Resolução pRova de matemática (pRova veRde) uFsc 2010

Prof. Guilherme Sada Ramos – “Guiba”

Questão 21 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Na final do revezamento 4 x 100 m livre masculino, no Mundial de Natação, em

Roma 2009, participaram: Estados Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália, África do Sul, Reino Unido e Austrália. Os distintos modos pelos quais poderiam ter sido distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze são em número de 56.

02. Considere a operação Ψ que aplicada a um par (x, y) nos dá a raiz quadrada da

soma de x com y, ou seja, yx Ψ = yx + . Se 13ax += e 15ay += e

aplicarmos a operação Ψ , obteremos a2 + 4.

04. Na tabela seguinte está representada a distribuição, por turno, dos alunos da última fase do curso de Matemática de uma universidade.

Diurno Noturno Mulheres 9 4 Homens 5 2

Três alunos do curso são escolhidos ao acaso para formarem a comissão de

formatura. A probabilidade de que a comissão seja composta por duas pessoas do noturno e uma do diurno é de 7/38.

08. Em O homem que calculava, de Malba Tahan, pseudônimo do professor Júlio

César de Mello e Souza, o leitor não somente aprende Matemática como também

belos exemplos de ensinamentos morais, apresentados ao longo das histórias que

compõem o livro. Um dos problemas mais conhecidos é o da divisão dos 35

camelos que deveriam ser repartidos por três herdeiros, do seguinte modo: o mais

velho deveria receber a metade da herança; o segundo deveria receber um terço

da herança e o terceiro, o mais moço, deveria receber um nono da herança. Feita

a partilha, de acordo com as determinações do testador, acima referidas, ainda

haveria a sobra de um camelo mais 1817

de camelo.

16. Formados e colocados em ordem alfabética os anagramas da palavra AMOR, a

posição correspondente à palavra ROMA é a 23a.

Resolução

:

01. Temos oito países que podem conseguir o ouro; para cada um deles, sete podem levar a prata; para cada conjunto de medalhistas de ouro e prata, um possível contemplado com o bronze. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 336 (8 vezes 7 vezes 6) maneiras de se distribuir as três medalhas. Item FALSO!

02. Resolvendo a operação, temos:

( )3 1 15 4 16 4 4 2 4a a a a a+ + + = + = + = +

Lembre-se de que 2 4 2 4a a+ ≠ + . Item FALSO!

04. Como temos ao todo 20 pessoas, o número de possíveis comissões é 320C . Tomando

uma pessoa (de quatorze) do noturno e duas (de seis) do diurno, podemos fazer isso

de 1 214 6.C C formas distintas. A probabilidade será, portanto,

1 214 6

320

.C CpC

= . Vamos

calculá-la:

1 214 6

320

14! 6! 6.5. 14.. 14.6.5.6 7.2 7 713!1! 4!2! 220! 20.19.18 2.20.19.18 4.19 2.19 38

17!3! 6

C CC

= = = = = =

Item VERDADEIRO!

08. A fração de sobra de camelos seria dada por: 1 1 135 .35 .35 .352 3 9

1 1 135 12 3 9

18 9 6 23518

1 35 1735. 118 18 18

− − − =

− − − =

− − − =

= = +

Item VERDADEIRO!

16. Na palavra ROMA, a letra R vem depois da letra O, que vem depois da letra M, que vem depois da letra A. Logo, qualquer outro anagrama ficará à frente da palavra ROMA na sequência, em ordem alfabética, dos anagramas de AMOR. Assim, a palavra ROMA constará na 24ª e última posição nessa sequência. Item FALSO!

GABARITO: 12

Questão 22 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Outro problema curioso do livro de Malba Tahan é o chamado Problema de

Diofante, ou Epitáfio de Diofante. Uma das versões sobre a vida do matemático grego Diofante, grande estudioso de Álgebra, aparece no parágrafo a seguir:

“Eis o túmulo que encerra Diofante – maravilha de contemplar! Com artifício aritmético a pedra ensina a sua idade. Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um duodécimo, na adolescência; um sétimo, em seguida, foi escoado num casamento estéril. Decorreram mais cinco anos, depois dos que lhe nasceu um filho. Mas este filho – desgraçado e, no entanto, bem-amado! – apenas tinha atingido a metade da idade do pai, morreu. Quatro anos ainda, mitigando a própria dor com o estudo da ciência dos números, passou-os Diofante, antes de chegar ao termo de sua existência.” (MALBA TAHAN. O homem que calculava. 73 ed. Rio de Janeiro: Record, 2008. p. 184).

