ResMat II_Lista 02_Linha Elástica__2014_1_GABARITO(1).pdf

ESCOLA DE ENGENHARIA

Lista de Exerccios

Disciplina: Resistncia dos Materiais II

Semestre 2014.1

Equao da Linha Elstica

Prof. Fernando Peroba

01) A partir da Equao Diferencial da Linha Elstica, determine o valor da flecha

mxima e da inclinao nos apoios. Dados: = 2,5 105. .

1. Equao diferencial.

= = 10 " = 10 22

= 52 2

33 + 1

=5

33

1

64 + 1 + 2

2. Condies de contorno.

i) = 0 e = 0 ii) = 5 e = 0

3. Clculo das constantes de integrao.

(0) =5

3(0)3

1

6(0)4 + 1(0) + 2

=

(0) =5

3(5)3

1

6(5)4 + 1(5)

=

4. Flecha mxima.

A flecha mxima onde a inclinao nula.


= 52 2

33

125

6= 0

Razes calculadas pelo Microsoft Mathematics:

= , = 1,83 (Fora do domnio) = 6,83 (Fora do domnio)

=5

33

1

64

125

6

=5

3(2,5)3

1

6(2,5)4

125

6(2,5)

= ,

5. Rotaes nos apoios.

= 52 2

33

125

6

= =1

2,5 105[5(0)2

2

3(0)3

125

6] = ,



1. Equao diferencial.

+ = 0 6 + 20 20 = 0 = = 0

" = 20 = 20 + 1 = 102 + 1 + 2


2. Condies de contorno.

i) = 0 e = 0 ii) = 6 e = 0

3. Clculo das constantes de integrao.

(0) = 10(0)2 + 1(0) + 2 =

(0) = 10(6)2 + 1(6) =

4. Flecha mxima.

A flecha mxima onde a inclinao nula.

= 20 + 60 = 0 =

= 102 + 60 = 10(3)

2 + 60(3) = +,

5. Rotaes nos apoios.

= 20 + 60 = = ,




Trecho I:

= 80 1

" = 80 1

= 402 + 1

1 =40

33 + 1 + 2

Trecho II:

= 40 + 240 2

" = 40 + 240 2

= 202 + 240 + 3

2 = 20

33 + 1202 + 3 + 4

Condies de contorno.

i) = 0 e = 0 ii) = 6 e = 0 iii) = 2 e 1

= 2

iv) = 2 e 1 = 2

Substituio das condies de contorno.

(0) =40

3 (0)3 + 1 (0) + 2

=

(0) = 20

3(6)3 + 120 (6)2 + 3 (6) + 4

+ =

402 + 1 = 202 + 240 + 3

40(2)2 + 1 = 20(2)2 + 240(2) + 3

= 40

33 + 1 =

20

33 + 1202 + 3 + 4

40

3(2)3 + 1(2) =

20

3(2)3 + 120(2)2 + 3(2) + 4


2(1 3) = 320 + 4

2 240 = 320 + 4 =

63 + 160 = 2880 = ,

1 (506,67) = 240

= ,

Equaes da linha elstica.

Trecho I:

1 = 402 266,67

1 =40

33 266,67

Trecho II:

2 = 202 + 240 506,67

2 = 20

33 + 1202 506,67 + 160

Flecha mxima.

= 0

i) Verificao da flecha mxima no primeiro trecho.

402 266,67 = 0 = 2,58 > 2

A posio desse mximo est fora do domnio do trecho. Portanto, a flecha mxima no

ocorre nele.

ii) Verificao da flecha mxima no segundo trecho.

202 + 240 506,67 = 0


= , = 9,27 (Fora do domnio)

Flecha mxima.

O valor encontrado para , que indica a posio da flecha mxima, deve ser substitudo na segunda equao.

2 = 20

33 + 1202 506,67 + 160

= 20

3(2,73)3 + 120(2,73)2 506.67(2,73) + 160

= ,

Inclinao nos apoios.

1 = 402 266,67

= 40(0)2 266,67

= , rad

2 = 202 + 240 506,67

= 20(6)2 + 240(6) 506,67

= , rad



Trecho I:

= 2 1

" = 2 1

= 2 + 1


1 =1

33 + 1 + 2

Trecho II:

= 2 12 " = 2 12 2

= 2 12 + 3

2 =1

33 62 + 3 + 4


i) = 0 e = 0 ii) = 6 e = 0 iii) = 2 e 1

= 2

iv) = 2 e 1 = 2


(0) =1

3 (0)3 + 1 (0) + 2

=

(0) =1

3 (6)3 6 (6)2 + 3 (6) + 4

+ =

2 + 1 = 2 12 + 3

(2)2 + 1 = (2)2 12(2) + 3

= 1

33 + 1 =

1

33 62 + 3 + 4

1

3(2)3 + 1(2) =

1

3(2)3 6(2)2 + 3(2) + 4

2(1 3) = 24 + 4

2 (24) = 24 + 4 =

63 24 = 144


=

1 (28) = 24

=


Trecho I:

1 = 2 + 4

1 =1

33 + 4

Trecho II:

2 = 2 12 + 28

2 =1

33 62 + 28 24

Flecha mxima.

= 0


2 + 4 = 0 No existem razes reais para essa equao nesse trecho. Portanto, a flecha mxima no

ocorre nele.


