UNIDADE 01 PROPOSIO 1 Sejam a. b. c Z. Tem-se que: i) 1|a, a|a e a|0 ii) se a|b e b|c, ento a|c PROPOSIO 2 Se a, b, c, d Z, ento a|b e c|d ==> a.c|b.d PROPOSIO 3 Sejam a, b, c Z, tais que a|(bc). Ento a|b a|c PROPOSIO 4 Se a, b, c Z so tais que a|b e a|c, ento a|(xb + yc), para todo x, y Z. PROPOSIO 5 Dados a, b Z, temos que a|b ab PROPOSIO 6 Sejam a.b Z e n N. Temos que a-b|an-bn PROPOSIO 7 Sejam a, b Z e n N. Temos que a+b|a2n+1+b2n+1 PROPOSIO 8 Sejam a, b Z e n N. Temos que a+b|a2n-b2n

UNIDADE 02 TEOREMA 1 Sejam a, b Z-{0}. Existem q, r Z, tais que b=a.q+r, com 0r

PROPOSIO 4 Dois nmeros inteiros a e b so primos entre si se, e somente se, existem nmeros inteiros n e m tais que ma+na=1. TEOREMA 5 Sejam a, b, c nmeros inteiros. Se a|b.c e (a, b) = 1, ento a|c. COROLRIO 6 Dados a, b, c Z, com b e c no ambos nulos,

temos que b|a e c|a bc(b,c)|a. COROLRIO 7 Dados nmeros inteiros a1, a2, ..., an, no todos nulos, existe o seu mdc e (a1, ..., an) = (a1, ..., (na-1, an)).

UNIDADE 07 PROPOSIO 1 Dados dois nmeros inteiros a e b, ambos no nulos, temos que [a, b] existe e [a, b](a, b) = |ab|. COROLRIO 2 Se a e b so nmeros inteiros primos entre si, ento [a, b] = |ab|. PROPOSIO 3 Sejam a1, ..., an nmeros inteiros no nulos. Ento existe o nmero [a1, ..., an] e [a1, ..., an-1, an] = [a1, ..., [an-1, an]].

UNIDADE 08 PROPOSIO 1 Sejam a, b Z\{0} e c Z. A equao aX + bY = c admite soluo em nmeros inteiros se, se somente se, (a, b)|c. PROPOSIO 2 Seja x0, y0 uma soluo da equao aX + bY = c, onde (a, b) = 1. Ento, solues x, y em Z da equao so x = x0 + tb e y = y0 ta, t Z.

PROPOSIO 3 Sejam a, b N, com (a, b) = 1. Todo nmero natural c pode ser escrito de modo nico da seguinte forma: c = na + mb, com 0 n < b e m Z. PROPOSIO 4 c S(a, b) se, e somente se, existem n, m N{0}, com n

LEMA 5 Sejam a, m, n, q, r N, tais que n = mq + r, ento (am + 1, an + 1) = * (an + 1,ar + 1), se q par. * (an + 1,ar 1), se q mpar. PROPOSIO 6 Sejam n, m N, com m|n e m

n par. Se a N,

ento, (am + 1, an + 1) = * 1, se a par. * 2, se a mpar. TEOREMA 7 Se a, n, m N, com a 2, ento, (am 1, an 1) = a(m, n) 1 e (am 1, an + 1) pode apenas assumir um dos seguintes valores: 1, 2 ou a(m, n) + 1. COROLRIO 9 Tem-se que (am + 1, an + 1) =

* a(m, n) + 1, se [m,n](m,n) mpar. * 2, se [m,n](m,n) par e a mpar. * 1, se [m,n](m,n) e a so pares. COROLRIO 10 Se a N, tem-se que (am 1, an + 1) = * a(m, n) + 1, se m(m,n) par e n(m,n) mpar. * 2, caso contrrio e a mpar. * 1, caso contrrio e a par.

UNIDADE 11 LEMA 1 Dois nmeros consecutivos da sequncia de Fibonacci so primos entre si. LEMA 2 Se n, m, N so tais que n|m, ento, un|um. TEOREMA 3 Seja (un)n a sequncia de Finacci, ento (um, un) = u(m, n). COROLRIO 4 Na sequncia de Fibonacci, temos que un divide um se, e somente se, n divide m.

MA14

RESUMO AV2

Unidade 12

Se p e q so primos e a Z, temos:

a) se p|q p = q ;

b) se p 6 |a (p, a)= 1.

Proposio: Sejam a, b Z e p primo. Se p|ab, ento p|a ou p|b.

