Princípio Fundamental da ContagemSe um acontecimento ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que:

p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa;p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa;

pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa;

então p1  p2  … pk é o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Numa cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três primeiros constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, determine o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias.

2. Uma agência de propaganda deve criar o nome de um produto novo a partir de 4 sílabas significativas, já definidas. Qualquer uma dessas 4 sílabas, sozinha ou combinada com uma ou mais das outras três, poderá formar um nome atraente. Calcule o número de nomes diferentes possíveis de ser montados, sem repetição de sílabas.

3. Determine o número de placas de carro que podem ser formadas contendo duas letras distintas, seguidas por três algarismos, com o primeiro diferente de zero.

4. (FGV-SP) Existem apenas dois modos de atingir uma cidade X partindo de uma outra A. Um deles é ir até uma cidade intermediária B e de lá atingir X, e o outro é ir até C e de lá chegar a X. (Veja o esquema.) Existem 10 estradas ligando A a B; 12 ligando B a X; 5 ligando A a C; 8 ligando C a X; nenhuma ligação entre B e C e nenhuma ligação entre A e C. Determine o número de percursos diferentes que podem ser feitos para atingir X pela primeira vez, partindo-se de A.

5. (Fuvest-SP) Calcule quantos números múltiplos de três, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.

6. Considerando todos os números de seis algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 6, 7 e 9, determine:

a) quantos são pares.b) quantos são ímpares.

7. Considere o conjunto A = {0, 1, 3, 5, 7}. Calcule quantos números com algarismos diferentes se podem formar com os elementos de A.

8. Considere o conjunto A = {0, 1, 4, 5, 7, 8}. Utilizando os elementos deste conjunto e sem os repetir, responda.

a) Quantos números distintos se podem escrever com cinco algarismos?b) Dentre os números do item a), quantos são ímpares?c) Quantos números de quatro algarismos distintos contêm os dígitos 1 e 5?

Arranjos SimplesSeja B {b1, b2, … bn} um conjunto com n elementos (n  ).Denomina-se arranjo simples dos n elementos de B, tomados p a p, qualquer agrupamento de p elementos

distintos, escolhidos entre os elementos de B (p   e p n).Indica-se: An, p ou An;p.

1

A

B

C

X

Observação

Arranjo é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.

Fórmula do número de arranjos:

An, p  n(n  1)(n  2)…(n  p + 1)

ou

An, p  

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

9. Entre os 20 professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de diretor, vice-diretor e orientador pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser feita?

10. Dado o conjunto A = {2, 3, 4, 5, 6}, determine quantos números com algarismos diferentes se podem formar, sabendo que:

a) têm quatro algarismos.b) são menores do que 4 000 e múltiplos de 5.

11. (Unicamp-SP) Numa kombi viajam 9 pessoas, das quais 4 podem dirigir. De quantas maneiras diferentes é possível acomodá-las (3 no banco da frente, 3 no banco do meio e 3 no banco de trás) de forma que uma das 4 que dirigem ocupe o lugar da direção?

Permutações SimplesSeja B {b1, b2, … bn} um conjunto com n elementos (n  ).Denomina-se permutação simples dos n elementos de B todo arranjo dos n elementos de B, tomados n a n.Indica-se: Pn  An, n

Observação

Permutação é o tipo de agrupamento ordenado no qual, em cada grupo, entram todos os elementos.

Fórmula das permutações simples

Pn  n(n  1)(n  2)…1 n!

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

12. (Fuvest-SP) Calcule quantos números múltiplos de três, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.

13. Considerando todos os números de seis algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 6, 7 e 9, determine:

a) quantos são pares.b) quantos são ímpares.

14. Seis pessoas, A, B, C, D, E e F, ficam em pé, uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, determine o número de possibilidades distintas para as seis pessoas se disporem.

15. Em um teste de múltipla escolha com 12 questões, há 5 alternativas distintas, sendo uma única correta. Determine o número de modos distintos de ordenar as alternativas de maneira que a única correta não seja nem a primeira nem a última.

16. (UEG) Calcule de quantas maneiras podem ser dispostas 4 damas e 4 cavalheiros, numa fila, de forma que não fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas.

