1Seu Pé Direito naS MelhoreS FaculDaDeS INSPER – 10/06/2012

INSPERJUN2012 CPV

20. Sendo p uma constante real positiva, considere a função f, dada pela lei

f (x) = − + ≤

− ≥

xp se x p

px p se x p

942

,

,,

ecujográficoestádesenhadoaseguir,foradeescala.

Nessas condições, o valor de p é igual a:

a) 12

b) 1

c) 32

d) 2

e) 52

Resolução:

Sendo f (x) = − + ≤

− ≥

xp se x p

px p se x p

942

,

,

temos: f (p) = − + =1 94

54

Assim, p

p p

p

p pp

>

− =

⇒>

− − =

⇒ =0

2 54

0

4 8 5 02 252

Alternativa E

21. Em um campeonato disputado por 20 equipes, quatro delas são consideradas “times grandes”. Numa rodada desse campeonato, na qual todas as 20 equipes disputaram um únicojogo,houveexatamentetrêspartidasenvolvendopelomenosumtimegrande.Ototaldegolsmarcadosnessastrêspartidas foi 2. Apenas com essas informações, conclui-se que nessa rodada, necessariamente:

a) pelo menos um time grande marcou um gol. b) pelo menos uma partida envolvendo um time grande

não terminou empatada. c) nenhumtimegrandemarcoumaisdeumgol. d) no mínimo um e no máximo dois times grandes venceram

sua partida. e) nomínimoumenomáximotrêstimesgrandestiveram

0 a 0 como resultado.

Resolução:

Se temos 3 times “grandes” nesse universo de 20 equipes, os demais 17 times são “pequenos”.

Em uma rodada do campeonato em que todos os 20 times jogam, temos 10 partidas, das quais, segundo o enunciado, exatamente 3 envolvem, ao menos, um time “grande”.

Porexclusãodehipóteses,aúnicadistribuiçãopossívelé:

● 1partidaenvolvendoum time“grande”contraoutro time“grande” (G x G);

● 2 partidas envolvendo um time “grande” contra um time“pequeno” (G x P);

● 7partidasenvolvendoumtime“pequeno”contraoutrotime“pequeno” (P x P).

Aseguir,oenunciadoinformaque,naquelestrêsjogosenvolvendo“times grandes” (G x G, G x P e G xP),houve2gols.Assim,háalguns cenários possíveis de construir:

um time “pequeno” faz 2 x 0 em um “grande”, e os demais jogos terminam em 0 x 0. Isso invalida a alternativa A.

O clássico entre “grandes” termina em 1 x 1, e os demais jogos em 0 x 0. Isso invalida a alternativa B.

O clássico entre “grandes” termina em 2 x 0 em favor do time “grande”, e os demais jogos terminam em 0 x 0. Isso invalida a alternativa C.

O clássico entre “grandes” termina empatado, e os dois times “pequenos”ganhamde1x 0 de seu respectivo adversário “grande”. Nenhum“grande”vence,oqueinvalidaaalternativaD.

JáaalternativaEveiculaumainferênciacorreta:mesmoqueumdos jogos P x G termine em 2 x 0, os outros dois terminarão sem gols (inclusive o clássico entre “grandes”; 3 “grandes” anotam 0 x 0). E mesmo que o clássico termine em 1 x 0, e outra partida P x G idem, o terceiro jogo terminará empatado em 0 x 0 (apenas 1 “grande” anota 0 x 0).

Alternativa E

INSPER – 10/06/2012 Seu Pé Direito naS MelhoreS FaculDaDeS2

CPV INSPERJUN2012

Texto para as questões 22 e 23.

Um jogo é disputado por duas pessoas em um tabuleiro quadrado 5 x5.Cadajogador,demaneiraalternada,escolheumacasavazia do tabuleiro para ocupá-la com uma peça da sua cor. Ao finaldojogo,seconseguiuocupar3oumaiscasasalinhadaseconsecutivascompeçasdasuacor,umjogadorganhapontosde acordo com a tabela abaixo.

Númerodecasasalinhadas Pontos obtidos3 14 45 10

Entende-seporcasasalinhadasaquelasqueestejamnumamesmavertical,numamesmahorizontalounumamesmadiagonal.Nojogo mostrado abaixo, por exemplo, o jogador das peças claras marcou 15 pontos e o das peças escuras marcou 10 pontos.

