Resolução- Gilberto de Andrade

GILBERTO DE ANDRADE MARTINS

ESTATSTICA GERAL E APLICADA

MANUAL DO PROFESSOR

MATERIAL DE SITE

SO PAULO EDITORA ATLAS S.A. 2005

SUMRIO2 Estatstica Descritiva 3 Probabilidades 4 Distribuies de Probabilidades de Variveis Aleatrias Discretas 5 Distribuies de Probabilidades de Variveis Aleatrias Contnuas 6 Distribuies Amostrais 7 Inferncia Estatstica: Estimativas por Ponto e Intervalos de Confiana 8 Amostragem 9 Inferncia Estatstica 10 Anlise da Varincia: Anova 11 Teste Qui-Quadrado e Outras Provas No-Paramtricas 12 Correlaes entre Variveis 13 Regresso Linear Simples 14 Regresso Linear Mltipla

Solues e Respostas Captulo 2 Estatstica Descritiva SRIE I 2.1Oceano rea (milhes 2 km ) Antrtico 36,8 rtico 23,2 Atlntico 199,4 ndico 137,9 Pacfico 342,7

rea dos Oceanos (em colunas) 400 350 300 250 200 150 100 50 0 Antrtico rtico Atlntico Oceano ndico Pacfico

rea (milhes km )

2

rea dos Oceanos (em barras) Pacfico Oceanos ndico Atlntico rtico Antrtico 0 50 100 150 200 2502

300

350

400

rea (milhes km )

rea dos Oceanos (em pizza )

5%

3%

Antrtico rtico 27% Atlntico ndico Pacfico

46%

19%

Captulo 2 Estatstica Descritiva

1

2.2Natureza Dvida externa lquida Governo federal e Bacen Governos estaduais e municipais Empresas estatais Valor 111.631 248.292 167.850 13.324

Dvida lquida total do setor pblico de maio de 2000 (em colunas) 300000 250000 Valor em $ 200000 150000 100000 50000 0 Dvida externa lquida Governo federal e Governos estaduais Empresas estatais Bacen e municipais Natureza

Dvida lquida total do setor pblico de maio de 2000 (em barras)

Empresas estatais Governos estaduais e municipais Governo federal e Bacen Dvida externa lquida 0 50.000 100.000 150.000 Valor em $ 200.000 250.000 300.000

Natureza

Dvida lquida total do setor pblico de maio de 2000 (em pizza )

2% 31%

21%

Dvida externa lquida Governo federal e Bacen Governos estaduais e municipais Empresas estatais

46%


2

2.3 a) Amplitude: r = 97 33 = 64 No de intervalos: k 1 + 3,22 * log50 7 Tamanho do intervalo: h 64 / 7 10Classe 1 2 3 4 5 6 7 Somas Intervalos 30 40 50 60 70 80 90 40 50 60 70 80 90 100 Fi 4 6 8 13 9 7 3 50 fi 0,08 0,12 0,16 0,26 0,18 0,14 0,06 1 % 8 12 16 26 18 14 6 100 Fac 4 10 18 31 40 47 50 fac 0,08 0,20 0,36 0,62 0,80 0,94 1,00 %ac 8 20 36 62 80 94 100 xi 35 45 55 65 75 85 95

b)Histograma de Freqncia Absoluta 14 12 10 Fi 8 6 4 2 0 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 Intervalos de Classes

Histograma de Freqncia Relativa 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 Intervalos de Classes fi

c) 60

70.

d) 19 alunos. e) x1 = 35.


3

2.4 a) Amplitude: r = 190 151 = 39 b) No de intervalos: k 1 + 3,22 * log100 8 c) Tamanho do intervalo: h 39 / 8 5 d) e e)Classe 1 2 3 4 5 6 7 8 Intervalos 151 156 161 166 171 176 181 186 156 161 166 171 176 181 186 191 Fi 4 4 11 33 17 17 9 5 100 fi 0,04 0,04 0,11 0,33 0,17 0,17 0,09 0,05 1 % 4 4 11 33 17 17 9 5 100 Fac 4 8 19 52 69 86 95 100 fac 0,04 0,08 0,19 0,52 0,69 0,86 0,95 1,00 %ac 4 8 19 52 69 86 95 100 xi 153,5 158,5 163,5 168,5 173,5 178,5 183,5 188,5

f)Histograma de Freqncia Absoluta 35 30 25 Fi 20 15 10 5 0 151 156 156 161 161 166 166 171 171 176 176 181 181 186 186 191

Intervalos de Classes

Histograma de Freqncia Relativa 0,35 0,3 0,25 0,2 fi 0,15 0,1 0,05 0 151 156 156 161 161 166 166 171 171 176 176 181 181 186 186 191

Intervalos de Classes

g) A menor altura 1,51 m, enquanto a maior altura atinge 1,90 m. Entre 1,66 m e 1,70 m, encontram-se 33% do total. A quantidade de pessoas altas maior do que a proporo de pessoas com estaturas mais baixas 48% = 17% + 17% + 9% + 5% (tm alturas superiores a 1,70 m), enquanto 19% = 11% + 4% + 4% possuem alturas inferiores a 1,65m.


4

SRIE II 2.6 xmdia = notas / no de notas = 35,5 / 7 = 5,07, ou seja, aluno APROVADO. 2.7 xmdia = defeitos / no de computadores = (15 * 0 + ... + 6 * 6) / 100 = 2,21 2.8 a) xmdia = ( xi * Fi) / n = (3 * 2 + ...+ 12 * 3) / 22 = 6,82 b) xmdia = ( xi * Fi) / n = (10 * 5 + ... + 13 * 6) / 29 = 11,59 c) xmdia = ( xi * Fi) / n = (2 * 3 + ... + 6 * 3) / 28 = 4 d) xmdia = ( xi * fi) = (7 * 1/16 + ... + 11 * 5/16) = 9,03 e) xmdia = ( xi * Fi) / n = (85 * 5 + ... + 90 * 5) / 24 = 87,88 f) 2.9 Mdia aritmtica dos dados no agrupados = observaes / n = 3230 / 50 = 64,60. Mdia aritmtica dos dados agrupados= ( xi * Fi) / n = (4 * 35 + ... + 3 * 95) / 50 = 65. Diferena: 64,60 65 = 0,4. 2.10 Mdia aritmtica dos dados no agrupados = observaes / n = 17138 / 100 = 171,38. Mdia aritmtica dos dados agrupados = ( xi * Fi) / n = (4 * 153,5 + ... + 5 * 188,5) / 100 = 171,85. Diferena: 171,38 171,85 = 0,47 m. xmdia = ( xi * Fi) / n = (5 * 18 + ... + 17 * 12) / 175 = $ 1.061,00


5

SRIE III 2.12 I) xmediana (n mpar ) = 4 II) xmediana (n par) = 5 III) xmediana (n mpar) = 8 IV) xmediana (n par) = 87 2.13 I) xmediana (n par ) = 4 II) xmediana (n mpar) = 77 III) xmediana (n par) = 13 IV) xmediana (n mpar) = 235 2.14 I) n / 2 = 29 / 2 = 14,5 xmediana = lMd + [(n / 2 f) * h] / FMd = 5 + [(14,5 8) * 2] / 8 = 6,63 II) n / 2 = 93 / 2 = 46,5 xmediana = lMd + [(n / 2 f) * h] / FMd = 28 + [(46,5 43) * 3] / 30 = 28,35 2.15 I) Maior nmero de observaes iguais, Mo = 7 II) Maior nmero de observaes iguais, Mo = 43 2.16 I) Maior nmero de observaes iguais, Mo = 80 II) Maior nmero de observaes iguais, Mo = 3,5 2.17 I) Maior nmero de observaes iguais 13 16 Mo = lMo + [1 / (1 + 2)] * h = 13 + [5 / (5 + 5)] * 3 = 14,5 II) Maior nmero de observaes iguais 20 30 Mo = lMo + [1 / (1 + 2)] * h = 20 + [5 / (5 + 3)] * 10 = 26,25


6

2.18 I) i * n / 10 = 6 * 35 / 10 = 21 Di = lDi + [(i * n / 10 f) * h] / FDi = 8 + [(21 15) * 2] / 15 = 8,08, ou seja, 60% dos valores da amostra esto abaixo do valor 8,08 i * n / 100 = 65 * 35 / 100 = 22,75 Pi = lPi + [(i * n / 100 f) * h] / FPi = 8 + [(22,75 15) * 2] / 15 = 9,03, ou seja, 65% dos valores da amostra esto abaixo do valor 9,03 i * n / 4 = 35 / 4 = 8,70 Qi = lQi + [(i * n / 4 f) * h] / FQi = 6 + [(8,70 4) * 2] / 11 = 6,86, ou seja, 25% dos valores da amostra esto abaixo do valor 6,86 II) i * n / 10 = 2 * 24 / 10 = 4,8 Di = lDi + [(i * n / 10 f) * h] / FDi = 30 + [(4,8 3) * 10] / 5 = 33,6, ou seja, 20% dos valores da amostra esto abaixo do valor 33,6 i * n / 100 = 43 * 24 / 100 = 10,32 Pi = lPi + [(i * n / 100 f) * h] / FPi = 40 + [(10,32 8) * 10] / 10 = 42,32, ou seja, 43% dos valores da amostra esto abaixo do valor 42,32 i * n / 4 = 3 * 24 / 4 = 18 Qi = lQi + [(i * n / 4 f) * h] / FQi = 40 + [(18 8) * 10] / 10 = 50, ou seja, 75% dos valores da amostra esto abaixo do valor 50 2.19 a) xmdia = ( xi * Fi) / n = (0 * 20 + ...+ 4 * 3) / 53 = 1,17 acidentes por dia b) xmediana (n mpar ) = 1 c) Maior nmero de observaes iguais, Mo = 0 d) P% = (10 + 5 + 3) / 53 = 34% 2.20 a)Xi Fi 1 1 2 1 3 5 4 6 5 3 6 2 7 3 8 2 9 0 10 1

b) xmdia = ( xi * Fi) / n = (1 * 1 + ...+ 10 * 1) / 24 = 4,83 xmediana (n par ) = 4 Maior nmero de observaes iguais, Mo = 4 2.21 a) xmdia = ( xi . Fi) / n = (12 * 15 + ...+ 40 * 5) / 163 = 22,99 anos b) n / 2 = 163 / 2 = 81,50, ou seja, no intervalo 18 22 Xmediana = lXmed + [(n / 2 f) * h] / FXmrd = 18 + [(81,50 43) * 4] / 40 = 21,85 anos c) Maior nmero de observaes iguais 18 22 Mo = lMo + [1 / (1 + 2)] * h = 18 + [12 / (12 + 10)] * 4 = 20,18 anos a idade mais freqente da amostra d) i * n / 10 = 3 * 163 / 10 = 48,90


7

Di = lDi + [(i * n / 10 f) * h] / FDi = 18 + [(48,90 43) * 4] / 40 = 18,59, ou seja, 30% das pessoas deste grupo tm idade inferior a 18,59 e) i * n / 4 = 163 / 4 = 40,75 Qi = lQi + [(i * n / 4 f) * h] / FQi = 14 + [(40,75 15) * 4] / 28 = 17,58 f) i * n / 100 = 80 * 163 / 100 = 130,40 Pi = lPi + [(i * n / 100 f) * h] / FPi = 26 + [(130,40 113) * 4] / 20 = 29,48, ou seja, 20% das pessoas deste grupo tm idade superior a 29,48

2.22 a) Amplitude: r = 98 33 = 65 b) No de intervalos: k 1 + 3,22 * log50 7 c) Tamanho do intervalo: h 65 / 7 10 d) e) f)1 2 3 4 5 6 7

g)

e

h)Intervalos 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 Fi 4 6 8 12 9 7 4 50 fi 0,08 0,12 0,16 0,24 0,18 0,14 0,08 1 XI 35 45 55 65 75 85 95 Fac 4 10 18 30 39 46 50

Classe

i)Histograma de Freqncia Absoluta 14 12 10 Fi 8 6 4 2 0 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 Intervalos de Classes

j) l)

xmdia = ( xi . Fi) / n = (35 * 4 + ...+ 95 * 4) / 50 = 65,60 Maior nmero de observaes iguais 60 70 Mo = lMo + [1 / (1 + 2)] * h = 60 + [4 / (4 + 3)] * 10 = 65,71

m) n / 2 = 50 / 2 = 25, ou seja, no intervalo 60 70 Xmediana = lXmdia + [(n / 2 f) * h] / FXmrd = 60 + [(25 18) * 10] / 12 = 65,38, ou seja, 50% das notas deste grupo esto abaixo de 65,38


8

n) i * n / 4 = 50 / 4 = 12,50 Qi = lQi + [(i * n / 4 f) * h] / FQi = 50 + [(12,50 10) * 10] / 8 = 53,125, ou seja, 25% dos alunos deste grupo tiraram notas inferiores a 53,125 o) i * n / 100 = 55 * 50 / 100 = 27,50 Pi = lPi + [(i * n / 100 f) * h] / FPi = 60 + [(27,50 18) * 10] / 12 = 67,92, ou seja, 45% dos alunos deste grupo tiraram notas superiores a 53,125


9

SRIE IV 2.23 a) Amplitude: r = 12 2 = 10 b) S2 = 1 / (n 1) * [xi2 (xi)2 / n] = 1 / (7 1) * [347 (1849) / 7] = 13,81 c) S = (S2)1/2 = (13,81)1/2 = 3,72 2.24Intervalos 24 46 68 8 10 10 12 Fi 3 5 8 6 3 25 xi 3 5 7 9 11 xi * Fi 9 25 56 54 33 177 xi * Fi 27 125 392 486 363 13932

S2 = 1 / (n 1) * [(xi2 * Fi) (xi * Fi)2 / n] = 1 / (25 1) * [1393 (177)2 / 25] = 5,83 2.25Intervalos 40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70 Fi 4 10 15 8 5 3 45 xi 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 xi * Fi 170,5 475,5 787,5 460,5 312,5 202,5 2407,5 xi * Fi 7225 22562,5 41343,75 26450 19531,25 13668,75 130781,252

a) xmdia = ( xi . Fi) / n = 2407,5 / 45 = 53,5 kg b) S2 = 1 / (n 1) * [(xi2 * Fi) (xi * Fi)2 / n] = 1 / (45 1) * [130781,25 (2407,5)2 / 45] = 45 kg c) CV = (S / xmdia) * 100 = (6,71 / 53,5) * 100 = 12,54% d) Maior nmero de observaes iguais 50 55 Mo = lMo + [1 / (1 + 2)] * h = 50 + [5 / (5 + 7)] * 5 = 52,08 kg AS = (xmdia Mo) / S = (53,5 52,08) / 6,71 = 0,21, portanto, a distribuio no simtrica 2.26 xmdia = ( xi . Fi) / n = (2 * 2 + ... + 10 * 2) / 7 = 6 CV = (S / xmdia) * 100 = (3,02 / 6) * 100 = 50,33%, portanto, a amostra tem elevada disperso


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2.27 CVA = (SA / xmdia A) * 100 = (40 / 150) * 100 = 26,67% CVB = (SB / xmdia B) * 100 = (50 / 200) * 100 = 25,00% CVC = (SC / xmdia C) * 100 = (60 / 300) * 100 = 20,00% a) A tem desvio padro de 40, portanto, a caixa com menor variao absoluta na presso de ruptura b) A tem o coeficiente de variao de 26,67%, portanto, a caixa com maior variao relativa na presso de ruptura 2.28 a) Amplitude: r = 44 14 = 30 NO de intervalos: k 1 + 3,22 * log30 6 Tamanho do intervalo: h 30 / 6 5Classe 1 2 3 4 5 6 Intervalos 14 19 24 29 34 39 19 24 29 34 39 44 Fi 4 6 5 4 2 9 30

b)Histograma de Freqncia Absoluta 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 14 19 19 24 24 29 29 34 34 39 39 44 Intervalos das Classes

c) xmdia = ( xi . Fi) / n = (16,5 * 4 + .. + 41,5 * 9) / 30 = 900 / 30 = 30 anos S2 = 1 / (n 1) * [(xi2 * Fi) (xi * Fi)2 / n] = 1 / (30 1) * [29507,5 (900)2 / 30] = 86,47 S = (S2)1/2 = (86,47)1/2 = 9,30 2.29 a) xmdia = 45 s S = (S2)1/2 = (400)1/2 = 20 s CV1 = (S / xmdia) * 100 = (20 / 45) * 100 = 44,50%