Corolrio: Sejam p, p1, . . . , pn primos. Se p|p1 . . . pn , entop = pi , para algum i = 1, . . . , n.

Teorema Fundamental da Aritmtica: Todo nmero natural

maior do que 1 ou primo ou se escreve de modo nico (a

menos da ordem dos fatores) como um produto de nmeros

primos.

Teorema: Seja n Z, n 6= 0, 1, 1, existem primos p1 < . . . < pr e1, . . . , r N, univocamente determinados tais que

n =p11 . . . prr .

Proposio: Seja n = p11 . . . prr um natural. Se n

|n, ento

n = p11 . . . prr ,

com 0i i , para i = 1, . . . , r.

O nmero de divisores de n, denotado por d(n), dado por

d(n)= (1+1) . . . (r +1).

Teorema: Sejam a = p11 . . . pnn e b = p11 . . . p

nn . Pondo

i =min{i , i } e i =max{i , i }, com i = 1, . . . , n, tem-se que(a, b)= p11 . . . p

nn e [a, b]= p11 . . . p

nn .

Proposio: Seja n > 4 composto e p o menor primo que dividen; ento n|(np)!.

Proposio: Se m, n N, ento m = n Ep(m) = Ep (n) paratodo nmero primo p.

Teorema: Existem infinitos nmeros primos.

Lema: Se n N, n > 1 tal que p 6 |n para todo primo p, comp2 n, ento n primo.

Unidade 13

Lema: Seja p primo. Os nmeros

(p

i

), com 0 < i < p, so todos

divisveis por p.

Pequeno Teorema de Fermat: Seja p primo. Tem-se que

p|ap a,a Z.

Corolrio (Pequeno Teorema de Fermat): Seja p primo e a N,com p 6 |a, ento p|ap11.

Unidade 15

Proposio: Sejam a, n N, com a > 1, n > 1. Se an +1 primo,ento a par e n = 2m , com m N.

Um nmero da forma Fn = 22n +1, com n = 0, 1, 2, . . . , dito N-

mero de Fermat. Se Fn primo, ento Fn dito Primo de Fermat.

Proposio: Sejam a, n N, com a > 1, n > 1. Se an 1 primo,ento a = 2 e n primo.

Os Nmeros de Mersenne so os nmeros da forma Mp = 2p 1,com p primo.

Teorema de Dirichlet: Numa progresso aritmtica de nmeros

naturais, com (a1, r )= 1, existem infinitos primos.

Proposio: Na progresso aritmtica

3, 7, 11, 15, . . . , 4n+3, . . .

existem infinitos nmeros primos.

Lema: Seja x N, com x 2. Todo divisor mpar de x2 +1 daforma 4n+1.

Proposio: Na progresso aritmtica

1, 5, 9, 13, . . . , 4n+1, . . .

existem infinitos nmeros primos.

Unidade 16

Seja S(n) a soma de todos os divisores naturais do nmero natu-

ral n, com S(1)= 1.

Proposio: Seja n = p11 . . . prr . Ento

S(n)=p1+11 1p11

. . . pr+1r 1pr 1

.

Corolrio: A funo S(n) multiplicativa, isto , se (n, m) = 1,ento S(n, m)= S(n) S(m).

Um natural n chamado de nmero perfeito se S(n) = 2n. Ouainda, se n for igual soma de seus divisores naturais, exceto ele

mesmo.

Teorema de Euclides-Euler: n N um nmero perfeito par se,e somente se, n = 2p1(2p 1), com 2p 1 sendo um primo deMersenne.

Unidade 17

Se a, b N, denotamos por[a

b

]o quociente de a por b na divi-

so euclidiana.

1

Proposio: Sejam a, b, c N. Temos

[a

b

]c

= [ a

bc

].

Teorema de Legendre: Sejam n natural e p primo. Ento,

Ep (n!)=[

n

p

]+[

n

p2

]+[

n

p3

]+ . . .

Lema: Sejam a1, . . . , am , b N. Tem-se que

[a1b

]+ . . .+

[amb

][a1+ . . .+am

b

] 0,

i ={0, se mi +i +i1 < p1, se mi +i +i1 p

.

Pondo 1 = 0, para 0 i r, temos ni =mi +i +i1i p.

Corolrio de Kummer: Ep

((n

m

))=

ri=0

i .

Unidade 18

Sejam a, b Z. Se a b mod m, ento m|ab, ou a e b deixamomesmo resto quando divididos por m. Se a 6 b mod m, entodizemos que a e b so incongruentes mdulo m.

