuras a seguir: a da esquerda mostra um corpo apoiado em suas duas

extremidades e da direta mostra um corpo preso de um lado, com a extremidade oposta livre. Os

dois corpos estão sofrendo a ação de uma força F, que age na direção perpendicular ao eixo dos

corpos.

A força F leva uma região dos corpos a se contrair, devido à compressão, enquanto que a

outra região se alonga, devido à tração. Entre a região que se contrai e a que se alonga fica uma

linha que mantém sua dimensão inalterada - a chamada linha neutra. Em materiais homogêneos,

costuma-se considerar que a linha neutra fica a igual distância das superfícies externas inferiores

e superiores do corpo.

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Quando esta força provoca somente uma deformação elástica no material, ou seja, quando

interrompido o carregamento retorna ao seu estado original, dizemos que se trata de um esforço

de flexão. Quando produz uma deformação plástica, temos um esforço de dobramento, isso por

que o material não retorna ao estado original e permanece deformado mesmo que o

carregamento não exista mais.

1.3.2.3 Esforço de cisalhamento

No esforço de cisalhamento as forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, ou

seja, um deslocamento linear entre seções transversais. Também conhecido como esforço

cortante, o cisalhamento acontece quando temos um carregamento agindo em um sentido em

uma face do elemento, e outro carregamento agindo em sentido contrário na face oposta. Para

que o esforço tenha efeito de corte, as forças devem agir perpendicularmente ao eixo do

elemento.

Podemos concluir, então, que uma mesma força agindo perpendicularmente ao eixo

transversal do corpo pode gerar cisalhamento e flexão, cisalhamento puro ou flexão pura.

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1.3.2.4. Esforço de torção

A torção é diferente da compressão, da tração e

do cisalhamento porque nestes casos o esforço é

aplicado no sentido longitudinal ou transversal do

elemento e na torção o esforço é aplicado no sentido de

rotação.

Para melhor exemplificar este esforço, pense

num corpo cilíndrico, preso por uma de suas

extremidades. Imagine que este corpo passe a sofrer a ação de uma força no sentido de rotação,

aplicada na extremidade solta do corpo, conforme a ilustração ao lado.

O corpo tenderá a girar no sentido da força e, como a outra extremidade está engastada,

ele sofrerá uma torção sobre seu próprio eixo. Se certo limite de torção for ultrapassado, o corpo

se romperá.

Obviamente, a torção não é gerada apenas na situação descrita acima. Basta que haja dos

movimentos de rotação sobre o eixo da peça em sentidos opostos.

1.3.3. CARGAS INTERNAS RESULTANTES

As cargas internas representadas pelos esforços solicitantes

apresentados anteriormente atuam de forma desordenada, em

diferentes direções e sentidos numa seção do elemento.

A figura (a) mostra um elemento qualquer sofrendo ação de

forças externas representadas por quatro vetores. Se fizermos um

corte no elemento, revelando a sua seção, teremos uma série de

forças internas atuando desordenadamente, em direção e sentido

distintos, conforme a figura (b).

O estudo das cargas internas só é possível a partir da

determinação de suas resultantes, que possuem direção e sentido

vetoriais conhecidos. Cada esforço solicitante tem a sua carga

interna resultante definida e é conhecendo o valor desta grandeza

e de que forma a mesma atua no elemento que torna possível

estudar a sua resistência.

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As cargas internas resultantes são assim representadas:

a) Força normal (N): essa força é perpendicular à seção. É criada sempre que as forças

externas tendem a comprimir ou tracionar as duas partes do corpo.

b) Força cortante (V ou Q): localiza-se no plano da seção e é criada quando as cargas externas

tendem a provocar o deslizamento ou corte das duas partes do corpo, uma sobre a outra.

c) Momento de torção ou torque (T): essa força é criada quando as forças externas provocam

um giro em relação ao eixo do elemento, tendendo a torcer o mesmo.

d) Momento fletor (M): é provocada pelas cargas externas que tendem a fletir ou flexionar o

corpo em relação ao eixo localizado no plano da seção.

A figura abaixo mostra, de forma geral, o comportamento dessas resultantes em relação ao plano

da seção do elemento:

1.3.4. EQUILÍBRIO DAS FORÇAS

Um corpo está em equilíbrio quando o somatório de todas as forças atuantes sobre ele é

zero, evitando que o mesmo desenvolva movimento acelerado. Além do equilíbrio das forças, é

necessário também o equilíbrio dos momentos. Isto significa que em qualquer ponto do corpo o

somatório dos momentos é zero, impedindo neste caso a rotação.

Tanto os vetores força quanto os momentos podem apresentar diferentes direções e

sentidos de atuação numa estrutura. Sendo assim, no plano cartesiano podemos ter forças na

direção do eixo x e forças na direção y, assim como momentos em ambas as direções também.

Para os casos de figuras tridimensionais, tem-se o acréscimo de mais um plano, o “z”. Entretanto,

para o estudo dessa disciplina só iremos considerar os corpos no plano xy.

Têm-se, então, como equações de equilíbrio no plano os seguintes somatórios:

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Os somatórios de e são, respectivamente, a soma de todas as forças horizontais e

verticais atuantes no corpo. O somatório de é a soma dos momentos em um ponto qualquer

“o” onde o valor é zero. É importante frisar que o somatório de momento deve ser aplicado num

ponto onde este valor é zero, uma vez que ao longo do corpo o valor do momento varia em

valores diferentes de zero.

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17 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Momento Fletor e Força Cortante

2.1. ANÁLISE DE MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE EM VIGAS

O momento fletor e a força cortante são esforços presentes em diversos tipos de estrutura,

seja ele uma viga, um pilar, uma laje ou até mesmo um reservatório. Para estudarmos os

conceitos do comportamento dessas forças numa estrutura, iremos considerar a atuação destas

em vigas.

As vigas são estruturas importantes para a análise do momento e do cortante, pois boa

parte do carregamento atua sobre a porção longitudinal da peça ou transversal a seção.

2.2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

Para facilitar o estudo do comportamento da estrutura e das forças atuantes sobre ela, as

situações são representadas graficamente através de símbolos. No caso das vigas, os elementos

a serem considerados são o carregamento, os apoios e a própria viga. Obviamente, estes

elementos não são representados na forma real, como na figura a cima. É necessária uma forma

mais simples e prática de reproduzir todos os elementos do problema.

A ilustração abaixo descreve os elementos gráficos que devem ser observados:

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2.3. VÍNCULOS DAS ESTRUTURAS

Denominamos vínculos ou apoios os elementos de construção que impedem os

movimentos de uma estrutura. Nas estruturas planas, podemos classificá-los em três tipos:

vínculo simples ou móvel; vínculo duplo ou fixo; engastamento.

2.3.1. VÍNCULO SIMPLES OU MÓVEL

Esse tipo de vínculo impede o movimento no sentido normal ao plano de apoio, fornecendo

apenas uma única reação na vertical.

2.3.2. VÍNCULO DUPLO OU FIXO

Esse tipo de vínculo ou apoio impede o movimento em duas direções, na direção normal e

na direção paralela ao plano de apoio. Portanto fornece duas reações: uma na horizontal e a outra

na vertical.

