Resumo Resistncia dos Materiais

RESISTNCIA DOS MATERIAIS1. Trao e compresso entre os limites elsticos.

Pontos importantes Resistncia dos materiais o estudo da relao entre as cargas externas que atuam em um corpo e a intensidade das cargas internas no interior desse corpo As foras externas podem ser aplicadas a um corpo como cargas de superfcies distribudas ou concentradas ou como foras de corpo que atuam em todo o volumedo corpo. Cargas lineares distribudas produzem uma fora resultante com grandeza igual rea sob o diagrama de carga e com localizao que passa pelo centride dessa rea. Um apoio produz uma fora em uma direo particular sobre seu elemento acoplado, se ele impedir a translao do elemento naquela direo, e produz momento binrio no elemento se impedir a rotao. As equaes de equilbrio devem ser satisfeitas a fim de impedir que o corpo se translade com movimento acelerado e que tenha rotao. Quando se aplicam as equaes de equilbrio, importante primeiro desenhar o diagrama de corpo livre do corpo a fim de considerar todos os termos das equaes. O mtodo das sees usado para determinar as cargas internas resultantes que atuam sobre a superfcie do corpo secionado. Em geral, essas resultantes consistem em uma fora normal, uma fora de cisalhamento, um momento de toro e um momento fletor.

Tenso Hipteses em relao s propriedades do materialy y

Contnuo Distribuio uniforme de matria, sem vazios. Coeso Suas partes bem unidas, sem trincas, falhas e etc.

Definio: A tenso descreve a intensidade da fora interna sobre um plano especfico (rea) que passa por determinado ponto. Tenso Normal: a intensidade da fora que atua no sentido perpendicular a A por unidade de rea ( ). Distribuio mdia de Tenso que atua na Seo Transversal de uma Barra prismtica com carga axial Hipteses:

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Resumo Resistncia dos Materiais 1- A barra permanece reta antes e depois da carga ser aplicada. A seo transversal deve permanecer plana durante a deformao.y y

Obs. 1: As linhas horizontais e verticais da grade inscrita na barra deformam-se uniformemente quando a barra est submetida a carga. Obs. 2: Desconsiderar as regies da barra prximas a sua extremidade, pois as cargas externas podem provocar distores localizadas.

2- P deve ser aplicada ao longo do eixo do centride da seo transversal. Material deve ser homogneo e isotrpico.y y

Material homogneo: Mesmas propriedades fsicas e mecnicas em todo o seu volume. Material Isotrpico: Possui essas mesmas propriedades em todas as direes

Tenso de Cisalhamento: a intensidade da fora, ou fora por unidade de rea, que atua tangente a A ( ) Cisalhamento simples ou direto O cisalhamento provocado pela ao direta da carga aplicada F. Ocorre frequentemente em vrios tipos de acoplamentos simples que usam parafusos pinos, material de solda etc.

Coeficiente de Segurana: a relao entre o carregamento ltimo e o carregamento admissvel. .

A escolha de um coeficiente de segurana baixo pode levar estrutura a possibilidade de ruptura e a escolha de um coeficiente de segurana alto pode levar a um projeto antieconmico.

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2. Anlise das tenses e deformaes.

Deformaes Deformao a mudana na forma e tamanho de um corpo quando uma fora aplicada no mesmo. Deformao normal: o alongamento ou a contrao de um segmento de reta por unidade de comprimento. Se a deformao normal for conhecida, podemos utilizar a equao acima para obter o comprimento final aproximado, da seguinte forma:

Deformao por Cisalhamento: a mudana de ngulo ocorrida entre dois segmentos de reta originalmente perpendiculares entre si. O ngulo denotado por e medido em radianos.

Componentes Cartesianas das Deformaes Especficas Suposies:

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Resumo Resistncia dos Materiais Dimenses do elemento retangular muito pequena, seu formato deformado ser um paraleleppedo. Segmentos de reta muito pequenos permanecem retos aps a deformao do corpo

y y

Observaes:y y

Deformaes normais provocam mudana de volume do elemento retangular Deformaes por cisalhamento provocam mudana no seu formato.

