Apostila

Resistncia dos Materiais Avanada

Prof. Clauderson Basileu Carvalho

Belo Horizonte, Fevereiro de 2012

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http://www.meiacolher.com/

2

SUMRIO

1. LISTA DE SMBOLOS................................................................................ 3

2. INTRODUO............................................................................................ 4

3. TENSES NORMAIS - FUNDAMENTOS DA FLEXO............................. 6

4. TENSES TANGENCIAIS CISALHAMENTO TRANSVERSAL........... 25

5. TRANSFORMAES DAS TENSES ESTADO PLANO (EPT) ......... 40

6. TRANSFORMAES DAS DEFORMAES ESTADO PLANO (EPD) ....... 52

7. DESLOCAMENTOS EM VIGAS E EIXOS LINHA ELSTICA.............. 60

8. FLAMBAGEM DE COLUNAS .................................................................. 71

9. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS......................................................... 80

3

Letras gregas , - ngulo ou coeficiente - deslocamento - dimetro - deformao especfica f - coeficiente de majorao das aes - tenso normal - tenso normal admissvel - tenso tangencial - tenso tangencial admissvel - coeficiente de Poisson

ndices adm - admissvel c - compresso f - ao t - trao, transversal w - alma das vigas mx - mximo mn - mnimo

1. LISTA DE SMBOLOS Letras maisculas A - rea E - mdulo de elasticidade longitudinal F - fora I - momento de inrcia L - comprimento M - momento fletor Q - momento esttico N - fora normal P - carga concentrada R - resultante de foras ou esforo resistente S - esforo solicitante V - fora cortante Letras minsculas a - acelerao b - largura g - acelerao da gravidade h - dimenso, altura l - comprimento m - metro ou massa mx - mximo mn - mnimo q - carga distribuda s - segundo v - deslocamento vertical y - distncia da linha neutra ao ponto de maior encurtamento ou alongamento na seo transversal de uma pea fletida

4

2. INTRODUO

Na mecnica dos corpos deformveis, aqui tratada com detalhes pela resistncia

dos materiais, as estruturas nunca so absolutamente rgidas, deformando-se sob a ao

das cargas a que esto submetidas. Estas deformaes so geralmente pequenas e no

alteram apreciavelmente as condies de equilbrio ou de movimento da estrutura

considerada.

No entanto, quando houver riscos de ruptura do material, essas deformaes ganham

mais importncia, e a mecnica entra em cena, resumindo-se em trs imprescindveis

fatores:

1. Determinao da resistncia mecnica;

2. determinao da rigidez e;

3. determinao da estabilidade dos elementos estruturais.

A partir da, os esforos internos sobre uma seo transversal plana de um elemento

estrutural so definidos como um conjunto de foras e momentos estaticamente

equivalentes distribuio de tenses internas sobre a rea dessa seo.

Os esforos sobre uma seo transversal plana qualquer (de uma viga, por exemplo)

igual integral das tenses sobre essa rea plana. Normalmente se distingue entre os

esforos perpendiculares seo transversal e os tangentes essa mesma seo.

Esses esforos perpendiculares ao plano considerado so denominados normais, e

o que dado pela resultante de tenses normais , ou seja, perpendiculares, a rea para

a qual pretendemos determinar o esforo. Por outro lado, os esforos tangentes ao plano

considerado so denominados cisalhantes ou cortantes, e o que dado pela resultante

de tenses cortantes , ou seja, tangenciais rea para a qual pretendemos determinar o

esforo.

Na figura 01 temos um ponto material qualquer, interno a um corpo rgido (sem

deformaes significativas), podendo ser um de elemento estrutural; e submetido

esforos externos que, consequentemente, acarretam em esforos internos. Estes

esforos internos levam a um tensor de tenses, que representam o estado de tenso no

espao (tridimensional), e contemplam os dois tipos de tenso citados acima: as tenses

normais e as tenses cisalhantes.

Analogamente, o mesmo ponto material, apresenta um tensor de deformaes no

espao, j que qualquer corpo submetido tenses de naturezas diferentes, normais ou

cisalhantes; respondem a essas solicitaes, com deformaes tambm de naturezas

5

diferentes, porm similares ao esforos aplicados (deformaes longitudinais e

deformaes angulares, respectivamente).

Figura 01 Tensor de tenses

Resumindo; todo corpo solicitado por uma fora ou pela resultante de um

conjunto de foras quaisquer se deforma, gerando tenses internas. Estes esforos atuam

isoladamente ou em conjunto no mesmo objeto.

6

3. TENSES NORMAIS - FUNDAMENTOS DA FLEXO 3.1. Introduo

Classifica-se como tenso normal, as tenses solicitadas perpendicularmente a

um plano qualquer, ocasionada pelos esforos internos. Elas podem ser de trao ou de

compresso, independente da natureza das solicitaes externas; que, por sua vez,

podem ser originadas de:

- Fora axial ou normal; e suas expresses foram tratadas em Resistncia dos

Materiais I, sendo anlogas ao fenmeno elementar de presso (fora sobre rea).

AP

=

onde:

P a fora axial de trao ou de compresso, com sinal positivo para a

primeira e negativo para a segunda; divergindo e convergindo do plano,

respectivamente.

A a rea do elemento estrutural.

- Momentos fletores, levando exatamente mesma natureza de tenses internas,

que sero estudadas seguir.

3.2. Tipos de tenses normais Dependendo da natureza dos esforos solicitantes, a que se submete o elemento

ou pea estrutural, diferentes tipos de tenso normal podem ser classificadas e/ou

denominadas. Assim, podemos dividir em:

Tenso normal pura a tenso normal em que s atua as foras axiais de

trao ou compresso ( P), conforme representado na figura 02, e j

tratados anteriormente.

Figura 02 Tenso normal pura

7

Tenso normal simples a tenso normal em que s atua momento fletor

( M) em uma nica direo, levando internamente aos esforos de trao

e/ou compresso. Tambm tratada como flexo simples ou pura; sendo o

primeiro com a considerao do esforo cortante; que no contribui para o

incremento da tenso normal, e o segundo desprezando-o. No caso da figura

03, as cargas distribudas q provocam momentos fletores nas direes x ou y,

respectivamente.

Figura 03 Tenso normal simples

Tenso oblqua simples a tenso normal em que atuam momentos

fletores simultaneamente nas duas direes ( M1 e M2), ou um momento

fletor resultante ( MR) inclinado em relao ao plano dos eixos principais

centrais de inrcia. A figura 4 mostra a carga distribuda q, provocando

momentos fletores simultneos em x e y.

Figura 04 - Tenso normal oblqua

Tenso normal composta a tenso normal em que atuam momento fletor

( M) em uma nica direo, associado uma fora axial ( P), podendo ter

as magnitudes das tenses somadas ou subtradas, dependendo da natureza

das solicitaes (ver figura 05).

8

Figura 05 - Tenso normal composta

Tenso oblqua composta a tenso normal em que atuam momentos

fletores nas duas direes ( M1 e M2), ou um momento fletor resultante (

MR) inclinado, associado uma fora axial ( P), tambm podendo ter as

tenses somadas ou subtradas, dependendo da natureza das solicitaes (ver

figura 06).

Figura 05 - Tenso oblqua composta

Vale ressaltar que todos os tipos de tenses se resumem, ou se

concentram na tenso oblqua composta; j que ela apresenta uma formulao

geral e de aplicao conjunta. Em outras palavras, basta igualar um ou outro

termo a zero (N, M1 ou M2), e aplicar os conceitos referentes a esta classificao

de tenses, que chegamos s outras formulaes.

3.3. Tenso normal simples Flexo simples (com cisalhamento) ou pura (sem cisalhamento)

A flexo um esforo corriqueiro e comum, e conforme evidenciado no dia a

dia apresenta-se como uma das mais desfavorveis solicitaes. E por esse motivo que

no podemos evit-lo em muitos casos. Elementos sujeitos flexo podem ser vistos em

edificaes, estruturas convencionais, mquinas e em muitos outros lugares.

Na figura 06, uma barra de seo transversal retangular sofre esforos de flexo

por foras atuantes em um plano que passa por um dos eixos principais centrais de

inrcia da seo.

9

Figura 06 Viga em balano submetida flexo normal simples

A flexo simples acontece (ou assim pode ser considerada) em muitos casos

prticos e, evidentemente, a de formulao mais fcil.

A figura 07a representa uma pequena parte da vista lateral de uma barra de seo

transversal genrica conforme figura 07b, submetida flexo provocada por um

momento M.

A geometria da deformao sugere que uma parte (a superior neste caso) da

seo transversal esteja sob esforos normais de compresso e outra parte (inferior), sob

esforos normais de trao. A linha que divide essas duas partes denominada linha

neutra (LN) porque, naturalmente, as tenses ao longo da mesma so nulas.

Tambm pode ser constatado experimentalmente que as tenses em pontos de

linhas paralelas linha neutra so iguais e variam linearmente com a distncia vertical

y. Assim, no grfico da figura 07c, as tenses variam de um mximo de compresso 1

na extremidade superior da seo transversal, distncia e1 da linha neutra, at um

mximo de trao 2 na extremidade inferior, distncia e2 da linha neutra.

Com a linearidade mencionada, a tenso em um ponto situado a uma distncia

qualquer, y, da linha neutra pode ser dada por:

ye

=

1

1

10

Figura 07 Elemento estrutural submetido flexo simples e distribuio interna

das tenses normais

Para determinao da frmula das tenses normais (simples), aplicou-se a

primeira condio de equilbrio esttico ( ) = 0xF , conseguindo ento a seguinte expresso:

=

== 0

1

1 ydAe

dAFx

=

0

1

1 ydAe

Sabemos da mecnica geral, que o termo ydA referente ao momento esttico

Q, da superfcie em relao linha neutra LN. Se a flexo ocorre,

1

1

e no pode ser

nulo e, assim, o momento esttico, ydA , deve obrigatoriamente, ser zero. Conclui-se ento que a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seo transversal.

Por enquanto, no ser considerada a segunda condio de equilbrio esttico

( ) = 0yF , uma vez que isso implica na existncia de tenses de cisalhamento, que apesar de ocorrerem, sero vistas nos prximos captulos, quando estudaremos as

tenses tangenciais, cortantes ou cisalhantes.