Peças claras:10 + 4 + 1 = 15 pontos

Peças escuras: 10 pontos

O jogo termina quando todas as casas são ocupadas.

22. Um jogo entre duas pessoas terminou com o tabuleiro preenchidocomomostraafigura.

A soma dos pontos obtidos pelos dois jogadores foi: a) 19. b) 20. c) 21. d) 22. e) 23.

Resolução: O jogador com peças escuras completou uma fila semilonga

(4casas)equatrofilascurtas(3casas).

Apontuaçãoalheseratribuídaéde4+1+1+1+1=8pontos.

Jáojogadorcompeçasclarascompletouduasfilassemilongasequatrofilascurtas.

A pontuação correspondente é de 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12 pontos.

Assim,asomatotaldepontosobtidosé8+12=20 pontos.

Alternativa B

3Seu Pé Direito naS MelhoreS FaculDaDeS INSPER – 10/06/2012

INSPERJUN2012 CPV

23. Afiguramostraasituaçãodeumtabuleiroduranteumjogonomomentoemque15casasjáhaviamsidoocupadas.

Nessaconfiguração,onúmeromáximodepontosqueojogador das peças escuras poderá acumular ao final dojogo é:

a) 23. b) 24. c) 25. d) 26. e) 27.

Resolução: Inicialmente, observemos que existem 10 casas ainda em aberto no

jogo. Vamos supor que restem ao jogador com as peças escuras, portanto, 5 lances.

Uma estratégia inteligente seria garantir a maior quantidade de filaslongas(com5casas,valendo10pontoscada).

Existemsomente4filasdessecomprimentoqueojogadorpodeobter — em linguagem matricial, para facilitar a descrição, temos: 1a coluna, 3alinha,5alinhaediagonalprimáriadamatriz.

Testando as 6 possíveis combinações, notamos que uma em particular (3alinhaediagonalprimária)aindapermiteposicionaruma última peça escura de modo a obter uma fila semilonga (4 casas alinhadas), além de duas filas curtas (3 casasalinhadas)debrinde.Aprovidencialconfiguração,que totaliza 10 + 10 + 4 + 1 + 1 = 26 pontos, segue abaixo:

Obs1: na figura, círculos escuros pequenos indicam peçasposicionadasapósoestadoinicial.

Obs 2: preferimos omitir as 5 peças claras, situadas posteriormente,paramelhorleitura.

Alternativa D

24. No plano cartesiano, as retas r e stêmcoeficientesangularesiguais a 1/3 e 2, respectivamente, e a reta t tem equação y = k, sendo k uma constante positiva.

SeaáreadotriângulodestacadonafiguraéA, então o valor de k é:

a) 45A

b) 65A

c) 54A

d) 74A

e) 32A

Resolução:

Nográfico,temos:

Pela reta r: K = 13 a Þ a = 3K

Pela reta s: K = 2b Þ b = K2

Portanto,aáreadestacadanafigurapodesercalculadapor:

A = aK bK K K K K2 2 2 3 2

54

2− = −

= Þ K =

45A

Alternativa A

K

b a

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CPV INSPERJUN2012

Texto para as questões 25 e 26.

Considere um losango ABCD em que M, N, P e Q são os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Um dos ângulos internos desse losango mede α, sendo 0° < α < 90°.

25. Nessas condições, o quadrilátero convexo MNPQ:

a) é um quadrado. b) é um retângulo que não é losango. c) é um losango que não é retângulo. d) é um paralelogramo que não é retângulo nem losango. e) não possui lados paralelos.

Resolução:

Os segmentos MN e PQ são bases médias dos triângulos ABC e ACD,respectivamente,portantomedemametadedabaseACesão paralelas a ela.

O mesmo ocorre como os segmentos MQ e NP: são bases médias dostriângulosABDeBCD,medemametadedabaseBDesãoparelelos a ela.

Sabemosque,nolosango,asdiagonaisACeBDsãoperpendiculares.

Assim, como as bases médias são paralelas às bases, MNPQ é retângulo.

ComoABCDnãoéquadrado(poisumdeseusângulosinternoséagudo),ACeBDnãosãocongruentes.

Concluímos, então, que as bases médias MN e NP dos triângulos ABCeBCDnãosãocongruentese,portanto,MNPQnãoélosango.

Alternativa B

M

B

N

CA

Q P

D

26. Se α = 60°, então a razão entre o perímetro do losango ABCD e o perímetro do quadrilátero MNPQ, nessa ordem, é igual a:

a) 3 + 1. b) 2. c) 3.

d) 32

e) 2 3−2.

Resolução:

Se α = 60º, temos:

ComootriânguloABDéequilátero,

BD= e AM = MC = 32 .

Utilizando as propriedades da base média do triângulo, temos:

MN = PQ = 32 e MQ = PN =

2

Então, a razão entre os perímetros será:

4

341 3

+=

+( ) = 2 ( 3 – 1)

Alternativa E

M

B

N

CA

Q P

D

M60º

5Seu Pé Direito naS MelhoreS FaculDaDeS INSPER – 10/06/2012

INSPERJUN2012 CPV

27. Para estimar o valor de log128 7, uma pessoa dispunhasomentedográficodafunçãof(x)=2x, reproduzido abaixo fora de escala.

Utilizandoosdadosdográficoealgumaspropriedadesdaspotências, essa pessoa pôde concluir que log128 7 vale, aproximadamente:

a) 0,1. b) 0,2. c) 0,3. d) 0,4. e) 0,5.

Resolução:

log128 7 = w Þ7=128w Þ 7 = 27w

Analisandoográfico,vemosque:

f (x) = 2x = 7 Þx=2,8

Assim: 7w=2,8 w = log128 7 = 0,4

Alternativa D

28. Nafiguraaseguir,ospontosM, N, O, P, Q e R pertencem aos lados do triângulo equilátero ABC, de perímetro 6 cm, de modo que

● AM=AN=2xcm; ● BO=BP=CQ=CR=xcm.

Se a áreadohexágonoMNOPQR é metade da área do triângulo ABC, então o valor de x é igual a:

a) 3

3

b) 12

c) 34

d) 36

e) 14

Resolução:

Doenunciado,temos:

ComoaáreadohexágonoMNOPQRpodesercalculadapelaáreado ΔABC – ΔANM – ΔBOP – ΔCQR,temos:

ΔABC – ΔANM – ΔBOP – ΔCQR=DABC2

4 34

4 34

34

34

4 38

2 2 2− − − =

x x x

Þ x = 3

3 ou x = –3

3 (não convém)Alternativa A

2x 2x

2x

x x

xxx

x

22

2

INSPER – 10/06/2012 Seu Pé Direito naS MelhoreS FaculDaDeS6

CPV INSPERJUN2012

29. Uma função f, cujo domínio é o conjunto {x Î / x > 0}, é tal que, para todo a, b Î *+,verifica-seaigualdade:

f (ab) = f (a) + f (b).

Nessas condições, f (2) + f 12 é igual a:

a) 0

b) 12

c) 1

d) 54

e) 32

Resolução:

Dasinformaçõesdoenunciado,temos:

f (a . b) = f (a) + f (b) f (a) = f (a) + f (1)

Þ f (1) = 0

f (2) + f 12 = f 2

12⋅

= f (1) f (2) + f

12 = 0

Alternativa A

30. Em cada ingresso vendido para um show de música, éimpresso o número da mesa onde o comprador deverá se sentar. Cada mesa possui seis lugares, dispostos conforme o esquema a seguir.

O lugar da mesa em que cada comprador se sentará não vemespecificadonoingresso,devendoosseisocupantesentrar em acordo. Os ingressos para uma dessas mesas foram adquiridos por um casal de namorados e quatro membros de uma mesma família. Eles acordaram que os namorados poderiam sentar-se um ao lado do outro. Nessas condições, o número de maneiras distintas em que as seis pessoas poderão ocupar os lugares da mesa é:

a) 96. b) 120. c) 192. d) 384. e) 720.

Resolução:

O casal de namorados possui 4 maneiras distintas de se sentar.

Para cada uma delas teremos:

namorados

2 . 1 . 4 = 2! . 4!=48 3 . 2 . 1

Assim, para as 4 maneiras:

4 .48=192 maneiras

Alternativa C

7Seu Pé Direito naS MelhoreS FaculDaDeS INSPER – 10/06/2012

INSPERJUN2012 CPV

31. Quando 5 funcionários trabalham simultaneamentenuma repartição pública, cada um consegue atender, em média, 30 pessoas por dia. Assim, em um dia, são atendidas 150 pessoas no total. Aumentando-se o número de funcionários na repartição, o número médio de atendimentos cai, pois os funcionários passam a ter de dividir os recursos físicos (computadores, arquivos, mesas etc.), fazendo com que o tempo de cada atendimento aumente. Estima-se que, a cada funcionário adicional que passeatrabalharnarepartição,amédiadeatendimentosdiários por funcionário caia 2 pessoas.

De acordo com essa estimativa, o menor número defuncionários que deverão trabalhar simultaneamente narepartição para que o total de pessoas atendidas em um dia seja 192 é:

a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.

Resolução:

Sendo x o número de funcionários adicionais, do enunciado temos:

número de funcionários: 5 + x número médio de atendimentos: 30 – 2x total de pessoas atendidas: 192

Logo, (5 + x) . (30 – 2x) = 192 Þ x = 3 ou x = 7

Portanto, o menor número de funcionários será 5 + 3 = 8

Alternativa C

32. Em uma pirâmide quadrangular regular, a área lateral é o dobro da área da base.

Nesse caso, cada face lateral forma com o plano da base um ângulo que mede:

a) 15°. b) 30°. c) 45°. d) 60°. e) 75°.

Resolução:

Área lateral: SL = 4 . x h.2 =2xh

Área da base: SB = x2

Doenunciado,temos:SL = 2 . SB Þ2xh=2x2 Þh=x

Dotriânguloretânguloassinalado,temos:

cos θ =

x

h

x

x2 2 1

2= =

Portanto, θ = 60°

Alternativa D

h

θxx

2

x

INSPER – 10/06/2012 Seu Pé Direito naS MelhoreS FaculDaDeS8

CPV INSPERJUN2012

33. Considere um número complexo z,demódulo10,talque

z = (K + i)2,

em que K é um número real.

A parte real desse número complexo é igual a:

a) 5 3. b) 8. c) 5 2. d) 6. e) 5.

Resolução:

| w2 | = | w |2 Þ

k22

1+( ) = 10 Þ

k2 + 1 = 10 Þ

k2 = 9

Assim, z = k2 – 1 + 2k

A parte real de z é 8.Alternativa B

34. Ostrensdedeterminadalinhapassamnumadeterminadaestação a cada 15 minutos, pontualmente. A probabilidade dequeumapessoachegueàestaçãoemuminstantequalquerdodiaetenhadeesperarmaisde10minutosporumtremdessalinhaéiguala:

a) 14

b) 13

c) 12

d) 23

e) 34

Resolução:

Analisando o intervalo de tempo entre 2 trens consecutivos em blocos de 5 minutos, temos:

0 I 5 II 10 III 15

Paraqueapessoatenhadeesperarmaisde10minutos,eladevechegaràestaçãoemalguminstantedentrodoblocoI.

A probabilidade de isso ocorrer é 13

Alternativa B

9Seu Pé Direito naS MelhoreS FaculDaDeS INSPER – 10/06/2012

INSPERJUN2012 CPV

35. Nafiguraaseguir,abase inferiordocubodearestaa está inscrita na base superior do cilindro circular reto de altura a.

A distância entre o vértice V do cubo e o centro da base inferior do cilindro é igual a:

a) 5 32a

b) 5 22a

c) 3 32a

d) a 32 e)

3 22a

Resolução:

Observeafiguraaseguir:

Temos que OC é raio da base do cilindro e, ao mesmo tempo, metade da diagonal da base do cubo de lado a.

Assim, OC = a 22 .

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo VOC, temos:

OC2 + VC2 = VO2 Þ a 22

2

+ (2a)2 = VO2

Þ VO = 3a 22 Alternativa E

V

a

a

CO

COMENTÁRIO DE ANÁLISE QUANTITATIVA e LÓGICA

AProva deAnáliseQuantitativa eLógica do processo seletivo dovestibulardoINSPER(Junho/2012)manteveseuformatotradicional,com questões contextualizadas, bastante conceituais e abrangentes.

Destacamosacriatividadenaexploraçãodasquestõescomgráficos,quevemmarcandoumestilodiferenciadodovestibulardoINSPER.

Esperamos que a Banca Examinadora alcance seus objetivos, selecionandoosmelhorescandidatos.