O estado de deformao em um ponto caracterizado por seis componentes da deformao: Trs deformaes normais x , y e z e trs deformaes por cisalhamento xy , yz e xz . Esses componentes dependem da orientao dos segmentos de reta e de sua localizao no corpo. Anlise de pequenas deformaes: A maioria dos materiais da engenharia sofre pequenas deformaes que em algumas aplicaes podem ser admitidas. Desse modo, quando a deformao normal for pequena ( 0 ; >0; x 0 (trao) abaixo da superfcie neutra. A linha neutra passa atravs do centride da rea da seo transversal quando o material segue a lei de Hooke e no existem foras axiais agindo na seo transversal.

Frmula de flexo Tenses calculadas a partir da frmula de flexo so chamadas de tense fletoras ou tenses s de flexo. A expresso da flexo mostra que as tenses so diretamente proporcionais aos momentos fletores e que aumenta linearmente com o aumento de y. Nota-se que momentos fletores positivos causam tenses de compresso na viga na parte superior acima da linha neutra e causam tenses de trao na parte inferir, pois o y negativo e tambm se pode visualizar este resultado na prtica. Caso os momentos sejam negativos, as tenses tero sinais invertidos como mostra a figura abaixo.

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Limitaes As anlises apresentadas nesta seo so para flexes puras em vigas prismticas composta de materiais homogneos e elsticos lineares. Caso a viga esteja submetida a uma flexo nouniforme a fora de cisalhamento gerar um empenamento, ou seja, uma distoro fora do plano. Dessa forma, uma seo que era plana antes da flexo, no mais plana depois da flexo. Anlises revelam que as tenses de flexo, no so significativamente alteradas pela presena das foras de cisalhamento e seu empenamento associado. Dessa forma, utiliza-se a teoria de flexo pura para calcular tenses normais em vigas submetidas a tenses de flexo no uniforme. A frmula de flexo fornece resultados precisos apenas nas regies da viga onde as distribuies de tenses no so perturbadas pela forma da viga ou por descontinuidades no carregamento. A frmula de flexo no aplicada prximo dos apoios ou de carregamentos concentrados, pois essas irregularidades produzem tenses localizadas, ou concentra de es tenses que so muito maiores do que a tenso de flexo.

5. Tenses/deformaes em vigas carregadas transversalmente.

Foras e momentos internos em vigas Vigas horizontais carregadas so elementos comuns na prtica e o dimensionamento exige a determinao das tenses internas em funo da(s) carga(s) aplicada(s). Seja, conforme figura abaixo, uma viga horizontal com um carregamento genrico F(x) ao longo do seu comprimento. A simples deduo lgica permite concluir que esta viga est internamente submetida a esforos de cisalhamento e flexo.

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Resumo Resistncia dos Materiais Considerando um corte transversal hipottico em um local qualquer A, possvel separar os esforos distintos: cisalhamento conforme (b) da figura e momento de flexo conforme (c) da mesma figura. Algumas referncias usam os termos esforo cortante para o cisalhamento e momento fletor para o momento de flexo. Tambm pode ser encontrada a expresso fora transversal para o cisalhamento. Em geral adotam-se as convenes de sinais como em (b) e (c), isto , cisalhamento positivo tende a girar cada parte no sentido horrio e momento positivo tende a tracionar a parte inferior e comprimir a parte superior da viga (obs: os sinais de cisalhamento e momento da figura no tm relao com o carregamento indicado).

Diagramas de esforos em vigas A Figura abaixo (a) d exemplo de um dos carregamentos mais simples: uma viga apoiada em dois cutelos com uma nica carga vertical F1. O apoio sobre cutelos garante que no h momentos nas extremidades e que no h foras longitudinais se o carregamento vertical, pois o cutelo direito est sobre rolos. Considerando a origem das coordenadas x = 0, um problema tpico consiste em determinar os esforos ao longo da viga conhecidos os valores de F , o seu ponto de aplicao x1 e o 1 comprimento da viga x2. O esquema das foras atuantes na viga dado em (b) da figura. F e F2 so as reaes dos 0 apoios. Notar que uma viga estaticamente determinada, isto , todas as foras podem ser calculadas pela aplicao das condies de equilbrio esttico (soma das foras nulas e tambm dos momentos). De Fy = 0, ocorre F1 = F0 F2. De M = 0 (em relao ao ponto 0 por exemplo), F1 x1 = F2 x2. A condio Fx = 0 no se aplica por no existir fora nesse sentido.