Fi


11

b) xmdia = ( xi . Fi) / n = (20 * 10 + ... + 80 * 5) / 60 = 2700 / 60 = 45 s c) S2 = 1 / (n 1) * [(xi2 * Fi) (xi * Fi)2 / n] = 1 / (60 1) * [135000 (2700)2 / 60] = 228,81s2 S = (S2)1/2 = (228,81)1/2 = 15,13 s d) xmdia = ( xi . Fi) / n = (40 * 45 + 60 * 45) / 100 = 45 s e) CV2 = (S / xmdia) * 100 = (15,13 / 45) * 100 = 34,00%, portanto, a equipe 2 apresentou resultados mais homogneos, uma vez que tem CV (34%) menor que a equipe 1 (44%) f) Equipe 2

2.30 a) Amplitude: r = 16 1 = 15 No de intervalos: k 6 Tamanho do intervalo: h 3Classe 1 2 3 4 5 6 Intervalos 1 4 7 10 13 16 4 7 10 13 16 19 Fi 14 14 11 8 11 2 60

b)Histograma de Freqncia Absoluta 16 14 12 10 8 6 4 2 0 14 47 7 10 10 13 13 16 16 19 Intervalos de Classes Fi

c) xmdia = ( xi . Fi) / n = (14 * 2,5 + ... + 2 * 17,5) / 60 = 8,20 d) n / 2 = 60 / 2 = 30, ou seja, no intervalo 7 10 Xmediana = lXmd + [(n / 2 f) * h] / FX = 7 + [(30 28) * 3] / 11 = 7,55, ou seja, metade das rendas esto abaixo de $ 7.550 e) i * n / 4 = 3 * 60 / 4 = 45 Qi = lQi + [(i * n / 4 f) * h] / FQi = 10 + [(45 39) * 3] / 8 = 12,25, ou seja, 75% das rendas esto abaixo de $ 12.250 f) i * n / 10 = 4 * 60 / 10 = 24


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Di = lDi + [(i * n / 10 f) * h] / FDi = 4 + [(24 14) * 3] / 14 = 6,14, ou seja, 40% das rendas esto abaixo de $ 6.140 g) i * n / 100 = 47 * 60 / 100 = 28,20 Pi = lPi + [(i * n / 100 f) * h] / FPi = 7 + [(28,20 28) * 3] / 11 = 7,05, ou seja, 47% das rendas esto abaixo de $ 7.055 h) i * n / 4 = 60 / 4 = 15 Qi = lQi + [(i * n / 4 f) * h] / FQi = 4 + [(15 14) * 3] / 14 = 4,21 i) j) l) S2 = 1 / (n 1) * [(xi2 * Fi) (xi * Fi)2 / n] = 1 / (60 1) * [5289 (492)2 / 60] = 21,26 S = (S2)1/2 = (21,26)1/2 = 4,61 CV = (S / xmdia) * 100 = (4,61 / 8,20) * 100 = 56,00%

m) Maior nmero de observaes iguais 1 4 Mo = lMo + [1 / (1 + 2)] * h = 1 + [14 / (14 + 0)] * 3 = 4 AS = (xmdia Mo) / S = (8,20 4) / 4,61 = 0,49, portanto, a distribuio no simtrica n) O intervalo xmdia S a xmdia + S, ou seja, $ 3.590 e $ 12.810, contm aproximadamente 60% das rendas


13

SRIE V 2.32 1. b, por definio de mdia. 2. b, uma vez que o maior nmero de observaes iguais 60 3. c, por definio de mediana 4. d, uma vez que a mdia leva em conta todos estes desvios, a soma deles deve ser zero 5. b, uma vez que 70 a mdia das observaes, alm de separar em dois grupos com a mesma quantidade 6. a, por definio de moda 7. d, uma vez que n = 100, a mediana ser 50 (10 + 25 + 15), ou seja, 7 8. b, uma vez que, numa amostra de n = 5, a mediana o 3o item, deixando dois de cada lado 9. d, por definio de medidas de assimetria 10. a, por definio de coeficiente de varincia 11. a, por definio de varincia 12. d, por definio de desvio padro 13. d, uma vez que n = 6, a mediana ser [(n / 2) + (n / 2 +1)] / 2, ou seja, 45 14. a, uma vez que a curva a mais alargada horizontalmente, tem desvio-padro maior 15. d, uma vez que, apesar de A ter maior disperso absoluta, ao se calcularem os coeficientes de varincia de ambas as turmas, chega-se ao mesmo valor: 50% 16. d, uma vez que a varincia o quadrado do desvio-padro 17. b, por definio de mediana 18. a, uma vez que n = 20, o 1o quartil ser a mdia entre o 5o e o 6o item, ou seja, 5 19. b, uma vez que CV = (S / Xmdia) * 100, Estatstica 20% e Histria 25% 20. b, por definio 21. d, uma vez que Xmdia = ( xi . Fi) / n = (2 * 2500 + ... + 3 * 22000) / 10 = 10500 22. c, por definio 23. d, uma vez que Mo = lMo + [1 / (1 + 2)] * h = 50 + [15 / (15 + 10)] * 10 = 56 24. b, uma vez que Xmdia = ( xi . Fi) / n = (5 * 175 + ... + 3 * 475) / 10 = 3130 / 10 = 313 25. c, uma vez que P45 = 40 + [(409,50 210) * 10] / 250 = 47,98 26. c, uma vez que D5 = 6 + [(15 12) * 2] / 10 = 6,60


14

27. a, uma vez que Xmdia = ( xi . Fi) / n = (3 * 1 + ... + 15 * 5) / 8 = 96 / 8 = 12 28. d, uma vez que S2 = 1 / (5 1) * [73600 (600)2 / 5] = 400, ou seja, S = 20 29. a, uma vez que S2 = (1 / 5) * [108 (22)2 / 5] = 2,24 30. b, por definio de mdia


15

Captulo 3 Probabilidades Solues e Respostas

SRIE I 3.1 a) S = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1K, 2K, 3K, 4K, 5K, 6K}, onde C = cara e K = coroa. b) A = {K2, K4, K6} B = {C1, C3, C5} C = {3C, 6C, 3K, 6K} c) I. II. III. IV. Bcompl = S B = {C2, C4, C6, K1, K2, K3, K4, K5, K6} A U B = A + B = {K2, K4, K6, C1, C3, C5} B C = {3C} (A U B)compl = (Acompl Bcompl) = {K1, K3, K5, C2, C4, C6}

d) Apenas A e B so mutuamente exclusivos, uma vez que A B =

3.2 a) P(Acompl) = 1 P(A) = 1 = b) P(Bcompl) = 1 P(B) = 1 = c) P(A B) = 0, uma vez que A e B so mutuamente exclusivos d) P(A U B) = P(A) + P(B) = + = e) P(Acompl Bcompl) = 1 [P(A B)] = 1 3.3 a) P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) = + 1/3 = 7/12 b) P(Acompl U Bcompl) = P(A B) compl = 1 P(A B) = 1 = c) P(Acompl Bcompl) = P(A U B) compl = 1 P(A U B) = 1 7/12 = 5/12 3.4 a) Seja A = {(x1)/ x1 = par}, P(A) = 3/6 = b) Seja A = {(x1)/ x1 = rei}, P(A) = 4/52 = 1/13 c) Seja A = {(x1, x2, x3)/ x1 = x2 = x3 = K}, P(Acompl) = 1 A = 1 ( . . ) = 7/8 d) Seja A = {(x1, ..., xn)/ x1 = ... = xn = K}, P(Acompl) = 1 A = 1 ()n = (2n 1)/2n e) P(ambas as copas, sem reposio) = P(1a copas) * P(2a copas) = 13/52 * 12/51 = 1/17

Captulo 3 Probabilidades

1

f)

P(1 copas e 1 ouros sem reposio) = P(copas) * P(ouros) + P(ouros) * P(copas) = 13/52 * 13/51 + 13/52 + 13/51 = 13/102, ou P(F) = 13 1 * 13 1 52 2 = (13/1 * 13/1) / (52 * 51/ 2 * 1) = 13/102

3.5 a) Seja A = {(x1)/ x1 / 5}, P(A) = 10/50 = 1/5 b) Seja A = {(x1)/ x1 = _3}, P(A) = 5/50 = 1/10 c) Seja A = {(x1)/ x1 = primo}, P(A) = 15/50 = 3/10 d) Seja A = {(x1)/ x1 / 6} = 8 e B = {(x1)/ x1 / 8} = 6, P(A U B) = P(A) + P(A) P(A B) = 8/50 + 6/50 2/50 = 12/50 = 6/25

3.6 Seja A = {(x1)/ x1 = rei} = 4 e B = {(x1)/ x1 = 1 carta de copas} = 13 P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) = 4/52 + 13/52 1/52 = 16/52 = 4/13

3.7 a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 < 4}, P(A) = 3/36 = 1/12 b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 9}, P(A) = 4/36 = 1/9 c) Seja A = {(x1, x2)/ x1 > x2}, P(A) = 15/36 = 5/12 3.8 Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 10}, P(A) = 8/90 = 4/45 3.9 a) Seja A = {(x1)/ x1 = defeitos graves}, P(Acompl) = 1 P(A) = 1 1/8 = 7/8 b) Seja A = {(x1)/ x1 = boas}, P(A) = 10/16 = 5/8 c) Seja A = {(x1)/ x1 = com defeitos}, P(Acompl) = 1 P(A) = 1 = 3.10 a) P(ambas perfeitas, sem reposio) = P(1a perfeita) * P(2a perfeita) = 10/16 * 9/15 = 3/8 b) P(ao menos uma perfeita) = P[(P1 P2) U (P1 D2) U (D1 P2)] = P(P1) * P(P2/P1) + P(P1) * P(D2/P1) + P(D1) * P(P2/D1) = 10/16 * 9/15 + 10/16 * 6/15 + 6/16 * 10/15 = 7/8 c) P(nenhuma com defeito grave) = P(sem d.g.) * P(sem d.g.) = 14/16 * 13/15 = 91/120 d) P(nenhuma perfeita) = P(imperfeitas) * P(imperfeitas) = 6/16 * 5/15 = 1/8


2

3.11 a) P(pretas) = P(1a preta) * P(2a preta) * P(3a preta) = 6/11 * 5/10 * 4/9 = 4/33 b) P(uma branca) = P(B1) * P(P2) * P(P3) + P(P1) * P(B2) * P(P3) + P(P1) * P(P2) * P(B3) ou 3 * P(B1, P2, P3) = 5/11 * 6/10 * 5/9 + 6/11 * 5/10 * 5/9 + 6/11 * 5/10 * 5/9 = 5/11 c) P(ao menos uma preta) = 1 P(brancas) = 1 P(B1) * P(B2/B1) * P(B3/B2/B1) = 1 5/11 * 4/10 * 3/9 = 1 2/33 = 31/33

3.12 O nmero total de resultados possveis = C12,7 O nmero de resultados favorveis: C5,3 (3 do 4o ano) * C4,2 (2 do 2o ano) * C3,2 (2 do 3o ano) P(A) = (C5,3 * C4,2 * C3,2) / C12,7 = (5/3 * ... * 3/1) * (4/2 * 3/1) * (3/2 * 2/1) / (12/7 * ... * 6/1) = 5/22 3.13 O nmero total de resultados possveis = CN,n O nmero de resultados favorveis: CNv,nv (nv de vermelhas) * CNa,na (na de azuis) * CNp,np (np de pretas) P(A) = (CNv,nv * CNa,na * CNp,np) / CN,n P(A) = Nv nv * Na na * Np np N n

3.14 a) P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) = + 1/3 = 7/12 b) P(A/B) = P(A B) / P(B) = / 1/3 = c) P(B/A) = P(A B) / P(A) = / = d) P[(A U B)/B] = P[(A U B) B] / P(B) = P(B) / P(B) = 1

3.15 P(Acompl/Bcompl) = P(Acompl Bcompl) / P(Bcompl) = [P(A U B) compl] / [1 P(B)] = 5/12 / 2/3 = 5/8 P(Bcompl/Acompl) = P(Bcompl Acompl) / P(Acompl) = [P(B U A) compl] / [1 P(A)] = 5/12 / = 5/6 3.16 Seja A = {(x1)/ x1}, P(A) = 365/365 Seja B = {(x1, x2)/ x1 x2}, P(B) = 365/365 * (365 1)/365 = 365* (365 1)/3652 Assim, de maneira geral o item xn ter probabilidade de [(365 n + 1)/365]. Portanto, seja R = {(x1, x2, ..., xr )/ x1 x2 ... xr}, P(R) = 365/365 * [(365 1)/365] * ... * [(365 r +1)/365] = 365 * 364 * ... * (365 r + 1)/365r


3

3.17 a) P(acertarem) = P(1o acertar) * P(2o acertar) * P(3o acertar) = 2/3 * 4/5 * 7/10 = 28/75 b) P(apenas um acertar) = P(A1, E2, E3) + P(E1, A2, E3) + P(E1, E2, A3) = 2/3 * 1/5 * 3/10 + 1/3 * 4/5 * 3/10 + 1/3 * 1/5 * 7/10 = 25/150 = 1/6 c) P(errarem) = P(1a errar) * P(2a errar) * P(3a errar) = 1/3 * 1/5 * 3/10 = 1/50

3.18 Seja P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = p, P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) : P(Corrente LR) = P(F1, F2) + P(F3, F4) P(F1, F2 F3, F4) P(F1, F2) = P(F3, F4) = p * p = p2 e P(F1, F2 F3, F4) = p * p * p * p = p4 P(Corrente LR) = 2 * p2 p4 = 2p2 p4

3.19 P(duas da mesma cor) = P(B1, B2) + P(V1, V2) + P(P1, P2) = 5/12 * 5/18 + 4/12 * 6/18 + 3/12 * 7/18 = 35/108

3.20 Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = $ 1,50}, P(A) = P(U1, C2) + P(C1, U2) = 5/9 * 4/8 + 4/9 * 5/8 = 5/9 3.21 Seja A = {(x1, x2, x3)/ x1, x2, x3 = 2 pretas e 1 vermelha} com reposio, P(A) = P(P1, P2, V3) + P(P1, V2, P3) + P(V1, P2, P3) = 3 * 5/10 * 5/10 * 3/10 = 9/40 3.22 Seja A = {(x1)/ x1 = 1 branca}, P(A) = 2/3 Seja B = {(x2)/ x2 = 1 branca}, P(B) = P(Brancanova) / P(Totalnova) = (1 + 2/3)/4 = 5/12 3.23 Seja T = {(s1)/ s1 = 1 branca}, P(T) = x / (x + y) Seja U1 = {(s2)/ s2 = 1 branca}, P(U1) = P(Brancanova) / P(Totalnova) = {z + [x / (x + y)]} / (z + v + 1) P(U2) = P(B1, B2) + P(V1, B2) = [x / (x + y)] * [(z + 1) / (z + v + 1)] + [y / (x + y)] * [z / (z + v + 1)] 3.24 Seja A = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 = P, x2 = P, x3 = V, x4 = V} com reposio + 5 bolas da cor, P(A) = P(P1, P2, V3, V4) = 10/15 * (10 + 5)/(15 + 5) * 5/(15 + 10) * (5 + 5)/(15 + 15) = 1/30 Seja A = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 = P, x2 = V, x3 = P, x4 = V} com reposio + 5 bolas da cor, P(A) = P(P1, V2, P3, V4) = 10/15 * 5/(15 + 5) * (10 + 5)/(15 + 10) * (5 + 5)/(15 + 15) = 1/30 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = P, x2 = P} com reposio + 5 bolas da cor P(A) = P(P1, P2) = 1 * (10 + 5)/(15 + 5) =


