Resumão_GE_Parte1

7/31/2019 Resumo_GE_Parte1

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Resumo Parte 1

GEOMETRIA ESPACIALPoliedros convexos

Observe os slidos abaixo cujas faces so polgonos convexos.

Podemos observar que:

Cada aresta comum a duas e somente a duas faces

Duas faces nunca esto num mesmo plano

O plano de cada face deixa as demais faces no mesmo semi-espao.

Aos slidos que satisfazem essas condies chamamos poliedros convexos.

Assim, um poliedro possui

Faces (so polgonos convexos)

Arestas (so os lados do polgono) Vrtices (so os vrtices do polgono)

Classificao

Classificamos um poliedro de acordo com o nmero de faces. O nmero mnimo de faces de um poliedroconvexo so quatro.

Veja alguns exemplos:

Tetraedro : 4 facesPentaedro : 5 facesHexaedro : 6 facesHeptaedro : 7 facesOctaedro : 8 facesDecaedro : 10 facesDodecaedro : 12 facesIcosaedro: 20 faces


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Poliedros regulares

Um poliedro regular se, e somente se, forem obedecidas as seguintes condies:

Todas as suas faces so polgonos regulares e congruentes entre si Todos os seus ngulos polidricos so congruentes entre si.

Tetraedro Regular Hexaedro Regular Octaedro Regular Dodecaedro Regular Icosaedro Regular

Teorema de Euler

Num poliedro convexo, se V, A e F so os nmeros respectivamente, de vrtices, de arestas e de faces,ento vale a seguinte relao:

Veja:

Poliedro convexo V F A V + F = A + 2Hexaedro 8 6 12 8 + 6 = 12 + 2

Heptaedro 10 7 15 10 + 7 = 15 + 2

Decaedro 12 10 20 12 + 10 = 20 + 2

Dodecaedro 20 12 30 20 + 12 = 30 + 2

Exemplos

1. Um poliedro convexo tem 22 arestas. O nmero de vrtices igual ao nmero de faces. Calcular o

nmero de vrtices desse poliedro.

Soluo:

Apenas utilizando a formula resolver o exerccio logo V + F = A + 2 e como o numero de vrtices igual aonumero de faces temos:

2V = A + 2,2V = 22 + 2,V = 12

2. Um poliedro convexo tem cinco faces quadrangulares e duas faces pentagonais. Calcular o nmerode arestas e o nmero de vrtices.


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Soluo:

Exerccios

1. Um poliedro convexo tem 6 faces e 8 vrtices. O nmero de arestas :

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12

2. O nmero de vrtices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares :

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12

3. Um poliedro convexo formado por 80 faces triangulares e 12 pentagonais. O numero de vrticesdo poliedro :

a) 80 b) 60 c) 50 d) 48

4. Um poliedro convexo tem 15 faces triangulares, 7 faces pentagonais e 2 faces hexagonais. Onmero de vrtices desse poliedro :

a) 24 b) 48 c)73 d) 96

5. O cubo octaedro um poliedro que possui 6 faces quadrangulares e 8 triangulares. O nmero devrtices desse poliedro :

a) 16 b) 14 c) 12 d) 10

Gabarito:

1) d 2) b 3) b 4) a 5) c


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Prismas

O prisma um slido delimitado por faces planas, conforme verificamos nas figuras seguintes.

Elementos principais

Bases: formada por polgonos

Arestas das bases: lados das bases

Faces laterais: formadas por paralelogramos

Altura : distncia entre os planos das bases

Superfcie lateral: conjunto de todas as faces laterais

Superfcie total: unio da superfcie lateral com as duas bases

Classificao

Podemos classificar um prisma de acordo com o nmero de lados das duas bases.

Prisma triangular: bases : tringulos Prisma quadrangular : bases : quadrilteros Prisma pentagonal : bases: pentgonos Prisma hexagonal: bases: hexgonos

Se as bases so polgonos regulares, o prisma chamado regular.

Um prisma reto se as arestas laterais forem perpendiculares s bases; caso contrrio, o prisma ditooblquo.


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Paraleleppedos

Denomina-se paraleleppedo o prisma no qual as seis faces so paralelogramos.

As dimenses so chamadas comprimento, largura e altura, cujas medidas so indicadas por a, b e c,respectivamente.

Cubo

um paraleleppedo cujas arestas so congruentes entre si. O cubo tambm chamado hexaedro regular.

Diagonal

Chamamos diagonal D de um prisma todo segmento de reta cujas extremidades so vrtices que nopertencem a uma mesma face desse prisma.

O paraleleppedo a seguir apresenta as arestas de medidas a, b, e c.

2 2 2D a b c


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Considerando o cubo um caso particular, temos todas as arestas iguais e de medida a.

2 2 2

2 2 2

D a b c

D a a a

3D a

reas

Como a superfcie lateral de um prisma a reunio de suas faces laterais, ento a rea dessasuperfcie a soma das reas das faces laterais, indicamos a rea da superfcie lateral por AL .

AL = soma das reas das faces lateraisAL = n. AFonde n o nmero de faces eAF a rea de cada uma das faces.

Observao

Superfcie total de um prisma a reunio das suas faces laterais com as suas bases.Indicamos a rea da superfcie total por AT .

