1 1A AVALIAO UNIDADE II -2015 COLGIO ANCHIETA-BA ELABORAO: PROF. ADRIANO CARIB e WALTER PORTO. RESOLUO: PROFA. MARIA ANTNIA C. GOUVEIA 01 - (MACK)Emumadasprovasdeumagincana,cadaumdos4membrosdecadaequipedeveretirar, ao acaso,umaboladeumaurnacontendobolasnumeradasde1a10,quedeveserrepostaaps cada retirada. A pontuao de uma equipe nessa prova igual ao nmero de bolas com nmeros paressorteadaspelosseusmembros.Assim,aprobabilidadedeumaequipeconseguirpelo menos um ponto a) 54 b) 87 c) 109 d) 1211 e) 1615 RESOLUO: Como aps cada retirada h a reposio da bola, a chance de cada membro da equipe retirar da urna, uma bola com um dos 5 nmeros pares que existem no intervalo de 1 a 10 21105= . Cadaequipetem4membros,logo,aprobabilidadedeumaequipeconseguirpelomenosum ponto 161516112114= = |.|

\| . RESPOSTA: Alternativa e. 02 - (FGV)Sejam M3x3 e N4x4 as matrizes quadradas indicadas a seguir, com a, b, c, d, e, f, g, h, i, j sendo nmeros reais. ((((

=i h gf e dc b aM((((((

=i 2 c 2 h 2 g 2f 2 a 2 e 2 d 20 j 2 0 0c 2 i 2 b 2 a 2NSeodeterminantedeMonmerorealrepresentadopork,entoodeterminantedeNser igual a a) 16jk.b) 16jk. c) 2jk. d) 2jk.e) 0. RESOLUO: 16f . k2c2a0 2j 0 02i = = = =+i h gf e dc b afi h gf e dc b aj Ni h gf e dc b aN3 3 22 . 22 2 22 2 22 2 2) 1 ( 2 det2 2 22 2 22 2 2detRESPOSTA: Alternativa a. 2 03 - (UFPel)Sendo A uma matriz real de ordem 2 com det(3A) =30 e ||.|

\|=5 / 3 5 / 6r 2 / 1A1, r e R, a soluo do sistema = += r 2 y 8 x 7r y 2 x 3, a) x = 4, y = 13 c) x = 8, y = 26e) x = 0, y = 0 b) x = 4, y = 13 d) x = 26, y = 8 RESOLUO: Sendo A uma matriz de ordem 2: det(3A) =32. det(A) 9. det(A) = 30 det(A) = 310 det(A1) = 103 0 r = = = = =0 12 3 12 3103561031035 / 3 5 / 62 / 1r rrr Substituindo esse valor de r no sistema== == += = += = += 000 190 8 70 8 120 8 70 2 32 8 72 3yx xy xy xy xy xr y xr y x RESPOSTA: Alternativa e. 04 - (UFT) O sistema = = + = + +0 z y px0 z py x0 z 2 y x admite soluo diferente de (0,0,0) se e somente se: a) p = 0 c) p = 1 e) p = 1 e p = 2 b) p2 p = 0 d) p = 0 ou p = 1 RESOLUO: Para que o sistema = = + = + +0 z y px0 z py x0 z 2 y x admita soluo diferente de (0,0,0) , o determinante dos coeficientes das variveis deve ser igual a zero: 1 p ou 0 p = = = + = + + + + = 0 2 2 0 1 1 2 2 01 11 12 1 12 2p p p p pppRESPOSTA: Alternativa d. 3 05 - (PUC)Atabelaabaixo apresenta o gasto calrico correspondenteprticadecadaatividade, durante uma hora, por indivduos de 60kg, 70kg e 85kg: 518 345 259 85kg422 281 211 70kg354 236 177 60kgAerbica o Alongament Musculao UmprofessordeEducaoFsicavaiplanejarumaaulacomxminutosdemusculao,y minutos de alongamento e z minutos de aerbica, de maneira que o indivduo de 60kg gaste 315 calorias, o de 70kg gaste 380 calorias e o de 85kg gaste 460 calorias. Os valores de x, y e z satisfazem o sistema: a) = + += + += + +85 z 518 y 345 x 25970 422z 281y 211x60 z 354 y 236 x 177 d) = + += + += + +27600 518z 422y354x22800 345z 281y 236x 18900 259z 211y 177x b) = + += + += + +460 518z 422y354x 380 345z 281y 236x315 z 259 y 211 x 177 e) = + += + += + +27600 518z 345y259x 22800 422z 281y 211x18900 354z 236y 177x c) = + += + += + +460 518z 345y 259x 380 422z 281y211x 315 354z 236y 177x RESOLUO: Considerandooindivduode60kg,aoefetuarmosaoperao177x+236y+354z,eleter comoresultadoumgastocalricode315 60=18900calorias.Percebaquedevemos multiplicar o nmero de calorias por 60, visto que a tabela apresenta os gastos por hora, e x, y e z representam tempos de exerccios em minutos. Omesmoprocedimentodeveserefetuadoparaosindivduosde70e85kg,oqueresultana alternativa E = + += + += + +|||.|