Para a terceira condio de equilbrio ( ) = 0iM , deve-se ter a soma dos momentos internos igual ao momento M aplicado externamente:

=

== dAy

eydA

eydAyM 2

1

1

1

1

Mas o fator dAy 2 , que vem tambm da mecnica geral, o momento de inrcia I em relao linha neutra. Portanto:

11

MeI=

11

Dessa igualdade pode-se isolar o valor de 1 e combinar com a igualdade

anterior. Analogamente, e atravs de procedimento similar, encontramos para 2, as

seguintes equaes bsicas da flexo simples:

11 eIM

= & 22 eIM

=

Ou seja, as tenses mximas de trao e compresso esto localizadas nas

extremidades da seo transversal e so dadas em funo do momento de flexo

aplicado, das distncias dessas extremidades em relao linha neutra e do momento de

inrcia em relao mesma linha.

Vale notar que, no caso da figura 07c, 1 uma tenso de compresso e 2 uma

tenso de trao, podendo ser facilmente avaliada no encurtamento das fibras, na parte

superior, e no alongamento das fibras, na parte inferior (figura 07a). Mas ser o

contrrio se o momento externo for invertido. A figura 08 representa melhor estas

deformaes longitudinais e conseqentemente o aparecimento de tenses normais de

compresso e de trao em diferentes partes da mesma seo transversal.

Figura 08 Deformaes longitudinais em uma viga bi-apoiada

Considerando a definio de momento ou mdulo de resistncia W, as

igualdades anteriores podem ser escritas da seguinte forma:

11 W

M= &

22 W

M=

onde 1

1 eIW = &

22 e

IW =

O dimensionamento dos elementos estruturais, em nveis de resistncia ao

esforo normal, feito pela comparao com as tenses admissveis:

11 adm & 22 adm

12

Onde 1adm e 2adm so as tenses admissveis para trao e compresso ou

vice-versa conforme orientao do momento externo.

Se a seo transversal simtrica em relao linha neutra, LN, e1 = e2 = e. Por

conseqncia, W1 = W2 = W. E as igualdades anteriores, ficam reduzidas seguinte

expresso geral:

eI

M=== 21 ou W

M=== 21

Tomando-se y como o valor e para a fibra mais tracionada e/ou comprimida

temos simplesmente:

yI

M= ou

WM

=

Nesse caso, a tenso normal mxima de trao igual mxima de compresso,

pois para sees simtricas, submetidas apenas a um momento fletor, o momento no

difere dentro da seo transversal, e a distncia do centro de gravidade fibra mais

tracionada a mesma do centro de gravidade fibra mais comprimida. Ressalta-se

ainda que, valores intermedirios de tenso podem ser encontrados com a expresso

acima, aplicando-se valores intermedirios para y, j que a tenso linear em relao ao

centro de gravidade, conforme falado anteriormente.

Aps a deduo da expresso de tenses normais na flexo simples,

convencionou-se, em termos de sinais que:

Momento Fletor M

Distncia do centro de gravidade s fibras

Assim:

yI

M=

Exemplo

A viga ABC abaixo tem apoios simples A e B e uma extremidade em balano de

B a C. O comprimento do vo 3,0 m e o comprimento do balano de 1,5 m. Um

carregamento distribudo uniformemente, de intensidade q = 3,2 kN/m atua ao longo de

todo o comprimento da viga. Essa viga tem uma seo transversal U invertido com

largura b = 300 mm e altura h = 80 mm, como mostrado. A espessura da alma e dos

13

flanges t = 12 mm. Determine as tenses normais mximas de trao e compresso

para a viga ABC.

Centro de gravidade:

mmcycg 52,61122761280274122764012802

2 ==++

= ; c1 = 80 61,52 = 18,48mm

Momento de inrcia:

( ) ( ) 423

23

29,246876152,61741227612

122764052,61801212

80122 mmI y =

+

+

+

=

Iy = 246,88 cm4

Reaes de Apoio:

= 0AM kNVV BB 8,10325,45,42,3 ==

= 0V kNVV AA 6,38,105,42,3 == Diagramas de esforo cortante (V) e momento fletor (M):

Tenses mximas de trao e compresso:

MPacmkN

c 2,1552,1)848,1(88,2465,202

==++

=

MPacmkN

mxt 5,5005,5)152,6(88,2465,202

, =+=+

=

MPacmkN

t 9,2669,2)848,1(88,246360

==+

=

MPacmkN

mxc 7,8997,8)152,6(88,246360

, ==

=

14

3.4. Tenso normal composta Como visto no item anterior, os esforos de flexo so muito comuns nos

elementos estruturais do dia-a-dia; e no menos usuais, estes esforos vem

associados a solicitaes axiais de trao e compresso. Para exemplificar, podemos

citar a infinidade de obras utilizando protenso (concreto protendido), que tem como

finalidade bsica a execuo de estruturas mais esbeltas, com maiores vos a serem

vencidos; principalmente nas pontes e viadutos dos grandes centros urbanos.

Destaca-se ainda, alguns elementos de fundao, que, ou utilizam um elemento

prprio para resistir a estes esforos as cintas de fundao ou so diretamente

dimensionados para receberem cargas das duas naturezas (axiais e de flexo) as

sapatas isoladas so o principal exemplo; embora recebam tanto momentos fletores

em uma direo quanto em outra, caindo em um tipo de flexo que ser tratada

adiante, a tenso oblqua composta.

A figura 09 apresenta um caso clssico de tenso normal composta e pode

perfeitamente representar uma viga protendida, em que a fora F horizontal dada

pelos cabos de ao da protenso.

Figura 09 Flexo normal composta

Por apresentar uma grande similaridade com os dois primeiros tipos de

flexo (a pura e a simples), iremos apenas expressar sua formulao geral

diretamente; no esquecendo de que a tenso normal composta nada mais do que a

superposio de efeitos da tenso normal pura com a tenso normal simples. Porm

a superposio dessas solicitaes no caracteriza a soma, propriamente dita das

intensidades, pois assim como estudado anteriormente os sinais devem ser

respeitados.

Positivo para tenso divergente ao plano ou trao;

Negativo para tenso convergente ao plano ou compresso.

yI

MAN

=

Parcela referente tenso normal pura

Parcela referente tenso normal simples

15

Figura 10 Distribuio de tenses (Tenso normal composta)

Com relao posio da linha neutra LN, podemos verificar na figura 10, que a

sua ordenada (y) no mais coincidente com o centro de gravidade CG; e sua posio

diretamente proporcional magnitude da fora axial e magnitude do momento fletor.

Assim, a linha neutra pode cortar a seo transversal, como na figura 10, pode

tangenciar a seo transversal ou localizar-se fora dela, como na figura 11. Na primeira

hiptese a seo apresenta-se com os dois tipos de tenso na pea (c e t), na segunda e

na terceira hipteses a seo transversal encontra-se, ou totalmente tracionada (t) ou

totalmente comprimida (c), dependendo da natureza das solicitaes. A figura abaixo

demonstra as hipteses para peas comprimidas; porm a extrapolao para peas

tracionadas torna-se vlida no presente estudo.

Figura 11 Tenso normal composta variao da Linha Neutra

Para se determinar a posio em relao a y, referente linha de tenses

equivalentes a zero, a LN, temos:

( )MAINyy

IM

AN

==m0

Com relao posio da abscissa x, para a linha neutra, temos sempre o valor

igual a zero, apenas para esse tipo de solicitao.

3.5. Tenso oblqua simples Dando continuidade ao estudo das tenses; um outro tipo de flexo torna-se

necessria em termos de aplicao geral dos problemas encontrados no dia-a-dia: trata-

16

se da tenso oblqua simples. De vasta aplicao na engenharia, destaca-se o simples

fato de uma mesma viga de determinada edificao, receber esforos perpendiculares de

carga permanente e sobrecarga, simultaneamente a esforos transversais de vento,

levando a uma resultante de foras, inclinadas em relao aos eixos principais centrais

de inrcia.

Analogamente aos conceitos estudados na flexo normal composta e na flexo

normal simples, podemos utilizar a superposio de efeitos para avaliar os valores dessa

tenso.

Como temos a ocorrncia de dois momentos fletores solicitantes (em duas

direes ortogonais), ou mesmo a ocorrncia de um momento fletor resultante,

oblquo/inclinado, que leva novamente a dois momentos fletores solicitantes ortogonais,

atravs de projees trigonomtricas; podemos aplicar a mesma equao deduzida

anteriormente. Porm torna-se necessrio que sejam tomados alguns cuidados

referenciais; como, momentos de inrcia com relao aos eixos ortogonais, coordenadas

do centro de gravidade da pea e distncia relativa do centro de gravidade s fibras

tracionadas e/ou comprimidas, nas duas direes.

Assim, temos:

xI

My

IM

y

y

x

x =

onde:

- Mx o momento fletor em direo a x;

- My o momento fletor em direo a y;

- Ix o momento de inrcia em relao a x;

- Iy o momento de inrcia em relao a y;

- y a ordenada e x a abscissa.

obs: apenas em carter didtico, optou-se por escolher um sistema ortogonal xy, porm

qualquer sistema de eixos ortogonais pode ser utilizado.

A figura 12, abaixo, representa um diagrama de tenses oblquas simples,

referente a um estado de tenso qualquer, destacando-se a posio inclinada,

diretamente ligada aos esforos solicitantes originais.

Parcela referente tenso na direo x

Parcela referente tenso na direo y

17

Figura 12 Distribuio de tenses (Tenso oblqua simples)

Para determinao da linha neutra LN, podemos utilizar tambm os conceitos

empregados no item anterior, comparativamente:

xI

My

IM

y

y

x

x =0

Como temos (ou conseguimos obter facilmente) os valores de momentos fletores

nas duas direes e os momentos de inrcia nas duas direes, as coordenadas referentes

a quaisquer pontos da linha neutra, so obtidas por substituio de x e/ou y na equao

acima (fazendo-se um sistema matemtico com a equao acima). Assim, de

conhecimento geral, que aps conhecidas as coordenadas de dois pontos, sempre

possvel se traar uma reta; no caso, a reta de tenses iguais a zero (LN). Destaca-se

ainda que, na tenso oblqua simples, a linha neutra sempre passa pelo centro de

gravidade, assim como verificado na tenso normal simples. A diferena entre elas,

que a LN agora deve ser sempre inclinada.

Com relao aos sinais a serem adotados, deve-se seguir o critrios sugeridos no

prximo item, onde estudaremos a flexo oblqua composta.

3.6. Tenso oblqua composta Considerada como o agrupamento dos outros quatro tipos de tenso normal, a

tenso oblqua composta acaba por resumi-las em sua expresso geral. Assim, basta

entender os conceitos referentes a este tipo de tenso para que possamos aplic-la,

(logicamente) nela e nas demais.