2.3.3. ENGASTAMENTO

Esse tipo de vínculo impede o movimento em qualquer direção, impedindo também a

rotação.

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2.4. ESTRUTURAS

Denomina-se estrutura o conjunto de elementos de construção, composto com a finalidade

de receber e transmitir os esforços solicitantes. As estruturas planas são classificadas de acordo

coma sua estaticidade ou situação de estática em três tipos: hipoestáticas, isoestáticas e

hiperestáticas.

2.4.1. ESTRUTURAS HIPOESTÁTICAS

As estruturas chamadas de hipoestáticas são instáveis estaticamente e são pouco

utilizadas na prática. A classificação de hipoestática é devido ao fato de o número de equações de

estática ser superior ao número de incógnitas.

2.4.2. ESTRUTURAS ISOESTÁTICAS

A estrutura é considerada isoestática quando o número de reações ou incógnitas a serem

determinadas coincide com o número de equações de estática.

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2.4.3. ESTRUTRAS HIPERESTÁTICAS

A estrutura é considerada hiperestática quando as equações são insuficientes para

calcular as reações ou incógnitas.

2.5. TIPOS DE VIGAS

As vigas podem assumir diversas configurações, a depender disposição ou

posicionamento de seus apoios. Sendo assim, podemos destacar alguns tipos de viga mais

comuns em estruturas de edificações.

Page 21: Resistencia estabilidade

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2.6. MOMENTO FLETOR

O momento de uma força em relação ao ponto é o produto da força com a distância desta

para o ponto. Consideremos, agora, uma força F que atua em um determinado ponto da viga. Este

ponto é denominado de “C”, localizado no vão da viga a uma distância “x” da força, conforme a

figura:

Logo, o momento neste ponto “c” qualquer provocado por uma força qualquer “F” é

calculado multiplicando a força pela distância que a separa do ponto. Esta distância é também

conhecida como “braço de alavanca”.

Podemos, então, definir o momento de uma força em relação a um ponto qualquer a

seguinte expressão:

A unidade de medida do momento, no sistema internacional de medidas, pode ser

expressa em:

F – força: [KN]; [N]; [kgf]...

X – distância: [mm]; [cm]; [m]...

M – momento: [KN.m]; [KN.cm]; [N.m]...

Para que haja momento num ponto qualquer é necessário que a força esteja deslocada em

relação ao ponto. Logo, as forças que estão atuando exatamente sobre o ponto não geram

momento, pois o “braço de alavanca” é zero.

No exemplo abaixo, a força F1 não provoca momento no ponto “c”, pois está sendo

aplicada exatamente sobre o ponto e, portanto, não tem “braço de alavanca”. Se não existe

distância entre o ponto e a força, x = 0.

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Além do conceito de momento apresentado, é importante observar também o sinal do

momento, ou seja, se ele é positivo ou negativo.

O momento é considerado negativo quando a flexão traciona a face superior da viga e

comprime a face inferior, conforme a figura:

O momento é considerado positivo quando a flexão traciona a face inferior da viga e

comprime a superior, conforme a figura:

2.6.1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Exercício (1): A viga está sofrendo

um carregamento uniformemente distribuído

de 25 KN/m. Calcular o momento fletor na

seção “c” indicada na viga.

Page 23: Resistencia estabilidade

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A primeira etapa para resolver o problema é descobrir as reações que estão atuando nos

apoios A e B. Analisando o tipo de apoio ou vínculo, temos que A e B são do tipo fixo ou duplo,

gerando reação na horizontal e na vertical.

Reações na horizontal:

Reações na vertical:

Resultante do carregamento distribuído:

Depois de definir as reações de apoio que estão atuando, podemos encontrar os valores

dessas reações através do equilíbrio ou somatório das forças.

Somatório de forças horizontais: Somatório de forças verticais:

Somatório de momentos no apoio A

Sabendo que:

Depois que todas as reações de apoio são encontradas, é possível calcular o momento em

qualquer ponto da nossa viga, utilizando o método das secções. Este método consiste em fazer

o somatório de momentos gerados pela (s) força (s) atuante (s) à esquerda e à direita da secção

ou ponto desejado.

Numa estrutura em equilíbrio, o somatório de momentos gerados pelas forças à esquerda

tem que se igualar ao somatório de momentos gerados pelas forças à direita da secção estudada.

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Vamos utilizar o método das secções para determinar o momento no ponto c. Momento em

c vindo pela esquerda tem que ser igual ao momento vindo pela direita.

Note que no momento em “c” pela esquerda foram consideradas apenas as forças que

estavam gerando momento à esquerda do ponto, idem para o momento em “c” pela direita. O

valor de momento em ambos os casos deu igual a 37,5 KN.m, o que significa que a estrutura está

em equilíbrio.

Exercício (2): calcular as

reações de apoio e o momento fletor

no ponto “c” indicado na viga metálica

ao lado, sujeita a dois carregamentos

distribuídos de diferentes intensidades.

Resposta

Reações na horizontal:

Não existem reações na horizontal

Reações na vertical:

Page 25: Resistencia estabilidade

25 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Cálculo das reações:

Sabendo que:

Cálculo do momento no ponto “c”, utilizando o método das secções:

2.7. DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (DMF)

Vimos anteriormente que, para definir as reações de apoio da estrutura, é necessário

aplicar o princípio do equilíbrio das forças. Uma vez definidas todas as reações, podemos

encontrar o momento em qualquer ponto ou secção da nossa estrutura. O momento fletor tem

intensidades distintas ao longo do vão e o melhor mecanismo para visualizar o seu

comportamento é traçar o diagrama de momento fletor (para o caso de flexão).

Page 26: Resistencia estabilidade

26 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Portanto, “o diagrama de momento fletor fornece informações detalhadas sobre a variação

do momento fletor ao longo do eixo da estrutura e são usados frequentemente pelos engenheiros

e projetistas para decidir onde colocar materiais de reforço na peça ou como definir as dimensões

desta ao longo do seu comprimento.” (HIBBELER, 2008).

Como já foi dito, o diagrama de momento fletor fornece uma série de informações quanto

ao comportamento da estrutura em relação aos esforços de flexão. As duas primeiras informações

que podemos destacar do diagrama é a ideia de comportamento do gráfico e o ponto onde o

momento fletor é máximo. O valor máximo de momento e a secção onde este ocorre é

extremamente importante para o projetista dimensionar a armadura da estrutura, principalmente

quanto ao diâmetro da barra a ser utilizada. Na maioria dos casos, em que vigas biapoiadas

sofrem carregamento distribuído uniformemente variado, o ponto de momento máximo ocorre

exatamente no meio do vão (distância entre os apoios) e o valor é facilmente encontrado pela

expressão:

, onde “q” é o carregamento distribuído e “l” é a distância do vão.

