Resonancia del umbral epidémico en un entorno periódico.

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, Francia nicolas.bacaer@ird.fr

Departamento de Matemáticas y Ciencias de Sistemas, Universidad de Xinjiang, Urumqi, China

resumen

Se han realizado muchos estudios sobre la resonancia entre el período natural de una enfermedad endémica y una tasa de contacto estacional periódico. Este artículono se centra en la resonancia de enfermedades endémicas, sino en la resonancia de enfermedades emergentes. La periodicidad puede tener una gran influencia en latasa de crecimiento inicial y, por lo tanto, en el umbral epidémico. Existe una resonancia cuando la ecuación de Euler-Lotka tiene una raíz compleja cuya parteimaginaria (es decir, la frecuencia natural) está cerca de la pulsación de la velocidad de contacto y cuya parte real es no muy lejos del parámetro maltusiano. Es unaespecie de análogo de tiempo continuo del trabajo de Tuljapurkar en modelos de población de tiempo discreto. Este fenómeno de resonancia se ilustra en variosmodelos simples de epidemias con contactos que varían periódicamente de una semana a otra. Explicamos las sorprendentes diferencias entre un modelo SEIRperiódico con un período de latencia distribuido exponencialmente y el mismo modelo con un período de latencia fijo.

1. Introducción

Desde al menos el trabajo de Kermack y McKendrick de 1932, sabemos que las enfermedades infecciosas pueden presentar oscilaciones amortiguadas cerca de unestado endémico de equilibrio. De hecho, utilizando un modelo simple formado a partir de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, mostraron que losvalores propios de la matriz jacobiana en este punto de equilibrio pueden ser complejos. Estos valores propios determinan un período natural de oscilación. Desde ladécada de 1970 y, en particular, desde el surgimiento de la "teoría del caos", numerosos trabajos han demostrado que la resonancia entre este período natural y unatasa de contacto estacional periódico u otro factor periódico podría inducir un comportamiento dinámico inesperado.

Esto ocurre incluso para modelos matemáticos no lineales muy simples (Dietz, 1974 y 1976; Grossman et al., 1977; Grossman, 1980; Smith, 1983a y 1983b;Schwartz y Smith, 1983; Aron y Schwartz, 1984; Schwartz, 1985; Schaffer, 1985; Hethcote y Levin, 1989; Olsen y Schaffer, 1990; Rand y Wilson, 1991; Grenfell,1992; Bolker y Grenfell, 1993; Kuznetsov y Piccardi, 1994; Grenfell et al., 1995; Glendinning y Perry , 1997; Earn et al., 2000; Keeling et al., 2001; Keeling yGrenfell, 2002; Billings y Schwartz, 2002; Kamo y Sasaki, 2002; Dushoff et al., 2004; Greenman et al., 2004; Irlanda et al., 2004; Zeng et al., 2005; Altizer et al.,2006; Choisy et al., 2006; Grassly y Fraser, 2006; Ireland et al., 2007; Moneim, 2007a y 2007b).

Primero, si las ecuaciones linealizadas cerca del equilibrio endémico tienen un valor propio complejo con una parte imaginaria y cercana a la pulsación ω de lavelocidad de contacto y con una parte real x cercana a 0, entonces oscilaciones relativamente pequeñas de la velocidad de contacto Puede causar grandesoscilaciones en la prevalencia. Segundo, cuando está cerca de un número racional con p y q pequeño, y para amplitudes suficientemente grandes deoscilaciones de la velocidad de contacto, la prevalencia puede oscilar a una frecuencia subarmónica. El caos también puede aparecer para ciertos rangos de valoresde parámetros. De esta manera, la teoría explica la serie temporal de la incidencia de ciertas enfermedades como el sarampión, que alguna vez fue endémica pero conpicos epidémicos aproximadamente cada dos años en ciertas ciudades (Soper, 1929), y por lo que se pensó que el "período natural" de oscilación cerca de suequilibrio endémico era cercano a los dos años. En ecología, también hay fenómenos de resonancia similares entre un entorno fluctuante y un período natural deoscilación cerca de un estado de equilibrio distinto de cero (Gurney y Nisbet, 1980;

Según (Lotka, 1939a, p. 73; Lotka, 1939b), la ecuación característica (o ecuación de Euler-Lotka) para modelos demográficos lineales en tiempo continuo tambiéntiene raíces complejas, que causan ondas poblacionales . Lotka creía que siempre hay una infinidad de tales raíces y que una de ellas generalmente tiene un períodonatural asociado cercano a una generación, es decir, dos o tres décadas para las poblaciones humanas. AJ Coale estudió el caso de la fertilidad periódica y notó unaumento significativo en la tasa de crecimiento del modelo cuando el período de fertilidad está cerca de una generación, un fenómeno que también llamó resonancia(Coale, 1972, figura 6.8). (Kim y Schoen, 1996; Schoen y Kim, 1997; Schoen, 2006) también estudió la resonancia de la amplitud de las oscilaciones, pero no laresonancia de la tasa de crecimiento, en modelos lineales en tiempo continuo. (Tuljapurkar, 1985 y 1990), (Caswell, 2001, § 13.3.2) y (Keyfitz y Caswell, 2005, §7.3.2) estudiaron la resonancia en modelos de matriz lineal en tiempo discreto: dada la transformación exponencial que conecta modelos de tiempo discreto y detiempo continuo, la resonancia ocurre cuando la matriz que describe el crecimiento en un ambiente constante tiene un valor propio complejo con

cerca de ω y con un módulo cerca del radio espectral de la matriz. Nuevamente (Tuljapurkar, 1985) se enfoca en la resonancia de la amplitud de lasoscilaciones pero no en la resonancia de la tasa de crecimiento.

Los modelos matemáticos obtenidos al linealizar modelos epidémicos no lineales cerca del equilibrio libre de enfermedad (y no el equilibrio endémico) son muysimilares a los modelos de población lineal mencionados en el párrafo anterior; la variable edad se reemplaza por el tiempo transcurrido desde la infección. Por lotanto, se espera que la resonancia de la tasa de crecimiento inicial también pueda ocurrir en un entorno periódico, lo que cambia significativamente el umbralepidémico. Esto puede tener consecuencias importantes para las enfermedades emergentes. Sin embargo, tenga en cuenta que para muchas enfermedadestransmitidas por aire, el tiempo promedio entre dos generaciones de infectados es del orden de una o dos semanas; Depende del período de latencia. Por lo tanto, laresonancia solo es probable si la velocidad de contacto varía con un período del mismo orden de magnitud, generalmente si varía semanalmente. Para los niños enedad escolar, los contactos disminuyen durante los fines de semana. También se puede imaginar una enfermedad infecciosa para animales que se vende una vez porsemana en un mercado.

La Sección 2 recuerda cómo calcular la tasa de crecimiento en modelos de población que son lineales, periódicos y continuos en el tiempo. Damos una fórmulageneral para la perturbación de primer orden; pone en juego la noción de valor reproductivo en un entorno periódico. Pero para una pequeña perturbación periódicade un modelo con coeficientes que no dependen del tiempo, esta fórmula muestra que es necesario incluir un término de segundo orden para estudiar la resonanciade la tasa de crecimiento.