Com base na interpretação dessa versão, pode-se afirmar que Diofante casou-se aos 21 anos.

02. Na figura a seguir está representada uma espiral poligonal infinita, construída a

partir da união dos segmentos de reta, obtidos da seguinte maneira: comece com o segmento de reta cm10AB = , divida-o ao meio, obtendo cm5BC = . Repita a

divisão, encontrando cm2,5CD = , depois ,cm1,25DE = em seguida

cm0,625EF = , e assim sucessivamente. O comprimento desta espiral poligonal

infinita é de 19,38 cm. 04. Quando se aumenta a medida do lado de um cubo, o seu volume aumenta na

mesma proporção que sua área total. 08. Passadas 187 horas das 7 horas da manhã, de determinado dia, o relógio indicará

meia-noite. 16. O centro de gravidade do retângulo, cujos vértices num sistema de coordenadas

cartesianas são os pontos: A(–4,1), B(–4, –3), C(5, –3) e D(5,1), é o ponto

1,

21

.

32. Considere a proporção: 2z

3y

4x

== . Se 2x + 4z = 32, então 18zyx =++ .

A B

C D

E F G H

Resolução

:

01. O problema pode ser resolvido através da equação abaixo. Seja x a idade de Diofante.

5 46 12 7 2x x x x x+ + + + + =

Resolvendo-a, temos:

5 46 12 7 2

14 7 12 420 42 33684

75 756 84756 9

84

x x x x x

x x x x x

x xx

x

+ + + + + =

+ + + + +=

+ ===

A sua idade no momento do casamento é dada por 84 84 14 7 21

6 12 6 12x x+ = + = + = .

Item VERDADEIRO!

02. Os comprimentos dos segmentos constituem uma PG infinita, de primeiro termo igual a 10 e razão igual a ½. A soma de todos os comprimentos será o comprimento total da

espiral. Lembrando que, neste caso a soma é dada por 1

1aS

q=

−, temos que:

10 10 201 112 2

S = = =−

Item FALSO!

04. Imagine um cubo de lado 2 cm. Sua área total é 24 cm² (6 vezes o quadrado da aresta) e seu volume é 8 cm³ (cubo da aresta). Se aumentarmos para 5 cm por exemplo a aresta desse cubo, a nova área total será 150 cm², e o novo volume, 125 cm³. Assim, a área foi multiplicada por 6,25 (24 x 6,25 = 150) e o volume foi multiplicado por 15,625 (8 x 15,625 = 125). Este é um contraexemplo que prova a negação do que está afirmado no item. Item FALSO!

08. A partir das 7 horas, a cada 24 horas transcorridas, o relógio voltará a marcar 7 horas da manhã. Assim, contadas 24 horas depois das 7 horas, serão novamente 7 horas. Da mesma forma para depois de 48 horas contadas, 72, 96, 120, 144, 168 e 192 horas. Como o total de horas citado no item é de 187, então o horário marcado no relógio depois dessas 187 horas será de 7 horas – 5 horas = 2 horas. Item FALSO!

16. Num retângulo, o centro de gravidade é o ponto médio de qualquer uma das duas diagonais (que coincidem). Percebendo que AC e BD são estas diagonais, basta calcular o ponto médio de qualquer uma delas. Vamos fazê-lo:

Lembrando que o ponto médio do segmento AC é ;2 2

A B A Bx x y yE + + =

, então:

4 5 1 3 1; ; 12 2 2

E − + − = = −

Item FALSO!

32. Vamos, através do sistema 4 22 4 32

x z

x z

= + =

, calcular o valor de z.

( )2 2 2 4 32 8 32 44 22 4 32

x zx z z z z z

x z

= ⇒ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = + =

Com isso, a razão de proporcionalidade será 2. Portanto,

2 184 3 2 9x y z x y z x y z+ += = = = ⇒ + + =

Item VERDADEIRO!

GABARITO: 33

Questão 23 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Um produtor colheu certa quantidade de maçãs e colocou-as em um cesto com capacidade máxima de 60 unidades. Se, ao contá-las em grupos de dois, três, quatro e cinco, teve restos 1, 2, 3 e 4, respectivamente, então havia 47 maçãs no cesto.

02. Um estudante obteve, em determinada disciplina, as seguintes notas: 3,5; 5,5; 7,0; 5,0; 6,0 e 4,5. Então a sua sétima e última nota deve ser maior ou igual a 3,5, para que sua média aritmética simples final seja maior ou igual a 5,0.

04. O erro percentual de um marcador de gasolina de um automóvel que marcava 43

de tanque e, após abastecer com 10 litros atingiu sua capacidade máxima de 50 litros, é de 6,25%.

08. Podem ser cortados exatamente 10 círculos de raio igual a 20 cm de uma chapa

de compensado de 1,57 m de comprimento por 0,80 m de largura. (Considere: π = 3,14)

16. Em uma plataforma submarina de petróleo constatou-se uma avaria no tubo de

perfuração em local onde a pressão é de 2 atmosferas. O acesso ao local da avaria é feito por uma escada. Se a pressão aumenta 0,025 atmosferas por degrau que se desce, então, para chegarmos ao local da avaria, a partir do nível do mar devemos descer 50 degraus.

Resolução

:

01. Para saber quantas maçãs sobram nas contagens de 47 maçãs, basta dividirmos 47 por 2, 3, 4 e 5. Obtemos restos correspondentes a 1, 2, 3 e 2, respectivamente. Item FALSO!

02. Seja x a última nota que falta. Devemos ter, então que 3,5 5,5 7 5 6 4,5 5

7x+ + + + + +≥ . Efetuando, verifica-se que:

3,5 5,5 7 5 6 4,5 57

31,5 353,5

x

xx

+ + + + + +≥

+ ≥≥

Item VERDADEIRO!

04. Se, ao acrescentar 10 litros de gasolina, o tanque de 50 litros fica cheio, então

constatamos que havia 40 litros no tanque, correspondente a 45

(ou 80%) do tanque.

Como o marcador anotava 34

(ou 75%) do tanque antes do reabastecimento, então

existe uma diferença percentual do nível marcado em relação ao nível real, dados em porcentagem. Essa diferença percentual é de 6,25%, pois 75% é 93,75% de 80%. Item VERDADEIRO!

08. Um círculo de 20 cm de raio tem 40 cm de diâmetro. Assim, na largura, pode-se cortar dois círculos, já que a largura da chapa é de 80 cm (0,80 m). Já o comprimento da fábrica é de 157 cm (1,57 m). Podemos cortar até 3 círculos nessa dimensão (4 círculos demandariam 160 cm de comprimento). Ao todo, pode-se cortar até 6 círculos na chapa. A soma das áreas de 10 círculos de raio 20 cm é igual à área da chapa, mas isto não é condição suficiente para se cortar 10 círculos da chapa. Item FALSO!

16. Ao nível do mar, a pressão usual é de 1 atmosfera. Assim, para se chegar ao local da

avaria, o acréscimo de pressão deverá ser de 1 atm. Se cada degrau implica num aumento de 0,025 atm, então deverá percorrer 40 degraus (0,025 x 40 = 1) até o local do problema. Item FALSO!

GABARITO: 06

Questão 24 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. As figuras abaixo mostram dois triângulos semelhantes. Se a área do menor é de 10 cm2, então a área do maior é de 50 cm2.

02. A medida da temperatura em graus Farenheit é uma função linear da medida em graus centígrados. Usando esta função para converter 20º centígrados em Farenheit obtém-se 68º.

04. Se você dispõe de R$ 143,00, então o valor máximo que sua despesa pode alcançar em um restaurante que cobra 10% sobre a despesa é de R$ 133,00.

08. Considere o retângulo ABCD cujos lados AB e BC medem, respectivamente, 4 cm e 3 cm. Seja A’ um ponto do lado AB; B’ um ponto do lado BC; C’ um ponto do lado CD e D’ um ponto do lado DA, tal que AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = x (ver figura). A área do quadrilátero A’B’C’D’ em função de x é dada por: A(x) = 2x2 – 7x + 12.

16. A soma dos múltiplos de 6, não negativos, menores do que 110, é 816.

B A

C

x

F

E D

5x

A B

C D

A’

B’

C’

D’

x

x

x

x

A(x)

Resolução

:

01. Se os dois triângulos são semelhantes e os lados homólogos do maior são 5 vezes os lados homólogos do menor, então a área do maior é 25 vezes (5²) a área do menor. Item FALSO!

02. A função em questão é 1,8 32F C= + . Se C = 20, então F = 68. Item VERDADEIRO!

04. Se o valor da conta é de R$ 143,00, incluídos os 10% sobre o valor da despesa, então 143 é 110% do valor dessa despesa. Nesse caso,

110 143100

100 14300143. 130110 110

d

d

=

= = =

Item FALSO!

08. A área do retângulo ABCD é a área do retângulo maior diminuído da área dos triângulos retângulos D’DC’, C’CB’, B’BA’ e A’AD’. Veja que DC’ = BA’ = 4 – x e CB’ =

AD’ = 3 – x. A área de um triângulo retângulo é cateto.cateto

2A = .

Assim, podemos calcular A(x).

( ) ( ) ( ) 2 2 23 412 2 2 12 3 4 2 7 12

2 2x x x x

A x x x x x x x− −

= − − = − + − + = − +

Item VERDADEIRO!

16. Os múltiplos em questão são 0, 6, 12, 18, ..., 108. Temos uma PA de razão de primeiro termo igual a zero e razão igual a 6. Temos que a soma desses termos é

( )1

2na a n

S+

= . O termo an é 108. Falta calcular o número de termos n.

( ) ( )11081 108 0 1 .6 1 18 1 19

6na a n r n n n n= + − ⇒ = + − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

Substituindo n = 19 na soma dos termos, vamos obter:

( ) ( )1 0 108 19 108.19 54.19 10262 2 2

na a nS S S

+ += ⇒ = ⇒ = = =

Item FALSO!

GABARITO: 10

A B

C D

A’

B’

C’

D’

x

x

x

x

A(x)

Questão 25 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Observe os climogramas abaixo:

Com base nos climogramas pode-se afirmar que as chuvas são bem distribuídas ao longo do ano em São Gabriel, porém não se pode dizer o mesmo quanto a Cuiabá.

02. A bactéria treponema pallidum é a que causa a sífilis. Ela se reproduz muito

rápido: cada uma delas se transforma em 8 iguais no período de 1 hora. Se uma bactéria desse tipo começa a se reproduzir, então, 5 horas depois, elas serão 4096, considerando que nenhuma delas tenha morrido.

04. Uma indústria iniciou suas atividades produzindo 820 peças por ano e, a cada ano,

a produção aumenta em uma quantidade constante. Se no 5o ano de funcionamento ela produziu 1.460 peças, então no 8o ano de atividade foram produzidas 2.340 peças.

08. Com a crise econômica mundial, um produto sofreu duas desvalorizações

sucessivas, de 30% e 20%. Portanto, a taxa total de desvalorização foi de 50%. 16. Considere f(x) uma função real que satisfaz as seguintes condições:

f(–3) = 15 e f(x –3) = 3f(x) – 6, então o valor de f(0) é 7.

Resolução

:

01. Conforme o gráfico, os níveis de chuva são muito mais regulares em São Gabriel que em Cuiabá. Item VERDADEIRO!

02. Em uma hora, temos 8 bactérias; em duas, 64 bactérias; três horas, 512 bactérias; quatro horas, 4096; em cinco horas, 32768 bactérias. Item FALSO!

04. Podemos pensar que as quantidades de peças produzidas a cada ano constituem uma PA crescente. A produção do primeiro ano, a1, vale 820. Considerando a5 igual a 1460, vamos determinar a8. Antes, calculamos a razão r. Vale lembrar que r é o aumento da produção anual ano após ano.

5 1 41460 820 4

4 640160

a a rr

rr

= +

= +==

Agora podemos determinar a8, a partir de a5 e a razão.

( )8 5

8

8

8

31460 3 1601460 4801940

a a raaa

= +

= +

= +

=

Item FALSO!