As estruturas podem sofrer carregamentos variados, tanto em local de aplicação quanto

intensidade, e por isso, nem sempre o momento máximo estará atuando no meio do vão. Nestes

casos, o momento máximo pode se encontrar em qualquer outra secção e a forma de calcular

este valor demanda um pouco mais de trabalho. É possível encontrar este valor e a secção exata

de aplicação com o auxílio do Diagrama de Esforço Cortante (DEC), que iremos abordar logo

em seguida.

O diagrama abaixo mostra um exemplo onde o momento máximo não está localizado na

metade do vão da viga, devido à variação de carregamento:

Page 27: Resistencia estabilidade

27 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Outra informação muito importante que se pode tirar do diagrama de momento fletor é a de

conhecer os trechos de momento positivo e momento negativo. Nos trechos onde o momento

for positivo, ou seja, que provoca tração na parte inferior da estrutura, a armadura principal será

posicionada na parte de baixo e nos trechos onde o momento for negativo, provocando tração na

parte superior, será o inverso (isso para o caso de vigas).

A depender da forma como carregamento esteja atuando e, é claro, da configuração da

viga e dos seus apoios, podemos ter em uma única viga, trechos de momento positivo e outros de

momento negativo.

Do mesmo modo, podemos ter vigas com predominância de momento positivo, quando

biapoiadas, por exemplo.

E podemos ter, também, vigas com predominância de momento negativo, como, por

exemplo, as vigas em balanço, onde toda a tração está na parte superior.

Page 28: Resistencia estabilidade

28 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Para desenhar o diagrama de momento fletor, iremos, primeiramente, definir os pontos

onde serão calculados os momentos. Podemos chamar estes pontos ou secções de notáveis, e

eles ocorrem onde há mudança, início e fim de carregamento e os apoios.

Para exemplificar as etapas de construção do diagrama, utilizaremos a viga abaixo, que

sofre dois tipos de carregamento distintos: um carregamento distribuído e outro pontual. Utilizando

o conceito de pontos notáveis, destacamos os pontos 1 e 2 ao longo do vão e os apoios A e B.

Definidos os pontos notáveis, deve-se conhecer o momento fletor em cada um desses

pontos. No nosso exemplo, sabemos que o . Entretanto, ainda não se conhece

os momentos nos pontos (1) e (2). Para encontrá-los, basta desenvolver todos os cálculos vistos

anteriormente, definido as reações de apoio e o momento nos pontos através do método das

secções. Fazendo isto, encontraremos que .

Uma vez conhecidos os valores de momento fletor nos ponto notáveis, podemos desenhar

o diagrama marcando estes valores, em escala, nos seus respectivos pontos.

No nosso gráfico, a linha azul tracejada representa a projeção de cada um dos pontos

notáveis e onde os valores serão marcados. A linha contínua preta simboliza o vão da nossa viga

e onde valor de momento é zero; os valores são marcados, em escala, a partir desta linha.

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29 Módulo de Resistência e Estabilidade

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É importante entender, também, se o ponto referente ao valor do momento será marcado

acima ou abaixo da reta que simboliza o vão da viga. Se o momento é positivo, ele está

tracionando a parte inferior da viga, logo o ponto será marcado abaixo da viga. Em contra partida,

se o momento é negativo, está tracionando as parte superior e o ponto deve ser marcado acima

da reta. De maneira convencional, quando o momento for positivo, marca-se abaixo da linha;

quando o momento for negativo, marca-se acima.

Depois de marcados os pontos, os mesmos devem ser ligados por uma reta. Reparem que

no trecho entre o apoio A e a secção (1) a linha que liga os dois pontos está tracejada. Isso por

que nos trechos onde o carregamento é distribuído o diagrama assume o formato de uma

parábola. Nos demais trechos, onde não se tem carregamento distribuído o diagrama é formado

pelas retas que ligam os pontos, isto é, no trecho entre os pontos (1) e (2) e entre (2) e o apoio B.

No desenho da parábola é necessário que seja calculado o valor da flecha. A flecha

representa o afastamento perpendicular da parábola em relação à linha tracejada que liga os

pontos e pode ser calculada com a expressão abaixo.

Deste modo, no nosso exemplo, a flecha da parábola desenhada no trecho entre o apoio A

e a secção (1) pode ser calculada assim:

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30 Módulo de Resistência e Estabilidade

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O diagrama de momento fletor final do nosso exemplo pode ser expresso conforme

ilustrado na figura abaixo. Podemos, então, concluir que em toda a nossa viga o momento fletor é

positivo, ou seja, traciono as fibras inferiores da peça, e que o momento máximo está situado em

algum ponto entre o apoio A e a secção (1). O momento máximo e a secção exata onde ocorre

este valor serão encontrados a partir do cálculo do diagrama de esforço cortante. Este artifício de

cálculo é bastante eficiente quando não há um mecanismo gráfico preciso, como um programa de

computador.

2.8. ESFORÇO CORTANTE

Um elemento de construção submete-se a esforço cortante ou de cisalhamento, quando

sofre a ação de uma força cortante, que tende a provocar o “corte” da peça.

Denomina-se força cortante, a carga que atua tangencialmente sobre a área de secção

transversal da peça. Quanto à simbologia, a força cortante pode ser representada pelas letras “Q”

ou “V”.

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31 Módulo de Resistência e Estabilidade

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A convenção de sinais é diferente para o cortante e não tem relação com a tração de fibras

inferiores ou superiores, mas sim com a direção do vetor de força cortante. Logo, pode-se

convencionar da seguinte maneira:

Diferente do diagrama de momento fletor, o somatório de forças cortantes à esquerda pode

não ser igual ao somatório de forças cortantes à direita.

2.8.1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Exercício: para a mesma a mesma

viga utilizada no exemplo de momento

fletor, calcular o esforço corante no ponto c.

Como em todos os exemplos, o

primeiro passo é calcular as reações nos

apoios A e B, através do princípio de

equilíbrio das forças visto anteriormente. Conhecidos estes valores, podemos calcular o cortante

em qualquer ponto da viga.

Como queremos o cortante apenas na secção C da viga, calcularemos o somatório de

forças cortantes à esquerda e à direita da secção.

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32 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Assim, no ponto C o cortante tanto pela esquerda quanto pela direita foi igual a 25 kN.

Dado esse conceito, podemos agora traçar o diagrama de esforço cortante.

2.9. DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE (DEC)

Assim como no momento fletor, o diagrama de esforço cortante fornece informações

importantes e detalhadas sobre a variação do cisalhamento ou esforço cortante ao longo do eixo

da peça.

Nas vigas, o esforço cortante tem uma influência significativa sobre o cálculo das

armaduras. O dimensionamento dos estribos é feito a partir dos valores de cortante encontrados,

principalmente os valores máximos.

Para desenhar o diagrama de esforço cortante, iremos utilizar a mesma viga do exemplo

de momento fletor. Como agora estamos trabalhando com cortante, consideram-se apenas as

forças que provocam cisalhamento ou corte na viga, que são as reações de apoio e as cargas

solicitantes.

Lembre-se que agora estamos trabalhando com forças cortantes e não com momento.

Logo, não são necessárias as distâncias ou “braços de alavanca”, somente as forças resultantes.

