RESSONÂNCIAS E CAOS EM UM PÊNDULO PERTURBADO

Michele Mugnaine(PIBIC/CNPq), José Danilo Szezech Jr (Orientador),email:jdanilo@gmail.com

Universidade Estadual de Ponta Grossa/ Departamento de Física/Departamento deMatemática e Estatística

Física: Física Geral

Palavras-chave: Sistemas Hamiltonianos, Ressonância, Caos.

Resumo

O pêndulo é um objeto que apresenta um comportamento oscilatório regular e periódico.Quando uma perturbação externa age sobre o pêndulo, este panorama é alterado e o sis-tema pode apresentar uma novo tipo de solução: as soluções caóticas. Escolhendo comoobjeto de estudo o pêndulo perturbado sem dissipação, cuja perturbação é resultante da osci-lação vertical do pivô, podemos observar esta mudança de panorama. O comportamento dopêndulo perturbado é controlado por dois parâmetros: a amplitude ε e a frequência ν da per-turbação externa. Neste trabalho analisamos a sensibilidade das órbitas periódicas e caóticasem relação ao parâmetro ν. O estudo do número de rotação indica que para certos valoresdos parâmetros de controle, o sistema apresenta um número menor de órbitas periódicas.Esta situação ocorre quando a frequência de perturbação externa está em ressonância coma frequência das ilhas do espaço de fase. O estudo ainda permite identificar áreas onde aexistência de stickiness é mais provável: as regiões de bifurcação dos perfis de número derotação. Estas regiões indicam que ilhas foram recentemente destruídas, o que torna a exis-tência de estruturas fractais que aprisionam a trajetória e causam o efeito de stickiness maisprovável.

Introdução

Sistemas que apresentam um comportamento periódico, regular e oscilatório podemser modelados a partir das equações que regem o comportamento do pêndulo. O pêndulo éum sistema físico composto por uma haste rígida e inflexível de comprimento l. Em uma dasextremidades desta haste está um corpo de massa m, e a outra extremidade está presa a umpivô. Esse sistema é livre de perturbações externas e oscila livremente no plano, apresen-tando um comportamento oscilatório de período definido.

A periodicidade e regularidade do pêndulo é perdida ao considerarmos a ação deuma perturbação externa. Esta perturbação altera a dinâmica regular e, como consequência,surge um novo tipo de comportamento: o comportamento caótico, um comportamento semperíodo definido, irregular e imprevisível [1].

Neste trabalho utilizaremos o pêndulo perturbado sem dissipação onde a perturbaçãoé devida a oscilação vertical do pivô. A Hamiltoniana que descreve este sistema é dada por,

H(θ, p) =p2

2I− Iω0

2 cos θ + Iε cos νt cos θ, (1)

onde I é o momento de inércia do pêndulo, definido por I = ml2. O último termo, ε cos νt,refere-se a perturbação sobre o sistema [1]. O parâmetro ε é a amplitude e ν é a frequênciada perturbação externa. Caso ε = 0, retomamos ao modelo do pêndulo simples. No momentoem que a amplitude se torna diferente de zero, o sistema perde a integrabilidade e algumassoluções regulares e periódicas deixam de existir, e um outro tipo de solução aparece: assoluções caóticas.

No projeto anterior, analisamos a sensibilidade do comportamento do pêndulo em

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relação a valores da amplitude da perturbação, o parâmetro ε. Observamos que para al-guns valores de amplitude, o espaço de fase apresentava o fenômeno de stickiness onde astrajetórias caóticas ficam aprisionadas ao redor de ilhas admitindo um comportamento apa-rentemente regular.

O objetivo deste trabalho foi estudar o comportamento das soluções caóticas em fun-ção da frequência da perturbação externa. Analisamos o aparecimento e desaparecimentodas soluções regulares, a coexistência com soluções caóticas e verificamos a presença dofenômeno de stickiness em função do valor da frequência da perturbação externa.