\|=|||.|

\||||.|

\|39100 518z 345y 259x26600 422z 281y 211x18900 354z 236y 177x85 46070 38060 315 518 345 259422 281 211354 236 177

857060TC (V)AE) Al(MCalorias zyxkgkgkg RESPOSTA: Alternativa e. 4 06 - Sobre poliedros, considere as seguintes afirmativas: I)O nmero de vrtices do icosaedro regular 12. II)Se um poliedro convexo formado exclusivamente por uma face hexagonal, 5 faces quadrangulares e 2 faces triangulares, ento ele possui exatamente 16 arestas e 10 vrtices. III)Se um poliedro tem todas as faces congruentes entre si ento ele um poliedro regular. Sobre as afirmativas acima, temos que: a) Somente a afirmativa I falsa d) Somente uma afirmativa verdadeira. b) Somente a afirmativa I I falsa e) Todas as afirmativas so verdadeiras. c) Somente a afirmativa II I falsa RESOLUO: I)Verdadeira. O icosaedro regular um poliedro cujas 20 faces so tringulos equilteros. Possui (203):2 = 30 arestas. Aplicando a relao de Euler: V A + F = 2 V 30 + 20 = 2 V = 32 20 V = 12. II)Verdadeira. Nmero de faces do poliedro convexo em questo: 1 + 5 + 2 = 8. Nmero de arestas: (1 6 + 5 4 + 2 3) : 2 = 32 : 2 = 16 Aplicando a relao de Euler: V 16 + 8 = 2 V = 10. III)Falsa. Um poliedro convexo regular quando todas as faces so polgonos regulares congruentes e em todos os vrtices concorrem o mesmo nmero de arestas. RESPOSTA: Alternativa c. 5 07- Arquimedes (287 212 a.C.) de Siracusa, na Grcia, figura entre os maiores matemticos da Antiguidade e de todos os tempos. Explorou tanto a Geometria, que desejou que, em seu tmulo, fosse gravada a figura de uma esfera inscrita em um cilindro circular reto.Supondo-se que a vontade de Arquimedes fosse satisfeita e considerando-se um cilindro equiltero de raio R, pode-se afirmar que o valor absoluto entre a diferena dos volumes dos slidos, em questo, seria dado pela expresso a) 331R t b) 332R t c) 3R t d) 323R t e) 32 R t RESOLUO: Um cilindro equiltero quando a sua altura igual ao dobro do seu raio. 343RVESFERAt= . 3 2 22 2 R R R H R VCILINDROt t t = = =O valor absoluto entre a diferena dos volumes dos slidos, em questo, seria dado pela expresso 323423 33R RRt tt = RESPOSTA: Alternativa b. 08 - Sendo os pontos A (2 ; 1), B(2 ; 5) e C(6 ; 1) vrtices de um tringulo ABC, verdade que: a) O tringulo ABC issceles. b) O tringulo ABC acutngulo. c) O baricentro do tringulo ABC o ponto( ) 2 5 ; 3 . d) A rea do tringulo ABC 25 u.a. e) A medida da mediana relativa ao vrtice C maior que 8 u.c. RESOLUO: a) Falsa. O tringulo ABC ser issceles se possuir pelo menos um par de lados congruentes. ( ) ( ) 2 4 16 16 5 1 2 22 2= + = + = AB . ( ) ( ) 17 2 4 64 1 1 6 22 2= + = + + = AC . ( ) ( ) 13 2 36 16 1 5 6 22 2= + = + + = BC . 6 b) Verdadeiro. O tringulo ABC ser acutngulo se o quadrado do maior lado for menor que a soma dos quadrados dos outros dois lados. ( ) ( ) ( ) 32 52 68 2 4 13 2 ........ 17 22 2 2+ < + . c) Falsa. Coordenadas do baricentro de um tringulo ABC:|.|