Os pontos notáveis selecionados para desenhar o diagrama de momento fletor serão os mesmo

para o esforço cortante.

Page 33: Resistencia estabilidade

33 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Conhecendo o cortante em todos os pontos notáveis, podemos marcá-los no diagrama do

mesmo modo que é feito para o diagrama de momento fletor. Deve-se ficar atento ao sinal do

cortante. Se ele for positivo, o valor deve ser marcado acima da linha preta que representa a viga,

e se for negativo deve ser marcado abaixo.

Note que na secção (2) da viga, o cortante foi de -11,3 kN para as forças à esquerda e de -

16,3 kN para as forças à direita, comprovando que nem sempre estes cortantes serão iguais vindo

das duas direções. Em casos como este, onde o cortante é diferente, marcam-se os dois pontos

na mesma secção.

2.10. CÁLCULO DO MOMENTO MÁXIMO E DO PONTO DE APLICAÇÃO

Conhecer o valor do momento máximo e a secção exata onde o mesmo ocorre é uma

tarefa difícil, quando não se utiliza recursos gráficos precisos. Traçar os diagramas à mão,

sobretudo o DMF, não nos dar condições de conhecer os valores a partir da escala adotada.

Entretanto, se utilizarmos um conceito importante, relacionando o diagrama de momento fletor

com o esforço cortante, é possível encontrar o valor de momento máximo e a sua secção de

ocorrência.

Nos pontos ou secções onde o momento é máximo temos o cortante nulo ou zero.

Logo, identificando os pontos no diagrama de esforço cortante onde o cortante é zero, podemos

descobrir a localização da secção e a partir daí calcular o momento fletor máximo.

Para exemplificar esse artifício, utilizaremos o mesmo exemplo que foi desenvolvido para o

DMF e DEC. Assim, temos:

Note que na secção (3) o

cortante é zero (V=0) e o momento é

máximo. Entretanto, não se conhece

a distância “x” que determina a

localização da secção (3).

Como sabemos que na

secção (3) o cortante é zero, temos:

Descobriu-se, então, que a

secção (3) está localizada a uma

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34 Módulo de Resistência e Estabilidade

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distância de, aproximadamente, 1,55 m do apoio A. Tendo esse dado, podemos utilizar o método

das secções para calcular o momento na secção (3), que corresponde ao momento máximo.

Calculando momento em (3) pela esquerda, ou seja,

seccionando a viga no ponto (3) e considerando somente

as forças que existem à esquerda, temos:

Foi definido, então, que o momento máximo da viga

é de 30 kN.m e ocorre a 1,55 m do apoio A. Deste modo,

todas as informações relevantes ao comportamento do momento fletor e do esforço cortante ao

longo do eixo da viga foram definidas. Podemos, então, assim representar os diagramas finais:

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35 Módulo de Resistência e Estabilidade

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2.11. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Utilizando o método do equilíbrio das forças, faça o que se pede:

a) Calcular as reações nos apoios A e B. b) Desenhar os DMF e DEC. c) Determinar o momento máximo e a secção.

2) Identifique, para a figura da viga, a posição das secções de momentos extremos e calcule os seus valores.

3) Apresente os diagramas DMF e DEC para a viga descontínua, sujeita ao carregamento dados:

4) Apresente os diagramas DMF e DEC para a viga em balanço, sujeita ao carregamento dado:

5) Desenhar os diagramas de momento fletor e esforço cortante para a viga abaixo:

6) Desenhar os diagramas de momento fletor e

esforço cortante para a viga abaixo:

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36 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Características Geométricas das

Superfícies Planas

3.1. CENTRÓIDES DE SUPERFÍCIES PLANAS

É um ponto localizado na própria figura, ou fora desta, no qual se concentra o centro de

massa ou centro de gravidade. A localização do ponto dar-se-á através das coordenadas .

Para simplificar a determinação do centro de gravidade, divide-se a superfície plana em

superfícies geométricas cujo centro de gravidade é conhecido, tais como triângulos, retângulos,

quadrados e círculos. Através da relação de somatório dos momentos estáticos dessa superfície e

área total das mesmas, determinam-se coordenadas do centro de gravidade.

Page 37: Resistencia estabilidade

37 Módulo de Resistência e Estabilidade

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3.1.1. TABELA DE CENTRO DE GRAVIDADE DE SUPERFÍCIES PLANAS

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39 Módulo de Resistência e Estabilidade

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Ex.1.

Determinar as coordenadas do centro de gravidade do perfil “U” representado na figura a

seguir.

Solução:

O 1º passo para encontrar o centro de gravidade de uma figura composta e dividi-la em

superfícies planas conhecidas. No nosso exemplo, o perfil será divido em três (3) retângulos de

áreas .

Divididas as superfícies, podemos calcular para cada uma delas a área e as coordenadas

x e y.

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40 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Aplica-se, então, a relação do somatório dos momentos estáticos das superfícies com a

área total.

Ex.2.

Determinar as coordenadas do centro de gravidade da área hachurada da figura a seguir,

utilizando a subtração das áreas.

Para resolver este problema, dividiremos a figura em um triângulo retângulo ABC e um ¼

de círculo.

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41 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Do mesmo modo que foi feito para o exemplo anterior, iremos encontrar a área e as

coordenadas x e y de cada uma das figuras.

Como estamos subtraindo duas áreas, os somatórios dos momentos estáticos e das

áreas, na relação, devem estar subtraindo os valores.

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42 Módulo de Resistência e Estabilidade

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3.1.2. EXERÍCIOS PROPOSTOS

Determine as coordenadas do centro de gravidade ou centro de massa das superfícies

geométricas destacadas abaixo:

a) b)

c)

d)

e)

f)

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43 Módulo de Resistência e Estabilidade

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3.2. MOMENTO DE INÉRCIA OU MOMENTO DE 2ª ORDEM

O momento de inércia é uma característica das superfícies que está associada à inércia de

rotação. Em outras palavras, “mede” a dificuldade em se alterar o estado de movimento de um

corpo em rotação.

No dimensionamento dos elementos de construção, o momento de inércia é uma

característica geométrica importantíssima, pois fornece valores numéricos, uma noção de

resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da secção transversal de uma peça,

maior será a resistência da peça ao giro ou à rotação.

Em termos práticos, podemos explicar o posicionamento de secções transversais de

elementos estruturais conhecidos através do momento de inércia. Por exemplo, as vigas

(elementos estruturais responsáveis por transmitir o carregamento das lajes) têm a secção

posicionada em “pé” e não “deitadas”. O momento de inércia da secção retangular (comum em

vigas) disposta em “pé” é muito maior, o que diminui as tensões na flexão e a deformação. Para

melhor entender este conceito, tente flexionar uma régua comum com a secção deitada e depois

em pé. Percebe-se que é muito mais fácil dobrar ou flexionar a régua quando e mesma está

deitada, isso por que o momento de inércia é menor.

Os momentos de inércia de superfícies planas conhecidas, como retângulos, triângulos e

círculos são conhecidos e expressos através de fórmulas que dependem apenas das dimensões

da peça.