2

17. (Fuvest-SP) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não têm algarismos adjacentes iguais?

a) 59 b) 9 ´ 84 c) 8 ´ 94 d) 85 e) 95

18. (Mack-SP) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva de 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é:

a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720

19. (UFRN) A quantidade de números de dois algarismos que se pode formar com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9 é igual a:

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

20. (PUC-SP) Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independente da posição do assento. Combinando assento e encosto, este banco assume:

a) 6 posições diferentes. b) 30 posições diferentes.c) 90 posições diferentes.d) 180 posições diferentes.e) 720 posições diferentes.

Combinações SimplesSeja B {b1, b2, … bn} um conjunto com n elementos (n  ).Denomina-se combinação simples dos n elementos de B tomados p a p, qualquer subconjunto de p elementos do

conjunto B.Indica-se: Cn, p ou  Cn;p.Observação

Combinação é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.

Fórmula das combinações simples

Cn, p  

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

21. (ENE) Numa embaixada trabalham 8 brasileiros e 6 estrangeiros. Quantas comissões de 5 funcionários podem ser formadas, devendo cada comissão ser constituída de 3 brasileiros e 2 estrangeiros?

22. Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos pode-se iluminá-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?

23. Um campeonato de futebol é disputado por 20 equipes, de acordo com o esquema seguinte.

1º) Formam-se 4 grupos de 5 equipes. Em cada grupo as equipes jogam entre si. Obtém-se, assim, um campeão de cada grupo.

2º) Os quatro campeões de grupo jogam todos entre si, surgindo daí o campeão.

Determine o número total de jogos disputados.

24. (Osec-SP) Do cardápio de uma festa contavam dez diferentes tipos de salgadinhos, dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios e só 2 diferentes tipos de salgadinhos quentes. De quantos modos diferentes o garçom teve a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?

25. De quantos modos podemos guardar 12 bolas distintas em 4 caixas, se a primeira caixa deve conter 3 bolas, a 2ª caixa, 5 bolas, a 3ª caixa, 3 bolas e a 4ª caixa, 1 bola?

3

Permutações com repetiçãoO número de permutações possíveis com n elementos, dentre os quais um certo elemento se repete vezes, é igual

ao fatorial de n dividido pelo fatorial de .

Pn;(

Se tivermos n elementos, dos quais: são iguais a A são iguais a B são iguais a C

o número de permutações distintas dos n elementos será:

Pn;(

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

26. (PUC-SP) O número de anagramas da palavra ALUNO que têm as vogais em ordem alfabética é:

a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100

27. (CESCEM) O número de palavras de seis letras que pode ser formado com as letras da sigla CESCEM, aparecendo, cada letra, tantas vezes quantas aparecem na sigla, é:

a) 24 b) 120 c) 180 d) 360 e) 720

28. (FCMSCSP) Quantos vocábulos diferentes podem ser formados com as letras da palavra ARAPONGA, de modo que a letra P ocupe sempre o último lugar?

a) 120 b) 240 c) 840 d) 720 e) 3024

29. (FGV-SP) Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos do número 718 844?

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180

30. (UNEB) Uma urna contém 10 bolas: 6 pretas iguais e 4 brancas iguais. Quantas são as maneiras diferentes de se extrair, uma a uma, as 10 bolas da urna?

a) 420 b) 210 c) 120 d) 150 e) 180

31. (UEPG-PR) Com uma letra R, uma letra A e um certo número de letras M, podemos formar 20 permutações. O número de letras M é:

a) 6 b) 12 c) 4 d) 3 e) 2

32. (ITA-SP) O número de soluções (x, y, z, w), {x, y, z, w} , da equação x + y + z + w 6 é:

4

RESPOSTAS

1. 648

2. 64

3. 585 000

4. 160

5. 72

6. a) 2160 b) 2880

7.

8. a) 600b) 288c) 126

9. 6480

10. a) 120 b) 12

11. 161 280

12. 72

13. a) 2160 b) 2880

14. 144

15. 72

16. 1 152

17. E

18. D

19. E

20. B

21. 840

22. 63

23. 46

24. 90

25. 110 880

26. A

27. C

28. C

29. E

30. B

31. D

32. 84

5