4

3.25 a) P(duas perfeitas) = P(P1, P2) = 5/8 * 3/5 = 3/8 b) P(uma defeituosa) = P(D1, P2) + P(P1, D2) = 3/8 * 3/5 + 5/8 * 2/5 = 19/40 c) P(defeituosa vir de A) = P(D1, P2) / P(uma defeituosa) = (3/8 * 3/5) / (19/40) = 9/19 3.26 a) P(s H viver) = P(M vivercompl) * P(H viver) = * 3/5 = 3/20 b) P(s M viver) = P(H vivercompl) * P(M viver) = 2/5 * = 3/10 c) P(ambos viverem) = P(H viver) * P(M viver) = 3/5 * = 9/20

3.27 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = B}, P(A) = P(B1, B2) / [P(B1, B2) + P(P1, B2)] = ( * 2/3) / [( * 2/3) + ( * )] = (1/3) / (1/3 * ) = 4/7 3.28 a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = mesma cor}, P(A) = P(P1, P2) + P(V1, V2) = * 3/6 + * 4/6 = 1/4 + 1/3 = 7/12 b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = V sabendo que x2 = P}, P(A) = P(V1, P2) / [P(V1, P2) + P(P1, P2)] = ( * 2/6) / ( * 2/6 + * 3/6) = (1/6) / (5/12) = 2/5 3.29 a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B ou V, x2 = V}, P(A) = P(B1, V2) + P(V1, V2) = 3/8 * (5 + 2)/(8 + 2 1) + 5/8 * (5 1)/(8 + 2 1) = 41/72 b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = B ou V}, P(A) = P(B1, B2) + P(V1, V2) = 3/8 * (3 1)/(8 + 2 1) + 5/8 * (5 1)/(8 + 2 1) = 13/36 3.30 a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = V sabendo que x2 = V}, P(A) = P(V1, V2) / [P(B1, V2) + P(V1, V2)] = (20/72) / (41/72) = 20/41 b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x1 = x2 = mesma cor}, P(A) = P(B1, B2) / [P(B1, B2) + P(V1, V2)] = (6/72) / (13/36) = 3/13 3.31 a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = urna 1 ou 2, x2 = V}, P(A) = P(U11, V2) + P(U21, V2) = [() * x/(x + y)] + [() * z/(z + v)] = * x/(x + y) + z/(z + v) b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B ou V, x2 = V}, P(A) = P(B1, V2) + P(V1, V2) = y/(x + y) * z/(z + v + 1) + x/(x + y) * (z + 1)/(z + v + 1) =


5

(y * z)/(x + y)(z + v + 1) + [(x * z) + (x)]/(x + y)(z + v + 1) = (yz + xz + x)/(x + y)(z + v + 1)

3.32 Seja A = {(s1, ..., sx + y) / s1, ..., sx = B, sx + 1, ..., sx + y = P}, P(A) = P(X1, ..., Xx, Yx + 1, , Yx + y) = x/(x + y) * (x 1)/(x + y 1) * * y/y * (y 1)/ (y 1)/ = (x! y!) / (x + y)!

3.33 Seja, A = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} C = {(4,6), (5,5), (6,4)} D = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3), (5,4), (6,4), (6,5)} E = {(2,1), (4,2), (6,3)} a) P(A/B) = P(A B) / P(B) = 1/6 b) P(C/D) = P(C D) / P(D) = 1/15 c) P(D/E) = P(D E) / P(E) = 3/3 = 1 d) P(A/C) = P(A C) / P(C) = 0 e) P(C/E) = P(C E) / P(E) = 0 f) P(C/A) = P(C A) / P(A) = 0

g) P(A/D) = P(A D) / P(D) = 2/15 h) P(B/C) = P(B C) / P(C) = 1/3 i) j) l) P(A/E) = P(A E) / P(E) = 0 P(B/E) = P(B E) / P(E) = 0 P(A/B C) = [P(A B) / P(B)] P(C) = 0

m) P[(A B) / (C D)] = [P(A B) P(C D)] / [P(C D)] = 0

3.34 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = caixa 1 ou 2 sabendo que x2 = P}, P(A) = P(C11, P2) / [P(C11, P2) + P(C21, P2)] = (1/2 * 7/10) / [(1/2 * 7/10) + (1/2 * 5/6)] = (7/20) / (46/60) = 21/46 P(Acompl) = 1 P(A) = 1 21/46 = 25/46 3.35 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = D}, P(A) = P(B/D) = [P(B D) / P(D)] = {[P(B) * P(D/B)] / [P(A) * P(D/A) + P(B) * P(D/B) + P(C) * P(D/C)]} = (1/6 * 3/5) / [(3/4 * 1/20) + (1/6 * 3/5) + (1/10 * 3/10)] = (1/10) / (67/400) = 40/67


6

3.36 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = M sabendo que x2 = 1,80}, P(A) = P(M1, A2) / [P(M1, A2) + P(H1, A2)] = (4/10 * 2/100) / [(4/10 * 2/100) + (6/10 * 5/100)] = (1/125) / (19/500) = 4/19

3.37 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = D}, P(A) = P(B1, D2) / [P(A1, D2) + P(B1, D2) + P(C1, D2)] = (5/10 * 5/100) / [(4/10 * 3/100) + (5/10 * 5/100) + (1/10 * 2/100)] = (1/40) / (39/1000) = 25/39

3.38 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = T sabendo que x2 = Y positivo}, P(A) = P(T1, Y2) / [P(T1, Y2) + P(NT1, Y2)] = (1/10 * 80/100) / [(1/10 * 80/100) + (9/10 * 30/100)] = (2/25) / (7/20) = 8/35

3.39 a) P(s cara) = P(C1, C2, C3) = * * = 1/8 b) P(2 C, 1 K) = 3 * P(C1, C2, K3) = 3 * * * = 3/8 c) P(1 C) = 3 * P(C1, K2, K3) = 3 * * * = 3/8 d) P(ao menos 1 K) = 3 * P(K1, C2, C3) + 3 * P(K1, K2, C3) + P(K1, K2, K3) = 7 * * * = 7/8 e) P(s coroa) = P(K1, K2, K3) = * * = 1/8 3.40 a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2}, P(A) = 6/36 = 1/6 b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2}, P(Acompl) = 1 P(A) = 1 1/6 = 5/6 c) Seja A = {(x1, x2)/ x1 < x2}, P(A) = 15/36 = 5/12 d) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = par}, P(A) = 18/36 = e) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 7, sabendo que x1 x2}, P(A) = 6/(36 6) = 1/5 f) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 6, sabendo que x1 = x2}, P(A) = (5 4)/(36 30) = 1/6

g) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 14}, P(A) = 0 3.41 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = Errar}, P(Acompl) = 1 P(E1, E2) = 1 (2/5 * 3/7) = 29/35


7

3.42 Seja A = {(x1)/ x1 = 5 ou par}, P(A) = P(5) + P(par) = 1/6 + 3/6 = 4/6 = 2/3 3.43 a) Seja A = {(x1)/ x1 = H}, P(A) = 10/15 = 2/3 b) Seja A = {(x1)/ x1 = A}, P(A) = 7/15 c) Seja A = {(x1)/ x1 = M} ou B = {(x1)/ x1 = Me}, P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) = 8/15 + 5/15 3/15 = 2/3 d) Seja A = {(x1)/ x1 = H, sabendo que x1 = A}, P(A) = 5/(15 8) = 5/7 e) Seja A = {(x1)/ x1 = Me, sabendo que x1 = Mu}, P(A) = 3/(15 10) = 3/5 3.44 a) Seja X = {3, 6, 9, 12, 15, 18} e Y = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, X e Y sero independentes se e somente se P(X Y) = P(X) * P(Y) P(X Y) = 3/20, P(X) = 6/20, P(Y) = 10/20 P(X) * P(Y) = 6/20 * 10/20 = 3/20 = P(X Y), portanto, X e Y so independentes b) Seja M = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} e N = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}, M e N sero independentes se e somente se P(M N) = P(M) * P(N) P(M N) = 7/20, P(M) = 9/20, P(N) = 10/20 P(M) * P(N) = 9/20 * 10/20 = 9/40 P(M N), portanto, M e N no so independentes

3.45 a) Seja A = {(x1)/ x1 = H}, P(A) = 60/100 = 60% b) Seja A = {(x1)/ x1 = M e Y}, P(A) = 26/100 = 26% c) Seja A = {(x1)/ x1 = Y}, P(A) = 65/100 = 65% d) Seja A = {(x1)/ x1 = H e X}, P(A) = 21/100 = 21% e) Seja A = {(x1)/ x1 = M, sabendo que x1 = X}, P(A) = 14/(100 65) = 40% f) Seja A = {(x1)/ x1 = Y, sabendo que x1 = H}, P(A) = 39/(100 40) = 65%

3.46 Sendo A e B independentes, temos que P(A B) = P(A) * P(B) A e B tambm so mutuamente exclusivos, ou seja, P(A B) = Como P() = 0, ento P(A B) = 0 Voltando para a primeira igualdade, teremos que P(A) * P(B) = 0 Para que a igualdade seja verdadeira P(A) = 0 ou P(B) = 0


8

3.47 Sendo A e B independentes, temos que P(A B) = P(A) * P(B) Como P(A) 0 e P(B) 0, ento P(A) * P(B) 0 e conseqentemente P(A B) 0 Portanto, P(A B) , acarretando na no-exclusividade dos eventos

3.48 Sendo A e S independentes, temos que P(A S) = P(A) * P(S) Como S o espao amostral, temos que P(S) = 1 Como A est contido em S, temos que P(A S) = P(A) Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que P(A) = P(A) * 1 Portanto, conclui-se que A e S so independentes

3.49 Sendo A e independentes, temos que P(A ) = P(A) * P() Como P() = 0, temos que P(A ) = P() = 0 Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que 0 = P(A) * 0 Portanto, conclui-se que A e so independentes

3.50 Sendo S e independentes, temos que P(S ) = P(S) * P() Como P() = 0, temos que P(S ) = P() = 0 Como S o espao amostral, temos que P(S) = 1 Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que 0 = 1 * 0 Portanto, conclui-se que S e so independentes


9

Captulo 4 Distribuies de Probabilidades de Variveis Aleatrias Discretas Solues e Respostas

SRIE I 4.1 S = {cc, ck, kc, kk} X = nmero de coroas (k) = 0, 1, 2Xi P(Xi) 0 1/4 1 1/2 2 1/4Distribuio de Probabilidade 1

3/4 P(Xi) 0 0 1 Xi 2

1/2

1/4

4.2 a) S = {(1,1), (1,2), ..., (6,5), (6,6)} = 36 casos X = soma dos pontos = 2, 3, ..., 12Xi P(Xi) 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 10 3/36 11 2/36 12 1/36

b) P(3 X 10) = 1 [P(2) + P(11) + P(12)] = 1 4/36 = 32/36 = 8/9 c) P(X > 7) = P(8) + ... + P(12) = 5/36 + ... + 1/36 = 15/36 = 5/12 d) P(X 5) = P(2) + ... + P(5) = 1/36 + ... + 4/36 = 10/36 = 5/18 e) P(X 6) = P(X 5) + P(6) = 10/36 + 5/36 = 15/36 = 5/12 f) P(X 3) = 1 P(2) = 1 1/36 = 35/36

g) F(4) = P(2) + ... + P(4) = 1/36 + ... + 3/36 = 6/36 = 1/6 h) F(8) = P(2) + ... + P(8) = 1/36 + ... + 5/36 = 26/36 = 13/18 i) F(15) = 1

Captulo 4 Distribuies de Probabilidades de Variveis Aleatrias Discretas

1

j) l)

F(1) = 0 F(5,5) = P(X 5) = 5/18

m) F(12) = 1

4.3 a) P(Xi) = 1 P(1) + P(3) + P (5) + P (7) = 1 k + k/3 + k/5 + k/7 = 176k/105 = 1, portanto, k = 105/176 b) P(2 X 6) = P(3) + P(5) = 105/176 * 1/3 + 105/176 * 1/5= 56/176 = 7/22 c) F(5) = 1 P(7) = 1 105/176 * 1/7 = 161/176

4.4 S = {vv, vn, nv, nn}, com v = vende e n = no vende Y = nmero de clientes que assinam venda (v) = 0, 1, 2 P(0) = P(N,N) = 80/100 * 80/100 = 64/100 = 0,64 P(1) = P(V,N) + P(N, V) = 20/100 * 80/100 + 80/100 * 20/100 = 32/100 = 0,32 P(2) = P(V,V) = 4/100 = 0,04Yi P(Yi) 0 0,64 1 0,32 2 0,04


2

SRIE II 4.5 a) P(Xi) = 1 P(3) = 1 [P(1) + P (2) + P (5) + P (8)] = 1 [0,20 + 0,25 + 0,30 + 0,10] = 0,15. b) F(5) = 1 P(8) = 1 0,10 = 0,90. c) (x) = xi * P(x i) = 1 * 0,20 + + 8 * 0,10 = 3,45. d) (x)2 = xi2 * P(x i) (x)2 = (1 * 0,20 + ... + 64 * 0,10) (3,45)2 = 16,45 11,9025 = 4,5475 (x) = ((x)2)1/2 = (4,5475)1/2 = 2,1325. 4.6 a) P(1) = (0,8) * (0,2)1 1 = 0,8 P(2) = (0,8) * (0,2)2 1 = 0,16 P(3) = (0,8) * (0,2)3 1 = 0,032 P(4) = (0,8) * (0,2)4 1 = 0,0064 P(5) = (0,8) * (0,2)5 1 = 0,00128. b) F(X 5) = P(1) + ... + P(5) = 0,8 + ... + 0,00128 = 0,99968, ou seja, a soma das probabilidades atinge 0,99968, logo, as probabilidades para valores maiores do que 5 so prximas a zero (ou mais exatamente 0,00032).