Com enorme aplicabilidade nas estruturas convencionais, a flexo oblqua

composta est presente em 99% dos pilares das edificaes, bem como em suas

fundaes (rasas ou profundas), pois normalmente eles esto submetidos a esforos

18

axiais (inclusive peso prprio) e momentos fletores nas duas direes, oriundos das

vigas adjacentes ou at mesmo das excentricidades acidentais que ocorrem em suas

execues, e que a norma brasileira preconiza sua aplicao.

.

Figura 13 Flexo oblqua composta (excentricidade dos pilares)

Ainda utilizando de forma anloga os conceitos adquiridos nos itens anteriores,

principalmente a superposio de efeitos, conseguimos facilmente chegar na seguinte

expresso geral para determinao das tenses oblquas compostas.

xI

My

IM

AN

y

y

x

x =

onde:

- N o esforo axial de trao ou compresso;

- Mx o momento fletor em direo a x (em carter didtico);

- My o momento fletor em direo a y (em carter didtico);

- Ix o momento de inrcia em relao a x (em carter didtico);

- Iy o momento de inrcia em relao a y (em carter didtico);

- A a rea da seo transversal solicitada;

- y a ordenada e x a abscissa (em carter didtico).

Outro fator bastante importante na utilizao das expresses referentes tenses

normais de maneira geral, a conveno de sinais. Para facilitar a aplicao, e posterior

entendimento das anlises, optou-se por adotar os seguintes sinais:

+

compressotraoN

+

direitooueriorhemisfrioocomprimedireitooueriorhemisfriootraciona

Msup

sup

Parcela referente tenso normal pura

Parcela referente tenso oblqua simples

19

Para o seguinte sistema de eixos coordenados:

Ainda temos a seguinte conveno vetorial:

Convergindo ou entrando no plano

Divergindo ou saindo do plano

A figura 14 representa um diagrama de tenses oblquas composta, destacando-

se tambm a sua posio inclinada, assim como nos diagramas de tenso oblqua

simples.

Figura 14 Distribuio de tenses (Tenso oblqua composta)

Para determinao da posio referente linha neutra, LN, podemos aplicar:

xI

My

IM

AN

y

y

x

x =0

E assim como fizemos na flexo oblqua simples, pode-se determinar

dois pontos da reta (linha neutra), j que tambm so conhecidas as variveis N,

A, Mx, My, Ix e Iy. partir da resolve-se um sistema matemtico, com a

posterior descoberta das abscissas e ordenadas dos eixos referenciais. Destaca-se

ainda, que a linha neutra pode oscilar para dentro e para fora da seo

transversal, assim como ocorrido na tenso normal composta (figura 15).

20

Figura 15 - Tenso oblqua composta variao da Linha Neutra (a primeira

posio da LN refere-se tenso oblqua simples)

RESUMO

000

2

1

MMN

CompostaOblquaTenso

=

000

2

1

MMN

SimplesOblquaTenso

=

000

2

1

MMN

CompostaNormalTenso

==

000

2

1

MMN

SimplesNormalTenso

==

000

2

1

MMN

PuraNormalTenso

Frmula geral: xI

My

IM

AN

y

y

x

x =

21

Exemplo (questo de prova em maio de 2010)

Uma laje de concreto armado descarrega em um pilar metlico as seguintes cargas

resultantes nodais: P1= 160kN; P2= 285kN e P3= 772kN (vide figura abaixo). Sabendo-

se que o perfil utilizado um W250x89 e suas dimenses so fornecidas na tabela

abaixo, pede-se:

a) Traar o diagrama de tenses, mostrando as tenses normais extremas (1 e 2)

b) A tenso admissvel do ao (tenso de escoamento) utilizado na fabricao do pilar

adm = 150 MPa. Dizer se a seo resiste ou no ao carregamento mostrado. BITOLA ALTURA (d) LARGURA (bf) ESPESSURA MESA (tf) ESPESSURA ALMA (tw)

W250x89 26cm 25,6cm 1,73cm 1,07cm

Centro de gravidade:

- Conhecido pea simtrica nas duas direes (y e z)

Momento de inrcia:

( ) ( ) 433 73,1408612

73,122607,16,2512

266,25 cmI z =

=

( ) ( ) 423

23

73,4839007,173,122612

07,173,122606,2573,112

6,2573,12 cmI y =

+

+

+

=

rea:

[ ] ( ) ( )[ ] 69,11273,122607,16,25266,25 cmA == Solicitaes:

kNN 647772285160 +=++=

cmkNM z =++= 5,296677725,32859160

cmkNM y +=+++= 5,606757725,52854160

Linha Neutra

zy73,4839

5,606773,140865,2966

69,1126470 ++++= zy 254,1211,074,50 +=

22

74,5254,1211,0 =+ zy

Para y=0 z= -4,592 cm

Para z=0 y= +27,204 cm

Note que o sinal negativo da frmula, yI

M= , no mais aplicado devido

conveno de sinais adotado.

Tenses mximas de trao e compresso:

Pegando as coordenadas dos pontos mais afastados da linha neutra, temos:

/05,13)8,12(254,1)13(211,074,51 cmkN=++=

/53,24)8,12(254,1)13(211,074,52 cmkN+=++=

Como a tenso de trao 245,3 MPa superior a admissvel 150 MPa, mesmo com a

tenso de compresso 130,5 MPa sendo inferior, a seo no resiste aos carregamentos,

devendo ser redimensionada.

3.7. Ncleo central de inrcia O ncleo central de inrcia (ou regio de pontos nucleares) o lugar geomtrico

da seo transversal do elemento estrutural, tal que, se nele for aplicada uma carga axial

P, toda a seo estar comprimida ou tracionada, dependendo do sentido desse esforo.

Ou seja, a linha neutra LN, ser tangente seo transversal quando a fora axial

coincidir com o ponto nuclear. Esta propriedade importante para materiais como o

concreto, o ao, a alvenaria e principalmente os solos de fundao.

Na figura 16, se (1) um ponto nuclear, ao aplicarmos uma fora normal N

23

nesse ponto, teremos a LN (inferior) tangente seo.

==

1ePMPN

z

''''''0 111 yA

Ie

APy

IeP

yI

ePAP Z

ZZ

==

= como y um numero

negativo por estar no sentido negativo de y, e1 ficar positivo.

==

2ePMPN

z

'''0 222 yA

IeAPy

IePy

IeP

AP Z

ZZ ==

+

= como y um numero positivo

por estar no sentido positivo de y, e2 ficar positivo.

Figura 16 Pontos nucleares

Para o Retngulo, temos:

62

12

3

21h

hhb

hbyA

Iee Z =

=

== (em valor absoluto sem sinal)

Com isso qualquer fora localizada sobre os pontos (1) e/ou (2) faz com que a

LN fique tangente seo (ou toda comprimida ou toda tracionada). Porm, se a fora

se posicionar entre (1) e (2), a LN estar fora da seo transversal, mas continuar toda

comprimida ou toda tracionada. Agora, se a fora se situar fora do intervalo (1) a (2), a

LN cortar a seo, e teremos tenses de trao e de compresso na mesma pea.

Anlogo direo y teremos as mesmas consideraes na direo z, assim:

62

12

3

43b

bhb

bhzA

Iee y =

=

==

24

Figura 17 Ncleo central de inrcia rea do losango

Ncleos centrais de inrcia para algumas sees

Figura 18 Ncleo central de inrcia de algumas sees transversais

25

4. TENSES TANGENCIAIS CISALHAMENTO TRANSVERSAL 4.1. Introduo

Assim como estudado no captulo referente s tenses normais, as foras que

escorregam pelo plano, denominadas solicitaes tangenciais, cisalhantes ou

cortantes, tambm produzem tenso; porm com caractersticas diferentes, e com

denominao prpria: Tenses tangenciais, cisalhantes ou cortantes.

Aqui tambm, estas tenses de cisalhamento so subdivididas, porm com maior

simplicidade:

Tenso tangencial pura a tenso em que s atuam foras de corte (

V), conforme representados na figura 19, e j tratados anteriormente, sendo tambm

anlogas ao fenmeno elementar de presso (fora sobre rea).

AV

=

Figura 19 Corte puro nas juntas sobrepostas

Onde V a fora cortante, e embora o sinal represente um corte horrio ou

anti-horrio, o significado fsico independe do sinal, pois trata-se de uma solicitao

nica.

Tenso tangencial na flexo a tenso de cisalhamento referente aos

esforos associados flexo (figura 20).

Figura 20 Viga bi-apoiada com sees transversais, com e sem associao de

flexo e cisalhamento

26

4.2. Tenses Tangenciais na flexo As tenses de cisalhamento associadas flexo no se distribuem de maneira

uniforme pela seo transversal do elemento estrutural. Isso no invalida os clculos de

valores a partir dos diagramas, mas eles devem ser considerados mdios e, portanto,

podem existir valores localizados significativamente acima da mdia.

Figura 21 Barra supostamente sob ao de flexo no plano xz

Supe-se agora um pequeno trecho de largura x conforme indicado na figura

21. Este trecho, por sua vez, cortado por um plano Pz, paralelo ao plano xy e situado a

uma altura z do eixo x.

A figura 22a representa o corte do plano xz e, a figura 22b representa o corte de um

plano paralelo a yz. O eixo y coincide com a linha neutra da seo transversal, ou seu

centro de gravidade, j que temos flexo normal simples.

Conforme a figura 22a, o lado esquerdo do trecho denominado (1) e o lado direito

do trecho denominado 2. Considerando somente a parte acima da linha neutra LN, as

tenses normais 1 e 2 variam linearmente de zero at um valor mximo na

extremidade superior. Conforme visto no captulo anterior, o valor mximo dado por

eI

M , onde I o momento de inrcia da seo Ayz em relao a y. Portanto, para um

valor qualquer de z=u, temos:

uI

Mu =)(1

Para a face direita, o momento M + M e, assim,

uI

MMu )()(2+

=

Ainda na figura 22a, x a tenso de cisalhamento na superfcie do plano Pz (figura

21) entre as duas sees separadas de x. Portanto, essa superfcie tem dimenses x e

27

2y, como pode ser visto em (a) e (b) da figura 22.

Figura 22 Barra da figura 21 em corte longitudinal e transversal, respectivamente

Para manter o equilbrio esttico, as foras correspondentes a x, 1(u) e 2(u) devem

anular-se:

=+ 02 21 dAdAyxx ou

=+ 0)(2 12 dAyxx Das equaes de 1(u) e 2(u), temos:

uIM

= )( 12

Assim;

= udAIMyxx 2

Reagrupando a equao acima, temos:

= udAyIx

Mx 2

1

Desde que se considera a superfcie Ayz da figura 22b, essa integrao vai de u = z

at u = e.