2T L B

A A A

Devemos considerar dois casos particulares:

No paraleleppedo as arestas a, b e c, temos como faces

Dois retngulos de rea : a . bDois retngulos de rea : a . cDois retngulos de rea : b . c

Logo temos

2TA ab ac bc

No cubo de aresta de medida a, temos

2 2 22

2

T

T

A aa aa aa

A a a a

2

6T

A a


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Volume

Todo slido ocupa uma poro do espao. Essa poro o volume desse slido.

O volume V de um prisma igual ao produto da rea de sua base AB pela medida da sua altura H.

.B

V A H

Para um paraleleppedo, devemos considerar a rea da base como sendo o produto a . b e a altura a arestac. Logo

. .V a b c

No caso de uma cubo, as arestas de medida a, o volume

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V a

Exemplos:

1. Determinar a rea total, o volume e a diagonal do paraleleppedo de dimenses 3cm, 4 cm e 5 cm.

2. O volume de um cubo mede 27 cm3. Calcule.

a) sua rea totalb) sua diagonal da facec) sua diagonal


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3. Um prisma regular triangular tem arestas laterais de 6 cm e arestas de base de 4 cm. Obter:

a) O seu volumeb) A sua rea lateralc) A sua rea total

()

Exerccios

1. Calcule a rea total dos prismas retos das

figuras.

2. Um prisma pentagonal regular tem 20 cm de altura. A aresta da base do prisma mede 4 cm. Determine asua rea lateral.

3. Um prisma reto tem por base um tringulo issceles com medidas 8 dm de base e altura 3 dm. Sabendoque a altura do prisma igual a 1/3 do permetro da base, calcule a rea da superfcie total do prisma.

4. Num prisma regular de base hexagonal a rea lateral mede 36 m e a altura 3 m. A aresta da base :

a) 2 m b) 4 m c) 6 m d) 8 m e) 10 m

5. As dimenses de um paraleleppedo retngulo so proporcionais a 3, 5 e 7. Sabendo que a diagonal

mede cm, calcule o volume do paraleleppedo.


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6. De um reservatrio de forma cbica cheio de gua foram retirados 2 litros dessa gua. Verificando-seque houve uma variao de 5 cm no nvel do liquido, calcule quanto mede a aresta interna da caixa-reservatrio.

7. Se a soma das arestas de um cubo igual a 72 cm, ento o volume do cubo igual a:

a) 100 cm d) 16 cm

b) 40 cm e) 216 cmc) 144 cm

8. As medidas internas de uma caixa dgua em forma de paraleleppedo retngulo so: 1,2 m, 1 m e 0,7 m.Sua capacidade de:

a) 8 400 litros d) 8,4 litrosb) 84 litros e) n.d.ac) 840 litros

9. O volume do paraleleppedo retngulo cuja diagonal mede 7 cm e duas de suas dimenses medem,respectivamente, 2 cm e 3 cm

a) 6 cm c) 36 cmb) 7 cm d) 49 cm

10. A figura abaixo mostra um reservatrio de gua, totalmente cheio (medidas em metros). Aps teremsido consumidos 12 litros de gua, o nvel dgua ter baixado

a) 3 dm c) 17 cmb) 3 cm d) 17 dm

11. Ao congelar-se, a gua aumenta de 1/15 o seu volume. O volume de gua a congelar, para obter-se umbloco de gelo de 8 dm x 4 dm x 3 dm,

a) 80 dm c) 95 dmb) 90 dm d) 100 dm

12. Um tanque em forma de paraleleppedo retngulo tem por base um retngulo horizontal de lados 0,8m e 1,2 m. Um individuo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o nvel da gua subir 0,075 m. Entoo volume do individuo, em m, :

a) 0,066 b) 0,072 c) 0,096 d) 0,600

13. O acrscimo de volume do paraleleppedo retngulo de aresta de medidas a, b e c, quandoaumentamos cada aresta em 10%, :

a) 30% b) 33,1% c) 21% d) 10%


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14. O volume de uma caixa cbica 216 litros. A medida de sua diagonal, em centmetros, :

a) c) b) d)

15. Na figura, cada cubo tem volume 1. O volume da pilha, incluindo-se os cubos invisveis no canto, :

a) 6 b) 8 c) 9 d) 10

16. Um prisma reto tem como base um hexgono regular de lado 6 cm. Cada face tem rea igual a 3vezes a rea da base. Sua altura, em cm, :

a) 15 b) 18 c) 24 d) 27

17. Num prisma regular de base hexagonal, a rea lateral mede 36 m2 e a altura 3 m. A aresta da base :

a) 2 m b) 4 m c) 6 cm d) 8 m

18. Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua rea lateral o dobro

da rea de sua base. O volume deste prisma, em cm3, :a) b) c) d)

19. Um reservatrio tem a forma de um prisma triangular reto, de comprimento 20 metros e as sees

retas so tringulos issceles invertidos de base 4 metros e altura 5 metros, conforme figura. Se o nvel da

gua no reservatrio de 2 metros, o volume de gua, em m3, igual a:

a) 16b) 24c) 32

d) 36

20. Um prisma de altura h = 1,2 m tem por base um tringulo equiltero de lado 40 cm. O volume desseprisma, medido em litros, :

a) b) c) d)

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