4.7 a) F(2) = P(0) + + P(2) = 0,55 + + 0,10 = 0,90. b) P(1 X 4) = 1 [P(0) + P(5)] = 1 (0,55 + 0,02) = 1 0,57 = 0,43 P(X > 1) = 1 [P(0) + P(1)] = 1 (0,55 + 0,25) = 1 0,80 = 0,20. c) (x) = xi * P(x i) = 0 * 0,55 + + 5 * 0,02 = 0,83 chamadas por minuto. d) (x)2 = xi2 * P(x i) (x)2 = (0 * 0,55 + + 25 * 0,02) (0,83)2 = 2,15 0,6889 = 1,4611 (x) = ((x)2)1/2 = (1,4611)1/2 = 1,20876 CV = (x)/(x) = 1,20876/0,83 = 1,456337 = 145,6%. 4.8 a) S = {(0-0), (0-1), ..., (5-6), (6,6)} = 28 casos Z = pontos numa pea de domin = 0, 1, ..., 12.Zi P(Zi) 0 1/28 1 1/28 2 2/28 3 2/28 4 3/28 5 3/28 6 4/28 7 3/28 8 3/28 9 2/28 10 2/28 11 1/28 12 1/28


3

Distribuio de Probabilidade 1/4 1/5 3/20 1/10 1/20 0 0 1 2 3 4 5 6 Zi 7 8 9 10 11 12

b) P(2 Z 6) = P(2) + ... + P(6) = 2/28 + + 4/28 = 14/28 = . c) F(8) = 1 [P(9) + ... + P(12)] = 1 (2/28 + + 1/28 = 1 6/28 = 22/28 = 11/14. d) (x) = xi * P(x i) = 0 * 1/28 + + 12 * 1/28 = 6. 4.9 a) S = {(R, R, R), (R, R, M), ..., (M, M, R), (M, M, M)} = 8 casos X = nmero de rapazes = 0, 1, 2, 3 P(0) = P(M, M, M) = 4/9 * 3/8 * 2/7 = 1/21 P(1) = P(R, M, M) = 3 * 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/14 P(2) = P(R, R, M) = 3 * 5/9 * 4/8 * 4/7 = 10/21 P(3) = P(R, M, M) = 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/42Xi P(Xi) 0 1/21 1 5/14 2 10/21 3 5/42

b) I. II. III. IV. V. VI. VII. P(X 2) = 1 P(3) = 1 5/42 = 37/42 P(X 0) = P(0) = 1/21 P(1 < X 3) = P(2) + P(3) = 10/21 + 5/42 = 25/42 P(2 < X < 3) = 0 P(X > 2) = P(3) = 5/42 P(X > 1) = 1 P(X < 5) = 1

c) F(2,5) = 1 P(3) = 1 5/42 = 37/42 F(3) = 1 F(0,5) = P(0) = 1/21 F(3,5) = 1 F(2) = F(2,5) = 37/42 F(1) = P(0) + P(1) = 1/21 + 5/14 = 17/42 F(6) = 1 F( 0,5 ) = 0

4.10 S = {(I, I), (I, N), (N, I), (N, N)} = 4 casos, com I = IBM e N = no IBM


P(Zi)

4

X = IBM = 0, 1, 2 P(0) = P(N, N) = 30/100 * 30/100 = 9/100 P(1) = P(I, N) + P(N, I) = 2 * 70/100 * 30/100 = 21/50 P(2) = P(I, I) = 70/100 * 70/100 = 49/100Xi P(Xi) 0 0,09 1 0,42 2 0,49

(x) = xi * P(x i) = 0 * 0,09 + + 2 * 0,49 = 1,4 (x)2 = xi2 * P(x i) (x)2 = (0 * 0,09 + + 4 * 0,49) (1,4)2 = 2,38 1,96 = 0,42 (x) = ((x)2)1/2 = (0,42)1/2 = 0,65


5

SRIE III 4.11 P(X = x) = 10 * ()x * ()10 x = x 10 * ()10, com x = ser cara x

a) P(x = 6) = [(10 * ... * 5)/(6 * ... *1)] * ()10 = 105/512. b) P(x 2) = 1 [P(0) + P(1)] = 1 [()10 + 10 * ()10] = 1 11/1024 = 1013/1024. c) P(x = 10) = ()10 = 1/1024. d) P(x 1) = 1 P(0) = 1 1/1024 = 1023/1024. e) P(x 5) = 1 P(5) = 1 [(10 * ... * 6)/(5 * ... *1)] * ()10 = 1 63/256 = 193/256.

4.12 P(X = x) = 6 x * ()x * ()6 x = 6 x * ()6, com x = filhos homens

P(x = 4) = [(6 * ... * 3)/(4 * ... * 1)] * ()6 = 15/64.

4.13 P(X = x) = 4 x * ()x * ()4 x = 6 x * ()4, com x = ter menino

a) P(x = 4) = ()4 = 1/16, famlias com nenhuma menina = 1/16 * 320 = 20. b) P(x = 3) = [(4 * ... * 2)/(3 * ... *1)] * ()4 = 1/4, famlias com 3 meninos = 1/4 * 320 = 80. c) P(x = 4) = ()4 = 1/16, famlias com 4 meninos = 1/16 * 320 = 20.

4.14 P(X = x) = n x * (1/6)x * (5/6)n x , com x = ser face 3 do dado.

P(x 1) = 1 P(0) = 1 (5/6)n.

4.15 P(X = x) = 5 x * (2/3)x * (1/3)5 x , com x = vitria

a) P(x = 3) = [(5 * ... * 3)/(3 * ... *1)] * (2/3)3 * (1/3)2 = 80/243. b) P(x 1) = 1 P(0) = (1/3)5 = 1 1/243 = 242/243. c) P(x 3) = (3) + P(4) + P(5) = 80/243 + [(5 * ... * 2)/(4 * ... *1)] * (2/3)4 * (1/3)1 + (2/3)5 = 80/243 + 80/243 + 32/243 = 192/243 = 64/81.


6

4.16 P(X = x) = 6 x * (1/3)x * (2/3)6 x , com x = acertar o alvo

a) P(x = 2) = [(6 * 5)/(2 * 1)] * (1/3)2 * (2/3)4 = 80/243. b) P(x = 0) = (2/3)6 = 64/729.

4.17 P(X = x) = 100 * (1/2)x * (1/2)100 x = x * ()100. 100 * (1/2)100, com x = acertar o teste x

P(x = 70) = 100 70

4.18 a) Se F(5) = P(0) + ... + P(5) = 1, portanto, n = 5. b) P(y = 0) = p0 * q(n 0) = q(n 0), portanto, q5 = 1/243, q = (1/243)1/5 = 1/3 Se p + q = 1, p = 2/3. c) (y) = n * p = 5 * 2/3 = 10/3. d) (y)2 = n * p * q = 5 * 2/3 * 1/3 = 10/9. e) P(y 1) = 1 P(0) = 1 1/243 = 242/243. f) P(2 y 4) = F(4) F(1) = 211/243 11/243 = 200/243.

4.19 P(X = x) = 100 * (0,05)x * (0,95)100 x, com x = ser defeituosa x

a) P(0) = (0,95)100 x = (0,95)100. b) P(3) = 100 * (0,05)3 * (0,95)97 3

c) P(x < 99) = 1 [P(100) + P(99)] = 1 (0,05)100 100 * (0,05)99 * (0,95).


7

SRIE IV 4.20 a) P(x = 5) = [(x * e) / x!] = [(35 * e3) / 5!] = [(243 * 0,0498) / 120] = 0,1008. b) P(x 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e5,5 + (5,51 * e5,5) + [(5,52 * e5,5) / 2!]} = 0,0041 + 0,0225 + 0,1240 = 0,0886. c) P(x 4) = 1 [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 {e7,5 + (7,51 * e7,5) + [(7,52 * e7,5) / 2!] + [(7,53 * e7,5) / 3!]} = 1 (0,00055 + ... + 0,0387) = 1 0,0588 = 0,9412. d) P(x = 8) = [(x * e) / x!] = [(48 * e4) / 8!] = [(65536 * 0,0183) / 40320] = 0,0297.

4.21 = l * t = 0,02 * 100 = 2 a) P(x 3) = 1 [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 {e2 + (21 * e2) + [(22 * e2) / 2!]} = 1 (0,1353 + 0,2707 + 0,2707) = 1 0,6767 = 0,3233. b) P(x = 5) = [(x * e ) / x!] = [(25 * e2) / 5!] = 0,0361. c) P(x = 5) = e2 = 0,1353. d) P(x < 2) = [P(0) + P(1)] = e2 + (21 * e2) = 0,1353 + 0,2707 = 0,4060.

4.22 = l * t = 0,03 * 230 = 6,9 P(x = 10) = [(6,910 * e6,9) / 10!] = 0,0679.

4.23 a) Para 5000 km, = n * p, 1 = 5000 * p, p = 0,0002, Para 3000 km, = n * p = 3000 * 0,0002 = 0,6 P(x 1) = P(0) + P(1) = e0,6 + (0,6 * e0,6) = 0,5488 + 0,3293 = 0,8781. b) Para 5000 km, = n * p, 1 = 5000 * p, p = 0,0002, Para 8000 km, = n * p = 8000 * 0,0002 = 1,6 P(x = 0) = e1,6 = 0,2019.

4.24 a) P(x = 4) = [(x * e ) / x!] = [(34 * e3) / 4!] = 0,1681. b) P(x 3) = 1 [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 {e3 + (31 * e3) + [(32 * e3) / 2!]} = 1 (0,0498 + 0,1494 + 0,2241) = 1 0,4233 = 0,5767.

4.25 a) P(x = 3) = [(x * e ) / x!] = [(33 * e3) / 3!] = 0,2241.


8

b) Para 1 hora, = l * t, 3 = l * 1, l = 3, Para 1,5 hora, = l * t = 3 * 1,5 = 4,5 P(x 4) = 1 [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 {e4,5 + ... + [(4,53 * e4,5) / 3!]} = 1 (0,0111 + ... + 0,1687) = 1 0,3423 = 0,6577.

4.26 Para 1 cm2, = l * t, 1 = l * 1, l = 1, Para 4 cm2, = l * t = 1 * 4 = 4 P(x = 3) = [(x * e ) / x!] = [(43 * e4) / 3!] = 0,1954.

4.27 a) P(x = 2) = [(x * e ) / x!] = [(22 * e2) / 2!] = 0,2707. P(x = 3) = [(x * e ) / x!] = [(23 * e2) / 3!] = 0,1804.

4.28 Para 50000, = n * p, 2 = 50000 * p, p = 0,00004, Para 100000, = n * p = 100000 * 0,00004 = 4 a) P(x = 0) = e = e4 = 0,01832. b) P(x = 1) = * e = 4 * e4 = 0,0733. c) P(x = 2) = [(x * e ) / x!] = [(42 * e4) / 2!] = 0,14656. d) P(x 2) = 1 [P(0) + P(1)] = 1 (0,01832 + 0,07328) = 1 0,9160 = 0,9084.

4.29 = 400/500 = 0,8 a) P(x = 0) = e- = e0,8 = 0,4493. b) P(x = 2) = [(x * e ) / x!] = [(0,82 * e0,8) / 2!] = 0,1438.

4.30 a) Para 1 hora, = l * t, 5 = l * 1, l = 5, Para 24 minutos, = l * t = 5 * 0,4 = 2 P(x = 2) = [(x * e ) / x!] = [(22 * e2) / 2!] = 0,2707. b) Para 1 hora, = n * p, 5 = 1 * p, p = 5, Para 18 minutos, = n * p = 0,3 * 5 = 1,5 P(x 3) = 1 [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 {e1,5 + (1,51 * e1,5) + [(1,52 * e1,5) / 2!]} = 1 (0,2231 + 0,3347 + 0,2510) = 1 0,8088 = 0,1912.


9

4.31 a) Para 1 hora, = l * t, 3 = l * 1, l = 3, Para 20 minutos, = l * t = 3 * 0,333 = 1 P(x = 3) = [(x * e ) / x!] = [(13 * e1) / 3!] = 0,0613. b) Para 1 hora, = l * t, 3 = l * 1, l = 3, Para 30 minutos, = l * t = 3 * 0,5 = 1,5 P(x 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e1,5 + (1,51 * e1,5) + [(1,52 * e1,5) / 2!]} = 0,2231 + 0,3347 + 0,2510 = 0,8088.

4.32 Para 100000, = n * p, 3 = 100000 * p, p = 0,00003, Para 200000, = n * p = 200000 * 0,00003 = 6 P(x 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e6 + (61 * e6) + [(62 * e6) / 2!]} = 0,0025 + 0,0149 + 0,0446 = 0,0620.

4.33 Para 1 minuto, = l * t, 40 = l * 1, l = 40, Para 6 segundos, = l * t = 40 * 0,1 = 4 P(x = 2) = [(x * e ) / x!] = [(42 * e4) / 2!] = 0,14656.

4.34 Para 1 minuto, = l * t, 1,7 = l * 1, l = 1,7, Para 2 minutos, = l * t = 1,7 * 2 = 3,4 P(x = 2) = [(x * e ) / x!] = [(3,42 * e3,4) / 2!] = 0,1929.

4.35 P(x > 3) = 1 [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 {e2 + ... + [(23 * e2) / 3!]} = 1 (0,1353 + ... + 0,1804) = 1 0,8571 = 0,1429.

4.36 Para 1 pea, = l * t, 2,2 = l * 1, l = 2,2, Para 2 peas, = l * t = 2,2 * 2 = 4,4 P(x 2) = 1 [P(0) + P(1)] = 1 [e4,4 + (4,4 * e4,4)] = 1 (0,0123 + 0,0540) = 1 0,0663 = 0,9337.


10

Captulo 5 Distribuies de Probabilidades de Variveis Aleatrias Contnuas Solues e Respostas

SRIE I 5.1 a) P(0 z 1,44) = 0,4251 ou 42,51%. b) P(0,85 < z < 0) = P(0 < z < 0,85) = 0,3023. c) P(1,48 < z < 2,05) = P(z < 1,48) + P(z < 2,05) = 0,4306 + 0,4798 = 0,9104. d) P(0,72 < z < 1,89) = P(z < 1,89) P(z < 0,72) = 0,4706 0,2642 = 0,2064. e) P(z 1,08) = 0,5 P(z < 1,08) = 0,5 0,3599 = 0,1401. f) P(z 0,66) = 0,5 + P(z < 0,66) = 0,5 + 0,2454 = 0,7454.

g) P(|z| 0,5) = 2 * P(z < 0,5) = 2 * 0,1915 = 0,3830.

5.2 a) [(a )/ < z < (b )/] = [(700 850)/45 < z < (1000 850)/45] P(700 < x < 1000) = P(3,33 < z < 3,33) = 2 * P(z < 3,33) = 0,9991, ou seja, 1. b) [z > (a )/] = [z > (800 850)/45] P(x > 800) = P(z > 1,11) = 0,5 + P(z < 1,11) = 0,5 + 0,3665 = 0,8665. c) [z < (a )/] = [z < (750 850)/45] P(x < 750) = P(z < 2,22) = 0,5 P(z < 2,22) = 0,5 0,4868 = 0,0132. d) [z = (a )/] = [z = (1000 850)/45] P(x = 1000) = P(z = 3,33) = 0,5 P(z = 3,33) = 0,5 0,49957 = 0,0004, ou seja, 0.

5.3 a) [(a )/ < z < (b )/] = [(60 65,3)/5,5 < z < (70 65,3)/5,5] P(60 < x < 70) = P(0,96 < z < 0,85) = P(z < 0,96) + P(z < 0,85) = 0,3315 + 0,3023 = 0,6338 ou 380 estudantes. b) [z > (a )/] = [z > (63,2 65,3)/5,5] P(x > 63,2) = P(z > 0,38) = 0,5 + P(z < 0,38) = 0,5 + 0,1480 = 0,6480 ou 389 estudantes.

5.4 P(z > ?) = 0,1500, P(z < ?) = 0,5 0,1500 = 0,3500, portanto, z = 1,04 z = (a )/, 1,04 = [(a 73)/15], a = 88,5 P(z < ?) = P(z > ?) = 0,1200, P(z < ?) = 0,5 0,1200 = 0,3800, portanto, z = 1,175 z = (b )/, 1,175 = [(b 73)/15], b = 55.

Captulo 5 Distribuies de Probabilidades de Variveis Aleatrias Contnuas

1

5.5 a) [z > (a )/] = [z > (46 48)/2] P(x > 46000) = P(z > 1,00) = 0,5 + P(z < 1,00) = 0,5 + 0,3413 = 0,8413. b) [(a )/ < z < (b )/] = [(45 48)/2 < z < (50 48)/2] P(45000 < x < 50000) = P(1,5 < z < 1,00) = P(z < 1,5) + P(z < 1,00) = 0,4332 + 0,3413 = 0,7745.

5.6 a) [z < (a )/] = [z < (3 12)/5] P(x < 3) = P(z < 3,00) = 0,5 P(z < 3,00) = 0,5 0,49865 = 0,00135. b) [(a )/ < z < (b )/] = [(1 12)/5 < z < (15 12)/5] P(1 < x < 15) = P(2,60 < z < 0,60) = P(z < 2,60) + P(z < 0,60) = 0,4953 + 0,2257 = 0,7210.

5.7 a) [(a )/ < z < (b )/] = [(150 180)/25 < z < (178 180)/25] P(150 < x < 178) = P(1,20 < z < 0,08) = P(z < 1,20) P(z < 0,08) = 0,3849 0,0319 = 0,3530. b) P(z < ?) = 0,48, portanto, z = 2,05 z = (a )/, 2,05 = [(a 180)/25], a = 231,25 z = (b )/, 2,05 = [(b 180)/25], b = 128,75, portanto, 96% dos salrios esto entre $ 128,75 e 231,25.

5.8 X1 N (10 g; 0,25 g2) e X2 N (150 g; 64 g2) 120 * X1 + X2 = T ou N (1200 g; 30 g2) + N (150 g; 64 g2) = N (1350 g; 94 g2) [z > (a )/] = [z > (1370 1350)/(94)0,5] P(t > 1370) = P(z > 2,06) = 0,5 P(z < 2,06) = 0,5 0,4803 = 0,0197.

