Trabalho de Teoria dos CircuitosRessonnciaEngenharias2015

ndice

Prefcio3Agradecimentos4Dedicatria5Objectivo6Introduo7Expresso Algbrica dos Vectores8Circuito Ressonante Srie9Circuito Ressonante Paralelo14Concluso17Bibliografia18

ndice de Ilustraes

Figura 1 Circuitos ressonantes srie (a) e paralelo (b)9Figura 2 Resposta em frequncia de um circuito RLC-srie ressonante11Figura 3 Efeito dos parmetros do circuito sobre a seletividade da resposta em frequncia12Figura 4 Comparao das respostas em frequncia das tenses aos terminais da resistncia, do condensador e da bobina13Figura 5 Circuito RLC-paralelo ressonante14Figura 6 Circuito RLC-paralelo ressonante com resistncia de perdas na bobina15

Prefcio

Este trabalho pretende destacar mais um pouco sobre o fenmeno que acontece quando um sistema fsico recebe energia por meio de excitaes de frequncia igual a uma de suas frequncias naturais de vibraoEste trabalho tem como objectivo abortar alguns aspectos tericos importantes na caracterizao da metodologia e o modelamento de circuitos ressonantes srie e paralelo bem como a sua utilizao

Agradecimentos

Agradecemos ao Deus Criador por ter dado a viso para fazermos o curso e por ter-nos dado o flego de vida para levantar todos o dias, e por ter chegado at hoje para a sua realizao.Agradecemos aos nossos pais que nos deram fora por nos ajudar todos os dias das nossas vidas, nossos tios e as nossas tias que estiveram connosco. E sem esquecer a todos outros que ns ajudaram direita ou indiretamente.O muito obrigado a todos que nos ajudaram.

DedicatriaDedicamos este trabalho aos nossos pais que nos momentos da nossa ausncia dedicados aos estudos, sempre entenderam que o futuro feito a partir da constante dedicao no presente.Ao professor pelo tema escolhido oportunando uma janela que hoje vislumbramos um horizonte superior, eivado pela mais acendrada confiana no mrito e tica aqui presente.

Objectivo

O presente projecto tem como objectivo estudo das oscilaes eltricas foradas em circuitos ressonantes em srie e em paralelo.

Introduo

A ressonncia o fenmeno que acontece quando um sistema fsico recebe energia por meio de excitaes de frequncia igual a uma de suas frequncias naturais de vibrao. Assim, o sistema fsico passa a vibrar com amplitudes cada vez maiores.Cada sistema fsico capaz de vibrar possui uma ou mais frequncias naturais, isto , que so caractersticas do sistema, mais precisamente da maneira como este construdo. Como por exemplo, um pndulo ao ser afastado do ponto de equilbrio, cordas de um violo ou uma ponte para a passagem de pedestres sobre uma rodovia movimentada.Todos estes sistemas possuem sua frequncia natural, que lhes caracterstica. Quando ocorrem excitaes peridicas sobre o sistema, como quando o vento sopra com frequncia constante sobre uma ponte durante uma tempestade, acontece um fenmeno de superposio de ondas que alteram a energia do sistema, modificando sua amplitude.Um circuito ressonante possui capacitor, indutncia, em srie ou em paralelo.Quando o circuito energizado a uma frequncia particular, conhecida como frequncia de ressonncia, se produz um intercmbio de energia entre a bobina e o capacitor. Este intercmbio de energia tende a aumentar em amplitude muito mais que a quantidade entregue pela fonte energizante. Isto conhecido como condio de ressonncia. Em ressonncia, a indutncia acumula energia durante o meio ciclo em que o capacitor se descarrega e devolve a energia durante o meio ciclo seguinte, para voltar a carregar o capacitor. Como baixa a resistncia do circuito que atua em srie com a indutncia e o capacitor, podem intercambiar grandes quantidade de energia a frequncia de ressonncia com mnima perda desta no circuito. A pequena perda de energia que produz no circuito compensada com a alimentao da fonte.Em ressonncia o tempo necessrio para carregar o capacitor deve ser igual ao tempo necessrio para descarregar a bobina, pois de outra forma a carga e a descarga no esto sincronizadas e podem produzir o anulamento