A expresso == euzu

udA,

o momento esttico Qy de Ayz em relao ao eixo y, conforme

visto em mecnica geral.

Na situao limite, dx

dMx

M=

, que, conforme visto em teoria das estruturas, deve

ser igual fora de cisalhamento V. Logo, o valor final da tenso dado por:

28

)2( yIVQy

x =

Desde que tenses de cisalhamento aparecem sempre aos pares, como visto em

resistncia dos materiais I, deve-se ter:

xz =

Sabendo-se que a largura da seo 2y pode simplesmente ser chamada de b, temos a

seguinte expresso geral para a tenso de cisalhamento .

bIVQ

=

onde

- V igual fora cortante;

- Q igual ao momento esttico em relao a um plano de referncia

qualquer;

- b a base da seo transversal;

- I o momento de inrcia.

Vale ressaltar que atravs da expresso geral descrita acima, principalmente no

que tange a contribuio do momento esttico, confirmamos o fato das tenses

cortantes, na flexo, no se distriburem uniformemente dentro da seo transversal da

pea (ver figura 23).

Figura 23 Variao da tenso cisalhante na seo transversal

4.3. Fluxo de cisalhamento O projeto de elementos de fixao; como pregos, parafusos, soldas ou cola

(elementos que evitam o deslizamento relativo ver figura 24); requer o conhecimento

das foras cisalhantes ao longo do comprimento da pea. Esse carregamento, expresso

como fora por unidade de comprimento denominado fluxo de cisalhamento, q.

29

Figura 24 Deslizamento relativo

cmkgfcmcmkgfbq xy // === (unidade de carga por unidade de comprimento)

IVQqb

bIVQq == ou

= udAIdMdF e

dxdFq = = udAdx

dMI

q 1

Logo; I

VQq = , onde q o fluxo de cisalhamento.

Na figura abaixo, podemos verificar que a carga cortante que percorre o caminho

no interior da seo transversal, representada pelas setas na figura 25b, denominada

como o fluxo de cisalhamento q.

(a) (b)

Figura 25 Fluxo de cisalhamento em uma viga em balano de seo transversal I

4.4. Centro de cisalhamento ou centro de toro O centro de cisalhamento (tambm chamado centro de cortante ou centro de

toro), um ponto situado no plano da seo transversal de uma pea prismtica (de

seo transversal invarivel e uniforme), como uma viga ou um pilar; tal que, qualquer

esforo cortante que passe por ele no produzir momento torsor na seo transversal da

pea.

Quando existe um eixo de simetria, o centro de cisalhamento est situado sobre

ele. Em peas com dois eixos de simetria o centro de cisalhamento coincide com o

centro de gravidade da seo e nesse caso a flexo e a toro esto desassociadas, e uma

viga ou pilar pode ter flexo sem toro e toro sem flexo. Entretanto, em sees

igual a V igual a Q

30

assimtricas, necessrio determinar o centro de cisalhamento para determinar

corretamente as tenses.

Distribuio da tenso de cisalhamento em flanges de vigas

Como j visto anteriormente, as tenses de cisalhamento variam de maneira

parablica nas sees transversais retangulares e circulares. Em uma seo I, se

fizermos um corte vertical A-A, como mostrado na figura 26, existem tenses de

cisalhamento neste plano devido flexo da viga.

(a) Corte A-A (b) Vista tridimensional

Figura 26 Vista de seo I com corte vertical A-A

As tenses de cisalhamento tm a direo mostrada na figura acima, ou seja, na

direo longitudinal da viga.

Vale lembrar que a tenso normal de flexo na direo longitudinal x, quando

integrada ao longo da rea da seo transversal fornece uma fora axial =A

dAF e

yI

M

z

z= .

Suponha ainda que o momento fletor aumente ao longo da direo longitudinal

da viga. A seo direita do elemento diferencial, ilustrado na figura 26, possui um

maior momento fletor, e conseqentemente uma fora longitudinal resultante maior.

Para compensar a diferena entre as foras axiais, a tenso de cisalhamento gera uma

fora de cisalhamento resultante no mesmo sentido da fora menor, conforme mostra a

figura 27.

Figura 27 Sentido da tenso de cisalhamento

Se o corte A-A , da figura 26, est na aresta da seo, a tenso de cisalhamento

31

zero. Se a espessura do flange constante e o corte A-A aproxima-se da alma, a rea

aumenta linearmente de zero at um valor mximo.

Como a distncia do centro do flange ao centro de gravidade, y, constante, o

momento esttico tambm aumenta linearmente ytbQz = . Da mesma forma,

como Iz e Vy so constantes na seo, o fluxo de cisalhamento )()()(

)(xI

xQxVxq

z

zy =

tambm aumenta e atinge o valor mximo sobre a alma.

Conseqentemente, a tenso de cisalhamento tq= tambm varia linearmente

no flange caso a espessura permanea constante. O valor mximo tambm ocorre sobre

a alma. A mesma variao de q e aplica-se a ambos os lados do eixo de simetria

vertical. No entanto, essas grandezas possuem direes opostas nos dois lados da seo,

separados pelo eixo de simetria.

Integrando-se a tenso de cisalhamento sobre a rea onde ela age, tem-se uma

fora resultante. A magnitude da mxima fora horizontal F, desenvolvida na metade do

flange :

2221 btAF mxmx ==

ou ainda,

4bq

F mx

=

As tenses de cisalhamento e as foras esto representadas na figura 28. Como

as foras F ocorrem aos pares nos flanges, e devido simetria da seo I, elas se anulam

e no apresentam efeito externo aparente.

(a) Distribuio da tenso no flange (b) Foras resultantes no flange

Figura 28 Tenses e foras cisalhantes em uma viga I

Centro de Cisalhamento, propriamente dito

Em perfis que no tem simetria vertical, a frmula para o clculo da tenso

normal yI

M

z

z= , no pode ser aplicada. No entanto, assume-se aqui a validade da

32

expresso anterior.

Em um perfil U com flanges finos, por exemplo, a tenso de cisalhamento varia

linearmente em seus flanges (abas ou mesas) e parabolicamente em sua alma como

mostra a figura 29. Para uma seo assimtrica, um carregamento que provoca flexo,

poder provocar tambm uma toro da seo, como mostra a figura abaixo; para um

perfil U ou C.

(a) Perfil U com corte A-A (b) Tenso em um perfil U

Figura 29 Tenso de cisalhamento em um perfil U

Figura 30 Foras em um perfil U

A integral das tenses de cisalhamento na alma fornece a fora V.

dytVh

h=2/

2/

Como j visto anteriormente, a fora horizontal resultante em um flange dada

por:

btAF

==

221

Como pode se observar na figura 30, as foras F nos flanges formam um binrio

F. h, o qual provoca uma toro na seo. Para evitar essa toro e ao mesmo tempo

tornar vlida a aplicao da expresso da tenso normal de flexo pura, deve-se aplicar

as foras externas de tal forma a balancear o binrio interno F . h.

Considerando que o carregamento seja aplicado em um ponto distante e da alma

e fazendo-se o somatrio de momentos em relao a um ponto da alma, tem-se:

33

PFhehFeP ==

O ponto que dista e da alma chamado CENTRO DE CISALHAMENTO, pois

se o carregamento for aplicado em uma direo paralela alma e distante e da mesma,

este carregamento no provocar toro. Tendo em vista que:

btF

=

2 e

)()()(

)(xIt

xQxVx

z

zy

=

Vem que para V=P:

zPtIbthVQ

P

bth

PFhe

22 =

==

zPtI

hbtbthPe

2

)2

(=

zIthbe

4

22

=

O centro de cisalhamento e independente da magnitude de P, assim como da

sua localizao ao longo da vida ( uma propriedade fsica da seo transversal).

Para sees com um eixo de simetria, o centro de cisalhamento est sempre

localizado sobre ele. J para sees com dois eixos de simetria, o centro de

cisalhamento coincide com o centride da seo transversal (por exemplo, perfil I).

A posio exata do centro de cisalhamento para sees com flanges largos pode

ser de difcil determinao.

Para alguns perfis bastante utilizados na engenharia, os centros de toro so

indicados na figura 31, sem a realizao de qualquer clculo, pois o nico ponto em

que convergem as resultantes das foras, no podendo haver brao de alavanca para

considerao do momento de toro.

(a) Perfil L com abas iguais (b) Perfis L e T

Figura 31 Centro de cisalhamento para alguns perfis

34

Indicao do fluxo de cisalhamento em algumas sees transversais

Figura 32 Fluxo de cisalhamento em algumas sees transversais

Exerccios Resolvidos

1) A viga abaixo composta de duas pranchas de madeira formando um perfil

do tipo T. determine a mxima tenso cisalhante na cola necessria para mant-las

juntas.

Reaes de Apoio:

= 0AM kNVV BB 5,198645,6 ==

= 0V kNVV AA 5,65,1945,6 == Diagramas de esforo cortante (V)

Centro de gravidade:

mmycg 1201503030150751503016530150

=+

+=

35

Momento de inrcia

4723

23

107,2)120165(3015012

30150)75120(150301215030 mmI z =

+

+

+

=

Momento esttico

AdQ = 3510025,2)75120(15030 mmQ ==

Clculo da tenso mxima mx

MPacmkNmmkNIbQV 875,4/4875,0/10875,4

107,23010025,25,19 237

5

===

=

=

2) Plote a distribuio de tenses de cisalhamento na seo transversal de uma

viga do tipo I com fora cortante V= 80kN

Momento de inrcia

4833

10556,112

20028512

240300 mmI z =

=

Clculo da tenses:

Ponto A

00 == AAQ

Ponto B

106,611020300 5 mmQB ==

MPammkNB 13,1/1013,130010556,1106,680 3

8

5

==

=

Ponto C

106,611020300 5 mmQQ CB ===

MPammkNC 62,22/1026,21510556,1106,680 2

8

5

==

=

Ponto D

36

1035,72

1001001511020300 5 mmQD =+=

MPammkND 20,25/1052,21510556,11035,780 2

8

5

==

=

Distribuio das tenses

3) Determine a quantidade de pregos necessria para manter os elementos da

viga abaixo (mesa e alma), de 3 metros de comprimento, unidos quando submetida a um

cortante de 2 kN. A tenso admissvel dos pregos de dimetro d= 2 mm adm = 225

MPa.