08. Desvalorizar 30% é valer apenas 70% do que valia antes. Desvalorizar 20% é valer somente 80% do que valia antes da desvalorização. Neste caso, o percentual de valor após as duas quedas, em relação ao preço antes das mesmas, será 56%, conforme os cálculos abaixo:

70 80 5600 56. . .100 100 10000 100

P P P = =

Assim, a desvalorização será de 44%, e não 50%, como é afirmado. Item FALSO!

16. Substituindo x por 0, temos que:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

3 3 6

0 3 3 0 6

3 3 0 6

15 3 0 6

21 3 0

0 7

f x f x

f f

f f

f

f

f

− = −

− = −

− = −

= −

=

=

Item VERDADEIRO! GABARITO: 17

Questão 26 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Em um mapa de um deserto, localizado sobre um sistema de eixos cartesianos

ortogonal, o faminto Coiote, cuja posição é dada pelo ponto P(1,2), vai tentar capturar o Papa-léguas, que se aproxima do Coiote descrevendo uma trajetória retilínea segundo a equação 3x + 4y = 31. A menor distância que o Coiote deve percorrer para capturar o Papa-léguas é de 54 unidades de comprimento.

02. O termo independente de x no desenvolvimento 10

4

x1x

− é 45.

04. O número de gabaritos possíveis para um teste de 10 questões, com as alternativas de Verdadeiro ou Falso por questão, é de 20.

08. Um juiz trabalhista determinou a um sindicato a multa de R$ 2,00 pelo primeiro dia de greve da categoria e que esse valor dobraria a cada dia de paralisação. Se a categoria ficar em greve durante 20 dias, a multa será menor que 1 milhão de reais.

(Considere: log2 = 0,301)

Resolução

:

01. A menor distância em questão é a distância entre o ponto P(1, 2) e a reta de equação 3x + 4y – 31 = 0. Cuidado, a equação da reta deve ser colocada na sua forma geral ax + by + c = 0 para podermos aplicar a fórmula da distância entre ponto e reta. Essa

fórmula é , 2 2

P PP r

ax by cd

a b

+ +=

+. Substituindo os valores, vamos ter que:

( ) ( ), 2 2

3. 1 4 2 31 3 8 31 10 10 259 16 253 4

P rd+ − + − −

= = = = =++

Item FALSO!

02. O termo geral do desenvolvimento do binômio de Newton ( )10a b+ é

101

10.p p

pT a bp

−+

=

. Existe um termo no desenvolvimento do binômio citado que é

( )10410 1 pp

T xp x

− =

. Efetuando as potenciações em p, vamos ter:

( )104

40 4

40 5

10 1

10.

10

pp

p p

p

T xp x

T x xp

T xp

−

− −

−

=

=

=

Para descobrirmos e termo independente do desenvolvimento desse binômio, devemos igualar o expoente de x a zero, já que consideramos x0 igual a 1. Para isto, verificamos

que p = 8. Para este valor de p, o termo será ( )40 5 8 010 10! 10.9. 458 2!8! 2

T x x− = = = =

.

Item VERDADEIRO!

04. O número de possíveis gabaritos é 210, e não 2 x 10. Assim, esse número é 1024, e não 20. Item FALSO!

08. Se log 2 0,301= , então 0,30110 2= . Como a multa é dada por 220, uma vez que são 20 dias de paralisação (no primeiro dia é 21, no segundo 22, e assim por diante), então

podemos afirmar que ( )200,301 20 20 6,02 610 2 2 10 10 1000000= ⇔ = > = .

Item FALSO!

GABARITO: 02

Questão 27 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Com base nos dados das figuras abaixo, pode-se afirmar que a relação entre os

volumes dos três tanques é V1 < V2 < V3.

02. Uma fábrica lançou uma nova linha de bombons de chocolate. A quantidade

de chocolate necessária para a fabricação de um bombom maciço em forma de

octaedro regular, conforme a figura abaixo, é de 3cm3

4000.

04. O volume da esfera é três vezes o volume do cone, que tem o raio da esfera, e cuja altura é o raio da esfera.

08. É mais vantajoso para o consumidor comprar uma barra de goiabada, na forma de paralelepípedo retângulo, com 8 cm x 6 cm x 9 cm e que custa R$ 2,16, do que outra de mesma forma, com 6 cm x 5 cm x 8 cm e que custa R$ 0,96.