5.9 a) X1 N (70 kg; 400 kg2) e X2 N (12 kg; 25 kg2) 4 * X1 + 4 * X2 = T ou N (280 kg; 1600 kg2) + N (48 kg; 100 kg2) = N (328 kg; 1700 kg2) [z > (a )/] = [z > (350 328)/(1700)0,5] = 0,53 P(t > 350) = P(z > 0,53) = 0,5 P(z < 0,53) = 0,5 0,2019 = 0,2981. b) z > (b )/ = [(400 328)/(1700)0,5, z > (400 328)/(1700)0,5 = 1,74 P(t > 400) = P(z > 1,74) = 0,5 P(z < 1,74) = 0,5 0,4591 = 0,0409.

5.10 P(z < ?) = P(z < ?) = 0,5 0,12 = 0,38, portanto, z = 1,18 ... z = (a )/, 1,18 = (19 )/, = (19 )/1,18 P(z < ?) = 0,5 0,28 = 0,22, portanto, z = 0,58 ... z = (b )/, 0,58 = (34 )/, = (34 )/0,58


2

(19 )/1,18 = (34 )/0,58 ... 11,02 + 0,58 = 40,12 1,18 ... 1,76 = 51,14 ... = 29,06 e 0,58 = (34 )/ ... 0,58 = (34 29,06)/ ... = 8,52, 2 = 72,64.

5.11 X1 N (10; 9), X2 N (2; 4) e X3 N (5; 25) X1 + X2 + X3 = T ou N (10; 9) + N (2; 4) + N (5; 25)= N (13; 38). 5.12 a) [(a )/ < z < (b )/] = [(0,20 0,25)/0,02 < z < (0,28 0,25)0,02] P(0,20 < x < 0,28) = P(2,5 < z < 1,5) = P(z < 2,5) + P(z < 1,5) = 0,4938 + 0,4332 = 0,9270, portanto, 1 0,9270 = 0,0730 a porcentagem de defeituosos. b) P(z < ?) = 0,5 0,12 = 0,38, portanto, z = 1,17 ... z = (a )/ ... 1,17 = (? 0,25)/0,02 ... ? = 0,2266 polegadas.

5.13 z > (a )/ = z > (45 45)/3, P(x > 45) = P(z > 0) = 0,5 z > (b )/ = z > (45 40)/6, P(x > 45) = P(z > 0,83) = 0,5 0,2967 = 0,2033 Deve ser preferido o equipamento 1, uma vez que sua probabilidade de funcionar por mais de 45 horas maior que a probabilidade do equipamento 2.

5.14 P(z < ?) = 0,10 ... P(z < ?) = 0,40, portanto, z = 1,28 z = (a )/ ... 1,28 = [(400 )/20] ... = 425,6 g.

5.15 a) [(a )/ < z < (b )/] = {[( ) ]/ < z < [( + ) ]/} = [/ < z < /] P( < X < + ) = P(1 < z < 1) = 2 * P(z < 1) = 2 * 0,3413 = 0,6826. b) [(a )/ < z < (b )/] = {[( 2) ]/ < z < [( + 2) ]/} = [2/ < z < 2/] P( 2 < X < + 2) = P(2 < z < 2) = 2 * P(z < 2) = 2 * 0,4772 = 0,9544. c) [(a )/ < z < (b )/] = {[( 3) ]/ < z < [( + 3) ]/} = [3/ < z < 3/] P( 3 < X < + 3) = P(3 < z < 3) = 2 * P(z < 3) = 2 * 0,49865 = 0,9973. d) [(a )/ < z < (b )/] = {[( 1,5) ]/ < z < [( + 1,5) ]/} = [1,5/ < z < 1,5/] P( < X < + ) = P(1,5 < z < 1,5) = 2 * P(z < 1,5) = 2 * 0,4332 = 0,8664. e) [(a )/ < z < (b )/] = {[( 3,5) ]/ < z < [( + 3,5) ]/} = [3,5/ < z < 3,5/] P( 3,5 < X < + 3,5) = P(3,5 < z < 3,5) = 2 * P(z < 3,5) = 2 * 0,49977 = 0,999.

5.16 b) O intervalo compreendido entre o valor da mdia menos dois desvios padro e o valor da mdia mais dois desvios padro contm aproximadamente 95% das observaes.


3

c) O intervalo compreendido entre o valor da mdia menos trs desvios padro e o valor da mdia mais trs desvios padro contm aproximadamente 99,7% das observaes. d) O intervalo compreendido entre o valor da mdia menos um e meio desvio padro e o valor da mdia mais um e meio desvio padro contm aproximadamente 87% das observaes. e) O intervalo compreendido entre o valor da mdia menos trs e meio desvios padro e o valor da mdia mais trs e meio desvios padro contm aproximadamente 100% das observaes.

5.17 a) P(x < ?) = 0,05, P(x < ?) = 0,5 0,05 = 0,45 P(z < ?) = 0,45, portanto, z = 1,645 ... z = (a )/ ... 1,64 = (? 18)/8 ... ? = 4,88. b) P(x > ?) = 0,15, P(x < ?) = 0,5 0,15 = 0,35 P(z < ?) = 0,35, portanto, z = 1,04 ... z = (a )/ ... 1,04 = (? 20)/10 ... ? = 30,4. c) P(x < ?) = 0,10, P(x < ?) = 0,5 0,10 = 0,40 P(z < ?) = 0,40, portanto, z = 1,28 ... z = (a )/ ... 1,28 = (? 30)/7 ... ? = 21,04. d) P(x > ?) = 0,30, P(x < ?) = 0,5 0,30 = 0,20 P(z < ?) = 0,20, portanto, z = 0,52 ... z = (a )/ ... 0,52 = (? 120)/9 ... ? = 124,68. e) P(x < ?) = 0,25, P(x < ?) = 0,5 0,25 = 0,25 P(z < ?) = 0,25, portanto, z = 0,67 ... z = (a )/ ... 0,67 = (? 5)/3 ... ? = 2,99. f) P(x > ?) = 0,25, P(x < ?) = 0,5 0,25 = 0,25 P(z < ?) = 0,25, portanto, z = 0,67 ... z = (a )/ ... 0,67 = (? 78)/11 ... ? = 85,37.

g) P(x < ?) = 0,5 P(z < ?) = 0,5, portanto, z = 0 ... ? = = 30.

5.18 a) P(Z < Zo) = 0,05, P(Z < Zo) = 0,5 0,05 = 0,45, portanto, z = 1,64. b) P(Z < Zo) = 0,12, P(Z < Zo) = 0,5 0,12 = 0,38, portanto, z = 1,17. c) P(Z < Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39. d) P(Z < Zo) = 0,50, portanto, z = 0. e) P(Z < Zo) = 0,60, P(Z < Zo) = 0,60 0,5 = 0,10, portanto, z = 0,25. f) P(Z < Zo) = 0,75, P(Z < Zo) = 0,75 0,5 = 0,25, portanto, z = 0,67.

g) P(Z < Zo) = 0,90, P(Z < Zo) = 0,90 0,5 = 0,40, portanto, z = 1,28. h) P(Z > Zo) = 0,72, P(Z < Zo) = 0,28, P(Z < Zo) = 0,5 0,28 = 0,22, portanto, z = 0,58. i) j) P(Z > Zo) = 0,65, P(Z < Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39. P(Z > Zo) = 0,38, P(Z < Zo) = 0,5 0,38 = 0,12, portanto, z = 0,31.


4

l)

P(Z > Zo) = 0,08, P(Z < Zo) = 0,5 0,08 = 0,42, portanto, z = 1,41.

5.19 X N (65; 100) P(z > a) = 0,15, P(z < a) = 0,5 0,15 = 0,35, portanto, z = 1,04, z = (a )/ ... 1,04 = (a 65)/10 ... a = 75,4; P(z > b) = 0,15 + 0,20, P(z < b) = 0,5 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39, z = (b )/ ... 0,39 = (b 65)/10 ... b = 68,9; P(z > c) = 0,65, P(z < c) = 0,65 0,5 = 0,15, portanto, z = 0,39, z = (c )/ ... 0,39 = (c 65)/10 ... c = 61,10; P(z > d) = 0,90, P(z < c) = 0,90 0,5 = 0,40, portanto, z = 1,28, z = (d )/ ... 1,28 = (d 65)/10 ... d = 52,20; Portanto, E D C B 0 52,20 61,10 68,90 75,40

A 100

5.20 X N (50 ohms; 40 ohms2), P(a < x < b) = 0,99 e |a| = |b| P(z < b) = 0,99/2 = 0,4950, portanto z = 2,575 z = (b )/ ... 2,575 = (b 50)/6,32 ... 16,27 = (b 50) ... b = 16,27 + 50 (limite superior) e z = (a )/ ... 2,575 = (a 50)/6,32 ... 16,27 = (a 50) ... a = 16,27 50 (limite inferior).

5.21 X N (70; 100) P(z > a) = 0,15, P(z < a) = 0,5 0,15 = 0,35, portanto, z = 1,04, z = (a )/ ... 1,04 = (a 70)/10 ... a = 80,4; P(z > b) = 0,15 + 0,20, P(z < b) = 0,5 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39, z = (b )/ ... 0,39 = (b 70)/10 ... b = 73,9; P(z > c) = 0,65, P(z < c) = 0,65 0,5 = 0,15, portanto, z = 0,39, z = (c )/ ... 0,39 = (c 70)/10 ... c = 66,10; P(z > d) = 0,90, P(z < c) = 0,90 0,5 = 0,40, portanto, z = 1,28, z = (d )/ ... 1,28 = (d 70)/10 ... d = 57,20; Portanto, E D C B 0 57,20 66,10 73,90 80,40

A 100

5.22 X N (1,5 ano; 0,09 ano2) z < (a )/ = z < (1 1,5)/0,3 = z < 1,67, P(x < 1 ano) = P(z < 1,67) = 0,5 P(z < 1,67) = 0,5 0,4525 = 0,0475, ou, 570 mquinas.

5.23 P(x < 20), z < (a )/ = z < (20 18)/5, P(z < 0,40) = 0,5 + 0,1554 = 0,6554 P(x < 20), z < (b )/ = z < (20 20)/2, P(z < 0) = 0,50 Deve ser escolhido o trajeto A, uma vez que sua probabilidade maior que a probabilidade do trajeto B.


5

5.24 X N (104 anos; 225 anos2) P(x < 98), z < (a )/ = z < (98 104)/15, P(z < 0,4) = 0,5 P(z < 0,4) = 0,5 0,1554 = 0,3446, ou 1.378,5 empregados tm QI abaixo de 98 P(x > 110), z > (b )/ = z < (110 104)/15, P(z > 0,4) = 0,5 P(z < 0,4) = 0,5 0,1554 = 0,3446, ou 1.378,5 empregados tm QI acima de 110, assim, Total de adaptados = Total de empregados Total de no capacitados Total de supercapacitados = 4.000 1.378,5 1.378,5 = 1.243.

5.25 a) P(x > 200), z > (a )/ = z > (200 250)/20, P(z > 2,5) = 0,5 + P(z < 2,5) = 0,5 + 0,4938 = 0,9938. b) X = N(250, 20), portanto, Y = N(1000, 80) P(y > 1150), z > (a )/ = z > (1150 1000)/80, P(z > 1,875) = 0,5 P(z < 1,875) = 0,5 0,4672 = 0,0328.

5.26 X N (2; 0,0001), P(2,03 < x < 2,03) = ? [(a )/ < z < (b )/] = {[( 3) ]/ < z < [( + 3) ]/} = [3/ < z < 3/] P( 3 < X < + 3) = P(3 < z < 3) = 2 * P(z < 3) = 2 * 0,49865 = 0,9973 de no defeituosos, portanto, apenas 26 seriam defeituosos.

5.27 a) P(x > 50), z > (a )/ = z > (50 45)/8, P(z > 0,63) = 0,5 P(z < 0,63) = 0,5 0,2357 = 0,2643. b) P(z < ?) = 0,40, portanto, z = 1,28 z = (a )/, 1,28 = [(a 45)/8], a = 55 min e 15 segundos.

5.28 X1 N (94; 2,98) * 22 = N (2068; 65,56) X2 N (42; 1,21) * 14 = N (588; 16,94) e X3 N (3,35; 0,04) * 120 = N (402,0; 4,8) 22 * X1 + 14 * X2 + 120 * X3 = T = N (3058; 87,3). Peso Total = Caminho Vazio + Motorista + Produtos, Produtos = 3040 P(x < 3040) = ?, z < (a )/ = z < (3040 3058)/(87,3)0,5, P(z < 1,92) = 0,5 P(z < 1,92) = 0,5 0,4726 = 0,0274 Probabilidade de ser multado = 1,00 0,0274 = 0,9726 = 97%.

5.29 a) P(x < 80) = 0,5. b) P(x > 120) = ?, z > (a )/ = z > (120 80)/20, P(z > 2) = 0,5 P(z < 2) = 0,5 0,4772 = 0,0228.


6

c) P(x < 60) = ?, z < (a )/ = z < (60 80)/20, P(z < 1) = 0,5 P(z < 1) = 0,5 0,3413 = 0,1587 ou 32 candidatos.

5.30 P(y > 22) = ?, z > (a )/ = z > (22 16)/4, P(z > 1,5) = 0,5 P(z < 1,5) = 0,5 0,4332 = 0,0668. P(y < 15) = ?, z < (a )/ = z < (15 16)/4, P(z < 0,25) = 0,5 P(z < 0,25) = 0,5 0,0987 = 0,4013.

5.31 a) P(x < 700) = ?, z < (a )/ = z < (700 800)/90, P(z < 1,11) = 0,5 P(z < 1,11) = 0,5 0,3665 = 0,1335. b) P(780 < x < 820) = ?, [(a )/ < z < (b )/] = (780 800)/90 < z < (820 800)/90 = 0,22 < z < 0,22, P(0,22 < z < 0,22) = 2 * P(z < 0,22) = 2 * 0,0871 = 0,1742. c) P(Peixe acima, Peixe abaixo) + P(Peixe abaixo, Peixe acima) = 0,5.

5.32 X1 N (2; 0,01), X2 N (1; 0,00600625), X3 N (0,5; 0,00399424) e X4 N (1,5; 0,01100401) X1 + X2 + X3 + X4 = N (5; 0,0310045) P(4,9 < x < 5,1) = ?, [(a )/ < z < (b )/] = (4,9 5)/ 0,18 < z < (5,1 5)/ 0,18 = 0,56 < z < 0,56, P(0,56 < z < 0,56) = 2 * P(z < 0,56) = 2 * 0,2123 = 0,4246.


7

SRIE II 5.33 a) P(t < 1000) = 1 e t / 1000 = 1 e 1 = 1 0,3679 = 0,6321. b) = 1/, = 1/ (1/1000), portanto, = 1000 P(t > 1000) = e t / 1000 = e1 = 0,3679. c) = 1/, = 1/ (1/1000), = 1000 horas.

5.34 a) = t, 0,25 = * 1, = 0,25 P(t < 1) = 1 e t = 1 e 0,25 * (1) = 1 e 0,25 = 1 0,7788 = 0,2212. b) P(10 < t < 12) = e 0,0323. t1

e

t2

=e

0,25 * 10

e

0,25 * 12

=e

2,5

e

3

= 0,0821 0,0498 =

c) P(t = 4) = 0, uma vez que a rea de um ponto igual a zero. d) P(t > 3) = e t = e 0,25 * (3) = e 0,75 = 0,4724.

5.35 a) = 1 / , 4 = 1 / , = 0,25 P(t > 4) = e t = e 0,25 * (4) = e 1 = 0,3679. b) P(t < 5) = 1 e t = 1 e 0,25 * (5) = 1 e 1,25 = 1 0,2865 = 0,7135. c) P(t = 4) = 0, uma vez que a rea de um ponto igual a zero.