2 12 + 28 = 0 = , = 8,83 (Fora do domnio)

Flecha mxima.


2 =1

33 602 + 388 240


=1

3(3,17)3 6(3,17)2 + 388(3,17) 24

= ,


1 = 2 + 4

= (0)2 + 8

= , rad

2 = 2 12 + 28

= (6)2 12(6) + 28

= , rad



+ = 4 + 12 + 8 + = 24

6 + 4 8 3 12 2 4 1 = 0

=24 + 24 + 4 6

4

= 11,5 = 12,5

Trecho I:

= 12,5 2

2

1" = 12,5 2


1 =

12,5

22

1

33 + 1

1 =12,5

63

1

124 + 1 + 2

Trecho II:

= 12.5 4( 1) 12( 2) 4( 2) ( 2)

2

2" = 22 + 4,5 + 20

2 =

2

33 +

4,5

22 + 20 + 3

2 = 2

124 +

4,5

63 +

20

22 + 3 + 4

Trecho III:

= 6 (olhando para a direita) " = 6 3

= 6 + 5 3 = 3

2 + 5 + 6


i) = 0 e 1 = 0 ii) = 4 e 2 = 0 iii) = 2 e 1

= 2

iv) = 2 e 1 = 2 v) = 4 e 2

= 3

vi) = 4 e 2 = 3


i)

(0) =12,5

6(0)3

1

12(0)4 + 1(0) + 2

=

ii)

(0) = 2

12(4)4 +

4,5

6(4)3 +

20

2(4)2 + 3(4) + 4

+ =


iii)

12,5

22

1

33 + 1 =

2

33 +

4,5

22 + 20 + 3

12,5

2(2)2

1

3(2)3 + 1 =

2

3(2)3 +

4,5

2(2)2 + 20(2) + 3

=

iv)

12,5

63

1

124 + 1 =

2

124 +

4,5

63 +

20

22 + 3 + 4

12,5

6(2)3

1

12(2)4 + 1(2) =

2

12(2)4 +

4,5

6(2)3 +

20

2(2)2 + 3(2) + 4

2(1 3) = 28 + 4

2 64

3= 28 + 4

=

Substituio.

43 +44

3=

496

3

=

v)

2

33 +

4,5

22 + 20 + 3 = 6 + 5

2

3(4)3 +

4,5

2(4)2 + 20(4) + 3 = 6(4) + 5

=

vi)

2

124 +

4,5

63 +

20

22 + 3 + 4 = 3

2 + 5 + 6


2

12(4)4 +

4.5

6(4)3 +

20

2(4)2 + 3(4) + 12 = 3(4)

2 + 5(4) + 6

388

3+ 4 (3 5) = 6

6 =388

3+ 4 (

148

3)

=

Substituio.

1 (45) =64

3

=

45 5 = 148

3

=


Trecho I:

1 =

12,5

22

1

33

71

3

1 =12,5

63

1

124

71

3

Trecho II:

2 =

2

33 +

4,5

22 + 20 45

2 = 2

124 +

4,5

63 +

20

22 45 +

44

3

Trecho III:

3 = 6 +

13

3


3 = 32 +

13

3 68

Flecha mxima.

= 0


12.5

22

1

33

71

3 = 0

Razes calculadas pelo Microsoft Mathematics:

= 0 (mximo local) = 5,26 (Fora do domnio) = 13,48 (Fora do domnio)

A posio desse mximo est fora do domnio do trecho. Portanto, a flecha mxima no

ocorre nele.


2

33 +

4.5

22 + 20 45 = 0

= , = 5,01 (Fora do domnio) = 6,41 (Fora do domnio)

iii) Verificao da flecha mxima no terceiro trecho.

6 +13

3= 0

= 0,72 (Fora do domnio)

Flecha mxima.



2 = 2

124 +

4,5

63 +

20

22 45 +

44

3

= 2

12(2,06)4 +

4,5

6(2,06)3 +

20

2(2,06)2 45(2,06) +

44

3

= ,


1 =

12,5

22

1

33

71

3

=12,5

2(0)2

1

3(0)3

71

3

= , rad

2 =

2

33 +

4,5

22 + 20 45

= 2

3(4)3 +

4,5

2(4)2 + 20(4) 45

= , rad

06) Considere que no h reaes horizontais para a viga hiperesttica abaixo. Sabendo

que sua rigidez = 4,0 105. , utilize o mtodo da superposio (Tabela) para determinar as reaes de apoio nos engastes.

07) Dada a viga hiperesttica a seguir, pede-se determinar a flecha mxima e a inclinao

nos apoios. Aplique o mtodo da superposio por meio da utilizao da tabela de

equaes da linha elstica. Dados: = 8,0 105. .


08) Dada a viga hiperesttica a seguir, pede-se determinar as reaes de apoio. Aplique o

mtodo da superposio por meio da utilizao da tabela de equaes da linha elstica.

Dados: = 8,0 105. .



Dados: = 8,0 105. .




A viga feita de ao temperado e revenido ASTM-A709 classe 690 e tem seo

transversal retangular de 100 120.

OBS: Em todas as questes acima, independentemente da soluo ser obtida por meio da

equao da linha elstica ou pelo mtodo da superposio (Tabela), faa uma lista de

todas as condies de contorno possveis envolvidas em cada caso.

BONS ESTUDOS!!!

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