La sección 3 presenta tres métodos diferentes para estudiar la resonancia. Los dos primeros métodos, uno puramente numérico, el otro parcialmente analítico, sebasan en nuestro trabajo anterior (Bacaër y Guernaoui, 2006; Bacaër, 2007; Bacaër y Ouifki, 2007). El tercer método sugiere, como era de esperar, que la resonanciade la tasa de crecimiento se produce si

La ecuación de Euler-Lotka (Lotka, 1939a, p. 65) tiene una raíz complejala parte imaginaria está cerca de la pulsación ω de la velocidad de contactola parte real está cerca del parámetro maltusiano.

También hay otra condición técnica.

J. Math. Biol. 57 (2008) 649-673

Nicolas Bacaer

Institut de Recherche pour le Developpement32 avenue Henri Varagnat, 93143 Bondy

Xamxinur Abdurahman

y/ω p/q ≠ 1

x + i y

arctan(y/x)

La Sección 4 aplica los tres métodos a cinco modelos epidémicos clásicos con tasas de contacto periódicas para mostrar cómo los modelos con pequeñasdiferencias pueden tener propiedades muy diferentes:

un modelo SIR con un período infeccioso exponencial, es decir, distribuido exponencialmente; Resonancia de la tasa de crecimiento inicial es imposible. Elobjetivo es enfatizar que este modelo es excepcional en el sentido de que la tasa de crecimiento inicial es incluso completamente independiente de lafrecuencia del factor periódico. Este modelo es responsable de la idea común pero falsa de que los modelos linealizados con coeficientes periódicos se tratanfácilmente tomando el promedio.un modelo SIR con un período infeccioso fijo, para el cual es posible la resonancia. Pero con los valores de los parámetros elegidos aquí, la resonancia resultaser muy débil.un modelo SEIR con un período de latencia y un período infeccioso que se distribuyen exponencialmente; La resonancia es imposible, como señaló (Bacaër,2007), pero la tasa de crecimiento depende del factor periódico, a diferencia del primer modelo SIR.un modelo SEIR con un período de latencia fijo y un período infeccioso distribuido exponencialmente, donde, a diferencia de los modelos anteriores, esposible una fuerte resonancia, como ha señalado (Bacaër y Ouifki, 2007).un modelo SEIR con un período de latencia después de una distribución Gamma y un período infeccioso distribuido exponencialmente; Es una generalizaciónde los dos modelos anteriores, que muestra cómo la resonancia se vuelve imposible cuando la distribución del período de latencia va progresivamente de unafunción escalonada a una exponencial.

Un punto clave es que la ecuación de Euler-Lotka para el modelo autónomo bien puede no tener una raíz compleja que no sea su raíz real (§4.1, §4.3), como ya haseñalado (Feller, 1941). Por supuesto, desde hace tiempo se sabe que dos modelos epidémicos con una distribución diferente del tiempo que pasan en uncompartimento pueden tener diferentes propiedades cualitativas; ver el estudio de la existencia de soluciones periódicas para modelos epidémicos autónomos(Hethcote y Levin, 1989, §3).

En resumen, la regla que a priori es razonable desde un punto de vista biológico, según la cual la resonancia del umbral epidémico es importante cuando lafrecuencia del entorno es cercana a la frecuencia natural de la enfermedad, no siempre funciona. Sorprendentemente, no funciona para los modelos más simples, losmodelos SIR y SEIR con latencia e infectividad distribuidos exponencialmente. Esta regla debería ser reemplazada por un estudio más preciso de las raícescomplejas de la ecuación de Euler-Lotka. Un fenómeno de resonancia similar puede ocurrir para la reproducibilidad (Bacaër y Ouifki, 2007, Figura 1). Por lotanto, deben revisarse las estimaciones de reproducibilidad para enfermedades que se propagan en un entorno periódico como la escuela.

El primer apéndice contiene evidencia del crecimiento del valor reproductivo total de una población en un entorno periódico. Ver también (Michel et al., 2005). Esun corolario de nuestro estudio y una generalización de un resultado clásico de RA Fisher para modelos de población autónomos (Fisher, 1930, capítulo 2). Elsegundo apéndice explica por qué la definición propuesta para el valor reproductivo en un entorno periódico parece tener mejores propiedades que la definiciónutilizada por Ediev (2001, 2007).

2. Fórmulas de perturbación de primer orden

2.1 La tasa de crecimiento inicial

Al estudiar la estabilidad del equilibrio libre de enfermedad de un modelo epidémico, lo primero que debe hacer es linealizar el modelo cerca de este equilibrio. Elsistema lineal resultante generalmente se puede escribir como una ecuación de renovación integral

es un vector de columna , con el índice k representando diferentes tipos de personas infectadasrepresenta el número de personas nuevas que ingresan al compartimento infectado k por unidad de tiempo en el momento t

es una matriz cuadrada de tamaño ny una función positiva que es periódica del período T con respecto a tes el número promedio de infecciones por unidad de tiempo, del tipo k , producidas en el tiempo t por una persona que estaba infectada en el tiempo

t - x , y que era del tipox es el tiempo transcurrido desde la infección.

Para simplificar, solo consideraremos el caso ya que es suficiente para los ejemplos que tenemos en mente. Este caso ocurre por ejemplo (pero no solo)cuando se considera una sola población de personas infectadas con

una tasa de curación una tasa de contacto efectiva (producto de la velocidad de contacto y probabilidad de transmisión por contacto),

que dependen del tiempo ty la duración x transcurrida desde la infección. Asumimos

y es la densidad de la población infectada por x unidades de tiempo en el tiempo t .

En la aproximación lineal cerca del equilibrio sin enfermedad, es la solución del sistema

es la solución de (1) con

Aquí, es la probabilidad de que una persona recién infectada en el momento τ siga infectada en el momento . La tasa de crecimiento inicial r de laepidemia es el único número real para el cual la siguiente ecuación integral tiene una solución positiva, no trivial y periódica del período T :

(Coale, 1972; Bacaër y Guernaoui, 2006; Bacaër, 2007; Bacaër y Ouifki, 2007; Michel et al., 2005; Thieme, 1984; Jagers y Nerman, 1985; Williams y Dye, 1997).Como en (Michel et al., 2005), también es el único número real tal que hay una función positivo, no trivial, periódico del período T con respecto a t , con

y la condición de normalización

R0

J(t) = ∫∞

0

Φ(t,x) J(t − x) dx . (1)

J(t) (J1(t), … , Jn(t))T

Jk(t)Φ(t,x)Φk,ℓ(t,x)

ℓ

n = 1

μ(t,x)β(t,x)

μ(t + T ,x) = μ(t,x) β(t + T ,x) = β(t,x)i(t,x)

i(t,x)

∂i

∂t+

∂i

∂x+ μ(t,x) i(t,x) = 0 , i(t, 0) = ∫

∞

0

β(t,x) i(t,x) dx . (2)

J(t) = i(t, 0)

Φ(t,x) = ℓ(t − x,x)β(t,x) , ℓ(τ,x) = exp(−∫x

0μ(τ + y, y) dy) . (3)

ℓ(τ,x) τ + x

p(t) = ∫∞

0

e−rx Φ(t,x) p(t − x) dx , (4)

u(t,x)

−∂u

∂t−

∂u

∂x− μ(t,x)u(t,x) = r u(t,x) , u(t, 0) = ∫

∞

0β(t,x)u(t,x) dx , (5)

Finalmente, como en (Michel et al., 2005), la tasa de crecimiento es también el único número real tal que hay una función positivo, no trivial, periódico delperíodo T con respecto a t , con

y la condición de normalización

El triplete es el que proviene de la teoría de Kerin-Rutman para operadores positivos (Michel et al., 2005, Teorema 5.1).

es el valor reproductivo de un individuo infectado de x unidades de tiempo en el tiempo t . Tenga en cuenta que en los modelos demográficos, seríafertilidad y mortalidad. Excepto por la estandarización, es la generalización del modelo con coeficientes periódicos de la definición de Fisher para elvalor reproductivo en modelos autónomos (Fisher, 1927 y 1930; Lotka y Fisher, 1927). Tenga en cuenta también que (Michel et al., 2005) no menciona el vínculocon el concepto de valor reproductivo. (Grafen, 2006) recientemente presentó generalizaciones en otras direcciones.

