01) Considere dois números inteiros e distintos. Sabemos que, se multiplicarmos o segundo número por 6 e do resultado subtrairmos o primeiro, obteremos 14 como resposta. Ainda com estes mesmos dois números, se multiplicarmos o primeiro deles por 5 e somarmos com o triplo do segundo, obteremos 29 como resposta. Quais são o primeiro e o segundo número, respectivamente?

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03) Duas vacas e um touro foram trocados por oito porcos.Em outra ocasião, uma vaca foi trocada por um touro e um porco. De acordo com a regra desses dois "negócios", uma vaca deve ser trocada por quantos porcos? E um touro deve ser trocado por quantos porcos?

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04) Pelo controle de entrada e saída de pessoas em uma unidade do TRF, verificou-se em certa semana que o número de visitantes na segunda-feira correspondeu a 3/4 do da terça-feira e este corresponder a 2/3 do da quarta-feita. Na quinta-feira e na sexta-feira houve igual número de visitantes, cada um deles igual ao dobro do da segunda-feira. Se nessa semana, de segunda à sexta-feira o total de visitantes foi de 750, o número de visitantes na:

a) segunda-feira foi de 120b) terça-feira foi de 150c) quarta-feira foi igual ao da quinta-feirae) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira

http://3.bp.blogspot.com/-uta_yFtxSzM/Ty8oaJJ2fbI/AAAAAAAAASw/Uy0fRJ85Ggw/s1600/00000000000000000.JPG

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05)  A: um número multiplicado por 7 resultou em 119. Que número é esse?B: pensei em um número, dividi por 3 e subtrai 5, obtendo 6. Qual é esse número?C: qual é o número que, multiplicado por 5 somado com 12, resulta em 72?

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06) Em uma liquidação, o preço de um par de tênis é R$222,00. Se o preço da liquidação foi obtido dando um desconto de 26% no preço original, qual era o preço original?

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07) Ao organizar uma festa Paulinho decidiu organizar os convidados em mesas com 3 e 4 cadeiras. Sabendo que existiam na festa 50 pessoas e que foram ocupadas 15 mesas, determine o número de pessoas que  ocuparam mesas com 3 cadeiras.

x = quantidade de mesas com 3 cadeirasy = quantidade de mesas com 4 cadeiras

3x + 4y = 50

x + y = 15, isolando y = 15 - x

Substituindo y por 15 - x na primeira equação, fica:

3x + 4(15 - x) = 503x + 60 - 4x = 503x - 4x = 50 - 60-x = -10 → multiplicando tudo por (-1), fica:x = 10 mesas com 3 cadeiras

Logo, ocuparam mesas com 3 cadeiras: 10.3 pessoas = 30 pessoas

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08) A diferença entre dois números naturais é igual a 62. Dividindo o maior deles pelo menor o quociente é 3 e o resto é 8.Quais são esses números?

x – y = 62 ou ainda x = 62 + y

Dividir um número natural a pelo número natural b significa encontrar outros dois números naturais q e r que obedeçam a estas condições: a = bq + r , e , r < b (r é menor do que b). O número a chama-se dividendo, b é o divisor, q é o quociente e r é o resto. x = 3y + 862 + y = 3y+83y - y = 62 - 82 y = 54y = 27x = 62+27x = 89

O maior é 89 e o outro é 27.

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09) Júnior e Luís jogam no mesmo time de futebol de areia. No último campeonato, os dois juntos marcaram 52 gols. Júnior marcou 10 gols a mais que Luís. Quantos gols Júnior marcou nesse campeonato?

Gols de Luis = LGols de Junior = J + 10A soma dá 52, então:    L + L + 10 = 522L = 52 - 10L = 42/2L= 21 gols de Luis 

Assim Júnior marcou 31 gols.

Questão 1

(Unifor – CE)

Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte

correspondente ao dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4

unidades, determine o número de balas de hortelã e laranja.

ver resposta

Questão 2

(Unirio – RJ)

Em um escritório de advocacia trabalham apenas dois advogados e uma secretária. Como o Dr.