Expresso Algbrica dos Vectores

Muitas quantidades tpicas comuns, tais como a temperatura, a velocidade do objeto em movimento ou deslocamento de um barco, podem expressar-se como certa quantidade de unidades. Estas quantidades definem s a magnitude e no do indicao da direo em que atuam ditas quantidades. Tais magnitudes chamam-se escalares. Se so indicadas a magnitude e a direo na qual actua a quantidade esta chama-se quantidade vetorial e pode representar-se por meio de um vetor. Por exemplo, um vetor que representa a velocidade e direco de um barco que tem uma velocidade de 10 ns e uma direo de 45 (at o nordeste), uma linha reta que se estende para cima e direita. O comprimento da linha proporcional velocidade de 10 ns. O ngulo que a linha forma com a vertical (norte na parte superior) de 45 no sentido horrio em relao vertical.Os vetores eltricos so comummente empregados para representar voltagem e corrente de CA e suas relaes de fase. O comprimento do vetor representa a magnitude da quantidade compreendida, e a direo do mesmo com relao a um eixo de referncia, representa o intervalo entre os valores mximos positivos de corrente e voltagem.Os tringulos de impedncia, cujos lados representam quantidades vetoriais, so usadas tambm para representar as componentes de resistncia e reactncia dos circuitos de CA. Estes so tringulos cartesianos que possuem uma base igual componente resistiva, uma altura igual componente reativa e uma hipotenusa igual impedncia total. O angulo entre a impedncia e o componente resistivo (hipotenusa e base) igual ao tringulo de fase entre a voltagem na impedncia e a corrente que circula atravs dela.Neste tema ser necessrio determinar a impedncia dos circuitos por adio, subtrao, multiplicao e diviso de quantidades vitoriarias. Quando no conveniente expressar a quantidade em forma algbrica, se utiliza um sistema de notao complexa.Nos clculos de eletrnica, frequentemente necessrio realizar operaes que compreendem a raiz quadrada de um nmero negativo. O termo simbolizado com i (de imaginrio) nos textos de matemtica, porm quando se trabalha com circuitos eltricos conveniente empregar o termo j (chamado operador j), porque i empregado para expressar valores instantneos.OperadorEquivalente MatemticoSentido da rotaoGrau de Rotao

j............j^2........j^3..........j^4..........-j.............(-j)^2.(-j)^3.(-j)^4.11-1-11-1-11Sentido anti-horrio..........................................................................................Sentido horrio...........................................................90180270360-90-180-270-360

Circuito Ressonante Srie

Consideremos o circuito RLC representado na Figura 1, cuja fonte de sinal se admite ser de tipo sinusoidal (Vs =V 0).

Figura 1 Circuitos ressonantes srie (a) e paralelo (b)

O fasor da corrente no circuito dado pelo cociente:

Equao 1Em que =L e =1/C. A corrente no circuito mxima quando se verifica a igualdade = , isto , quando: Ou, ainda, = Equao 2Designada por frequncia de ressonncia. A esta frequncia verifica-se a igualdade Equao 3A qual implica uma diferena de fase nula entre os fasores da tenso e da corrente no circuito.Considerem-se os fasores das tenses aos terminais de cada um dos componentes (R, L e C) frequncia de ressonncia Equao 4

Equao 5

E Equao 6Em que Equao 7Define o factor de qualidade do circuito. O somatrio dos fasores das tenses aos terminais do condensador da bobina , por definio de ressonncia, nuloEquao 8Apesar de a tenso aos terminais de cada um em separado poder atingir amplitudes muito superiores da prpria fonte de sinal. Por exemplo, se ao circuito representado na Figura1.a se atriburem os valores V=1V, R=10W, L=1mH e C=1nF, portanto Qs=100, ento frequncia w=10^6 rad/s a amplitude da tenso aos terminais dos componentes L e C atinge valores to elevados quanto 100 V.Um outro aspecto a ter em conta na ressonncia a dissipao e as trocas de energia que ocorrem nos e entre os componentes do circuito. Considerando ainda o circuito RLC-srie da Figura 1.a, constata-se que a potncia mdia dissipada pela resistncia na ressonncia Equao 9e que as potncias reactivas mdias acumuladas na bobina e no condensador so, respectivamente,Var Equao 10Var Equao 11Ambas Qs vezes superiores potncia dissipada por efeito de Joule na resistncia. Pode tambm dizer-se que o factor de qualidade de um circuito o cociente entre a potncia mdia acumulada nos elementos reactivos e a potncia mdia dissipada por efeito de Joule no componente resistivo (na ressonncia) Equao 12Na ressonncia, o condensador e a bobina trocam entre si as energias acumuladas, e no com a fonte. Considere-se ainda o circuito RLC-srie em conjunto com a expresso do fasor da corrente respectiva. Equao 13A corrente no circuito mxima frequncia de ressonncia (=), e tende para zero nos limites quando a frequncia se aproxima de zero ou de infinito. Como se indica na Figura 2, este comportamento em frequncia indica tratar-se de um filtro passa-banda centrado na frequncia de ressonncia. Designam-se por frequncias de corte do filtro os valores de w para os quais a amplitude da resposta em frequncia decresce de um factor de relativamente ao valor mximo (na figura indicadas pelas siglas e ), e por largura de banda a diferena ) Equao 14

Figura 2 Resposta em frequncia de um circuito RLC-srie ressonanteAs frequncias de corte ocorrem quando se verifica a igualdade