Con esta definición de , podemos generalizar fácilmente un teorema debido a Fisher (1930, capítulo 2):

(ver Apéndice 1). Esta es la razón principal por la cual la definición que utilizamos para el valor reproductivo en un entorno periódico parece más apropiada que lade (Ediev, 2001 y 2007) (ver Apéndice 2).

2.2 Fórmulas perturbativas de primer orden para la tasa de crecimiento del sistema (2)

Consideremos primero el caso donde

con dos funciones y que son periódicas en comparación con . Escribimos la primera ecuación de (5) en la forma

es un operador diferencial lineal en un espacio de funciones periódicas del período T (con respecto a la variable t ) que satisfacen la restricción dada por lasegunda ecuación de (5). Entonces

es el triplete asociado con . La teoría perturbativa de los operadores lineales (Kato, 1984) dice que el principal valor propio asociado con esdado por

(Anotaciones de Landau), con

Tenga en cuenta que Si , como debería ser.

Del mismo modo, podemos considerar el caso donde

con dos funciones y que son periódicas con respecto a t . Escribir (7)

Tenga en cuenta que es el triplete asociado con . La misma teoría perturbativa dice que el valor propio principal asociado con es dado por

con

Tenga en cuenta que Si , como debería ser.

2.3 Fórmulas perturbativas de primer orden para la tasa de crecimiento en dos casos especiales

Coeficientes independientes del tiempo. Con y , (4) muestra que la tasa de crecimiento inicial es la única solución real a laecuación de Euler-Lotka

Las soluciones de (5) - (6) y (7) - (8) son las fórmulas bien conocidas debido a Lotka y Fisher para la pirámide de edad y para el valor reproductivo:

1

T∫

T

0

∫∞

0

u(t,x) dxdt = 1 . (6)

r v(t,x)

∂v

∂t+

∂v

∂x− μ(t,x) v(t,x) + β(t,x) v(t, 0) = r v(t,x) , (7)

⟨u, v⟩ =1

T∫

T

0

∫∞

0

u(t,x) v(t,x) dxdt = 1. (8)

(r,u, v)

v(t,x) β(t,x)μ(t,x) v(t,x)

v(t,x)

V (t) = ∫∞

0i(t,x) v(t,x) dx = V (0) ert , (9)

μ(t,x) = μ0(t,x) + ε μ1(t,x),

μ0(t,x) μ1(t,x) t

Lεu = r u.

Lε

Lε = L0 + εM, (Mu)(t,x) = −μ1(t,x)u(t,x).

(r0,u0, v0) L0 rε Lε

rε = r0 + ε ρ + o(ε), ε → 0

ρ = ⟨Mu0, v0⟩ = −1

T∫

T

0∫

∞

0μ1(t,x)u0(t,x) v0(t,x) dx dt . (10)

ρ < 0 μ1 > 0

β(t,x) = β0(t,x) + ε′ β1(t,x),

β0(t,x) β1(t,x)

L′εv = r v, L

′ε = L

′0 + ε′

N , (N v)(t,x) = β1(t,x) v(t, 0).

(r0, v0,u0) L′0 rε L

′ε

rε = r0 + ε′ ρ′ + o(ε′), ε′ → 0

ρ′ = ⟨N v0,u0⟩ =1

T∫

T

0v0(t, 0)∫

∞

0β1(t,x)u0(t,x) dx dt . (11)

ρ′ > 0 β1 > 0

μ(t,x) = μ(x) β(t,x) = β(x) r

1 = ∫∞

0

e−r x Φ(x) dx , Φ(x) = ℓ(x)β(x) , ℓ(x) = exp(− ∫x

0

μ(y) dy). (12)

u(x) =e−rx ℓ(x)

∫ ∞0

e−ry ℓ(y) dy, v(x) = v(0)∫

∞

x

e−r(y−x) ℓ(y)

ℓ(x)β(y) dy . (13)

Con o , entonces (10) y (11) se convierten

Excepto por las notaciones, estas fórmulas se deben a WD Hamilton (1966, ecuaciones (9) y (25)). Para modelos de tiempo discreto, (Caswell, 2001; Demetrius,1969; Goodman, 1971; Caswell, 1978) presentan fórmulas similares.

Coeficientes independientes de x . Con y , podemos mostrar, como en (Bacaër y Guernaoui, 2006, §5) para r y , que lassoluciones de (4), (5) - (6) y (7) - (8) son

con . Tenga en cuenta que el valor reproductivo es independiente de x . Con o ,entonces (10) y (11) se convierten

como debería ser con la expresión de r .

2.4 La tasa de crecimiento para una pequeña perturbación periódica del caso autónomo

Consideremos ahora el caso de una pequeña perturbación periódica de una situación autónoma de la forma

con . La sinusoide es el factor periódico más utilizado en la literatura. En este caso, la ecuación (3) toma la forma

con . Las funciones y son siempre independientes de t y dados por (13). Porque el tiempo promedio dees 0, la ecuación (11) da . Entonces . Debido a esto, uno debe estudiar el término cuadrático para ver cómo puede ocurrir la resonancia de latasa de crecimiento.

Cabe destacar que no todas las situaciones interesantes tienen la forma (14). Por ejemplo, si estudiamos la influencia de un pequeño cambio climático en unaenfermedad transmitida por vectores, entonces y serán funciones periódicas del tiempo debido a la estacionalidad de la población de vectores. En talcaso, el cambio de primer orden en la tasa de crecimiento dada por la ecuación (11) probablemente será diferente de cero.

En el resto de este artículo (excepto en los dos apéndices), nos centraremos en modelos linealizados que están escritos en forma de una ecuación de renovación (1)con un núcleo de la forma (15), incluso si algunos de estos modelos no pueden escribirse en la forma de la ecuación diferencial parcial (2).

3. Fórmula de segundo orden y resonancia.

(Bacaër y Ouifki, 2007) desarrollaron un método numérico especial para calcular la tasa de crecimiento cuando el núcleo es de la forma (15). Sinembargo, tenga en cuenta que los métodos de (Bacaër, 2007; Bacaër y Ouifki, 2007) podrían gestionar un factor periódico arbitrario, en particular el caso de unafunción de escalera periódica. Esto es más realista no solo por la diferencia anual entre el período escolar y las vacaciones, sino también por la diferencia semanalentre los días de la semana y los fines de semana.

Diremos de manera vaga que hay "resonancia" si es significativamente más grande que Si para ciertos valores especiales de la pulsación ω, es decir, siciertas frecuencias especiales promueven el crecimiento. Las preguntas son entonces: ¿puede ocurrir resonancia y, de ser así, para qué valores de los parámetros?

El primer y más obvio método para responder estas preguntas es calcular digitalmente y compáralo con . (Bacaër y Ouifki, 2007) mostraron que la tasa decrecimiento definido por (4) y (15) es la raíz real más grande de la siguiente ecuación, que implica una fracción continua,

denota la parte real. Por definición

es la transformación de Laplace de calculado en . Tenga en cuenta que cuando , (16) se reduce a . Esta es la ecuación de Euler-Lotka (12).