3.2.1. TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA, RAIO DE GIRAÇÃO DE MÓDULO DE

RESISTÊNCIA

Page 44: Resistencia estabilidade

44 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Os momentos de inércia representados na tabela são em torno dos eixos baricêntricos ou

eixos que passam pelo centro de gravidade da peça. É comum encontrar em bibliografias o

momento de inércia representado pelas letras “I” ou “J” (em maiúsculo). Logo, significa

Page 45: Resistencia estabilidade

45 Módulo de Resistência e Estabilidade

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momento de inércia em torno do eixo x e significa momento de inércia em torno do eixo y.

O valor final encontrado deve ser expresso em , etc.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

a) Determinar o momento de inércia relativo aos eixos

baricêntricos x e y da secção retangular com as medidas

representadas na figura ao lado.

Solução

Sabemos que o centroide de uma secção retangular se

encontra na metade da sua base e da sua altura. Desta forma,

temos:

Para encontrar o valor de momento de inércia de uma secção conhecida, basta consultar a

tabela de momento de inércia. Para superfícies retangulares, temos:

Portanto, conhecendo a base e a altura ,

temos como calcular, por substituição direta de fórmula, o momento de inércia em ambas as

direções.

b) Determinar o momento de inércia relativo aos eixos

baricêntricos x e y da secção triangular com as medidas

representadas na figura ao lado.

Solução

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46 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Sabendo que a base do triângulo é e a altura é

, podemos utilizar a fórmula tabelada para momento de inércia em triângulos:

3.2.2. TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS OU TEOREMA DE STEINER

Vimos, anteriormente, que o calculo do momento de inércia em superfícies conhecidas, a

partir do plano baricêntrico, é muito simples. Conhecendo as medidas da secção, calcula-se

facilmente por aplicação direta de fórmula o momento de inércia. Isso acontece por que o eixo de

giração coincide com o eixo do centro de gravidade peça.

Quando os eixos de giração e centro de gravidade não coincidem, aplica-se o teorema dos

eixos paralelos ou a translação dos eixos. Este artifício é utilizado, por exemplo, quando

precisamos calcular o momento de inércia de superfícies compostas – aquelas em que se divide

em figuras geometricamente conhecidas para encontrar o centro de gravidade. Neste caso o

centro de gravidade de cada superfície dividida pode não coincidir com o centro de gravidade da

peça inteira.

No teorema dos eixos paralelos, sejam x e y os eixos baricêntricos (que passam pelo CG)

da superfície A. Para determinar o momento de inércia da superfície, em relação aos eixos u e v,

paralelos a x e y, utilizam-se as seguintes expressões:

Onde e são os momentos de inércia da superfície, “A” é área da superfície, “a” é a

distância entre os eixos horizontais e “b” é a distância entre os eixos verticais.

Para entendermos melhor o conceito de translação dos eixos, no exercício resolvido a

seguir determinaremos o momento de inércia de uma secção composta.

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47 Módulo de Resistência e Estabilidade

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EXERCÍCIO RESOLVIDO

Determinar o momento de inércia da secção “T” representada na figura, utilizando o

teorema dos eixos paralelos.

Solução

O 1º passo é determinar o ponto do centro de gravidade (CG). Iremos, então, dividir a

figura em dois retângulos de áreas e .

Retângulo (1): Retângulo (2):

O 2º passo a traçar todos os eixos que são conhecidos: 1) o eixo que passa pelo centro de

gravidade da peça inteira; 2) o eixo que passa pelo centro de gravidade do retângulo um; 3) o eixo

que passa pelo centro de gravidade do retângulo dois.

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48 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Note que os eixos , e não coincidem, ou seja, estão distantes paralelamente um

do outro. Já o eixo y passa igualmente por todos os pontos. Isso significa que o teorema dos eixos

paralelos servirá apenas para calcular o momento de inércia em torno do eixo x, o .

Para calcular o momento de inércia, é necessário conhecer a distância entre os eixos, ou

seja, a distância entre e e a distância entre e , representadas, respectivamente, pelas

letras “a” e “b”.

Momento de Inércia em x: Momento de Inércia em y:

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49 Módulo de Resistência e Estabilidade

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No calculo do momento de inércia em torno de y, uma vez que os eixos se coincidem, não

existe distância entre eles, anulando a parcela da equação ou , já que a e b é zero.

Logo, basta somar o momento de inércia dos dois retângulos.

3.3. RAIO DE GIRAÇÃO

O raio de giração de uma superfície plana em relação a um eixo de referência xy constitui-

se numa distância particular entre a superfície e o eixo de referência.

Para determinar o raio de giração da superfície, quando conhecido o seu momento de

inércia, utilizam-se as seguintes expressões:

Onde e são, respectivamente, o raio de giração em torno do eixo x e em torno do eixo

y; e são os momentos de inércia e A é a área total da superfície.

Como exemplo de aplicação do raio de giração, utilizaremos o mesmo exemplo do exercício

resolvido anteriormente. Sendo assim, temos:

Para calcular o raio de giração de uma superfície composta é necessário conhecer o

momento de inércia. Em superfícies geométricas simples ou conhecidas o raio de giração pode

ser encontrado na mesma tabela fornecida para o momento de inércia.

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50 Módulo de Resistência e Estabilidade

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3.4. MÓDULO DE RESISTÊNCIA

Defini-se como módulo de resistência de uma superfície plana em relação aos eixos

baricêntricos x e y a relação entre o momento de inércia e a distância máxima entre o eixo

baricêntrico e a extremidade da superfície.

Assim sendo, calcula-se o módulo de resistência, conhecendo o momento de inércia da

peça, através das seguintes expressões:

Onde e são, respectivamente, os módulos de resistência em torno de x e de y; e

os momentos de inércia; e as distâncias máximas.

No exemplo de cálculo do módulo de resistência também utilizaremos o a perfil “T” trabalho

anteriormente. Primeiro, vamos definir o conceito das distâncias máximas e . Por

definição, são as maiores distâncias entre os eixos que passam pelo centro de gravidade (eixos

baricêntricos) e as extremidades da seção, conforme demonstrado na figura abaixo:

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51 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Note que no nosso exemplo o eixo y está exatamente na metade da seção, o que significa

que a distância do eixo y para a extremidade da direita e para a da esquerda serão iguais. Logo:

Já em relação ao eixo x não há simetria, ou seja, a distância entre o eixo x do centro de

gravidade e a face inferior da peça é menor do que a distancia entre o mesmo eixo e a face

superior. Logo, neste caso, o é a maior distância:

Conhecendo os valore de e , pode-se, então, calcular o módulo de resistência da

peça aplicando os valores à expressão.

3.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Determinar o momento de inércia, raio de giração, módulo de resistência relativos aos

eixos baricêntricos (x; y) nos perfis dados:

Unidade: mm

a) b)

Page 52: Resistencia estabilidade

52 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Tensões Normais (tração e compressão)

4.1. FORÇA NORMAL OU AXIAL

Nas construções, as peças ou componentes da estrutura estão sujeitas a diversas formas

de ações (forças existentes, como peso próprio, ação do vento, etc.). Duas das principais formas

de carregamento são conhecidas como cargas axiais ou normas, e são representadas pela

compressão e pela tração.

Defini-se como força normal ou axial aquela que atua perpendicular a área da secção

transversal da peça. Em outras palavras, o vetor força atua normal a superfície, ou seja, forma um

ângulo de 90º.

As forças normais podem tender a “puxar” a peça ou “comprimir”, gerando esforços de

tração ou compressão, respectivamente. O conceito sobre estas formas de carregamento já foi

visto no capítulo 01 deste módulo.

4.2. TENSÃO NORMAL ( )

No estudo da resistência dos materiais, é importante entender a diferença entre tensão e

força. Força é uma grandeza vetorial que determina intensidade, direção e sentido. Tensão é a

atuação desta força sobre uma superfície. Portanto, a força normal ou axial F que atua na peça

gera uma tensão normal que é determinada através da relação entre a intensidade da força

aplicada e a área da secção transversal da peça.

Page 53: Resistencia estabilidade

53 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Podemos, então, escrever como tensão normal:

Onde é a tensão normal, F é a força normal ou axial aplicada e A é área da

aplicação.

A unidade de tensão no sistema internacional (SI) é o pascal. Uma força de 1 N

(Newton) aplicada sobre uma área de 1 m² gera uma tensão normal de 1 Pa (Pascal).

O Pascal ainda tem algumas variantes comumente encontradas nas tensões. É comum

encontrarmos informações como “a resistência do concreto é de 30 MPa” ou então “o módulo de

elasticidade do aço é de 210 GPa”. Os prefixos “Kilo”, “Mega” e “Giga” são muito importantes para

entender a intensidade da tensão aplicada. Assim, temos:

Kilo pascal (KPa) =

Mega pascal (MPa) =

Giga pascal (GPa) =

Logo, se a resistência à compressão de um concreto qualquer é de 30 MPa, significa que

ele irá resistir a uma tensão de compressão de ou .

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Uma força axial de 40 kN é aplicada a um bloco de

madeira de pequena altura, que se apoia em uma base de

concreto que repousa sobre o solo. Determine:

a) A máxima tensão de esmagamento na base de

concreto

b) As dimensões da base de concreto para que a tensão

no solo seja de 145 kPa

Page 54: Resistencia estabilidade

54 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Solução:

a) Sabemos que tensão é a relação entre a força e a área da aplicação. Logo:

Note que a unidade de força foi transformada de kN para N e a área de mm² para m².

Desta maneira, o resultado da nossa tensão será dado sempre em pascal (Pa).

b) Para calcular as dimensões da base de concreto, precisamos conhecer a área. Logo,

Como a base de concreto é quadrada, temos:

4.3. LEI DE HOOKE

Após uma série de experiências, o cientista inglês, Robert Hooke, no ano de 1678,

constatou que uma série de materiais, quando submetidos à ação de carga normal, sofre variação

na sua dimensão linear inicial, bem como na área da secção transversal inicial. Em outras

palavras, um material submetido a cargas axiais tendem a sofrer deformações de alongamento

(tração) ou achatamento (compressão).

Hooke descobriu, ainda, que essas deformações podem ser mais ou menos acentuadas

quando é levado em consideração o material. Isso significa que um material pode sofrer

deformações com mais facilidade do que outros. Essa característica é dada pelo módulo de

elasticidade (E), que é definida como a rigidez ou a capacidade que o material tem de sofrer

deformações.

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55 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Ao fenômeno da deformação linear, Hooke denominou de alongamento ( , constatando

que quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento inicial da peça, maior o alongamento,

e que, quanto maior a área da secção transversal e a rigidez do material, medido através do seu

módulo de elasticidade, menor alongamento. Logo, o alongamento é definido pela seguinte

expressão:

Onde é o alongamento, é a tensão aplicada, é o comprimento inicial (antes

de iniciar o carregamento) e E é o módulo de elasticidade do material.

O módulo de elasticidade ou rigidez é uma característica conhecida para vários materiais.

A tabela abaixo indica valores de características elásticas para diversos materiais usados nas

mais diversas atividades:

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EXERCÍCIO RESOLVIDO

A barra circular representada na figura é de aço e

possui diâmetro d = 20 mm e comprimento linear l = 0,8

m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de

7,2 kN. Determine para a barra:

a) A tensão normal atuante

b) O alongamento

Solução

a) Área da secção transversal da peça Cálculo da tensão de tração

b) Lei de Hooke

4.4. COEFICIENTE DE SEGURANÇA (K)

O coeficiente ou fator de segurança é utilizado no dimensionamento dos elementos de

construção, visando assegurar o equilíbrio entre a qualidade da construção e seu custo.

O projetista poderá obter o coeficiente em normas ou determiná-los pode meio de

parâmetros. A escolha de um coeficiente de segurança baixo pode levar à estrutura a

possibilidade de ruptura e a escolha de um coeficiente de segurança alto pode levar a um projeto

antieconômico.

É necessário que cada situação de projeto seja analisada particularmente, de modo que

todos os aspectos ou parâmetros de utilização sejam levados em consideração. Isso significa que

o coeficiente de segurança adotado precisa está em conformidade com as condições em que a

peça ou a estrutura será imposta. Em alguns casos, como no dimensionamento de estruturas de

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concreto, utiliza-se um fator de segurança de 1,4 para majorar os valores de carregamento,

também chamado de carregamento de projeto.

Consideração de alguns fatores que influenciam na escolha do coeficiente de segurança:

Modificações que ocorrem nas propriedades dos materiais;

O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida útil da estrutura ou máquina;

O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar futuramente;

O modo de ruptura que pode ocorrer;

Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de manutenção ou por causas

naturais imprevisíveis;

Falhas de fabricação ou montagem da pela ou estrutura.

Nos tópicos a seguir iremos abordar os parâmetros considerados para calcular um

coeficiente de segurança, obedecendo a uma determinada situação.

4.4.1. CARGA ESTÁTICA OU PERMANENTE

A carga é aplicada na peça e permanece constante, ou seja, inalterada com o decorrer do

tempo. O gráfico abaixo mostra o comportamento da carga estática, que é crescente até atingir o

ponto máximo, e a partir de então segue constante. Ex.: um parafuso prendendo uma luminária;

uma corrente suportando um lustre.

4.1.2. CARGA INTERMITENTE

A carga é aplicada gradativamente na peça até que atinja o máximo, utilizando para isso

um determinado intervalo de tempo. Depois de atingir o ponto máximo, a carga é retirada

gradativamente no mesmo intervalo de tempo até atingir o zero. E assim sucessivamente. Ex.:

dente de uma engrenagem.

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4.3.2. CARGA ALTERNADA

Neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia ao máximo positivo para o

máximo negativo ou vice-versa. Em outras palavras, ora a peça sofre compressão, ora sofre

tração, constituindo-se na pior situação para o material. Ex.: eixos, molas, amortecedores, etc.