5.36 = 1 / , 100 = 1 / , = 0,01, portanto, P(t > 200) = e 0,01 * 200 = e 2 = 0,1353.


8

SRIE III 5.37 = 23, portanto, Mdia: (x223) = 23, Varincia: 2(x223) = 2 * 23 = 46 e Desvio padro: (x223) = (46)0,5 = 6,78, 3o Quartil: = 23 e = 0,25, Q3 = 27,141. 5.38 = 8 e = 0,10, assim, X2sup. = 13,36 e = 8 e = 0,90, assim, X2inf. = 3,49. 5.39 = 23, portanto, Mdia: (t23) = 0 e Moda: Mo = 0, Varincia: 2(t23) = 23 / (23 2) = 1,095 e Desvio-padro: (t23) = (1,095)0,5 = 1,0465, 3o Quartil: = 23 e = 0,25, Q3 = 0,6853 e, por simetria, 1o Quartil: Q1 = 0,6853. 5.40 a: = 20 e = 0,10, a = 1,3253 e b: = 20 e = 0,025, b = 2,0860.

5.41 1 = 8 e 2 = 10, portanto, Mdia: = 2 /(2 2), = 10 / 8 = 1,25 Varincia: 2 = [2 * 22 * (1 + 2 2)] / [1 * (2 4) * (2 2)2] = (2 * 100 * 16)/(8 * 6 * 64) = 1,042 e Desvio-padro: = (1,042)0,5 = 1,021 P95 = F5% (8, 10) = 3,07, logo, P95 = 3,07 e P5 = F95% (8, 10) = 1 / [F5% (10, 8)] = 1 / 3,35 = 0,2985, logo, P5 = 0,2985. 5.42 a) P(Z < Zo) = 0,25, P(Z < Zo) = 0,5 0,25 = 0,25, portanto, z = 0,67, z = (a )/, 0,67 = [(a 100)/7], a = 95,31. b) P(Z > Zo) = 0,65, P(Z < Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39. c) P(Z < Zo) = 0,80, P(Z < Zo) = 0,80 0,5 = 0,30, portanto, z = 0,84. d) P(1,57 z 2,42) = P(z < 1,57) + P(z < 2,42) = 0,4418 + 0,4922 = 0,9340. e) P(Z < Zo) = 0,40, portanto, z = 1,28, z = (a )/, 1,28 = [(a 2.000)/45], a = $ 2.057,60. f) 1o Quartil: = 30 e = 0,75, Q1 = 24,478.

g) X2: = 15 e = 0,90, X2 = 8,55. h) X2: = 15 e = 0,10, X2 = 22,31. i) 2(x223) = 50, portanto, = 25, D9: = 25 e = 0,10, D9 = 34,381.


9

j)

inf: x2inf = 13,8 e = 26, inf = 0,975 e sup: x2sup = 38,9 e = 26, sup = 0,05, portanto P(13,8 x226 38,9) = P(x226 13,8) P(x226 38,9) = 0,975 0,05 = 0,925. 3o Quartil: = 5 e = 0,25, Q3 = 0,7267.

l)

m) : = 8 e t = 2,3060, = 0,025. n) : = 14 e t = 2,9768, = 0,005, portanto, compl. = 1 0,005 = 0,995. o) 1: = 22 e t = 1,3212, 1 = 0,10 e 2: = 22 e t = 2,8188, 2 = 0,005, P(1,3212 t22 2,8188) = P(t22 1,3212) P(t22 2,8188) = 0,90 0,005 = 0,895. p) 95 Percentil: = 27 e = 0,05, P95 = 1,7033. q) 1: = 30 e t = 0,68276, 1 = 0,25 e 2: = 30 e t = 2,7500, 2 = 0,005, P(0,68276 t30 2,7500) = P(t22 0,68276) P(t22 2,7500) = 0,75 0,005 = 0,745. r) P5 = F95% (8, 7) = 1 / [F5% (7, 8)] = 1 / 3,50 = 0,2857, logo, P5 = 0,2857.

s) P95 = F5% (7, 8) = 3,50, logo, P95 = 3,50. t) Psup = Fsup (1, 8) = 5,32, logo, Sup = 0,05 e Pinf = 1 / Finf (8, 1) = 0,00418, logo, Inf = 0,95 P(0,00418 F(1, 8) 5,32) = P(F(1, 8) 0,00418) P(F(1, 8) 5,32) = 0,95 0,05 = 0,90

u) Pinf = 1 / Finf (4, 6) = 0,22075, Finf (4, 6) = 0,05, logo, Inf = 0,05


10

Captulo 6 Distribuies Amostrais Solues e Respostas

SRIE I 6.1 a) Mdia da Populao: = xi / N = 14 / 4 = 3,5 b) Desvio-Padro da Populao: 2 = [(xi )2] / N = 5 / 4 = 1,25 e = 1,1180 c) Amostras = {(2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5)} Mdia da distribuio amostral das mdias: (xmdia) = (xmdia da amostra 1 + ... + xmdia mostra n) / No de amostras = (2 + 2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3 + 3,5 + 4 + 3 + 3,5 + 4 + 4,5 + 3,5 + 4 + 4,5 + 5) / 16 = 56 / 16 = 3,5 d) Desvio-Padro da distribuio amostral das mdias: 2(xmdia) = [(xmdia de cada amostra (xmdia)2] / No de amostras = [( 1,5)2 + ( 1)2 + ( 0,5)2 + (0)2 + ( 1)2 + ( 0,5)2 + (0)2 + (0,5)2 + ( 0,5)2 + (0)2 + (0,5)2 + (1)2 + (0)2 + (0,5)2 + (1)2 + (1,5)2] / 16 = 10 / 16 = 0,625 e (xmdia) = 0,7906 Fica constatado que: (xmdia) = , uma vez que 3,5 = 3,5 e (xmdia) = / (n)0,5, uma vez que 0,7906 = 1,1180 / (2)0,5 6.2 a) Mdia da Populao: = xi / N = 14 / 4 = 3,5 b) Desvio-Padro da Populao: 2 = [(xi )2] / N = 5 / 4 = 1,25 e = 1,1180 c) Amostras = {(2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 2); (3, 4); (3, 5); (4, 2); (4, 3); (4, 5); (5, 2); (5, 3); (5, 4)} Mdia da distribuio amostral das mdias: (xmdia) = (xmdia da amostra 1 + ... + xmdia mostra n) / No de amostras = (2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3,5 + 4 + 3 + 3,5 + 4,5 + 3,5 + 4 + 4,5) / 12 = 42 / 12 = 3,5 d) Desvio-Padro da distribuio amostral das mdias: 2(xmdia) = [(xmdia de cada amostra (xmdia)2] / No de amostras = [( 1)2 + ( 0,5)2 + (0)2 + ( 1)2 + (0)2 + (0,5)2 + ( 0,5)2 + (0)2 + (1)2 + (0)2 + (0,5)2 + (1)2] / 12 = 10 / 12 = 0,4167 e (xmdia) = 0,6455 Fica constatado que: (xmdia) = , uma vez que 3,5 = 3,5 e (xmdia) = [(x) / (n)0,5] * [(N n)/(N 1)]0,5, uma vez que 0,6455 = [1,1180 / (2)0,5] * (2/3)0,5 6.3 Mdia Amostral: xmdia; Varincia Amostral: S2; Freqncia Relativa: f ; Diferena entre duas Mdias: (xmdia1 xmdia2); Diferena entre duas Freqncias Relativas: (f1 f2)

Captulo 6 Distribuies Amostrais

1

6.4 a) p = probabilidade de uma pea boa = 2/4 = Como neste primeiro caso temos reposio das peas, o nmero de amostras igual a Nn = 42 = 16 amostras: {(B1, B1); (B1, B2); (B1, D1); (B1, D2); (B2, B1); (B2, B2); (B2, D1); (B2, D2); (D1, B1); (D1, B2); (D1, D1); (D1, D2); (D2, B1); (D2, B2); (D2, D1); (D2, D2)} Para cada uma das amostras, devemos calcular o f, ou seja, o nmero de casos favorveis ao evento; retirar pelo menos uma pea boa sobre o nmero total de casos da amostra. Multiplicando cada um destes f pela probabilidade da amostra ocorrer (1/16), teremos (f). Portanto, (f) = 1/16 * 2/2 + 1/16 * 2/2 + 1/16 * + 1/16 * + 1/16 * 2/2 + 1/16 * 2/2 + 1/16 * + 1/16 * + 1/16 * + 1/16 * + 1/16 * 0/2 + 1/16 * 0/2 + 1/16 * + 1/16 * + 1/16 * 0/2 + 1/16 * 0/2 = 4 * (1/16 * 2/2) + 8 * (1/16 * ) + 4 * (1/16 * 0) = Como p = e as amostras so de tamanho 2 e com reposio, temos: [(p * q) / n] = [( * ) / 2] = 1/8 Para encontrar 2(f), devemos encontrar a E[f 2] e subtrair (f)2. E[f 2] = f 2 * p(f) = (2/2)2 * 1/16 + (2/2)2 * 1/16 + ()2 * 1/16 + ()2 * 1/16 + (2/2)2 * 1/16 + (2/2)2 * 1/16 + ()2 * 1/16 + ()2 * 1/16 + ()2 * 1/16 + ()2 * 1/16 + (0/2)2 * 1/16 + (0/2)2 * 1/16 + ()2 * 1/16 + ()2 * 1/16 + (0/2)2 * 1/16 + (0/2)2 * 1/16 = 4 * [(2/2)2 * 1/16] + 8 * [()2 * 1/16] + 4 * [0 * 1/16] = 3/8 2(f) = E[f 2] (f)2 = 3/8 (1/2)2 = 1/8 Portanto, fica constatado que: (f) = p, uma vez que 0,5 = 0,5 e 2(f) = [(p * q) / n], uma vez que 0,125 = 0,125. b) p = probabilidade de uma pea boa = 2/4 = Como neste segundo caso no temos reposio das peas, o nmero de amostras igual a = N = 4 = 6 amostras: {(B1, B2); (B1, D1); (B1, D2); (B2, D1); (B2, D2); (D1, D2)} n 2 Novamente, para cada uma das amostras, devemos calcular o f, ou seja, o nmero de casos favorveis ao evento; retirar pelo menos uma pea boa sobre o nmero total de casos da amostra. Multiplicando cada um destes f pela probabilidade da amostra ocorrer (1/6), teremos (f). Portanto, (f) = 1/6 * 2/2 + 1/6 * + 1/6 * + 1/6 * + 1/6 * + 1/6 * 0/2 = (1/6 * 2/2) + 4 * (1/6 * ) + (1/16 * 0) = Como p = e as amostras so de tamanho 2 e sem reposio, temos: [(p * q) / n] * [(N n) / (N 1)] = [( * ) / 2] * [(4 2) / (4 1)] = 1/8 * 2/3 = 1/12 Novamente, para encontrar 2(f), devemos encontrar E[f 2] e subtrair (f)2. E[f 2] = f 2 * p(f) = (2/2)2 * 1/6 + ()2 * 1/6 + ()2 * 1/6 + ()2 * 1/6 + ()2 * 1/6 + (0/2)2 * 1/6 = [(2/2)2 * 1/6] + 4 * [()2 * 1/6] + [0 * 1/6] = 1/3 2(f) = E[f 2] (f)2 = 1/3 (1/2)2 = 1/12 Portanto, fica constatado que: (f) = p, uma vez que 0,5 = 0,5 e 2(f) = [(p * q) / n], uma vez que 1/12 = 1/12.

6.5 xmdia = xi / n = (5 + 6 + ... + 4) / 30 = 104 / 30 = 3,48, utilizando o estimador, x* = N * xmdia, x = 15000 * 104 /30 = 52.000.


2

6.6 xmdia = ( xi * Fi) / n = (42 * 23 + ... + 3 * 1) / 50 = 1471 / 50 = 29,42, utilizando o estimador, x* = N * xmdia, x = 676 * 29,42 = 19.888 assinaturas.


3

Captulo 7 Inferncia Estatstica: Estimativas por Ponto e Intervalos de Confiana Solues e Respostas

SRIE I 7.1 n = 25, xmdia = 5,2 mm, = 1,2 mm Para (1 ) * 100 = 90%, /2 = 5%, portanto z = 1,64; aplicando a frmula: P {xmdia [z * /(n)0,5] xmdia + [z * /(n)0,5]} temos, P [5,2 (1,64 * 1,2 / 5) 5,2 + (1,64 * 1,2 / 5)] = P (4,81 5,59), portanto, o intervalo [4,81; 5,59] contm a mdia populacional com 90% de confiana. Para (1 ) * 100 = 95%, /2 = 2,5%, portanto z = 1,96, que aplicando a frmula: P {xmdia [z * /(n)0,5] xmdia + [z * /(n)0,5]} temos, P [5,2 (1,96 * 1,2 / 5) 5,2 + (1,96 * 1,2 / 5)] = P (4,73 5,67), portanto, o intervalo [4,73; 5,67] contm a mdia populacional com 95% de confiana. Para (1 ) * 100 = 99%, /2 = 0,5%, portanto z = 2,56, que aplicando a frmula: P {xmdia [z * /(n)0,5] xmdia + [z * /(n)0,5]} temos, P [5,2 (2,56 * 1,2 / 5) 5,2 + (2,56 * 1,2 / 5)] = P (4,58 5,82), portanto, o intervalo [4,58; 5,82] contm a mdia populacional com 99% de confiana.

7.2 n = 6, xmdia = 26,883, = 1,4 Para (1 ) * 100 = 95%, /2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a frmula: P {xmdia [z * /(n)0,5] xmdia + [z * /(n)0,5]} temos, P [26,88 (1,96 * 1,4 / 2,45) 26,88 + (1,96 * 1,4 / 2,45)] = P (25,76 28,00), portanto, o intervalo [25,76; 28,00] contm a mdia populacional com 95% de confiana. Para (1 ) * 100 = 90%, /2 = 0,05, portanto z = 1,64, que aplicando a frmula: P {xmdia [z * /(n)0,5] xmdia + [z * /(n)0,5]} temos, P [26,88 (1,64 * 1,4 / 2,45) 26,88 + (1,64 * 1,4 / 2,45)] = P (25,94 27,82), portanto, o intervalo [25,94; 27,82] contm a mdia populacional com 90% de confiana.

7.3 n = 100, xmdia = 175 cm, = 15 cm Para (1 ) * 100 = 95%, /2 = 2,5%, portanto z = 1,96, que aplicando a frmula: P {xmdia [z * /(n)0,5] xmdia + [z * /(n)0,5]} temos, P [175 (1,96 * 15 / 10) 175 + (1,96 * 15 / 10)] = P (172,06 177,94), portanto, o intervalo [172,06 cm; 177,94 cm] contm a verdadeira altura mdia dos alunos com 95% de confiana.

7.4 n = 10, xmdia = 110, S = 10 Para (1 ) * 100 = 90% e graus de liberdade = 9, portanto t = 1,83, que aplicando a frmula: P {xmdia [t * S/(n)0,5] xmdia + [t * S/(n)0,5]} temos, P [110 (1,83 * 10 / 3,16) 110 + (1,83 * 10 / 3,16)] = P (104,21 115,79), portanto, o intervalo [104,21; 115,79] contm a mdia populacional com 90% de confiana.

Captulo 7 Inferncia Estatstica: Estimativas por Ponto e Intervalos de Confiana

1

Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 9, portanto t = 2,26, que aplicando a frmula: P {xmdia [t * S/(n)0,5] xmdia + [t * S/(n)0,5]} temos, P [110 (2,26 * 10 / 3,16) 110 + (2,26 * 10 / 3,16)] = P (102,85 117,15), portanto, o intervalo [102,85; 117,15] contm a mdia populacional com 95% de confiana. Admite-se a hiptese de que a distribuio de probabilidade da populao seja normal.

7.5 n = 16, xmdia = 10,875, S = 2,63 Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 15, portanto t = 2,1315, que aplicando a frmula: P {xmdia [t * S/(n)0,5] xmdia + [t * S/(n)0,5]} temos, P [10,875 (2,1315 * 2,63 / 4) 10,875 + (2,1315 * 2,63 / 4)] = P (9,474 12,276), portanto, o intervalo [9,474; 12,276] contm a mdia populacional com 95% de confiana. Para (1 ) * 100 = 80% e graus de liberdade = 15, portanto t = 1,3406, que aplicando a frmula: P {xmdia [t * S/(n)0,5] xmdia + [t * S/(n)0,5]} temos, P [10,875 (1,3406 * 2,63 / 4) 10,875 + (1,3406 * 2,63 / 4)] = P (9,994 11,756), portanto, o intervalo [9,994; 11,756] contm a mdia populacional com 80% de confiana. A amplitude do primeiro intervalo de 2,80, enquanto a amplitude do segundo de 1,77. A preferncia poderia ser pelo segundo intervalo, mas sua probabilidade de erro de 20%, enquanto a probabilidade do primeiro de apenas 5%. Logo, a opo de escolha pelo primeiro a mais indicada.

7.6 n = 30, xmdia = 296,63 kg, S = 22,23 kg Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 29, portanto t = 2,05, que aplicando a frmula: P {xmdia [t * S/(n)0,5] xmdia + [t * S/(n)0,5]} temos, P [296,63 (2,05 * 22,23 / 5,48) 296,63 + (2,05 * 22,23 / 5,48)] = P (287,31 305,95), portanto, a amostra satisfaz especificao, pois o intervalo [287,31 kg; 305,95 kg] contm o peso mdio da populao (300 kg) com 95% de confiana.

7.7 a) xmdia = xi / n = 394 / 30 = 13,13 e S2 = [(xi xmdia)2] / (n 1) = 2,05. b) Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 29, portanto t = 2,05, que aplicando a frmula: P {xmdia [t * S/(n)0,5] xmdia + [t * S/(n)0,5]} temos, P [13,13 (2,05 * 1,43 / 5,48) 13,13 + (2,05 * 1,43 / 5,48)] = P (12,60 13,66), portanto, o intervalo [12,60; 13,66] contm a mdia populacional com 94,5% de confiana.

7.8 n = 4, xmdia = 29,2 s, S2 = 5,76 s2, S = 2,4 Para (1 ) * 100 = 90% e graus de liberdade = 3, portanto t = 2,35, que aplicando a frmula: P {xmdia [t * S/(n)0,5] xmdia + [t * S/(n)0,5]} temos, P [29,2 (2,35 * 2,4 / 2) 29,2 + (2,35 * 2,4 / 2)] = P (26,38 32,02), portanto, o intervalo [26,38 s; 32,02 s] contm a mdia populacional com 90% de confiana.


2

7.9 a) n = 12, xmdia = 10,42 e S = 4,98 Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 11, portanto t = 2,2, que, aplicando a frmula: P {xmdia [t * S/(n)0,5] xmdia + [t * S/(n)0,5]} temos P [10,42 (2,2 * 4,98 / 3,46) 10,42 + (2,2 * 4,98 / 3,46)] = P (7,25 13,59), portanto, o intervalo [7,25; 13,59] contm a mdia populacional com 95% de confiana. b) n = 55, xmdia = 23,37 e S = 4,38 Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 54, portanto t = 2,0049, que aplicando a frmula: P {xmdia [t * S/(n)0,5] xmdia + [t * S/(n)0,5]} temos P [23,37 (2 * 4,38 / 7,42) 23,37 + (2 * 4,38 / 7,42)] = P (22,19 24,55), portanto, o intervalo [22,19 24,55] contm a mdia populacional com 95% de confiana. c) n = 15, xmdia = 10,33 e S = 4,24. Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 14, portanto t = 2,1448, que aplicando a frmula: P {xmdia [t * S/(n)0,5] xmdia + [t * S/(n)0,5]} temos P [10,33 (2,15 * 4,24 / 3,87) 10,33 + (2,15 * 4,24 / 3,87)] = P (7,97 12,69), portanto, o intervalo [7,97; 12,69] contm a mdia populacional com 95% de confiana.

7.10 a) n = 6, S2 = 0,72 Para (1 ) * 100 = 90% e graus de liberdade = 5, portanto x2inf = 1,145 e x2sup = 11,071, que aplicando a frmula: P {[(n 1) * S2] / x2sup 2 [(n 1) * S2] / x2inf} temos P [(5 * 0,72) / 11,1 2 (5 * 0,72) / 1,15] = P (0,32 2 3,13), portanto, o intervalo [0,32; 3,13] contm a varincia populacional com 90% de confiana. b) n = 15, S2 = 3,81 Para (1 ) * 100 = 90% e graus de liberdade = 14, portanto x2inf = 6,571 e x2sup = 23,685, que aplicando a frmula: P {[(n 1) * S2] / x2sup 2 [(n 1) * S2] / x2inf} temos P [(14 * 3,81) / 23,685 2 (14 * 3,81) / 6,57] = P (2,25 2 8,12), portanto, o intervalo [2,25; 8,12] contm a varincia populacional com 90% de confiana.

7.11 n = 10, S2 = 2,25 Para (1 ) * 100 = 80% e graus de liberdade = 9, portanto x2inf = 4,168 e x2sup = 14,684, que aplicando a frmula: P {[(n 1) * S2] / x2sup 2 [(n 1) * S2] / x2inf} temos P [(9 * 2,25) / 14,684 2 (9 * 2,25) / 4,168] = P (1,38 2 4,86), portanto, o intervalo [1,38; 4,86] contm a varincia populacional com 80% de confiana. Admite-se a hiptese de que a distribuio de probabilidade da populao seja normal.

7.12 Relembrando a frmula de varincia e aplicando os valores, temos S2 = 1 / (n 1) * [(xi2) (xi)2 / n] = 1 / (15 1) * [27,3 (8,7)2 / 15] = 1,59 e n = 15, Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 14, portanto x2inf = 5,629 e x2sup = 26,12, que aplicando a frmula: P {[(n 1) * S2] / x2sup 2 [(n 1) * S2] / x2inf} temos P [(14 * 1,59) / 26,12 2 (14 * 1,59) / 5,629] = P (0,85 2 3,95), portanto, o intervalo [0,85; 3,95] contm a varincia populacional com 95% de confiana.


3

7.13 n = 30, S2 = 494,17 Para (1 ) * 100 = 99% e graus de liberdade = 29, portanto x2inf = 13,121 e x2sup = 52,336, que aplicando a frmula: P {([(n 1) * S2] / x2sup)0,5 2 ([(n 1) * S2] / x2inf)0,5} temos P {[(29 * 494,17) / 52,336]0,5 [(29 * 494,17) / 13,121]0,5} = P (16,55 33,05), portanto, o intervalo [16,55; 33,05] contm o desvio-padro populacional com 99% de confiana.

7.14 Relembrando a frmula de varincia e aplicando os valores, temos S2 = 1 / (n 1) * [(xi2) (xi)2 / n] = 1 / (30 1) * [23436,80 (700,8)2 / 30] = 243,66 e n = 30, para (1 ) * 100 = 90% e graus de liberdade = 29, portanto x2inf = 17,708 e x2sup = 42,557, que aplicando a frmula: P {[(n 1) * S2] / x2sup 2 [(n 1) * S2] / x2inf} temos P [(29 * 243,66) / 42,557 2 (29 * 243,66) / 17,708] = P (166,04 2 399,04), portanto, o intervalo [166,04; 399,04] contm a varincia populacional com 90% de confiana.

7.15 n = 100, f = 0,93 Para (1 ) * 100 = 95%, /2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a frmula: P {f [z * (f * (1 f) / n)0,5] p f + [z * (f(1 f) / n)0,5]} temos P {0,93 [1,96 * (0,93 * 0,07 / 100)0,5] p 0,93 + [1,96 * (0,93 * 0,07 / 100)0,5]} = P (0,88 p 0,98), portanto, o intervalo [16,55; 33,05] contm a proporo populacional com 95% de confiana.

7.16 n = 400, f = 0,25 Para (1 ) * 100 = 98%, /2 = 0,01, portanto z = 2,33, que aplicando a frmula: P {f [z * (f * (1 f) / n)0,5] p f + [z * (f(1 f) / n)0,5]} temos P {0,25 [2,33 * (0,25 * 0,75 / 400)0,5] p 0,25 + [2,33 * (0,25 * 0,75 / 400)0,5]} = P (0,20 p 0,30), portanto, o intervalo [0,20; 0,30] contm a proporo populacional com 98% de confiana.

7.17 n = 50, f = 0,60 Para (1 ) * 100 = 96%, /2 = 0,02, portanto z = 2,05, que aplicando a frmula: P {f [z * (f * (1 f) / n)0,5] p f + [z * (f(1 f) / n)0,5]} temos P {0,60 [2,05 * (0,60 * 0,40 / 50)0,5] p 0,60 + [2,05 * (0,60 * 0,40 / 50)0,5]} = P (0,46 p 0,74), portanto, pode-se dizer, ao nvel de 96%, que a moeda honesta, pois o intervalo de confiana para a proporo de caras [0,46; 0,74] contm p = 50%.

7.18 n = 120, f = 0,2083 Para (1 ) * 100 = 99%, /2 = 0,005, portanto z = 2,575, que aplicando a frmula: P {f [z * (f * (1 f) / n)0,5] p f + [z * (f(1 f) / n)0,5]} temos P {0,2083 [2,575 * (0,2083 * 0,7917 / 120)0,5] p 0,2083 [2,575 * (0,2083 * 0,7917 / 120)0,5]} = P (0,1128 p 0,3038), portanto, pode-se dizer, ao nvel de 99%, que o dado honesto, pois o intervalo de confiana para a proporo de cincos [0,11; 0,30] contm p = 17%.


4

7.19 n = 300, f = 0,60 Para (1 ) * 100 = 90%, /2 = 0,05, portanto z = 1,645, que aplicando a frmula: P {f [z * (f * (1 f) / n)0,5] p f + [z * (f(1 f) / n)0,5]} temos P {0,60 [1,645 * (0,60 * 0,40 / 300)0,5] p 0,60 [1,645 * (0,60 * 0,40 / 300)0,5]} = P (0,553 p 0,647), portanto, o intervalo [0,553; 0,647] contm a proporo populacional de favorveis fluorao com 90% de confiana. Para (1 ) * 100 = 95%, /2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a frmula: P {f [z * (f * (1 f) / n)0,5] p f + [z * (f(1 f) / n)0,5]} temos P {0,60 [1,96 * (0,60 * 0,40 / 300)0,5] p 0,60 [1,96 * (0,60 * 0,40 / 300)0,5]} = P (0,545 p 0,655), portanto, o intervalo [0,545; 0,655] contm a proporo populacional de favorveis fluorao com 95% de confiana.


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Captulo 8 Amostragem Solues e Respostas

SRIE I 8.1 a) = 7000, d = 2000, (1 ) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a frmula: n = {(z2 * 2 * N) / [d2 * (N 1) + z2 * 2]} = [4 * 49000000 * 100 / (4000000 * 99 + 4 * 49000000)] = 196 * 108 / 592 * 106 = 33. b) n = 33 e N = 100, portanto, a = 100 / 33 = 3 e a amostra ser composta pelos elementos correspondentes a: 1, 4, 7,10, ..., 100, ou seja, a amostra ser: 29, 12, 34, 30, 24, 31, 20, 4, 14, 18, 31, 18, 26, 5, 30, 29, 32, 21, 16, 22, 32, 13, 23, 21, 32, 30, 14, 22, 19, 7, 26, 30, 17, 9. c) Amplitude: r = 34 4 = 30 No de intervalos: k 1 + 3,22 * log34 1 + 3,22 * 1,53 6 Tamanho do intervalo: h 30 / 6 5Classe 1 2 3 4 5 6 Somas Intervalos 4 9 14 19 24 29 9 14 19 24 29 34 Fi 3 3 6 7 3 12 34

d) xmdia = ( xi * Fi) / n = (6,5 * 3 + ...+ 31,5 * 12) / 34 = 22,38, ou seja, $ 2.238. e) S2 = 1 / (n 1) * [(xi2 * Fi) (xi * Fi)2 / n] = 1 / (34 1) * [19406,5 (761)2 / 34] = 71,93, portanto S = 8,48, ou seja, $ 848. f) = xi / n = (29 + ...+ 9) / 100 = 19,62, ou seja, $ 1962, | xmdia | = | 1962 2238 | = $ 276 que menor que $ 2.000, portanto, | xmdia | d foi verificado.

8.4 pest = qest = 0,5, d = 0,05, (1 ) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a frmula: n = z2 * pest * qest / d2 = 4 * 0,25 / 0,0025 = 400. 8.5 pest = qest = 0,5, d = 0,05, N = 200.000, (1 ) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a frmula: n = {(z2 * pest * qest * N) / [d2 * (N 1) + z2 * pest * qest]} , temos [4 * 0,25 * 200000 / 0,0025 * (199999) + 4 * 0,25)] = 200000 / 499,9975 = 399. Comparando-se os resultados de 8.4 e 8.5, verifica-se que o clculo do tamanho amostral para uma populao de 200.000 d, aproximadamente, o mesmo resultado, se considerarmos a populao infinita.

Captulo 8 Amostragem

1

8.7 pest = qest = 0,5, d = 0,03, (1 ) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a frmula: n = z2 * pest * qest / d2 = 4 * 0,25 / 0,0009 = 1111, ou seja, uma amostra de 1.111 semforos. 8.8 = 10, d = 3, (1 ) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a frmula: n = (z * / d)2 = (2 * 10 / 3)2 = 44.

8.9 a) O fato de cada criana receber um questionrio no garante aleatoriedade ao processo, uma vez que famlias que no tm filhos ou crianas que faltaram, por exemplo, no participam da amostra. b) Apesar de o centro da cidade apresentar grande nmero de pessoas ao meio-dia, o processo no pode ser considerado aleatrio, pois no garante que todas as pessoas da populao participem da amostra. c) Apesar da escolha ser aleatria, os 10 membros no representam todos os 26 Estados.

8.10 = 3, d = 1, (1 ) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a frmula: n = (z * / d)2 = (2 * 3 / 1)2 = 36.

8.11 pest = qest = 0,5, d = 0,03, N = 10000, (1 ) * 100 = 99%, ou seja: z = 2,57, aplicando a frmula: n = {(z2 * pest * qest * N) / [d2 * (N 1) + z2 * pest * qest]} , temos [6,60 * 0,25 * 10000 / 0,0009 * (9999) + 6,60 * 0,25)] = 16500 / 10,65 = 1550.

8.12 pest = 0,4, qest = 0,6, d = 0,025, N = 5000, (1 ) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a frmula: n = {(z2 * pest * qest * N) / [d2 * (N 1) + z2 * pest * qest]} , temos [4 * 0,24 * 5000 / 0,000625 * (4999) + 4 * 0,24)] = 4800 / 4,08 = 1175.

8.13 pest = 0,8, qest = 0,2, d = 0,01, (1 ) * 100 = 98%, ou seja: z = 2,33, aplicando a frmula: n = z2 * pest * qest / d2 = 5,43 * 0,16 / 0,0001 = 8686.

Captulo 8 Amostragem

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Captulo 9 Inferncia Estatstica Solues e Respostas

SRIE I 9.1 9.2 Quando um professor decide aprovar um aluno, poder estar cometendo um Erro tipo II aceitar H0, sendo H0 falsa no caso, aprovar o aluno quando deveria reprov-lo. Por outro lado, quando um professor decide reprovar o aluno, poder estar cometendo um Erro tipo I rejeitar H0, sendo H0 verdadeira no caso, reprovar o aluno quando deveria aprov-lo. 9.3 Poder ocorrer o Erro tipo II, caso o gerente contrate o profissional. Isto : contrata e o profissional revela-se sem qualidades aceitar H0 falsa. Por outro lado, quando o gerente dispensa (no contrata) determinado profissional, poder estar cometendo o Erro tipo I rejeitar H0 verdadeira. Isto : no contrata e o profissional revela-se com qualidades, em outro emprego assemelhado.