Ou seja: Equao 15A frequncia de corteocorre quando: Equao 16Isto , Equao 17Por outro lado, Equao 18Que em conjunto com (Eq.16) conduz largura de banda Equao 19 A frequncia de ressonncia e as frequncias de corte verifica-se a igualdade Equao 20Na Figura 3 ilustra-se o efeito da variao dos parmetrosR,LeCsobre a selectividade da resposta em frequncia do circuito ressonante srie. No primeiro caso, Figura 3a, mantm-se fixas a capacidade do condensador e a indutncia da bobina e varia-se o valor da resistncia, isto , mantm-se fixa a frequncia central da banda de passagem e varia-se o factor de qualidade, a largura de banda e o valor da corrente na resistncia. No segundo caso, representado em 3b, varia-se o cocienteL/Ce mantm-se fixos os valores do produtoLCe da resistncia, ou seja, mantm-se fixos a frequncia de ressonncia e o valor mximo da corrente na resistncia, e varia-se o factor de qualidade e a largura de banda respectiva.

Figura 3 Efeito dos parmetros do circuito sobre a seletividade da resposta em frequnciaUm aspecto caracterstico do circuito ressonante srie a amplitude da resposta em frequncia das funes de transferncia da entrada para os terminais da resistncia, do condensador e da bobina. Por exemplo, no caso da tenso aos terminais da resistncia obtm-se: Equao 21A qual coincide na forma com a resposta em frequncia da corrente. Pelo contrrio, nos casos das tenses aos terminais do condensador e da bobina, obtm-se, respectivamente, Equao 22 e Equao 23Como se pode verificar na Figura 4.a, os valores mximos das tenses aos terminais do condensador e da bobina no ocorrem exactamente frequncia de ressonncia. No entanto, e como se indica na Figura 4.b, quando o factor de qualidade superior a 10, as frequncias de mximo so praticamente coincidentes com a frequncia de ressonncia do circuito. Por outro lado, verifica-se ainda:1. Da entrada para os terminais da resistncia a resposta em frequncia de tipo passa-banda;2. Da entrada para os terminais do condensador, de tipo passa-baixo;3. E da entrada para os terminais da bobina, de tipo passa-alto

Figura 4 Comparao das respostas em frequncia das tenses aos terminais da resistncia, do condensador e da bobina

Circuito Ressonante ParaleloConsidere-se agora o circuitoRLC-paralelo representado na Figura 5, aos terminais do qual se admite aplicada uma fonte de corrente sinusoidal cujo fasor I = I0.

Figura 5 Circuito RLC-paralelo ressonanteEste circuito apresenta um conjunto de caractersticas em tudo semelhantes s do circuitoRLC-srie, designadamente no que respeita frequncia de ressonncia, ao factor de qualidade, resposta em frequncia e largura de banda. Por exemplo, a admitncia do circuito Equao 24Caracteriza-se pela frequncia de ressonncia Equao 25 qual a impedncia do circuito mxima. Pode facilmente demonstrar-se que o factor de qualidade e a largura de banda so expressos por; Equao 26E por Equao 27Respectivamente, ao passo que as frequncias de corte do filtro passa-banda correspondente so Equao 28Na prtica, a anlise do circuitoRLC-paralelo deve ter em conta a resistncia de perdas do enrolamento da bobina,, conforme se indica na Figura 6.a. Apesar de esta topologia ser aparentemente distinta daquela considerada anteriormente, podem facilmente calcular-se os valores da bobina e da resistncia equivalente que o reconduzem rede paralela anterior (Figura 6.b).

Figura 6 Circuito RLC-paralelo ressonante com resistncia de perdas na bobinaAssim, uma vez que Equao 29Note-se, no entanto, que a resistncia equivalente de perdas uma funo da frequncia angular, e que a indutncia equivalente uma funo da resistncia de perdas. O circuito equivalente representado na Figura 6.b apresenta duas frequncias caractersticas essencialmente distintas: a frequncia de ressonncia, qual a parte imaginria da admitncia do circuito nula e a frequncia de admitncia mnima. Estas duas frequncias no coincidem necessariamente, pois neste circuito a resistncia e a indutncia equivalentes so ambas uma funo da frequncia. A frequncia de ressonncia tal que verifica a igualdade Equao 30Portanto Equao 31Ou ainda Equao 32A frequncia de mxima impedncia do circuito obtida igualando a zero a derivada da expresso (Eq.30) que, aps simplificao, conduz a Equao 33Portanto, concluso de que>O factor de qualidade deste circuito dado pelo cociente da resistncia pela impedncia da bobina equivalente (ou da capacidade) frequncia de ressonncia (ver Figura 6.b) Equao 34Contudo, na maior parte dos casos prticos verifica-se que