Hay un segundo método para detectar resonancia. (Coale, 1972; Bacaër y Ouifki, 2007) obtuvieron una fórmula aproximada de segundo orden para definido por(4) y (15) cuando es pequeño:

De esta manera, vemos que la resonancia ocurre si y si no es muy pequeño en comparación con . Estas condiciones se pueden verificar fácilmentenuméricamente. Para los modelos con tiempo discreto, Tuljapurkar (1985) estudió la resonancia de la amplitud de las oscilaciones de la población. Pero no estudió laresonancia de la tasa de crecimiento, después de señalar sin embargo que .

Finalmente, hay un tercer método, quizás el más interesante, para detectar resonancia. Se inspira en las ideas de (Tuljapurkar, 1985 y 1990) para modelos entiempo discreto, pero también en la abundante literatura mencionada en la introducción sobre resonancia cerca de un equilibrio endémico en modelos con tiempo

μ(x) = μ0(x) + εμ1(x) β(x) = β0(x) + ε′ β1(x)

ρ = −∫

∞0 μ1(x) ∫

∞x e−r0y ℓ0(y)β0(y) dy dx

∫ ∞0

x e−r0x ℓ0(x)β0(x) dx , ρ′ =

∫∞

0 e−r0x ℓ0(x)β1(x) dx

∫ ∞0

x e−r0x ℓ0(x)β0(x) dx .

μ(t,x) = μ(t) β(t,x) = β(t) u(t,x)

r =1

T∫

T

0(β(t) − μ(t)) dt ,

u(t,x) =β(t − x) e− ∫ t

t−xβ(τ) dτ  ψ(t)

1T ∫

T

0ψ(τ) dτ

 , v(t,x) =1T ∫

T

0 ψ(τ) dτ

ψ(t) ,

ψ(t) = e−rt+∫ t

0 (β(τ)−μ(τ)) dτ v(t,x) μ(t) = μ0(t) + εμ1(t) β(t) = β0(t) + ε′ β1(t)

ρ = −1

T∫

T

0

μ1(t) dt , ρ′ =1

T∫

T

0

β1(t) dt ,

μ(t,x) = μ0(x) , β(t,x) = (1 + ε cosωt)β0(x) (14)

|ε| ≤ 1

Φ(t,x) = (1 + ε cosωt)ϕ(x) , (15)

ϕ(x) = ℓ0(x)β0(x) u0(t,x) v0(t,x) β1(t,x) = cos(ωt)β0(x)ρ′ = 0 rε = r0 + o(ε)

μ0(t,x) β0(t,x)

Φ(t,x)

rε Φ(t,x)

rε r0 ε ≠ 0

rε r0

rε

1/ϕ0(r) − 1 = 2 Re ε2/4

1/ϕ1(r) − 1 −ε2/4

1/ϕ2(r) − 1 −ε4/4⋯

 . (16)

Re

ϕn(r) = ∫∞

0

ϕ(x) e−r x−niωx dx (17)

ϕ(x) z = r + niω ε = 0 ϕ0(r) = 1

rεε

rε = r0 + αε2 + o(ε2) , α = −1

2 ϕ′

0(r0)Re( 1

1/ϕ1(r0) − 1) . (18)

α > 0 α r0

rε = r0 + O(ε2)

continuo. Se espera que se produzca resonancia cuando la ecuación de Euler-Lotka (12) tiene un par de raíces conjugadas complejas con y cerca de ω yxcerca del parámetro de Malthus . De hecho, si es una raíz exacta de (12),

Si la parte real ξ está cerca de , más precisamente si es pequeño, tenemos muy aproximadamente

Reemplace esta aproximación en la fórmula (18) para α y considere nuevamente que es pequeño. Obtenemos

Para cualquier raíz de (12), tenemos . También tenga en cuenta que

Por cierto, para cualquier número complejo , se tiene . El signo de es lo mismo que el signo de . Entonces, para(19), es suficiente determinar el signo de . El denominador es pequeño. es positivo si

Dicho de otro modo, será significativamente más grande que : hay resonancia. El grado de resonancia se mide de cierta manera por la distancia . Cuantomás pequeño es, mayor es la resonancia. También recuerda que está relacionado con la velocidad con la que la población converge hacia su forma estable (enel sentido de Lotka, con la duración de la infección x que reemplaza la edad). En los modelos epidémicos, esta noción no es muy importante porque los términos nolineales dominan rápidamente la dinámica.

No hemos podido demostrar que la condición resultado de nuestras suposiciones. Por lo tanto, por el momento, debe considerarse como unacondición técnica adicional para que ocurra la resonancia.

Para este tercer método, un punto importante es que la ecuación de Euler-Lotka puede no tener una raíz compleja que no sea la raíz real, como ha señalado (Feller,1941). Esto es lo que distingue los modelos donde puede ocurrir resonancia y aquellos donde no ocurre. Aunque es posible calcular el tiempo promedio degeneración en cada modelo, esto no significa que siempre haya una raíz compleja de la ecuación de Euler-Lotka con una parte imaginaria cercana a este tiempo degeneración . Esto es lo que sugirió Lotka (1939a, p. 76-77).

En la siguiente sección, estudiaremos estos tres métodos para varios modelos epidémicos simples con una tasa de contacto periódica, para mostrar cómo a priorimodelos pequeños pueden tener propiedades muy diferentes con respecto a la resonancia de la tasa de crecimiento inicial.

4. Ejemplos

4.1 El modelo SIR periódico

Definimos

la proporción de personas sanas (no infectadas) la proporción de personas infectadas e infecciosas La proporción de personas que se han recuperado.

Considera el modelo

con , y . El parámetro es la velocidad de transmisión, que es período . El parámetro b es la velocidad decurado. Dietz (1974 y 1976), Grossman et al. (1977), Grossman (1980), Smith (1983a, 1983b), Kuznetsov y Piccardi (1994), Keeling y Grenfell (2002), Greenmanet al. (2004) y Moneim (2007a) estudiaron este modelo con, además, nacimientos y defunciones. Dushoff y col. (2004) tomaron en cuenta las personas curadas quese vuelven saludables después de cierto tiempo. Greenman y Norman (2007) consideraron ambas posibilidades. A diferencia de la investigación sobre resonanciapara enfermedades endémicas, la adición de nacimientos y muertes o el regreso al compartimento sano no son importantes para el umbral de la epidemia. Estostérminos se han omitido (en este modelo y también en los otros modelos a continuación) para mantener la discusión lo más simple posible.

El estado de equilibrio sin enfermedad es . Linealizamos el sistema cerca de este estado de equilibrio y establecemos . Este esel número de nuevas infecciones por unidad de tiempo en esta aproximación. es la solución de una ecuación de la forma (1) con (15). Usando (12), (17) y (18),se encuentra fácilmente que

El primer método para detectar resonancia es calcular numéricamente. Para el modelo actual, (Bacaër y Ouifki, 2007) ya ha notado que es unaraíz de (16) para todos , pero a priori quizás no sea el más grande. Entonces podemos sospechar que . Y, de hecho, otro método, a partir de ladefinición (4) de , muestra esa (Bacaër y Guernaoui, 2006, §5). No hay resonancia, cualesquiera que sean los valores de los parámetros.