Momento de inrcia

4733

109175,412

15013012

190150 mmI z =

=

Momento esttico

AdQ = 351055,2)1075(15020 mmQ =+=

Clculo do fluxo de cisalhamento

mmNmmkNI

VQq /37,10/10037,1109175,41055,22 2

7

5

==

==

Clculo da fora suportada por cada prego

NPVVAV

pregoadm 86,706

42

225 2, ====

Clculo do espaamento entre os pregos

mmNq /37,10= 10,37 N por 1 mm

37

10,37 N 1 mm

706,86 N e mme 16,6837,1086.706

==

Calculo do nmero de pregos

pregosmmmmn pregos 4401,4416,68

3000===

4) A viga abaixo formada pela unio de diferentes perfis parafusados entre si.

Determine a mxima fora cortante que a viga pode suportar se os parafusos resistem a

uma fora cortante de 11 kN e esto espaados de 200 mm.

Perfil 305x102x46,2kg Perfil 305x165x54kg

A= 58,8 cm A= 68,8 cm

I11= 8214 cm4 I11= 11686 cm4

I22= 500 cm4 I22= 988 cm4

c= 2,66 cm

Momento de inrcia

4442

21 102,353422,353421168666,202,1204,318,5850022 mmcmIII z ==+

++=+=

38

Momento esttico

AdQ = 10144,816144,8168,5866,202,1204,31 mmcmQ ==

+=

Clculo do fluxo de cisalhamento

mmforadeunidadeVVI

VQq /10309,2102,35342

10144,816 34

=

==

Clculo do espaamento entre os parafusos

2,309x10-3 V 1 mm

2 x 11 kN eparafusos = 200 mm

kNVVq

parafusosnostecorforae parafusos 64,4710309,2

112200tan

3 =

==

5) Determinar a posio do centro de cisalhamento para um perfil U mostrado

abaixo.

Momento de inrcia

423

23

5333867020021219821002101

1221012 mmI z =

+

+

+

=

mme 50,3753338674

2002100 22=

=

Outro modo de determinao do centro de toro, sem o emprego da frmula

O ponto 1 foi escolhido como referncia, pois ao passar por ele, as foras

39

resultantes da mesa superior e da alma, no geram momento.

vv

z

v

mesa VV

I

hbtVbbqR 187,0

5333867)1001002(

10021)2

(

21

21

inf_ =

=

==

mmeV

VeVeV

v

vvv 50,37

200187,0200187,0 =

==

40

5. TRANSFORMAES DAS TENSES ESTADO PLANO (EPT) 5.1. Introduo Transformar as componentes de tenses normais e cisalhantes, associados a um

sistema de coordenadas qualquer; em componentes de tenses normais e cisalhantes,

associados a um sistema de coordenadas com outra orientao o principal objetivo do

nosso estudo. Com isso, conseguimos, a partir de equaes de transformao, obter para

um elemento estrutural, o plano e a intensidade das tenses normais mximas e o plano

e a intensidade das tenses de cisalhamento mximas.

O estado de tenso da figura 33a no encontrado com muita freqncia na prtica

da engenharia, por isso aproximaes ou simplificaes das solicitaes sobre um

determinado corpo, a fim de que as tenses produzidas em um sistema estrutural sejam

analisadas, so extrapolados para um dos planos referenciais (figura 33c).

Algumas observaes gerais so importantes na orientao desse estudo. Podemos

destacar assim:

1- Em torno de um ponto, um elemento de superfcie pode assumir uma

infinidade de posies. Ocorrer ento o aparecimento de diferentes tenses no

mesmo ponto, correspondentes a cada uma dessas posies.

2- O estado de tenso em um ponto o conjunto de todas as tenses

ocorrendo em todos os planos passando por esse ponto.

3- Sobre o cubo de tenses; demonstra-se que o estado de tenso em um

ponto, fica definido quando forem conhecidas as tenses nele, referentes aos trs

planos ortogonais entre si, que se interceptam no ponto considerado.

4- Para analisarmos o estado de tenso em um ponto, imaginamos um cubo

situado com vrtice no ponto, em cujas facetas supe-se as tenses conhecidas.

5- Orientamos o cubo considerado, como um slido de dimenses

infinitesimais, tomando como origem o ponto em estudo e como eixos de referncia

as arestas a ele concorrentes.

6- Nas trs faces do cubo que so visveis, ocorrem tenses iguais e de

sentidos opostos.

7- O estado de tenses em um ponto, no caso mais geral, ficar ento

definido conhecendo-se nove tenses, que so as que atuam nas faces do cubo

elementar.

41

Figura 33 Estado de tenso em um ponto

5.2. Estados de tenso em um ponto Tipos

Estado triplo ou tri-Axial As tenses que atuam nas faces do cubo

elementar admitem componentes nas direes de todas as suas arestas.

Estado plano, duplo, ou bi-Axial As tenses no cubo apresentam

componentes paralelas a apenas dois eixos.

Estado simples ou uniaxial Nas faces do cubo atuam tenses na direo

de uma nica aresta.

Estado de cisalhamento puro - Nas faces do cubo atuam apenas tenses

tangenciais. O simples valor xy =yx suficiente para definir o estado de

tenso no ponto.

Anlise das tenses no estado plano

O problema da anlise das tenses consiste em determinar as componentes da

tenso em um plano qualquer, a partir das componentes da tenso que atuam em trs

planos ortogonais, passando pelo ponto, e supostamente conhecidas.

Duas componentes de tenso normal e uma componente de tenso de

cisalhamento atuam sobre as quatro faces do elemento. Por conveno, adotou-se o

plano x-y da figura 33c.

Supondo que o estado de tenso seja definido pelas componentes x, y, xy,

orientadas ao longo dos eixos x, y, como na figura 34a, mostraremos como obter as

componentes x', y' e x'y', orientados ao longo dos eixos x, y (figura 34b), de modo

que representem o mesmo estado de tenso no ponto.

42

(a) (b)

Figura 34 Estado plano de tenso

5.3. Transformao de tenses propriamente dita Os procedimentos para se determinar as componentes x', x'y' que atuam sobre a

face x do elemento so:

1- Seccionar o elemento da figura 34a (figura 35a) rea seccionada

(A).

2- Desenhar o diagrama de corpo livre do segmento, mostrando as foras

que atuam sobre o elemento, ou seja, multiplicam-se os componentes de tenso

de cada face pela rea sobre a qual atuam.

3- Aplicar as equaes de equilbrio de fora nas direes x e y para

obter as componentes de tenso desconhecidos x', x'y'.

4- Se y', que atua sobre a face +y do elemento da figura 34b, tiver de

ser determinado, considere um elemento como na figura 35b e depois seguir o

mesmo procedimento descrito acima. Note que a tenso de cisalhamento no

precisar ser determinada se ela j tiver sido calculada, pois ela atende a

propriedade complementar de cisalhamento (x'y' = y'x').

(a) (b)

Figura 35 Transformao de tenses (em outro plano)

43

Exerccio

Uma fora axial de 600N atua na barra de ao mostrada. Determine as componentes das

tenses sobre o plano definido pela seo a-a, inclinada a 30 em relao horizontal.

MPax 12,050100600

=

=

Como a rea da seo inclinada 5,5773866,0

5010030cos

' mmAA === (A>A) e a fora

axial atuante nessa rea NPP 62,519866,060030cos' === (P

44

A componente das tenses normais ou de cisalhamento ser positiva caso atue

na direo positiva da coordenada, da face positiva do elemento, ou caso atue na direo

negativa da coordenada da face negativa do elemento como na figura 36.

Assim, a tenso normal positiva quando atua para fora das faces e a tenso de

cisalhamento positiva quando atua para cima na face direita do elemento.

Com relao ao ngulo , a orientao do plano inclinado simplesmente

positiva no sentido anti-horrio.

Equaes

No exerccio acima, foi possvel determinar, a partir das relaes

trigonomtricas, bem como do conceito trivial de presso (fora sobre rea), o estado de

tenses em outro plano, diferentemente do plano original de aplicao da carga. Porm,

para facilitar o clculo, algumas expresses foram definidas:

22cos2

)(2

)(' senxy

yxyxx +

+

+=

e

22

)(2cos'' sen

xyxyyx

+=

Para se determinar y', basta substituir por ( + 90), j que os planos x e y sempre

so defasados em 90 (figura 37), e assim temos:

)90(2)90(2cos2

)(2

)(' +++

+

+=

senxy

yxyxy

Figura 37 Defasagem dos planos x e y

Exerccio

Faa o exemplo anterior, aplicando as equaes de transformao de tenses.

Descubra tambm a tenso normal no plano perpendicular a ele (30 +90).

MPax 12,050100600

=

= entrando no plano ou de compresso

45

=+

++

= 60060cos2

)012,0(2

)012,0(' senx

MPax 09,05,006,006,0' == entrando no plano ou de compresso

MPasenyx 052,0602)12,00(60cos0'' +=

++= anti-horria

=+

++

= 2400240cos2

)012,0(2

)012,0(' seny

MPay 03,05,006,006,0' == entrando no plano ou de compresso

5.5. Tenses Principais e Tenso Cisalhante mxima no plano A prtica da engenharia nos diz que importante se determinar a orientao dos

planos que fazem as tenses normais e cisalhantes chegarem ao mximo e ao

mnimo, bem como a magnitude das mesmas, pois os dimensionamentos, de um

modo geral, se baseiam nestas informaes.

Tenso Principal no plano

Para determinarmos as tenses normais mxima e mnima devemos derivar a

equao da transformao de tenses, vista acima, em relao a e igualar a zero;

assim:

= 0

dd

)(5,02

yx

xytg

=

Esta equao define a orientao dos planos em que atuam as tenses normais

mxima e mnima.

A soluo dessa raiz leva a 21 e 22 defasados de 180; logo 1 e 2 ficam

defasados de 90.

Atravs de relaes trigonomtricas e substituio nas frmulas anteriores,

temos:

22

2,1 22 xyyxyx

+

+=

onde 1 2 e so denominadas de tenses principais nos planos.

Ao substituir as relaes trigonomtricas na formulao de vemos que a tenso

cisalhante atuante nos planos principais nula.

46

Figura 38 Plano das tenses principais

Tenso Cisalhante Mxima no plano

Assim como fizemos para encontrar as tenses principais, para determinarmos

a tenso de cisalhamento mxima devemos derivar a equao da transformao de

tenses, vista anteriormente, em relao a e igualar a zero; assim:

= 0

dd

xy

yxtg

)(5,02

=

Esta equao define a orientao dos planos em que atuam as tenses cisalhantes

mximas (negativa e positiva).