Para calcular o coeficiente de segurança (k) em função dos parâmetros apresentados e

outros mais, deverá utilizada a expressão a seguir:

Onde:

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Para entendermos o cálculo do coeficiente de segurança, imaginemos, então, uma

situação em que se pretende fabricar um tirante de aço que irá suportar uma carga constante de

tração, aplicada gradualmente quando ao final da montagem. Logo, utilizando os parâmetros,

temos:

É importante frisar que o fator de segurança, como o próprio nome indica, é um coeficiente

e, portanto, não possui unidade de medida. É um valor adimensional.

4.5. TENSÃO ADMISSÍVEL (σadm)

A capacidade de segurança de uma estrutura está associada à capacidade de resistência

do material em todos os pontos da estrutura. Um dos critérios para verificação da segurança e

estabilidade de uma estrutura ou peça é a comparação da tensão solicitante (provocada pelo

esforço) em qualquer ponto com a tensão admissível do material, que representa a capacidade

que o material tem para resistir às tensões.

A tensão admissível é a ideal de trabalho para o material nas circunstâncias apresentadas.

O engenheiro responsável pelo projeto de elementos estruturais ou mecânicos deve restringir a

tensão do material a um nível seguro. Definindo de outra maneira, a tensão admissível é a tensão

máxima ou segura que a peça pode ser submetida sem acarretar em danos ou colapso.

O calculo da tensão admissível é muito simples, mas pode variar de acordo com o tipo de

material que compõe a peça. Os materiais são classificados em dois grupos: frágeis e dúcteis.

Material dúctil: o material é classificado como dúctil, quando submetido a ensaio de

tração, apresenta deformação plástica, precedida por uma deformação elástica, para atingir o

rompimento. No regime elástico, o material se deforma, mas retorna ao estado original quando

cessada a solicitação. No regime plástico a deformação é permanente, ou seja, o material não

retoma o tamanho original quando interrompido o carregamento.

A tensão que determina o limite entre o regime elástico e o regime plástico é conhecida

como tensão de escoamento ( ). Por exemplo, a tensão de escoamento de um determinado

aço é de 250 MPa, o que significa que nesta tensão o material atinge o regime plástico – situação

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60 Módulo de Resistência e Estabilidade

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que não deve acontecer e irá prejudicar a estabilidade e a segurança da peça, devido às grandes

deformações.

Exemplos de materiais dúcteis são: o aço, o cobre, o alumínio, o cobre e a maioria das

ligas metálicas. A tensão admissível é determinada através da relação entre a (tensão de

escoamento) e o coeficiente de segurança (k) para os materiais dúcteis.

Material frágil: o material é classificado como frágil, quando submetido a ensaio de tração

não apresenta deformação plástica, passando do regime elástico para o rompimento. A tensão

que determina o limite entre a deformação elástica e o rompimento é conhecida como tensão de

ruptura à tração ( ). Por exemplo, a tensão de ruptura a tração de um determinado concreto é

de 3 MPa, o que significa que nesta tensão de tração ocorre o rompimento da peça.

Exemplos de materiais frágeis são: o concreto, o vidro, a cerâmica, o gesso, etc. A tensão

admissível é determinada através da relação entre a (tensão de ruptura à tração ou à

compressão) e o coeficiente de segurança (k) para os materiais frágeis.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Encontre as dimensões da secção

transversal do perfil metálico representada na

figura, sabendo que a relação entre as medidas é

l = 3h, de modo que ela suporte com segurança k

≥ 2 uma carga axial de tração de 20 kN.

Considere uma tensão de escoamento 280

MPa.

Solução

O dimensionamento da secção é feito com base na tensão admissível estabelecida para a

peça. Logo, temos:

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61 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Podemos, então, relacionar a força de tração que atua na peça e área da secção à tensão

admissível calculada:

Sabendo que a área da secção transversal da peça é retangular e que a relação entre a

largura e altura é de l = 3.h, temos:

Logo, concluímos que, para suportar uma tensão de tração de 20 kN, obedecendo uma

tensão máxima ou segura de 140 MPa, o perfil precisa ter uma largura mínima de 21 cm e altura

mínima de 7 cm. Já que foram encontradas dimensões mínimas, podem-se utilizar valores que

facilitem a fabricação da peça, como múltiplos de cinco. Deste modo, podemos estabelecer

redimensionar a secção para 25 x 10 [cm].

4.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) A barra rígida de aço mostrada na figura terá que suportar uma carga de tração “P”. Sabendo que a barra tem secção transversal quadrada e de área igual a 4 cm² e que a tensão de escoamento do aço , determine a maior carga “P” que pode ser aplicada à barra. Aplicar k = 2,0. Para a carga máxima encontrada, qual é o alongamento esperado para a peça, sabendo que o comprimento inicial da peça é de 2 m? Aplica Eaço = 210 GPa

2) Dimensionar o diâmetro da barra metálica de secção circular, para que suporte com segurança k ≥ 2 a carga axial de 17 kN. O material da barra é o aço ABNT 1020L com tensão de escoamento σesc = 280 MPa.

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3) O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco circular fino como mostrado na figura abaixo. Se a haste passa por um furo de 40 mm de diâmetro, determinar o diâmetro mínimo requerido à haste para suportar a carga de 20 kN. A tensão admissível da haste é σadm

= 60 MPa.

4) Uma barra de alumínio possui secção transversal quadrada com 60 mm de lado e, o seu comprimento é de 0,8 m. A carga axial aplicada na barra é de 36 kN. Determinar a tensão normal atuante na barra e o seu alongamento.

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TENSÕES DE FLEXÃO

5.1. INTRODUÇÃO

O esforço de flexão se configura na peça, quando esta sofre ação de cargas cortantes, ou

seja, cargas que atuam perpendiculares ao trecho longitudinal da peça, gerando momento fletor

significativo.

Perceba que a carga cortante Q provoca a flexão do corpo da viga mostrada na figura

acima. Isso ocorre porque no momento em que a carga Q é aplicada, os apoios reagem

“empurrando” as extremidades para cima, como podemos ver em R1 e R2. Como já foi abordada

anteriormente, a força interna que configura a intensidade da flexão é o momento fletor M.

A maioria das peças longitudinais, como vigas e eixos, pode sofrer ao mesmo tempo

cortante e momento ou apenas momento, a depender do trecho analisado. Logo, podemos

classificar a flexão como pura ou simples.

5.2. FLEXÃO PURA

A flexão pura ocorre na peça submetida à flexão quando apresenta um ou mais trechos em

que atua somente o momento fletor – sem esforço cortante. No exemplo abaixo, o intervalo

compreendido entre as secções C e D a força cortante é nula e o momento fletor é constante.

Neste trecho existe somente momento fletor, logo a flexão é pura.

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5.3. FLEXÃO SIMPLES

A flexão é denominada de simples quando existirem trechos da peça submetidos à ação

da força cortante e momento fletor simultaneamente. No exemplo, os trechos de flexão simples

são AC e DB.

5.4. TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO

Quando se fala em esforços de flexão, a primeira força que vem à tona é o momento fletor.