El segundo método se centra en . Aquí α es cero, lo que tiende a confirmar que no hay resonancia. En cuanto al tercer método, notamos que es la única raíz entodo el plano complejo de la ecuación de Euler-Lotka (12). Entonces no hay resonancia. Todo esto es trivial porque llegamos a las mismas conclusiones calculandoanalíticamente la solución de la ecuación diferencial linealizada. Esto es lo que generalmente se hace en la literatura. Sin embargo, todavía es interesante ver cómofunciona el método general en un ejemplo trivial.

La independencia de en comparación con en este modelo, uno piensa en la idea de que la distribución de probabilidad es decir,entre las distribuciones de probabilidad en la media línea con el mismo promedio , la de máxima entropía y, por lo tanto, la más "resistente a lasperturbaciones ambientales", representada aquí por el factor periódico (Demetrius, 1977). Demetrius (1977) insiste en el vínculo entre la entropía y las raícescomplejas de la ecuación de Euler-Lotka.

4.2 El modelo SIR periódico con un período de infección fijo

Considera el modelo

r = x ± iyr0 r = ξ + iω

ϕ1(ξ) = ∫∞

0

ϕ(x) e−ξ x−iωx dx = 1 .

r0 (r0 − ξ)/ω

ϕ1(r0) ≃ ϕ1(ξ) + (r0 − ξ)ϕ′

1(ξ) = 1 + (r0 − ξ)ϕ′

1(ξ) .

r0 − ξ

α ≃1

2 ϕ′

0(r0) (r0 − ξ)Re( 1

ϕ′

1(ξ)) . (19)

r = ξ + iω ξ < r0

ϕ′

0(r0) = −∫∞

0x ϕ(x) e−r0x dx < 0 .

z = x + iy Re(1/z) = x/(x2 + y2) Re(1/z) Re(z)

Re(ϕ′

1(ξ)) r0 − ξ α

Re(ϕ′

1(ξ)) < 0.

rε r0 r0 − ξr0 − ξ

Re(ϕ′

1(ξ)) < 0

S(t)I(t)R(t)

S ′(t) = −a(t) S I , I ′(t) = a(t) S I − b I , R′(t) = b I ,

S + I + R = 1 a(t) = a(1 + ε cos ωt) |ε| ≤ 1 a(t) T = 2π/ω

(S, I, R) = (1, 0, 0) J(t) = a(t) I(t)J(t)

ϕ(x) = a e−b x , ϕn(r) = a/(b + r + niω) , r0 = a − b , α = 0 .

rε r = a − b = r0

|ε| ≤ 1 rε = r0

rε rε = r0

α r0

rε ε ϕ(x)/ ∫∞

0 ϕ(x) dx = b e−bx

[0, ∞) 1/b

′ ′

con y . El parámetro τ es la duración del período infeccioso. Grossman (1980), Keeling y Grenfell (2002) estudiaron estemodelo con nacimientos y muertes. Cooke y Kaplan (1976), Smith (1977) y Nussbaum (1977, 1978) lo han estudiado con personas infectadas que regresandirectamente al compartimento sano. Esta última variante no cambia el umbral epidémico.

El estado de equilibrio sin enfermedad es . El número de nuevas infecciones por unidad de tiempo en el modelo linealizado, ,es la solución de una ecuación de la forma (1) con (15). aquí

es una función implícita de

De más

Si el signo de cambiar si

Si .

Podemos demostrar esto fácilmente con (20) y (21). La fórmula (18) para α no se puede simplificar realmente. Asumimos . Es solo cuestión de elegirla unidad de tiempo. Como ejemplo, considere como en (Cooke y Kaplan, 1976; Smith, 1977; Nussbaum, 1977 y 1978) el caso donde por unidad de tiempo.

Con el primer método, la Figura 1a muestra cómo la tasa de crecimiento depende del período infeccioso τ. Tomamos y varios valores de . Un zoomen la figura mostraría que Si y o entonces (aproximadamente). Sin embargo, la diferencia no es significativa. Solo hayuna débil resonancia.

Figura 1. Baja resonancia en el modelo SIR periódico con un período infeccioso fijo. (a) Tasa de crecimiento dependiendo del período infeccioso para varios valores de . (si) en función de .

Con el segundo método, la Figura 1b muestra cómo α depende del período infeccioso τ en el mismo rango de valores. Numéricamente tenemos Si o bien , como debería ser. El máximo de , que se alcanza cuando , ronda el 9,4%. Esto confirma la debilidad de la

resonancia.

Con el tercer método, recuerde primero que siempre hay una sola raíz de la ecuación de Euler-Lotka (20). Pero esta ecuación también tiene una infinidadde pares de conjugados de raíces complejas. Este es generalmente el caso para los modelos donde Tiene un soporte compacto. Ver por ejemplo (Lopez, 1961, p.15) o (Gyllenberg, 1985, p. 323-324). Entre estas raíces complejas, algunas pueden tener una parte imaginaria igual a ω para ciertos valores particulares de τ. Paraencontrar estos valores, tenga en cuenta que la última ecuación de (20), con en lugar de , equivalente (si excluimos ) al sistema real

Se toma y eliminamos x de la segunda ecuación. Obtenemos una ecuación única para τ:

El lado izquierdo

es una función continua de τ para y todo converge a Si converge a Si .

Entonces (22) tiene una infinidad de soluciones positivas . Para nuestro ejemplo donde y , obtenemos: , ,

Con , las raíces complejas conjugadas de (20) con la parte real más grande son con , mientras que . Entonces aunque , la diferencia entre y es demasiado grande para que ocurra una resonancia significativa: . Del mismo modo

cuando , las raíces complejas conjugadas de (20) con la segunda parte real más grande son con , mientras que . Entoncesaunque , la diferencia entre y es nuevamente demasiado grande para que ocurra una resonancia significativa: .La misma conclusión se aplica a las otras raíces complejas con una parte imaginaria igual a ω para .

4.3 Un modelo SEIR periódico

Ahora supongamos que hay una proporción de la población infectada pero aún no infecciosa, es decir, en fase latente. Considera el modelo

S ′(t) = −a(t) S(t) I(t) , I ′(t) = a(t) S(t) I(t) − a(t − τ) S(t − τ) I(t − τ) ,

R′(t) = a(t − τ) S(t − τ) I(t − τ) ,

S + I + R = 1 a(t) = a(1 + ε cos ωt)

(S, I, R) = (1, 0, 0) J(t) = a(t) I(t)

ϕ(x) = { ϕn(r) = { , 1 = a 1 − e−r0τ

r0.

a ∀x < τ,

0 ∀x > τ,

a τ (r + niω = 0)

a  1−e−rτ−niωτ

r+niω (r + niω ≠ 0)(20)

r0 τ

τ = −1

r0log(1 −

r0

a) . (21)

r0 → −∞ τ → 0r0 τ = 1/a

r0 → a τ → +∞

T = 2π/ω = 1a = 1

0 < τ < 2,5 εrε > r0 ε ≠ 0 1 < τ < 1,43 2 < τ < 2,44

rε τε α τ

α > 01 < τ < 1,43 2 < τ < 2,44 α/r0 τ ≃ 1,174

r0 ∈ R

ϕ(x)

r = x + iy r0 x = y = 0

x = a(1 − e−xτ cos(yτ)) , y = a e−xτ sin(yτ) .