16. O valor de 3log81 9 é igual a 9.

cm210

V2

h

r

. V1

2h

2r

.

V3

2r

2h

.

Resolução

:

01. Lembre que o volume de um cilindro é dado por:

( ) ( ) ( )2V=(área da base). altura =π raio . altura

Nesse caso,

( )2 2 21

22

22 2

3

42 22 2

2 122 4 2

hV r r h r h

V r h

rV h r h r h

π π π

π

π π π

= = =

=

= = =

Assim, V1 > V2 > V3. Item FALSO!

02. Perceba que o octaedro é a reunião de duas pirâmides quadrangulares regulares, de área da base igual a a2. A altura de cada pirâmide é a metade da diagonal do quadrado de lado 10 2a = cm. Essa metade da diagonal será

diagonal do quadrado 2 10 2. 2 102 2 2

a= = = . Vamos calcular o volume de cada

pirâmide e multiplicar o resultado por 2, a fim de descobrir o volume do octaedro.

( )2

pirâmide

10 2 .10. 2.100.10 20003 3 3 3BA hV = = = =

Assim, o volume do octaedro será dado por octaedro2000 40002.

3 3= = .

Item VERDADEIRO!

04. Sabemos que a esfera de raio R tem volume 3

esfera4

3RV π

= e o cone de raio R e

altura h tem volume 2

cone.

3 3BA h R hV π

= = . Considerando os dois raios iguais e a

altura h igual a R, vamos obter o seguinte:

3

esfera

esfera cone2 3

cone

43 4

.3 3

RVV V

R h RV

π

π π

= ⇒ =

= =

O volume de esfera é quatro vezes o do cone, e não três, como é afirmado. Item FALSO!

08. O volume da primeira barra é 8x6x9 cm³ = 432 cm³. O da segunda é 6x5x8 cm³ = 240 cm³. A barra de menor relação preço/volume será a mais vantajosa. Como 2,16 0,005432

= e 0,96 0,004240

= , então a compra da segunda barra é mais vantajosa

que a da primeira. Item FALSO!

16. Temos que 9 9 9log 3 log 3 log 381 9 .9 3.3 9= = = . Item VERDADEIRO!

GABARITO: 18

Questão 28 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. O ortocentro de qualquer triângulo é equidistante dos três vértices.

02. Resolvendo o sistema matricial

=+

=+

−

−

−

−

−

−

357

2111

305

2Y3X

215

119

173

Y2X obtém-se

=

−

−

− 73

17

41

X .

04. A razão da progressão aritmética (log 10, log 100 e log 1000) é igual a 10.

08. O valor numérico de t na figura abaixo é 1360t = .

16. Sendo

=

3512

A e

=

9531

B , então o produto entre a matriz inversa de A e a

matriz transposta de B é a matriz

=

−−

7160

.BA t1 .

A B

C

D z y

t x

12

13

. .

.

Resolução

:

01. O circuncentro (ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo) de um triângulo qualquer é eqüidistante dos vértices. O ortocentro (ponto de encontro das alturas) pode se situar a qualquer distância de um determinado vértice (no triângulo retângulo, por exemplo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto, que obviamente não eqüidista do três vértices). Item FALSO!

02. Do sistema, multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo a segunda da primeira, obtemos:

22

3 9 5 6 18 102 4 2

17 11 21 34 42 1 7 34 1 75 11 7 5 11 7

3 2 3 230 21 35 30 21 35

X Y X YX

X Y X Y

− −

− −

− − − −

− −

− − + = + = − − ⇒ ⇒ = − + = + =

Item FALSO!

04. A PA em questão é (1, 2, 3, 4, ...). Sua razão é 1. Item FALSO!

08. Pelo teorema de Pitágoras, calculamos o cateto x igual a 5. Lembrando, que num triângulo retângulo de catetos b e c, hipotenusa a e altura relativa à hipotenusa t, at bc= , Teremos:

13 5.1213 60

6013

tt

t

==

=

Item VERDADEIRO!

