Resolução de Questão

José Arnaldo de Assis Pina Neto

8 de maio de 2015

Problema:

(PUC) Com base no gráfico da função y = f(x), qual é o valor de f(f(f(1)))?

x

y

−3 3 6

3

5

Figura 1: Figura da função y = (x)

Resolvendo:

Para que resolvamos o problema, é necessário seguir alguns passos básicos.São eles:

1. Identificar as condições de contorno;

2. Desenvolver a cadeia de funções;

3. Encontrar a equação da reta em declive;

4. Aplicar 3 em 2.

1

Identificando as Condições de Contorno

Identificamos as condições de contorno para a função y = f(x). Isto é feitoapenas observando o gráfico acima. Acompanhe:

f(x) =

y = 0 se x = −3y = 3 se x ≥ 0 e x < 3y = 5 se x = 3y = 0 se x = 6

Beleza. Agora desenvolvemos a cadeia de funções com base nas condiçõesde contorno acima.

Desenvolvendo cadeia de funçõesTemos, então, a função composta:

f(f(f(1))) = ?

Esta parte parece complicada mas é simples. Basta você começar a resolverde dentro para fora. Observe que nós sabemos quando vale f(1). Nas nossascondições acima, temos que 1 está entre 0 e 3 (lembre-se que trabalhamos semprecom x dentro de f(), nunca y, pois y já é o próprio f(x)). Assim,

f(1) = 3

Disto, f(f(f(1))) torna-se:

f(f(3)) = ?

Entende? E aí continuamos: sabemos quem é f(3). Das nossas condições,ele vale 5. Então f(f(3)) torna-se:

f(5) = ?

Beleza. Neste ponto a gente pára. Paramos porque não temos certeza dequem é f(5). Nós sabemos que ele está contido em uma reta em declive, comomostra a figura, mas não temos um valor exato para lhe dar.

O procedimento, então, é encontrar a equação desta reta, a fim de que pos-samos encontrar quanto vale f(5). O que nos leva ao próximo passo...

2

Encontrar a equação da reta em decliveTemos, dos nossos conhecimentos algébricos, que a equação da reta se dá em

2 fases: 1) A angulação m, entre a reta e o plano x, e a passagem dos pontos xe y. Temos então:

m =yfinal − yinicialxfinal − xinicial

e y − yreta = m(x− xreta)

Perceba como a segunda depende da primeira.

Sabendo disso, procedemos em encontrarm. Fazemos isto pegando os pontosque sabemos que a reta passa. No caso, P1 = (3, 5) e P2 = (6, 0):

m =yfinal − yinicialxfinal − xinicial

m =0− 5

6− 3

m =−5

3= −5

3

E agora a passagem dos pontos...

Quando queremos determinar um ponto em uma reta, aplicamos à equaçãoum ponto anterior ao que queremos. No caso, nós temos P1 e P2. P2 é pos-terior ao ponto que queremos encontrar. Temos esta conclusão observando suacomponente x, no caso, 6. Lembrando que queremos encontrar um ponto quetoca na reta em declive de coordenadas P? = (5, Y ). Assim, 5 < 6, portanto P2

é posterior ao que queremos. O que nos leva a utilizar P1:

y − yreta = m(x− xreta)

y − 5 =

(−5

3

)(x− 3)

y − 5 =−5x+ 15

3

y =

(−5x+ 15

3

)+ 5

y =−5x+ 30

3

y =−5x

3+ 10

3

Uma vez que nós temos a equação da reta, só falta calcular f(5), o que nosleva ao último passo...

Aplicar 3 em 2

Se y = f(x) e y =−5x

3+ 10, então f(x) =

−5x

3+ 10, beleza?

Sabendo disto, queremos calcular f(5). Que fica:

f(x) =−5x

3+ 10

f(5) =−5× 5

3+ 10

f(5) =−25

3+ 10

f(5) =−25 + 30

3

f(5) =−25 + 30

3

f(5) =5

3

Resposta final:5

3.

4