y = ω

1

ωτlog[ ω

a sin(ωτ)] −

1

tan(ωτ)+

a

ω= 0 . (22)

nT < τ < (n + 1/2)T n ≥ 1−∞ τ → nT +

+∞ τ → (n + 1/2)T −

τ1 < τ2 < ⋯ ω = 2π a = 1 τ1 ≃ 1,187 τ2 ≃ 2,204τ3 ≃ 3,211 …

τ = τ1 x1 ± iω x1 ≃ −1,615 r0 ≃ 0,303

 Re(ϕ′

1(x1)) ≃ −1,19 < 0 x1 r0 (r0 − x1)/ω ≃ 0,30τ = τ2 x2 ± iω x2 ≃ −0,853 r0 ≃ 0,845

 Re(ϕ′

1(x2)) ≃ −2,23 < 0 x2 r0 (r0 − x2)/ω ≃ 0,27τ = τn

E(t)

S ′(t) = −a(t) S I , E ′(t) = a(t) S I − c E, I ′(t) = c E − b I , R′(t) = b I ,

con y . El nuevo parámetro c es la velocidad a la que las personas infectadas se vuelven infecciosas. (Dietz, 1976;Schwartz y Smith, 1983; Aron y Schwartz, 1984; Schwartz, 1985; Rand y Wilson, 1991; Grenfell, 1992; Bolker y Grenfell, 1993; Kuznetsov y Piccardi, 1994;Grenfell et al., 1995; Keeling y Grenfell, 2002; Billings y Schwartz, 2002; Altizer et al., 2006; Moneim, 2007a y 2007b) estudiaron este modelo con, además,nacimientos y muertes (Ma y Ma, 2006) con personas curadas que volver al compartimento saludable y (Greenman y Norman, 2007) con ambos. Este modeloconverge con el modelo SIR de la sección 4.1 si .

El estado de equilibrio sin enfermedad es . El número de nuevas infecciones por unidad de tiempo en el modelo linealizado,, es la solución de una ecuación de la forma (1) con (15). Aquí,

Para el primer método, considere por ejemplo el caso donde semana, que modela las diferencias en las tasas de contacto entre días laborables yfines de semana, y donde el período infeccioso promedio es igual a 2 días, o 2/7 semana. Tomemos una tasa de contacto promedio , lo que dareproducibilidad Si . Esta es una suposición razonable cuando se considera una enfermedad emergente. La Figura 2 muestra cómo la tasa decrecimiento depende del período de latencia promedio para varios valores de . Tenga en cuenta que siempre es más pequeño que Si . No hay resonancia.

Figura 2. Ausencia de resonancia en el modelo SEIR periódico. La tasa de crecimiento en función del período de latencia promedio para diferentesvalores de .

Para el segundo método, notamos que : no hay resonancia. En cuanto al tercer método, la ecuación de Euler-Lotka (12) para este modelo tiene solo una raíz,a saber , en la parte del plano complejo donde converge la integral en el lado derecho de (12): . Tenga en cuenta que es la solución deuna ecuación polinómica de grado 2. La otra solución, dada por (23) con un signo menos frente a la raíz cuadrada, es una raíz de la ecuación deducida de (12) por lacontinuación analítica de la integral ( Feller, 1941). Para esta segunda solución, la integral diverge. De cualquier manera, esta solución es real; No hay resonancia.

4.4 El modelo SEIR periódico con un período de latencia fijo

El modelo viene dado por

con y . Aparece implícitamente en (Williams y Dye, 1997) y en una forma ligeramente diferente en (Bacaër y Ouifki,2007). El parámetro τ es ahora la duración del período de latencia. El modelo converge al de la sección 4.1 si .

El estado de equilibrio sin enfermedad es . El número de nuevas infecciones por unidad de tiempo en el modelo linealizado,, es la solución de una ecuación de la forma (1) con (15). aquí

Nuevamente tenga en cuenta que la fórmula para No es explícito. La fórmula (18) para α no se puede simplificar realmente.

Para el primer método, elegimos como en la sección anterior semana, días o 2/7 semanas, y . La Figura 3a muestra cómo la tasade crecimiento depende del período de latencia para varios valores de ε. Observe en la Figura 3a que la resonancia ocurre aproximadamente si o bien

. También hay resonancia para valores mayores de τ, que no se muestran. (Bacaër y Ouifki, 2007) obtuvieron un resultado similar para un modeloligeramente diferente (SEIS y no SEIR); pero no se han dado explicaciones para los golpes. Tenga en cuenta que cuando , la tasa de crecimiento puedevolverse negativo en un cierto rango de valores del período de latencia. El promedio de la velocidad de contacto (que es equivalente a tomar ) predeciría elcrecimiento epidémico cuando de hecho ninguna epidemia pueda invadir a la población.

S + E + I + R = 1 a(t) = a(1 + ε cos ωt)

c → +∞

(S, E, I, R) = (1, 0, 0, 0)J(t) = a(t) I(t)

ϕ(x) = a c e−c x − e−b x

b − c, ϕn(r) =

a c

(r + c + niω)(r + b + niω),

r0 =−(b + c) + √(b − c)2 + 4ac

2, α =

−(a c)2

√(b − c)2 + 4ac [ω2 + (b − c)2 + 4a c]. (23)

T = 2π/ω = 11/b a = 1,2 b

a/b = 1,2 ε = 0ε rε r0 ε ≠ 0

ε

α < 0r0 Re(r) > max{−b, −c} r0

S ′(t) = −a(t) S(t) I(t) , E ′(t) = a(t) S(t) I(t) − a(t − τ) S(t − τ) I(t − τ) ,

I ′(t) = a(t − τ) S(t − τ) I(t − τ) − b I(t) , R′(t) = b I(t) ,

S + E + I + R = 1 a(t) = a(1 + ε cos ωt)τ → 0

(S, E, I, R) = (1, 0, 0, 0)J(t) = a(t) I(t)

ϕ(x) = { ϕn(r) = ae−niωτ−rτ

r + b + niω, r0 = a e−r0τ − b .

0 ∀x < τ,

a e−b(x−τ) ∀x > τ,(24)

r0

T = 2π/ω = 1 1/b = 2 a = 1,2 b

0,66 < τ < 11,66 < τ < 2

ε = 1 rε

ε = 0

Figura 3. Resonancia en el modelo SEIR periódico con un período de latencia fijo. (a) La tasa de aumento en función del período de latencia τ paradiferentes valores de ε. (b) α en función de τ.

Con el segundo método, podemos verificar numéricamente que al menos para y (Figura 3b). Con el tercer método, la preguntaes si la ecuación de Euler-Lotka en el lado derecho de (24) puede tener soluciones r con una parte imaginaria y igual a ω. Con , la ecuación para r puedeescribirse como un sistema real para x e y :

Con , eliminamos x de la segunda ecuación. Obtenemos

Como en la sección 4.2, el lado izquierdo es una función continua de τ para todos y todo , que converge a −∞ si , yque converge a + ∞ si . Entonces (25) tiene un número infinito de soluciones que convergen hacia + ∞, para lo cual podemos esperarresonancia. Resolvamos (25) numéricamente con los mismos valores de los parámetros que anteriormente. Obtenemos: , ,

Con , las raíces complejas conjugadas de (24) con la mayor parte real son con , mientras que . Se tiene. La diferencia entre y es bastante pequeño: . Entonces hay resonancia si . Con , las raíces

complejas de (24), con la parte real que ocupa el segundo lugar en orden descendente, son con , mientras que . De nuevo,. La diferencia entre y es pequeño: . Hay resonancia cuando . También hay resonancia cuando y

.