\| + + + +=3,3c b a c b ay y y x x xG . O baricentro do tringulo em questo :|.|

\|= |.|

\| + + + =35, 231 5 1,36 2 2G . d) Falsa. A rea do tringulo ABC ( ) 20 40212 2 30 6 2 10211 1 61 5 21 1 221= = + == S u.a. e) Falsa. A mediana relativa ao vrtice C(6 ; 1) a ceviana que liga este vrtice ao ponto mdio do lado AB que M = ( ) 3 , 025 1,22 2= |.|

\| + + 13 2 16 36 ) 3 1 ( ) 0 6 (2 2= + = + = CMu.c RESPOSTA: Alternativa b. 09 - Dados os pontos A(6, 3), B(1, 5), C(0, 1), D(8, 3), determine a rea do quadriltero ABCD. a) 31 u.a.b) 33 u.a.c) 35 u.a.d) 37 u.a.e) 39 u.a. RESOLUO: Resoluo 1 SABCD = SABC + SACD SABCD = { }31 = + == + + + + =)`+40 22 .218 18 24 6 3 6 1 30213 3 1 36 8 0 63 1 5 36 0 1 621 Resoluo 2 31 = + + + == 3 8 18 24 1 30213 3 1 5 36 8 0 1 621ABCDS RESPOSTA: Alternativa a. 7 10 - Uma circunferncia de centro no ponto O(a ; b) passa pelos pontos A(7;7) , B(5;9) e C(1;1). Calcule a + b . a) 4b) 5c) 6d) 8e) 10 RESOLUO: Resoluo 1: O centro da circunferncia que circunscreve um tringulo (passa por seus trs vrtices) o ponto de intercesso de suas mediatrizes (retas perpendiculares aos lados pelos seus pontos mdios). Determinando a equao da mediatriz do lado AB: -Ponto mdio do lado AB:( ) 8 , 629 7,25 7= |.|

\| + +M . -Coeficiente angular da reta determinada pelos pontos A e B: 17 57 9 ===A BA Bx xy ya-Coeficiente angular da reta mediatriz do lado AB:11= a. -Equao da reta mediatriz do lado AB:2 8 6 = = + + = b b b x y . -Finalmente: y = x + 2 (I) Determinando a equao da mediatriz do lado AC:-Ponto mdio do lado AC:( ) 4 , 421 7,21 7= |.|

\| + +M . -Coeficiente angular da reta determinada pelos pontos A e C:17 17 1===A CA Cx xy ya-Coeficiente angular da reta mediatriz do lado AC:11 = a. -Equao da reta mediatriz do lado AB:8 4 4 = = + + = b b b x y . -Finalmente: y = x + 8 (II) Resolvendo o sistema( ) ( ) 8 5 , 3 ,35510 282= + = ====+ =+ =b a b axyyyx yx y Resoluo 2 : Construindo a figura percebe-se imediatamente que o circuncentro o ponto mdio do lado BC o que indica que o tringulo ABC retngulo e o lado BC a hipotenusa. Determinando o ponto mdio do lado BC tem-se o ponto (a, b) pedido:( ). 5 , 321 9,21 5) , ( = |.|

