ResMat II_Lista 02_Linha Elástica__2014_1_GABARITO(1).pdf
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ESCOLA DE ENGENHARIA
Lista de Exerccios
Disciplina: Resistncia dos Materiais II
Semestre 2014.1
Equao da Linha Elstica
Prof. Fernando Peroba
01) A partir da Equao Diferencial da Linha Elstica, determine o valor da flecha
mxima e da inclinao nos apoios. Dados: = 2,5 105. .
1. Equao diferencial.
= = 10 " = 10 22
= 52 2
33 + 1
=5
33
1
64 + 1 + 2
2. Condies de contorno.
i) = 0 e = 0 ii) = 5 e = 0
3. Clculo das constantes de integrao.
(0) =5
3(0)3
1
6(0)4 + 1(0) + 2
=
(0) =5
3(5)3
1
6(5)4 + 1(5)
=
4. Flecha mxima.
A flecha mxima onde a inclinao nula.
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
= 52 2
33
125
6= 0
Razes calculadas pelo Microsoft Mathematics:
= , = 1,83 (Fora do domnio) = 6,83 (Fora do domnio)
=5
33
1
64
125
6
=5
3(2,5)3
1
6(2,5)4
125
6(2,5)
= ,
5. Rotaes nos apoios.
= 52 2
33
125
6
= =1
2,5 105[5(0)2
2
3(0)3
125
6] = ,
02) A partir da Equao Diferencial da Linha Elstica, determine o valor da flecha
mxima e da inclinao nos apoios. Dados: = 2,0 105. .
1. Equao diferencial.
+ = 0 6 + 20 20 = 0 = = 0
" = 20 = 20 + 1 = 102 + 1 + 2
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
2. Condies de contorno.
i) = 0 e = 0 ii) = 6 e = 0
3. Clculo das constantes de integrao.
(0) = 10(0)2 + 1(0) + 2 =
(0) = 10(6)2 + 1(6) =
4. Flecha mxima.
A flecha mxima onde a inclinao nula.
= 20 + 60 = 0 =
= 102 + 60 = 10(3)
2 + 60(3) = +,
5. Rotaes nos apoios.
= 20 + 60 = = ,
03) A partir da Equao Diferencial da Linha Elstica, determine o valor da flecha
mxima e da inclinao nos apoios. Dados: = 6,0 105. .
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
Trecho I:
= 80 1
" = 80 1
= 402 + 1
1 =40
33 + 1 + 2
Trecho II:
= 40 + 240 2
" = 40 + 240 2
= 202 + 240 + 3
2 = 20
33 + 1202 + 3 + 4
Condies de contorno.
i) = 0 e = 0 ii) = 6 e = 0 iii) = 2 e 1
= 2
iv) = 2 e 1 = 2
Substituio das condies de contorno.
(0) =40
3 (0)3 + 1 (0) + 2
=
(0) = 20
3(6)3 + 120 (6)2 + 3 (6) + 4
+ =
402 + 1 = 202 + 240 + 3
40(2)2 + 1 = 20(2)2 + 240(2) + 3
= 40
33 + 1 =
20
33 + 1202 + 3 + 4
40
3(2)3 + 1(2) =
20
3(2)3 + 120(2)2 + 3(2) + 4
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
2(1 3) = 320 + 4
2 240 = 320 + 4 =
63 + 160 = 2880 = ,
1 (506,67) = 240
= ,
Equaes da linha elstica.
Trecho I:
1 = 402 266,67
1 =40
33 266,67
Trecho II:
2 = 202 + 240 506,67
2 = 20
33 + 1202 506,67 + 160
Flecha mxima.
= 0
i) Verificao da flecha mxima no primeiro trecho.
402 266,67 = 0 = 2,58 > 2
A posio desse mximo est fora do domnio do trecho. Portanto, a flecha mxima no
ocorre nele.
ii) Verificao da flecha mxima no segundo trecho.
202 + 240 506,67 = 0
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
= , = 9,27 (Fora do domnio)
Flecha mxima.
O valor encontrado para , que indica a posio da flecha mxima, deve ser substitudo na segunda equao.