Proposio: Seja m N. Para todos a, b, c Z, tem-se que

i) a a mod m;

ii) se a b mod m, ento b a mod m;

iii) se a b mod m e se b c mod m, ento a c mod m.

Proposio: Sejam a, b, m Z, com m > 1. Tem-se que

a b mod m m|ab.

Sistema Completo de Resduos Mdulo m todo conjunto de

nmeros inteiros cujos restos da diviso por m so os nmeros

0, 1, . . . , m1, sem repeties e numa ordem qualquer.

Para todo a Z existem inteiros q e r univocamente determi-nados tais que a = mq + r, com r R. Nessa situao, dizemostratar-se da diviso com resto em R. A diviso euclidiana corres-

ponde ao caso em que R = {0, 1, . . . , m1}.Se tomarmos

R ={

r Z;m2m < m

2

},

que um conjunto de m inteiros consecutivos, a correspon-

dente diviso ser chamada de diviso com menor resto.

Proposio: Sejam a, b, c, d m Z, com m > 1.

i) se a b mod m e c d mod m, ento a+c b+d mod m;

ii) se a b mod m e c d mod m, ento a c b d mod m.

Corolrio: Para todos n N, a, b Z, se a b mod m, entoan bn mod m.

Pequeno Teorema de Fermat: Se p primo e a Z, ento ap amod p. Alm disso, se p 6 |a, ento ap1 1 mod p.

Proposio: Sejam a, b, c, m Z, com m > 1. Tem-se que

i) a+c b+c mod m a b mod m;

ii) ac bc mod m a b mod m(c, m)

. Se (c, m) = 1, entoac bc mod m a b mod m.

Proposio: Sejam a, k, m Z, com m > 1 e (k, m) = 1. Sea1, . . . , am um sistema completo de resduos mdulo m, ento

a+ka1, . . . , a+kam tambm um sistema completo de resduosmdulo m.

Proposio: Sejam a, b Z, e m, n, m1, . . . , mr inteiros maioresdo que 1. Temos

i) se a b mod m e n|m, ento a b mod n;

ii) a b mod mi ,i = 1, . . . , r a b mod[m1, . . . , mr ];

iii) se a b mod m, ento (a, m)= (b, m).

Unidade 20

Proposio: Sejam a, m Z, com m > 1. A congruncia aX 1mod m possui soluo se, e somente se, (a, m) = 1. Alm disso,se x0 Z uma soluo, ento x uma soluo da congrunciase, e somente se, x x0 mod m.

2

Um Sistema Reduzido de Resduos Mdulo m um conjunto de

nmeros inteiros r1, . . . , rs tais que

a) (ri , m)= 1, i = 1, . . . , s;

b) ri 6 r j modm, se i 6= j ;

c) Para cada nZ tal que (n, m)=1, existe i tal que

n ri mod m.

Designamos por (m) o nmero de elementos de um sistema

reduzido de resduos mdulo m > 1, que corresponde quanti-dade de naturais entre 0 e m1 que so primos com m. Pondo(1) = 1, define-se a funo : N N, chamada Funo Fi deEuler.

Pela definio, temos (m) < m 1, m 2. Tambm vale aigualdade (m)=m1 se, e somente se, m primo.

Proposio: Seja r1, . . . , r(m) um sistema reduzido de resduos

mdulo m e seja a Z tal que (a, m)= 1. Ento ar1, . . . , ar(m) um sistema reduzido de resduos mdulo m.

Teorema de Euler: Sejam m, a Z com m > 1 e (a, m) = 1. En-to, a(m) 1 mod m.

Corolrio (Pequeno Teorema de Fermat): Sejam a Z e p umprimo, tais que (a, p) = 1. Tem-se que ap1 1 mod p, pois(m)= p1.

Proposio: Seja m Z livre de quadrados, ento a Z ek N, tem-se que ak(m)+1 a mod m.

Proposio: Sejam m, m N tais que (m, m) = 1. Ento(m, m)=(m)(m).

Proposio: Se p um primo e r N, ento tem-se que

(pr )= pr pr1 = pr(1 1

p

).

Teorema: Seja m > 1, com m = p11 . . . pnn sendo a decomposi-

o de m em fatores primos. Ento

(m)= p11 . . . pnn

(1 1

p1

) . . .

(1 1

pn

)

= p111 . . . pn1n (p11) . . . (pn 1)

Proposio: Sejam dados a, m Z, com m > 1. Existe h N talque ah 1 mod m se, e somente se, (a, m)= 1.