André e o Dr. Carlos sempre advogam em causas diferentes, a secretaria Cláudia coloca 1

grampo em cada processo do Dr. André e 2 grampos em cada processo do Dr. Carlos, para

diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que , ao  todo, são 78 processos nos quais

foram usados 110 grampos. Calcule o número de processos do Dr. Carlos. 

ver resposta

Questão 3

Na compra de duas canetas e um caderno, Joana gastou R$ 13,00. Carlos comprou quatro

canetas e três cadernos e gastou R$ 32,00. Determine o valor de uma caneta e um caderno. 

ver resposta

Questão 4

(UFMG)

Uma prova de múltipla escolha com 60 questões foi corrigida da seguinte forma: o aluno ganhava

5 pontos por questão que acertava e perdia 1 ponto por questão que errava ou deixava em

branco. Se um aluno totalizou 210 pontos, qual o número de questões que ele acertou?

Resposta Questão 1

Hortelã: x

Laranja: y

Temos 24 balas de hortelã e 24 de laranja. 

voltar a questão

Resposta Questão 2

Dr. André : x

Dr. Carlos: y

O número de processos do Dr. Carlos é igual a 32.

voltar a questão

Resposta Questão 3

Caneta: x

Caderno: y

O valor de uma caneta é de R$ 3,5 e o de um caderno R$ 6,00.

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Resposta Questão 4

Acertos: x

Erros: y

Para totalizar 210 pontos, o aluno acertou 45 questões. 

voltar a questão

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU

Existem vários métodos de resolução entre os quais:

1) MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Este método consiste em achar o valor de uma das incógnitas em uma das equações e substituí-la na outra

EXEMPLO 1

Seja o sistema

X + Y = 5X - Y = 1

Da primeira equação podemos tirar que:

x + y = 5 sendo assim passando o y para o outro lada do igual e invertendo os sinais fica: x= 5-y

já que x vale ou é igual (5 -y) substituindo o valor de x na outra equação do sitema temos :

X – y = 1(5 –y) – y = 1-y –y = 1 -5-2y= -4y = -4 / -2y= 2

Substituindo y por 2 em x = 5 – y____________________x = 5 -2____________________x = 3

portando o resultando do sistema é ( 3,2)

EXEMPLO 2

Seja o sistema

X – 2y = 32x – 3y = 5

Sendo assim da primeira equação tiramos

X – 2y = 3 __________ x = 3 + 2y

Substituindo o valor de x na segunda equação :

2x – 3y = 52(3 + 2Y) – 3y = 56 + 4y – 3y = 54y – 3y = 5 – 6y = -1

Substituindo y por -1 em :x = 3 + 2yx = 3 + 2 (-1)x = 3 – 2

x = 1

logo a solução é ( 1 , -1)

2) MÉTODO DA ADIÇÃO

Este método consiste na eliminação de uma das incógnitas, adicionando-se membro a membro as duas equações. É necessário que os coeficientes da incógnita que se deseja eliminar sejam simétricos .

EXEMPLO 1

Seja o sistema

X + y = 5x – y = 1

Somando-se membro a membro as duas equações:

x + y = 5x – y = 1-----------2x = 6

x= 6/2x= 3

Substituindo esse valor de x em uma das equações dadas ( por exemplo na primeira)

x + y = 53 + y = 5y= 5 – 3

y = 2

logo a solução é : (3,2)

EXEMPLO 2

Seja o sistema

4x - y = 23x + 2y = 7

Neste caso, não temos coeficientes simétricos. Vamos então multiplicar todos os termos da primeira equação por 2:

8x - 2y = 43x + 2y = 7-----------11x = 11

x = 11/11

x = 1

Vamos substituir este valor de x em uma das equações dadas (por exemplo, na segunda):

3x + 2y =73.1 + 2y + 73 + 2y = 72y = 7-32y = 4y = 4/2

y = 2

Solução (1,2)

EXEMPLO 3

Seja o sistema

4x + 2y = 165x - 3y = 9

4X + 2Y = 16 ( vamos multiplicar essa equação por 3)5x – 3y = 9 ( vamos multiplicar essa equação por 2)

ObserveSomando membro a membro as equaçãos

12x + 6y = 4810x - 6y = 18----------------22x = 66

x= 66/22x = 3

Substituindo-se esse valor de x em uma das equações dadas ( por exemplo, na primeira)

4x + 2y = 164.3 + 2.y= 1612 + 2y = 162y = 16 – 122y = 4y = 4/2y = 2

solução (3,2)

EXERCICIOS

A) Calcule os sistemas

1) x - 3y = 1_2x +5y = 13________ (R:4,1)