Desde un punto de vista práctico, no es imposible que una enfermedad tenga un período de latencia cercano a (aquí, aproximadamente 5,7 días) seguido enpromedio por dos días de período infeccioso. Una tasa de contacto con una periodicidad de una semana (debido a la diferencia entre los días de la semana y los finesde semana) puede causar una fuerte resonancia para dicha enfermedad. Tenga en cuenta aquí que el tiempo entre dos generaciones (

días) está cerca de la frecuencia de la velocidad de contacto, dias . Pero esta regla aproximada para laresonancia no funcionó para el modelo en la sección anterior. La diferencia entre la Figura 2 y la Figura 3a es algo sorprendente. Estos son modelos SEIR, el primerocon un período de latencia distribuido exponencialmente, el segundo con un período de latencia fijo. La conclusión biológica, si la enfermedad se propagará o no,parece muy dependiente de la elección entre estos dos modelos similares a priori. Por lo tanto, los modelos con pequeñas diferencias pueden comportarse de maneramuy diferente en términos de resonancia de la tasa de crecimiento inicial.

Los modelos SEIR donde el período de latencia y el período infeccioso son fijos, como aquellos con más nacimientos y muertes (Grossman, 1980; Keeling yGrenfell, 2002), muestran una resonancia similar de la tasa de crecimiento inicial. Todavía es posible encontrar valores de los parámetros para los cuales existe unaraíz compleja de la ecuación de Euler-Lotka con una parte imaginaria y igual a ω. Pero el truco que consiste en eliminar la parte real x para obtener una ecuaciónúnica como en (25) ya no funciona.

4.5 El modelo SEIR periódico con un período de latencia que sigue la ley Gamma

Para comprender por qué los modelos de las dos últimas secciones dan resultados tan diferentes, considere el caso de un período de latencia que sigue la leyGamma. Es una generalización tanto de la distribución exponencial como de la distribución de Dirac cuando el período de latencia es fijo. Mas presisamente,

es la distribución del período de latencia, donde y Son números reales. El período de latencia promedio es y la varianza es . Si ν = 1,encontramos la distribución exponencial con una media igual a en la sección 4.3. La distribución gamma converge con la distribución de Dirac en , comoen la sección 4.4, si y converger hacia + ∞ mientras que el cociente se mantiene constante e igual a .

El modelo es

con y . Aquí, está vinculado a por relacion

es decir

(Dietz, 1976; Keeling y Grenfell, 2002) han estudiado variantes de estos modelos. Aquí podemos mostrar que el número de nuevas infecciones por unidad de tiempoen el modelo linealizado es la solución de una ecuación de la forma (1) con (15) y

α > 0 0,66 < τ < 1 1,66 < τ < 2r = x + iy

x = a e−xτ cos(yτ) − b , y = −a e−xτ sin(yτ) .

y = ω

1

ωτlog[−

ω

a sin(ωτ)] −

1

tan(ωτ)−

b

ω= 0 . (25)

(n − 1/2)T < τ < nT n ≥ 1 τ → (n − 1/2)T +

τ → nT − τ1 < τ2 < ⋯τ1 ≃ 0,819 τ2 ≃ 1,825 τ3 ≃ 2,827 …

τ = τ1 x1 ± iω x1 ≃ −0,609 r0 ≃ 0,166

 Re(ϕ′

1(x1)) ≃ −0,88 < 0 x1 r0 (r0 − x1)/ω ≃ 0,12 τ ≃ τ1 τ = τ2

x2 ± iω x2 ≃ −0,284 r0 ≃ 0,086

 Re(ϕ′

1(x2)) ≃ −1,89 < 0 x2 r0 (r0 − x2)/ω ≃ 0,06 τ ≃ τ2 τ = τn

n > 2

τ1

∫∞

0 x ϕ(x) dx/ ∫∞

0 ϕ(x) dx = τ1 + 1/b ≃ 7,7 T = 7

f(x) = cν xν−1 e−c x/Γ(ν)

c > 0 ν ≥ 1 τ = ν/c σ2 = ν/c2

1/c x = τ

ν c ν/c τ

S ′(t) = −a(t) S(t) I(t) ,

E(t, 0) = a(t) S(t) I(t) ,∂E

∂t+

∂E

∂x= − γ(x) E(t, x) ,

I ′(t) = ∫∞

0

γ(x) E(t, x) dx − b I(t) ,

R′(t) = b I(t) ,

S(t) + ∫ ∞0

E(t, x) dx + I(t) + R(t) = 1 a(t) = a(1 + ε cos ωt) γ(x) f(x)

e− ∫ x

0 γ(y) dy = 1 − ∫x

0f(y) dy,

γ(x) = f(x)/(1 − ∫x

0f(y) dy).

J(t) = a(t) I(t)

También podemos mostrar que

Nuevamente tenga en cuenta que la fórmula para No es explícito. La fórmula (18) para α no se puede simplificar.

La figura 4 muestra el signo de (más precisamente las líneas de nivel ) en el diagrama . Es una condición necesaria para la resonancia. Lalínea horizontal superior corresponde al caso de un período de latencia distribuido exponencialmente y se encuentra en la parte del diagrama donde ,como se esperaba de la Figura 2. El límite (o ) corresponde al período de latencia fijo, por lo que la línea horizontal inferior corresponde ala Figura 3 y tiene varias partes donde . De esta manera, vemos cómo desaparece la resonancia cuando la varianza esta creciendo.

Figura 4. Líneas de contorno en el diagrama . es el período de latencia promedio. . es la desviación estándar Areasdonde son aquellos donde puede haber resonancia. En la parte inferior derecha del diagrama, las áreas donde alternar con aquellos donde

pero solo mostramos las líneas de nivel .

5. Mil y un modelos de población periódicos

Obviamente, la lista de modelos podría continuar hasta las náuseas:

una tasa de contacto periódica de una forma diferente (Earn et al., 2000; Keeling et al., 2001; Keeling y Grenfell, 2002; Stone et al., 2007),vacunación periódica (Dietz, 1976; Grassly y Fraser, 2006; Greenman y Norman, 2007; Agur et al., 1993; D'Onofrio, 2002a, 2002b, 2004, 2005; Moneim yGreenhalgh, 2005a y 2005b; Gao et al. ., 2006; Gao et al., 2007),una población periódica de vectores o un depósito periódico (Bacaër y Guernaoui, 2006; Bacaër, 2007; Heesterbeek y Roberts, 1995a y 1995b; Lord et al.,1996; Kerr et al., 1997; Codeço, 2001; Lord, 2004; Coutinho et al., 2006),demografía periódica (Roberts y Kao, 1998; Tang y Chen, 2002; Wolf et al., 2006; He y Earn, 2007; Zhang y Teng, 2007)migración periódica (Zhang y Zhao, 2007)

en cada uno de los mil y un modelos epidémicos de (Hethcote, 1994).

Además, como se mencionó en la introducción, la ecuación lineal (1) se encuentra en la mayoría de los problemas de dinámica de la población (demografía,ecología, epidemiología, teoría del quimiostato, inmunología, etc.). Es la aproximación lineal. Entonces, el mismo fenómeno de resonancia puede estudiarse, porejemplo, para

cosecha periódica (Anita et al., 1998; Luo et al., 2004; Choisy y Rohani, 2006),brotes periódicos de fitoplancton (Huppert et al., 2005),esfuerzos periódicos de control de enfermedades (Fuhrman et al., 2004; Jiao y Chen, 2006),las entradas y salidas periódicas de un quimiostato, ver (Wang et al., 2008) entre muchas otras referencias,tratamientos antivirales periódicos (D'Onofrio, 2005a; Breban y Blower, 2006),tratamientos periódicos contra el cáncer (D'Onofrio y Gandolfi, 2004 y 2006; D'Onofrio, 2005b),modelos periódicos de poblaciones celulares (Pang y Tzeng, 2008), etc.