16. A matriz inversa de A pode ser calculada por 1 1det

A AA

− = , em que A é obtida

através da troca de posição dos elementos da diagonal principal e da troca de sinal das entradas da diagonal secundária. Como det 2.3 5.1 1A = − = , então

1 3 15 2

A A− − = = −

. Sendo 1 53 9

tB =

, efetuamos:

1 3 1 1 5 3.1 1.3 3.5 1.9 0 6.

5 2 3 9 5.1 2.3 5.5 2.9 1 7tA B− − − − = = = − − + − + −

Item VERDADEIRO!

GABARITO: 24

Questão 29 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Considere um quadrado circunscrito a uma circunferência e um triângulo equilátero

inscrito na mesma circunferência. Se o lado do triângulo equilátero mede cm 36, então o lado do quadrado mede 12 cm.

02. Se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética, então o

valor numérico do cosseno do maior ângulo agudo é 53

.

04. Sabendo que 5tgx = e que 2

3πxπ << , então 2626cosx = .

08. Para todo x real, 2kπ2πx +≠ , onde k é um número inteiro qualquer, vale

.xcos xsenxtg1xtg1 22

2

2

−+

−=

16. No intervalo [0, 2π ] o número de soluções da equação cos2x = 0 é 2.

Resolução

:

01. Veja o desenho abaixo.

Vamos determinar o raio da circunferência e multiplicar o resultado por 2, para assim descobrir a medida do lado do quadrado. Como o triângulo é eqüilátero, então o raio da

circunferência é 23

da altura do triângulo, uma vez que essa altura também é mediana

do triângulo e o ponto A, baricentro desse triângulo. Sabe-se que o baricentro de um triângulo divide cada mediana em dois segmentos de medidas proporcionais a 2 e 1.

Sendo o lado do triângulo essa altura h é dada por 3

2h = . Assim, temos que

2 2 3 3.3 3 2 3

r h= = =

. Como 6 3= , então 6 3. 3 6

3r = = . Dobrando esse

valor, conclui-se que a medida do lado do quadrado é de 12 cm. Item VERDADEIRO!

02. Se os lados de um triângulo retângulo estão em PA, ocorre que os lados x – r, x (catetos) e x + r (hipotenusa) vão ter a seguinte propriedade:

( ) ( )2 22

2 2 2 2 2

2

2 244

x r x x r

x xr r x x xr rx xrx r

− + = +

− + + = + +

==

Podemos ver, então, que o outro cateto mede 3r e a hipotenusa, 5r. Assim, vemos que AB = 4r, BC = 3r e AC = 5r. Portanto, o ângulo ACB oposto ao cateto AB será o maior ângulo agudo, já que AB > BC. Enfim, calculamos

cateto adjacente 3 3cos

hipotenusa 5 5rACBr

= = =

Item VERDADEIRO!

04. Se 32

x ππ < < , então x está no terceiro quadrante do ciclo trigonométrico. Neste, o

valor da função cosseno é negativa. Item FALSO!

08. Vamos ressaltar que 2 2sec 1 tgx x= + . Observe os cálculos:

( )2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2

1 tg 1 tg sencos 1 tg cos cos .tg cos cos . cos sen1 tg sec cos

x x xx x x x x x x x xx x x

− −= = − = − = − = −

+

Item FALSO!

16. Se 0 2x π≤ ≤ , então 0 2 4x π≤ ≤ . Assim, o arco em questão na equação varia nas duas primeiras voltas positivas (sentido anti-horário) do ciclo trigonométrico. Os arcos de 90°, 270°, 450° e 630° possuem cosseno nulo. Logo, são quatro as soluções da

equação cos 2 0x = em [ ]0,2π .

Item FALSO!

GABARITO: 03

Questão 30 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Seja S o conjunto solução da equação 0xx1

2x1 11x

=− em , então S está

contido no intervalo [–2, 1].

02. Um polinômio p(x), dividido por x – 3, dá resto 5 e, dividido por x + 1, dá resto 2.

Então o resto da divisão de p(x) por (x – 3)(x + 1) é 25

.

04. Se a, b e c são as raízes da equação 067xx3 =+− , então 67

c1

b1

a1

=++ .

08. Se duas das raízes da equação 04880x35x5x2x 234 =+−−+ são –3 e –4,

então o produto entre as outras duas raízes é 4.