2 = 20
33 + 1202 506,67 + 160
= 20
3(2,73)3 + 120(2,73)2 506.67(2,73) + 160
= ,
Inclinao nos apoios.
1 = 402 266,67
= 40(0)2 266,67
= , rad
2 = 202 + 240 506,67
= 20(6)2 + 240(6) 506,67
= , rad
04) A partir da Equao Diferencial da Linha Elstica, determine o valor da flecha
mxima e da inclinao nos apoios. Dados: = 2,0 105. .
Trecho I:
= 2 1
" = 2 1
= 2 + 1
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
1 =1
33 + 1 + 2
Trecho II:
= 2 12 " = 2 12 2
= 2 12 + 3
2 =1
33 62 + 3 + 4
Condies de contorno.
i) = 0 e = 0 ii) = 6 e = 0 iii) = 2 e 1
= 2
iv) = 2 e 1 = 2
Substituio das condies de contorno.
(0) =1
3 (0)3 + 1 (0) + 2
=
(0) =1
3 (6)3 6 (6)2 + 3 (6) + 4
+ =
2 + 1 = 2 12 + 3
(2)2 + 1 = (2)2 12(2) + 3
= 1
33 + 1 =
1
33 62 + 3 + 4
1
3(2)3 + 1(2) =
1
3(2)3 6(2)2 + 3(2) + 4
2(1 3) = 24 + 4
2 (24) = 24 + 4 =
63 24 = 144
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
=
1 (28) = 24
=
Equaes da linha elstica.
Trecho I:
1 = 2 + 4
1 =1
33 + 4
Trecho II:
2 = 2 12 + 28
2 =1
33 62 + 28 24
Flecha mxima.
= 0
i) Verificao da flecha mxima no primeiro trecho.
2 + 4 = 0 No existem razes reais para essa equao nesse trecho. Portanto, a flecha mxima no
ocorre nele.
ii) Verificao da flecha mxima no segundo trecho.
2 12 + 28 = 0 = , = 8,83 (Fora do domnio)
Flecha mxima.
O valor encontrado para , que indica a posio da flecha mxima, deve ser substitudo na segunda equao.
2 =1
33 602 + 388 240
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
=1
3(3,17)3 6(3,17)2 + 388(3,17) 24
= ,
Inclinao nos apoios.
1 = 2 + 4
= (0)2 + 8
= , rad
2 = 2 12 + 28
= (6)2 12(6) + 28
= , rad
05) A partir da Equao Diferencial da Linha Elstica, determine o valor da flecha
mxima e da inclinao nos apoios. Dados: = 6,0 105. .
+ = 4 + 12 + 8 + = 24
6 + 4 8 3 12 2 4 1 = 0
=24 + 24 + 4 6
4
= 11,5 = 12,5
Trecho I:
= 12,5 2
2
1" = 12,5 2
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
1 =
12,5
22
1
33 + 1
1 =12,5
63
1
124 + 1 + 2
Trecho II:
= 12.5 4( 1) 12( 2) 4( 2) ( 2)
2
2" = 22 + 4,5 + 20
2 =
2
33 +
4,5
22 + 20 + 3
2 = 2
124 +
4,5
63 +
20
22 + 3 + 4
Trecho III:
= 6 (olhando para a direita) " = 6 3
= 6 + 5 3 = 3
2 + 5 + 6
Condies de contorno.
i) = 0 e 1 = 0 ii) = 4 e 2 = 0 iii) = 2 e 1
= 2
iv) = 2 e 1 = 2 v) = 4 e 2
= 3
vi) = 4 e 2 = 3
Substituio das condies de contorno.
i)
(0) =12,5
6(0)3
1
12(0)4 + 1(0) + 2
=
ii)
(0) = 2
12(4)4 +
4,5
6(4)3 +
20
2(4)2 + 3(4) + 4
+ =
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
iii)
12,5
22
1
33 + 1 =
2
33 +
4,5
22 + 20 + 3
12,5
2(2)2
1
3(2)3 + 1 =
2
3(2)3 +
4,5
2(2)2 + 20(2) + 3
=
iv)
12,5
63
1
124 + 1 =
2
124 +
4,5
63 +
20
22 + 3 + 4
12,5
6(2)3
1
12(2)4 + 1(2) =
2
12(2)4 +
4,5
6(2)3 +
20
2(2)2 + 3(2) + 4
2(1 3) = 28 + 4
2 64
3= 28 + 4
=
Substituio.
