RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

Equações do 2º grau

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x x x x3 1 6 2 1 a) 3 8 3 02x x

EQUAÇÕES DO 2º GRAU

A forma CANÓNICA das equações de grau 2 é: 02 cbxax

A equação é do 2º grau? Indica o valor de a , b e c.

SIM

b) 5 3 2 3 3 12 2 2x x x x x 2 4 0x NÃO

a Coeficiente de x2Nota: a não pode ser igual a zero

b Coeficiente de xc Termo independente

Uma equação é de grau 2 se, depois de simplificada, o maior expoente da variável for 2.

a = 3 b = 8 c = - 3

a = 0 Por isso não é uma equação de grau 2b = 2 ; c = 4

EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS

Uma equação do 2º grau pode ser reduzida a uma expressão do

tipo ax bx c com a2 0 0

* Se b = 0 obtemos a expressão ax c2 0

Equação do 2º grau incompleta porque b = 0 .

* Se c = 0 obtemos a expressão ax bx2 0

Equação do 2º grau incompleta porque c = 0 .

* Se b = 0 e c = 0 obtemos a expressão ax2 0

Equação do 2º grau incompleta porque b= 0 e c = 0 .

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

1ª PARTE : Equações do 2º grau incompletas: b=0

Observa o triângulo rectângulo e determina o valor de x.

12 cm15 cm

x cm

Pelo Teorema de Pitágoras sabemos que

15 122 2 2 x

225 144 225 144 812 2 2x x x

Equação do 2º grau incompleta porque b= 0. Não existe termo em x

x x x2 81 81 9 Conjunto Solução da equação = { -9 , 9}

Resposta: x é 9 porque o valor de um comprimento não pode ser negativo

Reduz as equações a expressões do tipo

Indica o valor de a , b e c e determina a solução.

ax bx c com a2 0 0

a) 3 2 1 242x x x x

3 6 24

2 18 0

2 2

2

x x x x

x

1º reduzir à forma canónica ax bx c2 0

a = 2 ; b = 0 ; c = -18

2 1818

22 2x x

x x x2 9 9 32º Resolver a equação e indicar o conjunto solução.

Conjunto solução = { - 3 , 3 }

b) 5 2 3 22x x x1º reduzir à forma canónica ax bx c2 0

10 5 3 2 02x x x

5 15 02x a = 5 ; b = 0 ; c = 15

5 152x

x x2 215

53

2º resolver a equação

Equação IMPOSSÍVEL, não há nenhum nº real cujo quadrado seja negativo.

x 3

IMPOSSÍVEL

2ª PARTE : Equações do 2º grau incompletas: c =0

7 28 02x x a = 7 ; b = 28 ; c = 0

1º colocar a incógnita em evidência x x7 28 0

2º Aplicar a lei do anulamento do produto

x x0 7 28 0

3º Encontrar as soluções x x028

7

x x0 4

Conjunto solução = { -4 , 0 }

Resolve a Equação

x xx

2

3

3 4

22 3

a = 2 ; b = 3 ; c = 0

1º Reduzir à forma canónica

x x

x2

3

3

2

12

22 6

(2) (3) (3) (6) (6)

2 9 36 12 362x x x

2 3 02x x

x x2 3 0

x x0 2 3 0

x x03

2

2º colocar a incógnita em evidência

3º Aplicar a lei do anulamento do produto

3ª PARTE : Equações do 2º grau COMPLETAS

Fórmula Resolvente

Dada uma equação do tipo ax bx c com a2 0 0

Podemos encontrar as soluções, utilizando a seguinte fórmula:

xb b a c

a

2 4

2

Fórmula Resolvente

À expressão que está dentro da raiz quadrada chama-se BINÓMIO DISCRIMINANTE e representa-se por ( delta )

b a c2 4

Resolve a Equação

2 3 02x x a = 2 ; b = 1 ; c = - 3

x1 1 4 2 3

2 2

2

x1 1 24

4

x1 5

4x x

1 5

4

1 5

4

x x x x6

4

4

4

3

21 Duas Soluções

xb b ac

a

2 4

2

Conclusão: Se o Binómio Discriminante é positivo, a equação tem duas soluções.

Resolve a Equação

x x2 3 5 0 a = 1 ; b = - 3 ; c = 5

x3 3 4 1 5

2 1

2

xb b ac

a

2 4

2

x3 9 20

2

x3 11

2IMPOSSÍVEL, a equação não tem soluções

Conclusão: Se o Binómio Discriminante é negativo, a equação não tem soluções.

x

12 0

4

Resolve a Equação

2 28 12 102x x 1º Reduzir à forma canónica

2 12 18 02x x a = 2 ; b = - 12 ; c = 18

xb b ac

a

2 4

2

x

12 12 4 2 18

2 2

2

x12 144 144

4

x x12 0

4

12 0

4x x 3 3

3 é uma raiz dupla da equação

Conclusão: Se o Binómio Discriminante é zero, a equação tem uma solução.

Aplicação das equações do 2º grau.

Determina o perímetro do triângulo rectângulo.

( 2x+1 ) cm

( x+3 ) cm ( 3x+2 ) cm

Pelo Teorema de Pitágoras:

3 2 2 1 32 2 2x x x

9 12 4 4 4 1 6 92 2 2x x x x x x

4 2 6 02x x

x

2 2 4 4 6

2 4

2

x x2 10

8

2 10

8x x

3

21

33

22 2 5

, cm

x não pode ser 3

2

3 1 2 5 cm 1 3 4 cm

2 1 1 3 cm

Perímetro = 5+3+4 =12 cm

FIM

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