Resolução da Prova 1 de FF-207

(Prova feita em casa)

Questão Única

Considere duas massas e ligadas por um fio de comprimento

inextensível de comprimento . A massa da esquerda está conectada

a uma mola de constante elástica e comprimento de repouso , que por

sua vez está fixa na parede à esquerda. A polia passa por uma roldana,

que está a uma distância da parede. Para esse sistema responda às

seguintes questões:

a) O que são graus de liberdade? Com base na sua definição, diga

quantos graus de liberdade tem este problema.

b) Verifique que as coordenadas e (indicadas na figura) não são

variáveis independentes. Nestas condições, quantas são as

equações de vínculo que devemos escrever para termos apenas

coordenadas generalizadas independentes? Justifique sua resposta.

c) Escreva as equações de vínculo e classifique-as.

d) Obtenha a aceleração de cada massa através do Princípio de

D’Alembert.

e) Escreva a função de Lagrange, , em função das coordenadas e

, suas derivadas, e do tempo.

f) Utilizando as equações de vínculo (item c), reescreva a função de

Lagrange em termos da coordenadas independentes, suas

derivadas, e do tempo. Obtenha a aceleração de cada massa pela

aplicação da equação de Euler-Lagrange.

g) Os vínculos podem ser escritos em formato que justifique a

aplicação dos multiplicadores de Lagrange? Em caso afirmativo,

faça-o. Determine as acelerações das massas pelo método dos

Multiplicadores de Lagrange, descubra o valor dos multiplicadores e

interprete-os fisicamente.

SOLUÇÃO:

a) Os graus de liberdade são as variáveis independentes capazes de

descrever o movimento do sistema de maneira única. Então, o

número de graus de liberdade é a quantidade mínima de variáveis

independentes que determinam a configuração do sistema. Com

base nessa definição, temos que o sistema analisado tem apenas 1

grau de liberdade, ou seja, é necessária apenas uma coordenada

generalizada independente para descrever o sistema.

b) É fácil ver que as coordenadas e não são variáveis

independentes, pois se aumentarmos , aumenta e se

diminuirmos , também diminui. Isso ocorre devido ao fio que

liga as duas massas ser inextensível. Daí, podemos tirar a seguinte

igualdade:

Como temos 2 variáveis inicialmente para descrever o sistema e

temos apenas 1 coordenada generalizada independente, devemos

ter apenas uma equação de vínculo, pois deve valer:

c) A equação de vínculo é:

Como podemos escrevê-la como:

Temos que o vínculo é do tipo holonômico. Também, como não há

uma dependência explícita do tempo, então o vínculo é do tipo

escleronômico.

d) De acordo com o Princípio de D’Alembert, temos que:

Onde é a resultante das forças aplicadas na partícula ,

é a

derivada temporal do momento linear de cada partícula e é o

seu deslocamento virtual. É importante observar que o somatório

“corre” sobre a quantidade de partículas do sistema e não sobre as

coordenadas generalizadas. Assim, temos:

Para a massa :

Para a massa :

Da equação de vínculo, temos:

Substituindo na eq. (2), temos:

A eq. (3) representa a equação de movimento forçado externa do

tipo degrau sem amortecimento. Então, a solução completa da EDO

é a soma da solução complementar (homogênea) com a solução

particular.

Solução complementar:

Onde

.

Solução particular:

Assim, a solução completa é:

As constantes e são encontradas com as condições iniciais.

Com isso, temos:

Resolvendo para condições iniciais gerais como:

Temos:

Assim, encontramos:

Então, temos as seguintes acelerações:

Onde

.

e) Temos como energia cinética total:

E como energia potencial:

Então, a função Lagrangeana é:

f) Da equação de vínculo, segue que:

Substituindo na eq.(4), temos:

Daí, temos que:

Então, utilizando a equação de Euler-Lagrange, temos:

Onde e .

Identicamente a resposta encontrada anteriormente (equação 3).

Assim, teremos a mesma solução para as mesmas condições iniciais,

idêntico ao feito no item d.

g) Sim. Para usarmos o método dos Multiplicadores de Lagrange

devemos reescrever a equação de vínculo como:

Ou dividindo tudo por :

Onde varia sobre as coordenadas generalizadas e

varia sobre as equações de vínculo. Assim, temos e .

Da equação de vínculo, temos:

Daí, tiramos que:

Assim, teremos apenas um multiplicador de Lagrange, .

Com a inclusão dos multiplicadores de Lagrange, as equações de

movimento são dadas por:

Da eq. (4) encontrada no item e, temos:

Então, temos o seguinte sistema:

Somando-se as equações e utilizando as equações de vínculo, temos

o mesmo resultado encontrado nos itens anteriores:

Resolvendo para condições iniciais gerais como:

Temos as seguintes acelerações:

Onde

.

Substituindo na segunda equação do sistema, encontramos que:

Interpretando fisicamente, temos que o valor de é igual a menos o

valor da tensão (é mais fácil de ser visualizado através da segunda

equação do sistema).

De fato, esse resultado é coerente com a teoria, pois temos que:

Onde é a k-ésima força generalizada de vínculo, i.e., das forças

não conservativas. Analisando para , temos: