Resolução Livro VETORES & Geometria Analítica Steinbruch e Winterle

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Resoluo livro Geometria Analtica Steinbruch e Winterle, Exerccio resolvido Captulo 2.8, n 15

15) Determinar o simtrico do ponto P(3, 1, -2) em relao ao ponto A(-1, 0, -3).


14) Mostrar que os pontos A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) so vrtices de um

paralelogramo.


12) Verificar se so colineares os pontos:

a) A(-1, -5, 0), B(2, 1, 3) e C(-2, -7, -1)

b) A(2, 1, -1), B(3, -1, 0) e C(1, 0, 4)


13) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3, 1, -2), B(1, 5, 1) e C(a, b, 7).
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11) Determinar a e b de modo que os vetores u = (4, 1, -3) e v = (6, a, b) sejam paralelos.


10) Encontrar os nmeros a1 e a2 tais que w = a1v1 + a2v2, sendo v1 = (1, -2, 1), v2 = (2, 0, -4) e w = (-4, -4,

14). (tal que w, v1, v2 so vetores)


9) Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1)+ 2v = (6, 10, 4) - v.


8) Dados os pontos A(-1, 2, 3) e B(4, -2, 0), determinar o ponto P tal que AP = 3AB.
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7) Dados os pontos A(2, -3, 1) e B(4, 5, -2), determinar o ponto P tal que AP = PB.


6) Dados os pontos A(-1, 3), B(1, 0), C(2, -1), determinar D tal que DC = BA.


5) Dados os vetores u = (2, -4), v = (-5, 1) e w = (-12, 6), determinar k1 e k2 talque w = k1u + k2v.


4) Dados os vetores u = (3, -4) e v = (-9/4, 3), verificar se existem numeros a e b tais que u = av e v = bu.
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3) Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5) e C(3, -1), calcular OA - AB, OC - BC e 3BA - 4CB.


2) Dados os vetores u = (3, -1) e v = (-1, 2) determinar o vetor w tal que

a) 4(u - v) + 1/3w = 2u - w

b) 3w - (2v - u) = 2(4w - 3u)

1) Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v = (2, -5), sabendo que sua origem o ponto

A(-1, 3).
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Resoluo livro Geometria Analtica Steinbruch e Winterle Exerccio resolvido Captulo 3.16 Problema

proposto n 26

26) Os ngulos diretores de um vetor so 45, 60 e y. Determinar y.


proposto n 25

25) Os ngulos diretores de um vetor podem ser de 45, 60 e 90? Justificar.


proposto n 24

24) Verificar se existe ngulo reto no tringulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1).


proposto n 23

23) Qual o valor de a para que os vetores a=ai + 5j - 4k e b=(a+1)i + 2j + 4k sejam ortogonais?
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proposto n 22

22) Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(-3, -2, 1) so vrtices de um tringulo retngulo.


proposto n 21

21) Determinar o vetor v, colinear ao vetor u=(-4, 2, 6), tal que v.w=-12, sendo w=(-1, 4, 2).


proposto n 20

20) Determinar o vetor v ortogonal ao vetor u=(2, -3, -12) e colinear ao vetor w=(-6, 4, -2).
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proposto n 19

19) Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u=(1, -1, 2), tal que v.u=-18.


proposto n 18

18) Dados os vetores a=(2, 1, a), b=(a+2, -5, 2) e c=(2a, 8, a), determinar o valor de a para que o vetor a+b seja

ortogonal ao vetor c-a.


proposto n 17

17) Calcular n para que seja de 30 o ngulo entre os vetores u=(1, n, 2) e j.



proposto n 16

16) Sabendo que o ngulo entre os vetores u=(2, 1, -1) e v=(1, -1, m+2)

Resoluo livro Geometria Analtica Steinbruch e Winterle, Exerccio resolvido Captulo 3.16, Problema

proposto n 15

15) Determinar os ngulos do tringulo de vrtices A(2, 1, 3), B(1, 0, -1) e C(-1, 2, 1).


proposto n 14

14) Os lados de um tringulo retngulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular AB . AC + BA . BC +

CA . CB.
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proposto n 13

13) Os pontos A, B e C so vrtices de um tringulo equiltero cujo lado mede 10cm. Calcular o produto

escalar dos vetores AB e AC.


proposto n 12

12) Seja o tringulo de vrtices A(-1, -2, 4), B(-4, -2, 0) e C(3, -2, 1). Determinar o ngulo interno ao vrtice B.


proposto n 11

11) Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante dos pontos A(2, -3, 1) e B(-2, 1, -1).
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proposto n 10

10) Calcular o permetro do tringulo de vrtices A(0, 1, 2), B(-1, 0, -1) e C(2, -1, 0).


proposto n 9

9) Dados os pontos A(3, m - 1 , -4) e B(8, 2m - 1 , m), determinar m de modo que | AB | =


proposto n 8

8) Dados os pontos A(1, 0, -1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que |v| = 7, sendo v

= mAC + BC.


proposto n 7

7) Seja o vetor v = (m + 7)i + (m + 2)j + 5k. Calcular m para que |v| =



proposto n 4

4) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(-6, -2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor 3BA - 2BC.


proposto n 3

3) Determinar o vetor v, sabendo que :: (3, 7, 1) + 2v = (6, 10, 4) - v.


proposto n 2

2) Dados os pontos A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3), determinar o vetor x tal que 2x - AB = x + (BC . AB) AC.


proposto n 1

1) Dados os vetores u = (1, a, -2a - 1), v = (a, a -1, 1) e w = (a, -1, 1), determinar a de modo que u . v = (u + v) . w.



proposto n 10

10) Qual deve ser o valor de m para que os pontos A(3, m, 1), B(1, 1, -1) e C(-2, 10, 4) pertenam mesma

reta?


proposto n 9

9) Mostrar que os pontos A(-1, 4, -3), B(2, 1, 3) e C(4, -1, 7) so colineares.


proposto n 8

8) Determinar as equaes reduzidas, tendo z como varivel independente, da reta que passa pelos pontos P1(-

1, 0, 3) e P2(1, 2, 7).



proposto n 7

7) Estabelecer as equaes reduzidas (varivel independente x) da reta determinada pelos pares de pontos:

a) A(1, -2, 3) e B(3, -1, -1)

b) A(-1, 2, 3) e B(2, -1, 3)


proposto n 6

6) Determinar as equaes reduzidas, com varivel independente x, da reta que passa pelo ponto A(4, 0, -3) e

tem a direo do vetor v=2i+4j+5k.


proposto n 5

5) O ponto P(2, y, z) pertence reta determinada por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). Calcular P.



proposto n 4

4) Determinar os pontos da reta r: (x-3)/2 = (y+1)/-1 = z/-2 que tm (a) abscissa 5; (b) ordenada 4; (c) cota 1.


proposto n 3

3) Determinar m e n para que o ponto P(3, m, n) pertena reta

s: x = 1-2t

y = -3-t

z = -4+t


proposto n 2

2) Determinar o ponto da reta

r: x = 2 - t

y = 3+t

z = 1-2t que term abscissa 4.


proposto n 1

1) Verificar se os pontos P1(5, -5, 6) e P2(4, -1, 12) pertencem reta r: (x-3)/-1 = (y+1)/2 = (z-2)/-2



proposto n 60


proposto n 59



proposto n 58


proposto n 57


proposto n 56



proposto n 55


proposto n 54



proposto n 53


proposto n 52


proposto n 51

51) Determinar o ponto de interseo da reta r com o plano
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proposto n 50

50) Determinar o ponto de interseo da reta r com o plano


proposto n 49

Determinar o ponto de interseo da reta r com o plano

49) r: x=2y-3=2z-3/3 e -y+3y-9=0


proposto n 48

Determinar as equaes paramtricas da reta interseo dos planos: 48) -2=0 e



proposto n 46

46) -2y-z-1=0 e -z-7=0


proposto n 45

45) -y+z-3=0 e


proposto n 44

44) Calcular os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano



proposto n 43

43) Mostrar que a reta r est contida no plano -3z-1=0.


proposto n 42

42) Mostrar que a reta r paralela ao plano


proposto n 41

41) Seja o paraleleppedo de dimenses 2, 3 e 4, representado a seguir. Determinar:


proposto n 40

40) Determinar as equaes paramtricas da reta que passa pelo ponto A(-1, 0, 0) e paralela a cada um dos

planos -y-z+1=0 e -5=0.



proposto n 34

34) Determinar o valor de m para que seja de 30 o ngulo entre os planos:

1: x+my+2z-7=0 e 2: 4x+5y+3z-2=0


proposto n 33

33) Determinar o ngulo entre os seguintes planos:


proposto n 32

32) Estabelecer equaes paramtricas do plano determinado pelos pontos A(1, 1, 0), B(2, 1, 3) e C(-1, -2, 4).



proposto n 31

-2y-z-6=0, determinar um sistema de equaes paramtricas de


proposto n 29

29) Estabelecer as equaes dos planos bissetores dos ngulos formados pelos planos xOz e yOz.


proposto n 28

28) Determinar a equao geral do plano que contm o ponto e a reta dados: A(1, -2, 1) e o eixo dos x.



proposto n 26

26) Determinar a equao geral do plano que contm o ponto e a reta dados:

A(1, 2, 1) e a reta interseo do plano pi: x-2y+z-3=0 com o plano yOz.


proposto n 24

24) Determinar a equao geral do plano que contm o ponto e a reta dados:



proposto n 20

20) Determinar a equao geral do plano que contm os seguintes pares de retas:


proposto n 18

18) Determinar a equao geral do plano que contm os pontos A(1, -2, 2) e B(-3, 1, -2) e perpendicular ao

-z+8=0.


proposto n 15

15) Determinar o valor de a para que os pontos A(a, -1, 5), B(7, 2, 1), C(-1, -3, -1) e D(1, 0, 3) sejam

coplanares.



proposto n 11

11) A(-1, 2, 0), B(2, -1, 1) e C(1, 1, -1).


proposto n 9

9) Determinar a equao geral do plano paralelo ao plano xOy e que contm o ponto A(5, -2, 3);


proposto n 6

6) Determinar a equao geral do plano paralelo ao eixo dos z e que contm os pontos A(0, 3, 1) e B(2, 0, -1);


proposto n 4

4) Determinar a equao geral do plano mediador do segmento de extremos A(1, -2, 6) e B(3, 0, 0);



proposto n 3

3) Determinar a equao geral do plano perpendicular reta

r: x = 2y-3

z = -y+1 ; e que contm o ponto A(1, 2, 3);


proposto n 2

2) Determinar a equao geral do plano paralelo ao plano -3y -z +5=0 e que contm o ponto A(4, -1, 2);


proposto n 1

1) Seja o plano: -y +3z + 1 = 0 ; Calcular: a) b) c) d)



proposto n 10


proposto n 9



proposto n 8


proposto n 6



proposto n 5
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