\| + += b a OPodamos tambm ter determinado a natureza do tringulo. Descobrindo-se que ABC um tringulo retngulo, determina-se o ponto mdio da hipotenusa e procede-se como acima. RESPOSTA: Alternativa d. 8 11 - Na figura abaixo ABCD um quadrado de lado 6 m e BD um arco de centro em A. Calcule o volume do slido gerado por uma rotao completa da regio hachurada em torno do ladoAD. a)36 t m3 b)72 t m3 c)108 t m3 d)144 t m3 e)216 t m3 RESOLUO: O slido gerado por uma rotao completa da regio hachurada em torno do ladoAD, um cilindro vasado e de altura 6m e raio 6m, representado na figura ao lado. Seu volume igual: t t ttt 72 144 2163216 . 4.216 . 36 = = = semiesfera cilindroV V RESPOSTA: Alternativa d. 12 - (UFBA-2004 / ADAPTADA)Uma empresa fabrica copos plsticos para refrigerante e caf. Os copos tm a forma de tronco de cone e so semelhantes. O copo de refrigerante mede 9,5 cm de altura e tem capacidade para 480 ml. Sabendo-se que o copo de caf tem 3,8 cm de altura, determine a sua capacidade em mililitros, aproximando o resultado para o nmero inteiro mais prximo. a) 21b) 31c) 23d) 33e) 35 RESOLUO: Sendo semelhantes os dois slidos, a razo entre seus volumes igual ao cubo da razo entre as suas medidas correspondentes. 31 x ~ = = ||.|

\|= ... 7208 , 3054,872857,375 4808 , 35 , 9 4803xx x RESPOSTA: Alternativa b. 9 13 - Um recipiente em forma de tronco de cone reto de bases paralelas foi projetado de acordo comodesenho ao lado com altura igual a 12 cm eraios das bases iguais, respectivamentea 2 cm e 6 cm. O volume desse recipiente, aproximadamente, igual a : (Use t = 3,14) a) 678 ml b) 653 ml c) 703 ml d) 628 ml e) 659 ml RESOLUO: O volume do tronco de cone pode ser calculado pela seguinte frmula:( ) Rr r RhV + + =2 23t ( ) 653,12 52 14 , 3 4 2 6 2 63122 2= = + + =tVPoderia ter sido resolvida a questo deste outro modo: Prolongando-seBD e OH , ACat o ponto V tem-se dois cones semelhantes. OstringulosretngulosVOBeVHDsosemelhantes,logo, 6 12 33112 62= + = =+ = x x xx xVHVO . O volume do tronco : 653,12 2088 21636 4318 36= = == =tt tt tVV V VVAB VCD RESPOSTA: Alternativa b. 14 - Qual a distncia entre as retas r: 3x y + 7 = 0 e s: 3x y 13 = 0 ? a)10 2 b)2 10 c)5 3d)3 5e)20RESOLUO: A distncia entre duas retas paralelas pode ser determinada do seguinte modo: Toma-se um ponto de uma das retas e calcula-se a distncia entre este ponto e a outra reta. Na reta r considere-se o ponto (0, y): 0 y + 7 = 0 y = 7 (0, 7) um ponto da reta r. Distncia de (0,7) reta 3x y 13 = 0: 10 10 2 = =+ 10201 913 7 0 RESPOSTA: Alternativa a. 15 - O mapa de uma certa regio foi colocado em um sistema de coordenadas cartesianas. A reta r de equao x 2y + 4 = 0 representa uma estrada que passa perto de uma atrao turstica de difcil acesso que esta localizada no ponto P(10 ; 3). Deseja-se construir um novo acesso ligando o ponto Q da estrada r a atrao localizada no ponto P, em linha reta, com o menor comprimento possvel. Determine o ponto Q. a) ( 6 ; 5 )b) ( 5 ; 6 )c) ( 6 ; 7 )d) ( 7 ; 6 )e) ( 5 ; 7 ) RESOLUO: A distncia entre a reta r: x 2y +4 = 0e o pontoP(10, 3) : 5 45201 44 6 10= = =++ += OP d 5 4 |.|

\| + e24,xx Q r Q A distncia de|.|

\| +24,xx Qa( ) 3 , 10 P5 4 . = |.|

\| ++ + = |.|

\|+++ 5 4210100 20 5 4 324) 10 (2222xx xxx =+ 804500 60 52x x 6 0 ) 6 ( 0 36 12 0 180 60 52 2 2= = = + = + x x x x x xQ(6, 5) = = += = 5 e 624 66 y x y xRESPOSTA: Alternativa a.