Entretanto, o movimento de flexão de uma peça pode provocar em sua estrutura esforços de

normais de compressão e tração.

Suponha-se que a figura abaixo seja uma viga com secção transversal retangular, que se

encontra submetida à flexão positiva pela ação de cargas cortantes. No momento da flexão, as

fibras superiores da viga se contraem, formando uma zona de compressão, e as fibras inferiores

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se esticam, formando uma zona de tração. Estas zonas são delimitadas pela linha neutra, que

divide a secção ao meio.

Se analisarmos o comportamento da uma secção qualquer da viga, temos que quanto

mais afastada da linha neutra for a fibra, maiores serão as tensões de compressão e tração na

flexão. Isso significa que na linha neutra a tensão de compressão e a tensão de tração são

nulas, e à medida que for se afastando da linha neutra estas tensões vão aumentando até se

tornarem máximas nas extremidades da secção.

O cálculo das tensões máximas de compressão e tração na flexão é extremamente

importante para prever o comportamento da peça e melhor dimensioná-la. Podemos encontrar

estes valore através da seguinte expressão:

Nas expressões: M é o momento fletor na secção estudada; x e y são, respectivamente, as

distâncias entre a linha neutra e a face superior e entre a linha neutra e a face inferior (ver figura

acima); J é o momento de inércia da secção.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Determinar as tensões máximas de compressão

e tração na flexão das secções transversais indicadas na

figura ao lado, sabendo que o momento em x atuante é

de 20 kN.m.

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66 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Solução

Conhecendo as medidas da secção, podemos, inicialmente, calcular o momento de inércia

em x de cada uma.

No nosso exemplo, as tensões de compressão e tração serão iguais, uma vez que as

medidas de x e y também são iguais – metade da altura de cada uma das secções.

Note que as tensões são maiores na segunda secção 40x15 [cm], isso por que o momento

de inércia é menor e ambos são inversamente proporcionais – diminuindo o momento de inércia,

aumentam-se as tensões.

5.5. DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃO

O dimensionamento de peças submetidas à flexão consiste em definir as dimensões de

secção transversal, utilizando o momento fletor máximo solicitante na peça. A tensão máxima ou

admissível será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada ou externa, não importando se

está tracionando ou comprimindo.

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67 Módulo de Resistência e Estabilidade

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A expressão utilizada para calcular as dimensões da peça é a mesma utilizada para

encontrar as tensões de compressão e tração na flexão. A mudança está no momento fletor M,

pois deve se adotado o momento máximo Mmáx.

Onde: é a tensão admissível; é o momento máximo solicitante na peça; é

a maior distância entre a linha neutra (passa pelo centroide da secção) e a fibra mais externa; é

momento de inércia, que pode ser em x ou em y.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Dimensionar a viga de madeira abaixo de modo que possa suportar o carregamento

representado na figura. Utilizar e (a altura é, aproximadamente, três

vezes a base).

Solução

O 1º passo para resolver o problema é encontrar o momento máximo atuante na viga. No

exemplo, este valor para um carregamento uniformemente distribuído de 25 kN/m é de Mmáx = 50

kN.m.

Definido o momento máximo, utilizamos a expressão de tensão admissível para encontrar

o momento de inércia da secção, fazendo apenas uma substituição de valores.

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68 Módulo de Resistência e Estabilidade

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O momento de inércia de uma secção transversal retangular é calculado por .

Logo, podemos calcular as dimensões da peça igualando a expressão ao momento de inércia

encontrado anteriormente.

Podemos, então, concluir que as dimensões mínimas para a secção transversal da peça é

de 12x36 [cm]. Como estas medidas são mínimas, é permitido arredondar para valores mais

comuns, com a finalidade de facilitar a confecção da peça – 15x40 [cm], por exemplo.

5.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Dimensionar a viga de madeira que deverá suportar o carregamento representado na

figura. Utilizar e .

2) Dimensionar o eixo para que suporte com segurança k = 2 o carregamento representado. O material utilizado é o ABNT 1020 com .

3) Determinar a tensão normal máxima que atua na viga de secção transversal retangular 6x16 [cm] que suporta o carregamento da figura.

4) Determinar a tensão normal máxima que atua na viga de perfil “I”, com altura de 32 cm, que suporta o carregamento da figura.

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69 Módulo de Resistência e Estabilidade

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Tensões de Cisalhamento Puro

6.1. INTRODUÇÃO

Um elemento qualquer submete-se a esforço de cisalhamento quando sofre a ação de uma

força cortante. Como vimos no capítulo anterior, além de provocar o cisalhamento, a força

cortante dá origem também a um momento fletor, que por ser de baixíssima intensidade (quase

nulo), será desprezado neste capítulo.

6.2. FORÇA CORTANTE (Q)

A força cortante, como o próprio nome sugere, é a carga que atua tangencialmente sobre

área de secção transversal da peça.

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6.3. TENSÃO CISALHAMENTO ( )

A tensão de cisalhamento é o resultado da ação de uma carga cortante sobre a área da

secção transversal da peça, que é definida através da relação entre a intensidade da carga

aplicada e a área da secção transversal da peça sujeita a cisalhamento.

Se houver uma situação em que mais de um elemento está submetido a cisalhamento,

utiliza-se o somatório das áreas das secções transversais para o dimensionamento. Se os

elementos possuírem a mesma área de secção transversal, basta multiplicar a área de secção

transversal pelo número de elementos (n). Temos, então:

Onde: Q é a força cortante; A é a área da secção transversal da peça; n é o número de

elementos submetidos a cisalhamento.

Exercício Resolvido

Determinar a tensão de cisalhamento que atua no plano A

da figura.

Solução

A tensão de cisalhamento atuante no plano A é definida

pela componente horizontal da força (Fx) de 300 kN.

Calculada a componente horizontal da carga cortante, podemos calcular a tensão de

cisalhamento.

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71 Módulo de Resistência e Estabilidade

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6.4. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) O conjunto representado na figura é formado por: (1) parafuso sextavado M12; (2) garfo com haste de espessura 6 mm; (3) arruela de pressão; (4) chapa de aço ABNT 1020 espessura 8 mm; (5) porca M12. A carga cortante Q que atua no conjunto é de 6 kN.

Determine a tensão de cisalhamento atuante.

2) Duas chapas de aço são unidas por uma junta de 5 rebites, com diâmetro d = 17,4 mm, que suportam uma carga de cisalhamento de 125 kN. Determine a tensão de cisalhamento atuante nos rebites.

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72 Módulo de Resistência e Estabilidade

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REFERÊNCIAS

MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. 11. ed. São Paulo: Érica,

2000. 360 p.

BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5.

ed. São Paulo: Makron Books, 1994. 793 p.

HIBBELER, R. C.. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: Pearson Education - Br, 2004.

688 p.

BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell; DEWOLF, John T.. Resistência dos Materiais. 4.

ed. São Paulo: Mcgraw-hill Interamericana, 2006. 808 p.

ASSAN, Aloisio Ernesto. Resistência dos Materiais. São Paulo: Unicamp, 2010. 447 p.