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Resumo Resistncia dos Materiais Portanto, F2 = F1 x1 / x2. F0 = F1 F2 = F1 + F1 x1 / x2. Ou F0 = F1 (x2 x1) / x2. Considera-se agora um trecho genrico de 0 a um ponto x, esquerda de 1, conforme (c) da figura. Aplicando a condio de equilbrio Fy = 0, em mdulo, Fc = F0. E o cisalhamento interno positivo conforme critrio do tpico anterior. Assim, do ponto 0 at 1, Fc = F0. fcil deduzir que do ponto 1 ao ponto 2 vale Fc = F0 + F1 = F2. Novamente se considera o ponto x esquerda do ponto 1 conforme figura. Aplicando a condio M = 0 em relao a x, M = x F0 (positivo conforme critrio do tpico anterior). Entre os pontos 1 e 2, M = x F0 (x x1) F1. Substituindo os valores de F0 e F1 conforme j calculado, Entre 0 e 1: M = F1 (x2 x1) x / x2. Portanto, Para x = 0, M = 0. Para x = x1, M = F1 (x2 x1) x1 / x2. Entre 1 e 2: M = x F0 (x x1) F1 = x (F0 F1) + x1 F1. Mas F0 F1 = F2. Assim, M = x F1 x1 / x2 + x1 F1 = F1 (x1 x1 x / x2 ) = F1 x1 (1 x / x2 ). Portanto, Para x = x2, M = 0. Para x = x1, M = F1 x1 (1 x1 / x2) = F1 x1 (x2 x1) / x2 . Notar que igual ao valor do trecho anterior. E o grfico conforme (e) da figura. E os valores mximos so dados por: Fc_max = max (F0, F2) com F0 = F1 (x2 x1) / x2 e F2 = F1 x1 / x2. Mmax = F1 (x2 x1) x1 / x2.

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Resumo Resistncia dos MateriaisViga apoiada com vrias cargas concentradas Viga apoiada com carga uniformemente distribuda

Viga engastada com uma carga na extremidade

Viga engastada com carga distribuda

Viga apoiada com momento concentrado

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Resumo Resistncia dos Materiais 6. Problemas de flexo estaticamente indeterminados.

Carregamentos hiperestticos ou estaticamente indeterminados ocorrem quando as equaes fundamentais da esttica, F = 0 (ou Fx = 0 e Fy = 0) e M = 0, no so suficientes para determinar os esforos atuantes. Ou seja, o nmero de incgnitas excede o nmero de equaes de equilbrio. Viga horizontal com trs apoios A Figura abaixo (a) ilustra uma viga horizontal de seo transversal constante com trs apoios e submetida s foras externas conhecidas F e H em cada vo. As reaes dos apoios so A, C e B. As distncias horizontais so todas conhecidas, valendo naturalmente a + b = + = m+n = L. Desde que s h foras verticais, de Fy = 0 tem-se em mdulo A + C + B = F + H. De M = 0 em relao a A, por exemplo, tem-se em mdulo mC + LB = aF + H. H, portanto trs valores desconhecidos (A, C, B) e duas equaes, caracterizando um carregamento hiperesttico. Pode-se resolver o problema considerando o fato de ser nulo o valor da linha elstica em C. Usando o mtodo da superposio, considera-se a situao (a) igual soma dos carregamentos listados a seguir. (b) s com atuao da fora F, que produz um deslocamento yF em C. (c) s com atuao da fora H, que produz um deslocamento yH em C. (d) s com atuao da fora de reao C, que produz um deslocamento yC em C. Se em mdulos yC = yF + yH, conclui-se que o deslocamento em C nulo. Assim, a situao equivale ao carregamento (a) e os valores de todas as reaes dos apoios podem ser determinados. Esses trs carregamentos simples so do mesmo tipo, isto , viga bi apoiada com carga concentrada em posio genrica. As frmulas j foram dadas em pginas anteriores. Assim,

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Resumo Resistncia dos Materiais (b) yF a flecha para x = m. yF = [FL3/(6EJ)] (b/L) (a/L)2 (n/L) [1 + L/a - n2/ab]. (c) yH a flecha para x = m. yH = [HL3/(6EJ)] ( /L) ( /L)2 (m/L) [1 + L/ - m2/ (d) yC a flecha no ponto de aplicao da fora. yC = (C m2 n2) / (3 E J L). Para obter um fator comum com as anteriores, multiplicam-se ambos por 2L3 yC = 2 [CL3/(6EJ)] (mn/L2)2. Voltando igualdade anterior, yC = yF + yH, faz-se a substituio 2 [CL3/(6EJ)] (mn/L2)2 = [FL3/(6EJ)] (b/L) (a/L)2 (n/L) [1 + L/a - n2/ab] + [HL3/(6EJ)] ( /L) ( /L)2 (m/L) [1 + L/ - m2/ Resultando aps simplificao: C = [F b a2 / (2 n m2)] [1 + L/a - n2/ab] + [H2

].