16. O valor de M para que o polinômio 3x3 + x2 – 7x – M seja divisível por (x + 2) é –8

Resolução

:

01. Desenvolvendo o determinante e igualando-o a zero, vamos ter que:

3 2

3 2

1 11 2 01

2 2 02 2 0

xxx x

x x x x xx x x

− =

− + − − + =

+ − − =

Agora, resta-nos resolver a equação 3 22 2 0x x x+ − − = . Verificamos que as três raízes são 1, –1 e –2 , substituindo x por estes três valores e verificando que satisfazem a igualdade. Assim, todos os valores de x (elementos do conjunto S) estão no intervalo [– 2, 1]. Item VERDADEIRO!

02. As raízes de x – 3 e x + 1 são 3 e –1, respectivamente. Pelo teorema do resto, p(3) = 5 e p(–1) = 2. Como d(x) = (x – 3)(x + 1) é um polinômio do segundo grau, o resto da divisão de p por ele é um outro polinômio de grau menor ou igual a 1, ou seja r(x) é um polinômio da forma ax + b. Se a for nulo, talvez o item verdadeiro. Assim, teremos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

.

3 1

p x q x d x r x

p x q x x x a x b

= +

= − + + +

Substituindo x por 3 e –1, observamos:

( ) ( )( )( )

zero

5 3 3 3 3 3 1 3 3p q a b a b= = − + + + = +

( ) ( )( )( )zero

2 1 1 1 3 1 1p q a b a b= − = − − − − + − + = − +

Basta-nos resolver o sistema abaixo e encontrar os valores de a e b. Lembrando que se a não for nulo, o item já será automaticamente falso.

5 32

a ba b

= + = − +

Fazendo a subtração entre a primeira e segunda equações, vemos que

33 44

a a= ⇒ = .

Item FALSO!

04. A igualdade 1 1 1 7

6a b c+ + = pode ser escrita da forma

76

bc ac ababc+ +

= . Pelas

relações de Girard para equações do terceiro grau, podemos verificiar que, com a = 1,

c = –7 e d = 6, 7 7

1ab ac bc −

+ + = = − e 6 6

1abc −

= = − . Fazendo bc ac ab

abc+ +

,

vemos que, de fato, a razão é 76

.

Item VERDADEIRO!

08. Com as relações de Girard para equações de quarto grau, com a = 2 e e = 48.,

sabemos que o produto das quatro raízes é 48 242

ea= = . Se duas raízes são –3 e –4,

que multiplicadas dão 12, o produto das outras duas raízes deverá ser 2. Item FALSO!

16. Aplicando o algortimo de Briot-Ruffini, temos que

2 3 1 73 5 3 6

MM

− − −− − −

Para que o polinômio seja divisível por (x + 2), o resto (-6-M) deve ser nulo. Para isso, M deve valer –6. Item FALSO!

GABARITO: 05

Comentários sobre a prova

O grau de dificuldade médio dos itens da prova foram razoavelmente fáceis, abaixo

do de costume. No entanto, a falta de uma questão aberta e nada menos que 50 itens são um fator complicador para se obter não só um bom desempenho, como também uma avaliação mais justa do conhecimento da matemática do Ensino Médio. São poucos os itens que oferecem alguma dificuldade na sua interpretação, o que é positivo, visto que a clareza dos enunciados ajuda a avaliar (em contrapartida ao número excessivo de itens) se o candidato sabe ou não o tópico abordado.

A UFSC manteve a característica de uma prova bem abrangente em termos de conteúdo, apesar de não colocar um item sequer de equações da circunferência e características das funções do segundo grau. Entendo que esses conteúdos não deveriam faltar na elaboração da prova pela banca. Além disso, algumas questões contêm diversos tópicos da matemática em seus itens, o que faz com a prova fique longa e cansativa. Foram freqüentes as reclamações de candidatos em relação à falta de tempo.

Acredito que um desempenho em torno de 6 a 7 pontos já possa ser considerado bom (claro, o candidato do curso de medicina precisa fazer mais que 70% da prova, para ele não vale esse comentário). Mas agora é esperar pelo resultado e jamais desistir do sonho almejado.

Um grande abraço e boas férias,

Professor Guiba.

“Não diga que a vitória está perdida, se é de batalhas que se vive a vida”.

(Raul Seixas)