Para diferenciarmos, apenas em termos de nomenclatura, a orientao dos planos

principais com a orientao dos planos cisalhantes mximos, utilizaremos a varivel

para representar os segundos. Assim;

xy

yxtg

)(5,02 '

=

A soluo dessa raiz leva a 21 e 22, que representam uma defasagem de

90 em relao ao ngulo determinado nas tenses principais (2). Assim, os planos em

que atuam as tenses cisalhantes mximas so defasados de 45 em relao aos planos

que definem 1 e 2.

Logo;

22

.. 2 xyyx

planonomx

+

=

Existe tambm uma tenso normal nos planos de tenso cisalhante mxima,

que denominada tenso normal mdia e determinada por:

47

2yx

md

+=

Exerccio

Determinar as tenses principais, as tenses cisalhantes mximas e os respectivos planos de atuao, para o estado de tenses abaixo:

x = +1MPa; y= +1MPa e xy= +1MPa

Tenses Principais

902)11(5,0

12 ==

= tg 135904545 21 =+== e

MPa212

112

11 22

1 =+

+

+= e MPa01

211

211 2

2

2 =+

+=

Tenses Cisalhantes Mximas e Tenso Normal Mdia

0'201

)11(5,02 ' === tg 909000 2'1' =+== e

MPaplanonomx 11211 2

2

.. =+

= e MPamd 12

11=

+=

5.6. Crculo de Tenses de Mohr

As equaes anteriores podem ser combinadas entre si, encontrando-se a

equao de um crculo, chamado de crculo de Mohr para as tenses. Assim, podemos

obter graficamente uma soluo mais rpida para os problemas de transformao de

tenses, partir da anlise dessas tenses em um dado ponto material.

A equao cartesiana de um crculo dada por ( ) ( ) 222 Rcyax =+ . Por

outro lado, a equao do crculo de Mohr dada por ( ) ( ) 22''2' Ryxmdx =+ . Se estabelecermos eixos coordenados, em que seja positivo para a direita e

48

positivo para cima, e representarmos a equao do crculo de Mohr, teremos um crculo

de raio R com centro em (md,0) no eixo . O raio R dado 22

2 xyyx

+

(ver

figura 39).

Figura 39 Crculo de Mohr

Passo a passo para confeco do crculo de Mohr

1 - Retire um elemento do ponto que se deseja estudar, no qual as tenses normais e

de cisalhamento so conhecidas, indicando o sentido correto dessas tenses;

2 - Num sistema de eixos coordenados marque os pontos X(x; -xy) e Y(y; xy) e

interligue-os com uma reta, encontrando o centro C (md; mx). Com centro em C e raio

CX, trace o crculo, encontrando os pontos A, B, D e E.

3 - Os pontos A de coordenadas (mx; 0) e B (mn; 0) representam as tenses

principais. O ngulo CAX o ngulo 2.

Figura 40 Confeco do crculo de Mohr (1)

49

4 - Depois de desenhado o crculo, os demais valores so encontrados

geometricamente ou calculados.

2yx

mdOC

+

== e 22

2 xyyxRCE

+

==

5 - As tenses principais so encontradas em A e B.

RCEOCOA mdmx +=+== e RCEOCOB mdmn ===

RCDmx ==

6 - Os planos principais so dados por:

yx

xy

CFXFtg

==2

2

A direo de rotao de Ox para Oa a mesma que de CX para CA

Figura 41 Planos principais (1)

7 - Com o crculo de Mohr definido, o estado de tenso para qualquer outra

orientao pode ser encontrado.

8 - Para um estado de tenso a um ngulo em relao aos eixos xy, construa

um novo dimetro XY com um ngulo 2 relativo ao dimetro XY.

9 - As tenses normais e a tenso de cisalhamento para esta nova orientao so

conseguidas pelas coordenadas de XY.

50

Figura 42 Confeco do crculo de Mohr (2)

Figura 43 Planos principais (2)

51

Exerccio

Para o exerccio anterior, trace o crculo de Mohr x = +1MPa; y= +1MPa e xy= +1MPa

52

6. TRANSFORMAES DAS DEFORMAES ESTADO PLANO (EPD) 6.1 Introduo

Assim como realizado no captulo anterior, e atravs da preconizao da lei de

Hooke convencional e da lei de Hooke no cisalhamento - = E e = G,

respectivamente - o presente captulo tem por objetivo estudar o efeito das deformaes

no mesmo mbito do estudo das tenses.

O estado geral das deformaes em um ponto de um corpo pode ser definido

como:

1. Deformao Normal: (x, y, z)

2. Deformao por Cisalhamento: (xy, xz, yz)

Essas seis componentes tendem a deformar cada face de um elemento material e

variam de acordo com a orientao do mesmo.

A ttulo de conhecimento geral; no laboratrio, essas medidas so feitas atravs

de extensmetros.

6.2 Estado Plano de Deformaes

(x, y) Duas componentes de deformao normal

(xy) Uma componente de deformao por cisalhamento

Figura 44 Estado Plano de Deformaes

O estado plano de deformaes no causa um estado plano de tenses e vice-

versa. Logo, o estado plano de tenses (x, y) no provoca estado plano de

deformaes no plano xy porque z diferente de zero (efeito de poison).

53

Figura 45 Estudo das deformaes

6.3 Equaes Gerais de Transformao para o Estado Plano de Deformaes

O objetivo principal estabelecer equaes de transformao que podem ser

usadas para determinar as componentes de deformao normal e por cisalhamento x, e

yem um ponto, desde que os componentes de deformao x, y sejam conhecidos.

Para isso adotou-se a seguinte conveno de sinais:

Figura 46 Conveno de sinais positivos

6.4 Deformao Normal e por Cisalhamento

Determinao de x'

cos'dxdx =

sendxdy '=

Se x > 0 (Figura 47b) Alongamento de dx xdx Alongamento de dx

xdxcos

Se y > 0 (Figura 47c) Alongamento de dy ydy Alongamento de dx

ydy sen

54

Figura 47 Estudo das deformaes

Se dx fixo Deslocamento xydy para a direita do topo da linha dy (figura

47d) Alongamento de dx xydyc os

Somando-se os trs alongamentos:

coscos' dydysendxx yxyx ++=

Mas,

''

' dxx

x =

Substituindo, temos:

coscos' sensen xyyxx ++=

55

A equao de transformao da deformao para determinar x'y' desenvolvida

considerando-se a intensidade da rotao que cada segmento de reta dx e dy sofre

quando submetido aos componentes da deformao x ,y ,xy.

''

dxy =

dysendydxseny xyyx += cos'

Utilizando-se as equaes acima, associadas figura 47e, temos:

( ) cos sensen xyyx += Como mostra a figura 47e a reta dy gira . Podemos determinar esse ngulo por

uma anlise semelhante, ou simplesmente substituindo-se por + 90, e assim tem-se:

( ) coscos xyyx sen += =''yx

Dessa forma, as equaes de transformao da deformao de um elemento,

orientado com ngulo , como mostra a figura 48, so:

22

2cos22'

senxyyxyxx +

++

=

2cos2

222

'' xyyxyx sen +

=

Para determinar y, basta substituir por (+90) na equao de x, e assim

tem-se:

)90(22

)90(2cos22'

+++

++

=

senxyyxyxy

Figura 48 Deformao normal e por cisalhamento

56

6.5 Deformaes Principais

So deformaes normais sem deformaes por cisalhamento

yx

xytg

=2

22

2,1 222

+

+= xyyxyx

6.6 Deformao por cisalhamento mxima no plano

=

xy

yxtg

'2

22

_ 22

+

= xyyxplanomx

2yx

md

+=

6.7 Crculo de Mohr

No crculo de mohr, independente se para anlise de tenses ou de deformaes,

as equaes acima podem ser escritas da seguinte forma:

( ) 22

2

2Rxymdx =

+

onde

2yx

md

+=

22

22

+

= xyyxR

E o centro do crculo fica no ponto (md, 0).

Construo do Crculo

1. Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a

deformao normal , com sentido positivo para a direita e a ordenada represente

metade do valor da deformao por cisalhamento, /2, com sentido positivo para cima.

2. Determinar o centro do crculo C, que est localizado no eixo a uma

distncia md = (x + y)/2 da origem.

3. Marcar o ponto de referncia A(x ,xy/2).

57

4. Conectar o ponto A ao ponto C e determinar o raio R pelo tringulo

sombreado.

5. Uma vez determinado R, traar o crculo.

Figura 49 Traado do crculo de Mohr para as deformaes

Deformaes Principais

1. As deformaes principais, 1 e 2 so as coordenadas dos pontos B e D na

figura 50a onde /2 = 0.

2. Determinar a orientao do plano sobre o qual 1 atua pelo crculo calculando

21 por meio de trigonometria (medido no sentido anti-horrio a partir da reta de

referncia radial CA at a reta CB). Figura 50a. Lembrar que a rotao de 1 deve ser na

mesma direo, a partir do eixo de referncia do elemento x para o eixo x. Figura 50b.

Figura 50 Crculo de Mohr para as deformaes

58

Deformaes por Cisalhamento Mximo no Plano

1. A deformao normal mdia e a metade da deformao por cisalhamento

mxima no plano so determinadas como coordenadas E e F. Figura 50a.

2. Calcular 21 por meio de trigonometria (medido no sentido horrio a partir da

reta de referncia radial CA at a Reta CE).

Deformaes no plano arbitrrio

1. Para um plano especificado por um ngulo utiliza-se trigonometria para se

calcular a deformao normal e por cisalhamento.

2. O ngulo conhecido do eixo x medido no crculo como 2.

3. Se for necessrio saber o valor de y', determin-lo calculando-se a coordenada

do ponto Q. A reta CQ localiza-se a 180 de CP e, desse modo, representa uma rotao

de 90 do eixo x.

Exerccio

O elemento infinitesimal que representa um ponto do material est sujeito ao

estado plano de deformaes: x = -350 x 10-6, y = +200 x 10-6 e xy = +80 x 10-6, o

qual tende a torc-lo como mostra a figura abaixo. Determinar as deformaes

principais no ponto e a orientao do elemento a elas correspondente.

Resoluo

etg 14,428,82145,01020010350

10802 1666

===

=

86,859014,42 =+=

=

+

+=

2626666

2,1 21080

21020010350

21020010350

6661 10353102781075

== 666

2 10203102781075 =+=

59

60

7. DESLOCAMENTOS EM VIGAS E EIXOS LINHA ELSTICA Nos projetos estruturais so necessrios os clculos das tenses, mas tambm os

clculos das deformaes a que esto submetidos os elementos estruturais. As normas

de clculo estabelecem as tenses admissveis, mas tambm impem limites para as

deformaes mximas das peas.

