Resumo 7
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UNIVERSIDADE SO JUDAS TADEU
DATA:
CURSO: ENGENHARIA TURMA:
N DE ORDEM:
DISCIPLINA: CLCULO II Prof. Ms Rogrio Lobo
MXIMOS E MNIMOS
RESUMO 07
Mximos e Mnimos de Funes de Vrias
Variveis
Definio: Seja f uma funo definida em uma
regio R contendo o ponto (a, b). Ento, f tem
um mximo relativo em (a, b) se f(x, y) f(a, b)
para todos os pontos (x, y) que so
suficientemente prximos a (a, b). O nmero
f(a, b) chamando de valor mximo relativo.
Analogamente, f tem um mnimo relativo em
(a, b), com valor mnimo relativo f(a, b), se
f(x, y) f(a, b) para todos os pontos (x, y) que
esto suficientemente prximos a (a, b).
Exemplo
no grfico a seguir: A um ponto de mnimo
absoluto; B um ponto de mximo relativo; C
um ponto de mnimo relativo e D um ponto de
mximo absoluto.
no grfico a seguir, E um ponto de sela, pois
existem pontos prximos de E que so mais
altos e mais baixos.
O prximo teorema nos ajuda a encontrar os
pontos crticos da funo e identificar se existe
ou no um extremo relativo.
Teorema:
primeiro determine os pontos crticos de f(x, y)
resolvendo o sistema de equaes simultneas
fx = 0 e fy = 0.
Vamos supor que o resultado desse sistema
seja o par (a, b).
Faa, agora, o teste da segunda derivada.
Seja
D(x, y) = |fxx fyxfxy fyy
|
ento,
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Se D(a, b) > 0 e fxx(a, b) < 0, ento f(x, y) tem
um mximo relativo no ponto (a, b).
se D(a, b) > 0 e fxx(a, b) > 0, ento f(x, y) tem
um mnimo relativo no ponto (a, b).
se D(a, b) < 0, ento f(x, y) no tem um
mximo relativo e nem um mnimo relativo no
ponto (a, b).
se D(a, b) = 0, ento nada se pode afirmar.
Observao: Esse determinante, D(x, y),
muitas vezes chamado de Hessiano.
Exemplo
Determine os extremos relativos da funo
f(x, y) = x2 + y2
Soluo:
= 2;
fy = 2y;
fxx = 2;
fyy = 2;
fxy = fyx = 0;
{fx = 0fy = 0
{2x = 02y = 0
(x, y) = (0,0)
Assim o ponto crtico (0,0).
Vamos, agora, analisar se esse ponto crtico
gera ou no um extremo relativo na funo.
Como D(0,0) = |2 00 2
| = 4 > 0 e fxx(0,0) = 2 > 0
segue que f tem um ponto de mnimo relativo
em (0,0). Esse ponto : Min (0,0) = f(0,0) = 0.
Veja o grfico:
Exerccios de Sala
Determine os valores extremos (ou pontos
crticos) de:
a) f(x, y) = x2 + y2 2x 6y + 14
xy
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b) f(x, y) = y2 x2
2-) Uma caixa retangular sem tampa deve ser
feita com 12 m2 de papelo. Determine o
volume mximo dessa caixa.
Exerccios de Casa
1-) Determine os extremos relativos, se existir
de cada funo abaixo:
a-) f(x, y) = 1 5x2 y2
b-) f(x, y) = x2 4xy + y2 + 4
c-) f(x, y) = x2 y2 3x + 2y + 6
d-) f(x, y) = x2 + y2 2x + 4y + 2
e-)f(x, y) = x2 + xy + y2 2x + 6y
f-) f(x, y) = x2 + 2y2 2xy + 3y + 4x
g-) f(x, y) = x3 + y2 4x2 y + 10x
h-) f(x, y) = x3 + y2 xy + 3y + 3x
i-) f(x, y) = x3 2xy + y3 5
2. A receita total semanal (em reais) da
empresa Escrivaninhas Brasil, obtida pela
manufatura e venda de escrivaninhas, dada
por R(x, y) = 2x2 + 5y2 2xy 2000x + 1600y
onde x denota o nmero mensal de unidades
com acabamento e y denota o nmero de
unidades sem acabamento manufaturadas e
vendidas por semana. O custo total semanal
atribudo manufatura dessas escrivaninhas
de C(x, y) = 200x + 50y + 5000 reais. Determine
quantas unidades com e sem acabamento a
companhia deve manufaturar por semana, a fim
de maximizar seu lucro. Qual o maior lucro
que pode ser obtido?
Sugesto: o lucro(L) dado por:
L(x, y) = R(x, y)-C(x, y)
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3. Uma caixa retangular aberta com um volume
de 108 l deve ser construda usando uma chapa
de ao. Encontre as dimenses dessa caixa que
minimizam a quantidade de material utilizada.
4. Um prdio com o formato de uma caixa
retangular dever ter um volume de 12000 3.
Estima-se que os custos anuais de aquecimento
e refrigerao sero de R$2,00/m2 para o topo,
R$4,00/2 para as paredes frontal e traseira e
R$ 3,00/ 2 para as paredes laterais. Determine
as dimenses do prdio que resultaro em um
custo anual mnimo de aquecimento e
refrigerao. Qual esse custo mnimo?