].

/ (2 m n2)] [1 + L/ - m2/

] #A.1#.

Com essa frmula, a reao C determinada e as demais (A e B) so obtidas das igualdades do incio deste tpico.

7. Toro e momento torsor.

Toro Toro se refere ao giro de uma barra retilnea quando carregada por momentos (ou torques) que tendem a produzir rotao sobre o eixo longitudinal da barra. Membros cilndricos submetidos a torques e que transmitem potncia atravs de rotao so chamados de eixos. Deformaes de toro de uma barra circular

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Resumo Resistncia dos Materiais Toro Pura: Toda a seo transversal est submetida ao mesmo torque interno T. Consideraes: Das condies de simetria, as sees transversais da barra no variam na forma enquanto rotacionam sobre o eixo longitudinal. Em outras palavras, todas as sees transversais permanecem planas e circulares e todos os raios permanecem retos. Caso o ngulo de rotao entre uma extremidade da barra e outra pequeno, nem o comprimento da barra e nem seu raio iro variar. Equao para deformao de cisalhamento na superfcie externa: Barras Circulares de Materiais Elsticos Lineares

Caso o material seja elstico-linear, podemos usar a lei de Hooke em cisalhamento: O estado de cisalhamento puro na superfcie de uma barra equivalente a tenses iguais de compresso e trao agindo num elemento orientado num ngulo de 45. Se uma barra feita de um material que mais frgil em trao do que em cisalhamento, a falha ir ocorrer em trao ao longo de uma hlice a 45 do eixo.

A Frmula de Toro A distribuio de tenses de cisalhamento agindo em uma seo transversal foi ilustrada anteriormente. Como essas tenses agem continuamente ao redor da seo transversal, tm uma resultante na forma de um momento um momento igual ao torque agindo na barra.

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Resumo Resistncia dos Materiais A frmula de toro mostrada abaixo. A tenso de cisalhamento mxima diretamente proporcional ao torque aplicado, T e inversamente proporcional ao momento de inrcia polar, J: O torque T interno desenvolve no apenas uma distribuio linear de tenses cisalhantes em cada linha radial no plano da seo transversal, mas tambm uma distribuio de tenses cisalhantes associadas ao longo de um plano axial. Para um crculo de raio r e dimetro d, o momento de inrcia polar : Tubos circulares: Se um eixo tem uma seo transversal tubular, seu momento polar de inrcia dado por: Toro No-Uniforme A barra no precisa ser prismtica e os torques aplicados podem agir em qualquer lugar ao longo do eixo da barra. Nesse caso aplica-se a frmula de toro pura em segmentos individuais da barra e somam-se os resultados, ou aplicam-se as frmulas para elementos diferenciais e integra-se. Barra consistindo de segmentos prismticos com torque constante ao longo de cada segmento

Tem-se que os torques abaixo so constantes ao longo do comprimento de seu segmento:

Conveno de sinal: Um torque interno positivo quando seu vetor aponta para fora da seo cortada e negativa quando seu vetor aponta em direo seo. Caso o torque tenha sinal positivo, isso quer dizer que ele est na direo assumida, caso contrrio, ele age na direo oposta.

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Resumo Resistncia dos Materiais Frmula geral do ngulo de toro: O subscrito i um ndice numrico para os vrios segmentos, Ti o torque interno, Li o comprimento, Gi o mdulo de cisalhamento e Ji o momento de inrcia polar.

Transmisso de Potncia por eixos Circulares A potncia transmitida atravs do movimento rotatrio do eixo e a quantidade de potncia transmitida depende da magnitude do torque e da velocidade de rotao. Potncia definida como o trabalho realizado por unidade de tempo. , onde Engrenamento: A razo entre o nmero de dentes nas rodas diretamente proporcional razo de torque e inversamente proporcional razo das velocidades de rotao. Temos a seguinte equao:

8. Momento de inrcia das figuras planas.

O momento de inrcia mede a distribuio da massa de um corpo em torno de um eixo de rotao. Quanto maior for o momento de inrcia de um corpo, mais difcil ser faz-lo girar. Contribui mais para a elevao do momento de inrcia a poro de massa que est afastada do eixo de giro. Um eixo girante fino e comprido, com a mesma massa de um disco que gira em relao ao seu centro, ter um momento de inrcia menor que este. Sua unidade de medida, no SI, quilograma vezes metro ao quadrado (kgm).