Se espera resonancia para algunos modelos y no para otros. Tenga en cuenta que la respuesta depende del modelo linealizado cerca del estado trivial estacionario (operiódico), pero no del tipo de términos no lineales utilizados. Por lo tanto, la mayoría de los modelos con un pequeño número de compartimentos se reducen a losmismos cálculos que los realizados anteriormente.

La pregunta principal que queda es si, para ciertas enfermedades particulares o para ciertas aplicaciones en otras áreas de la dinámica de la población, estefenómeno de resonancia juega un papel importante. Como hemos visto, esta es una pregunta difícil ya que para modelos muy cercanos como los modelos SEIR conun período de latencia exponencial o fijo, las conclusiones son diferentes incluso si estos dos modelos podrían ser adecuados para la misma enfermedad. Modeloscon Sin embargo, con soporte compacto son más realistas. En este caso, la ecuación de Euler-Lotka tiene una infinidad de raíces conjugadas complejas. Por lotanto, es posible que se produzca resonancia para ciertos valores de los parámetros.

Apéndice 1: crecimiento exponencial en el valor reproductivo total en un entorno periódico

La prueba sigue que para el caso autónomo. Partimos de (9). Luego usamos la primera ecuación de (2) e integramos por partes:

ϕ(x) = a∫∞

0e−b(x−y) f(y) dy .

ϕn(r) =a cν

(b + r + niω)(c + r + niω)ν, r0 =

a cν

(c + r0)ν− b .

r0

α α = 0 (τ, 1/ν) α > 0ν = 1 α < 0

σ → 0 1/ν = σ2/τ 2 → 0α > 0 σ2

α = 0 (τ, 1/ν) τ 1/ν = σ2/τ 2 σ

α > 0 α < 0α > 0 α = 0

ϕ(x)

dV

dt= ∫

∞

0[i(t, x)

∂v

∂t+

∂i

∂tv(t, x)]dx

= ∫∞

0[i(t, x)

∂v

∂t−

∂i

∂xv(t, x) − μ(t, x) i(t, x) v(t, x)]dx

= ∫∞

0[ ∂v

∂t+

∂v

∂x− μ(t, x) v(t, x)]i(t, x) dx + i(t, 0) v(t, 0) .

Usando la segunda ecuación de (2) y (7), finalmente obtenemos

Entonces .

Nota. Con la definición (5) de , Si . El crecimiento exponencial en el valor reproductivo total. involucrado

La estandarización (8) toma la forma

como en (Michel et al., 2005).

Apéndice 2: Sobre la definición de Ediev de valor reproductivo

Primero, observe con (7) que el valor reproductivo es tal que

Definimos

Entonces (26) implica

Ediev (2007, ecuación (4)) utilizó la ecuación (28) como punto de partida para tratar de generalizar el teorema de Fisher sobre el crecimiento exponencial en el valorreproductivo total. El nombró el "potencial demográfico de una persona de edad x nacida en el tiempo t ". Al introducir el "potencial demográfico total" en elmomento t

Ediev (2007) podría mostrar por primera vez que , es decir que es constante

Fisher (1927) normalizó su definición de valor reproductivo para que en el caso de que la fertilidad y la mortalidad no dependan del tiempo. (Ediev,2007, ecuación (6)) elige generalizar la definición de valor reproductivo con

donde uno usa la notación con una estrella para distinguir esta definición de la nuestra. Tenga en cuenta que de hecho para todo t .

La definición (29) para el valor reproductivo en el caso periódico no tiene propiedades "buenas". La razón es que en toda la teoría desarrollada hasta ahora, elvalor reproductivo siempre aparece como una función propia (o un vector propio en el marco discreto) de un determinado operador lineal. Ver por ejemplo (Grafen,2006). En el caso autónomo, el valor reproductivo es solo una función de la edad x (llamémoslo ) Entonces no es un problema normalizarlo para que .Pero con la fertilidad y la mortalidad que dependen del tiempo (por ejemplo, periódicamente), el valor reproductivo es una función tanto del tiempo ty la edad x . Lalibertad en la normalización de la función propia significa que solo hay un parámetro escalar libre. Forzar para todo t implica que la función nopuede ser una función adecuada, excepto (visto (26)) si tenemos para un cierto r

(Ediev, 2007, ecuación (7)). Pero (30) es casi seguro falso, a menos que y No dependas del tiempo. Ediev (2007) tuvo que asumir (30) para mostrarque el valor reproductivo total, definido por

crece exponencialmente a la tasa r .

Si realmente queremos definir el valor reproductivo sobre la base del potencial demográfico, podemos usar (27), es decir

Por lo tanto, la hipótesis improbable (30) ya no es necesaria para demostrar el crecimiento exponencial del valor reproductivo total. La definición (31), por supuesto,requiere que r se haya predefinido: esto puede ser un problema si se considera en (Ediev, 2007) la fertilidad y mortalidad arbitrarias y no solo las periódicas. Usando(31) como definición del valor reproductivo, es fácil ver que la constancia de es equivalente al crecimiento exponencial en el valor reproductivo total definido por (9): .

Gracias

Este trabajo fue apoyado por la Fundación de Ciencias Naturales de la Universidad de Xinjiang y el Programa de Investigación Avanzada de Cooperación Franco-China (PRA SI-05-01). Este trabajo se completó mientras NB visitaba el Colegio de Matemáticas y Ciencias de Sistemas de la Universidad de Xinjiang en Urumqi,China. Gracias a M. Gyllenberg, RM Nisbet, R. Schoen y S. Tuljapurkar por enviar copias de sus artículos, y H. Caswell por su consejo.

Referencias bibliográficas

dV

dt= ∫

∞

0[ ∂v

∂t+

∂v

∂x− μ(t, x) v(t, x) + v(t, 0) β(t, x)]i(t, x) dx = r∫

∞

0v(t, x) i(t, x) dx = r V (t) .

V (t) = V (0) ert

u(t, x) i(t, x) = ert u(t, x) i(0, x) = u(0, x) V (t)

∫∞

0u(t, x) v(t, x) dx = ∫

∞

0u(0, x) v(0, x) dx, ∀t > 0.

∫∞

0u(t, x) v(t, x) dx = 1,

v(t, x) = ∫∞

x

v(t + y − x, 0) e−r(y−x) ×ℓ(t − x, y)

ℓ(t − x, x)β(t + y − x, y) dy . (26)

c(t, x) = v(t + x, x) e−r(t+x) . (27)

c(t, x) = ∫∞

0

c(t + y, 0)ℓ(t, y)

ℓ(t, x)β(t + y, y) dy . (28)

c(t, x)

C(t) = ∫∞

0i(t, x) c(t − x, x) dx ,

dC/dt = 0 C(t) = C(0)

v(0) = 1

v∗(t, x) =c(t − x, x)

c(t, 0), (29)

v∗ v∗(t, 0) = 1

v(x) v(0) = 1

v∗(t, 0) = 1 v∗(t, x)

1 = ∫∞

0

e−ry ℓ(t, y) β(t + y, y) dy, ∀t (30)

ℓ(t, x) β(t, x)

∫∞

0i(t, x) v∗(t, x) dx,

v(t, x) = c(t − x, x) ert . (31)

C(t) V (t)V (t) = ertC(t) = ert C(0) = ert V (0)

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