9.4 H0: = 50 contra H1: > 50, 2 = 25, n = 25 e = 10%, portanto, na tabela normal, Z = 1,28 Utilizando a frmula Z = (xc ) / [ / (n)0,5], temos: 1,28 = (xmdia 50) / (5/5), portanto, xmdia = 51,28 e assim, a regra de deciso para H0 ser: Rejeitar H0 quando Xmdia > 51,28 e Aceitar H0 quando Xmdia 51,28 Para = 50,4, P(/ = 50,4) = P(Xmdia < 51,28/ = 50,4) = P[z < (51,28 50,4) / (5/5) = 0,88] = 0,3106 + 0,5 = 0,8106, Para = 50,8, P(/ = 50,8) = P(Xmdia < 51,28/ = 50,8) = P[z < 0,48] = 0,1844 + 0,5 = 0,6844, Para = 51,2, P(/ = 51,2) = P(Xmdia < 51,28/ = 51,2) = P[z < 0,08] = 0,0319 + 0,5 = 0,5319, Para = 51,6, P(/ = 51,6) = P(Xmdia < 51,28/ = 51,6) = P[z < 0,32] = 0,5 0,1255 = 0,3745, Para = 52,0, P(/ = 52,0) = P(Xmdia < 51,28/ = 52,0) = P[z 0,5820 e Aceitar H0 quando Xmdia 0,5820 Para p = 0,55, P(/p = 0,55) = P(Xmdia < 0,582/ = 0,55) = P(z < 0,64) = 0,2389 + 0,5 = 0,7389, Para p = 0,60, P(/p = 0,60) = P(Xmdia < 0,582/ = 0,60) = P(z < 0,36) = 0,5 0,1406 = 0,3594, Para p = 0,65, P(/p = 0,65) = P(Xmdia < 0,582/ = 0,65) = P(z < 1,36) = 0,5 0,4131 = 0,0869, Para p = 0,70, P(/p = 0,70) = P(Xmdia < 0,582/ = 0,70) = P(z < 2,36) = 0,5 0,4909 = 0,0091, Para p = 0,75, P(/p = 0,75) = P(Xmdia < 0,582/ = 0,75) = P(z < 3,36) = 0,5 0,4996 = 0,0004,p = p0 (%) 0,55 73,89 0,60 35,64 0,65 8,69 0,70 0,91 0,75 0,04

Curva Caracterstica e Operao 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0,5 0,55 0,6 0,65 =0 0,7 0,75 0,8

9.8 H0: = 1,70 contra H1: < 1,70, = 0,2, n = 36 e = 8%, portanto, na tabela normal, Z = 1,41 Utilizando a frmula Z = (xc ) / [ / (n)0,5], temos: 1,41 = (xm c 1,70) / (0,2 / 6), xm c = 1,653 assim, a regra de deciso para H0 ser: Rejeitar H0 quando Xmdia > 1,653 e Aceitar H0 quando Xmdia 1,653; P(/ = 1,65) = P(Xmdia < 1,653/ = 1,65) = P[z < (1,653 1,65) / (0,2 / 6)] = P[z < 0,09] = 0,5 0,0359 = 0,4641 ou 46,41%.

(%)

Captulo 9 Inferncia Estatstica

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SRIE II 9.9 H0: = 16 contra H1: 16, N(13,5; 4,42), n = 25 (24 graus) e = 5%, portanto, na tabela t Student, t/2 = 2,0639 e t/2 = 2,0639 tcal = {(xmdia o)/[S/(n)0,5]} = {(13,5 16) / [4,4 / (25)0,5]} = 2,8409 Como tcal < t/2, rejeita-se H0: = 16 com um nvel de significncia de 5%. 9.10 Primeiramente, calculando a mdia e a varincia da amostra, temos: xmdia = xi / n = (10 + ... + 15) / 15 = 12,2 S2 = 1 / (n 1) * [xi2 (xi)2 / n] = 1 / (15 1) * [2269 (183)2 / 15] = 2,6 e S = 1,61 H0: = 12,5 contra H1: 12,5, N(12,2; 1,612), n = 15 (14 graus) e = 5%, portanto, na tabela t Student, t/2 = 2,145 e t/2 = 2,145 tcal = {(xmdia o)/[S/(n)0,5]} = (12,2 12,5) / [1,61 / (15)0,5] = 0,72 Como t/2 tcal t/2, no se pode rejeitar H0: = 12,5 com um nvel de significncia de 5% H0: = 12,5 contra H1: > 12,5, N(12,2; 1,612), n = 15 (14 graus) e = 5%, portanto, na tabela t Student, t = 1,7613 tcal = {(xmdia o)/[S/(n)0,5]} = (12,2 12,5) / [1,61 / (15)0,5] = 0,72 Como tcal t, no se pode rejeitar H0: = 12,5 com um nvel de significncia de 5% H0: = 12,5 contra H1: < 12,5, N(12,2; 1,612), n = 15 (14 graus) e = 5%, portanto, na tabela t Student, t = 1,7613 tcal = {(xmdia o)/[S/(n)0,5]} = (12,2 12,5) / [1,61 / (15)0,5] = 0,72 Como tcal t, no se pode rejeitar H0: = 12,5 com um nvel de significncia de 5%. 9.11 Primeiramente, calculando a mdia e a varincia da amostra, temos: xmdia = ( xi . Fi) / n = (7,5 * 3 + ... + 27,5 * 2) / 21 = 16,55 S2 = 1 / (n 1) * [(xi2 * Fi) (xi * Fi)2 / n] = 1 / (21 1) * [6431,25 (347,5)2 / 21] = 34,05 e S = 5,84 H0: = 20 contra H1: 20, N(16,55; 5,842), n = 21 (20 graus) e = 2,5% ou 2% (aproximadamente), portanto, na tabela t Student, t/2 = 2,5280 e t/2 = 2,5280 tcal = {(xmdia o)/[S/(n)0,5]} = (16,55 20) / [5,84 / (21)0,5] = 2,71 Como tcal < t/2, rejeita-se H0: = 20 com um nvel de significncia de 2,5%. 9.12 a) Primeiramente, calculando a mdia da amostra, temos: xmdia = xi / n = (41 + ... + 50) / 20 = 49,35 Quando temos a varincia da populao, utilizam-se a tabela normal e o Zcal para o teste de significncia. H0: = 50 contra H1: 50, N(49,35; 22), n = 20 e = 5%, portanto, na tabela normal, Z/2 = 1,96 e Z/2 = 1,96 Zcal = {(xmdia o)/[/(n)0,5]} = (49,35 50) / [(2)0,5/ (20)0,5] = 2,06 Como Z/2 Zcal Z/2, no se pode rejeitar H0: = 50 com um nvel de significncia de 5%. b) Primeiramente, calculando a varincia da amostra, temos:


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S2 = 1 / (n 1) * [xi2 (xi)2 / n] = 1 / (20 1) * [48849 (987)2 / 20] = 7,40 e S = 2,72 Neste caso, como no temos o valor da varincia da populao, calculamos a varincia da amostra e, devido perda de um grau de liberdade, utilizamos a tabela t Student e o tcal. H0: = 50 contra H1: 50, N(49,35; 2,722), n = 20 (19 graus) e = 5%, portanto, na tabela t Student, t/2 = 2,0930 e t/2 = 2,0930 tcal = (xmdia o)/[S/(n)0,5] = (49,35 50) / [2,72 / (20)0,5] = 1,068 Como t/2 tcal t/2, no se pode rejeitar H0: = 50 com um nvel de significncia de 5%. 9.13 Primeiramente, calculando a mdia e a varincia da amostra, temos: xmdia = xi / n = (25 + ... + 31) / 15 = 31,80 S2 = 1 / (n 1) * [xi2 (xi)2 / n] = 1 / (15 1) * [15449 (477)2 / 15] = 20,02 e S = 4,48 H0: = 30 contra H1: 30, N(31,80; 4,482), n = 15 (14 graus) e = 10%, portanto, na tabela t Student, t/2 = 1,7613 e t/2 = 1,7613 tcal = {(xmdia o)/[S/(n)0,5]} = (31,80 30) / [4,48 / (15)0,5] = 1,556 Como t/2 tcal t/2, no se pode rejeitar H0: = 30 com um nvel de significncia de 10%. 9.14 a) xmdia = xi / n = (12,4 + ... + 12,7) / 8 = 12,325 S2 = 1 / (n 1) * [xi2 (xi)2 / n] = 1 / (8 1) * [1215,76 (98,6)2 / 8] = 0,0736. b) H0: 2 = 1,00 contra H1: 2 < 1,00, S2 = 0,0736, n = 8 (7 graus) e = 5%, portanto, na tabela qui quadrado, Xinf2 = 2,167 e com = 10%, portanto, Xinf2 = 2,833 Xcal2 = {[(n 1) * S2] / o2} = (7 * 0,0736) / 1 = 0,49 Como em ambos casos Xcal2 < Xinf2, rejeita-se H0: 2 = 1,00 com nveis de significncia de 5% e 10%. c) A hiptese admitida de que a populao tem distribuio normal.

9.15 Primeiramente, calculando a mdia e a varincia da amostra, temos: xmdia = ( xi . Fi) / n = (7,5 * 3 + ... + 27,5 * 1) / 20 = 16,00 S2 = 1 / (n 1) * [(xi2 * Fi) (xi * Fi)2 / n] = 1 / (20 1) * [5675 (320)2 / 20] = 29,21 H0: 2 = 10,0 contra H1: 2 10,0, S2 = 29,21, n = 20 (19 graus) e = 20%, portanto, na tabela qui quadrado, Xinf2 = 11,651 e Xsup2 = 27,204 Xcal2 = {[(n 1) * S2] / o2} = (19 * 29,21) / 10 = 55,50 Como Xcal2 > Xsup2, rejeita-se H0: 2 = 10,0 com nvel de significncia de 20%. 9.16 Primeiramente, calculando a mdia e a varincia da amostra, temos: xmdia = xi / n = 8,7 / 15 = 0,58 S2 = 1 / (n 1) * [xi2 (xi)2 / n] = 1 / (15 1) * [27,3 (8,7)2 / 15] = 1,59 H0: 2 = 4,0 contra H1: 2 4,0, S2 = 1,59, n = 15 (14 graus) e = 1%, portanto, na tabela qui quadrado, Xinf2 = 4,075 e Xsup2 = 31,319 Xcal2 = {[(n 1) * S2] / o2} = (14 * 1,59) / 4 = 5,57 Como Xinf2 Xcal2 Xsup2, no se pode rejeitar H0: 2 = 4,0 com nvel de significncia de 1%.


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9.17 H0: p = 0,50 contra H1: p 0,50, n = 500, f = 0,52 e = 5%, portanto, na tabela normal, Z/2 = 1,96 e Z/2 = 1,96 Zcal = {(f po) / [[po * (1 po)] / n]0,5} = {(0,52 0,5) / [(0,5 * 0,5) / 500]0,5} = 0,89 Como Z/2 Zcal Z/2, no se pode rejeitar H0: p = 0,50 com nvel de significncia de 5%. 9.18 a) H0: p = 0,80 contra H1: p 0,80, n = 140, f = 0,79 e = 4%, portanto, na tabela normal, Z/2 = 2,05 e Z/2 = 2,05 Zcal = {(f po) / [[po * (1 po)] / n]0,5} = {(0,79 0,8) / [(0,8 * 0,2) / 140]0,5} = 0,30 Como Z/2 Zcal Z/2, no se pode rejeitar H0: p = 0,80 com nvel de significncia de 4%. b) H0: p = 0,70 contra H1: p 0,70, n = 140, f = 0,64 e = 2%, portanto, na tabela normal, Z/2 = 2,33 e Z/2 = 2,33 Zcal = {(f po) / [[po * (1 po)] / n]0,5} = {(0,64 0,7) / [(0,7 * 0,3) / 140]0,5} = 1,55 Como Z/2 Zcal Z/2, no se pode rejeitar H0: p = 0,70 com nvel de significncia de 2%. c) H0: p = 0,40 contra H1: p 0,40, n = 50, f = 0,68 e = 1%, portanto, na tabela normal, Z/2 = 2,57 e Z/2 = 2,57 Zcal = {(f po) / [[po * (1 po)] / n]0,5} = {(0,68 0,4) / [(0,4 * 0,6) / 50]0,5} = 4,04 Como Zcal > Z/2, rejeita-se H0: p = 0,40 com nvel de significncia de 1%. 9.19 H0: p = 0,50 contra H1: p 0,50, n = 100, f = 0,60 e = 5%, portanto, na tabela normal, Z/2 = 1,96 e Z/2 = 1,96 Zcal = {(f po) / [[po * (1 po)] / n]0,5} = {(0,60 0,50) / [(0,50 * 0,50) / 100]0,5} = 2,00 Como Zcal > Z/2, rejeita-se H0: p = 0,50, ou seja, que a moeda honesta com nvel de significncia de 5%.

9.20 H0: p = 0,50 contra H1: p 0,50, n = 500, f = 0,60 e = 4%, portanto, na tabela normal, Z/2 = 2,05 e Z/2 = 2,05 Zcal = {(f po) / [[po * (1 po)] / n]0,5} = {(0,60 0,50) / [(0,50 * 0,50) / 500]0,5} = 4,47 Como Zcal > Z/2, rejeita-se H0: p = 0,50 com nvel de significncia de 5%. 9.21 H0: p = 0,40 contra H1: p > 0,40, n = 90, f = 0,44 e = 5%, portanto, na tabela normal, Z = 1,64 Zcal = {(f po) / [[po * (1 po)] / n]0,5} = {(0,44 0,40) / [(0,40 * 0,60) / 90]0,5} = 0,85 Como Zcal Z, no se pode rejeitar H0: p = 0,40 com nvel de significncia de 5%. 9.22 H0: 12 = 22 contra H1: 12 22, S12 = 43,2, S22 = 29,5, = 10%, portanto, na tabela F, com 1 = n1 1 = 40 e 2 = n2 1 = 30, Fsup = 1,79 e Finf = 1 / F(30,40) = 0,57 Fcal = S12 / S22 = 43,2 / 29,50 = 1,46 Como Finf Fcal Fsup, no se pode rejeitar H0: 12 = 22 com nvel de significncia de 10%.


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9.24 Primeiramente, calculando as varincias das amostras, temos: SA2 = 1 / (n 1) * [xi2 (xi)2 / n] = 1 / (6 1) * [890 (64)2 / 6] = 41,47 SB2 = 1 / (n 1) * [xi2 (xi)2 / n] = 1 / (6 1) * [2198 (98)2 / 5] = 119,47 Tomando as marcas A e B: H0: A2 = B2 contra H1: A2 B2, SA2 = 41,47, SB2 = 119,47 e = 10%, portanto, na tabela F, com 1 = n1 1 = 5 e 2 = n2 1 = 5, Fsup = 5,05 e Finf = 1 / F(5, 5) = 0,20 Fcal = S12 / S22 = 41,47 / 119,47 = 0,347 Como Finf Fcal Fsup, no se pode rejeitar H0: A2 = B2 com nvel de significncia de 10%. 9.25 H0: 1 = 2 contra H1: 1 2, n1 = 60, xmdia 1 = 5,71, 12 = 43, n2 = 35, xmdia 2 = 4,12, 22 = 28 e = 4%, portanto, na tabela normal, Z/2 = 2,05 e Z/2 = 2,05 Zcal = {(xmdia 1 xmdia 2) / [(12 / n1) + (22 / n2)]0,5} = {(5,71 4,12) / [(43 / 60) + (28 / 35)]0,5} = 1,29 Como Z/2 Zcal Z/2, no se pode rejeitar H0: 1 = 2 com nvel de significncia de 4%. 9.26 Primeiramente, calculando as mdias das amostras, temos: xmdia A = xi / n = (14 + ... + 12) / 6 = 64 / 6 = 10,67 xmdia B = xi / n = (45 + ... + 10) / 6 = 98 /

Resolução- Gilberto de Andrade

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