Materiais e Métodos

O nosso estudo sobre a dependência das soluções do pêndulo perturbado em relaçãoa frequência da perturbação é baseada em 3 diagnósticos: observação do espaço de fase,valor do número de rotação e a análise do decaimento dos tempos de recorrência de Poincaré.

O espaço de fase é um espaço bidimensional formado pelas coordenadas p e θ dosistema. Estas coordenadas são obtidas a partir da integração das equações canônicas,

θ =∂H

∂p=

p

2I, p = −∂H

∂θ= I sen θ(ε cos νt− ω0

2). (2)

Estas equações não apresentam solução analítica trivial , então utilizamos o integra-dor LSODE (Livermore Solver for Ordinary Differential Equations) para integrar as equaçõesnumericamente. Com o resultado da integração é possível conhecer a evolução temporal dosistema e construir seu espaço de fase.

Uma órbita caótica não é periódica, logo, nunca retorna exatamente a sua posiçãoinicial, apenas para uma região próxima. Define-se uma função P (τ) como a densidade deprobabilidade do retorno da trajetória à área próxima a sua condição inicial ocorrer em umtempo τ ∈ (τ, τ + dτ) [2]. O decaimento da distribuição P (τ) traz informações sobre o espaçode fase. Um espaço de fase sem armadilhas dinâmicas apresenta um decaimento exponen-cial; já para um caso onde há stickiness, o decaimento ocorre na forma de lei de potência [2].

O número de rotação ω associado a uma órbita periódica é o número racional nm onde

n é a ordem da órbita e m é o número inteiro de vezes que a órbita percorreu o domínioda coordenada x antes de retornar a sua posição inicial [3]. De maneira geral, o número derotação ω de uma órbita gerada por uma condição inicial (θ0, p0) é o limite [4]

ω := limtf→∞

1

tfΠ(θ(tf )− θ0), (3)

o limite converge apenas para órbitas periódicas; para órbitas caóticas, o limite diverge e onúmero de rotação não é definido.

Por último, buscamos estudar a presença do fenômeno de stickiness. Observando osperfis do número de rotação, é possível identificar regiões onde há bifurcações e calculamosa distribuição dos tempos de recorrência para os parâmetros de controle correspondentes eanalisamos a lei que rege a distribuição.

Resultados e Discussão

Começamos nosso estudo calculando o número de órbitas periódicas para um va-lor específico de frequência ν. Para isto, escolhemos condições iniciais sobre θ = π, comp ∈ [0, 8] e ε ∈ [0, 7]. Calculamos o número de rotação para cada condição inicial e verifica-mos quais eram definidos. Na figura 1, temos a quantidade de números de rotação definidosem função da frequência ν da perturbação externa.

Na figura 1, observamos mínimos e máximos na quantidade do número de rotação.Para entender o que ocorre em um ponto de mínimo (diminuição do número de órbitas pe-riódicas), escolhemos o valor ε = 3, 35 e construímos o espaço de fase e o perfil de númerode rotação para valores próximos ao mínimo ν = 2, 41. Em todos os casos, observamos uma

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Figura 1: Quantidade de números de rotação definidos em função da frequência externa da perturbação.

órbita periódica para a condição inicial (θ0 = π, p0 = 4, 2). Calculamos então o espectro defrequência e observamos a relação entre as frequências contidas na série temporal destaórbita e a frequência da perturbação.

(a) ν = 2, 40 (b) ν = 2, 41

(c) ν = 2, 42 (d) ν = 2, 43

Figura 2: Espaço de fase para ε = 3, 35 e diferentes valores de ν. A série temporal e o espectro de frequênciacorrespondem a trajetória em vermelho no espaço de fase.

As figuras que compõem a Figura 2 são compostas por 3 seções: o espaço de fase(à esquerda), as séries temporais dos momentos p (região superior direita) e o espectro defrequência (região inferior direita). Nas figuras 2 (a), (b) e (d), observamos uma ilha bem defi-nida no espaço de fase. Esta ideia é sustentada pelas séries temporais regulares e periódicas.Nestas séries, observamos três períodos definidos e no espectro de frequência, verificamosas três frequências correspondentes.