43 +44
3=
496
3
=
v)
2
33 +
4,5
22 + 20 + 3 = 6 + 5
2
3(4)3 +
4,5
2(4)2 + 20(4) + 3 = 6(4) + 5
=
vi)
2
124 +
4,5
63 +
20
22 + 3 + 4 = 3
2 + 5 + 6
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
2
12(4)4 +
4.5
6(4)3 +
20
2(4)2 + 3(4) + 12 = 3(4)
2 + 5(4) + 6
388
3+ 4 (3 5) = 6
6 =388
3+ 4 (
148
3)
=
Substituio.
1 (45) =64
3
=
45 5 = 148
3
=
Equaes da linha elstica.
Trecho I:
1 =
12,5
22
1
33
71
3
1 =12,5
63
1
124
71
3
Trecho II:
2 =
2
33 +
4,5
22 + 20 45
2 = 2
124 +
4,5
63 +
20
22 45 +
44
3
Trecho III:
3 = 6 +
13
3
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
3 = 32 +
13
3 68
Flecha mxima.
= 0
i) Verificao da flecha mxima no primeiro trecho.
12.5
22
1
33
71
3 = 0
Razes calculadas pelo Microsoft Mathematics:
= 0 (mximo local) = 5,26 (Fora do domnio) = 13,48 (Fora do domnio)
A posio desse mximo est fora do domnio do trecho. Portanto, a flecha mxima no
ocorre nele.
ii) Verificao da flecha mxima no segundo trecho.
2
33 +
4.5
22 + 20 45 = 0
= , = 5,01 (Fora do domnio) = 6,41 (Fora do domnio)
iii) Verificao da flecha mxima no terceiro trecho.
6 +13
3= 0
= 0,72 (Fora do domnio)
Flecha mxima.
O valor encontrado para , que indica a posio da flecha mxima, deve ser substitudo na segunda equao.
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
2 = 2
124 +
4,5
63 +
20
22 45 +
44
3
= 2
12(2,06)4 +
4,5
6(2,06)3 +
20
2(2,06)2 45(2,06) +
44
3
= ,
Inclinao nos apoios.
1 =
12,5
22
1
33
71
3
=12,5
2(0)2
1
3(0)3
71
3
= , rad
2 =
2
33 +
4,5
22 + 20 45
= 2
3(4)3 +
4,5
2(4)2 + 20(4) 45
= , rad
06) Considere que no h reaes horizontais para a viga hiperesttica abaixo. Sabendo
que sua rigidez = 4,0 105. , utilize o mtodo da superposio (Tabela) para determinar as reaes de apoio nos engastes.
07) Dada a viga hiperesttica a seguir, pede-se determinar a flecha mxima e a inclinao
nos apoios. Aplique o mtodo da superposio por meio da utilizao da tabela de
equaes da linha elstica. Dados: = 8,0 105. .
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
08) Dada a viga hiperesttica a seguir, pede-se determinar as reaes de apoio. Aplique o
mtodo da superposio por meio da utilizao da tabela de equaes da linha elstica.
Dados: = 8,0 105. .
09) Dada a viga hiperesttica a seguir, pede-se determinar as reaes de apoio. Aplique o
mtodo da superposio por meio da utilizao da tabela de equaes da linha elstica.
Dados: = 8,0 105. .
10) Dada a viga hiperesttica a seguir, pede-se determinar as reaes de apoio. Aplique o
mtodo da superposio por meio da utilizao da tabela de equaes da linha elstica.
-
ESCOLA DE ENGENHARIA
A viga feita de ao temperado e revenido ASTM-A709 classe 690 e tem seo
transversal retangular de 100 120.
OBS: Em todas as questes acima, independentemente da soluo ser obtida por meio da
equao da linha elstica ou pelo mtodo da superposio (Tabela), faa uma lista de
todas as condies de contorno possveis envolvidas em cada caso.
BONS ESTUDOS!!!