Suponha que a, m Z, com m > 1 e (a, m) = 1. Pela proposi-o anterior, sabemos que {i N; ai 1 mod m} 6= ;. Portanto,vamos definir a ordem de a com respeito a m, como sendo o n-

mero natural ordm(a)=min{i N; ai 1 mod m}.

Lema: Sejam a, m Z, com m > 1 e (a, m)= 1. Temos

an 1 mod m ordm(a)|n.

Corolrio: Sejam a, m Z, com m > 1 e (a, m) = 1. Temosordm(a)|(m).

Proposio: Todo divisor natural de Fn da forma 2n+1k + 1,

com k N {0}.

Corolrio: Na progresso aritmtica com a1 = 1 e r = 2s , paras N fixo, existem infinitos nmeros primos.

Teorema de Lucas: Sejam a, m N, com m > 1 e (a, m) = 1.Se am1 1 mod m e ak 61 modm,k, k < m1; ento m primo.

Teorema de Wilson: Se p primo, ento (p1)!1 mod p.

Proposio (Recproca do Teorema de Wilson): Seja p 2 uminteiro. Se (p1)!1 mod p, ento p primo.

Teorema (Generalizao do Teorema de Wilson): Sejam p

um primo e m, n N {0} tais que m +n = p 1. Tem-se quem!n! (1)n+1 mod p.

Unidade 21

Proposio: Dados a, b, m Z, com m > 1, a congrunciaaX b mod m possui soluo se, e somente se, (a, m)|b.

Teorema: Sejam a, b, m Z, com m > 1 e (a, m)|b. Se x0 umasoluo da congruncia aX b mod m, ento

x0, x0+m

d, x0+2

m

d, . . . , x0+ (d 1)

m

d,

com d = (a, m), formam um sistema completo de solues dacongruncia, duas a duas incongruentes mdulo m.

Corolrio: Se (a, m) = 1, ento a congruncia aX b mod m,possui uma nica soluo mdulo m. Essa soluo ser cha-

mada de inverso multiplicativo mdulo m.

Corolrio: Sejam m > 1 e R um conjunto reduzido de resduosmdulo m. Se b Z, ento, r R, a congruncia

r X b mod m

possui uma nica soluo em R.

Observao: Toda congruncia aX b modm, que possui solu-o equivalente a uma congruncia da forma

X c modn.

Teorema de Thue: Sejam m > 1 um natural no quadrado ea Z, com (a, m) = 1. A congruncia aX Y mod m possuiuma soluo (x, y) Z2 tal que 0< |x|

Proposio: O sistema de congruncias

X c1 mod m1, X c2 mod m2

admite soluo se, e somente se, c2 c1 mod (m1, m2). Almdisso, dada uma soluo a do sistema, um nmero a tambmuma soluo se, e somente se, a a mod [m1, m2].

Teorema Chins dos Restos Generalizado: O sistema de con-

gruncias

X ci mod mi , i = 1, . . . , r

admite soluo se, e somente se,

ci c j mod (mi , m j ), i , j = 1, . . . , r.

Nesse caso, a soluo nica mdulo [m1, . . . , mr ].

Lema: Existem inteiros x1, . . . , xr tais que

x1M1+ . . .+ xr Mr = 1,

com M = [m1, . . . , mr ] e Mi =M

mi, i = 1, . . . , r.

Lema: Para todos i , j = 1, . . . , r, tem-se que m j |Mi (mi , m j ).

Teorema: Se o sistema X ci mod mi , i = 1, . . . , r admite solu-o, as solues so dadas por

x = c1x1M1+ . . .+cr xr Mr + t M ,

com t Z e x1, . . . , xr so tais que x1M1+ . . .+ xr Mr = 1.

Unidade 22

O conjunto [a] = {x Z; x a mod m} chamado classe re-sidual mdulo m do elemento a de Z. O conjunto de todas as

classes residuais mdulo m ser representado por Zm . Portanto,

Zm = {[0], [1], . . . , [m1]}.

Proposio: As classes residuais possuem as seguintes proprie-

dades:

i) [a]= [b] a b mod m;

ii) Se [a] [b] 6= ;, ento [a]= [b];

iii)

aN[a]=Z.

Dado [x] de Zm , um nmero inteiro a tal que [x] = [a] ser de-nominado de representante de [x].

Proposio: Para cada a Z existe um, e somente um, r Z,com 0 r