Para o caso ν = 2, 42 na figura 2, observamos que, no início da evolução, a órbitaaparenta ser periódica mas depois de um tempo, cerca de 3350 tempos, a trajetória perdeseu caráter regular e periódico. Sendo assim, é possível identificar apenas dois períodos nasséries temporais. O espectro de frequência só apresenta picos distintos quando realizamos ocálculo para um tempo final tf = 2000. Quando aumentamos este tempo para tf = 4000, ospicos distintos são substituídos por um número incontável de outros picos, uma característicade sistemas caóticos.

A frequência f2 que existia nos casos regulares e deixou de existir neste caso é um va-

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lor próximo a frequência de perturbação, ν = 2, 42. Logo, observamos que quando a frequên-cia da perturbação é igual a frequência da ilha, a ilha é destruída.

Para estudar a presença de armadilhas dinâmicas, escolhemos o espaço dos núme-ros de rotação para ν = 2, 30 (Figura 3 (a)). Para calcular a distribuição dos tempos de retorno,escolhemos 5 valores diferentes de ε que estão dentro do retângulo vermelho, construímoso espaço de fase e calculamos os tempos de recorrência para uma condição inicial no marcaótico. As distribuições dos tempos de recorrência são apresentadas da Figura 3 (b).

(a) (b) (c)

Figura 3: (a) Perfis do número de rotação para frequência fixa em função da amplitude da perturbação; (b) Distribui-ção dos tempos de recorrência para ν = 2, 30 (c) Ilha do espaço de fase para ε = 0, 64.

A distribuição para ε = 0.64 apresenta uma cauda na forma de lei de potência, háuma probabilidade não nula de encontrar um tempo de retorno maior que τ = 1, 5e + 5. Istoindica a presença de stickiness no espaço de fase ao redor da ilha de período 4 para esteparâmetro confirmado pelo espaço de fase na Figura 3 (c) .

Conclusões

A frequência da perturbação externa tem um papel significativo na conservação oudestruição de soluções periódicas no sistema. A partir dos espaços de número de rotação,observamos que a quantidade de órbitas periódicas é sensível ao valor da frequência ν. Pelarelação entre a quantidade de números de rotação e a frequência da perturbação, observamosque os pontos onde a quantidade de números de rotação é mínima indicam que o sistema estápróximo da quebra de uma órbita periódica. As regiões de bifurcação nos perfis de númerode rotação são as mais prováveis a apresentar esse fenômeno de stickiness, pois indicam aquebra de uma ilha e o nascimento de uma nova cadeia de ilhas. Estas novas ilhas formamestruturas fractais que aprisionam as trajetórias do mar caótico.

Agradecimentos

Agradecimentos ao CNPq pelo apoio financeiro e à Universidade Estadual de PontaGrossa pela estrutura que permitiu o desenvolvimento do nosso trabalho.

Referências

[1] TRUEBA, J.; BALTANÁS, J.; SANJUÁN, M. A generalized perturbed pendulum. Chaos,Solitons and Fractals, v. 15, n. 5, p. 911 – 924, 2003. ISSN 0960-0779.

[2] ZASLAVSKY, G. Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport. Physics Reports,v. 371, n. 6, p. 461 – 580, 2002. ISSN 0370-1573.

[3] CASTILLO-NEGRETE, D. del; GREENE, J.; MORRISON, P. Area preserving nontwistmaps: periodic orbits and transition to chaos. Physica D: Nonlinear Phenomena, Elsevier,v. 91, n. 1, p. 1–23, 1996.

[4] SZEZECH, J. D. et al. Finite-time rotation number: A fast indicator for chaotic dynamicalstructures. Physics Letters A, v. 377, n. 6, p. 452 – 456, 2013. ISSN 0375-9601.

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