2) 2x + y = 10__x + 3y = 15________ (R:3,4)

3) 3x + y = 13__2x - y = 12________ (R:5,-2)

4) 2x + 7y = 17__5x - y = -13________ (R:-2,3)

5) 2x + y = 4__4x - 3y = 3________ (R:3/2,5)

6) x + y = 2_3x + 2y = 6________ (R:2,0)

7) x/2 + y/3 = 3____x - y = 1________ (R:4,3)

8) x - y =5__x +y = 7________ (R:6,1)

9) x - y =2_2x +y = 4________ (R:2,0)

10) x + y =3__2x +3y = 8________ (R:1,2)

11) x - 3 = 0__2x - y = 1________ (R:3,5)

12) 3x + y =5___2x +y = 4________ (R:1,2)

13) x = y - 2__2x +y = -1________ (R:-1,1)

14) x - y -2 = 0__2x +y – 7= 0________ (R:3,1)

15) x + y = 7___x -y = 1________ (R:4,3)

16) x + y = 6___2x +y = 4________ (R:-2,8)

17) 2x + y = 5___x + 2y = 4________ (R:2,1)

18 ) x + y = 11___x - y = 3________ (R:7,4)

19) x - y = 16___x +y = 74________ (R:45,29)

20) x - y = 1___x +y = 9________ (R:5,4)

21) 2x - y = 20___2x +y = 48________ (R:17,14)

22) x + y = 1___x - y = 7__________ (R:4, -3)

23) x + y = 3___x - y = -5_________ (R:-1,4)

24) x + y = 5___x- y = -5_________ (R: 0,5)

25) Se x e y é a solução do sistema

x + y = 4x+ 2y = 6

então x - y é:a) 8b) 6c) 4d) 2e) 0 (X)

26) Se x e y é a solução do sistemaa + b = 32a+ b = 5

então a - b é:a) 0b) 2c) 4d) 3e) 1 (X)

27) Qual a solução do sistema de equações abaixo?

x – y = 32x + y = 9

a)(1,0)b)(2,3)c)(3,2)d)(4,1) (X)e)(5,3)

28) A solução do sistema

2x + y = 10x + 3y = 15 é

a) x=3 e y=4 (X)b) x=3 e y=5c) x=2 e y=4d) x=1 e y=5e) x=5 e y=3

29) Se x e y é a solução do sistema

x + 3y = 93x+ 2y = 6

então x - y é:

a) 0 (X)b) 3c) 6d) 9

B) RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM SISTEMAS

1) Determine dois números, sabendo que sua soma é 43 e que sua diferença é 7 (R:25,18)

2) Um marceneiro recebeu 74 tabuas de compensado. Algumas com 6 mm de espessura e outras com 8 mm de espessura. Quando foram empilhadas atingiram uma altura de 50 cm. Quanta tabua de 8mm ele recebeu? (R: 28)

3) Em um estacionamento havia carros e motocicletas num total de 43 veículos e 150 rodas. Calcule o numero de carros e de motocicletas estacionadas. (R:32,11)

4) Uma empresa deseja contratar técnicos e para isso aplicou um prova com 50 perguntas a todos os candidatos. Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e perdeu um ponto para cada resposta errada. Se Marcelo fez 130 pontos quantas perguntas ele acertou? (R: 36)

5) Pedro e Paulo tem juntos R$ 81,00. Se Pedro der 10% do seu dinheiro a Paulo eles ficarão com quantias iguais. Quanto cada um deles tem? (R: 45,36)

6) Descubra dois números inteiros que somados dão 88, sabendo que um é igual ao triplo do outro (R:66,22)

7) Num quintal há 100 animais entre galinhas e coelhos. Sabedo que o total de pés é 320, quantas galinhas e quantos coelhos há nesse quintal? (R 40,60)

8) Num estacionamento há 80 veiculos, entre motos e carros. Se o total de rodas é 190, quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento? ( R:65,15)

9) Um teste é composto de 40 questões. Para cada questão respondida certa são atribuidos três pontos (+3) Para cada questão respondida errada são descontados dois pontos (-2) Ilda respondeu a todas as questões desse teste e fez um total de 75 pontos . quantas questões foram respondidas certas? ( R: 31)

10) Um caminhão carrega 5000 pacotes de açucar de 2 kg e de 5 kg num total de 15 400 kg. Quantos pacotes de 2 kg e 5 kg esse caminhão está transportando ? (R: 3200,1800)

11) Ache dois números que a soma deles é 354 e a diferença entre eles é 128. ( R: 241,113)

A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população

das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A? 

Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor desconhecido). 

Cidade A = x 

Cidade B = y 

x = 3y 

x + y = 200 000 

Substituindo x = 3y 

x + y = 200 000 

3y + y = 200 000 

4y = 200 000 

y = 200 000/4 

y = 50 000 

x = 3y , substituindo y = 50 000 

Temos 

x = 3 * 50 000 

x = 150 000 

População da cidade A = 150 000 habitantes 

População da cidade B = 50 000 habitantes 

Exemplo 2 

Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas

notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas? 

x notas de 20 reais y notas de 5 reais 

Equação do número de notas: x + y = 10 

Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140 

x + y = 10 

20x + 5y = 140 

Aplicar método da substituição 

Isolando x na 1ª equação 

x + y = 10 

x = 10 - y 

Substituindo o valor de x na 2ª equação 

20x + 5y = 140 

20(10 – y) + 5y = 140 

200 – 20y + 5y = 140 

- 15y = 140 – 200 

- 15y = - 60 (multiplicar por -1) 

15y = 60 

y = 60/15 

y = 4 

Substituindo y = 4 

x = 10 – 4 

x = 6

Exemplo 3 

Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos

grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes? 

Pequenos: x 

Grandes: y 

x + y = 8 

x + 1 = 2y 

Isolando x na 1ª equação 

x + y = 8 

x = 8 - y 

Substituindo o valor de x na 2ª equação 

x + 1 = 2y 

(8 – y) + 1 = 2y 

8 – y + 1 = 2y 

9 = 2y + y 

9 = 3y 

3y = 9 

y = 9/3 

y = 3 

Substituindo y = 3 

x = 8 – 3 

x = 5 

Peixes pequenos: 5 

Peixes grandes: 3 

Exemplo 4 

Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor dá 16, e o

maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1. 

Maior: x 

Menor: y 

2x + 3y = 16 

x + 5y = 1 

Isolando x na 2ª equação 

x + 5y = 1 

x = 1 – 5y 

Substituindo o valor de x na 1ª equação 

2(1 – 5y) + 3y = 16 

2 – 10y + 3y = 16 

- 7y = 16 – 2 

- 7y = 14 (multiplica por -1) 

7y = - 14 

y = -14/7 

y = - 2

Substituindo y = - 2 

x = 1 – 5 (-2) 

x = 1 + 10 

x = 11 

Os números são 11 e -2.

Resolva e classifique cada um dos sistemas.

1.

 

2.

 

3.

 

 

Resolução do Exercício de Matemática:

1.

 

 

Sistema impossível 

 

2.

 

 

 

Sistema possível e determinado 

 

3.

 

 

 

Sistema possível e indeterminado 

Exercicios de Matematica 9 Ano - Sistema de Equações

Resolva e classifique os seguintes sistemas:

1. 

 

2.

 

3.

 

Resolução dos Exercícios de Matemática de Sistema de Equações:

 

1.

 

 

Sistema possível e determinado 

 

2.

 

 

Sistema possível e indeterminado 

 

3.

 

 

Sistema impossível 

Resolva e classifique os seguintes sistemas:

1. 

 

2.

 

3.

Resolução dos Exercícios de Matemática de Sistema de Equações:

 

1.

 

 

 

Sistema possível e determinado Solução: 

 

2.

 

 

 

Sistema possível e indeterminado. As soluções do sistema são os pontos de

coordenadas 

 

3.

 

 

Sistema impossível 

 

Problemas - Exercício 4

Na Figura está representado o retângulo de jogo de um campo de futebol. Determine   e  .

Resolução do exercício de matemática

 

 

 

 

Portanto,  .

 

A Adriana é a irmã mais velha do Claudio. A diferença entre as idades dos dois irmãos é de 5 anos e a sua soma é 35 anos.

Qual a idade do Claudio? Qual a idade da Adriana?

Resolução do exercício de matemática:

Sejam:

 a idade da Adriana.

 a idade do Claudio.

 

 

 

O Cláudio tem 15 anos e a Adriana tem 20 anos.