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9. Critrios de Falha Materiais Dcteis

Teoria da Tenso de Cisalhamento Mxima (Critrio de Tresca) O caso mais comum de escoamento de um material dctil, como o ao, o deslizamento (devido tenso de cisalhamento) que ocorre ao longo dos planos de contato dos cristais que, aleatoriamente ordenados, formam o prprio material. Os planos de deslizamento ocorrem a aproximadamente 45 do eixo de carregamento. Considerando-se um elemento do material tirado de um corpo de prova para um ensaio de trao, submetido apenas ao limite de escoamento E , como apresenta a Figura abaixo. A tenso de cisalhamento mxima determinada a partir do crculo de Mohr. Dessa forma temse.

Utilizando a idia de que os materiais Dcteis falham por cisalhamento, Henri Tresca props em 1868 a sua teoria que usada para prever a tenso de falha de um material dctil submetido a qualquer tipo de carregamento. O escoamento do material comea quando a tenso de cisalhamento mxima absoluta atinge o valor da tenso de cisalhamento que provoca escoamento do material quando ele est submetido apenas tenso axial. Para evitar a falha tem-se que:

Para o estudo e aplicaes necessrio colocar a tenso de cisalhamento em funo das tenses principais. Lembrando que, quando a tenso principal fora do plano nula. Se as duas tenses principais no plano tiverem o mesmo sinal, ou seja, se ambas forem de trao ou compresso, ento a falha ocorrer fora do plano e assim tem-se:

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Resumo Resistncia dos Materiais Caso as tenses principais tenham sinais opostos, ento a falha ocorrer no plano e sabe -se que:

A teoria da tenso de cisalhamento mxima para o estado plano de tenses pode ser expressa para quaisquer tenses principais no plano como 1 e 2 de acordo com o seguinte critrio:

Um grfico dessas equaes apresentado na figura abaixo:

Se qualquer ponto do material estiver sujeito a um estado plano de tenses e suas tenses principais no plano forem representadas pelas coordenadas ( 1 e 2 ) marcadas no limite ou fora da rea hexagonal sombreada, o material escoar no ponto e ocorrer falha.

Teoria da Energia de Distoro Mxima (Critrio de Von Mises) Um material quando deformado por um carregamento externo tende a armazenar energia internamente em todo o seu volume. A energia por unidade de volume do material chamada densidade de energia de deformao e, se ele estiver sujeito a uma tenso uniaxial, , essa densidade escrita como: Experimentos demonstram que os materiais no escoam quando submetidos a uma tenso uniforme (hidrosttica), tal como a md. Com base nisso, em 1904, M. Huber props que ocorre escoamento em um material dctil, quando a energia de distoro por unidade de volume do material igual ou maior que a energia de distoro por unidade de volume do mesmo material quando ele submetido a escoamento em um teste de trao simples. O critrio de falha de Von Mises dado por: E graficamente representado por:

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Caso um ponto do material estiver tracionado de tal forma que a coordenada da tenso ( 1 e 2) esteja posicionada no limite ou fora da rea sombreada, diz-se que o material falhou. A figura abaixo representa a comparao entre os critrios de Tresca e de Von Mises.

10. Vasos de Presso

Vasos de Presso: So estruturas fechadas contendo lquidos ou gases sob presso. Vasos de Presso de paredes finas (Estruturas de Cascas) Cpulas de telhados, asas de avies e cascos de submarinos. A relao r/t > 10 , onde r o raio e t a espessura da parede. Parede Esfrica: A parede de um vaso esfrico pressurizado est submetida a tenses de trao uniformes em todas as direes.

Limitaes:

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Resumo Resistncia dos Materiais a. A espessura da parede deve ser pequena em comparao s outras dimenses ( t/r 10 ) b. A presso interna deve exceder a presso externa (para evitar flambagem) c. A anlise apresentada nesta seo baseada apenas nos efeitos de presso interna. d. As frmulas descritas no so vlidas em pontos de concentraes de tenso.

Parede Cilndrica:y y

Tenso Circunferencial: Tenso Longitudinal:

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