E com o objetivo de avaliar as deformaes em vigas e eixos, submetidos aos

esforos de flexo, que estudaremos os mtodos para determinao da linha elstica.

7.1. Introduo Sob a ao de cargas transversais e/ou binrios, uma viga fica submetida a dois

tipos de efeitos principais:

- tenses normais e de cisalhamento nas diversas sees transversais, e

- deformaes lineares e angulares ao longo de seu eixo.

Figura 51 Deformao de uma viga submetida flexo

7.2. Definies bsicas Flecha

Denomina-se flecha, num determinado ponto do eixo da viga, componente

vertical y do deslocamento linear do eixo da viga, em relao ao eixo reto inicial.

Porm, a componente paralela ao eixo inicial da viga, em geral, desprezvel em

comparao com a flecha.

Linha elstica (LE)

A curva na qual se transforma o eixo longitudinal da viga, inicialmente reto,

quando submetida a carregamentos externos, recebe o nome de linha elstica. A

equao da LE, y = f(x), depende do tipo de carregamento a que uma determinada viga

est submetida.

7.3. Determinao da linha elstica Existem vrios processos para se determinar a linha elstica LE. Os mais

empregados so:

a) Integrao direta;

b) Diagrama de momentos;

61

c) Funes singulares e

d) Energia elstica de deformao.

Hipteses e Limitaes

a viga deve estar trabalhando no regime elstico (Lei de Hooke);

a viga possui eixo longitudinal inicialmente reto;

os carregamentos so foras e/ou binrios que atuam num plano

perpendicular ao eixo longitudinal da viga (plano de simetria da viga);

as sees transversais da viga permanecem planas durante a deformao;

as vigas so prismticas e possuem o mesmo mdulo de elasticidade, tanto

para trao como para compresso;

as flechas so pequenas em relao s dimenses das sees transversais da

viga;

as flechas devidas fora cortante so desprezveis em relao s produzidas

pelo momento fletor.

Apesar de citarmos alguns mtodos para determinao da linha elstica, no presente

trabalho iremos focar apenas em um deles; o mais usual e importante, o Mtodo da

integrao direta.

7.4. Mtodo da Integrao direta Seja a viga AB representada na figura 52a. Aps a flexo, seu eixo torna-se

curvo. Suponha que "xy" seja um plano de simetria e que o carregamento atue nesse

plano. A linha ACB situa-se nesse plano.

(a) (b)

Figura 52 Linha elstica da viga

A equao da curvatura "K" de uma viga submetida a um momento fletor "M"

pode ser definida por:

62

EIMk ==

1

onde:

K = curvatura da viga deformada;

= raio de curvatura da viga deformada;

I = momento de inrcia da seo transversal em relao LN;

E = mdulo de elasticidade ou mdulo de Young;

EI = rigidez flexional.

Da figura 52, temos que o comprimento do arco ds :

dtgddsdstgd ==

= dds dsd

=

1

Igualando as duas equaes acima, temos que:

dsdk =

Na maioria das aplicaes prticas, as deflexes nas vigas so muito pequenas e

suas linhas elsticas muito aplainadas (pouca inclinao); sendo assim, o ngulo e a

flecha so muito pequenos.

Pode-se admitir, portanto que:

dxds ; dxdytg =

dxdy

=

Derivando a equao de em relao x, teremos:

2

2

dxyd

dxd

=

A partir da, teremos:

dxd

=

1

2

21dx

yd=

Resultando em:

2

2

dxyd

EIM

= (equao da linha elstica - v)

63

A equao acima a que permite obter a LE das vigas retas para qualquer tipo de

carregamento.

7.5. Conveno de sinais Na utilizao das equaes descritas anteriormente, importante adotarmos os

sinais de M, V ou q (carga), estabelecidos pela conveno utilizada no desenvolvimento

daquelas equaes. A ttulo de reviso, a figura 53a mostra esses esforos com seus

sentidos positivos. Alm disso, lembre-se de que o deslocamento positivo, v,

direcionado para cima e, como resultado, a inclinao positiva ser medida no sentido

anti-horrio a partir do eixo x positivo, quando este orientado para a direita. A razo

disso mostrada na figura 53b. Nesta figura aumentos positivos de dx e dv em x e v

geram aumento em no sentido anti-horrio. Por outro lado , se o eixo x positivo for

direcionado para a esquerda, ser positivo no sentido horrio, figura 53c.

Devemos destacar que, ao admitirmos que dv/dx muito pequeno, o

comprimento horizontal original do eixo da viga e o arco de sua linha elstica sero

praticamente idnticos. Conseqentemente, podemos admitir que os pontos da linha

elstica se desloquem apenas na direo vertical, e no na horizontal. J que o ngulo

de inclinao ser tambm muito pequeno, seu valor em radianos pode ser

determinado diretamente a partir de tg = dv/dx.

(a)

(b) (c)

Figura 53 Conveno de sinais positivos

7.6. Condies de contorno e de continuidade As constantes de integrao so determinadas pelos valores das funes

64

representativas do cisalhamento, do momento fletor, da inclinao ou dos

deslocamentos ocorrentes em um ponto particular da viga em que grandezas sejam

desconhecidas. Esses valores so chamados de condies de contorno. As condies de

contorno utilizadas com mais freqncia na soluo dos problemas de deslocamentos de

vigas ou eixos so listadas na figura 54.

Figura 54 Condies de contorno

Agora, se uma nica coordenada x no puder ser utilizada para expressar a

equao da inclinao da viga ou da linha elstica, deveremos utilizar as condies de

continuidade na avaliao de algumas das constantes de integrao. Por exemplo, para a

viga mostrada na figura 55, o ponto C, independente da equao descrita (AC ou CB),

deve apresentar o mesmo valor para flecha v, e inclinao .

Figura 55 Condies de continuidade

7.7. Processo de integrao - Resumo

A determinao da LE consiste em integrar a equao 22

dxyd

EIM

= .

(a) Antes da integrao, deve-se definir EI e M em funo de x;

(b) A primeira integrao fornece a inclinao, dy/dx, da tangente LE;

(c) A segunda integrao fornece a LE em funo de x: y=f(x).

65

Sendo a equao diferencial da LE de 2a ordem, aparecem na integrao,

algumas constantes.

Estas constantes so obtidas, atravs do conhecimento das flechas e rotaes da

LE, em pontos convenientemente escolhidos da viga.

Na anlise de vigas continuas, so necessrias, normalmente, duas ou mais

equaes para exprimir o diagrama de momentos fletores ao longo de toda a viga.

Para cada regio da viga haver uma correspondente equao da LE, que

fornecer duas constantes para cada uma dessas regies.

Estas constantes so determinadas atravs da condio de continuidade existente

entre pontos comuns de regies adjacentes, que possuem flechas e rotaes comuns.

7.8. Superposio de Efeitos A superposio de efeitos usada para se determinar a deflexo em vigas e eixos

submetidos a carregamentos complexos atravs da:

obteno da deflexo correspondente a cada carga, agindo separadamente;

soma das deflexes (contribuies) provocadas pelas cargas individuais.

Outro fator importante, que este mtodo pode ser usado quando:

a carga for linearmente relacionada deflexo;

a carga no mudar significativamente a geometria ou a configurao original

da viga.

Figura 56 Superposio de efeitos Flecha e inclinao de P igual a flecha e

inclinao de P1 + P2

Em resumo, a deflexo e/ou inclinao em ponto de uma viga ou eixo com

vrias cargas distintas igual soma algbrica das deflexes e inclinaes provocadas

pelas cargas agindo individualmente.

66

7.9. Tabelas de flechas e deflexes (inclinaes) Tabela de flechas e deflexes angulares para algumas vigas isostticas

( )2EI

a-La2P

=A ( )

24EI

43La2P 22 a

f

=

67

Tabela de reaes vinculares e flechas para algumas vigas hiperestticas

Exerccio

Para a viga ABC mostrada abaixo, de ao, com mdulo de elasticidade longitudinal E=

200 GPa, de seo macia circular, com dimetro nominal igual a 150 mm, determine as

flechas na extremidade do balano, ponto A, e no centro do vo, entre os apoios B e C.

VB VC

68

Reaes de apoio

kNVVM CCB 5,7042212290 ==+= kNVVV BB 5,2505,721290 ==++=

Equao do momento fletor EIMv =''

0 x 2 xxM 9)( =

2 x 3 515,16)2(5,259)( =+= xxxxM

3 x 5 1055,526)3)(3(2

12)2(5,259)( 2 +=+= xxxxxxxM

5 x 6 455,7)4(24)2(5,259)( +=+= xxxxxM

Equao da inclinao angular ='v (1a integrao)

0 x 2 15,412

9)( 22

cxcxx +=+=

2 x 3 25125,825125,16)( 2

2

cxxcxxx +=+=

3 x 5 310525,262310525,52

36)( 23

23

cxxxcxxxx ++=++=

5 x 6 44575,344525,7)( 2

2

cxxcxxx ++=++=

Equao da flecha v (2a integrao)

0 x 2 515,15135,4)( 3

3

cxcxcxcxxv ++=++=

2 x 3 625,2575,2622

513

25,8)( 2323

cxcxxcxcxxxv ++=++=

3 x 5 =+++= 732

105325,26

42)(

234

cxcxxxxv

735,5275,85,0 234 cxcxxx +++=

5 x 6 845,2225,1842

45375,3)( 23

23

cxcxxcxcxxxv +++=+++=

Condies de Contorno e Continuidade

1) Para x=2 v=0 12125052125,1 3 +==++ cccc

80226062225,25275,2 23 +==++ cccc

2) Para x=6 v=0 540468086465,22625,1 23 ==+++ cccc

69

3) Para x=2 (continuidade em )

51212251225,8125,4 22 =+=+ cccc

4) Para x=3 (continuidade em )

543233105325,26322351325,8 232 =++=+ cccc

5) Para x=5 (continuidade em )

250434545575,335105525,2652 223 +=++=++ cccc

145411052504151)543(1 +=+== cccccc

6) Para x=2 (continuidade em v)

6862251262225,25275,252125,1 233 +=+++=++ cccccccc

7) Para x=3 (continuidade em v)

+++=++ 73335,52375,835,063235,25375,2 23423 cccc

5,121733623 +=+ cccc

8) Para x=5 (continuidade em v)

+++=+++ 85455,22525,175355,52575,855,0 23234 cccc

5,937845735 ++=+ cccc

Resolvendo o Sistema Matemtico

++=++=++=+

+====+=+=

5,9378457355,121733623

6862251214541543251215404688022612125

cccccccccccc

cccccccccccc

5,397225,121716223802223 +=++=+ cccccc

270255,9378457355,9378457 ++=++= cccccccc

5,1272547270255,93754046457 +=+= ccccccc

5,1272514551275,1272514517 +++=++= cccccc

712284245,395,32326225,323267 ==+=+= cccccc

62801426 =+=c

2051711 ==c

12554713 =+=c

70

2812405 =+=c

125145204 ==c

5,1025,391427 =+=c

2105407508 ==c

Rigidez EI

E= 200x109 N/m2 e 4544

10485,264

15,065

mDI === EI= 4970 kN x m2

Flecha na ponta do balano

mmmv 63,500563,04970

2802005,1)0(3

==+

=

Flecha no meio do vo

mmmv 11,200211,04970

5,102412545,52475,845,0)4(234

==++

=

Aferio no programa Sap 2000

71

8. FLAMBAGEM DE COLUNAS 8.1. Introduo De forma bastante comum ocorre confuso na hora de diferenciar dois importantes

conceitos: equilbrio e estabilidade. Uma estrutura pode ser instvel estando em

equilbrio.

Em geral, o equilbrio de uma estrutura pode ser classificado como:

estvel;

instvel ou

neutro.

Um modo bastante simples de observar este fato analisar as trs situaes de

equilbrio apresentadas na figura 57.

Figura 57 Situaes de equilbrio

A primeira situao representa o equilbrio estvel. Nela, ao se aplicar uma fora

na esfera, que est sobre uma superfcie curva, acarretar um deslocamento tal qual, far

com que a esfera role sobre essa superfcie, oscilando em torno da posio de equilbrio

inicial. Na segunda situao, o equilbrio instvel. Uma fora promove um

deslocamento na esfera que rola sobre a superfcie, no existindo mais a possibilidade

de retorno a esta posio de equilbrio. Uma estrutura com este tipo de equilbrio no

suporta perturbaes de nenhuma natureza. Na terceira situao, o equilbrio neutro.

Uma fora qualquer promove um deslocamento na esfera, que rola sobre o plano em

que ela est apoiada, ocasionando uma nova posio de equilbrio, semelhante posio

original, porm em outro ponto qualquer do plano.

8.2. Carga crtica de barras comprimidas Seja uma barra prismtica comprimida, em equilbrio, como a mostrada na

figura 58.

Figura 58 Barra comprimida em equilbrio

72

Quando a fora tem valores pequenos, a barra permanece reta e o equilbrio

estvel. Quando ocorre um determinado aumento no valor desta fora, podem aparecer

flechas nas sees da barra levando a barra para um novo equilbrio estvel, como

representa a figura 59.

Figura 59 Barra comprimida em uma nova situao de equilbrio

A passagem do primeiro estado de equilbrio estvel para o outro, ocorre quando a

fora atinge um determinado valor que chamado de valor crtico. Nessa situao a

carga chamada de Carga Crtica e indicada por Pcrit.

Quando a carga est no valor crtico o equilbrio torna-se instvel.

Nos dimensionamentos das estruturas importante que este valor crtico no seja

alcanado. Com isto, se garante, alm da integridade, a estabilidade da estrutura.

Determinao da Carga Crtica

Na figura 59, se observa a ocorrncia de flechas nas sees da barra. Torna-se

possvel, ento escrever a equao da linha elstica para a barra.

2

2

dxvd

EIM

=

Para uma seo qualquer, com distncia igual a x, a partir do apoio A, o momento

fletor vale M = P. v que, substitudo na expresso acima, resulta:

022

2

2

=+=EIPv

dxvd

EIPv

dxvd

A expresso acima uma diferencial de segunda ordem cuja soluo :

+

= x

EIPsenCx

EIPCv 21 cos

onde C1 e C2 so constantes que devem ser determinadas de maneira a satisfazer

as condies de deslocamento das extremidades apoiadas; ou seja:

para x= 0 v= 0 e para x= l v= 0

Com x=0, se tem 001000cos0 12121 =+=+= CCCsenCC

Com este resultado temos a seguinte simplificao da equao:

73

= x

EIPsenCv 2

Com x= l, tem-se:

= l

EIPsenCv 2

Note-se, aqui, que para satisfazer a equao, independentemente do valor de C2, a

funo seno deve ser igual a zero. Esta funo nula quando o ngulo for igual a n, ou

seja:

nlEIP

=

onde n= 0,1,2,3.............

Assim, tem-se:

2

22222

lEInPnl

EIPnl

EIP ===

Note-se que n um nmero inteiro, positivo, qualquer entre 1 e . Para cada valor

de n existe um valor de P que muda o estado de equilbrio. Cada um destes valores

indicado por Pcrit.

Desta forma:

2

2

1lEIPn crit

==

2

242l

EIPn crit

==

muito importante observar que estas cargas crticas so as cargas que mudam o

estado de equilbrio. Assim, a carga crtica encontrada para n=1 muda o estado de

equilbrio de uma barra reta para uma barra que tem a forma da figura 60. Nesta

situao se diz que ocorreu a flambagem da barra por compresso.

Figura 60 Barra flambada com Pcrit para n=1

74

A carga crtica encontrada para n=2 muda o estado de equilbrio de uma barra que

tem a forma da figura 59 para uma que tem a forma da figura 61.

Figura 61 Barra flambada com Pcrit para n=2

Para as estruturas, em geral, se interessa descobrir a carga crtica para n=1.

Para extrapolar as equaes da carga crtica para barras com outros tipos de apoio,

devemos avaliar diferentemente (como ser visto adiante).

Equao de Eler

Toma-se, inicialmente a expresso da carga crtica para a flambagem de uma barra

prismtica, simplesmente apoiada em suas extremidades.

Lembrando-se, mais uma vez, que a carga crtica aquela que muda o estado de

equilbrio; assim, com cargas de menor valor, a barra permanece reta; e com cargas de

maior valor, ela flamba com a forma da figura 60, at que o valor seja igual ao da

encontrada para n=2.

Lembrando ainda, que esta carga uma fora normal de compresso, o mdulo da

tenso normal desenvolvida nos pontos das sees transversais da barra :

flcrit

crit AP

==

onde A a rea da seo transversal da barra.

A esta tenso se d o nome de Tenso de Flambagem que indicada por fl.

A tenso de flambagem , portanto a tenso que muda o estado de equilbrio da

barra, ou seja, com tenses iguais a este valor o equilbrio instvel.

Substituindo o valor da carga crtica, na expresso acima, tem-se:

2

2

AlEI

critfl ==

Sabendo-se que o raio de girao de uma seo igual a:

AIi

AIi == 2

Temos:

75

2

22

liE

fl

=

onde l o comprimento da barra e i uma propriedade de sua seo transversal.

Podemos ento escrever a expresso acima, como:

2

2

2

2

2

==

il

E

il

Eflfl

Nessa expresso o quociente l/i chamado de incide de esbeltez da barra e indicado

pela letra .

il

=

O ndice e esbeltez uma medida relativa entre o comprimento da barra e sua seo

transversal. Uma barra esbelta quando seu comprimento grande em relao a sua

seo transversal. Assim;

2

2

Efl =

Esta expresso conhecida como Equao de Eler.

Observaes

1) A tenso de flambagem um valor de tenso que, se atingido, muda o estado de

equilbrio da barra, isto ; a barra flamba.

2) Para que em uma barra no ocorra a flambagem, o valor de tenso desenvolvida

pela fora de compresso atuante, deve ser menor que o da tenso de flambagem.

Isto :

)(admissvelflAP =

onde fl (admissvel) pode ou no ter embutido em sua expresso, algum fator de segurana.

3) O estudo do raio de girao de grande importncia j que, se no existir

restrio, a barra tende a flambar de maneira que a seo gire em torno do eixo central

de inrcia de menor momento e portanto, de menor raio de girao.

4) A mudana na forma de apoio da barra, provoca alterao na soluo das

expresses, por causa do comprimento l, que na verdade o comprimento de

flambagem lfl. Esta alterao pode ser expressa por meio do ndice de esbeltez.

5) A frmula geral do ndice de esbeltez :

76

il

ikl fl==

onde k um coeficiente que depende da forma de apoio da barra. Por sua vez, d

origem ao comprimento fictcio lfl (ou comprimento de flambagem).

6) Os valores de k para diferentes formas de apoio so as mostradas na figura 62, e

comprovadas no ensaio da figura 63.

.

Figura 62 Coeficientes k para diferentes tipos de apoio

Figura 63 Ensaios para determinao do comprimento de flambagem ou comprimento

fictcio lfl

Todas as frmulas vistas at agora; baseadas no estudo proposto por Eler; fazem

referncia anlise elstica, onde as deformaes iniciais so iguais s deformaes

finais (sem resduos). Porm, outro tipo de flambagem pode ocorrer em nossas colunas

ou qualquer outra estrutura comprimida.

kfl=1 kfl=0,5 kfl=0,7 kfl=2

77

Estas colunas apresentam caractersticas inelsticas, j que ocorrem deformaes

residuais aps a sua solicitao (vide prximo item).

Quanto maior for o ndice de esbeltez da estrutura, maior o vis da carga ou tenso

crtica ser preconizada pela hiprbole de Eler, e conseqentemente apresentar-se como

flambagem elstica.

O ndice de esbeltez que leva ao incio da flambagem elstica (incio da hiprbole de

Eler) denominado ndice de esbeltez limite, tambm conhecido como lmbda

limite; e dado pela seguinte equao:

P

E

=lim

onde:

E o mdulo de elasticidade longitudinal do material

P a tenso limite de proporcionalidade (tenso mxima regida pela lei

de Hooke, e retira do grfico tenso x deformao)

Assim, toda coluna que apresentar ndice de esbeltez menor que o lmbda limite

estar sujeita flambagem inelstica (lim).

Flambagem Inelstica

A soluo de problemas referentes flambagem no elstica, inelstica ou

plstica, divide-se em trs itens:

1. Teoria do mdulo tangente (materiais que tem E bem definido por

exemplo os aos)

Toma-se para =0 fl = E, desenha-se ento uma curva a mo livre

unindo P a E que seja tangente a hiprbole de Euler e que, para =0, tenha

tangente paralela ao eixo dos .

2. Materiais sem limite de escoamento definido (por exemplo o a